Khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số thầy lê bá trần phương (phần 02)

Khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương

Khoảng ñồng biến, nghịch biến của hàm số

KHOẢNG ðỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ

BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG
Các bài tập trong tài liệu này ñược biên soạn kèm theo bài giảng Khoảng ñồng biến nghịch biến của hàm số
thuộc khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương tại website Hocmai.vn ñể giúp các Bạn kiểm tra, củng cố
lại các kiến thức ñược giáo viên truyền ñạt trong bài giảng Khoảng ñồng biến nghịch biến của hàm số. ðể sử
dụng hiệu quả, Bạn cần học trước Bài giảng sau ñó làm ñầy ñủ các bài tập trong tài liệu này.
(Tài liệu dùng chung bài 01+02+03)

Bài 1. Xét sự ñồng biến, nghịch biến của hàm số:
1
1
1. y = x 4 − x 2 + 3
4
2
2
2. y = x3 − 2 x + 2
3
3x + 1
3. y =
1− 2x

x2 − x + 1
2x −1
Bài 2. Xét chiều biến thiên của hàm số:

4. y =

1. y = 2 x − 1 − 3 x − 5
1
1
2. y = − cos2 x − 3 cos x + ; x ∈ [ 0, π ]
2
2
1

2

3. y = x 3 .(1 − x) 3
4. y =

x 2 .cosα − 2 x + cosα
; α là tham số.
x 2 − 2 x cos α + 1

1
Bài 3. Tìm các giá trị của tham số m ñể hàm số: y = x 3 + mx 2 + ( m + 6) x − 2m − 1 ñồng biến trên R (ñồng
3
biến với mọi x).
( m − 1) 3
Bài 4. Cho hàm số: y =
.x + mx 2 + (3m − 2) x
3
Tìm m ñể hàm số luôn ñồng biến.

Bài 5. Cho hàm số: y = ( m − 1) x 4 − mx 2 + 3 − m

Tìm m ñể hàm số ñồng biến trên (1, +∞ )

Bài 6. Cho hàm số: y = −( m2 + 5m) x3 + 6mx 2 + 6 x − 5
Tìm m ñể hàm số ñơn ñiệu trên R. Khi ñó hàm số ñồng biến hay nghịch biến?
m
Bài 7. Cho hàm số: y = x + 2 +
x −1
Tìm m ñể hàm số ñồng biến trên tập xác ñịnh (ñồng biến trên mỗi khoảng xác ñịnh của nó).

Giáo viên: Lê Bá Trần Phương
Nguồn
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12

:

Hocmai.vn
- Trang | 1 -


Khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương

Khoảng ñồng biến, nghịch biến của hàm số

KHOẢNG ðỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ

ðÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG
Các bài tập trong tài liệu này ñược biên soạn kèm theo bài giảng Khoảng ñồng biến nghịch biến của hàm số

thuộc khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương tại website Hocmai.vn ñể giúp các Bạn kiểm tra, củng cố
lại các kiến thức ñược giáo viên truyền ñạt trong bài giảng Khoảng ñồng biến nghịch biến của hàm số. ðể sử
dụng hiệu quả, Bạn cần học trước Bài giảng sau ñó làm ñầy ñủ các bài tập trong tài liệu này.
(Tài liệu dùng chung bài 01+02+03)

Bài 1. Xét sự ñồng biến, nghịch biến của hàm số:
1
1
1. y = x 4 − x 2 + 3
4
2
Giải
Hàm số ñồng biến trên các khoảng (-1;0) và (1; +∞) ;
nghịch biến trên các khoảng (- ∞ ; -1) và (0;1).
2
2. y = x 3 − 2 x + 2
3
Giải
Hàm số ñồng biến trên các khoảng (- ∞ ;-1) và (1;+ ∞ );
Nghịch biến trên các khoảng (-1;1).
3x + 1
3. y =
1− 2x
Giải
1
1
Hàm số ñồng biến trên các khoảng (−∞; ) và ( , +∞) .
2
2

x2 − x + 1
2x −1
Giải

4. y =

Hàm số ñồng biến trên các khoảng (−∞;

1− 3
1+ 3
) và (
; +∞) ;
2
2

1− 3 1
1 1+ 3
; ) và ( ;
).
Nghịch biến trên các khoảng (
2
2
2
2
Bài 2. Xét chiều biến thiên của hàm số:
1. y = 2 x − 1 − 3 x − 5
Giải

5


TXð: D =  ; +∞ 
3

3
4 3x − 5 − 3
89
=
; y ' = 0 ⇔ 4 3x − 5 = 3 ⇔ x =
48
2 3x − 5
2 3x − 5
Bảng biến thiên:

Ta có: y ' = 2 −

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 1 -


Khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương

5
3

x

-

y'

Khoảng ñồng biến, nghịch biến của hàm số

89
48
0

+∞
+

7
3

y

 5 89 
Hàm số nghịch biến trên khoảng  ;  ; ñồng biến trên khoảng
 3 48 
1
1
2. y = − cos2 x − 3 cos x + ; x ∈ [ 0, π ]
2
2
Giải

 89

 ; +∞  .

