Các bài toán thực tiễn trong các đề thi trắc nghiệm

Giáo viên:Nguyễn Thị Thanh Hà
Trường THPT Cẩm Bình
Câu 1. Một người có 500 triệu gửi ngân hàng với chu kì 2 tháng với lãi suất mỗi tháng
là 0,5%, lãi suất không kì hạn là 0,1%. Hỏi sau một năm 3 tháng, tiền gốc lẫn lãi ngừoi
đó nhận được bao nhiêu?
Câu 2. Một màn ảnh chử nhật cao 1,4 m đặt ở độ cao 1,8 m so với tầm mắt (Tính đầu
mép dưới của màn ảnh). Để nhìn rõ nhất phải xác định vị trí đứng sao cho góc nhìn lớn
nhất. Hãy xác định vị trí đó?
Câu 3. Hãy xác định cách cắt đi ở bốn góc một tấm tôn hình chử nhật có kích thước
80cm x 50cm bốn hình vuông bằng nhau để khi gập lại được một chiếc hộp (không nắp
có dung tích lớn nhất).
Câu 4. Chi phí về nhiên liệu của một tàu được chia làm hai phần. Trong đó phần thứ
nhất không phụ thuộc vào vận tốc và bằng 480 ngàn đồng/giờ. Phần thứ hai tỷ lệ thuận
với lập phương của vận tốc, khi v = 10km/h thì phần thứ hai bằng 30 ngàn đồng/giờ.
Hãy xác định vận tốc của tàu để tổng chi phí nguyên liệu trên 1 km đường là nhỏ nhất?
Câu 5. Một nguồn điện có E = 60V và r = 30Ω . Mach ngoài là một biến trở R . Hãy xác
định giá trị của R để công suất mạch ngoài lớn nhất và tính giá trị đó.
Hướng dẫn giải:
Câu 1. Người đó gửi được 1 năm 4 tháng, nên được 7 chu kì 2 tháng với lãi suất 0,5%/
tháng, còn tháng cuối cùng vì chưa hết chu kì, nên chỉ được hưởng lãi suất không kì hạn
0,1%/ tháng.
Gọi un là số tiền nhận được tháng thứ n. Ta có:
u1 = 500 + 500.0,5% = 502,5

un +1 = un ( 1 + 0,5% ) = 1, 005un
Ta thấy u là cấp số nhân với công bội q = 1, 005

Vậy công thức tổng quát là: un = u1.q n −1 = 502,5.1, 005n −1
Số tiền nhận được sau 1 năm 3 tháng là:
P = u14 + u14 .0,1% = 502,5.1, 00513 ( 1 + 0, 001) ≈ 536, 6967 (triệu)
Câu 2. Với bài toán này ta cần xác định OA

để góc ·BOC lớn nhất, điều này xảy ra khi và chỉ khi
tan·BOC lớn nhất.
Đặt OA = x ( m ) với x > 0 , ta có

C
1,4
B
1,8
A

O

AC AB
−
·AOC − tan·AOB
tan
1, 4 x
tan·BOC = tan ·AOC −·AOB =
= OA OA = 2
1 + tan·AOC tan·AOB 1 + AC. AB x + 5, 76
OA2
1, 4 x
Xét hàm số f ( x) = x 2 + 5, 76 . Bài toán trở thành tìm x > 0 để f(x) đạt giá trị lớn nhất.

(

)

1

Ta có f '( x) =

−1, 4 x 2 + 1, 4.5, 76

( x + 5, 76 )

2

Ta có bảng biến thiên
x
f'(x)

; f '( x) = 0 ⇔ x = ±2, 4

0

2,4
0

+

_

+

84
193

f(x)

0
0
Vậy vị trí đứng cho góc nhìn lớn nhất là cách màn ảnh 2,4m
Câu 3. Gọi cạnh hình vuông được cắt đi là x (cm),

80 cm

0 < x < 25

x

Thể tích V của hộp là: V = x ( 80 − 2 x ) ( 50 − 2 x )

50 cm

Xét hàm số f ( x) = x ( 80 − 2 x ) ( 50 − 2 x ) (0 < x < 25)
Với x ∈ ( 0; 25) , ta có:
f '( x ) = 12 x 2 − 520 x + 4000; f '( x) = 0 ⇔ x = 10

BBT:
X
f’(x)
f(x)

0

10
0

+

25
-

Suy ra V đạt giá trị lớn nhất khi x = 10
Vậy để thể tích hộp lớn nhất, cần cắt bốn góc bốn hình vuông có cạnh x = 10 .
1
Câu 4. Gọi x (km/h) là vận tốc của tàu. Thời gian tàu chạy quảng đường 1km là
x

(giờ). Chi phí tiền nhiên liệu cho phần thứ nhất là

1
480
.480 =
(ngàn Đồng). Tại v = 10
x
x

1
.30 = 3 (ngàn đồng). Xét tại
10
vận tốc x(km/h): gọi y (ngàn Đồng) là chi phí cho quảng đường 1km tại vận tốc x, ta có
y = kx3, 3 = k103 (k là hệ số tỉ lệ giữa chi phí 1km đường của phần thứ hai và lập phương
km/h chi phí cho quảng đường 1km ở phần thứ hai là

3

y  x

của vận tốc), suy ra =  ÷ ⇔ y = 0, 003x3 . Vậy tổng chi phí tiền nhiên liệu cho 1km
3  10 
480
+ 0, 003 x 3 . áp dụng Đạo hàm ta có chi phí p nhỏ nhất khi tàu
đường là p = p( x) =
x

chạy với vận tốc x = 20 (km/h).
2

2

 E 
 60 
Câu 5. Ta có Png = RI = R 
÷ = R
÷
 R+r
 R + 30 
2

2


2

 60 
Như vậy bài toán trở thành: Tìm giá trị của R để hàm số Png = P( R) = R 
÷
 R + 30 

Đạt giá trị lớn nhất trên miền R ≥ 0 . Sử dụng đạo hàm ta tìm được R = 30Ω

3


Giáo viên: Đặng Huyền Phương
Trường THPT Nguyễn Du
Câu1. Vật huyển động chậm dần đều với vận tốc v(t ) = 160 − 10t (m / s) . Hỏi trong 3s trước
khi dừng lại hẳn, vật di chuyển được bao nhiêu m.
A. 16m
B. 130m
C. 390m
D. 45m
Hướng dẫn:
Vật dừng lại hẳn khi v(t ) = 0 ⇔ 160 − 10t = 0 ⇔ t = 16
Thời điểm 3s trước khi dừng hẳn: t = 13
16

