Khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số Thầy Lê Bá Trần Phương (phần 01)

Khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương

Khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số

KHOẢNG ĐỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ

BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG
Các bài tập trong tài liệu này được biên soạn kèm theo bài giảng Khoảng đồng biến nghịch biến của hàm số
thuộc khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương tại website Hocmai.vn để giúp các Bạn kiểm tra, củng cố
lại các kiến thức được giáo viên truyền đạt trong bài giảng Khoảng đồng biến nghịch biến của hàm số. Để sử
dụng hiệu quả, Bạn cần học trước Bài giảng sau đó làm đầy đủ các bài tập trong tài liệu này.
(Tài liệu dùng chung bài 01+02+03)

Bài 1. Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số:
1 4 1 2
1. y
x
x 3
4
2
2 3
2. y
x 2x 2
3
3x 1
3. y
1 2x
x2 x 1
2x 1
Bài 2. Xét chiều biến thiên của hàm số:

4. y

1. y

2x 1

3x 5

2. y

1
cos2 x
2

3. y

x 3 .(1 x) 3

4. y

x 2 .cos
2 x cos
;
2
x 2 x cos
1

1

3 cos x

1
;x
2

0,

2

là tham số.

Bài 3. Tìm các giá trị của tham số m để hàm số: y

1 3
x mx 2 (m 6) x 2m 1 đồng biến trên R (đồng
3

biến với mọi x).
(m 1) 3
.x mx 2 (3m 2) x
3
Tìm m để hàm số luôn đồng biến.

Bài 4. Cho hàm số: y

Bài 5. Cho hàm số: y

(m 1) x 4

mx 2 3 m

Tìm m để hàm số đồng biến trên (1,
Bài 6. Cho hàm số: y

)

(m2 5m) x3 6mx 2 6 x 5

Tìm m để hàm số đơn điệu trên R. Khi đó hàm số đồng biến hay nghịch biến?
m
Bài 7. Cho hàm số: y x 2
x 1
Tìm m để hàm số đồng biến trên tập xác định (đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó).
Giáo viên: Lê Bá Trần Phƣơng
Nguồn
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

:

Hocmai.vn
- Trang | 1 -


Khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương

Khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số

KHOẢNG ĐỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ (Phần 01)

TÀI LIỆU BÀI GIẢNG
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG
Đây là tài liệu tóm lược các kiến thức đi kèm với bài giảng Khoảng đồng biến nghịch biến của hàm số
thuộc khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương tại website Hocmai.vn. Để có thể nắm vững kiến
thức phần Khoảng đồng biến nghịch biến của hàm số, Bạn cần kết hợp xem tài liệu cùng với bài giảng
này.

1. Nhắc lại định nghĩa
Giả sử K là một khoảng, 1 đoạn hoặc nửa khoảng và hàm số y

f ( x) xác định trên K.

- Hàm số được gọi là đồng biến trên K nếu x tăng thì y tăng mà x giảm thì y giảm.
- Hàm số được gọi là nghịch biến trên K nếu x tăng thì y giảm mà x giảm thì y tăng.
Chú ý:
- Nếu hàm số y f ( x) đồng biến trên K thì đồ thị sẽ đi lên theo hướng từ trái sang phải.
- Nếu hàm số y

f ( x) đồng biến trên K thì đồ thị sẽ đi xuống theo hướng từ trái sang phải.

- Nếu hàm số đồng biến sẽ kí hiệu
Nếu hàm số nghịch biến sẽ kí hiệu
2. Dấu hiệu nhận biết tính đồng biến, nghịch của hàm số
Định lý: Cho hàm số y f ( x) có đạo hàm trên K
- Nếu y’ > 0 trên K thì hàm số đồng biến trên K.
- Nếu y’ < 0 trên K thì hàm số nghịch biến trên K.
3. Quy tắc tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số (khoảng đơn điệu) của hàm số y

f ( x) .

