NGHIÊN cứu ổn ĐỊNH của vỏ có cơ TÍNH BIẾN THIÊN CHỊU tác DỤNG của tải TRỌNG ĐỘNG STABILITY STUDY OF FUNCTIONALLY GRADED MATERIAL SHELLS SUBJECT TO DYNAMIC LOADS

Kỷ yếu hội nghị khoa học và công nghệ toàn quốc về cơ khí - Lần thứ IV

NGHIÊN CỨU ỔN ĐỊNH CỦA VỎ CÓ CƠ TÍNH BIẾN THIÊN
CHỊU TÁC DỤNG CỦA TẢI TRỌNG ĐỘNG
STABILITY STUDY OF FUNCTIONALLY GRADED MATERIAL SHELLS
SUBJECT TO DYNAMIC LOADS
Lê Thúc Định1a, Vũ Quốc Trụ2b, Trần Thị Hương3c
1,2
Học viện Kỹ thuật Quân sự, Hà Nội, Việt Nam
3
Trường CĐKT Lý Tự Trọng, TP Hồ Chí Minh, Việt Nam
a
; ;
TÓM TẮT
Bài báo trình bày kết quả phân tích động lực học của vỏ trụ thoải làm bằng vật liệu có
cơ tính biến thiên chịu tác dụng của tải trọng động. Tải tới hạn được xác định theo tiêu chuẩn
ổn định Budiansky – Roth. Trên cơ sở thuật toán và chương trình đã lập, khảo sát một số yếu
tố ảnh hưởng đến đáp ứng động của vỏ FGM. Kết quả bài báo là cơ sở cho việc nghiên cứu,
tính toán, thiết kế cho các kết cấu dạng vỏ FGM trong kỹ thuật.
Từ khóa: vỏ, vật liệu có cơ tính biến thiên, ổn định, tải trọng động, tải trọng tới hạn
ABSTRACT
This paper presents the results of dynamic analysis of functionally graded material
cylinderical shallow shells subject to dynamic loads. Critical loads are defined as Budiansky Roth stability criteria. Based on algorithms and programs have been formulated to investigate
some of factors which affect to dynamic response of FGM shells. Results paper is the basis to
study, calculate, design for FGM shell structures in engineering.
Keywords: shell, functionally graded material, stability, dynamic load, critical load
1. ĐẶT VẤN ĐỀ
Vật liệu có cơ tính biến thiên (Functionally Graded Material - FGM) là loại vật liệu mới
hiện đang được các nhà khoa học quan tâm nghiên cứu. Các kết cấu làm bằng vật liệu FGM
(đặc biệt là kết cấu dạng tấm, vỏ) đang được sử dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực: hàng
không vũ trụ, lò phản ứng hạt nhân, … Tuy nhiên, các nghiên cứu trước đây chỉ xét mô hình

chịu tải trọng theo phương hướng kính hoặc theo phương song song với đường sinh của vỏ
trụ. Do vậy, nghiên cứu ổn định của vỏ làm bằng vật liệu FGM chịu tác dụng của tải trọng
động theo phương bất kỳ như mô hình bài báo đặt ra là vấn đề có ý nghĩa khoa học và thực
tiễn. Bài báo này là cơ sở để nghiên cứu ổn định của vỏ trụ thoải FGM với dạng tải trọng
phức tạp hơn, đó là tải trọng khí động.
2. XÂY DỰNG BÀI TOÁN
2.1. Mô hình vật liệu có cơ tính biến thiên
Vật liệu có cơ tính biến thiên thường được sử dụng nhiều trong thực tế là loại hai thành
phần, nó là hỗn hợp của gốm (ceramic) và kim loại (metal) (Hình 1). Trong đó, tỷ lệ thể tích
của các thành phần vật liệu biến đổi theo chiều dày kết cấu và là hàm lũy thừa của biến chiều
dày z [1], [2]:
k

 z 1
Vc (z)     ; Vm (z)  1  Vc (z) với (0  k  )
h 2
769

(1)


Kỷ yếu hội nghị khoa học và công nghệ toàn quốc về cơ khí - Lần thứ IV
trong đó: k là chỉ số tỉ lệ thể tích; Vc , Vm là tỉ lệ thể tích của thành phần gốm và kim loại
tương ứng, z là trục tọa độ theo phương pháp tuyến bề mặt kết cấu.

