200 bài tập tích phân có đáp án ôn thi thpt quốc gia megabook
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.33 MB, 48 trang )
TP1: TÍCH PHÂN HÀM SỐ HỮU TỈ
Dạng 1: Tách phân thức
2
Câu 1.
I
1
x2
dx
x2 7x 12
1
2
I 1
2
16
9
dx = x 16ln x 4 9ln x 3 1 = 1 25ln2 16ln3 .
x 4 x 3
2
Câu 2.
I
1
dx
x5 x3
1
1 1
x
x x3 x2 1
x3( x2 1)
Ta có:
I ln x
5
Câu 3.
I
4
Câu 4.
I
2
1
3
1
3
ln( x2 1) ln2 ln5
2
2
2
8
2x
1
1
2
3x2 1
x 2x 5x 6
3
2
dx
2 4 13 7 14
I ln ln ln2
3 3 15 6 5
xdx
1
( x 1)3
1
x
x 1 1
1
( x 1)2 ( x 1)3 I ( x 1)2 ( x 1)3 dx
Ta có:
3
3
0
8
( x 1)
( x 1)
0
Dạng 2: Đổi biến số
Câu 5.
I
1
Câu 6.
I
( x 1)2
(2x 1)4
dx
7x 199
101
0 2x 1
7x 1
I
2x 1
0
1
99
1 x 1
Ta có: f ( x) .
3 2x 1
I
0 (x
5x
2
4)
2
99
7x 1
1 1 7x 1
d
2x 12 9 0 2x 1 2x 1
dx
100
Câu 7.
3
x 1
1 x 1
.
I
C
9 2x 1
2x 1
dx
1 1 7x 1
9 100 2x 1
1
2
dx
1 100
1
2 1
0 900
Đặt t x2 4 I
Trang 1
1
8
1
x7
Câu 8.
I
Câu 9.
I x5(1 x3)6dx
0 (1
x 2 )5
Đặt t 1 x2 dt 2xdx I
dx
1 2 (t 1)3
1 1
dt .
2 1 t5
4 25
1
0
Đặt t 1 x3 dt 3x2dx dx
4
Câu 10. I
3
1
1
x( x 1)
4
2
2
1 x7
Câu 12. I
x(1 x7 )
1
Câu 13. I
3
1
Đặt : x
11 6
1 t 7 t8
1
t
(1
t
)
dt
30
3 7 8 168
1
2
3
1
t
1
3
t t 2 1 dt 4 ln 2
1
1 32
dt
. Đặt t x I
I 5 10
2
2
5 1 t (t 1)2
1 x .( x 1)
2
x.( x10 1)2
1
3x2
I
Đặt t x2 I
dx
dx
Câu 11. I
dt
2
I
dx
1
x4.dx
(1 x7 ).x6
x7.(1 x7 )
5
dx . Đặt t x7 I
1 128 1 t
dt
7 1 t(1 t )
dx
x (1 x2 )
6
1
I
t
3
3
1
t6
dt
t2 1
4 2
117 41 3
1
t t 1 2 dt =
135
12
t
1
3
1
3
2
Câu 14. I
x2001
1 (1
2
x2 )1002
2
x2004
I
3
2 1002
1 x (1 x )
Cách 2: Ta có: I
.dx
1
.dx
1002
1 3 1
x 2 1
x
1000
2
1 x2
4
1 1 x
1
x2
1 dt
11
x2000.2xdx
. Đặt t 1 x2 dt 2xdx
2
2000
2
2
2 0 (1 x )
(1 x )
1 2 (t 1)1000
1 2 1
I 1000 2 dt 1
21 t
2 1 t
t
Câu 15. I
.dx . Đặt t
1
1
d 1
t 2002.21001
dx
Trang 2
2
x3
dx .
1 x
Ta có:
1
2
1 x4
3
2
1
x2 . Đặt t x 1 dt 1 1 dx
1
x
x2
x2 2
x
3
2
3
2 1
1
t 2
1
I 2
.ln
ln
dt
2
t 2 t 2
2 1
2
2
t
2
2
2
2
2
t
2
1
1
1
dt
2
Câu 16. I
1
1 x2
1 1
x4
1
1
dx
1
5
2
1
2
1
1
dt
. Đặt t x dt 1 dx I
.
x
2
x
1 x 4 x2 1
t
2
x2
2
x2
du
5
5
; tan u 2 u1 arctan2; tan u u2 arctan
Đặt t 2 tan u dt 2
2
2
2
cos u
1 x
Ta có:
2
u
2 2
2
2
5
du
(u2 u1)
arctan arctan2
2 u
2
2
2
1
I
2
Câu 17. I
1 x2
3
1 x x
1
Câu 18. I
0
x4 1
x6 1
1
1
2
1
4
x
Ta có: I
dx . Đặt t x I ln
1
x
5
1
x
x
2
dx
dx
x4 1 ( x4 x2 1) x2
x4 x2 1
x2
1
x2
x6 1
x6 1
( x2 1)( x4 x2 1) x6 1 x2 1 x6 1
Ta có:
1 1 d( x3)
1
I 2 dx 3 2 dx .