Quãng đường cần tìm là: ∫ (160 − 10t )dt = 45
13

Vậy đáp án D
Câu 2. Năm 2001, dân số Việt Nam là 78685800 người. Tỷ lệ tăng dân số năm đó là
1,7%. Biết rằng sự sự tăng dân số ước tính theo thức S = Ae Nr , trong đó A là dân
số của năm lấy làm mốc tính, S: dân số sau N năm, r: tỉ lệ tăng dân số hàng năm.
Tăng dân số với tỉ lệ tăng như vậy thì đến năm nào dân số nước ta ở mức 120
triệu người.
A. 2026

B. 2122

C. 2020

D. 2025

Hướng dẫn:
Lấy năm 2001 làm mốc tính, ta có:
A = 78685800, r = 0, 017, S = 120.106

Từ bài toán:
120.106 = 78685800.e N .0,017
⇒ N = 24,825 ≈ 25

Tương ứng với năm: 2001+25=2026.

Đáp án A

Câu 3.
Anh Tú muốn sau 6 năm sẽ có 2 tỉ để mua nhà nên Anh gửi vào ngân hàng một khoản
tiền
tiết kiệm như nhau hàng năm. Hỏi anh gửi gần nhất với giá trị nào biết lãi suất ngân
hàng là
8% một năm và lãi hàng năm được được cộng vào vốn.
A. 253,5 triệu

B. 251 triệu

C. 253 triệu D. 252,5 triệu

Hướng dẫn
Gọi a là số tiền gửi vào hàng năm
Lãi suất r = 0, 08 (1 năm)
Sau 1 năm gửi, Anh Tú có : T1 = a + ar = a(1 + r ) = a.1, 08
Sau 2 năm gửi, Anh Tú có :
4


T2 = (T1 + a )(1 + r ) = (a.1, 08 + a).1, 08
= a.1, 082 + a.1, 08 = a(1, 082 + 1, 08)

PQ cho đến khi AB≡CËD để được mặt xung quanh của thùng đựng nước dạng lăng trụ :
Biết
T6 = a (1, 086 + 1, 085 + ... + 1, 08)
Sau 6 năm, Anh Tú có :
= a.1, 08(1, 085 + 1, 084 + ... + 1)
1, 086 − 1
0, 08
1, 086 − 1
2.109 = a.1, 08
⇒ a = 252435900
0, 08
= a.1, 08

Theo bài toán :
Đáp án D.

Câu 4. Từ một tấm tôn hình chữ nhật ABCD có AD=60m. Gò tấm tôn theo hai cạnh
MN và PQ cho đến khi AB ≡ CD để được mặt xung quanh của thùng đựng nước hình
lăng trụ. Biết

.AN=PD=x, tìm x để thùng có thể đựng được nhiều nước nhất.
A. x=20
B.x=30
C.x=45
D.x=40
B

M

Q

C

M

K

Q

B,C
x

x
A

N

P

D

P

N
A,D

Hướng dẫn
1
2

Gọi K là trung điểm QM ta có : QK = MQ = 30 − x
BK = BQ 2 − QK 2 = 60x − 900

S∆MBQ = (30 − x) 60x − 900

Xét hàm số f ( x) = (30 − x) 60x − 900 để có f ( x) đạt GTLN khi x=20 Vậy đáp án A
Câu 5. Lớp 10A Quyên góp làm bể bơi lưu động cho học sinh nghèo từ tấm tôn
có kích thước 1m × 20m , giá 1m2 tôn giá 90000 đồng bằng 2 cách :
Cách 1. Gò tấm tôn ban đầu thành một hình trụ như H1
Cách 2. Chia chiều dài tấm tôn thành 4 phần như hình vẽ rồi gò thành hình
hộp chữ nhật như H2.
Biết sau khi xây xong bể như dự tính, phải mua nước đổ dến 0,8 m. Giá nước bán
cho đơn vị sự nghiệp là 9955Đồng/m3. Với số tiền quyên góp được 2 triệu Đồng,
lớp 10A nên chọn cách nào để không vượt quá kinh phí.

5


6

A.
B.
C.
D.

4

6

4

Cả hai cách như nhau
Không chọn cách nào
Cách 1
Cách 2

Hướng dẫn
Giá tiền mua Tôn : 20.90000 = 1800000 .
Theo cách 1.
r là bán kính đáy hình trụ : 2π r = 20 ⇒ r =
10
π

10
π

80
π
80
796400

Tiền mua nước .9955 =
π
π
796400
= 2053501,993
chi phí theo cách 1 : 1800000 +
π
Theo Cách 2, tiền nước : 4.6.0,8.9955 = 191136

Thể tích nước π r 2 h = π ( ) 2 .0,8 =

Chi phí : 1800000+191136=1991136
Đáp án : C

Giáo viên: Phạm Hồng Dương
6


Trng THPT Nguyn Hu
Bi 1. Cần phải thiết kế các thùng dạng hình trụ có nắp đậy để đựng các sản phẩm đã
đợc chế biến, có dung tích V(cm 3). Hãy xác định các kích thớc của nó để tiết kiệm vật
liệu nhất?
Gii
Gọi bán kính hình trụ là x (cm) (x > 0), khi đó ta có diện tích của hai đáy thùng là

S 1 = 2 x 2 .
Diện tích xung quanh của thùng là: S2 = 2 x h = 2 x

V
2V

2 =
x
x

(trong đó h là chiều cao của thùng và từ V = x 2 .h ta có h =
Vậy diện tích toàn phần của thùng là: S = S1 + S2 = 2x 2 +

V
).
x2
2V
x

Để tiết kiệm vật liệu nhất thì S phải bé nhất. áp dụng Bất đẳng thức Côsi ta có S =
V V
V 2
3
2( x + +
) 2.3
.
2x 2x
4
2

Do đó S bé nhất khi x 2 =

h

V
V

x = 3
.
2x
2
2R

Bi 2.
Một màn ảnh chữ nhật cao 1,4m đợc đặt ở độ cao 1,8m so với tầm mắt (tính đầu mép dới
của màn ảnh). Để nhìn rõ nhất phải xác định vị trí đứng sao cho góc nhìn lớn nhất. Hãy
xác định vị trí đó?
Gii.
C
Với bài toán này ta cần xác định OA để góc BOC lớn

1,4

nhất, điều này xảy ra khi và chỉ khi tgBOC lớn nhất.

