ON TAP DAU NAM LOP 12

CÂU HỎI ÔN TẬP ĐẦU NĂM
Câu 1: Các công thức biến đổi?
1. Các công thức về phân số, qui đồng mẫu số? Cho ví dụ?
a
b = a . d = a.d
c b c b.c
d

a.

a d a.d
. =
b c b.c

b.

a
b = a .1 = a
c b c bc

c.

a c
= ⇔ ad = bc ⇔ ad − bc = 0
b d

a c
a c
ad − bc
= ⇔ − =0⇔
= 0 ⇔ ad − bc = 0

b d
b d
bd

d.

a b c a+b+ c
+ + =
m m m
m

a b c a−b−c
− − =
m m m
m

e.

a+b+ c a b c
= + +
m
m m m

a−b−c a b c
= − −
m
m m m

f.

a+b−c
n ( a + b − c ) n an + bn − nc an bn cn
= ( a + b − c) =
=
= + −
m
m
m
m
m m m
n

g.

a c a.d + c.b
+ =
b d
b.d

a c a.d − c.b
− =
b d
b.d

h.

a
a + bc
+c=
b

b

b a.c + b
a+ =
c
c

a=

i.

b
⇔ ac = b
c

a
= c ⇔ a = bc
b

b a.c − b
a− =
c
c

a
a − bc
−c=
b
b

j.
k.

a
c ac
= a. =
b
b b
c

a ( b + c − d − e ) = ab + ac − ad − ae

( a + b ) ( c − d ) = ac − ad + bc − bd

2. Các hằng đẳng thức đáng nhớ? Cho ví dụ?
2

a.

( a + b)

= a 2 + 2ab + b 2

3

b.

( a + b)

= a 3 + 3a 2b + 3ab 2 + b3

3

c.

( a − b)

d.

( a − b)

= a 3 − 3a 2b + 3ab 2 − b3

a 3 − b3 = ( a − b ) ( a 2 + ab + b2 )

2

a 2 − b2 = ( a − b ) ( a + b )

= a 2 − 2ab + b 2
3

hay

( a + b)

3

hay

( a − b)

= ( a + b ) ( a + b ) = ( a + b ) ( a 2 + 2ab + b 2 )
2

= ( a − b ) ( a − b ) = ( a − b ) ( a 2 − 2ab + b 2 )
2

a 3 + b3 = ( a + b ) ( a 2 − ab + b 2 )

3. Các công thức lũy thừa? Cho ví dụ?
a.

a .b = ( a.b )
m

b.

am
= a m− n
n
a

a m .a n = a m+n
m

m

(a ) =(a )
n m

m

am  a 
= ÷
bm  b 

an =

m n

1
a−n

= a m .n

1
= a−n
n
a


a.a = a 2

1a.
2 3a =

c.
d.

a≥ 0

( a)

x 2 4= a44⇔2 x4=4± 43a
1

2

=a

a3 = a.a 2

a 4 = a 2 .a 2

x 4 4= a44⇔2 x4=4± 443a
1

a ≥0

x3 = b ⇔ x= 3 b

a ≥0

4. Các công thức về trị tuyệt đối và căn thức? Cho ví dụ?
a.
b.

a a
=

b b

a.b = a . b

a
a
=
b
b

a.b = a . b

(14a2) 43= a

(1 4a ) 4=4( 4a2) 4 4a 4= a43a

2

c.

3

a ≥0

2

a ≥0

2

a = a2
 a, a ≥ 0
a2 = a = 
 -a, a<0

(1 4a ) 4=4( 44a ) 2( 4a4) 4=a.a=a
4 43
4

2

2

2

a ≥0

Câu 2: Giải phương trình.
1. Cách giải phương trình bậc nhất? Cho ví dụ?
1. Phương trình bậc nhất có dạng: ax+b=0, a ≠ 0 .
2. Cách giải:

ax+b=0 ⇔ ax=-b ⇔ x=-

b
a.

• Nếu 0x=0: Thì pt vô định có nghĩa là pt có nghiệm x ∈ ¡ .
• Nếu 0 x = b ≠ 0 : Thì pt vô nghiệm. VD: 0x=2 hay 0x=-7.

Ví dụ 1. Giải các phương trình bậc nhất sau đây.
1. 2 x − 3 = x + 2

3.

2.

3( 4 x − 2) − 2 ( 1 − x ) = 6

(m
Ví dụ 2. Cho phương trình:

4.
2

3 ( x − 1) = x + 1

− 2 ( 5 − 3x ) = 2 ( 1 − x ) − ( 4 − 4 x )

− 4 ) x = 2m − 4

. Giải và biện luận phương trình theo m.
BTVN. Giải các phương trình bậc nhất sau đây.
1. 3 x − 3 = 2 x + 7

3.

2.

2 ( 2 x − 5 ) − 6 ( 2 + x ) = 10

4.

2. Cách giải phương trình bậc hai? Cho ví dụ?
Cách giải phương trình bậc hai ax + bx + c = 0, a ≠ 0 .
2

1. Cách 1: Tính ∆ .
2
a. Tính ∆ = b − 4ac .

.

−

5 ( x − 2) = 2x + 5

x −1
= 2( 5 − x)
2
.

.

.



−b + ∆
 x1 =

2a


−b − ∆
 x2 =
2a .
i. Nếu ∆ >0: Pt có hai nghiệm phân biệt 

ii. Nếu ∆ =0: Pt có nghiệm kép

x1 = x2 = −

b
2a .

iii. Nếu ∆ <0: Pt vô nghiệm.
2. Cách 2: Nhẩm nghiệm theo tổng các hệ số:
x1 = 1, x 2 =

a. Nếu a+b+c=0 thì pt có hai nghiệm

c
a.

c
a.

x1 = − 1, x 2 =-

b. Nếu a-b+c=0 thì pt có hai nghiệm

3. Cách 3: Nhẩm nghiệm theo tổng hai nghiệm và tích hai nghiệm.
2
x, x
x + x = S , x1.x2 = P
x, x
n
a. Nếu có hai số 1 2 và 1 2
thì 1 2 là 2 0 pt x − Sx + P = 0 .
2
b. VD. Pt x − 5 x + 6 = 0 ta nhẩm ra 2 nghiệm là x=2 và x=3 vì 2+3=5 và 2.3=6.

