bài toán thực tiễn

Các bài Toán thực tiễn

Nguyễn Bá Tuấn

2015 - 2016

(fb: />
CÁC BÀI TOÁN THỰC TI N

/>
Trang 1


Các bài Toán thực tiễn

Nguyễn Bá Tuấn

BÀI TOÁN THỰC TIỄN
I. Lý thuyết cơ bản
Để xác định miền nghiệm của bất phương trình ax + by < c, ta có quy tắc thực hành biểu diễn hình
học tập nghiệm (hay biểu diễn miền nghiệm) như sau:
Bước 1. Vẽ đường thẳng (d): ax + by = c.
Bước 2. Xét một điểm M(x0; y0) không nằm trên (d).


Nếu ax0 + by0 < c thì nửa mặt phẳng (không kể bờ (d)) chứa điểm M là miền nghiệm của
bất phương trình ax + by


Nếu ax0 + by0 > c thì nửa mặt phẳng (không kể bờ (d)) không chứa điểm M là miền

nghiệm của bất phương trình ax+ by < c.

CHÚ Ý:
Đối với các bất phương trình dạng ax + by ≤ c hoặc ax + by ≥ c thì miền nghiệm là nửa mặt
phẳng kể cả bờ.
II. Bài toán tổng quát

 Max  Min 
Xét hàm y  f  x, y   ax  by 
a1 x  b1 y  c1
a x  b y  c

2
2
Với các điều kiện  2
....................
 x, y  0
Phương pháp giải: (các em có thể xem cụ thể về phương pháp giải tại đây)
B1: Vẽ miền các bất phương trình 2 biến.
B2: Trong miền thỏa mãn các điều kiện, chọn giá trị (x,y) sao cho f(x,y) đạt Max.
Nhận xét. Một hàm 2 biến trong miền D, là một tập lồi đa diện (tập có đường viền là đa giác lồi), luôn
đạt giá trị max (min) tại ít nhất một trong các đỉnh của D. Các đỉnh này còn được gọi là các điểm cực
biên của tập lồi đa diện D (chính xác hơn, điểm cực biên là điểm thuộc tập lồi đa diện, mà không thể
tìm được một đoạn thẳng nào cũng thuộc tập lồi đa diện nhận điểm đó là điểm trong). Nhận xét trên
đây là một định lý toán học đã được chứng minh một cách tổng quát.
Như vậy để tìm Max (Min) thì ta chỉ cần thay giá trị các đỉnh vào f(x,y), giá trị lớn nhất là max, giá trị
nhỏ nhất là min.

Bài toán 1. Giả sử một xí nghiệp sản xuất hai loại sản phẩm I và II. Để sản xuất ra một đơn vị
sản phẩm I cần có 6 đơn vị nguyên liệu loại A, 4 đơn vị nguyên liệu loại B, 1 nguyên liệu loại c.

Để sản xuất ra một đơn vị sản phẩm II cần có 3 đơn vị nguyên liệu loại A và 5 đơn vị
nguyên liệu loại B, 2 nguyên liệu loại C. Lượng nguyên liệu dự trữ loại A , B và C hiện có là 81, 56 và

/>
Trang 2


Các bài Toán thực tiễn

Nguyễn Bá Tuấn

18 (đơn vị). Hãy xác định phương án sản xuất đạt lợi nhuận lớn nhất, biết lợi nhuận / đơn vị sản
phẩm bán ra là 10 và 8 (đơn vị tiền tệ) cho các sản phẩm loại I và II. Và tìm lợi nhuận lớn nhất đó.
Giải
Đặt x, y ( x  0, y  0 ) lần lượt là số sản phẩm loại I và loại II cần dùng để sản suất đạt lợi nhuận lớn
nhất.
Ta có số nguyên liệu A cần dùng là: 6 x  3 y
Ta có số nguyên liệu B cần dùng là: 4 x  5 y
Ta có số nguyên liệu B cần dùng là: x  2 y

6 x  3 y  81
2 x  y  27
4 x  5 y  56


Theo giả thiết ta có 
 4 x  5 y  56 *
 x  2 y  18

 x  2 y  18

 x  0, y  0
Số lợi nhuận đạt được là: F  10 x  8 y . Trong mặt phẳng tọa độ, ta sẽ biểu diễn phần mặt phẳng
chứa các điểm M  x; y  thỏa mãn hệ (*)
10

8

6

4

2

5

10

15

2

 22 16 
 79 2   27 
Ta xét 5 đỉnh của miền khép kín tạo bởi hệ (*) là A  0;9  , B  ;  , C 12;3 , D  ;  , E  ;0  .
 3 3
 6 3  2 
Ta thấy F đạt giá trị lớn nhất tại B 12;3 . Khi đó F  10.12  8.3  144

Vậy lợi nhuận lớn nhất là 144.