B

Đặt OA = x (m) với x > 0, ta có tgBOC = tg(AOC - AOB) 1,8
A
7

O


AC AB

tgAOC tgAOB

OA
OA
=
=
AC.AB
1 + tgAOC.tgAOB
1+
OA 2
Xét hàm số f(x) =

1,4
1,4x
x
=
= 2
.
3,2.1,8
x + 5,76
1+
x2

1,4x
x 2 + 5,76

Bài toán trở thành tìm x > 0 để f(x) đạt giá trị lớn nhất.
1,4 x 2 + 1,4.5,76
Ta có f'(x) =
, f'(x) = 0 x = 2,4
(x 2 + 5,76) 2
Ta có bảng biến thiên

x
f'(x)

0
+

2,4
0

_

+

84
193

f(x)

0

0

Vậy vị trí đứng cho góc nhìn lớn nhất là cách màn ảnh 2,4m.
Bi 3. Từ một khúc gỗ tròn hình trụ, cần xẻ thành một chiếc xà có tiết diện ngang là
hình vuông và 4 miếng phụ nh hình vẽ. Hãy xác định kích thớc của các miếng phụ để
diện tích sử dụng theo tiết diện ngang là lớn nhất?
Gii
Gọi x, y là chiều rộng, chiều dài của miếng phụ nh hình vẽ. Gọi d là đờng kính của
khúc gỗ, khi đó ta có tiết diện ngang của thanh xà có cạnh là
x

d
d(2 2 )
và 0 < x <
,0.
2
4

y

d
2

A

B
d

Theo bài ra ta đợc hình chữ nhật ABCD
D

nh hình vẽ, theo Định lý Pitago ta có
2

1
d

2
2

d 2 8x 2 4 2x
2x +
+y =d y=
2
2


8

C


Suy ra S = S(x) =

1
x d 2 4 2dx 8x 2
2

với 0 < x <

d(2 2 )
, S là diện tích
4

một miếng phụ. ứng dụng Đạo hàm ta có S lớn nhất khi và chỉ khi
x=

34 3 2
d.
16

Bi 4.
Chi phí về nhiên liệu của một tàu đợc chia làm hai phần. Trong đó phần thứ nhất không
phụ thuộc vào vận tốc và bằng 480 ngàn đồng/giờ. Phần thứ hai tỷ lệ thuận với lập phơng của vận tốc, khi v = 10km/h thì phần thứ hai bằng 30 ngàn đồng/giờ. Hãy xác định
vận tốc của tàu để tổng chi phí nguyên liệu trên 1 km đờng là nhỏ nhất?
Gii
Gọi x (km/h) là vận tốc của tàu. Thời gian tàu chạy quảng đờng 1km là

phí tiền nhiên liệu cho phần thứ nhất là

1
(giờ). Chi
x

1
480
.480 =
(ngàn Đồng). Tại v = 10 km/h chi
x
x

phí cho quảng đờng 1km ở phần thứ hai là

1
.30 = 3 (ngàn đồng). Xét tại vận tốc
10

x(km/h): gọi y (ngàn Đồng) là chi phí cho quảng đờng 1km tại vận tốc x, ta có y = kx 3,
3 = k103 (k là hệ số tỉ lệ giữa chi phí 1km đờng của phần thứ hai và lập phơng của vận
3

y x
tốc), suy ra = y = 0,003x 3 . Vậy tổng chi phí tiền nhiên liệu cho 1km đờng
3 10
là p = p(x ) =

480
+ 0,003 x 3 . áp dụng Đạo hàm ta có chi phí p nhỏ nhất khi tàu chạy
x

với vận tốc x = 20 (km/h).
Bi 5. Với một đĩa tròn bằng thép trắng phải làm một cái phễu bằng cách cắt đi một
hình quạt của đĩa này và gấp phần còn lại thành hình nón. Cung tròn của hình quạt bị
cắt đi phải bằng bao nhiêu độ để hình nón có thể tích cực đại?

9


Gii . Gọi x là chiều dài cung tròn của phần đĩa đợc xếp làm hình nón. Nh vậy, bán
kính R của đĩa sẽ là đờng sinh của hình nón và vòng tròn đáy của hình nón sẽ có độ dài
là x. Bán kính r của đáy đợc xác định bởi đẳng thức 2 r = x r =

x
. Chiều cao
2

của hình nón tính theo Định lý Pitago
là: h =

R r =

2

2

x2
. Thể tích của khối nón
R
42

r

2

1
x
sẽ là: V = r 2 .H =
3
3 2

2

R2

h

x2
.
42

R

áp dụng Bất đẳng thức Côsi ta có:
x2
x2
x2
2
+
+R
42 x 2 x 2
x2
4 2 82 82
2
2
42
V =
. 2 . 2 (R
)

9 8 8
42
9
3


x2
x2
2
Do đó V cực đại khi và chỉ khi 2 = R
8
4

x=

3


42 R 6
=
.
9 27




2
R 6 5,15R
3

Số đo của cung x tính bằng độ xấp xỉ bằng 295 o và do đó cung của hình quạt đã
cắt đi là 65o.

