NGHIÊN cứu ổn ĐỊNH của tấm có cơ TÍNH BIẾN THIÊN CHỊU tác DỤNG của tải TRỌNG KHÍ ĐỘNG STABILITY STUDY OF FUNCTIONALLY GRADED MATERIAL PLATES SUBJECT TO AERODYNAMIC LOADS

Kỷ yếu hội nghị khoa học và công nghệ toàn quốc về cơ khí - Lần thứ IV

NGHIÊN CỨU ỔN ĐỊNH CỦA TẤM CÓ CƠ TÍNH BIẾN THIÊN
CHỊU TÁC DỤNG CỦA TẢI TRỌNG KHÍ ĐỘNG
STABILITY STUDY OF FUNCTIONALLY GRADED MATERIAL PLATES
SUBJECT TO AERODYNAMIC LOADS
Lê Thúc Định1a, Vũ Quốc Trụ2b, Trần Thị Hương3c
1,2
Học viện Kỹ thuật quân sự, Hà Nội, Việt Nam
3
Trường CĐKT Lý Tự Trọng, TP Hồ Chí Minh, Việt Nam
a
; ;
TÓM TẮT
Bài báo này trình bày nghiên cứu đáp ứng động của tấm làm bằng vật liệu có cơ tính
biến thiên (FGM) chịu tác dụng của tải trọng khí động. Theo đó, phương trình vi phân phi
tuyến mô tả dao động của tấm có cơ tính biến thiên được giải bằng phương pháp tích phân
trực tiếp Newmark kết hợp với lặp Newton – Raphson. Trên cơ sở thuật toán và chương trình
tính xây dựng, khảo sát một số yếu tố ảnh hưởng đến đáp ứng khí động của tấm có cơ tính
biến thiên. Kết quả bài báo làm cơ sở đề xuất các giải pháp nhằm tối ưu các kết cấu dạng tấm
bằng vật liệu FGM.
Từ khóa: tấm, vật liệu có cơ tính biến thiên, ổn định, phi tuyến, tải trọng khí động.
ABSTRACT
This paper study dynamic response of functionally graded material plates subject to
aerodynamic loads. Accordingly, the nonlinear differential equations describing vibrations of
functionally graded material plates is solved using Newmark’s time integration method with
Newton-Raphson iteration method. Based on algorithms and programs have been formulated
to investigate some of factors affect to dynamic response of FGM plates. Results paper is the
basis to propose solutions to optimize the structure of FGM plates.
Keywords: plates, functionally graded material, stability, nonlinear, aerodynamic load.
1. ĐẶT VẤN ĐỀ

Vật liệu có cơ tính biến thiên (Functionally Graded Material được viết tắt là FGM) là loại
vật liệu mới hiện đang được các nhà khoa học quan tâm nghiên cứu. Các kết cấu làm bằng vật
liệu FGM (đặc biệt là kết cấu dạng tấm, vỏ) đang được sử dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực:
hàng không vũ trụ, lò phản ứng hạt nhân, … Do vậy, nghiên cứu ổn định của tấm làm bằng vật
liệu FGM chịu tác dụng của lực khí động là vấn đề có ý nghĩa khoa học và thực tiễn.
2. XÂY DỰNG BÀI TOÁN
2.1. Mô hình vật liệu có cơ tính biến thiên
Vật liệu có cơ tính biến thiên thường được sử dụng nhiều trong thực tế là loại hai thành
phần, nó là hỗn hợp của gốm (ceramic) và kim loại (metal) (Hình 1). Trong đó, tỷ lệ thể tích
của các thành phần vật liệu biến đổi theo chiều dày kết cấu và là hàm lũy thừa của biến chiều
dày z [1], [2]:
k

 z 1
Vc (z) =
1 − Vc (z) với (0 ≤ k ≤ ∞)
 +  ; Vm (z) =
h 2

(1)

Trong đó: k là chỉ số tỷ lệ thể tích; Vc , Vm là tỉ lệ thể tích của thành phần gốm và kim
loại tương ứng, z là trục tọa độ theo phương pháp tuyến bề mặt kết cấu.
701


Kỷ yếu hội nghị khoa học và công nghệ toàn quốc về cơ khí - Lần thứ IV
z

Bề mặt giàu gốm

y

z

h/2

a
Tấm FGM

0

b

O

x

x

h

α

-h/2

U

Bề mặt giàu kim loại

Hình 1. Mô hình kết cấu vật liệu FGM

Hình 2. Mô hình bài toán

Tính chất hiệu dụng của vật liệu được xác định theo biểu thức sau [1], [2]:
k

 z 1
Pe =( Pc − Pm )  +  + Pm
h 2

(2)