4. Cách phân tích tam thức bậc hai thành tích hai nhị thức bậc nhất? Cho ví dụ?
x1 , x2
ax 2 + bx + c = 0, a ≠ 0
Nếu phương trình bậc hai

có hai nghiệm

ax + bx + c = 0 ⇔ a ( x − x1 ) ( x − x2 ) = 0

thì

2

.

Lưu ý: Sai lầm của học sinh thường gặp là thiếu hệ số a.
Ví dụ 1. Giải các phương trình bậc hai sau đây.
1.

x2 − x − 1 = 0

2.

x2 − 2x = 0

.
3.

2 x2 − 6 = 0
x 2 − ( m + 2 ) x + ( m + 1) = 0

Ví dụ 2. Giải và biện luận phương trình
BTVN. Giải các phương trình bậc hai sau đây.
1.
3.

4.
2

ax 4 + bx 2 + c = 0 ⇔ a ( x 2 ) + bx 2 + c = 0
2

Bước 1: Phân tích

Bước 2: Phương trình trở thành:
Bước 3: Giải pt tìm nghiệm

at 2 + bt + c = 0

t1 , t 2 . Chú ý: t ≥ 0. Nếu t<0 ta loại.

2.

2 x2 + 5x + 3 = 0 .

x2 − x − 6 = 0 .

3. Cách giải phương trình trùng phương ax + bx + c = 0, a ≠ 0 ? Cho ví dụ?
Cách 1. Giải bằng cách đặt ẩn phụ.
4

− 2 x2 = 0 .

theo tham số m.

x2 − 7 x + 6 = 0

x2 − 6x + 8 = 0

4.

. Đặt t=x2 với t ≥ 0.


 x = t1

 x = − t1
 x 2 = t1 ≥ 0

⇔
 2
 x = t2 ≥ 0  x = t2

 x = − t2 .
Kết luận
Cách 2: Giải trực tiếp bằng cách xem

x 2 là ẩn.

 x = t1

2
 x = − t1
x = t ≥ 0
2
ax 4 + bx 2 + c = 0 ⇔ a ( x 2 ) + bx 2 + c = 0 ⇔  2 1
⇔
 x = t2 ≥ 0  x = t2

 x = − t2 .Chú ý: x 2 < 0 ta loại.
Ví dụ 1. Giải các phương trình trùng phương sau đây.
1.

x4 − 2x2 + 1 = 0

2.

x4 − 2x2 = 0 .

3. − 2 x + 32 = 0
4. 2.x = 0 .
BTVN 2. Giải các phương trình trùng phương sau đây.
4

4

1.

x4 − 5x2 + 4 = 0

2.

x4 + 4x2 = 0 .

3.

− x4 + 5x2 − 6 = 0

4.

x4 + x − 6 = 0 .

Câu 3: Cách giải bất phương trình bậc nhất? Cho ví dụ?
• Cách giải bất phương trình ax+b>0, ax+b ≥ 0, ax+b<0, ax+b ≤ 0?
• Cách giải: Giải bằng cách chuyển vế.
• Chú ý: Chia hoặc nhân cho số âm bất phương trình đổi chiều.
Ví dụ 1: Giải các bất phương trình sau:
1. 2x-4>0

2. 2(1-2x)<0

2(3 − x) − ( x − 3) ≥ 0

3.
BTVN: Giải các bất phương trình sau:
1. 3x-15>0
3.

− 2(1 − x) − ( x − 2 ) ≥ 5

4.

2x − 3 ≤ 3( 1 − x ) + 2
2. 3(7-2x)<0

4.

−2x − 3 ≤ − ( 1 − x) − 2

Câu 4: Cách giải bất phương trình bậc hai? Cho ví dụ?

ax 2 + bx + c > 0,

ax 2 + bx + c ≥ 0,

ax 2 + bx + c < 0,

• Cách giải: Giải bằng cách xét dấu.
Bước 1: Bấm máy tính tìm nghiệm phương trình

Bước 2: Lập bảng xét dấu:

ax 2 + bx + c ≤ 0 .

ax 2 + bx + c = 0 .

2
• Nếu phương trình ax + bx + c = 0 có hai nghiệm: Trong khoảng giữa hai nghiệm trái dấu với a,

ngoài khoảng giữa hai nghiệm cùng dấu với a.

• Nếu phương trình ax + bx + c = 0 có một nghiệm kép: Cùng dấu với a với mọi
2

2
• Nếu phương trình ax + bx + c = 0 vô nghiệm: Cùng dấu với a với mọi x ∈ ¡ .

x≠−

b
2a .


Bước 3: Dựa vào chiều bất phương trình ta kết luận tập nghiệm của bất phương trình đã cho.
o Sai lầm thường gặp của học sinh đó là không xét dấu!!! Mà học sinh giải như giải pt.
2
o Thông thường học sinh hay lấy hai nghiệm của phương trình ax + bx + c = 0 để kết luận

nghiệm của bất phương trình.
2

o Nghiệm của phương trình ax + bx + c = 0 là hữa hạn hoặc không có.
o Nghiệm của bất phương trình là tập vô hạn hoặc không có.

Ví dụ 1. Giải các phương trình bậc hai sau đây.

x2 − x − 1 > 0

1.

2.

x2 − 2x < 0

.
3. 2 x − 6 ≥ 0
BTVN 2. Giải các phương trình bậc hai sau đây.
2

1.
3.

x2 − 7 x + 6 ≤ 0

4.

− 2 x2 ≤ 0 .

2.

2 x2 + 5x + 3 ≥ 0 .

1 − x2 ≤ 0

4.

2 − 3x2 ≥ 0

.
BTVN 3. Giải các phương trình bậc hai sau đây.
1.

x3 − 6 x 2 + 9 x ≥ 0

3.

x 4 − 81 ≥ 0

2.

x3 − 2 x 2 + 4 x ≤ 0 .
4.

16 − x 4 ≤ 0 .

f ( x)
f ( x)
f ( x)
f ( x)
> 0;
< 0;

≥ 0;
≤0
g ( x)
g ( x)
g ( x)
g ( x)

Câu 5: Cách giải bất phương trình dạng phân số
• Cách giải: Giải bằng cách xét dấu tử số và xét dấu mẫu số.
Bước 1: Tìm nghiệm của tử số

f ( x)

và mẫu số

Bước 2: Lập một bảng xét dấu để xét dấu của
nghiệm của bất phương đã cho.