z

Bề mặt giàu gốm

h/2

0

x

-h/2
Bề mặt giàu kim loại
Hình 1. Mô hình kết cấu vật liệu FGM
Tính chất hiệu dụng của vật liệu được xác định theo biểu thức sau [1], [2]:
k

 z 1
Pe   Pc  Pm      Pm
h 2

(2)

trong đó Pe, Pc, Pm là tính chất hiệu dụng (mô đun đàn hồi, khối lượng riêng, hệ số giãn
nở nhiệt, hệ số dẫn nhiệt) của vật liệu FGM, gốm, kim loại tương ứng. Còn hệ số Poisson
thường lấy là hằng số vì ảnh hưởng của nó đến đáp ứng của kết cấu là không đáng kể, đã được
chỉ ra trong [3] và nhiều công trình nghiên cứu khác.
2.2. Mô hình bài toán và các giả thiết
Vỏ trụ thoải bằng vật liệu có cơ tính biến thiên, chịu tác dụng của tải trọng điều hòa phân
bố, có chiều dọc trục Oy và hợp với mặt phẳng xOy góc α, kích thước của vỏ như hình 2.
z

y

L

O

x

a

f0

P (t
)

R

α

θ/2

θ/2

Hình 2. Mô hình bài toán
Vật liệu làm việc trong giới hạn đàn hồi, vỏ có chiều dày thỏa mãn lý thuyết Reissner Mindlin.

y

y

v4
4

v3

z

u4

3

v1
1

w4

w1

v2
u1

2

4

u3

u2

1

x

a) Phần tử phẳng chịu kéo (nén)

θz1
θy1

θx1

w3

θz4
θy4
θx4

θz3
θy3
3 θx3

w2 θ
z2
θy2
2 θx2

x

b) Phần tử vỏ phẳng chịu uốn-xoắn kết hợp

Hình 3. Mô hình phần tử vỏ chịu kéo (nén) và phần tử vỏ chịu uốn-xoắn
770


Kỷ yếu hội nghị khoa học và công nghệ toàn quốc về cơ khí - Lần thứ IV
Vỏ thoải được rời rạc hoá bởi các phần tử phẳng, theo đó vỏ là tổ hợp hữu hạn các phần
tử phẳng bốn nút, trong đó mỗi phần tử được xem là tổ hợp của hai loại phần tử: phần tử
phẳng bốn nút, mỗi nút có hai bậc tự do (ui, vi) và phần tử phẳng bốn nút chịu uốn - xoắn kết
hợp, mỗi nút có bốn bậc tự do (wi, xi, yi, zi), thể hiện như trên hình 3.

3. QUAN HỆ ỨNG XỬ CƠ HỌC
3.1. Quan hệ biến dạng và chuyển vị
Chuyển vị tại một điểm có tọa độ (x,y,z) thuộc phần tử vỏ phẳng ở thời điểm t có dạng [4]:
u  x, y, z, t   u 0  x, y, t   z y  x, y, t 


 v  x, y, z, t   v0  x, y, t   zx  x, y, t 


 w  x, y, z, t   w 0  x, y, t 

(3)

trong đó: u, v và w tương ứng là chuyển vị dài dọc theo các trục x, y và z tại điểm có
tọa độ (x,y,z); u0, v0 và w0 tương ứng là chuyển vị dài dọc theo các trục x, y và z của mặt
trung bình; x, y lần lượt là góc xoay của pháp tuyến mặt phẳng tấm quanh các trục x và y.
Khi kể đến biến dạng của mặt trung bình, các thành phần véctơ biến dạng quan hệ với
trường chuyển vị (3) theo biểu thức [4]:

  x

y

 xy

 yz

 xz



T


 
m  z 
u 







  c 

 c  
 

(4)

trong đó: m  ,  , c  là véc tơ biến dạng màng, véc tơ độ cong, véc tơ biến dạng
trượt tương ứng và được xác định như sau:
2

 u 0   1  w  

  2  x  
x


 
2
 v0
  1  w  
L
N
m   m  m  
  
 
y

  2  y  
 u 0 v0   w w 


 

x   x y 
 y



  

 

(5)

 

N
trong đó:  L
m - chuyển vị màng tuyến tính;  m - chuyển vị màng phi tuyến.

 
 x   
    y    y

  x

xy






 x
y

T

 y

 
 x
y
x 

 w


 y 

 
x

c    xz    w

 yz  
 x 
 y


(6)

(7)

3.2. Quan hệ ứng suất và biến dạng
Giả thiết bỏ qua ứng suất pháp theo phương trục z (z = 0), quan hệ ứng suất và biến
dạng của phần tử vỏ phẳng FGM được viết dưới dạng sau [4]:
771