Trong đó P e , P c , P m là tính chất hiệu dụng (mô đun đàn hồi, khối lượng riêng, hệ số
giãn nở nhiệt, hệ số dẫn nhiệt) của vật liệu FGM, gốm, kim loại tương ứng. Còn hệ số Poisson
thường lấy là hằng số vì ảnh hưởng của nó đến đáp ứng của kết cấu là không đáng kể, đã được
chỉ ra trong [3] và nhiều công trình nghiên cứu khác.
Thuộc tính của vật liệu thành phần phụ thuộc nhiệt độ theo biểu thức sau [1], [2]:

(

P(T) P0 P−1T −1 + 1 + P1T + P2T 2 + P3T3
=

)

(3)

Trong đó: P 0 , P -1 , P 1 , P 2, và P 3 là các hệ số của nhiệt độ; T - nhiệt độ (K).
2.2. Mô hình bài toán và các giả thiết

Tấm vật liệu có cơ tính biến thiên, chịu tác dụng của lực khí động gây ra bởi dòng khí có
vận tốc U, chiều dọc trục Oy và hợp với mặt phẳng xOy góc α, kích thước của tấm như hình
2. Vật liệu làm việc trong giới hạn đàn hồi, tấm có chiều dày thỏa mãn lý thuyết Reissner Mindlin. Tấm được rời rạc hoá bởi các phần tử đẳng tham số 4 nút, mỗi nút có 5 bậc tự (u i , v i ,
w i , θ xi , θ yi ), thể hiện như trên hình 3.

y
w4

z

4

w1

θy1
1

θx1

u1

v3
θy3

θy4
θx4

u4
w2

v1

s

w3

v4

3 θx3
v2
θy2
2 θx2 u2

1

u3
1

-1

r
-1

x

a) Trong hệ tọa độ tổng thể

b) Trong hệ tọa độ tham chiếu

Hình 3. Mô hình phần tử tấm FGM

2.3. Lực khí động
Khi chịu tác dụng của luồng gió, mỗi phần tử tấm phẳng chịu tác dụng của lực nâng
phân bố l w và mômen uốn phân bố m θ , gọi chung là lực khí động. Phương trình lực khí động
tác dụng lên phần tử tấm phẳng được viết như sau [4]:




1
w
Bθ
ρa U 2 B  KH1* (K) + KH*2 (K)
+ K 2 H*3 (K)θ 
l w =
2
U
U






1
w
Bθ
m =
2 2
*
*

2 *
U
B
KA
(K)
KA
(K)
K
A
(K)
ρ
+
+
θ
a
1
2
3
θ



2
U
U



702

(4)


Kỷ yếu hội nghị khoa học và công nghệ toàn quốc về cơ khí - Lần thứ IV
Trong đó: ρ - mật độ không khí, U - vận tốc dòng khí, B - bề rộng phần tử theo phương
gió tác dụng, K - tần số thu gọn:
B ω
K= w F
U

(5)

Các hàm A*i (K), H*i (K) với i = 1 ÷ 3, được xác định bởi [4]:

2G ( k ) 
π
π 
H1* ( K ) =
− F ( k ) , H*2 (K) =
− 1 + F ( k ) +
,
k
4k 
k 


kG ( k )  *
π 
π
 *

F(k) −
, A1 (K) =
F(k),
−
 H3 (K) =


2 
4k
2k 2 


2G ( k )  *
kG ( k ) 
π 
π  k2
A* (K) =
1
F
k
,
A
(K)
−
−
−
=
+ F(k) −
(
)





2
3

16k 
k 
2 
8k 2  8


(6)

với k = K/2, các hàm F(k), G(k) được xác định bởi:

0,500502k 3 + 0,512607k 2 + 0, 2104k + 0, 021573
F ( k ) =
k 3 + 1, 035378k 2 + 0, 251293k + 0, 021508


0, 000146k 3 + 0,122397k 2 + 0,327214k + 0, 001995

G ( k ) = −
k 3 + 2, 481481k 2 + 0,93453k + 0, 089318


(7)