10


Giáo viên:Trần Duy Điệp
Trường THPT Trần Phú.
Bài toán 1:( Quạ khát nước)
Một con quạ khát nước nhìn thấy một cái bình có thân và cổ đều hình trụ. Trong bình có
chứa một ít nước, nó liền cắp các viên đá hình cầu có đường kính bằng 3cm thả vào
trong bình. Biết mặt trong thân bình có đường kính là 16cm, mặt trong cổ bình có

đường 4cm, cổ bình cao 6cm và khoảng cách từ mặt nước đến cổ bình là 3cm. Giả sử
nước trong bình đủ để ngập tất cả các viên đá mà nó thả vào. Hỏi con quạ cần thả bao
nhiêu viên đá vào để nước dâng đầy bình?
A. 71
B. 53
C. 48
D.51
Bài toán 2:
Từ một tấm tôn hình tròn có đường kính bằng 120cm. Người ta cắt tấm tôn thành 2
phần bằng nhau và làm thành 2 cái nón (như hình vẽ). Hỏi tổng thể tích của 2 cái nón đó
là bao nhiêu?
A. 9000 3π cm3
B. 18000 3π cm3
C. 12000 3π cm3
D. 16000 3π cm3
Bài toán 3: (Nuôi heo)
Một con heo giống nặng 3kg. Mỗi ngày heo ăn một lượng thức ăn bằng 0,5 trọng lượng
cơ thể của nó và cứ ăn 1kg thức ăn thì nó tăng được 0,2 kg. Hỏi nuôi một con heo giống
sau một tháng (30 ngày) lãi được bao nhiêu nghìn đồng(chưa tính những chi phí khác),
biết giá 1kg thức ăn là 4 nghìn và 1kg thịt heo sống (chưa làm thịt, kể cả heo giống) là
80 nghìn và giá thức ăn, thit heo không thay đổi trong tháng đó?
A. 2110, 292408
B. 2960,892408
C. 1350, 212008
D. 1520,112403
Bài toán 4: (Chiếc cốc thủy tinh)
Để làm một chiếc cốc bằng thủy tinh hình trụ với đáy cốc dày 1,5cm, thành xung quanh
cốc dày 0,2 cm và có thể tích thật (thể tích nó đựng được) là 480πcm3 thì người ta cần
ít nhất bao nhiêu cm3 thủy tinh?
A) 75,66 π cm3 .

B) 71,16 π cm3 .
C) 85,41 π cm3 .
D ) 84,64 π cm3 .

Bài toán 5: (Hình nón)
Từ một tấm tôn hình tròn có đường kính bằng 60 cm. Người ta cắt bỏ đi một hình quạt
S của tấm tôn đó, rồi gắn các mép vừa cắt lại với nhau để được một cái nón không có
nắp( như hình vẽ). Hỏi bằng cách làm đó người ta có thể tạo ra cái nón có thể tích lớn
nhất bằng bao nhiêu?
A. 1800 3.π (cm3 )
B. 2480 3.π (cm3 )
S
11


C. 2000 3.π (cm3 )

D. 1125 3.π (cm3 )

ĐÁP ÁN
Bài toán 1:( Quạ khát nước)
Một con quạ khát nước nhìn thấy một cái bình có thân và cổ đều hình trụ. Trong bình có
chứa một ít nước, nó liền cắp các viên đá hình cầu có đường kính bằng 3cm thả vào
trong bình. Biết mặt trong thân bình có đường kính là 16cm, mặt trong cổ bình có
đường 4cm, cổ bình cao 6cm và khoảng cách từ mặt nước đến cổ bình là 3cm. Giả sử
nước trong bình đủ để ngập tất cả các viên đá mà nó thả vào. Hỏi con quạ cần thả bao
nhiêu viên đá vào để nước dâng đầy bình?
A. 71
B. 53
C. 48

D.51
HD:
2
Thể tích phần không gian không chứa nước trong bình là V1 = 3.π 82 + 6.π ( 2 ) = 216π
3

 
Thể tích của 1 viên đá là V2 = π  ÷ = π .
3 2 2
4

3

9

V1 216π
=
= 48
Vậ y số viên đá qua cần thả vào bình là: V2 9 π
viên.
2

Bài toán 2:
Từ một tấm tôn hình tròn có đường kính bằng 120cm. Người ta cắt tấm tôn thành 2
phần bằng nhau và làm thành 2 cái nón (như hình vẽ). Hỏi tổng thể tích của 2 cái nón đó
là bao nhiêu?
A. 9000 3π cm3
B. 18000 3π cm3
C. 12000 3π cm3
D. 16000 3π cm3

HD:
2
  2π 60 2 
 2π 60 

÷
÷

÷ 1
1
1
1 
V = Bh = ( r 2π ) . R 2 − r 2 =   2 ÷ π ÷. 60 2 −  2 ÷ = ( 302 π ) . 602 − 302 = 9000 3π cm 3
3
3
3   2π ÷ ÷
 2π ÷ 3

÷






⇒ 2V = 18000 3π cm3

Bài toán 3: (Nuôi heo)
Một con heo giống nặng 3kg. Mỗi ngày heo ăn một lượng thức ăn bằng 0,5 trọng lượng
cơ thể của nó và cứ ăn 1kg thức ăn thì nó tăng được 0,2 kg. Hỏi nuôi một con heo giống

sau một tháng (30 ngày) lãi được bao nhiêu nghìn đồng(chưa tính những chi phí khác),
biết giá 1kg thức ăn là 4 nghìn và 1kg thịt heo sống (chưa làm thịt, kể cả heo giống) là
80 nghìn và giá thức ăn, thit heo không thay đổi trong tháng đó?
A. 2110, 292408
B. 2960,892408
C. 1350, 212008
D. 1520,112403
HD:Trọng lượng của heo sau 1 tháng là 3. ( 1 + 0, 5.0, 2 ) = 3. ( 1 + 0,1)
30

12

30


1
30
30
Tổng trọng lượng thức ăn của heo sau 1 tháng là 3. ( 1 + 0,1) − 3 . 0, 2 = 3. ( 1 + 0,1) − 3 .5

Số

tiền

lãi

sau

1

tháng

là:

3. ( 1 + 0,1) − 3 .80 − 3. ( 1 + 0,1) − 3 .20 = ( 1,1) − 1 .3.60 = 2960,892408






30

30

30

Bài toán 4: (Chiếc cốc thủy tinh)
Để làm một chiếc cốc bằng thủy tinh hình trụ với đáy cốc dày 1,5cm, thành xung quanh
cốc dày 0,2 cm và có thể tích thật (thể tích nó đựng được) là 480πcm3 thì người ta cần
ít nhất bao nhiêu cm3 thủy tinh?
A) 75,66 π cm3 .
B) 71,16 π cm3 .
C) 85,41 π cm3 .
D ) 84,64 π cm3 .

