TUYỂN CHỌN bài tập LĂNG TRỤ có đáp án (ôn THI THPT QUỐC GIA)

Tất cả vì học sinh thân yêu

HÌNH KHÔNG GIAN
Bài 1: Cho lăng trụ đứng ABC . A' B ' C ' , có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB  a, AC  a 3 ,
mặt bên BCC ' B ' là hình vuông, M , N lần lượt là trung điểm của CC ' và B 'C ' . Tính thể tích khối
lăng trụ ABC . A' B ' C ' và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng A'B' và MN .

  120o và
Bài 2: Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A ' B' C ' D ' có đáy là hình thoi cạnh a, BAD

AC'  a 5. Tính thể tích khối lăng trụ ABCD.A ' B' C ' D ' và khoảng cách giữa hai đường thẳng
AB' và BD theo a.
Bài 3: Cho lăng trụ đứng ABCD.A ' B 'C ' D ' , đáy ABCD

là hình chữ nhật có

AB  a, AD  a 3 . Biết góc giữa đường thẳng A 'C và mặt phẳng ABCD bằng 600 . Tính thể





tích khối lăng trụ ABCD.A ' B 'C ' D ' và khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau B 'C và
C ' D theo a .
Bài 4: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’, có đáy ABC là tam giác vuông cân ở B và AB = a.
Hình chiếu vuông góc của A’ lên (ABC) trùng với trung điểm H của cạnh AB. Biết diện tích mặt
bên ABB’A’ bằng 3a 2 .Tính thể tích khối lăng trụ đã cho. Tính khoảng cách từ điểm B đến
mp(ACB’).

Bài 5: Cho lăng trụ ABC.A ' B ' C ' có đáy ABC là tam giác vuông tại A , cạnh AB  3a , BC  5a .
Hình chiếu vuông góc của điểm B ' trên mặt phẳng  ABC  là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác

Facebook cá nhân : />
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI

1


Tất cả vì học sinh thân yêu

ABC . Góc giữa hai mặt phẳng  ABB ' A '  và mặt phẳng  ABC  bằng 600 . Tính thể tích khối lăng trụ

ABC.A ' B ' C ' và khoảng cách từ điểm B ' đến mặt phẳng  ACC ' A '  .

Bài 6 : Cho hình lăng trụ đứng ABC .A1B1C 1 có đáy ABC là tam giác đều, cạnh AB  a ,

AA1  2a . Tính theο a thể tích khối lăng trụ ABC .A1B1C 1 và khoảng cách từ A đến
mp A1BC  .

Bài 7: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều có cạnh bằng a, cạnh bên tạo với đáy
góc 300. Biết hình chiếu vuông góc của A’ trên (ABC) trùng với trung điểm cạnh BC. Tính theo a
thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện A’ABC.

Bài 8: Cho lăng trụ ABC.A’B’C’, có đáy là một tam giác đều cạnh bằng 2a . Hình chiếu vuông góc
của B lên mặt phẳng (A’B’C’) trùng với trung điểm H của cạnh B’C’, K là điểm trên cạnh AC sao
cho CK=2AK và BA '  2a 3. Tính thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và khoảng cách giữa hai
đường thẳng CC’ và BK theo a .

Bài 9: Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy bằng a, góc giữa hai mặt phẳng
(A’BC) và (ABC) bằng 600. Gọi M là trung điểm cạnh BC, N là trung điểm cạnh CC’. Tính theo a
thể tích khối chóp A.BB’C’C và khoảng cách từ M đến mặt phẳng (AB’N).
Bài giải:

Facebook cá nhân : />
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI

2


Tất cả vì học sinh thân yêu

Bài 10: Cho lăng trụ tam giác ABC.A1B1C1 có tất cả các cạnh bằng a , góc tạo bởi cạnh bên và
mặt phẳng đáy bằng 300. Hình chiếu H của điểm A trên mặt phẳng (A1B1C1) thuộc đường thẳng
B1C1. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A1B1C1 và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AA1 và
B1C1 theo a.