3 0 (x ) 1
4 3 4 3
0 x 1
1
Câu 19.
1
3
3
I
x4 1
0
I
3
3
0
x2
x
dx
2
( x 1)( x 1)
2
1
Câu 20. I
0
2
xdx
x 4 x2 1
.
dx
1
2
3
3
0
1
1
1
2
dx ln(2 3)
2
4
12
x 1 x 1
Đặt t x2 I
1 1 dt
11
2 0 t 2 t 1 2 0
Trang 3
dt
2
1 3
t
2 2
2
6 3
Câu 21. I
1 5
2
x2 1
x 4 x2 1
1
1
1
x2 1
Ta có:
dx
x 4 x2 1
x2
1
x2
x2
. Đặt t x
1
1
1
dt 1 dx
x
x2
1
dt
I
1
2
0t
4
du
. Đặt t tan u dt
2
cos u
I du
0
4
TP2: TÍCH PHÂN HÀM SỐ VÔ TỈ
Dạng 1: Đổi biến số dạng 1
x
Câu 22. I
dx
3x 9x 1
x
I
dx x(3x 9x2 1)dx 3x2dx x 9x2 1dx
3x 9x2 1
2
3
+ I 1 3x dx x C1
2
3
1
1
+ I 2 x 9x 1dx 9x2 1 d(9x2 1) (9x2 1) 2 C2
18
27
2
3
1
I (9x2 1) 2 x3 C
27
Câu 23. I
x2 x
1 x x
x2 x
1 x x
dx
x2
dx
1 x x
x
dx
1 x x
dx .
x2
4
dx . Đặt t= 1 x x t 2 1 x x x3 (t 2 1)2 x2dx t (t 2 1)dt
3
1 x x
+ I1
4
4
4
4
(t 2 1)dt t 3 t C =
9
3
9
3
x
+ I2
1 x x
Vậy: I
4
9
4
Câu 24. I
0 1
dx =
1 x x
2x 1
2x 1
3
dx
1 x
x
3
4
1 x x C1
3
2 d(1 x x)
4
1 x x C2
=
3
3
1 x x
C
Đặt t 2x 1 . I =
Trang 4
3
t2
1 t dt 2 ln2 .
1
6
dx
Câu 25. I
2 2x 1
4x 1
1
Câu 26. I x3 1 x2 dx
3 1
2 12
Đặt t 4x 1 . I ln
1
Đặt: t 1 x2 I t 2 t 4 dt
0
0
1
1 x
Câu 27. I
0 1
2
.
15
dx
x
1
2
t t
11
4ln2 .
dt = 2 t 2 t 2
dt =
3
1 t
t 1
0
0
1 3
Đặt t x dx 2t.dt . I = 2
3
x3
Câu 28. I
dx
3
x
1
x
3
0
2
2
2
1
3
dt (2t 6)dt 6
dt 3 6ln
2
2
t 1
1 t 3t 2
1
1
Đặt t x 1 2tdu dx I
Câu 29. I
0
x.
3
2t 3 8t
x 1dx
1
1
t7 t4
9
Đặt t x 1 t x 1 dx 3t dt I 3(t 1)dt 3
28
7 4 0
0
3
3
5
Câu 30. I
1
x2 1
x 3x 1
1
2
3
dx
2
t2 1
1
4 3
2tdt
2tdt
Đặt t 3x 1 dx
I 2
.
3
3
t 1
2
.t
3
4
4
2 1 3
t 1
100
9
t t ln
ln .