Với mô hình bài toán đang xét, dòng khí có phương bất kỳ nên có thể phân ra hai thành
phần: thành phần có vận tốc U t = Ucosα tác dụng theo phương trùng với mặt phẳng trung
bình và thành phần có vận tốc U n = Usinα tác dụng theo phương pháp tuyến với mặt phẳng
trung bình của tấm. Do đó, biểu thức lực khí động lúc này có dạng:


w
 *

KH1 (K)
+


 1
1
U cos α
2
l w =ρa ( U cos α )2 B 
 + Cpρa ( U sin α )

2
Bθx


 2
*
2 *

 + KH 2 (K) U cos α + K H3 (K)θx 






Bθ x
1
w
2
ρa ( U cos α ) B2  KA1* (K)
+ KA*2 (K)
+ K 2 A*3 (K)θx 
mθ =
2
U cos α
U cos α




(8)

Trong đó: Cp - hệ số áp lực gió;
ρa - khối lượng riêng của không khí.
3. QUAN HỆ ỨNG XỬ CƠ HỌC
3.1. Quan hệ biến dạng và chuyển vị
Chuyển vị tại một điểm có tọa độ (x,y,z) thuộc tấm ở thời điểm t có dạng [5]:
=
y, z, t ) u 0 ( x, y, t ) + zθ y ( x, y, t )
u ( x,


=
y, z, t ) v0 ( x, y, t ) − zθx ( x, y, t )
 v ( x,

 w ( x, y, z, t ) = w 0 ( x, y, t )

(9)

Trong đó: u, v và w tương ứng là chuyển vị dài dọc theo các trục x, y và z tại điểm
thuộc tấm có tọa độ (x,y,z); u 0 , v 0 và w 0 tương ứng là chuyển vị dài dọc theo các trục x, y
703


Kỷ yếu hội nghị khoa học và công nghệ toàn quốc về cơ khí - Lần thứ IV
và z của mặt trung bình; θ x , θ y lần lượt là góc xoay của pháp tuyến mặt phẳng tấm quanh
các trục x và y.
Khi kể đến biến dạng của mặt trung bình, các thành phần véctơ biến dạng quan hệ với
trường chuyển vị (9) theo biểu thức [5]:

{ε} = {ε x

εy

γ xy

γ yz

γ xz

}

T

{ε u } {ε m } +z {κ}
=
=

ε
{
}
c

  {εc } 

(10)

Trong đó: {ε m } , {κ} , {εc } là véctơ biến dạng màng, véc tơ độ cong, véctơ biến dạng
trượt tương ứng và được xác định như sau:
2

 ∂u 0   1  ∂w  

  2  ∂x  
∂x

 
2
 ∂v0
  1  ∂w  
L

N
{εm } = εm + εm = 
+ 
 
∂y

  2  ∂y  
 ∂u 0 ∂v0   ∂w ∂w 
+

 

∂x   ∂x ∂y 
 ∂y



{ }{ }

Trong đó:

(11)

{εLm} - chuyển vị màng tuyến tính;
{εmN } - chuyển vị màng phi tuyến.
κ 
 x   ∂θ y
{κ} =  κ y  = 

  ∂x

κ
 xy 
 γ xz 
{ε=
}
 =

c
 γ yz 

T

∂θ y

∂θ 
− x
∂y
∂x 

∂θ
− x
∂y

(12)

 ∂w

 ∂x + θ y 
 ∂w



− θx 
 ∂y


(13)

3.2. Quan hệ ứng suất và biến dạng
Giả thiết bỏ qua ứng suất pháp theo phương trục z (σ z = 0), quan hệ ứng suất và biến
dạng của tấm FGM được viết dưới dạng sau [5]:
σ x 
 
σ y 
 
=
τxy 
 
τxz 
 
τ yz 

 Q11 Q12
Q
 21 Q 22
 0
0

0
 0
0

 0

0
0
Q66
0
0

0
0
0
C44
0

0  ε x 


0  ε y 


0   γ xy 

0   γ xz 


C55   γ 
 yz 

(14)

Với Qij , Ckl là các hệ số độ cứng, các hệ số trượt được xác định như sau:
Q=
11 Q=
22

E (z)
1− ν

, Q=
12 Q=
21
2

704

νE ( z )

, Q=
66 C=
44 C=
55
1 − ν2

(1 − ν ) E ( z )

(

2 1 − ν2

)

(15)


Kỷ yếu hội nghị khoa học và công nghệ toàn quốc về cơ khí - Lần thứ IV
3.3. Các thành phần nội lực
Theo [5], quan hệ giữa các thành phần nội lực và biến dạng được biểu diễn như sau:

{ N} 


{M} =


{Q} 
Trong đó:

[ A ]

 [ B]
 [ 0]