• Nếu đề bài cho ở dạng

f ( x)
> h ( x) ;
g ( x)

g( x)

?

.

f ( x) , g ( x)

. Dựa vào chiều bất phương trình ta kết luận tập

f ( x)
f ( x)
≥ h ( x) ;
< h ( x) ;
g ( x)
g ( x)

f ( x)
≤ h ( x)
g ( x)

thì ta chuyển vế
rồi qui đồng mẫu số, sau đó xét dấu tử số và xét dấu mẫu số.
• Sai lầm thường gặp là học sinh hay nhân chéo!!!
• Do đó ta không được nhân chéo vì nếu nhân chéo sẽ làm mất nghiệm của bất phương trình!!!
Ví dụ 1. Giải các phương trình sau đây.

4x − x2
<0
1. 1 − x

4x − 8
<0
2. 1 − x

1

>0
3. x

−2
<0
x
−
1
4.
.
1+ x
≤3
x
−
2
5.

3
≥ 1+ x
1
−
x
6.
.
2
≥ −1
2
x
−
3

x
8.

BTVN. Giải các phương trình sau đây.

7.

1≤

1
x2


2 − x2
≥0
x
1.

9-x 2
≤0
2
x
+
1
3.

2
>0
2
x

−
2
x
2.

x2 + 1
>0
x4 + 1

4.

Câu 6: Cách tìm tập xác định của hàm số? Cho ví dụ?
y = f ( x)
1. Dạng 1:
là hàm đa thức: Hàm số xác định ∀ x ∈ ¡ .
y=

2. Dạng 2:
3. Dạng 3:
4. Dạng 4:
5. Dạng 5:

1
f ( x)

f ( x)

y=
y=

3

y=

4

y=

6. Dạng 6:
y=

7. Dạng 7:

: Hàm số xác định khi

f ( x) ≠ 0

: Hàm số xác định khi

.

f ( x) ≥ 0

.

f ( x)

: Hàm số xác định khi

f ( x)

f ( x)

: Hàm số xác định khi

f ( x) ≥ 0

xác định.
.

1
g ( x ) : Hàm số xác định khi g ( x ) > 0 .

1
f ( x)

 f ( x ) ≠ 0

g ( x) > 0
g ( x)
: Hàm số xác định khi 
.

 f ( x) ≥ 0

g ( x) ≠ 0
f ( x)
y=

h ( x) > 0

g ( x ) . h( x )
8. Dạng 8:
: Hàm số xác định khi 
.
Ví dụ 1: Tìm tập xác định của các hàm số sau đây.
1.

y = 2x − 1

2. y = x − 2 x + 9
4. y = x − 2 x
4

5.

3. y = 2 x − 3 x

2

3

2

y = ( 2 x 4 − 1) x

y = ( x + 1) x 4
2

6.

y = ( x − 3) x
5

y = ( x + 1) x 4
3

7.

3

8.
Ví dụ 2: Tìm tập xác định của các hàm số sau đây.

2x − 3
y=
x −1
1.
x
2
y=
−
1− x 4 − x2
y=
4.

y=

(x

x2 + 1

2

− 3x )

x2
y = x − 1+
1 − 2x
2.

3.

x4 − 1
y=x − 3
x +x
5.

6.

2

3

x3 − 1
1
+
4
2
x
( 1− x)

BTVN: Tìm tập xác định của các hàm số sau đây.

3


1.

y=
y=

3.

2
2x − 3
x −x

(x

2.

3

4

2

− 5)

y=

x2 − 2x + 1
−2 x

2

x2 + 1
y= 2
x − x+2
4.

x3 − 1
y= 3
x + 3x2
5.

x4 + 3
y= 2
x − 6x + 9
6.
Ví dụ 3: Tìm tập xác định của các hàm số sau đây.
1. y = 2 x − 4

2. y =

x − 2− x

3.

y = 2x − 2 + 8 − 2x
4. y = 6 x − 2 x

5. y = x + − x + 2 x
BTVN: Tìm tập xác định của các hàm số sau đây.
2

6. y =

2

2. f ( x) = 3 − x

1. f ( x) = 2 − x
3. f ( x ) =

x − 3x − x 2 .

2

2

4. f ( x) = 5 − x − 2 x − 2

5.

−2

f ( x) =

f ( x) = x + 1 + x − 2 x
2

x2 − 9 − x2

x2 − 6 x + 9

6.

Ví dụ 4. Tìm tập xác định của các hàm căn thức sau đây.
1. f ( x) =

3.

f ( x) =

3

2. f ( x ) = x − 1 − x − 3x

x−2

f ( x) =

3

2

1
− 6 − 2x
x −1

2x − 3

( x − 5) x − 1

4.

f ( x) = 5 − x −
f ( x) =

1.

2

1
x

5.

3− x

( 1+ x)

6.
Câu 7. Cách giải phương trình chứa căn? Cho ví dụ?

4

2

2+ x

g ( x ) ≥ 0

f ( x) = g ( x) ⇔ 
2
 f ( x ) = g ( x ) .

• Nếu vế phải không âm thì ta không cần đặt điều kiện.
• Ta có thể giải bằng cách bình phương hai vế bỏ qua điều kiện, nhưng ta phải dùng dấu ⇒ và ta phải
thử lại nghiệm với phương trình đã cho.

g ( x ) ≥ 0 v f ( x ) ≥ 0
f ( x) = g ( x) ⇔ 
 f ( x ) = g ( x )

2.
Ví dụ 1. Giải các phương trình chứa căn sau đây.
1.

x2 − x − 2 = 2

2.

3. 2 x + 2 x − 16 = 16 .
2

3x 2 − 9 x + 1 = x − 2


BTVN. Giải các phương trình chứa căn sau đây.

− x2 + x + 7 = x − 2

1.

2.

x2 + 1 − 1 = 2x

3. 4 − 6 x − x − x = 4
Ví dụ 2. Giải các phương trình chứa căn sau đây.
2

1.

x2 − 2x + 4 = 2 − x

2.

3x 2 − 9 x + 1 = x − 2

3.

2 x2 − 6x − 1 = 2 − x .
BTVN. Giải các phương trình chứa căn sau đây.
2
2
1. 2 x − 5 x = x − 4

2.