Bài 11 : Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng 2. Gọi M là trung điểm của AD và N
là tâm của hình vuông CC’D’D. Tính thể tích của khối cầu đi qua 4 đỉnh M, N, B, C’ và khoảng
cách giữa 2 đường thẳng A’B’ với MN.

Bài 12: Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ cạnh đáy bằng a; chiều cao bằng 2a . Mặt phẳng
(P) qua B’ và vuông góc A’C chia lăng trụ thành hai khối. Tính tỉ lệ thể tích của hai khối đó và
tính khoảng cách từ điểm A đến (P).

Bài 13: Cho hình lập phương ABCD. A ' B ' C ' D ' có đoạn thẳng nối hai tâm của hai mặt bên kề nhau
có độ dài bằng a. Tính theo a thể tích khối lập phương ABCD. A ' B ' C ' D ' và khoảng cách giữa hai
đường thẳng AC ' và B ' D ' .
Bài giải:

Bài 14 : Cho hình lập phương ABCD.A ' B 'C ' D ' có cạnh bằng a. Gọi M và N lần lượt là trung
điểm của các cạnh A'B' và B'C '.
1. Tính thể tích của khối tứ diện AD'MN theo a.
Facebook cá nhân : />

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI

3


Tất cả vì học sinh thân yêu

2. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và D’N.

Bài 15 : Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC. A1 B1C1 có AA1  a 2 , đường thẳng B1C tạo với
mặt phẳng ( ABB1 A1 ) một góc 450 . Tính theo a thể tích khối lăng trụ đã cho và khoảng cách giữa
hai đường thẳng AB1 và BC.

Bài 16: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình thoi cạnh a,
, AA ' 

7a
. Hình chiếu vuông góc của A’ lên mặt phẳng (ABCD) trùng với giao điểm
2

cùa AC và BD. Tính theo a thể tích khối hộp ABCD.A’B’C’D’ và khoảng cách từ D’ đến mặt
phẳng (ABB’A’).

Bài 17 : Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình thoi cạnh a 3 , BD = 3a, hình
chiếu vuông góc của B lên mặt phẳng (A’B’C’D’) là trung điểm của A’C’. biết rằng côsin của góc
tạo bởi hai mặt phẳng (ABCD) và (CDD’C’) bằng

21
. tính theo a
7

thể tích khối hộp

ABCD.A’B’C’D’ và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện A’BC’D’.
Bài giải:

Facebook cá nhân : />
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI

4


Tất cả vì học sinh thân yêu

Bài 18: Cho hình lăng trụ ABCD. A ' B ' C ' D ' có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên AA’ =
a, hình chiếu vuông góc của A’ trên mặt phẳng (ABCD) trùng với trung điểm I của AB. Gọi K là
trung điểm của BC. Tính theo a thể tích khối chóp A’.IKD và khoảng cách từ I đến mặt phẳng
(A’KD).

Bài 19 : Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại A,AB=2a,AC=a,AA’ =
3a. Tính thể tích khối lăng trụ và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB’ và BC.

Bài 20: Cho lăng trụ tam giác ABC.A1B1C1 có tất cả các cạnh bằng a , góc tạo bởi cạnh bên và
mặt phẳng đáy bằng 300. Hình chiếu H của điểm A trên mặt phẳng (A1B1C1) thuộc đường
thẳng B1C1. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A1B1C1 và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng
AA1 và B1C1 theo a.

Bài 21 : Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, đỉnh A’ cách đều A,
B, C. Góc giữa cạnh bên và mặt đáy của lăng trụ bằng 600. Tính theo a thể tích khối lăng trụ
ABC.A’B’C’. Xác định tâm và tính theo a bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp A’.ABC.

