slide §5: PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT

Tiết 31:

§5: PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT


Tiết 31:

§5: PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT
I. Phương trình mũ
* Bài toán:
Một người gửi tiết kiệm với lãi suất 8,4% / năm và lãi hàng năm được nhập
vào vốn. Hỏi sau bao năm người đó thu được gấp đôi số tiền ban đầu ?
Bài giải:
Theo §4 ta có: Pn = P (1 + r)n = P (1 + 0,084)n = P (1,084)n
n nêu
n
Hãy
công
Những
bài
toán
trên
⇔ 2P = P (1,084)
⇔ 1,084
= thức
2 như
⇔ ncủa
= log1,0842 ≈ 8,59.
bài
toán
lãi kép

đưa
đến
việc
giải
Vì n là số tự nhiên
nên
ta chọn
n =?
9các
phương (Bài
trình4)có ẩn ở số
Vậy muốn thu được
gấpluỹ
đôi thừa.
số tiềnTaban
mũ của
gọiđầu người đó phải gửi 9 năm.
Pn=P(1+r)n
đó là các phương trình
mũ.


Tiết 31:

§5: PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT
I. Phương trình mũ
* Định nghĩa phương trình mũ:
Là phương trình có chứa ẩn số ở số mũ của luỹ thừa.
1. Phương trình mũ cơ bản:
* Định nghĩa:

Phương trình mũ cơ bản có dạng: ax = b (a > 0 và a ≠ 1)
* Cách giải:
Để giải các phương
Với b ≤ 0 phương
trìnhtrình
mũ vô
cơnghiệm.
bản ta sử
dụng định nghĩa logarit.
Với b > 0 ta có ax = b ⇔ x = logab


Tiết 31:

§5: PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT
* Minh hoạ bằng đồ thị:
y

y

2

2

1

1

y = ax

Nghiệm của
phương
o
-2
log b 2
-1
trình ax = b là hoành độ
-1
giao điểm của đồ thị
-2 nào ?
những hàm số
a

y=b

x

Nghiệm của
o trên1
-2 log btrình
phương
-1
là hoành độ giao
điểm đồ thị 2 hàm
-2
x
số y = a và y = b
a

y = ax

x

2

* b ≤ 0 đường thẳng y = b
không cắt đồ thị hàm số y = ax
nên phương trình vô nghiệm
* b > 0 đường thẳng y = b
cắt đồ thị hàm số y = ax tại đúng một điểm
nên phương trình có nghiệm duy nhất

y=b


Tiết 31:

§5: PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT
I. Phương trình mũ
1. Phương trình mũ cơ bản:
Kết luận:

Phương trình ax = b (a>0 và a ≠ 1)
b>0

Có nghiệm duy nhất x = logab

b≤0

Vô nghiệm

Ví dụ 1: Giải các phương trình:

a, 3x = 5

b, 5x = 0

c, (√ 7)x = -7


Tiết 31:

§5: PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT
I. Phương trình mũ
1. Phương trình mũ cơ bản:
Ví dụ 1: Giải các phương trình:

a, 3x = 5

b, 5x = 0

c, (√ 7)x = -7
Bài giải:
a, Phương trình ⇔ x = log35
Kết luận: Phương trình có nghiệm duy nhất x = log 35
b, Vì vp = 0 nên phương trình vô nghiệm
c, Vì vp < 0 nên phương trình vô nghiệm


Tiết 31:

§5: PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT
I. Phương trình mũ
2, Cách giải một số phương trình mũ đơn giản:
a, Đưa về cùng cơ số:

*Cơ sở lý thuyết:

Hàm số y = a x ( a > 0 va`a ≠ 1) đơn điệu trên tập xác định của nó
nên ta có:

a f ( x) = a g ( x) ⇔

Hoạt động 1: Giải phương trình

f ( x) = g ( x)

6 2 x −3 = 1

Bài giải:

pt ⇔ 6

2 x −3

3
= 6 ⇔ 2x − 3 = 0 ⇔ x =
2
0

Vậy phương trình có một nghiệm duy
3
x
=
nhất
2


Tiết 31:

§5: PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT
Ví dụ 2: Giải phương trình: 2

x 2 −3 x + 2

=4

Giải:

pt ⇔ 2

x 2 −3 x + 2

= 22

⇔ x 2 − 3x + 2 = 2
⇔ x 2 − 3x = 0
⇔ x( x − 3) = 0
x = 0
⇔

x = 3

Vậy phương trình có 2 nghiệm x=0 và x=3


Tiết 31:

§5: PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT
I. Phương trình mũ
2, Cách giải một số phương trình mũ đơn giản:

b, Đặt ẩn phụ:
x
t
=
a
, t > 0 rồi đưa về phương trình đại số ẩn t.
Đặt
1 2x
.5 + 5.5 x = 250
Hoạt động 2: Giải phương trình:
5
Bằng cách đặt ẩn phụ t = 5 x
Giải: Đặt 5 x = t > 0 Phương trình trở thành
1 2
.t + 5.t = 250 ⇔ t 2 + 25t − 1250 = 0
5
t = 25
⇔
t = −50 (loại)

Với t = 25 ⇔ 5 = 25 ⇔
x

x=2

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x

= 2.