9 3
t 1 2 27
5
2
3
Câu 31. I
0
2 x2 x 1
x 1
4
24 2
dt
(
t
1)
dt
2
2
92
2 t 1
dx
x 1 t x t 2 1 dx 2tdt
Đặt
2
2(t 2 1)2 (t 2 1) 1
I
2tdt
t
1
2
4t 5
54
2 (2t 4 3t 2 )dt
2t 3
5
1 5
1
2
Trang 5
1
x2dx
Câu 32. I 2
0 ( x 1)
x 1
Đặt t x 1 t 2 x 1 2tdt dx
I
2
(t 2 1)2
t3
1
4
.2tdt 2
1
x 1
Câu 33. I
1
0
2
2
t3
1
1
16 11 2
t dt 2 2t
t 1
3
t
3
2
1 2x
2
dx
Đặt t 1 1 2x dt
dx
1 2x
dx (t 1)dt và x
t 2 2t
2
1 (t 2 2t 2)(t 1)
1 4 t 3 3t 2 4t 2
1 4
4 2
Ta có: I =
dt
dt t 3 dt
2
2
22
22
2 2
t t2
t
t
4
=
Câu 34. I
8
3
1 t2
2
1
3t 4ln t = 2ln2
2 2
t
4
x 1
dx
x2 1
x
1
2
2
I
dx = x 1 ln x x 1
2
2
x 1
3 x 1
8
8
3
= 1 ln
3 2 ln 8 3
1
Câu 35. I ( x 1)3 2x x2 dx
0
1
1
I ( x 1)3 2x x2 dx ( x2 2x 1) 2x x2 ( x 1)dx . Đặt t 2x x2 I
0
0
2
2x 3x x
3
Câu 36. I
x2 x 1
0
2
I
2
( x2 x)(2x 1)
x2 x 1
0
2
dx
3
dx . Đặt t x2 x 1 I 2 (t 2 1)dt
1
x3dx
Câu 37. I
3
0
4 x2
3
Đặt t 4 x2 x2 t 3 4 2xdx 3t 2dt I
3 2 4
3 8
(t 4t )dt 43 2
23
2 5
4
Câu 38. I
1
4
.
3
11
dx
x 1 x2
Trang 6
2
.
15
Ta có: I
+ I1
+ I2
1
1 x 1 x2
1 (1
x)2 (1 x2 )
1
1 x 1 x2
1 11
1 x2
dx 1 dx
dx
2
x
2
x
2
x
1
1
1
1
dx
1 11
1
1
1 dx ln x x |1 1
2 1 x
2
1
1 x2
dx . Đặt t 1 x2 t 2 1 x2 2tdt 2xdx I2=
2x
1
2
t 2dt
2
2 2(t 1)
0
Vậy: I 1 .
Cách 2: Đặt t x x2 1 .
1
3 3
x
x
1
Câu 39. I
3
2
4 x2
dx
x
Câu 40. I
1
2
4 x2
Ta có: I
x
1
I=
0
t (tdt )
4 t2
3
Câu 41. I
2
0
( x2 1) x2 5
x 2
1
x x2
3
3
Đặt t x I 5
1
1
0
4
5
Đặt t x 5 I
3t
dt
2
4
1 15
ln .
4 7
1
x2 x 1
2
2 5
2t
1
dt 5 1
dt 5 3 1 ln
2
2
3 12
t t 1 t 1
t(t 1)
1
3
t3 2
2
dx
1 3
1
3
2 3
= 3 ln
2
3
3
2
dx
Đặt t x x2 x 1 I
Câu 44. I
0
dx
6
Câu 43. I
0
t2
x
27
4 x2 t 2 4 x2 tdt xdx
xdx . Đặt t =
t 2
dt (1
)dt t ln
2
t2
t2 4
3t 4
3
2 5
2
Câu 42. I
dx
x4
1
3
1
1
3 1
1
Ta có: I 2 1 . 3 dx . Đặt t 2 1 I 6 .
x
x
1 x
1
x2
2
2
0 (1 1 x ) (2 1 x )
4
1
2dt
ln(2t 1)
1
2t 1
3
ln
dx
42 36
4
Đặt 2 1 x t I 2t 16 2 dt 12 42ln
t
3
t
3
Trang 7
3 2 3
3
3
x2
0 2( x 1) 2
x 1 x x 1
Câu 45. I
2
t (t 1)2
1
Câu 46. I
3
2 2
x x3 2011x
3
2 2
Ta có: I
1
M
2 2
1
3
N
2011
3
1
2 2
2011
x2
dx
dx M N
3
x3
x
1
dx . Đặt t
dx
2 2
x
1
I
1
1
x2
x3
1
2 2
1
0 (1
x2
1 M
3
2
0
2 2
2011
2011x dx
2x2 1
3
t 3dt
213 7
128
14077
16
3
x3). 1 x3
3
3
3
3
2
dt
2
3
1
t 2. t 3 1 3
t
Đặt u 1
Câu 48. I
1
t3
2 2
3
du
t2
1
t 4.(t 3 1) 3
2
1
3dt
dt
3
2
dt
t4
3
2
Đặt t 1 x I
1
1
7
2
dx
Câu 47. I
3
3
14077 213 7
.