Bài 22: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với AB  2a .
Hình chiếu vuông góc của B xuống mặt đáy (A’B’C’) là trung điểm H của cạnh A’B’. Tính theo a
thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và khoảng cách từ C’ đến mặt phẳng (A’BC) biết góc giữa
đường thẳng BC’ và mặt phẳng (A’B’C’) bằng 450 .
Bài giải:
Facebook cá nhân : />
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI

5


Tất cả vì học sinh thân yêu

Bài 23 : Cho hình lăng trụ ABCD. A ' B ' C ' D ' , dáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên AA’ tạo với đáy một
góc 600; hình vhiếu vuông góc của A’ lên (ABCD) là trung điểm I của AB. Gọi M là trung điểm BC. Tính
thể tích khối chóp A’.AICD và khoảng cách từ I đến (A’MD)

Bài 25 : Cho lăng trụ ABC.A1B1C1 có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB=a,BC=2a. Hình chiếu
vuông góc của điểm A1 trên mặt phẳng (ABC) trùng với trung điểm của AC. Góc giữa 2 mặt phẳng
(BCC1B1) và (ABC) bằng 600 . Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và khoảng cách giữa 2 đường
thẳng AA1 và BC theo a.

Bài 26 : Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác cân tại A, BC=a, AA '  a 2 và

cos BA
'C 

5
6

1. Tính thể tích hình lăng trụ ABC.A’B’C’
2. Tính góc giữa đường thẳng A’B và mặt phẳng (AA’C’C).

Bài 27 : Cho lăng trụ ABC.A1B1C1 có các mặt bên là các hình vuông cạnh a. Gọi D, E, F lần lượt
là trung điểm của các cạnh BC, A1C1, B1C1. Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng DE và
A1F.

  600 .
Bài 28: Cho lăng trụ đứng ABCD.A1B1C1D1 có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và góc BAD

Gọi O, O1 lần lượt là tâm của hai đáy, OO1 = 2a.
a) Tính diện tích các mặt chéo ACC1A1 và BDD1B1 của hình lăng trụ.
Facebook cá nhân : />
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI

6


Tất cả vì học sinh thân yêu

b) Gọi S là trung điểm của OO1. Tính khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (SAB).

Bài 29 : Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, AA’ = 2a và góc giữa
đường thẳng AA’ và mặt phẳng (ABC) là 600. Tính thể tích khối tứ diện ACA’B’.

0
Bài 30: Cho khối lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ . Mặt phẳng (A’BC) tạo với đáy một góc 30

và tam giác A’BC có diện tích là 8. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’.

Bài 31: Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có các cạnh AB  AD  a, AA' 

a 3
và góc
2

  600 . Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh A’D’ và A’B’. Chứng minh rằng AC’ vuông
BAD
góc với mặt phẳng (BDMN) và tính thể tích khối chóp A.BDMN.

Facebook cá nhân : />
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI

7


Tất cả vì học sinh thân yêu

LỜI GIẢI CHI TIẾT
Bài 1: Cho lăng trụ đứng ABC . A' B ' C ' , có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB  a, AC  a 3 ,
mặt bên BCC ' B ' là hình vuông, M , N lần lượt là trung điểm của CC ' và B 'C ' . Tính thể tích khối
lăng trụ ABC . A' B ' C ' và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng A'B' và MN .
Bài giải:

Ta có BC= BB’=2a

1
. V ABC. A'B 'C '  BB'.S ABC  2a. a.a 3  a 3 3
2

Facebook cá nhân : />
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI

8


Tất cả vì học sinh thân yêu

Gọi P là trung điểm của A’C’ mp(CA’B’) //mp(PMN) nên suy ra khoảng cách
d(A’B’;MN)= d(A’B’;(MNP))= d(A’;(MNP))= d(C’;(MNP))= C’H (H là hình
chiếu vuông góc của C’ lên mp(MNP)
Cm được H thuộc cạnh PM áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông MPC’

C ' M .C ' P

C' H 

2

C' P  C' M

2



a 21
7

  120o và

Bài 2: Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A ' B' C ' D ' có đáy là hình thoi cạnh a, BAD

AC'  a 5. Tính thể tích khối lăng trụ ABCD.A ' B' C ' D ' và khoảng cách giữa hai đường thẳng
AB' và BD theo a.
Bài giải:
A'

Gọi O là tâm hình thoi ABCD.