 48


y ' = sin 2 x + 3 sin x = 2 sin x cos x + 3 sin x = sin x(2 cos x + 3)
sin x = 0
 x = 0, x = π

y'= 0 ⇔
⇔
 cos x = − 3
 x = 5π

6

2
Bảng biến thiên:
5π
0
x
6
+
0
y'

π
-

y

 5π

Hàm số ñồng biến trên khoảng  0,
 6


 5π 
,π 
 ; nghịch biến trên khoảng 

 6


(Chú ý: Với x ∈ [ 0, π ] thì sin x ≥ 0 nên dấu của y’ chính là dấu của 2 cos x + 3 ).
1

2

3. y = x 3 .(1 − x) 3
Giải
TXð: R
Ta có: y ' =

1
1 − 3x
1
.
; y' = 0 ⇔ x =
2
27 3 x (1 − x)
3

Dấu của y’ chính là dấu của (1-3x)(1-x). Do ñó ta có bảng biến thiên như sau:
1
-∞
0
1
+∞
x
3
+
+
0
+
y'
y

1
1

Hàm số ñồng biến trên các khoảng  −∞;  và (1; +∞) ; nghịch biến trên khoảng ( ; 1).
3
3

4. y =

x 2 .cosα − 2 x + cosα
; α là tham số.
x 2 − 2 x cos α + 1

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 2 -


Khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương

Khoảng ñồng biến, nghịch biến của hàm số

Giải
TXð: R

2sin 2 α .( x 2 − 1)
; y ' = 0 ⇔ x2 − 1 = 0 ⇔ x = ±1
2
2
( x − 2 x.cosα + 1)
Bảng biến thiên:
x
-∞
-1
1
y'
+
0
0

Ta có: y ' =

+∞

+

y

Hàm số ñồng biến trên các khoảng (−∞; −1) và (1; + ∞ ); nghịch biến trên khoảng (-1;1)

Bài 3. Tìm các giá trị của tham số m ñể hàm số: y =

1 3
x + mx 2 + ( m + 6) x − 2 m − 1 ñồng biến trên R (ñồng
3

biến với mọi x)
Giải
TXð: R
ðể hàm số ñồng biến trên R (ñồng biến với mọi x) thì ta phải có y ' ≥ 0 ∀x

⇔ x 2 + 2mx + m + 6 ≥ 0 ∀x
⇔ ∆' ≤ 0
⇔ m 2 − m − 6 ≤ 0 ⇔ −2 ≤ m ≤ 3
(m − 1) 3
Bài 4. Cho hàm số: y =
.x + mx 2 + (3m − 2) x
3
Tìm m ñể hàm số luôn ñồng biến.
Giải
y ' = ( m − 1) x 2 + 2mx + 3m − 2
ðể hàm số luôn ñồng biến thì y ' ≥ 0 ∀x
+ Với m-1 = 0

m = 1 thì y’ = 2x +1 ñổi dấu khi x vượt qua −

1
2

Vậy hàm số không thể luôn ñồng biến.

Bài 5. Cho hàm số: y = ( m − 1) x 4 − mx 2 + 3 − m
Tìm m ñể hàm số ñồng biến trên (1, +∞)
Giải
y ' = 4(m − 1) x3 − 2mx = 2 x  2( m − 1) x 2 − m 
Hàm số ñồng biến trên (1; +∞) ⇔ y ' ≥ 0 ∀x ∈ (1; +∞ )
+) m = 1 thì y’ = -2x
Khi ñó y’ không thể lớn hơn hoặc bằng 0 trên (1; +∞ ) => m = 1 không thỏa mãn.
+) m-1 > 0
m > 1, y’ = 0 có 3 nghiệm
Khi ñó ta có dấu của y’ như sau:
-∞

-

m
2(m − 1)

m
2(m − 1)