2 x2 − 1 = x + 1

3x + 7 − x + 1 = 2 .
Phương trình vô tỉ
3.

a. f ( x ) + b. f ( x ) + c = 0

1. Dạng 1:
. Đặt t=
Ví dụ: Giải các phương trình chứa căn sau đây.

1.

( x − 3) ( x + 2 ) +

2. Dạng 2:

a

(

f ( x) t ≥ 0
,
.

x − x− 2 = 2
2

)

x+α ± β − x +b

2.

( x + α ) ( β − x) + c = 0

5 ( x + 1) ( x − 2 ) − 6 ( x − 2 )

x +1
=8
x−2
.

.

x +α ± β − x

Đặt t=
.
Ví dụ: Giải các phương trình chứa căn sau đây.
1.

(

)

9 1 + x + 1 − x − 5 1 − x 2 = 13
n

2.

x + 4 + x − 4 = 2 x + 2 x 2 − 16 − 12

a + f ( x) ± k b − f ( x) = c

3. Dạng 3:
.
Cách giải: Đặt ẩn phụ đưa về hệ phương trình hữu tỉ:
n
u = n a + f ( x )

u = a + f ( x )
⇒ k

k b− f x
v
=

( ) v = b − f ( x ) . Ta có hệ phương trình:
Đặt 

u ± v = c
 n k
u + v = a + b .

Ví dụ: Giải các phương trình chứa căn sau đây.
1.

x2 − x − 2 + x2 − x − 5 = 3

3.

x+ 2 − 3 x+1 = 1

2.

x 2 + 9 − x2 − 7 = 2
4.

3x 2 + 5 x + 8 − 3x 2 + 5 x + 1 = 1
5.

3

2 x − 3 + 3x + 2 = 3
3

4. Dạng 4: x = a. ax+b + b .
Cách giải: Đặt ẩn phụ đưa về hệ đối xứng loại 2.
n

n

 x n = ay + b
 n
n
n
y = ax+b
y
=
ax+b

⇒
y
=
ax
+
b
Đặt
. Ta có hệ phương trình: 
.
Ví dụ: Giải các phương trình chứa căn sau đây.

6.

21 + x + 21 − x 21
=
21 + x − 21 − x x


1. x = x + 2 + 2
Ví dụ: Giải các phương trình chứa căn sau đây.

3
2. x = 3 3x − 2 − 2 .

2

3

3 x 2 + 6 x + 16 + x 2 + 2 x = 2 x 2 + 2 x + 4 . HD: Đặt t = x 2 + 2 x . ĐS: x=0; x=-2.

1.

2. x + 5 − 4 x + 1 + x + 2 − 2 x + 1 = 1 . HD: Đặt t = x + 1 .
5. Dạng đặt ẩn phụ bằng cách phân đôi quy về phương trình hữu tỉ.

• Dạng: f + g = a . Đặt

f =

a
a
+ t , g= − t
2
2 .

a
a
f = t + , g=t2
2.
• Dạng f − g = a . Đặt

• Ngoài ra ta có thể giải bằng cách đặt ẩn phụ đưa về hệ hữu tỉ.
1.

4

47 − 2 x + 4 35 + 2 x = 4 . HD: Đặt 4 47 − 2 x = 2 − t ; 4 35 + 2 x = 2 + t . ĐS: x=23; x=-17.

1
1

5 x + 7 = t + ; 3 5 x − 12 = t −
2
2 . ĐS: x=-3, x=4.
2. 5 x + 7 − 5 x − 12 = 1 . HD: Đặt
3

3.
4.

3

3

3

9 − x + 1 + 3 7 + x + 1 = 4 . ĐS: x=0.

3

24 + x − 3 5 + x = 1 . ĐS: x=9.

Câu 8. Cách giải phương trình chứa trị tuyệt đối? Cho ví dụ?
g ( x ) ≥ 0

f ( x ) = g ( x ) ⇔  f ( x ) = g ( x )

  f ( x ) = − g ( x )
1.

 f ( x) = g ( x)

f ( x) = g ( x) ⇔ 
 f ( x ) = − g ( x )
2.
Ví dụ 1. Giải phương trình chứa trị tuyệt đối sau đây.
1.

3x − 1 = 2 − 2 x

.

2.

x2 − 5x + 4 − ( x + 4 ) = 0

3.

x2 − 2 x + 8 = x2 − 1

.
BTVN. Giải phương trình chứa trị tuyệt đối sau đây.
1.

x − 2 = 2x − 1

.

2.

x 2 − 2 x − 3 − ( x − 3) = 0

.

x − 3x − 1 = 2 x − 5
2

Ví dụ 2. Giải phương trình chứa trị tuyệt đối sau đây.
1.

3x − 1 = 2 x + 3

.

5x − 7 = 2 x + 1

2.

3.
.
BTVN. Giải phương trình chứa trị tuyệt đối sau đây.

2 − 3x2 − 6 − x2 = 0

3.


1.

x − 2 = 2 x −1

.

2.

3x 2 − 7 x + 1 = x 2 + x − 5

.

3.

2x − 2 = 7x − 1

Câu 9. Cách giải bất phương trình chứa trị tuyệt đối.

1.

f ( x) < g ( x) ⇔ − g ( x) < f ( x) < g ( x)

 f ( x ) > − g ( x )
f ( x) < g ( x) ⇔ 
 f ( x ) < g ( x ) .
hoặc

 f ( x) > g ( x)
f ( x) > g ( x) ⇔ 
 f ( x ) < − g ( x )
2.
Ví dụ. Giải các bất phương trình sau.
1.

2 x 2 − 3x − 3 < 5 x − 9

2.

x 2 + 4 x > 3x 2 + 2 x − 4

2x + 5 > 7 − 4x

3.
.
BTVN. Giải các bất phương trình sau.
1.

1 − 4x ≥ 2x + 1

2.
3.

x2 − 4 ≥ x2 − 5x + 4

x2 − 2 > x

.

Câu 10. Cách giải bất phương trình chứa căn thức.

1.

g ( x) > 0

f ( x) < g ( x) ⇔  f ( x) ≥ 0


2
 f ( x) < g ( x)

  g ( x ) < 0

 f ( x ) ≥ 0
f ( x) > g ( x) ⇔ 
  g ( x ) ≥ 0

2
 f ( x ) > g ( x )

2.
Ví dụ. Giải các bất phương trình sau.
1.

x 2 − x − 12 < 7 − x

2.