D'

  120o
Do hình thoi ABCD có BAD

 ABC, ACD đều.
 AC  a.

Ta có: SABCD  2SABC 

C'

B'

a2 3
2

A

D

H

120o
O
B

C

Facebook cá nhân : />
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI

9


Tất cả vì học sinh thân yêu

Mà ABCD.A ' B' C ' D ' là lăng trụ đứng.
 ACC ' vuông tại C  CC'  AC'2  AC2  5a2  a2  2a.

Vậy VABCD.A 'B'C'D'  CC'.SABCD  2a 

a2 3
 a3 3.
2

Tứ giác AB'C ' D là hình bình hành  AB' // C ' D  AB' // (BC' D).

 d(AB',BD)  d(AB',(BC' D))  d(A,(BC'D))  d(C,(BC' D)).
Vì BD  AC,BD  CC'  BD  (OCC')  (BC' D)  (OCC').
Trong (OCC'), kẻ CH  OC' (H  OC').

 CH  (BC' D)  d(C,(BC' D))  CH
OCC ' vuông tại C 

Vậy d(AB', BD) 

2a

1
1
1
4
1
2a


 2  2  CH 
2
2
2
CH
CO CC'
a 4a
17


17
Bài 3: Cho lăng trụ đứng ABCD.A ' B 'C ' D ' , đáy ABCD



là hình chữ nhật có



AB  a, AD  a 3 . Biết góc giữa đường thẳng A 'C và mặt phẳng ABCD bằng 600 . Tính thể
tích khối lăng trụ ABCD.A ' B 'C ' D ' và khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau B 'C và
C ' D theo a .
Bài giải:

Facebook cá nhân : />
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI

10


Tất cả vì học sinh thân yêu

ABCD.A ' B 'C ' D '
A ' A   ABCD  .

Do



Suy ra góc giữa A 'C và mặt phẳng ABCD



là

D'

A'

là lăng trụ đứng nên

B'

C'


A
'CA  600

H
A

D

M
600

B

C

Có AC  AB 2  BC 2  2a  A ' A  AC . tan 600  2a 3
ABCD là hình chữ nhật có AB  a, AD  a 3  SABCD  AB.AD  a 2 3
Vậy thể tích khối lăng trụ ABCD.A ' B 'C ' D ' là V  A ' AS

. ABCD  6a 3
Do C’D//AB’ nên C’D//(AB’C)









Suy ra d C ' D, B 'C  d C ' D, A B 'C

   d C ',  A B 'C    d  B,  A B 'C  

Do BC’ giao với mp(AB’C) tại trung điểm của BC’ (vì BCC’B’ là hình chữ nhật)



 
 

Kẻ BH  B ' M  BH   AB 'C  hay d  B,  A B 'C    BH

Kẻ BM  AC  AC  BB ' M  AB 'C  BB ' M theo giao tuyến B’M

Có

1
1

1
1
1
1
17
2a 51






 BH 
2
2
2
2
2
2
2
17
BH
B 'B
BM
B 'B
BC
AB
12a





Vậy d C ' D, B 'C 

2a 51
17

Facebook cá nhân : />
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI

11


Tất cả vì học sinh thân yêu

Bài 4: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’, có đáy ABC là tam giác vuông cân ở B và AB = a.
Hình chiếu vuông góc của A’ lên (ABC) trùng với trung điểm H của cạnh AB. Biết diện tích mặt
bên ABB’A’ bằng 3a 2 .Tính thể tích khối lăng trụ đã cho. Tính khoảng cách từ điểm B đến
mp(ACB’).