Kỷ yếu hội nghị khoa học và công nghệ toàn quốc về cơ khí - Lần thứ IV

 x   Q
Q12
   11
 y  Q21 Q22
 

0
xy    0

 
0
0
xz  
0
 yz   0
 

0

0

0

0

Q66

0

0

C44

0

0

0   x 


0   y 


0    xy 

0    xz 


C55    
 yz 

(8)

với Qij , Ckl là các hệ số độ cứng, các hệ số trượt được xác định như sau:

Q11  Q22 

E z
1 

, Q12  Q21 
2

E  z 

1    E  z 

, Q66  C44  C55 
1  2
2 1  2





(9)

E(z) là mô đun đàn hồi của vật liệu FGM, được xác định như sau:
k

 z 1
E  z    Ec  E m      E m
h 2

(10)

3.3. Các thành phần nội lực
Theo [4], quan hệ giữa các thành phần nội lực và biến dạng được biểu diễn như sau:

N   A 

 
M   B

  0
Q    

 B 0  m 
 D 0     D  
0 C c  

(11)

trong đó:

N  Nx , N y , N xy 

T

- véc tơ lực màng;

M  Mx , M y , M xy 

T

Q  Qx , Q y 

T

- véc tơ mô men uốn và xoắn;

- véc tơ lực cắt;

[A], [B], [D], [C] là ma trận độ cứng màng, ma trận độ cứng tương tác màng-uốn-xoắn,
ma trận độ cứng uốn và ma trận độ cứng trượt tương ứng [2]:
h /2
h /2

h /2

 A     E  dz,  B    E  zdz,  D    E  z 2dz

 h /2
 h /2
 h /2


k p 1 0   h /2



C

E
z
dz






2 1    0 1   

  h /2


(12)

với  E  là ma trận các hệ số đàn hồi:


1 
0 
E z 

 1
0 
E 
2
1  
1  
0 0


2 

(13)

k p là hệ số hiệu chỉnh cắt (thường lấy k p  5 / 6 ).
772


Kỷ yếu hội nghị khoa học và công nghệ toàn quốc về cơ khí - Lần thứ IV
4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN DAO ĐỘNG VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Áp dụng nguyên lý Hamilton cho phần tử [5], ta có:
t1

  T

e

e



 U dt 

t0

t1

 W dt  0
e

(14)

t0

trong đó: T e , U e , W e lần lượt là động năng, năng lượng biến dạng đàn hồi, công gây
ra bởi lực điều hòa được xác định theo các biểu thức sau:
Te 

e



1 e T

T
e e
q

z
N
N
dV
q
    
 e

2
V


 

 

U  q
We 

e

T

 

(15)

T


1  N 
 L 1  N  e  e
L
1 
[Bu ]   Bw   C [Bu ]  Bw   dA q
2
2
 2 e 




 A


 

e vP(t) cos  d A

e

e wP(t)sin  d A



A

e

(16)

(17)

A

Thay (15), (16), (17) vào (14) và biến đổi ta được phương trình sau:
[Me ]{qe}  [Ce ]{qe}  [Ke ]{qe}  {Fe}

(18)

trong đó:
[Me ] - ma trận khối lượng của phần tử:

e  I0[Nw ]

[Me ] 
2424

T





[N w ]  I2 [Nx ]T [Nx ]  [N y ]T [N y ] dAe

(19)

A

với  I0 , I2  

h /2

 

k

 z 1
2
   z  1, z dz ;   z   c  m   h  2   m
 h /2

e

[K e ] , [C ] là ma trận độ cứng kết cấu và ma trận cản của phần tử:
  K*   k  K * 
N  e
 e 
N

2020
[K e ]  
2424 
 0


420




204 
e
e
e
 ; [C ]    M     K 
e
 K   2424
 rz  
44 

 0

(20)

với α,  là hệ số cản Rayleigh.
Véctơ chuyển vị nút phần tử:

qe  u1 v1 w1 x1 y1 z1... u 4

v4 w 4 x4 y4 z4



T

(21)

{Fe } - véc tơ tải phần tử.
{Fe } 

e [Nv ]

T

A

Pye dAe    Nw T Pze dAe
A

e

773

(22)


Kỷ yếu hội nghị khoa học và công nghệ toàn quốc về cơ khí - Lần thứ IV
Sử dụng phương pháp ma trận biến đổi tọa độ, phương trình vi phân mô tả dao động của
phần tử trong hệ tọa độ tổng thể như sau:
[Me ]{q e}  [Ce ]{q e}  [Ke ]{q e}  {Fe}

(23)

Sau khi tập hợp các ma trận và véc tơ phần tử theo theo thuật toán của phương pháp
PTHH ta được các ma trận và véctơ tổng thể. Khi đó, phương trình vi phân dao động của vỏ