HD:Gọi x và h lần lượt là bán kính và chiều cao của cốc,
480

2

ta có ( 0, 4 < x ) và ( x − 0, 2 ) ( h − 1, 5) π = 480π ⇔ h = x − 0, 2 2 + 1,5
(
)

Thể tích thủy tinh cần là:
⇒V ' =

 480

V = π x 2 h − 480π = x 2 
+
1,5
 π − 480π
2
 ( x − 0, 2 )


2x

1,5 ( x − 0, 2 ) 3 − 480.0, 2  π V ' = 0 ⇔ x = 3 480.0, 2 + 0, 2 = 4, 2
 ;
( x − 0, 2 ) 
1,5
3

x
V’
V

0,4

4,2

+∞

-

0

+

75,66 π
Bài toán 5: (Hình nón)
Từ một tấm tôn hình tròn có đường kính bằng 60 cm. Người ta cắt bỏ đi một hình quạt
S của tấm tôn đó, rồi gắn các mép vừa cắt lại với nhau để được một cái nón không có
nắp (như hình vẽ). Hỏi bằng cách làm đó người ta có thể tạo ra cái nón có thể tích lớn
nhất bằng bao nhiêu?
A. 1800 3.π (cm3 )
B. 2480 3.π (cm3 )
C. 2000 3.π (cm3 )
D. 1125 3.π (cm3 )
S

13


HD: Gọi x là độ dài dây cung của phần còn lại
của tấm tôn, 0 < x < 2π, và gọi V là thể tích nón đó, ta có
2

2

2

2

1
1
1 x 
x 2  2π 30   x 
1
 x 
V = Bh = ( r 2π ) . R 2 − r 2 = .  ÷ π . 302 −  ÷ =
. 
.x 2
÷ − ÷ =
2
3
3
3  2π 
 2π  12π  2π   2π  24π

2

2 
x  8 ( π R ) − 3x 
2
V '( x) =
.
; f '( x) = 0 ⇔ x =

. ( 2π R ) = 20 6.π .
2
24π  ( 2π R ) 2 − x 2 
3


x
20 6.π
0

60 π

V’(x)
V(x)

+

0

-

2000 3.π (cm )
3

14

( 60π )

2

− x2


Giáo viên :Hoàng Bá Dũng
Trường THPT Lê Quý Đôn
Câu1. Một người gò một tấm nhôm hình chử nhật có chiều dài 4m và chiều rộng 2m
thành một cái thùng hình trụ đặt trên nền nhà để đựng lúa. Nếu gò tấm nhôm theo chiều
dài (Trục đứng là chiều rộng) thì số lúa đựng được như thế nào so với tấm nhôm được
gò theo chiều rộng (Trục đứng là chiều dài).
A. Số lúa đựng được bằng nhau.
B. Số lúa đựng được bằng một nữa.
C. Số lúa đựng được gấp hai lần.

4m

D. Số lúa đựng được gấp bốn lần.

2m

Gò theo chiều rộng

Gò theo chiều dài

Hướng dẫn:
Gọi R là bán kinh dường tròn đáy khi gò tấm nhôm theo chiều dài:
4=2 π R, ta được R =

2
2
8

, V1= ( ) 2 π .2 = (m3)
π
π
π

Gọi R' là bán kinh dường tròn đáy khi gò tấm nhôm theo chiều rộng: ta có
1
π

1
π

4
π

R' = . Ta được V2= ( ) 2 π .4 = (m3) .
Vậy V1=

1
V2.Đáp án C.
2

Câu2: Một vật đang chuyển động với vận tốc 160 m/s thì gặp vật cản nên chuyển động
chậm dần đều với vận tốc v(t)=160-10t(m/s), trong đó t là thời gian tính bằng giây kể từ

15


khi gặp vật cản. Tính từ khi vật bắt đầu chuyển động chậm dần đều đến thời gian t =
2(s) vật chuyển động được một quảng đường là:

A. 320(m)

B . 300(m)

C.180(m)

D.140(m)

Hướng dẫn:
+) S(t)= 160t-5t2
+) t=2(s) ta có s=300(m)
Câu3: Một người cần làm một thùng bằng nhôm, có dạng là một hình lăng trụ đứng có
đáy là hình vuông. Biết thể tích của thùng cần đóng bằng 4m 3, thùng chỉ có một nắp
đáy dưới ( không có nắp đậy ở phía trên). Biết giá của nhôm là 550.000 đồng/ m 2 . Để
đóng được cái thùng như trên người đó cần mua ít nhất số tiền mua nhôm là:
A. 5.500.000 (đồng)
B. 6000.000 (đồng)
C. 6.600.000 (đồng)
D. 7.200.000 (đồng)
Hướng dẫn:
+) Đặt x là kích thước cạnh đáy, y là chiều cao. Sxq= 4xy, Sd = x2 (m) (một đáy)
Diện tích toàn bộ của thùng là:Stp= 4xy+ x2
4
x

V= x2y=4, suy ra: xy = , Stp= 4xy+ x2 =

16
8 8
+ x2 = + +x2≥ 12

x
x
x

Vậy giá trị nhỏ nhấtt của diện tích toàn phần: 12(m2).
Số tiền ít nhất để mua số nhôm đó là: 12.5500=660.000(đồng)
+ t=2(s) ta có s=300(m)
Câu 5. Anh Nam đi xe máy xuất phát vị trí A với chuyển động nhanh dần đều, 30 phút
sau thì đạt vận tốc 30 km/h. Từ thời điểm đó anh Nam đi xe với chuyển động thẳng đều.
Anh Cường xuất phát từ vị trí A (cùng chiều với anh Nam) nhưng chậm hơn 30 phút so
với anh Nam và chuyển động nhanh dần đều. Biết rằng sau 1 giờ (kể từ lúc anh Cường
xuất phát ) thì anh Cường và anh Nam gặp nhau. Vận tốc của anh Cường tại thời điểm
gặp nhau là.
A. 65 (km/h)
D.80 (km/h).