16
128
1
3
dx
x4
1
2
2 2
2
2 (t 1)2 dt (t 1)3
1
3
3
1
2t(t 2 1)2 dt
Đặt t x 1 I
dx
2
3
1
t 4 1 3
t
1
2
2
u 3
I
0
3
2
dt
1
t 2.(t 3 1) 3
2
1
t
t4
2 1 3
1
du
2
3
dt
1
2
1 2 3
u du
3
0
x4
dx
1 2
x x x 1
Đặt t x2 1
Trang 8
1
1 u3
1
2
3 1
3 0
1
1 2
u3
0
1
3
2
3
I
3 4
(t 2 1)2
dt =
t2 2
2
t 2t 2 1
t2 2
2
3
3
dt t dt
2
2t
2
1
2
2
dt
19
2 4 2
ln
3
4 4 2
Dạng 2: Đổi biến số dạng 2
1
dx
2
x
ln
1
x
1 x
0
1 x
Câu 49. I
1
1 x
Tính H
1 x
0
x cost; t 0; H 2
2
2
dx . Đặt
1
u ln(1 x)
1
K
Tính K 2x ln(1 x)dx . Đặt
2
dv 2xdx
0
Câu 50. I
2
(x
5
x2 ) 4 x2 dx
2
I=
2
(x
5
x ) 4 x dx =
2
2
2
x
5
4 x dx +
2
2
+ Tính A =
x
x
2
4 x2 dx = A + B.
2
2
2
2
5
4 x2 dx . Đặt t x . Tính được: A = 0.
2
4 x2 dx . Đặt x 2sin t . Tính được: B = 2 .
2
2
+ Tính B =
x
2
Vậy: I 2 .
2
Câu 51. I
3
4 x2 dx
2x4
1
2
Ta có: I
2
3
4
1 2x
2
+ Tính I 1 =
3
1 2x
2
+ Tính I 2
1
4
dx
dx =
4 x2
2x4
1
4 x2
2x4
dx .
3 2 4
7
x dx .
21
16
dx . Đặt x 2sin t dx 2costdt .
Trang 9
1 cos tdt 1
12
3
2 1
cot
t
dt
cot 2 t .d (cot t )
4
2
8 sin t
8
8
8
sin t
2
2
I2
2
6
Vậy: I
1
7 2 3 .
16
1
x2dx
0
4 x6
Câu 52. I
6
6
Đặt t x3 dt 3x2dx I
1 1 dt
.
3 0 4 t 2
16
Đặt t 2sin u, u 0; dt 2cosudu I dt .
2
30
18
2
2 x
dx
x2
Câu 53. I
0
1
2
0
x2dx
Câu 54. I
3 2 x x2
0
1
Ta có: I
0
x2dx
22 ( x 1)2
. Đặt x 1 2cost .
2
3
I
2
2
3
1
2
Câu 55.
t
2
Đặt x 2cost dx 2sin tdt I 4 sin2 dt 2 .
(1 2cost ) 2sin t
2
4 (2cost )2
dt =
3 4cost 2cos2t dt =
2
3 3
4
2
2
1 2x 1 x2 dx
6
Đặt x sin t I (cost sin t ) costdt
0
0
Dạng 3: Tích phân từng phần
Câu 56. I
3
x2 1dx
2
Trang 10
12
3 1
8 8
x
dx
u x2 1 du
2
Đặt
x 1
dv dx
v x
I x x 1
2
5 2
3
2
I
3
2
3
x.
2
x 1dx
2
x
x2 1
3
2
dx 5 2
dx
x2 1
2
x 1
2
3
dx
x2 1
1
5 2 I ln x x2 1
3
2
5 2
1
ln 2 1 ln2
2
4
Chú ý: Không được dùng phép đổi biến x
1
vì 2;3 1;1
cost
Trang 11
TP3: TÍCH PHÂN HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
Dạng 1: Biến đổi lượng giác
Câu 57. I
8cos2 x sin2x 3
dx
sin x cos x
(sin x cos x)2 4cos2x
dx sin x cos x 4(sin x cos x dx
sin x cos x
3cos x 5sin x C .
cot x tan x 2tan2x
Câu 58. I
dx
sin4x
2cot 2x 2tan2x
2cot 4x
cos4x
1
Ta có: I
dx
dx 2
dx
C
2
sin4x
sin4x
2sin4x
sin 4x
cos2 x
8
Câu 59. I
dx
sin2x cos2x 2
1 cos 2x
1
4 dx
Ta có: I
2 2 1 sin 2x
4
cos 2x
1
dx
4 dx
2
2 2 1 sin 2x
sin x cos x
4
8
8
I
cos 2x
1
dx
4 dx 1
2 2
3
2 2 1 sin 2x
sin x
4
8
1
3
ln 1 sin 2x cot x
C
4
8
4 2
Câu 60. I
2
dx
3sin x cos x
3
1
dx
1
dx
= I
.
=
4
4
3
2 x
1 cos x
2sin
3
3
3
2 6
1
I
2
Câu 61. I
6
1
2sin x
0
dx
3
Trang 12
Ta có: I
cos
6
6
6
1
2 0
1
sin x sin
3
dx
6
dx
1
2
dx
sin x sin
3
3
x x
cos
2 6 2 6
0
dx
x
x
sin x sin
2cos .sin
3
2 6
2 6
x
x
cos
sin
6
6
1
2 6 dx 1
2 6 dx ln sin x
20
x
20
x
2 6
sin
cos
2 6
2 6
0
0
6
0
x
ln cos
2 6
6
0
2
(sin
Câu 62. I
4
x cos4 x)(sin6 x cos6 x)dx .