Bước 1: Tìm tập xác định
Bước 2: Tìm các điểm xi (i 1,2,..., n) làm cho y’ = 0 hoặc y’ không xác định (nếu có)
Bước 3: Lập bảng xét dấu
Bước 4: Kết luận
Chú ý: Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số được gọi là xét sự biến thiên của hàm số.
Ví dụ: Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số
1. y

x3 3x 2 1

2. y

3. y

x 4 8 x 2 10

4. y

x3 3x 2 5 x 5
x4

2x2 3

Giáo viên: Lê Bá Trần Phƣơng
Nguồn:

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

Hocmai.vn

- Trang | 1 -


Khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương

Khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số

KHOẢNG ĐỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ

ĐÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG
Các bài tập trong tài liệu này được biên soạn kèm theo bài giảng Khoảng đồng biến nghịch biến của hàm số
thuộc khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương tại website Hocmai.vn để giúp các Bạn kiểm tra, củng cố
lại các kiến thức được giáo viên truyền đạt trong bài giảng Khoảng đồng biến nghịch biến của hàm số. Để sử
dụng hiệu quả, Bạn cần học trước Bài giảng sau đó làm đầy đủ các bài tập trong tài liệu này.
(Tài liệu dùng chung bài 01+02+03)

Bài 1. Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số:
1 4 1 2
1. y
x
x 3
4
2
Giải
Hàm số đồng biến trên các khoảng (-1;0) và (1; ) ;

nghịch biến trên các khoảng (- ; -1) và (0;1).
2 3
2. y
x 2x 2
3
Giải
Hàm số đồng biến trên các khoảng (- ;-1) và (1;+
Nghịch biến trên các khoảng (-1;1).
3x 1
3. y
1 2x
Giải
1
1
Hàm số đồng biến trên các khoảng ( ; ) và ( ,
2
2
4. y

);

).

x2 x 1
2x 1
Giải

Hàm số đồng biến trên các khoảng (

;

1

3
2

1
) và (

3
2

;

);

1
Nghịch biến trên các khoảng (

3 1
1 1 3
; ) và ( ;
).
2
2
2
2
Bài 2. Xét chiều biến thiên của hàm số:

1. y

2x 1

3x 5

Giải
TXĐ: D

5
;
3

3
2 3x 5
Bảng biến thiên:
Ta có: y ' 2

4 3x 5 3
; y' 0
2 3x 5

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

4 3x 5

3

x

89

48

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 1 -


Khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương

5
3

x

89
48
0

-

y'

Khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số

+

7
3

y

Hàm số nghịch biến trên khoảng
2. y

1
cos2 x
2
Giải

y ' sin 2 x

3 cos x

3 sin x

sin x

3
2

cos x

1
;x
2

.

0,

2sin x cos x

0

y' 0

5 89
89
;
;
; đồng biến trên khoảng
3 48
48

3 sin x

x

0, x

x

5
6

sin x(2 cos x

3)

Bảng biến thiên:

5
6
0

0

x

+

y'

-

y

Hàm số đồng biến trên khoảng 0,
(Chú ý: Với x
3. y

1
3

x .(1 x)

0,

5
6

; nghịch biến trên khoảng

5
,
6

thì sin x 0 nên dấu của y’ chính là dấu của 2 cos x

3 ).

2
3

Giải
TXĐ: R
Ta có: y '

1
1 3x
.
; y' 0
27 3 x 2 (1 x)

1
3

x

Dấu của y’ chính là dấu của (1-3x)(1-x). Do đó ta có bảng biến thiên như sau:
1

x
0
1
+
3
+
+
0
+
y'

y

Hàm số đồng biến trên các khoảng
4. y

x 2 .cos
2 x cos
;
2
x 2 x cos
1

;

1
và (1;
3

1

) ; nghịch biến trên khoảng ( ; 1).
3

là tham số.