Bài giải:
a) Tính thể tích khối lăng trụ đã cho.

Diện tích tam giác ABC là:

S

A’
C’

1
1
AB.BC  a 2
2
2
B’

Theo gt ta có: A' H . AB  3a 2  A' H  3a
Thể tích khối lăng trụ đã cho là:

3
V  S . A' H  a 3
2

E

I

A
C
H
B

b) Tính khoảng cách từ điểm B đến mp(ACB’).

d B;  ACB'  2d H ;  ACB'  2 HK
Facebook cá nhân : />
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI

12


Tất cả vì học sinh thân yêu

Với K là trực tâm tam giác AEI và

1
1
1
1
9
a



 2  HK 
2
2
2
2
3
HK
HA
HI
HE
a
Vậy d B;  ACB'  2 HK 

2a

.
3

Bài 5: Cho lăng trụ ABC.A ' B ' C ' có đáy ABC là tam giác vuông tại A , cạnh AB  3a , BC  5a .
Hình chiếu vuông góc của điểm B ' trên mặt phẳng  ABC  là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
ABC . Góc giữa hai mặt phẳng  ABB ' A '  và mặt phẳng  ABC  bằng 60 0 . Tính thể tích khối lăng trụ

ABC.A ' B ' C ' và khoảng cách từ điểm B ' đến mặt phẳng  ACC ' A '  .
B'

Gọi H , N lần lượt trung điểm cạnh BC và AB .

A'

C'

Ta có B ' H   ABC  và NH  AB . Suy ra góc giữa hai
mặt phẳng

và mặt phẳng

 ABC 

là


B
' NH  600 .

B

N
A

 ABB ' A '

H
C

M
F

E

Facebook cá nhân : />
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI

13


Tất cả vì học sinh thân yêu

Tam giác ABC vuông tại A , có
AC  BC 2  AB 2  4a  NH  2a

Tam giác B ' NH vuông tại H , có

tan B
' NH 

Thể

B'H
 3  B ' H  2a 3
HN

tích

khối

lăng

V  B ' H .SABC  2a 3.

trụ

ABC.A ' B ' C '

là

3a.4a
 12a3 3
2

Gọi E  B ' H  CC ' , M trung điểm AC . Gọi F hình chiếu vuông góc của H trên ME





Ta có AC  MH , AC  B ' H  AC  HF  HF   ACC ' A '   d H ;  ACC ' A '   HF

Mặt khác HM 

1
3a
, HE  B ' H  2a 3
AB 
2
2

Trong tam giác vuông MHE tại H , có đường cao HF , nên

1
HF

2



1
HM



2





1

HE



2



19
36a

2

 HF 



6a 19
19

Vì B ' E  2 HE nên d B ';  ACC ' A '   2d H ;  ACC ' A '   2HF 





Vậy d B ';  ACC ' A '  

12a 19
19

12a 19
.
19

Facebook cá nhân : />
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI

14


Tất cả vì học sinh thân yêu

Bài 6 : Cho hình lăng trụ đứng ABC .A1B1C 1 có đáy ABC là tam giác đều, cạnh AB  a ,

AA1  2a . Tính theο a thể tích khối lăng trụ ABC .A1B1C 1 và khoảng cách từ A đến
mp A1BC  .

Bài giải:
A1

C1

B1

H

C

A

M
B

S ABC 

a2 3
4

VABC . A1B1C1 

a3 3
2

Dựng AH, chứng minh AH   A1 BC 
Facebook cá nhân : />
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI

15


Tất cả vì học sinh thân yêu

d  A,  A1 BC   

2a 57
19

Bài 7: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều có cạnh bằng a, cạnh bên tạo với đáy
góc 300. Biết hình chiếu vuông góc của A’ trên (ABC) trùng với trung điểm cạnh BC. Tính theo a
thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện A’ABC.