21 − 3x − x 2 < x + 3

3.

x 2 − 3x − 10 ≥ x − 2 .
4.

1 − x + 2 x 2 − 3x − 5 < 0

5.

3 6 + x − x 2 + 2 ( 2 x − 1) > 0

6.

8.

x + 3 − 7 − x > 2x − 8

9.

3x 2 + 13x + 4 + 2 − x ≥ 0 .
7.

2x + 6x2 + 1 ≥ x + 1

2 − x > 7 − x − −3 − 2x .
Câu 11. Cách giải phương trình tích: Cho ví dụ?
 f ( x) = 0

f ( x ) .g ( x ) .h ( x ) = 0 ⇔  g ( x ) = 0
h x = 0
 ( )
.


Ví dụ. Giải các phương trình sau đây.

( 1− x )

x−2 = 0

2

(

1.

x2 − x − 2 − 2

)(

3

2.

)

x 2 − 1 = ( x − 1) x

16 − 2 x 3 = 0

Câu 12. Cách giải phương trình chứa ẩn mẫu số:
g ( x) ≠ 0
Bước 1: Đặt điều kiện mẫu số

Bước 2: Phương trình
Ví dụ. Giải các phương trình sau đây.

1.

( 1− x)

2

f ( x)
=0
g ( x)

? Cho ví dụ?

.

f ( x)
= 0 ⇔ f ( x) = 0
g ( x)

2 x − x2

3.

, chú ý sau khi giải pt nhớ so sánh với điều kiện.

=0
2.

x2 − 2x
2− x

x3 − 6 x 2 + 9 x
=0
x
4
−
x
3.

Câu 13. Cách giải hệ phương trình hai ẩn? Cho ví dụ?
1. Dạng 1. Hệ gồm một phương trình bậc nhất và một phương trình bậc hai.
Cách giải: Ta dùng phương pháp thế!
- Từ phương trình bậc nhất ta tính ẩn này theo ẩn kia.
- Thế vào phương trình còn lại, ta được phương trình một ẩn và tính được giá trị ẩn đó.
- Suy ra giá trị ẩn còn lại. Rồi kết luận nghiệm của hệ phương trình.
Ví dụ. Giải các hệ phương trình sau đây.

1.

 x 2 + y 2 = 10

x + y = 4

2.

 x3 − 3 xy = 9

x − y = 1

 x 2 + y 2 = 25


xy = 12
3. 
x − y = 5
 2 2
 x + y + xy = 7

4.

 x 2 + 2 xy + y 2 − x − y = 6

x − 2y = 3
5. 

6.

x + 2y = 4
 2
2
 x − xy + 3 y + 2 x − 5 y − 4 = 0
 f ( x; y ) = 0

g ( x; y ) = 0
2. Dạng 2. Hệ đối xứng loại I: 
.

- Hệ đối xứng loại một là hệ mà khi ta thay x và y cho nhau thì hệ phương trình không thay đổi.
- Cách giải: Giải bằng cách đặt ẩn phụ.
o Biến đổi hệ phương trình về dạng tổng (x+y) và tích x.y.
o Sau đó đặt S=x+y và P=x.y. Thế S và P vào hệ ta được một hệ theo S và P.
o Giải hệ tìm được S và P. Sau đó suy ra x và y.

Chú ý. Cấn nhớ các hệ thức đối xứng của x và y sau đây.

x 2 + y 2 = ( x + y ) − 2 xy
2

1.

.


x3 + y 3 = ( x + y ) − 3xy ( x + y )
3

2.

( x − y)
3.
4.

2

x− y =

= ( x + y ) − 4 xy

.

2

( x + y)

2

− 4 xy

.
.

x y x 2 + y 2 ( x + y ) − 2 xy
+ =
=
y
x
xy
xy
5.
2

x 4 + y 4 = ( x 2 ) + ( y 2 ) = ( x 2 + y 2 ) − 2 x 2 y 2 =  ( x + y ) − 2 xy  − 2 ( xy )


6.
.
2

2

2

2

2

2

Ví dụ 1. Giải các hệ phương trình sau đây.

 x 2 + y 2 = 10

x+ y = 4
1. 
 x y 13
 + =
y x 6
x + y = 5


 x 2 + xy + y 2 = 4

x + y + xy = 2
2. 

2
2
 x + xy + y = 12
 2
x y + xy 2 = 16
3. 

 x 2 y + xy 2 = 6


xy + x + y = 5
1. 

 x3 + x3 y3 + y 3 = 17

x + xy + y = 5
2. 

 x3 + y 3 = 2
 2
x y + xy 2 = 2
3. 

4.
.
Ví dụ 2. Giải các hệ phương trình sau đây.

 x3 y + xy 3 = 78
 4 4
x + y = 97
4. 
.
 f ( x; y ) = 0

g ( x; y ) = 0
3. Dạng 3. Hệ đối xứng loại II: 
.

- Hệ đối xứng loại hai là hệ mà khi ta thay x và y cho nhau thì phương trình này trở thành pt kia.

- Cách giải: Trừ vế theo vế của hai phương trình của hệ cho nhau, ta được phương trình có dạng:
x − y = 0
 h ( x; y ) = 0

( x − y ) .h ( x; y ) = 0 ⇔ 
o

.

  x − y = 0

 f ( x; y ) = 0
⇔
  h ( x; y ) = 0
  f ( x; y ) = 0


- Hệ phương trình ban đầu
Ví dụ. Giải các phương trình sau đây.

1.

 x 2 + y = 2 xy
 2
 y + x = 2 xy

3.

2.

 x 2 = 3 x + 2 y
 2
 y = 3 y + 2 x

 x 3 = 2 x + y
 3
 y = 2 y + x

Câu 14. Cách giải hệ phương trình hai ân, ba ẩn, bốn ẩn.
Phương pháp: Giải bằng cách bấm máy tính hoặc giải bằng phương pháp thế.


Ví dụ 1. Giải các hệ phương trình sau đây.

( x − 1) 2 + ( y − 2 ) 2 = 16

2
2
( x − 2 ) + ( y + 1) = 2
1.

 x = 12 − y

 3
 x − 8 x − 3 = 2

(

 x − y = 1


x+ y = 5
2. 

3.

)

y − 2 −1

Ví dụ . Giải các hệ phương trình sau đây.