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 2 -


Khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương

Khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số

Giải
TXĐ: R
Ta có: y '

2sin 2 .( x 2 1)
; y' 0
( x 2 2 x.cos
1) 2

Bảng biến thiên:
x
y'
+

x2 1 0

-1

x

1

1

0

-

+

0

+

y

Hàm số đồng biến trên các khoảng (

; 1) và (1; + ); nghịch biến trên khoảng (-1;1)

Bài 3. Tìm các giá trị của tham số m để hàm số: y

1 3
x mx 2 (m 6) x 2m 1 đồng biến trên R (đồng

3

biến với mọi x)
Giải
TXĐ: R
Để hàm số đồng biến trên R (đồng biến với mọi x) thì ta phải có y ' 0 x

x 2 2mx m 6 0

x

' 0
m2 m 6 0

2 m 3
(m 1) 3
Bài 4. Cho hàm số: y
.x mx 2 (3m 2) x
3
Tìm m để hàm số luôn đồng biến.
Giải
y ' (m 1) x 2

2mx 3m 2

Để hàm số luôn đồng biến thì y ' 0 x
+ Với m-1 = 0  m = 1 thì y’ = 2x +1 đổi dấu khi x vượt qua

1
2

Vậy hàm số không thể luôn đồng biến.
Bài 5. Cho hàm số: y

(m 1) x 4 mx 2 3 m

Tìm m để hàm số đồng biến trên (1,

)

Giải

y ' 4(m 1) x3 2mx 2 x 2(m 1) x 2 m
Hàm số đồng biến trên (1;

)

y' 0 x

1;

+) m = 1 thì y’ = -2x
Khi đó y’ không thể lớn hơn hoặc bằng 0 trên 1;

=> m = 1 không thỏa mãn.

+) m-1 > 0  m > 1, y’ = 0 có 3 nghiệm
Khi đó ta có dấu của y’ như sau:
-

-

m
2( m 1)

m
2(m 1)

0
+

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

-

+
+

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 3 -


Khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương

y' 0 x

m
2(m 1)

1;

Khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số

1

m 2(m 1)

m 2

+) m – 1 < 0  m < 1
Xét f(x) = 2(m - 1)x2 – m
f 8m(m 1); m 1 0
- Nếu

0

m 0 kết hợp với m < 1 => 0 m 1 thì f ( x) 0 x

8m 0

=> dấu của y ' 2 x 2(m 1) x 2 m như sau:
- Nếu

m 0 thì y’ có 3 nghiệm.

0

Khi đó dấu của y ' 2 x 2(m 1) x 2 m như sau:
-

+

-

Vậy không thể có y ' 0 trên (1;

+

)

Đáp số: m 2
(m2 5m) x3 6mx 2 6 x 5

Bài 6. Cho hàm số: y

Tìm m để hàm số đơn điệu trên R. Khi đó hàm số đồng biến hay nghịch biến?
Giải
y'

3(m2 5m) x 2 12mx 6

Hàm số đơn điệu trên R khi và chỉ khi y’ không đổi dấu.
Xét các trường hợp sau:
+) m2 5m 0

m 0
m

5

Với m = 0 => y’ = 6 > 0 => Hàm số đơn điệu trên R và hàm số đồng biến
1
Với m = -5 => y’ = -60x + 6 => Hàm số đổi dấu khi x vượt qua
(không thỏa mãn)
10
m 0
+) m2 5m 0
m
5
Khi đó y’ không đổi dấu nếu

' 3m2 5m 0

Với điều kiện đó ta có: 3(m2 5m) 0
Kết luận:

5
3

5
3

m 0

y ' 0 trên R => Hàm số đồng biến trên R.

m 0 thì hàm số đơn điệu trên R cụ thể là hàm số luôn đồng biến.

m

x 1
Tìm m để hàm số đồng biến trên TXĐ (đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó)
Giải
TXĐ: x 1
m
y' 1
( x 1) 2

Bài 7. Cho hàm số: y

- Nếu m 0 thì y’ > 0

x 2

x 1 do đó hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (

;1) và (1;+

), tức đồng biến

trên TXĐ.
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 4 -


Khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương

- Nếu m > 0 thì y '

x2

Khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số

2x 1 m
, y' 0
( x 1) 2

x 1

m

Ta có bảng biến thiên:
x

y'

-

1

+

1

m

0

-

1

-

+

m

+

y

Hàm số nghịch biến trên (1- m ;1) và (1;1+ m ) nên không thể đồng biến trên tập xác định.
Đáp số : m 0

Giáo viên: Lê Bá Trần Phƣơng
Nguồn

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

:

Hocmai.vn

- Trang | 5 -