Bài giải:
C’

B’

+Gọi H là trung điểm BC
=> A’H  (ABC)

A’

=> góc A’AH bằng 300.
Ta có:AH =

SABC =

a 3
; A’H = AH.tan300 = a/2.
C
2

B
A

a2 3
.
4

V = S ABC . A' H =

H

a3 3
.
8

+ Gọi G là tâm của tam giác ABC, qua G kẻ đt (d) // A’H cắt AA’ tại E
+ Gọi F là trung điểm AA’, trong mp(AA’H) kẻ đt trung trực của AA’ cắt (d) tại I => I là
tâm m/c ngoại tiếp tứ diện A’ABC và bán kính R = IA.
Ta có: Góc AEI bằng 600, EF =1/6.AA’ = a/6.
IF = EF.tan600 =

a 3
6

A’

E
F

Facebook cá nhân : />A

H
I

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI

16


Tất cả vì học sinh thân yêu

R=

AF2  FI 2 

a 3
3

G

Bài 8: Cho lăng trụ ABC.A’B’C’, có đáy là một tam giác đều cạnh bằng 2a . Hình chiếu vuông góc
của B lên mặt phẳng (A’B’C’) trùng với trung điểm H của cạnh B’C’, K là điểm trên cạnh AC sao
cho CK=2AK và BA '  2a 3. Tính thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và khoảng cách giữa hai
đường thẳng CC’ và BK theo a .
Bài giải:
A

K
C

B

A'

E

I

C'

D

H
B'

Facebook cá nhân : />
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI

17


Tất cả vì học sinh thân yêu

Vì BH  (A’B’C’) nên tam giác
A’BH vuông tại H
Tính được A ' H  a 3, BH  3a
VABC . A ' B 'C '  S A ' B ' C ' .BH 

4a 2 3
.3a  3 3.a 3 (đvtt)
4

Qua K kẻ đường thẳng song song với CC’ cắt A’C’ tại I. Ta có CC’ // (KBB’I ) nên
d(CC’,KB) = d(C’,( KBB’I))=2 d(H,( KBB’I)).
Dựng HD  B’I. Khi đó IB’  (BDH) suy ra (KBB’I)  (BDH)
Dựng HE  BD suy ra HE  (KBB’I).
a 28
a 21
3a
, HD 

, HE 
.
3
7
22
3a
 d(H;( KBB'I))=HE 
.
22

Tính được B ' I 

Vậy d(CC’,KB) =

3a 22
.
11

Bài 9: Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy bằng a, góc giữa hai mặt phẳng
(A’BC) và (ABC) bằng 600. Gọi M là trung điểm cạnh BC, N là trung điểm cạnh CC’. Tính theo a
thể tích khối chóp A.BB’C’C và khoảng cách từ M đến mặt phẳng (AB’N).
Bài giải:

Facebook cá nhân : />
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI

18


Tất cả vì học sinh thân yêu

A'

Tam giác ABC đều cạnh a và M là
trung điểm BC nên:
a 3
AM  BC và AM 
2

C'

B'
N
H

D

E
A

C
M
B

AMBC và AA’BCA’M BC
 Góc giữa hai mặt phẳng (A’BC) và

(ABC) là A
'MA  600 .
Tam giác A’AM vuông tại A nên:

a 3
3a
AA '  AM. tan 600 
. 3
2
2

Diện tích hình chữ nhật BB’C’C là: SBB'C'C  BB'.BC 

3a 2
2

AM  BC và AM  BB’  AM  (BB’C’C)

1
1 3a 2 a 3 a 3 3
.