FGM chịu tác dụng của tải trọng động có dạng như sau:

[M]{q}  [C]{q}  [K]{q}  F

(24)

Phương trình (24) là phương trình vi phân phi tuyến, do đó tác giả sử dụng phương pháp
tích phân trực tiếp Newmark kết hợp với lặp Newton – Raphson để giải.
5. TÍNH TOÁN SỐ VÀ THẢO LUẬN
5.1. Xác định lực tới hạn
Xét vỏ trụ thoải làm bằng vật liệu có cơ tính biến thiên hai thành phần là nhôm và nhôm
oxit với các thuộc tính vật liệu như sau: Em = 70.109N/m2, m = 2700 kg/m3, m = 0,3,
Ec = 380.109N/m2, c = 3800 kg/m3, c = 0,3. Kích thước vỏ: chiều dài L = 1m, bán kính
R = 1m, chiều dày h = 0,005m, liên kết ngàm cứng một cạnh cong, chịu tác dụng của tải trọng
điều hòa có phương dọc theo trục oy và hợp với mặt xoy góc α = 300, độ lớn P = P0sin(t),
P0 = 595N/m,  = 320.
Sử dụng chương trình tính DB FGM Shells của nhóm tác giả lập để giải bài toán, đồng
thời so sánh với kết quả giải bằng phần mềm Ansys ta nhận được kết quả như đồ thị hình 4:

Hình 4. Đáp ứng độ võng của vỏ theo thời gian
Dựa vào đồ thị đáp ứng độ võng của vỏ theo thời gian, áp dụng tiêu chuẩn ổn định động
Budiansky – Roth, ta có bảng giá trị tới hạn của thời gian và lực như bảng sau:
Tham số

Bảng 1. Giá trị lực tới hạn
DB_FGM_Shells

Ansys

Sai số [%]

Thời gian tới hạn tth[s]

0,0698

0,681

2,43

Lực tới hạn Pth[N/m]

559,72

553,45

1,12

Từ kết quả giải bài toán bằng chương trình do tác nhóm tác giả lập và giải bằng phần
mềm Ansys cho thấy sai số về thời gian tới hạn là 2,43% và sai số về giá trị lực tới hạn là
1,12%. Như vậy, mô hình và chương trình tính được xây dựng là hoàn toàn chấp nhận được.
774


Kỷ yếu hội nghị khoa học và công nghệ toàn quốc về cơ khí - Lần thứ IV
5.2. Khảo sát một số yếu tố ảnh hưởng đến đáp ứng động của vỏ
5.2.1. Ảnh hưởng của chỉ số mũ tỉ lệ thể tích
Khi xem xét ảnh hưởng của chỉ số mũ tỉ lệ thể tích đến đáp ứng động của vỏ FGM, tác
giả khảo sát cho 3 trường hợp: k = 0 (vỏ làm bằng nhôm oxit), k = 0,5 (vỏ làm bằng vật liệu
FGM), k = ∞ (vỏ làm bằng nhôm). Kết quả đáp ứng độ võng của vỏ như đồ thị hình 5.
* Nhận xét: Dựa vào đồ thị trên hình 5, ta thấy chỉ số mũ k có ảnh hưởng lớn đến đáp

ứng động của vỏ. Cụ thể độ võng trong trường hợp vỏ làm bằng nhôm oxit là nhỏ nhất, độ
võng của vỏ làm bằng nhôm là lớn nhất. còn độ võng của vỏ FGM nằm trung gian giữa vỏ
nhôm và nhôm oxit. Điều này hoàn toàn phù hợp với quy luật cơ học của vật liệu, đồng thời
cho thấy độ tin cậy của chương trình tính.

Hình 5. Ảnh hưởng của chỉ số mũ k đến đáp ứng độ võng của vỏ FGM
Bảng 2. Giá trị lớn nhất của độ võng theo chỉ số mũ tỉ lệ thể tích
Chỉ số mũ k
k=0
k = 0,5
k=∞
Độ võng LN Wmax[m]

0,010578

0,014659

0,025284

Từ bảng 1 ta thấy: độ võng lớn nhất của vỏ FGM lớn hơn không nhiều so với vỏ làm
bằng nhôm oxit, nhưng lại nhỏ hơn rất nhiều so với vỏ làm bằng nhôm. Đây chính là tính chất
ưu việt của vật liệu FGM so với các vật liệu thành phần của nó.
5.2.2. Ảnh hưởng của tỉ số h/R
Để đánh giá ảnh hưởng của tỉ số h/R đối với đáp ứng động của vỏ FGM, tác giả khảo
sát với giá trị của h/R thay đổi từ 0,005 – 0,02 và thu được kết quả như trên đồ thị hình 6.