B.70(km/h)

C. 75 (km/h)

Hướng dẫn: (Bài này thuộc ý nghĩa của tích phân trong vật lý)
1
2

Gọi vận tốc của anh Nam tại thời điểm t là v(t)= at.(t tính theo giờ). Ta có a =30, ta
được a=60.
Vậy vận tốc của anh Nam tại thời điểm t là v(t)=60t, khi đó quảng đường khi anh Nam
t

chuyển động nhanh dần đều là tại thời điểm t là: S(t)= ∫ 60 xdx =.60.

0

16

t2
= 30t2.
2


1
2

Tại thời điểm t= ,quảng đường anh Nam đi được là: S=

15
(km).
2

+) Quảng đường khi anh Nam chuyển động đều là 30(km).
Tổng quảng đường anh Nam và anh Cường khi gặp nhau là S=

15
75
+30 = (km).
2
2

Gọi vận tốc anh Cường tại thời điểm t là V(t) = bt.
t

Quảng đường của anh Cường tại thời điểm t là S(t) = ∫ bxdx = b.
0

Khi t = 1giờ, ta có b.

2

1
=
2

t2
.
2

75
, ta tìm được b=75. Vậy vận tốc của anh cường tại thời
2

điểm hai người gặp nhau: 75(km/h)
Câu 5: Sự tăng trưởng của một loại vi khuẩn tuân theo công thức S = Ae r .t , trong đó A là
số lượng vi khuẩn ban đầu, r là tỉ lệ tăng trưởng (r>0), t là thời gian tăng trưởng. Biết
rằng số lượng vi khuẩn ban đầu là 100 con và sau 5 giờ có 300 con. Hỏi sau bao lâu số
lượng vi khuẩn ban đầu tăng lên gấp 10 lần?
A. 6giờ29 phút

B. 8giờ 29 phút

C. 7giờ 29phút

Hướng dẫn: Từ giả thiết ta có 300=100. e 5r . Từ đó ta tìm được r =
ln 3

D. 10giờ29 phút
ln 3
.
5

Theo yêu cầu bài toán: 1000=100. e t 5 . Từ đó tìm được t.

17


Giáo viên: Lại Thị Hạnh
Trường THPT Chuyên Hà Tĩnh
Câu 1. Bạn An muốn mua một chiếc máy tính xách tay trị giá 15 triệu đồng. Để có tiền
mua máy, hàng tháng bạn An tiết kiệm và gửi vào ngân hàng một số tiền như nhau theo
chính sách lãi kép với lãi suất 5% /năm, kỳ hạn 1 tháng. Hỏi để sau một năm có 15
triệu mua máy bạn An cần gửi vào ngân hàng mỗi tháng số tiền là bao nhiêu?
62500
A. (1 + 5 %)[(1 + 5 %)12 − 1] (đồng )
12
12
62500
C.
(đồng)
12

62500
B. (1 + 5 %)[(1 + 5 %).12 − 1] (đồng )

12
12

D. 62500 (đồng)

Hướng dẫn: Gọi a là số tiền mà hàng tháng bạn An cần gửi vào ngân hàng và đặt
r=

5
%
12

tháng là lãi suất theo kỳ hạn 1 tháng ta có:

- Cuối tháng thứ 1, nếu An nhận thì được số tiền: A1=a(1+r)
- Cuối tháng thứ 2, nếu An nhận thì được số tiền:
A2=( A1+a)(1+r)=a(1+r)2+a(1+r)
- Cuối tháng thứ 3, nếu An nhận thì được số tiền:
A3=(A2+a)(1+r)=a (1+r)3+a(1+r)2+a(1+r)
- … Cuối tháng thứ 12, số tiền An nhận được:
A12 = a ( 1 + r ) + a ( 1 + r )
12

Như vậy ta có:

a (1 +

11

a(1 + r )[(1 + r )12 − 1]

+…. + a ( 1 + r ) =
r

5
5
%)[(1 + %)12 − 1]
62500
12
12
= 15000000 ⇔ a =
5
5
5
%
(1 + %)[(1 + %)12 − 1]
12
12
12

Đáp án A

Câu 2. Dân số của một tỉnh X năm 2016 là 8326550. Biết rằng tỉ lệ tăng dân số hàng
năm của tỉnh X là 0,9%. Hỏi đến năm 2026 dân số của tỉnh X là bao nhiêu?
A. 8326550. e0,09 B. 8326550. e0,9
C. 8326550.1,09
D. 8326550.1,009
(Đáp án A)
Câu 3. Một vật xuất phát từ A chuyển động thẳng và nhanh dần đều với vận tốc v(t) =
1+2t (m/s). Tính vận tốc tại thời điểm mà vật đó cách A 20m?(Giả thiết thời điểm vật
xuất phát từ A tương ứng với t = 0)

A. 6m/s
B. 7m/s
C. 8m/s
D. 9m/s
Hướng dẫn: Gọi t0 là thời điểm mà vật đó cách A 20m ta có:
18


 t0 = 4
2
(1
+
2
t
)
dt
=
20
⇔
t
+
t
=
20
⇔
0
0
t = −5(loai)
∫0
0

t0

Vậy: v(t0) = 1+2.4=8 (m/s). Đáp án C
Câu 4. Một nhà máy sản xuất vỏ hộp cần sản xuất một loại hộp có thể tích V theo một
trong hai hình dạng là hình lập phương hoặc hình trụ có cùng chiều cao. Để lựa chọn
hình dạng tối ưu cho việc tiết kiệm nguyên vật liệu người ta cần tính tỉ số diện tích toàn
phần của hai loại hình trên. Gọi S 1 là diện tích toàn phần của hình lập phương, S 2 là
S1

diện tích toàn phần của hình trụ thì S bằng:
2

S1

S1

3

S

π +1

S1

1

A. S = 1
B. S =
C. 1 =

D. S = 2
π +1
S2
3
2
2
2
Hướng dẫn: Gọi r là bán kính của đáy hình trụ, a là chiều cao của hình trụ thì a cũng là
V = a 3 = a.2 π r + 2π a 2 ⇒ a = π .r
độ dài cạnh của hình lập phương . Ta có:
S1 = 6a 2 = 6π r 2 , S 2 = a.2π r + 2π r 2 = 2π r 2 ( π + 1)
⇒

S1
3
=
S2
π +1

Đáp án B
Câu 5. Một vật N1 có dạng hình nón có chiều
cao bằng 40cm. Người ta cần vật N1 bằng một
mặt cắt song song với mặt đáy của nó để được
một hình nón nhỏ N2 có thể tích bằng

1
thể
8

tích N1.Tính chiều cao h của hình nón N2?