0
+

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

-

+∞
+

Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 3 -


Khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương

y ' ≥ 0 ∀x ∈ (1; +∞ ) ⇔

Khoảng ñồng biến, nghịch biến của hàm số

m
≤ 1 ⇔ m ≤ 2(m − 1) ⇔ m ≥ 2
2(m − 1)

+) m – 1 < 0
m<1
Xét f(x) = 2(m - 1)x2 – m
∆f = 8m( m − 1); m − 1 < 0
- Nếu ∆ ≤ 0 ⇔ 8m ≥ 0 ⇔ m ≥ 0 kết hợp với m < 1 => 0 ≤ m < 1 thì f ( x) ≤ 0 ∀x
=> dấu của y ' = 2 x  2( m − 1) x 2 − m  như sau:
- Nếu ∆ > 0 ⇔ m < 0 thì y’ có 3 nghiệm.
Khi ñó dấu của y ' = 2 x  2( m − 1) x 2 − m  như sau:

-∞

+

-

+∞

Vậy không thể có y ' ≥ 0 trên (1; +∞ )
ðáp số: m ≥ 2

Bài 6. Cho hàm số: y = −( m2 + 5m) x3 + 6mx 2 + 6 x − 5
Tìm m ñể hàm số ñơn ñiệu trên R. Khi ñó hàm số ñồng biến hay nghịch biến?
Giải
y ' = −3( m2 + 5m) x 2 + 12mx + 6
Hàm số ñơn ñiệu trên R khi và chỉ khi y’ không ñổi dấu.
Xét các trường hợp sau:
m = 0
+) m 2 + 5m = 0 ⇔ 
 m = −5
Với m = 0 => y’ = 6 > 0 => Hàm số ñơn ñiệu trên R và hàm số ñồng biến
1
Với m = -5 => y’ = -60x + 6 => Hàm số ñổi dấu khi x vượt qua
(không thỏa mãn)
10
m ≠ 0
+) m 2 + 5m ≠ 0 ⇔ 
m ≠ −5

5

Khi ñó y’ không ñổi dấu nếu ∆ ' = 3m 2 + 5m ≤ 0 ⇔ − ≤ m < 0
3
Với ñiều kiện ñó ta có: −3(m 2 + 5m) > 0 ⇒ y ' > 0 trên R => Hàm số ñồng biến trên R.

5
Kết luận: − ≤ m ≤ 0 thì hàm số ñơn ñiệu trên R cụ thể là hàm số luôn ñồng biến.
3
m
Bài 7. Cho hàm số: y = x + 2 +
x −1
Tìm m ñể hàm số ñồng biến trên TXð (ñồng biến trên mỗi khoảng xác ñịnh của nó)
Giải
TXð: x ≠ 1
m
y ' = 1−
( x − 1)2
- Nếu m ≤ 0 thì y’ > 0 ∀x ≠ 1 do ñó hàm số ñồng biến trên mỗi khoảng ( −∞;1) và (1;+ ∞ ), tức ñồng biến
trên TXð.
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 4 -


Khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương

- Nếu m > 0 thì y ' =

Khoảng ñồng biến, nghịch biến của hàm số

x2 − 2x + 1 − m
, y ' = 0 ⇔ x = 1± m
( x − 1)2

Ta có bảng biến thiên:
x
y'

-∞

1− m
+

0

1+ m

1
-

-

+∞
+

y

Hàm số nghịch biến trên (1- m ;1) và (1;1+ m ) nên không thể ñồng biến trên tập xác ñịnh.
ðáp số : m ≤ 0

Giáo viên: Lê Bá Trần Phương
Nguồn

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12

:

Hocmai.vn

- Trang | 5 -


Khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương

Khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số

KHOẢNG ĐỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ (Phần 02)

TÀI LIỆU BÀI GIẢNG
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG
Đây là tài liệu tóm lược các kiến thức đi kèm với bài giảng Khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số
thuộc khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương tại website Hocmai.vn. Để có thể nắm vững kiến
thức phần Khoảng đồng biến nghịch biến của hàm số, Bạn cần kết hợp xem tài liệu cùng với bài giảng
này.

Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số
Ví dụ 5: y

x2

x 1
x 1

Ví dụ 6: y

2x 2 4x 3
2( x 1)

Ví dụ 7: y

3x 1
x 3

Ví dụ 8: y

x 1
x 10

Ví dụ 9: y

Ví dụ 10: y

x 4
x

x2
x2 1

sin 20 x cos 20 x

x

0;

2

Giáo viên: Lê Bá Trần Phƣơng
Nguồn:

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

Hocmai.vn

- Trang | 1 -