Hình 6. Ảnh hưởng của tỉ số h/R đến đáp ứng độ võng của vỏ FGM
775

Kỷ yếu hội nghị khoa học và công nghệ toàn quốc về cơ khí - Lần thứ IV
* Nhận xét: Căn cứ vào đồ thị hình 6, ta nhận thấy tỉ số giữa chiều dày và bán kính
(h/R) có ảnh hưởng đáng kể đến đáp ứng động của vỏ FGM. Khi tỉ số h/R tăng, độ võng của
vỏ giảm. Như vậy khả năng chịu tải của vỏ tăng lên. Đây cũng là giải pháp cơ học nhằm tăng
cứng cho vỏ, tuy nhiên cần chú ý đến tính kinh tế và tính công nghệ của kết cấu.
5.2.3. Ảnh hưởng của chỉ số mũ tỉ lệ thể tích đến lực tới hạn
Thực hiện khảo sát đáp ứng chuyển vị của vỏ FGM theo thời gian ứng với ba giá trị
khác nhau của chỉ số mũ: k = 0,5, k = 1, k = 2. Kết quả được thể hiện trên đồ thị hình 7.

Hình 7. Ảnh hưởng của chỉ số mũ k đến lực tới hạn của vỏ FGM
Bảng 3. Giá trị lực tới hạn tương ứng với chỉ số mũ tỉ lệ thể tích
Chỉ số mũ k
k = 0,5
k=1
k=2
Lực tới hạn Pth[N/m]

559,72

214,31

129,45

* Nhận xét: Căn cứ vào kết quả khảo sát trên đồ thị hình 7 và bảng 3, ta thấy chỉ số mũ
tỉ lệ thể tích có ảnh hưởng lớn đến lực tới hạn của vỏ, lực tới hạn tỉ lệ nghịch với chỉ số mũ. Kết
cấu ổn định tốt hơn khi chỉ số mũ nhỏ hơn 1, do đó trong thực tế để thiết kế các kết cấu vỏ theo
hướng tăng khả năng ổn định thì nên lựa chọn vật liệu FGM có chỉ số mũ k nhỏ hơn 1.
6. KẾT LUẬN
Trong bài báo này, tác giả đã xây dựng thuật toán PTHH giải bài toán động lực học phi
tuyến của vỏ FGM chịu tác dụng của tải trọng động, xây dựng chương trình tính bằng ngôn

ngữ matlab và tiến hành khảo sát số xác định lực tới hạn của vỏ FGM.
Nghiên cứu một số yếu tố ảnh hưởng đến đáp ứng động của vỏ FGM: ảnh hưởng của
chỉ số mũ tỉ lệ thể tích, tỉ số h/R; nghiên cứu ảnh hưởng của chỉ số mũ tỉ lệ thể tích đến khả
năng ổn định của kết cấu vỏ FGM.
Thông qua các kết quả số, rút ra nhận xét làm cơ sở tham khảo để lựa chọn các giải
pháp hợp lý cho kết cấu của vỏ FGM.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1]. Lee S. L., Kim J. H., Thermal post-buckling and limit-cycle oscillation of functionally
graded panel with structural damping in supersonic airflow, 2009, Composite Structures
(91), pp. 205-211.
[2]. Lee S.-L., Kim J.-H., Thermal Stability Boundary of FG Panel under Aerodynamic Load,
World Academy of Science, Engineering and Technology,2007, (32), pp. 60 - 65.
776


Kỷ yếu hội nghị khoa học và công nghệ toàn quốc về cơ khí - Lần thứ IV
[3]. Lê Khả Hòa, Phân tích ổn định tĩnh của vỏ bằng vật liệu có cơ tính biến thiên, Luận án
tiến sĩ cơ học, Đại học KHTN, Đại học Quốc gia Hà Nội, 2015.
[4]. Trần Ích Thịnh, Vật liệu composite cơ học và tính toán kết cấu, NXB Giáo dục, 1994.
[5]. Yuan K. H., Qiu Z. P., Nonlinear flutter analysis of stiffened composite panels in
supersonic flow, Sciene China Physics & Astronomy, 2010, Vol. 3 No. 2, pp. 336 - 344.
THÔNG TIN TÁC GIẢ
1.

Lê Thúc Định, Học viện KTQS, , 0982.140.560 – 0919.148.167

2.

Vũ Quốc Trụ, Học viện KTQS, , 0983.577.999

3.

Trần Thị Hương, Trường CĐKT Lý Tự Trọng, ,
0988100633

777