Thể tích khối chóp S.ABCD là:  V  SBB'C'C .AM  
3
3 2
2
4
Trong mặt phẳng (BB’C’C), B’N cắt BC tại D.
  900
Khi đó: C là trung điểm BD và BAD
Gọi E là trung điểm AD, ta có: CE  AD. Dựng CH  NE (H  NE).
AD  CE và AD  CN  AD  (CNE)  AD  CH
CH  NE và CH  AD  CH  (AB’N).
1

a
1
3a
Ta có: CE  AB  , CN  CC' 
2
2
2
4
1
CH 2



1
CE 2



1
CN 2

Do đó: d(M, (AB' N)) 



4
a2



16
9a 2



52
9a 2

 CH 

3a
2 13

3
3
9a
d(C, (AB' N))  CH 
2
2
4 13

Facebook cá nhân : />
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI

19


Tất cả vì học sinh thân yêu

Bài 10: Cho lăng trụ tam giác ABC.A1B1C1 có tất cả các cạnh bằng a , góc tạo bởi cạnh bên và

mặt phẳng đáy bằng 300. Hình chiếu H của điểm A trên mặt phẳng (A1B1C1) thuộc đường thẳng
B1C1. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A1B1C1 và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AA1 và
B1C1 theo a.
Bài giải:
Do AH  ( A1 B1C1 ) nên góc AA1 H là góc giữa AA1 và (A1B1C1), theo giả thiết thì góc
A

AA1 H bằng 300.

B

C

K

A1

C1
H
B1

Xét tam giác vuông AHA1 có AA1 = a, góc AA1 H =300  AH 

V ABCA1 B1C1  AH .S A1 B1C 

a
.
2

a a 2 3 a3 3



2
4
8

Xét tam giác vuông AHA1 có AA1 = a, góc AA1 H =300  A1 H 
A1B1C1 là tam giác đều cạnh a, H thuộc B1C1 và A1 H 

a 3
. Do tam giác
2

a 3
nên A1H vuông góc với
2

Facebook cá nhân : />
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI

20


Tất cả vì học sinh thân yêu

B1C1. Mặt khác AH  B1C1 nên B1C1  ( AA1 H )
Kẻ đường cao HK của tam giác AA1H thì HK chính là khoảng cách giữa AA1 và B1C1
Ta có AA1.HK = A1H.AH  HK 

A1 H . AH a 3


AA1
4

Bài 11 : Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng 2. Gọi M là trung điểm của AD và N
là tâm của hình vuông CC’D’D. Tính thể tích của khối cầu đi qua 4 đỉnh M, N, B, C’ và khoảng
cách giữa 2 đường thẳng A’B’ với MN.
Bài giải:
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ, sao cho D trùng với gốc tọa độ O, A  Ox, C  Oy và

D'  Oz , khi đó ta có:
D(0;0;0),C(0;2;0),B(2;2;0),A(2;0;0)
D'(0;0;2),C'(0;2;2),B'(2;2;2);A'(2;0;2)

M là trung điểm của AD nên M(1;0;0)
N là trung điểm của CD’ nên N(0;1;1)
Gọi phương trình mặt cầu tâm I(a,b,c) đi qua 4 điểm B, C’, M, N có dạng là:
(S):x 2  y 2  z 2  2ax  2by  2cz  d  0
Vì mặt cầu (S) đi qua 4 điểm B, C’, M, N nên ta có hệ phương trình:

Facebook cá nhân : />
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI

21


Tất cả vì học sinh thân yêu

8  4a  4b  d  0
6  4b  2a  1  0

8  4b  4c  d  0
8  4b  4c  2a  1  0





1

2
a

d

0

 d  2a  1
2  2b  2c  d  0
2  2b  2c  2a  1  0
5

a  2
2a  4b  5  0

5
2a  4b  4c  7  0

b 



2
2a  2b  2c  1  0

1
d  2a  1
c 
2

d  4
2

2

2

35
5 5 1
Bán kính của mặt cầu cần tìm là R  a 2  b 2  c 2  d           4 
2
2 2 2