[ B] [0]  {εm }
[ D] [0]  {κ}  =
[0] [C] {εc } 

{N} = {N x , N y , N xy }

T

{

mômen uốn và xoắn; {Q} = Q x , Q y

}

T

 
 D  {ε}

- véctơ lực màng;

(16)

{M} = {M x , M y , M xy }

T

- véctơ

- véctơ lực cắt; [A], [B], [D], [C] là ma trận độ cứng

màng, ma trận độ cứng tương tác màng - uốn - xoắn, ma trận độ cứng uốn và ma trận độ cứng
trượt tương ứng [2]:


[ A ]
=




[ C] =


h /2

h /2

h /2

− h /2

− h /2
h /2

− h /2

[ E ] zdz, [ D] ∫ [ E ] z 2dz
∫=

=
∫ [ E ] dz, [ B]


1 0  


E
z

dz
(
)

2 (1 + ν ) 0 1   ∫
 − h /2

kp

(17)

với [ E ] là ma trận các hệ số đàn hồi:


1 ν
0 
E (z) 

=
ν 1
0 
[E]
2
1− ν 
1− ν 
0 0


2 

(18)

E(z) là mô đun đàn hồi của vật liệu FGM:
k

 z 1
E ( z ) =( Ec − E m )  +  + E m
h 2

(19)

k p là hệ số hiệu chỉnh cắt (thường lấy k p = 5 / 6 ).
4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN DAO ĐỘNG VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Áp dụng nguyên lý Hamilton cho phần tử [6], ta có:
t1

∫ δ (T

e

e

)

− U dt +

t0

t1

0
∫ δW dt =
e

(20)

t0

Trong đó: T e , U e , W e lần lượt là động năng, năng lượng biến dạng đàn hồi, công gây
ra bởi lực khí động, xác định theo các biểu thức sau:


1 e T
T
e  e

=
ρ ( z ) [ N ] [ N ] dV
T
q
q
 ∫e

2
V

e

{ }

{ }

705

(21)


Kỷ yếu hội nghị khoa học và công nghệ toàn quốc về cơ khí - Lần thứ IV

{ }

U e =q e
We =

T

T


1  N 
 L 1  N  e  e
 1 [BL
]
B
C
[B
]
B
dA
q

+
+
u
w  [ ] u
w 
2
2
 2 ∫e 




 A


{ }

∫e δwlw dA

e

+

A

∫e δθ x mθdA

e

(22)

(23)

A

Thay (21), (22), (23) vào (20) và biến đổi ta được phương trình sau:
e } + [Ce ]{q e } + [K e ]{q e } =
[M e ]{q
{Fae }

(24)

Trong đó:
[M e ] - ma trận khối lượng của phần tử:
e
[M
] =

20× 20

I2 )
với ( I0 , =

h /2

∫

∫e ( I0[N w ]

T

))

(

[N w ] + I2 [N θx ]T [N θx ] + [N θy ]T [N θy ] dA e

(25)

A

( )

ρ ( z ) 1, z 2 dz ; ρ ( z ) =

− h /2

k

z 1
( ρc − ρm )  +  + ρm
h 2

e

[K e ] , [C ] là ma trận độ cứng kết cấu và ma trận cản của phần tử:
e
e
 e   e 
 e

 e
=
[K
] = α  M  + β  K 
]   K L  +  K N   ; [C

(26)

20× 20

20× 20

với  K eL  ,  K eN  là ma trận độ cứng tuyến tính và ma trận độ cứng phi tuyến của phần
  

tử; α, β là hệ số cản Rayleigh;.
Véctơ chuyển vị nút phần tử:
=
{q}e

{u1 v1 w1 θx1 θy1 ... u 4 v4 w 4 θx4 θy4}

T

(27)

{Fae } - véctơ lực khí động phần tử được xác định bởi [4]:
T

∫

{Fae } =
− [N w ]T l w dA e

20× 20
Ae

 ∂N θy 
e
− ∫ 
 mθdA
∂x 
Ae 

(28)

Thay (8) vào (28), sau khi biến đổi ta nhận được:
e
{Fae } =
−[K ea ]{q e } − [Cea ]{q e } + {Fan
}

(29)

Trong đó:
[K ea ] - ma trận độ cứng khí động của phần tử:
2
[K ea ] =
ρa ( U cos α ) Bk 2

T


 ∂N 
 H*3 (k)[N w ]T [N θx ] + BA*3 (k)  θy  [N θx ] dA e
∫

 ∂x 
S


[Cea ] - ma trận cản khí động của phần tử:

706

(30)


Kỷ yếu hội nghị khoa học và công nghệ toàn quốc về cơ khí - Lần thứ IV

(

)

T
T


H1* (k) [ N w ] [ N w ] + BH*2 (k) [ N w ] [ N θx ] dA e +
∫


 Ae

 Ce  =


ρ
α
Ucos
Bk
(
)
a
T
T

 a 
∂N θy 
∂N θy 
 


*
2
*
e
 ∫  BA1 (k) 
 [ N w ] + B A 2 (k) 
 [ N θx ] dA  
x

x
∂
∂
 A e 




 


(31)

1
2
e }=
{Fan
− ∫ [N w ]T Cpρa ( U sin α ) dA e
2 e

(32)

A

Thay (29) vào (24) và chuyển vế ta được phương trình:

(

)

(

)

e
e } + [Ce ] + [Cea ] {q e } + [K e ] + [K ae ] {q e } =
[M e ]{q
{Fan
}

(33)

Sau khi tập hợp các ma trận và véctơ phần tử theo thuật toán của phương pháp PTHH ta
được các ma trận và véctơ tổng thể. Khi đó, phương trình vi phân dao động của tấm FGM
chịu tác dụng của tải trọng khí động có dạng như sau:

 + ([C] + [Ca ]){q}
 + ([K] + [K a ]){q} =
[M]{q}
{Fan }

(34)

Phương trình (34) là phương trình vi phân phi tuyến, do đó tác giả sử dụng phương pháp
tích phân trực tiếp Newmark kết hợp với lặp Newton – Raphson để giải.
5. TÍNH TOÁN SỐ VÀ THẢO LUẬN
5.1. Ví dụ số
Xét tấm làm bằng vật liệu có cơ tính biến thiên hai thành phần là nhôm và nhôm ôxít
với các thuộc tính vật liệu là: E m = 7.1010 N / m 2 , E c = 38.1010 N / m 2 , υm =υc =0.3 ,
k = 3 . Kích thước tấm: chiều dài a = 0,38m, chiều rộng b = 0,305m, chiều dày h = 0,005m,

chịu liên kết ngàm cứng một cạnh ngắn. Vận tốc gió U = 15m/s, tác dụng theo phương oy và
hợp với mặt phẳng xOy góc α = 300. Sử dụng chương trình tính đã lập giải bài toán, ta nhận
được đáp ứng khí động tại điểm giữa của tấm như sau:

Hình 4. Đáp ứng độ võng theo thời gian

Hình 5. Đáp ứng ứng suất theo phương x

* Nhận xét: Với giá trị vận tốc gió tính toán, lực khí động chưa đủ lớn nên độ võng và
ứng suất đều có xu hướng giảm dần theo thời gian. Dao động của tấm có xu hướng tắt dần,
tấm ở trạng thái ổn định.
707


Kỷ yếu hội nghị khoa học và công nghệ toàn quốc về cơ khí - Lần thứ IV
5.2. Khảo sát một số yếu tố ảnh hưởng đến đáp ứng khí động của tấm
5.2.1. Ảnh hưởng của vận tốc gió
Để xem xét ảnh hưởng của vận tốc gió đến đáp ứng khí động của tấm FGM, tác giả
khảo sát bài toán cho 3 trường hợp vận tốc gió khác nhau: U = 15m/s, U = 20m/s và U =
30m/s. Kết quả được thể hiện trên đồ thị hình 6.

Hình 6. Ảnh hưởng của vận tốc gió đến độ
võng của tấm

Hình 7. Ảnh hưởng của chỉ số mũ k
đến độ võng của tấm

* Nhận xét: Từ đồ thị hình 6 ta nhận thấy ảnh hưởng của vận tốc gió đến dao động của
tấm là khá lớn, cụ thể: Với vận tốc gió U = 15m/s dao động của tấm có xu hướng tắt dần, độ
võng lớn nhất Wmax = 0,052x10-3m, tấm ở trạng thái ổn định. Với vận tốc gió U = 20m/s,