0
Ta có: (sin4 x cos4 x)(sin6 x cos6 x)
33
33 7
3
.
cos4x cos8x I
128
64 16
64
2
cos2x(sin
Câu 63. I
4
x cos4 x)dx
0
2
0
1
1 2
0
1
I cos2x 1 sin2 2x dx 1 sin2 2x d(sin2x) 0
2
2
2
2
(cos
Câu 64. I
3
x 1) cos2 x.dx
0
A =
2
2
5
cos xdx
0
0
2
cos x.dx
0
Vậy I =
=
8
15
2
B=
2
2
1
sin
x
d(sin x)
12
(1 cos2x).dx =
4
20
8
– .
15 4
Câu 65. I
2
cos
2
x cos 2 xdx
0
2
2
I cos2 x cos2xdx
0
1
12
(1
cos2
x
)
cos2
xdx
(1 2cos2x cos4x)dx
2 0
4 0
Trang 13
.....
2
1
1
( x sin2x sin4x)
4
4
8
0
3
2 4sin x dx
0 1 cos x
Câu 66. I
4sin3 x 4sin3 x(1 cos x)
4sin x 4sin x cos x 4sin x 2sin2x
1 cos x
sin2 x
I 2 (4sin x 2sin2x)dx 2
0
2
Câu 67. I
1 sin xdx
0
I
2
2
x
x
x
x
x
sin cos dx sin cos dx 2 sin dx
2 4
2
2
2
2
0
0
2
2
0
3
2
2
x
x
2 sin dx sin dx 4 2
2 4
2 4
0
3
2
Câu 68. I
4
0
dx
cos6 x
4
Ta có: I (1 2tan2 x tan4 x)d(tan x)
0
28
.
15
Dạng 2: Đổi biến số dạng 1
sin2xdx
3 4sin x cos2x
2sin x cos x
1
Ta có: I
C
dx . Đặt t sin x I ln sin x 1
sin x 1
2sin2 x 4sin x 2
dx
Câu 70. I
3
sin x.cos5 x
dx
dx
8 3
I 3
3
2
sin x. cos x. cos x
sin 2 x. cos 2 x
3
1
3
1
C
Đặt t tan x . I t 3 3t t 3 dt tan4 x tan2 x 3ln tan x
t
4
2
2tan2 x
2t
Chú ý: sin2x
.
1 t2
Câu 69. I
Trang 14
Câu 71. I
I
dx
sin x.cos3 x
dx
dx
2
. Đặt t tan x dt
dx
; sin2x
sin x.cos x.cos2 x
sin2x.cos2 x
cos2 x
dt
t2 1
1
t2
tan2 x
I 2
dt (t )dt ln t C
ln tan x C
2t
t
t
2
2
1 t2
Câu 72. I
2011
sin2011 x sin2009 x
sin5 x
cot xdx
1
2011 1
sin2 x cot xdx
sin4 x
Ta có: I
Đặt t cot x I
2
2011
t
(1 t 2 )tdt
4024
2011
cot 2 x
sin4 x
cot xdx
4024
8046
2011 2011 2011 2011
t
t
C
4024
8046
8046
2011
2011 2011
=
cot 2011 x
cot
xC
4024
8046
Câu 73. I
2
sin2x.cos x
dx
1
cos
x
0
2
(t 1)2
sin x.cos2 x
dt 2ln2 1
dx . Đặt t 1 cos x I 2
t
1
cos
x
1
0
2
Ta có: I 2
Câu 74. I
3
sin
2
x tan xdx
0
3
Ta có: I sin2 x.
0
sin x
dx
cos x
(1 cos2 x)sin x
dx . Đặt t cosx
cos
x
0
3
1
2
1 u2
3
du ln2
u
8
1
I
Câu 75. I
sin
2
x(2 1 cos2x )dx
2
Ta có: I 2sin xdx sin2 x 1 cos2xdx H K
2
2
2
Trang 15
2t
1 t 2
2
2
2
+ H 2sin xdx (1 cos2x)dx
2
2
2
2
2
+ K sin2 x 2cos2 x 2 sin2 x cos xdx 2 sin2 xd(sin x)
I
2
3
2
Câu 76. I
3
dx
sin2 x.cos4 x
4
3
I 4.
dx
2
. Đặt t tan x dt
2
sin 2x.cos x
dx
cos2 x
.