Thể tích của khối cầu đi qua bốn đỉnh B, C’, M, N là:
3

4
4  35  35 35
(đvtt)
V   R 3   
 
3

3  2 
6
Tính: d[ DB ', MN ]  ?
Ta có:

A ' M  (1;0  2)

 
A ' B '  (0;2;2) 

   A ' B ', MN   (2;0;2)
MN  (1;1;1) 
  
 A ' B ', MN  . A ' M  2(1)  0  2(2)  6


 
 A ' B ', MN   02  22  22  2 2


Facebook cá nhân : />
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI

22


Tất cả vì học sinh thân yêu

Khoảng

d[ A ' B '; MN ]

cách giữa hai đường thẳng A’B’
  
 A ' B ', MN  . A ' M
6
3 2





(đvđd)
 
2
2 2
 A ' B ', MN 



với

MN

được

xác

định

bởi

Bài 12: Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ cạnh đáy bằng a; chiều cao bằng 2a . Mặt phẳng
(P) qua B’ và vuông góc A’C chia lăng trụ thành hai khối. Tính tỉ lệ thể tích của hai khối đó và
tính khoảng cách từ điểm A đến (P).
Bài giải:
Gọi M là trung điểm của A’C’, chỉ ra B’M vuông góc với mặt phẳng (ACC’A’) nên
B ' M  A ' C . Do đó M   P  . Trong (ACC’A’), kẻ MN vuông góc với A’C ( N  AA ' ), do
đó N   P  . Thiết diện cắt bởi (P) là tam giác B’MN.

1
a
A' M 
2
4
1
1a1 a
a3 3
Thể tích tứ diện A’B’MN là V1  A ' N .S B ' A ' M 
a sin 600 
3
342 2
96
3
1
a 3
Thể tích lăng trụ là V  AA '.S ABC  2a. a.a.sin 600 
2
2
V1 1

1

Ta có
nên tỉ lệ thể tich của hai khối là
V 48
47
Hai tam giác A’C’C và NA’M đồng dạng nên A ' N 

Facebook cá nhân : />
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI

23


Tất cả vì học sinh thân yêu

Trong (ACC’A’), kẻ AP song song với MN (P thuộc CC’), AP cắt A’C tại J. Chỉ ra khoảng
cách cần tìm bằng HJ.
a 5
a 5
7a 5
; CJ 
; A ' C  a 5 ta được HJ 
10
5
10
7a 5
Khoảng cách cần tìm là
10

Tính được A ' H 

Bài 13: Cho hình lập phương ABCD. A ' B ' C ' D ' có đoạn thẳng nối hai tâm của hai mặt bên kề nhau
có độ dài bằng a. Tính theo a thể tích khối lập phương ABCD. A ' B ' C ' D ' và khoảng cách giữa hai
đường thẳng AC ' và B ' D ' .
Bài giải:

Facebook cá nhân : />
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI

24


Tất cả vì học sinh thân yêu

+ Gọi M, N lần lượt là hai tâm của 2 hình vuông ABB ' A '; ADD ' A '
 MN 

1
B ' D '  B ' D '  2a  A ' B '  a 2
2

VABCDA ' B ' C ' D '  AA '.S A ' B ' C ' D '  a 2(a 2)2  2 2a3 (đvtt)
+ Gọi I là giao của B ' D ' và A ' C '
Trong ( AA ' C ') kẻ IK  AC '; K  AC '
Vì

AA '  B ' D ' 
  ( AA ' C )  B ' D '  IK  B ' D '
A 'C '  B ' D 

Vậy d ( AC ', B ' D ')  IK

C ' IK đồng dạng với C ' AA '


IK
C'I
AA '.C ' I
a 2.a
a

 IK 


AA ' C ' A
C'A
a 2. 3
3

Kết luận: khoảng cách giữa hai đường thẳng AC ' và B ' D ' bằng

a
3

Facebook cá nhân : />
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI

25