1.

 a − b + c = −2

a + b + c = 2
 4a + 2b + c = 1


2.

16a + 4b + c = 2

 4a + 2b + c + 2 = 0
b + 4a = 0


.

3.

 2 + 2a − 2b + d = 0
14 + 2a + 6b + 4c + d = 0


 29 + 8a + 6b + 4c + d = 0
 21 + 8a − 2b + 4c + d = 0

Ví dụ . Giải các hệ phương trình sau đây.

a − b − 2 = 0

 2a − 2b + c − 1 = 0

2
2
( a − 1) + ( b + 1) + c 2 = 9
2. 

x + y + z = 8
 2
2
2
 x + y + z − 32 = 0
 x2 + y 2 + z 2 − 8x − 8 y = 0
1. 
2 x − y − z + 4 = 0

2
2

2
( x − 2 ) + y + ( z − 1) = 9
 2
2
2
x + ( y + 2 ) + ( z − 3) = 9


3.
Ví dụ 3. Giải các hệ phương trình sau đây.
1 − 2a + d = 0
1 − 2b + d = 0

13 − 6b − 4c + d = 0
2

a 2 + b 2 + c 2 − d = 1 +  2a + 2b + c 

÷

3


1.

 x −1 y −1 z − 5
=
=

2

−1
 1
x + 2y − z + 5 = 0
4. 

2.


( a − 1) 2 + b 2 + c 2 = a 2 + ( b − 1) 2 + ( c − 2 ) 2

2
2
2
2

2
2
( a − 1) + +b + c = ( a − 2 ) + ( b − 2 ) + ( c − 1)

 a − b + c −1 = 3

3
Ví dụ 4. Giải các hệ phương trình sau đây.

1.

3 ( x 2 + y 2 + z 2 ) − 8 x + 4 y + 14 z = −15

2
2

2
 x + y + z + 6 z = −1
 x2 + y2 + z 2 − 4x + 2z = 3


2
Câu 15. Định lí viét của phương trình bậc hai ax + bx + c = 0 .

( x − 1) 2 + ( y + 2 ) 2 + ( z − 1) 2 = 9

 x −1 y + 2 z +1
=
=

−1
2
2.  2


Nếu phương trình bậc hai có hai nghiệm

x1 , x 2

thì:

b

 S = x1 + x2 = − a

 P = x .x = c

1 2

a

a ≠ 0
⇔
• Phương trình có hai nghiệm phân biệt  ∆ > 0 .

• Phương trình có hai nghiệm trái x1 < 0 < x2 ⇔ P < 0 .
∆ > 0
⇔
• Phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu  P > 0 .
∆ > 0

⇔ S > 0
P > 0


• Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt

.

∆ > 0

⇔ S < 0
P > 0


• Phương trình có hai nghiệm âm phân biệt

.

Ví dụ 1. Cho phương trình bậc hai x − 6 x + m − 2 = 0 .
1. Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt Trái dấu.
2. Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt Cùng dấu.
3. Tìm m để phương trình có hai nghiệm Dương phân biệt.
4. Tìm m để phương trình có hai nghiệm Âm phân biệt.
2

( m − 1) x 2 − ( 2m − 3) x + m − 3 = 0

Ví dụ 2. Cho phương trình bậc hai
.
1. Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt Trái dấu.
2. Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt Cùng dấu
3. Tìm m để phương trình có hai nghiệm Dương phân biệt.
4. Tìm m để phương trình có hai nghiệm Âm phân biệt.
Ví dụ 3. Cho phương trình

x2 − ( m − 2) x + m + 1 = 0

.

2
2
1. Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x 2 thỏa mãn x1 + x2 = 9 .
x, x
3x − x = 1
2. Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt 1 2 thỏa mãn 1 2 .

Ví dụ 4. Tìm m để phương trình có bốn nghiệm phân biệt.
1.

mx 4 − 2 ( m − 1) x 2 + m − 1 = 0

m − 4) x4 − 2 ( m − 2 ) x2 + m − 1 = 0
(
2.
.

3
2
Câu 16. Định lí viét của phương trình bậc ba ax + bx + cx + d = 0 .
x1 , x 2 , x 3

Nếu phương trình bậc ba có ba nghiệm

thì:


b

 x1 + x2 + x3 = − a

d

 x1.x2 .x3 = −
a

c


x
.
x
+
x
.
x
+
x
.
x
=
1
2
2
3
1
3

a

• Cách nhẩm nghiệm đặc biệt x0.
o Nếu a+b+c+d=0 thì phương trình có một nghiệm x0=1.
o Nếu a-b+c-d=0 thì phương trình có một nghiệm x0=-1.

o Nhẩm nghiệm

x0 =

p
q với p là ước của d và q là ước của a.

• Sử dụng sơ đồ Horner:
a
a

x0

b
B

c
C

d
0

o Với B=a.x0+b, C=B.x0+c.
 x − x0 = 0
ax 3 + bx 2 + cx + d = 0 ⇔ ( x − x0 ) ( ax 2 + Bx + C ) = 0 ⇔  2
 ax + Bx + C = 0 .
o Khi đó
Ví dụ 1. Giải các phương trình bậc ba bằng cách nhẩm nghiệm và sử dụng sơ đồ Horner.
1.

x3 − 6 x 2 + 11x − 6 = 0

2.

2 x3 + x + 3 = 0

3.

x − 5x + 7 x − 2 = 0 .
3

2

Ví dụ 2. Tìm tham số m để phương trình có ba nghiệm phân biệt.
1.

x3 − ( 2m + 1) x 2 + 3 ( m + 4 ) x − m − 12 = 0

2.

mx − ( 3m − 4 ) x + ( 3m − 7 ) x − m + 3 = 0
3

Ví dụ 3. Tìm tham số m để phương trình
biệt.

mx 3 − 2mx 2 − ( 2m − 1) x + m + 1 = 0

.