4
I
3
(1 t 2 )2 dt
t2
1
3
1
3
1
1
t3
8 34
2
2
t
dt
2
t
2
3 1
3
t
t
Câu 77. I
2
sin 2 x
2 sin x dx
2
0
Ta có: I
2
sin2x
(2 sin x)2
2
dx 2
2
0 (2 sin x)
0
3
I 2
2
t 2
t2
sin x cos x
dx . Đặt t 2 sin x .
3
1 2
2
3 2
dt 2 dt 2 ln t 2ln
t t2
t 2
2 3
2
3
Câu 78. I
6
sin x
cos2x dx
0
I
6
6
sin x
sin x
cos2x dx 2cos2 x 1 dx . Đặt t cosx dt sin xdx
0
0
Đổi cận: x 0 t 1; x
Ta được I
3
2
1
1
2t 1
2
dt
6
t
1
2 2
ln
3
2
2t 2
2t 2
1
1
=
3
2
2 2
Trang 16
ln
3 2 2
5 2 6
2
3
Câu 79. I
2
sin2 x
e
11 t
1
Đặt t sin x I = e (1 t )dt = e 1.
2
20
2
3
.sin x.cos x. dx
0
2
1
dx
2
Câu 80. I sin x sin2 x
Đặt t cosx . I
3
( 2)
16
6
Câu 81. I
4
sin4x
sin x cos x
6
0
6
dx
4
sin4x
I
1
4
3
1 sin2 2x
4
0
4
3
2 1
dx . Đặt t 1 sin2 2x I =
t
dt =
3
4
3
t
1
1
1
4
2
.
3
Câu 82. I
2
sin x
sin x
0
3
3 cos x
dx
Ta có: sin x 3 cos x 2cos x
;
6
3
1
sin x sin x =
sin x cos x
6 6
2
6 2
6
sin x dx
2
6
3
3
1 2
dx
=
I=
6
16 0
16 0
cos3 x
cos2 x
6
6
Câu 83. I
4
sin x 1 cos2 x
cos2 x
I
dx
3
4
sin x
4
sin x
cos2 x
cos2 x
1 cos2 x .dx
3
sin x dx
3
=
0
sin2 x
cos2 x
4
dx
0
sin2 x
cos2 x
dx
7
3 1.
12
3
Trang 17
0
3
sin x
cos2 x
sin x dx
4
sin x
2
0 cos x
sin x dx
6
sin x
Câu 84. I
0
1
dx
3 cos x
sin x
1
1
1
1
3 dx .
I
dx =
dx =
20
20
0 sin x 3 cos x
sin x
1 cos2 x
3
3
6
6
6
1
2
1
1
1
Đặt t cos x dt sin x dx I
dt ln3
3
3
2 0 1 t2
4
2
Câu 85. I
1 3sin2x 2cos2 xdx
0
I
2
3
sin x 3 cos x dx = I
0
sin x 3 cos x dx
2
sin x
3 cos x dx 3 3
0
3
Câu 86. I
2
sin xdx
(sin x cos x)3
0
Đặt x
2
t dx dt I
2
costdt
0
2
cos xdx
(sin t cost )3 (sin x cos x)3
0
12
dx
1
4
1
cot( x ) 1 I
2I
2
20 2
2
4 0
2
0 (sin x cos x)
sin ( x )
4
2
dx
Câu 87. I
2
7sin x 5cos x
(sin x cos x)3 dx
0
Xét: I 1
0
Đặt x
2
2
sin xdx
sin x cos x
3
I2
;
2
0
cos xdx
sin x cos x
3
.
t . Ta chứng minh được I1 = I2
Tính I1 + I2 =
2
0
dx
sin x cos x
2
2
dx
0
2cos2 ( x )
4
1
tan( x ) 2 1
2
4 0
Trang 18
I1 I 2
1
I 7I 1 – 5I 2 1.
2
Câu 88. I
3sin x 2cos x
2
(sin x cos x)3 dx
0
Đặt x
2
t dx dt I
3cost 2sin t
2
(cost sin t )3
0
2I I I
2
Câu 89. I
2
3sin x 2cos x
3cos x 2sin x
(cos x sin x)3 dx
0
2
3cos x 2sin x
2
1
(sin x cos x)3 dx (cosx sin x)3 dx (sin x cosx)2 dx 1
0
dt
0
I
0
x sin x
1 cos2 xdx
0
Đặt x t dx dt I
0
sin t
2I
2
0 1 cos t
( t )sin t
1 cos2 t
dt
sin t
dt I
2
1
cos
t
0
2
I
2
4 4
8
0 1 cos t
d(cost )
dt
Câu 90. I
cos4 x sin x
2
cos3 x sin3 x dx
0
Đặt x
2
0
t dx dt I
4
sin t cost
cos3 t sin3 t
dt
2
sin4 x cos x
cos3 x sin3 xdx
0
2
2I
2
cos x sin x sin x cos x
4
4
sin3 x cos3 x
0
dx
2
0
sin xcos x(sin x cos x)
3
sin3 x cos3 x
3
dx
1
4
I .