Bài toán 2. Một phân xưởng có hai máy đặc chủng M1, M2 sản xuất hai loại sản phẩm kí hiệu là I và
II. Một tấn sản phẩm laọi I lãi 2 triệu đồng, một tấn sản phẩm loại II lãi 1,6 triệu đồng. Muốn sản xuất
một tấn sản phẩm loại I phải dùng máy M1 trong 3 giờ và máy M2 trong 1 giờ. Muốn sản xuất một
tấn sản phẩm loại II phải dùng máy M1 trong 1 giờ và máy M2 trong 1 giờ. Một máy không thể dùng

/>
Trang 3


Các bài Toán thực tiễn

Nguyễn Bá Tuấn

để sản xuất đồng thời hai loại sản phẩm. Máy M1 làm việc không quá 6 giờ trong một ngày, máy M2
một ngày chỉ làm việc không quá 4 giờ. Hỏi mỗi ngày phải sản xuất bao nhiêu tấn sản phẩm loại I và
bao nhiêu tấn sản phẩm loại II để số tiền lãi nhiều nhất.
Phân tích bài toán:
Nếu sản xuất x tấn sản phẩm loại I và y tấn sản phẩm loại II trong một ngày (x ≥ 0, y ≥ 0).
Như vậy tiền lãi mỗi ngày là L = 2x + 1,6y (triệu đồng) và số giờ làm việc (mỗi ngày) của M1 là 3x + y
và máy M2 là x + y.
Vì mỗi ngày M1 chỉ làm việc không quá 6 giờ, máy M2 không quá 4 giờ nên x, y phải thỏa mãn hệ bất
phương trình:

3x  y  6

 x  y  4  II 
 x  0, y  0


4

3

2

1

2

2

4

Ta có biểu thức L = 2x + 1,6y có giá trị lớn nhất và giá trị ấy đạt được tại một trong các đỉnh của tứ
giác ABCD
Bằng cách tìm tọa độ các đỉnh A, B, C , D rồi thay vào biểu thức L = 2x + 1,6y ta thấy L lớn nhất khi
x = 1, y = 3.
Vậy để có số tiền lãi cao nhất, mỗi ngày cần sản xuất 1 tấn sản phẩm loại I và 3 tấn sản phẩm loại II.
Bài toán 3. Người ta dự định dùng hai loại nguyên liệu để chiết xuất ít nhất 140kg chất A và 9kg chất
B. Từ mỗi tấn nguyên liệu loại I giá 4 triệu đồng, có thể chiết xuất được 20kg chất A và 0,6kg chất B.
Từ mỗi tấn nguyên liệu loại II giá 3 triệu đồng, có thể chiết suất được 10kg chất A và 1,5kg chất B.
Hỏi phải dùng bao nhiêu tấn nguyên liệu mỗi loại để chi phí mua nguyên liệu là ít nhất, biết rằng cơ
sở cung cấp nguyên liệu chỉ có thể cung cấp không quá 10 tấn nguyên liệu loại I và không quá 9 tấn
nguyên liệu loại II?

/>
Trang 4


Các bài Toán thực tiễn

Nguyễn Bá Tuấn

Phân tích bài toán. Nếu sử dụng x tấn nguyên liệu loại I và y tấn nguyên liệu loại II thì theo giả thiết,
có thể chiết xuất được (20x + 10y) kg chất A và (0,6x + 1,5y) kg chất B. Theo giả thiết, x và y phải thỏa
mãn các điều kiện:

0  x  10
0  x  9
 III  
2 x  y  14
2 x  5 y  30
Tổng số tiền mua nguyên liệu là T = 4x + 3y.
10

C

D
8

6

4

2

B
A
5

10

Miền nghiệm của hệ (III) là miền tứ giác ABCD, kể cả biên.
Ta có biểu thức T = 4x + 3y có giá trị nhỏ nhất và giá trị ấy đạt được tại một trong các đỉnh của tứ
giác ABCD.
Bằng cách tìm tọa độ các đỉnh A, B, C, D rồi so sánh các giá trị tương ứng của T, ta được giá trị nhỏ
nhất là T = 32 tại điểm A(5; 4).
Vậy để chi phí nguyên liệu ít nhất, cần sử dụng 5 tấn nguyên liệu loại I và 4 tấn nguyên liệu loại II
(khi đó, chi phí tổng cộng là 32 triệu đồng).
Bài toán 4. Có ba nhóm máy A, B, C dùng để sản xuất ra hai loại sản phẩm I và II. Để sản xuất một
đơn vị sản phẩm mỗi loại phải lần lượt dùng các máy thuộc các nhóm khác nhau. Số máy trong một
nhóm và số máy của từng nhóm cần thiết để sản xuất ra một đơn vị sản phẩm thuộc mỗi loại được
cho trong bảng sau:
Nhóm