2

có ba nghiệm dương phân

Câu 17. Cách giải phương trình lượng giác.
1. Bảng giá trị lượng giác đặt biệt.

x

0 ( 00 )

π
300 )
(
6

π
450 )
(
4

π
600 )
(
3

π
900 )
(
2

2π
1200 )
(

3

3π
1350 )
(
4

5π
1500 )
(
6

π ( 1800 )

sin x

0

1
2

2
2

3
2

1

3

2

2
2

1
2

0

cos x

1

3
2

2
2

1
2

0

1
-2

2
- 2

tan x

0

1
3

1

3

P

- 3

-1

3
- 2
1
- 3

cot x

P

3

1

1
3

0

1
- 3

-1

2. Hệ thức lượng cơ bản cần nhớ.

- 3

-1
0

P


•
•
•
•

sin 4 x = ( sin 2 x ) 2 = ( 1 − cos 2 x ) 2
2
2


sin
x
=
1
−
c
os
x
sin 2 x + cos 2 x = 1 ⇒  2
⇒
2
2
2
cos x = 1 − sin x cos 4 x = ( cos 2 x ) = ( 1 − sin 2 x )

.

tan x =

sin x
cos x

1 + tan 2 x =

1
cos 2 x

1 + cot 2 x =

1

sin 2 x

●
●
●


 tan x =
tan α .cot α = 1 ⇒ 
cot x =


•
3. Công thức nhân đôi.

cot x =

cos x
sin x .

cos 2 x =

1
1 + tan 2 x

sin 2 x =

1
1 + cot 2 x

1
cot x
1
t anx

1
1
sin2x = 2sin x.cos x ⇒ s inx.cosx= s in2x, s in 2 x.cos 2 x= sin 2 2x
2
4
•
.
 cos2x=2cos 2 x − 1
cos 2 x = cos x − s in x ⇒ 
2
 cos2x=1-2sin x
2

2

•
4. Công thức hạ bậc.
1
cos2x = ( 1+ cos2x )
2
●
1
2
cos4x = ( 1+ cos2x )
4

●
5. Các cung có liên quan đặt biệt.

1
sin2 x = ( 1- cos2x )
2
●
1
2
sin4 x = ( 1- cos2x )
4
●

Sử dụng thành thạo câu thần chú: '' cos đối – sin bù – phụ chéo ''.
 cos đối, nghĩa là cos của hai góc đối nhau thì bằng nhau, tức là

cos( - a ) = cosa

, còn các cung góc

lượng giác còn lại thì bằng '' trừ '' chính nó:
●

sin( - a ) = - sin a

tan( - a ) = - tan a

●

 sin bù, nghĩa là sin của hai góc bù nhau thì bằng nhau, tức là

giác còn lại thì bằng '' trừ '' chính nó:
●

cos ( π - a ) = - cosa

●

●

cot ( - a ) = - tan a

sin( p - a ) = sina

tan( π - a ) = - tan a

●

, còn các cung góc lượng

cot ( π - a ) = - tan a

 Phụ chéo, nghĩa là với hai góc phụ nhau (có tổng bằng 900) thì sin góc này bằng cos góc kia và ngược lại, tức là:

æp
ö
æp
ö
æp
ö
æp

ö
sinç
- a÷
= cosa
cosç
- a÷
= sin a tanç
- a÷
= cot a
cot ç
- a÷
÷
÷
÷
÷= tan a
ç
ç
ç
ç
è2
ø
è2
ø
è2
ø
è2
ø
●
●
●

●

6. Phương trình lượng giác cơ bản.


éu = v + k2p
sinu = sinv Û ê
êu = p - v + k2p
ê
ë
 Dạng 1:

éu = v + k2p
cosu = cosv Û ê
êu = - v + k2p
ê
ë
 Dạng 2:

ìï tanx = 0 Û x = kp
ïï
í
ïï tanx = ±1 Û x = ± p + kp
4
Đặc biệt: ïî
ïìï
p
ïï cot x = 0 Û x = + kp
2
í

ïï
p
ïï cot x = ±1 Û x = ± + kp
4
Đặc biệt: ïî

tanu = tanv Û u = v + kp
p
Ðk : u,v ¹
+ kp
2
 Dạng 3:

cot u = cot v Û u = v + kp
Ðk : u,v ¹ kp

 Dạng 4:

ìï
ïï sinx = 0 Þ x = kp
ïï
ïï
p
í sinx = 1 Þ x = + k2p
ïï
2
ïï
p
ïï sinx = - 1 Þ x = - + k2p
2

Đặc biệt: ïî
ìï
ïï cosx = 0 Þ x = p + kp
ïï
2
ïí cosx = 1 Þ x = k2p
ïï
ïï cosx = - 1 Þ x = p + k2p
ï
Đặc biệt: ïî

7. Các dạng phương trình lượng giác.
7.1 Phương trình bậc nhất và bậc hai.

1. a s inx+b=0

1. a sin 2 x + b s inx+c=0

2. acosx+b=0

2. acos 2 x + bcosx+c=0

3. a tan x +b=0

3. a tan 2 x + b tan +c=0

4. a cot x +b=0

4. a cot x + b cot x +c=0 .

 − 1 ≤ sinx ≤ 1

− 1 ≤ cosx ≤ 1
Chú ý: 

2

Ví dụ 1. Giải các phương trình bậc nhất sau đây.
1. 2sinx-1=0

2. 2cos2x-1=0.

3. tan x − 3 = 0
Ví dụ 2. Giải các phương trình bậc nhất sau đây.
1.

2 sinx+1=0

3. tan 3 x + 1 = 0
Ví dụ 3. Giải các phương trình bậc hai sau đây.
1.

2

tan 2 x − 2 tan x + 1 = 0

3 cot 2 x − 1 = 0 .
2.

2 cos2x+1=0.

4. cot 3 x − 1 = 0 .

sin 2 x − 2sin x + 1 = 0

3. sin x + 3sin x + 2 = 0
Ví dụ 4. Giải các phương trình bậc hai sau đây.
1.

4.

2.

cos 2 2 x + 2cos 2 x + 1 = 0 .

4.

2cos 2 x − 3cos x + 1 = 0 .

2.

cot 2 2 x + 2cot 2 x + 1 = 0 .

2
tan 2 2 x − 3tan 2 x + 2 = 0
3. 2cot x − 3cot x + 1 = 0 .
7.2 Phương trình bậc nhất theo sin và cos: asinx+bcosx=c.

3.

Cách giải: Đưa về phương trình lượng giác cơ bản.
2
2
2
 Điều kiện có nghiệm: a + b ≥ c .
2
2
 Chia hai vế phương trình cho a + b .