tấm có xu hướng dao động với biên độ không đổi theo thời gian và có W = 0,26x10-3m.
Trường hợp vận tốc gió U = 30m/s, độ võng của điểm tính tăng theo thời gian, tấm có dấu
hiệu bị mất ổn định. Như vậy U = 20m/s chính là giá trị tới hạn (U th ) của vận tốc gió trong bài
toán đang xét.
5.2.2. Ảnh hưởng của chỉ số mũ tỉ lệ thể tích
Xét 3 trường hợp: k = 0, k = 3, k = ∞. Đáp ứng độ võng được biểu diễn trên đồ thị hình 7.
* Nhận xét: Từ đồ thị khảo sát thấy rằng chỉ số mũ tỉ lệ thể tích của vật liệu FGM có ảnh
hưởng đáng kể đến đáp ứng động của tấm. Trong đó: với trường hợp k = 0 (tấm nhôm oxit
thuần túy) giá trị độ võng là nhỏ nhất, k = ∞ (tấm nhôm thuần túy) có độ võng là lớn nhất, với
k = 3 (tấm là vật liệu FGM) thì độ võng có giá trị lớn hơn tấm nhôm oxit và nhỏ hơn trường
hợp tấm nhôm. Điều này là hoàn toàn phù hợp với quy luật cơ học của vật liệu FGM.
5.2.3. Ảnh hưởng của tỉ số a/b
Khảo sát với tỉ số giữa chiều dài và chiều rộng của tấm (a/b) trong khoảng từ 0,5 – 2,0,
thu được đồ thị đáp ứng độ võng của tấm tương ứng với các giá trị của a/b như hình 8.

Hình 8. Ảnh hưởng của tỉ số a/b đến độ võng của tấm
708


Kỷ yếu hội nghị khoa học và công nghệ toàn quốc về cơ khí - Lần thứ IV
* Nhận xét: Căn cứ vào đồ thị ta thấy khi tỉ số a/b tăng thì độ võng của tấm cũng tăng
theo, trong đó độ võng tăng mạnh và có xu hướng tăng theo thời gian; khi tỉ số a/b = 2, tấm có
dấu hiệu bị mất ổn định. Do đó, với kết cấu tấm như khảo sát nên lựa chọn kích thước sao cho
thỏa mãn tỉ số a/b nhỏ hơn 2.
6. KẾT LUẬN
Trong bài báo này, tác giả đã xây dựng thuật toán PTHH giải bài toán động lực học phi
tuyến của tấm FGM chịu tác dụng của tải trọng khí động, xây dựng chương trình tính trong
môi trường matlab và tiến hành khảo sát số.
Nghiên cứu một số yếu tố ảnh hưởng đến đáp ứng khí động của tấm FGM: ảnh hưởng
của vận tốc gió, chỉ số mũ tỉ lệ thể tích, tỉ số a/b. Từ các kết quả có được về đáp ứng độ võng

theo thời gian rút ra kết luận về tính chất ổn định của tấm theo tiêu chuẩn ổn định động của
Budiansky - Roth [7].
Thông qua các kết quả số, đưa ra những nhận xét có tính chất định hướng cho việc lựa
chọn các giải pháp hợp lý cho kết cấu tấm FGM.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1]. Lee S. L., Kim J. H., Thermal post-buckling and limit-cycle oscillation of functionally
graded panel with structural damping in supersonic airflow, 2009, Composite Structures
(91), pp. 205-211.
[2]. Lee S.-L., Kim J.-H., Thermal Stability Boundary of FG Panel under Aerodynamic Load,
World Academy of Science, Engineering and Technology,2007, (32), pp. 60 - 65.
[3]. Lê Khả Hòa, Phân tích ổn định tĩnh của vỏ bằng vật liệu có cơ tính biến thiên, Luận án
tiến sĩ cơ học, Đại học KHTN, Đại học Quốc gia Hà Nội, 2015.
[4]. Simiu E., Scanlan R. H., Wind effects on structures, 2nd ed, John Wiley & Sons, 1986.
[5]. Trần Ích Thịnh, Vật liệu composite Cơ học và tính toán kết cấu, NXB Giáo dục, 1994.
[6]. Yuan K. H., Qiu Z. P., Nonlinear flutter analysis of stiffened composite panels in
supersonic flow, Sciene China Physics & Astronomy, 2010, Vol. 3 No. 2, pp. 336 - 344.
[7]. Budiansky B., Roth R. S. (1962), Axisymmetric dynamic bucking of clamped shallow
spherical shells, In: colleted paper on instability of shell structures, NASA TND – 1510.

THÔNG TIN TÁC GIẢ
1.

Lê Thúc Định, Học viện KTQS, , 0982.140.560 – 0919.148.167

2.

Vũ Quốc Trụ, Học viện KTQS, , 0983.577.999

3.

Trần Thị Hương, Trường CĐKT Lý Tự Trọng, ,
0988100633

709