Câu 91. I
2
1
cos2(sin x) tan
0
Đặt x
2
(cos x) dx
t dx dt
2
2
2
1
tan2(sin t) dt
tan2(sin x) dx
2
2
cos (cos t)
cos (cos x)
0
0
I
1
Trang 19
1 2
1
sin2xdx
20
2
1
.
2
2
2
1
1
Do đó: 2I
tan2 (cos x) tan2(sin x) dx = 2 dt
2
2
cos (sin x) cos (cos x)
0
0
I
2
.
Câu 92. I
4
cos x sin x
3 sin2x
0
dx
2
Đặt u sin x cosx I
1
du
4 u2
. Đặt u 2sin t I
4
2costdt
4 4sin2 t
4
12
dt
6
6
Câu 93. I
3
sin x
0
cos x 3 sin2 x
Đặt t 3 sin2 x =
I=
dx
4 cos2 x . Ta có: cos2 x 4 t 2 và dt
3
3
0
sin x
cos x 3 sin2 x
15
2
1 t2
= ln
4 t 2
3
2
3
sin x.cos x
cos2 x 3 sin2 x
sin2 x
+ Tính I 1
3
2
3
+ Tính I 2=
3
dx =
3
dt
4 t2
=
1
4
3 sin x
2
dx .
15
2
3
1
1
dt
t 2 t 2
1
15 4
32
1
ln
=
ln
ln 15 4 ln 3 2 .
4
2
15
4
3
2
2
3
x
2
3
Vậy: I
0
sin3 x sin2 x
3
I
x ( x sin x)sin x
Câu 94. I 3
2
3
=
.dx =
15
2
sin x cos x
dx
3
dx
dx
.
1 sin x
u x
du dx
dx
I1
dx . Đặt
dv
v cot x
3
sin2 x
sin2 x
x
2
dx
3
1 sin x
3
2
dx
dx
3
4 2 3
x
2
1 cos x
3 2cos
2
4 2
4 2 3.
3
Trang 20
.
2
Câu 95.
sin2x
I
cos2 x 4sin2 x
0
I
2
dx
2
udu
22
2
3
dx . Đặt u 3sin x 1 I
du
u
31
3
1
3sin2 x 1
2sin x cos x
0
2
2
tan x
4 dx
Câu 96. I
cos2x
0
6
tan x
6
tan2 x 1
1
4
I
dx
dx . Đặt t tan x dt
dx (tan2 x 1)dx
2
2
cos2x
cos x
0
0 (tan x 1)
6
1
I
3
0
1
1 3 1 3
.
2
(t 1)2 t 1 0
dt
Câu 97. I
3
cot x
dx
sin x.sin x
4
6
3
cot x
sin2 x(1 cot x)
I 2
dx . Đặt 1 cot x t
1
sin2 x
dx dt
6
I 2
3 1
3 1
t 1
dt 2 t ln t
t
3 1
3 1
3
2
2
ln 3
3
3
Câu 98. I
3
dx
sin2 x.cos4 x
4
3
dx
sin2 2x.cos2 x
Ta có: I 4.
. Đặt t tan x dx
dt
1 t2
4
3
3
3 (1 t 2)2 dt
3 1
1
t
8 34
( 2 t 2)dt ( 2t )
I
2
t
3
3
t2
1
1 t
1
Trang 21
4
sin x
5sin x.cos2 x 2cos xdx
Câu 99. I
0
4
Ta có: I
tan x
1
5tan x 2(1 tan2 x) . cos2 x dx . Đặt t tan x ,
0
1 1 2
1
1
2
I 2
dt
dt ln3 ln2
3 0 t 2 2t 1
2
3
0 2t 5t 2
1
t
4
sin2 xdx
cos4 x(tan2 x 2tan x 5)
Câu 100. I
4
Đặt t tan x dx
1
dt
Tính I 1
1 t
2
2t 5
dt
1 t2
. Đặt
I
t 1
2
1
t 2dt
1
2
dt
2
ln
3
2
3 1 t 2 2t 5
1 t 2t 5
tan u I 1
1
2
0
du
2 3
.