2

2


 

a
b
⇔
+
÷
÷ =1
2
2
2
2
a
+
b

a
+
b

 

 Pt
a

c
os
α
=

a 2 + b2


b
sinα =
2

a + b 2 (hoặc ngược lại).
 Nên đặt 

 Pt trở thành:

s inx.cosα +cosx.sinα =

c
a 2 + b2

⇔ sin(x+α )=

c
a 2 + b2

Chú ý:

æ p÷
ö
æ pö
÷
ç
sinx + cosx = 2sinç
x
+
=
2cos
÷
÷
ç
çx - 4ø
è
ø
è
4
•
æ pö
æ pö
sinx - cosx = 2sinç

x- ÷
= 2cosç
x+ ÷
ç
ç
÷
÷
è
ø
è
4
4ø
•

Ví dụ 1. Giải các phương trình sau.
1.

3cosx + sin x = 1

2. sin 2 x − 3cos2x = 1

3.

3 sin x − cosx = 2cos 2 x
Ví dụ 2. Giải các phương trình sau bằng cách đưa về phương trình tích.
1.

sinx-sin 2 x = 0

2.

2sin 2 x + sin 2 x = 0

3.

cos 2 x + cosx+1=0 .
Ví dụ 3. Giải các phương trình sau bằng cách đưa về phương trình tích.
1. 2sinx.cosx= 2 sinx

2. 5cosx=cos2x+3

3sin 2 x
5sinx-2=
1 + s inx
3.

4.

5.

sin 2 x.sinx+sin 2 x = 0

6.

(2cosx-1)(2sinx+cosx) = sin 2 x − sinx

sinx+cosx+2sinxcosx+2cos 2 x=0

Câu 18: Các công thức tính đạo hàm? Cho ví dụ?

1.
2.

( sinx )
( cosx )

/

= cosx

/

= − sinx

( sinu )
( cosu )

1
cos 2 x
1
/
4. ( cotx ) = − 2
sin x
u'
/
5. ( tanu ) =
cos 2u
3.

( tanx )

/

/

= u '.cosu

/

= −u '.sinu

1
= 1 + tan 2 x
2
cos x
1
= 1 + cot 2 x
2
sin x
u'
/
( cotu ) = − 2
sin u

=

6. ( sin 2 x ) = 2sin x.cos x = sin 2 x
/

7. ( cos 2 x ) = −2sin x.cos x = − sin 2 x
/

8.

(x )

9.
10.

( kx ) = k.x =k
( u+v ) = u '+ v '

( ku ) = k.u '
( u+v-w ) =u'+v'-w'

11.

( v.u )

 u  u '.v − u.v '
 ÷=
v2
v

/

α

(u )

= α .xα −1
/

/

α

= α .u '.u α −1

/

/

/

/

/

/

= u ' v + u.v '

/

/

1
1

12.  ÷ = − 2
x
x

k
k
 ÷ =− 2
x
x

/

/

u'
1
13.  ÷ = − 2
u
u
/
1
14.
x =
2 x

k .u '
k
 ÷ =− 2
u
u

/
u'
u =
2 u

15. ( e x ) = e x

( e ) = u '.e
( a ) = u '.a .ln a

( )

( )

/

u /

16. ( a x ) = a x .lna
/

17. ( ln x ) =
/

/

u /

1
x

18. ( log a x ) =

u

( ln u )
1
x.ln a

19. Vi phân của hàm số

y = f ( x)

u

/

=

( log u )
a

là

/

u'
u
=

u'
u.ln a

dy = y '.dx hay dy = f ' ( x ) .dx

Tính đạo hàm của các hàm số thường gặp.
Ví dụ 1: Tính đạo hàm các hàm đa thức sau.

3
9
f ( x) = x 2 + x +
2.
2
2
1
3. f ( x) = −3x 4 - x 2 +2π
4.
3
Ví dụ 2: Tính đạo hàm các hàm nhất biến sau.
1.

5
f ( x) = −2 x 3 − x 2 + 2.
2
f ( x ) = 2 x5 − 3x 2 − 0, 29.


1.

f ( x) =

3.

f ( x) =

2x − 1
x−3

2.

2x
+1
2− x .

f ( x) = 3 +

2
2x − 1

1
3
f ( x) = −
2 1 − 2x .
4.

Ví dụ 3: Tính đạo hàm các hàm hữu tỉ sau.
1.

f ( x) =

f ( x) = x +

9
x

2.

x + 5 x + 15
x+3
2

f ( x) = x + 1 −

4
x+ 2

3.
Ví dụ 4: Tính đạo hàm các hàm phân thức sau.

4.

x2 − 2x + 1
f ( x) =
x2 + 2
1.
x +1
f ( x) =
3 x
3.

f ( x) = x −

2
x −1

x4 − 2
f ( x) = 2
x +1
2.
4.

x +1

f ( x) =

x2 − x + 1

Ví dụ 5. Tính đạo hàm của các hàm căn thức sau.
1. f ( x ) =

x + 24 x + 1 + 20

2. f ( x) = 6 − 3 x + 5 − 4 x

3. f ( x ) = 3x − 2 x + 9
2

4.

f ( x) = x 2 + 1 + x 2 + 2 x + 3

Ví dụ 6: Tính đạo hàm của các hàm lũy thừa sau.

f ( x ) = ( x − 3) + 2
2

1.

f ( x ) = ( 2 x + 1) − 2 ( 1 − x )
2

2.

3

.

f ( x) = ( x + 1) ( x − 1)
2

2

2

3.
Ví dụ 7. Tính đạo hàm các hàm số lượng giác sau.
1. f ( x) = 2cos2 x + 4sin x
3. f ( x) = sin x + cos x + 2
Ví dụ 8: Tính đạo hàm các hàm số lôgarít sau.
2

1.

3

f ( x) = 2ln x − ln(1 − 2 x)
f ( x) = x ln x + 2

3.
Ví dụ 9. Tính đạo hàm các hàm số mũ sau.

f ( x) = 3 x 2 ( x − 1) + 2

4.

.

2. f ( x ) = sin 2 x − cos x

4
f ( x ) = 2sin 2 x − sin 3 x
3
4.
2.

f ( x) = 2 x − ln( x + 1) .
4.

f ( x) =

1 + ln x

x .


1.
3.

f ( x ) = 2e x + e 2 x + 1
f ( x ) = ( 2 − 3x ) e

x

2.

f ( x ) = e 2 x −1 − e − x

ex
f ( x) =
2x + 1 .
4.