A. 5 cm

B. 10 cm

C.20 cm

Hướng dẫn: Gọi V1, V2 lần lượt là thể tích của N1và
N2 và r1, r2 lần lượt là bán kính đáy của N1, N2 ta có:
1 2
π r .h
1 V2 3 2
r 2h
= =
= 22
8 V1 1 π r 2 .40 r1 .40
1
3

19

D. 40 cm


r

h

2
Mặt khác ta có: r = 40
1

Do đó ta có:

1
h
h 1
= ( )3 ⇔
= ⇔ h = 20 cm
8 40
40 2

Đáp án C

20


Giáo viên: Lê Thị Hòa
Trường THPT Chuyên Hà Tĩnh
Câu 1.
Bác năm trồng cây ăn quả năm nay trúng mùa nên cuối vụ thu hoạch tiết kiệm được
68000000 đồng. Bác Năm quyết định gửi hết số tiền đó vào ngân hàng theo chính
sách lãi kép (nghĩa là số tiền lãi sinh ra mỗi năm gửi không rút ra mà được cộng vào
vốn để sinh lời tiếp), dự kiến gửi 3 năm với lãi suất ngân hàng hiện tại là 7,5% năm.
Hỏi sau 3 năm, bác Năm thu về cả vốn lẫn lãi bao nhiêu.
A. 80.432.789,5 đồng
B. 84.476.187,5 đồng
C.82.248.745,5 đồng
D. 85.532.789,5 đồng
Hướng dẫn giải
Đặt a=68.000.000 đồng

Số tiền có được sau 1 năm là a(1+0,075)=1,075a
Số tiền có được sau 2 năm là 1,075a(1+0,075)= 1, 0752 a
Số tiền có được sau 3 năm là 1, 0752 a (1+0,075)= 1, 0753 a
Thay a=68.000.000 sau 3 năm số tiền thu được là 84.476.187,5 đồng
Đáp án đúng là B
Câu 2
Người A gửi một số tiền vào ngân hàng theo mức lãi suất tiết kiệm với kì hạn 1 năm
là 6%. Tuy nhiên sau kì hạn một năm người A không đến nhận tiền lãi mà để thêm
một năm nữa mới lấy. Khi đó số tiền lãi có được sau năm đầu tiên sẽ được ngân hàng
cộng dồn vào số tiền gửi ban đầu để thành số tiền gửi cho năm kế tiếp với mức lãi
suất cũ. Sau 2 năm người A nhận được số tiền 112.360.000 đồng (kể cả gốc lãn
lãi).Hỏi ban đầu người A đã gửi bao nhiêu tiền.
A. 90.000.000 đồng
B. 95.000.000 đồng
C.100.000.000 đồng
D.105.000.000 đồng
Hướng dẫn giải.
Gọi số tiền người A gửi ban đầu là x đồng
Số tiền có được sau 1 năm của người A là x+0,06x=1,06x
Số tiền sau 2 năm người A nhận được 1,06x.1,06=1,1236x
Theo giả thiết ta có 1,1236x=112360000 ⇔ x=100.000.000 đồng
Đáp án đúng C
Câu 3. Một vật chuyển động với vận tốc v(t) (m/s) có gia tốc v’(t) =

3
(m / s 2 )
t+2

Vận tốc ban đầu của vật là 5m/s.Hỏi vận tốc của vật sau 10 giây ( làm tròn kết quả
đến hàng đơn vị)

A.12,45
B.7,45
C.2,45
D. 6,45
Hướng dẫn giải
V(t)=3ln|t+2|+5
V(10)=3ln12+5 ≈ 12, 45m / s
Đáp án đúng là A
21


Cõu 4. Mt cc nc cú dng hỡnh tr ng nc chiu cao 12cm, ng kớnh 4cm,
lng nc trong cc cao 10cm. Th vo cc nc 4 viờn bi cú cựng ng kớnh
2cm. Hi nc dõng cao cỏch mộp cc bi cao nhiờu cm (lm trũn sau du phy hai
ch s thp phõn).
A. 0,33cm
B.0,25cm
C.0,75cm
D. 0,67cm
Hng dn gii.
Ban u nc trong cc cỏch mộp cc 12-10=2cm.
4
3

Th tớch ca 4 hũn bi l 4. =

16
.Gi h l chiu cao mc nc dõng lờn so vi thi
3

im ban u. Th tớch khi tr tng ca cc tng ng vi chiu cao h l
.22.h = 4 h
16
4
4
h = .Vy nc dõng cao cỏch mộp cc 2 0.67cm .
Ta cú 4 h =
3
3
3

ỏp ỏn ỳng l D
Bi 5. Một màn ảnh chữ nhật cao 1,4m đợc đặt ở độ cao 1,8m so với tầm mắt (tính
đầu mép dới của màn ảnh). Để nhìn rõ nhất phải xác định vị trí đứng sao cho góc
nhìn lớn nhất. Hãy xác định vị trí đó?
C
A. 2,3
B. 2,4
1,
C.2,5
D. 2,6
4
B
Hng dn gii
1,
Với bài toán này ta cần xác định OA để góc BOC lớn
8
nhất, điều này xảy ra khi và chỉ khi tanBOC lớn nhất.
A
O