Số máy trong mỗi
nhóm

Số máy trong từng nhóm để sản xuất ra 1 đơn vi sản phẩm
Loại I

/>
Loại II

Trang 5


Các bài Toán thực tiễn

Nguyễn Bá Tuấn

A

10

2

2

B

4

0

2

C

12

2

4

Một đơn vị sản phẩm I lãi 3 nghìn đồng, một sản phẩm II lãi 5 nghìn đồng. Hãy lập phương án để việc
sản xuất hai loại sản phẩm trên có lãi cao nhất.
Giải
Gọi x là số đơn vị sản phẩm loại I, y là số đơn vị sản phẩm loại II được nhà máy lập kế hoạch sản xuất.
Khi đó số lãi nhà máy nhân được là P = 3x + 5y (nghìn đồng).

Các đại lượng x, y phải thỏa mãn các điều kiện sau:

 x  0, y  0
 x  0, y  0
2 x  2 y  10
x  y  5


(I) 

 II 
2 y  4
y  2
2 x  4 y  12
 x  2 y  6

3

B
2

A
C

1

O

2

4

D

1

Miền nghiệm của hệ bất phương trình (II) là đa giác OABCD (kể cả biên).
Bằng cách tìm tọa độ các đỉnh A, B, C, D rồi so sánh các giá trị tương ứng của F
Ta có biểu thức F = 3x + 5y đạt giá trị lớn nhất khi (x; y) là tọa độ đỉnh C(1;4).
Vậy trong các điều kiện cho phép của nhà máy, nếu sản xuất 4 đơn vị sản phẩm loại I và 1 đơn vị sản
phẩm đơn vị loại II thì tổng số tiền lãi lớn nhất bằng:
Fc = 3.4 + 5.1 = 17 nghìn đồng.
Bài toán 5. Một công ty sản xuất hai thực phẩm A, B. nguyên liệu sản xuất gồm 3 loại Bột, Đường,
Dẩu thực vật với trữ lượng tương ứng là 30 tấn, 12 tấn, 6 tấn. Để sản xuất 1 tấn thực phẩm loại A cần
0,5 tấn bột, 0.5 tấn đường và 0.2 tấn dầu thực vật. Để sản xuất 1 tấn thực phẩm loại B cần 0,8 tấn bột,
0.4 tấn đường và 0.4 tấn dầu thực vật. Giá bán 1 tấn thực phẩm loại A là 4000USD, giá bán 1 tấn thực

/>
Trang 6


Các bài Toán thực tiễn

Nguyễn Bá Tuấn

phẩm loại B là 4500USD. Hỏi cần sản suất mỗi loại thực phẩm bao nhiêu tấn để có doanh thu lớn
nhất?
Giải:
Theo đề bài ta lập được bảng:
Bột

(Tấn)

Đường
(Tấn)

Dầu thực vật
(Tấn)

Giá Bán
(USD)

Số Lượng Sản
Xuất (Tấn)

0,5

0,5

0,2

4000

X1

0,8

0,4

0,4

4500

30

12

6

?

Thực phẩm
loại A
Thực phẩm
loại B
Tổng Trữ

X2

Bài toán được viết lại:

 Max
Tìm x, y sao cho F  x   4000 x  4500 y 
 0,5 x  0,8 y  30
5 x  8 y  300
 0,5 x  0, 4 y 12
 5 x  4 y 120






0, 2 x  0, 4 y  6
 x  2 y  30
 x  0, y  0
 x  0, y  0
25

20

A15
10

B

5

20

10

O

10

20

C

30

5

Một số bài tập tự giải
Bài toán 1

/>
Trang 7


Các bài Toán thực tiễn

Nguyễn Bá Tuấn

 f  15 x1  19 x 2  min
3 x  x  3,
2
 1
x

x
,
 1
2  2,
3 x  4 x  7,
2
 1
 x1  0, x 2  0.
Bài toán 2. Một gia đình cần 900g chất protit và 400g chất lipit trong thức ăn mỗi ngày. Ta biết rằng
thịt bò chứa 80% protit và 20% lipit, thịt heo chứa 60% protit và 40% lipit, người ta chỉ mua nhiều
nhất 1600g thịt bò, 1100g thịt heo. Giá tiền 1kg thịt bò 72000 đồng, giá tiền 1kg thịt heo là 35000

đồng. Hỏi gia đình này phải mua mỗi loại thịt bao nhiêu để chi phí ít nhất?
Giáo viên: Nguyễn Bá Tuấn

/>
Trang 8