. Vậy I 2 ln
8
3 8
4
Câu 101. I
sin2 x
dx .
sin3x
2
6
I
2
2
2
sin x
sin x
3sin x 4sin3 x dx 4cos2 x 1 dx
6
6
Đặt t cosx dt sin xdx I
0
3
2
Câu 102. I 2
sin x cos x
1 sin2x
4
dt
4t 1
2
1
4
3
2
0
dt
t2
1
4
1
ln(2 3)
4
dx
Ta có: 1 sin2x sin x cos x sin x cos x (vì x ; )
4 2
I 2
4
I
1
sin x cos x
dx . Đặt t sin x cos x dt (cos x sin x)dx
sin x cos x
21
t
dt ln t
2
1
1
ln2
2
Trang 22
2
6
Câu 103. I 2 1 cos3 x .sin x.cos5 xdx
1
Đặt t 6 1 cos3 x t 6 1 cos3 x 6t 5dt 3cos2 x sin xdx dx
2t 5dt
cos2 x sin x
1
t 7 t13
12
I 2 t (1 t )dt 2
7 13 0 91
0
1
6
6
Câu 104. I
4
tan xdx
0
cos x 1 cos2 x
Ta có: I
4
tan xdx
0
cos2 x tan2 x 2
3
tdt
I
t
2
. Đặt t 2 tan 2 x t 2 2 tan 2 x tdt
tan x
dx
cos 2 x
3
dt
3 2
2
Câu 105. I
2
cos2x
(cos x sin x 3)3
4
t 3
1
dt .
3
32
2 t
Đặt t cos x sin x 3 I
dx
0
Câu 106. I
4
sin4x
0
cos x. tan x 1
2
4
dx
Ta có: I
4
sin4x
sin x cos x
4
0
4
dx . Đặt t sin4 x cos4 x I 2
2
2
dt 2 2 .
1
Câu 107. I
4
sin4 x
1 cos2 xdx
0
Ta có: I
4
2sin2x(2cos x 1)
2
1 cos x
2
0
1
2
2(2t 1)
1
dt 2 6ln .
t 1
3
1
dx . Đặt t cos2 x I
tan( x )
4 dx
Câu 108. I
cos2 x
0
6
1
3
tan x 1
dt
1 3
dx . Đặt t tan x I
.
2
2
(tan
x
1)
(
t
1)
2
0
0
6
Ta có: I
2
Trang 23
Câu 109. I
tan 3 x
0 cos 2 xdx
6
6
tan3 x
tan3 x
dx
dx .
2 x sin 2 x
2 x(1 tan 2 x)
cos
cos
0
0
3
3 t3
1 1 2
Đặt t tan x I
dt ln .
2
6 2 3
0 1 t
6
Ta có: I
Câu 110. I
2
cos x
7 cos2 x
0
I
dx
2
1
cos x dx
2
22 sin2 x
0
6 2
3
Câu 111.
4
dx
sin3 x.cos5 x
4
3
1
Ta có:
3
sin x
4
4
3
dx
1
.
1
2
tan x cos x
dx .
3
4
cos x
Đặt t tan x I
4
.cos8 x
3 3
t 4dt
3
4 8 3 1
1
Câu 112. I
x(
0
cos x cos x sin x
)dx
1 cos 2 x
3
cos x(1 cos2 x) sin x
x.sin x
dx
x
.cos
x
.
dx
dx J K
2
2
1
cos
x
1
cos
x
0
0
Ta có: I x
0
u x
du dx
+ Tính J x.cos x.dx . Đặt
J 2
dv cos xdx v sin x
0
+ Tính K
x.sin x
2
0 1 cos x
K
dx .
( t ).sin( t)
0
2K
0
1 cos ( t)
2
( x x).sin x
1 cos2 x
Đặt x t dx dt
dt
0
( t).sin t
1 cos t
2
dx
dt
sin x.dx
2
0 1 cos x
0
( x).sin x
1 cos2 x
K
dx
sin x.dx
2 0 1 cos2 x
Trang 24
Đặt t cosx K
1
dt
,
2 1 t2
đặt t tan u dt (1 tan2 u)du
1
K
4
(1 tan u)du
2
1 tan2 u
Vậy I
2
2
4
2
4
4
du
2
. u 4
2
4
4
4
2
Câu 113. I
2
cos x
sin x
3 cos 2 x
dx
6
2
Ta có: I
sin x cos x
sin x 3 cos x
2
2
dx . Đặt t 3 cos2 x
6
I
15
2
3
dt
4 t2
1
ln( 15 4) ln( 3 2)
2
Dạng 3: Đổi biến số dạng 2
2
Câu 114. I sin x sin2 x
1
.dx
2
6
Đặt cos x
3
3 1
34
sin t, 0 t I = cos2 tdt = .
2
2
2 4 2
20
Câu 115. I
2
3sin x 4cos x
dx
2
x 4cos 2 x
3sin
0
2
3sin x 4cos x
3sin x
4cos x
3sin x
4cos x
dx
dx
dx
dx
dx
2
2
2
2
3 cos x
3 cos x
3 cos x
3 cos x
4 sin 2 x
0
0
0
0
0
2
2
I
2
2
1
2
3dt
3sin x
dx . Đặt t cos x dt sin xdx I1
2
3 t2
3 cos x
0
0
+ Tính I1
Trang 25