Đặt OA = x (m) với x > 0, ta có tan BOC = tan AOC AOB ữ


AC AB

tan AOC tan AOB
OA OA
=
=


AC. AB
1 + tan AOC .tan AOB
1+
OA 2




1,4 x



1,4
1,4x
x

=
= 2
.
3,2.1,8
x + 5,76
1+
x2

Xét hàm số f(x) = x 2 + 5,76
Bài toán trở thành tìm x > 0 để f(x) đạt giá trị lớn nhất.
1,4x 2 + 1,4.5,76
Ta có f'(x) =
, f'(x) = 0 x = 2,4. Ta có bảng biến thiên
(x 2 + 5,76) 2
x
f'(x)

0
+

2,4
0

_

+

84
193

f(x)
0

0

Vậy vị trí đứng cho góc nhìn lớn nhất là cách màn ảnh 2,4m. ỏp ỏn ỳng l B
22


Giáo viên: Đặng Thị Quỳnh Hoa
Trường THPT Nghèn
Câu 1: Độ giảm huyết áp của một bệnh nhân được đo bởi công thức G(x) =
0,0025x2(30-x)
trong đó x(mg) và x > 0 là liều lượng thuốc cần tiêm cho bệnh nhân. Để huyết áp
giảm
nhiều nhất thì cần tiêm cho bệnh nhân một liều lượng bằng:
A. 15mg
B. 20mg
C. 30mg
D. 40mg
HD giải:
Cách 1: Đưa G(x) về hàm bậc 3 rồi lập BBT và kết luận.
Cách 2: Dùng bđt Cau-Chy Cho 3 số:
3

0, 025  x + x + (60 − 2 x ) 
÷ = 100 . Dấu
G(x) = 0,0025x 2(30-x) = 0,0025x x (60-2x) ≤ 2 
3


bằng xảy ra
khi và chỉ khi x = 60 - 2x hay x = 20mg.
Cách 3: Thay x bằng các kết quả ở A, B, C, D vào G(x) và dùng MTCT tính và
so sánh rồi
kết luận.
Kết quả: B. 20mg
Câu 2: Một cái hộp hình hộp chữ nhật không nắp được làm từ một mảnh bìa cứn
(xem hình bên). Hộp có đáy là hình vuông cạnh x(cm), chiều cao là h (cm) và thể
tích của khối hộp chữ nhật đó
là 500cm3. Gọi S(x) là diện tích của mảnh bìa cứng theo x. Tìm x sao cho chiếc hộp
được làm
ra tốn ít nguyên liệu nhất?
h
h
A. x = 8cm
B. x = 9cm
C. x= 10cm
x
D. x = 11cm
h
HD giải:
Theo giả thiết ta có: x2h = 500. (1)
Cần tìm x để
23

x

h

F(x) = 4xh + x2 đạt GTNN. Rút h từ (1) thay vào F(x) có
F(x) =
+ 2x.
Đưa về bài toán tìm GTNN của F(x) khi x > 0.
Lập BBT.
Hoặc thay các kết quả x vào F(x), dùng MTCT tính và so sánh.
Kết quả: C. x= 10cm
Câu 3: Tỉ lệ tăng dân số của Việt Nam hằng năm là 1,07%. Dân số Việt Nam năm
2000 ước tính là 78 triệu người. Hỏi với tỉ lệ tăng dân số như trên thì từ năm 2000
đến năm 2016, dân số Việt Nam sẽ tăng thêm bao nhiêu người?
16
B. 78.[(1, 0107) − 1] triệu người

16
A. 78.(1, 0107) triệu người

C. 78.(0, 0107) triệu người
D. 78.[(1, 0107) − 1] triệu người
HD giải:
Số dân Việt Nam sau n năm là: A.(1 + i)n
Từ năm 2000 đến năm 2016 dân số Việt Nam sẽ tăng thêm: A.[(1 + i) n - 1]
16

15

người.
Kết quả: B. 78.[(1, 0107) − 1] triệu người.
Câu 4: Vi khuẩn HP(Helicobacter pylori) gây đau dạ dày tại ngày thứ t là với số
lượng là F(t), biết nếu phát hiện sớm khi số lượng không vượt quá 4000 con thì bệnh

16

nhân sẽ được cứu chữa. Biết F’(t) =
và ban đầu bệnh nhân có 2000 con vi
khuẩn. Sau 15 ngày bệnh nhân phát hiện ra bị bệnh. Hỏi khi đó có bao nhiêu con vi
khuẩn trong dạ dày(lấy xấp xỉ hàng thập phân thứ hai) và bệnh nhân có cứu chữa
được không?
A. 5433,99 và không cứu được
B. 1499,45 và cứu được
C. 283,01 và cứu được
D. 3716,99 và cứu được
HD giải:
Số vi khuẩn trong người sau 15 ngày là:
2000 +
= 2000 + 500ln(2t+1) = 3716,99.
Kết quả: D. 3716,99 và cứu được
Câu 5: Một thầy giáo dự định xây bể bơi di động cho học sinh nghèo miền núi từ
một tấm tôn có kích thước 1m.20m( biết giá 1m2 tôn là 90000đ) bằng 2 cách:
Cách 1: Gò tấm tôn ban đầu thành một hình trụ như hình 1.
Cách 2: Chia chiều dài tấm tôn thành 4 phần bằng nhau rồi gò tấm tôn thành một
hình hộp chữ nhật như hình 2.
Biết sau khi xây xong bể như dự định, mức nước chỉ đổ đến 0,8m và giá nước cho
đơn vị sự nghiệp là 9955đ/m3. Chi phí trong tay thầy là 2 triệu đồng. Cách làm nào
24


của thầy giáo để không vượt quá kinh phí(giả sử chỉ tính đến các chi phí theo dữ kiện
trong bài toán)
A. Cả 2 cách đều được
B. Không có cách nào được

C. Cách 2
D. Cách 1

Hình
Hình 12
1m
1m

20m
6m

4m

1m
1m
6m

4m

4m
6m

HD giải:
Chi phí mua tôn trong 2 cách là 20.90000 = 1800000.
2

 20 
Tiền mua nước trong cách 1 là: π R .0,8.9955 = π  ÷ .0,8.9955 = 253,630 .
 2π 
2

1

Tiền mua nước trong cách 2 là: 6.4.0,8.9955 = 191136.
Vậy cách cần tìm là cách 2.
Kết quả: C. Cách 2

25