Tiết 31:

§5: PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT
I. Phương trình mũ
2, Cách giải một số phương trình mũ đơn giản:

c) Lôgarit hóa: Lấy lôgarit hai vế với cùng một cơ số
x

Ví dụ 4: Giải phương trình: 3 .2

x2

=1
x

Lấy lôgarit hai vế với cơ số 2, ta được: log 2 (3 .2

⇔ log 2 3 + log 2 2
x

x2

x2

) = log 2 1

=0

⇔ x log 2 3 + x 2 log 2 2 = 0
⇔ x log 2 3 + x 2 = 0
 x1 = 0
⇔ x (log 2 3 + x ) = 0 ⇔ 
 x2 = − log 2 3
Vậy phương trình có hai nghiệm là x1 = 0; x2 = − log 2 3


Tiết 31:

§5: PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT
Củng cố:

+ Định nghĩa phương trình mũ, phương trình mũ cơ bản
+ Cách giải phương trình mũ cơ bản:
Phương trình ax = b (a>0; a ≠ 1)
b>0

Có nghiệm duy nhất x = logab

b≤0

Vô nghiệm

+ Phương pháp đưa về cùng cơ số, phương pháp đặt ẩn
phụ, logarit hóa để giải một số phương trình mũ đơn
giản.


I - PHƯƠNG TRÌNH MŨ
1. Phương trình mũ cơ bản
Cho 0 < a ≠ 1;

b > 0 ta có:

a f ( x ) = b ⇔ f ( x) = log a b
a f ( x ) = a g ( x ) ⇔ f ( x) = g ( x)
2. Cách giải một số phương
trình mũ đơn giản
a) Đưa về cùng cơ số
b) Đặt ẩn phụ
c) Lôgarit hóa
(*) Một số bài tập Tích hợp,
Liên môn

(*) Một số bài tập Tích hợp – Liên môn


Ví dụ 4

Dân số nước ta hiện nay khoảng 89.709.000 người, tỉ lệ

tăng dân số hàng năm là 1,1% . Hỏi với mức tăng dân số
hàng năm không thay đổi thì sau bao nhiêu năm nữa dân số
nước ta là 100 triệu người?

I - PHƯƠNG TRÌNH MŨ
1. Phương trình mũ cơ bản
Cho 0 < a ≠ 1;

b > 0 ta có:

a f ( x ) = b ⇔ f ( x) = log a b
a

f ( x)

=a

g (x)

⇔ f ( x) = g ( x)

Sau n năm dân số nước ta là:
Tn = 89.709.000(1,011) n

Theo đề bài ta có:

n
T
=
100.000.000

⇔
89.709.000(1,011)
= 100.000.000
n
2. Cách giải một số phương
trình mũ đơn giản
100.000.000
n
⇔ (1,011) =
a) Đưa về cùng cơ số
89.709.000
b) Đặt ẩn phụ
100.000.000
c) Lôgarit hóa
⇔ n = log1,011
≈ 9,93
89.709.000

(*) Một số bài tập Tích hợp,
Liên môn

Vậy sau 10 năm dân số nước ta là 100 triệu người


Ví dụ 5

Chu kỳ bán rã của một chất phóng xạ là 24 giờ.
Hỏi 400 gam chất đó sau bao nhiêu lâu sẽ còn lại
100 gam?

I - PHƯƠNG TRÌNH MŨ
1. Phương trình mũ cơ bản
Cho 0 < a ≠ 1;

b > 0 ta có:

a f ( x ) = b ⇔ f ( x) = log a b
a f ( x ) = a g ( x ) ⇔ f ( x) = g ( x)
2. Cách giải một số phương
trình mũ đơn giản
a) Đưa về cùng cơ số
b) Đặt ẩn phụ
c) Lôgarit hóa
(*) Một số bài tập Tích hợp,
Liên môn

HD: Khối lượng chất phóng xạ còn lại
sau khoảng thời gian t được tính theo công thức
t
T

1
m = m0  ÷
2

Trong đó: m0 là khối lượng chất phóng xạ ban
đầu; T là chu kỳ bán rã.


Ví dụ 5

Chu kỳ bán rã của một chất phóng xạ là 24 giờ.
Hỏi 400 gam chất đó sau bao nhiêu lâu sẽ còn lại
100 gam?

I - PHƯƠNG TRÌNH MŨ
1. Phương trình mũ cơ bản
Cho 0 < a ≠ 1;

b > 0 ta có:

a f ( x ) = b ⇔ f ( x) = log a b
a f ( x ) = a g ( x ) ⇔ f ( x) = g ( x)
2. Cách giải một số phương
trình mũ đơn giản
a) Đưa về cùng cơ số
b) Đặt ẩn phụ
c) Lôgarit hóa
(*) Một số bài tập Tích hợp,
Liên môn

Giải

Theo đề bài ta có:
t
24

t
24

1
1
1
100 = 400  ÷ ⇔  ÷ = ⇔ t = 48
4
2
2
Vậy khối lượng chất đó còn lại 100 gam
sau 48 giờ.


Ví dụ 6

I - PHƯƠNG TRÌNH MŨ
1. Phương trình mũ cơ bản
Cho 0 < a ≠ 1;

b > 0 ta có:

a f ( x ) = b ⇔ f ( x) = log a b
a f ( x ) = a g ( x ) ⇔ f ( x) = g ( x)
2. Cách giải một số phương
trình mũ đơn giản
a) Đưa về cùng cơ số
b) Đặt ẩn phụ
c) Lôgarit hóa
(*) Một số bài tập Tích hợp,
Liên môn

Sự tăng trưởng của vi khuẩn được tính

theo công thức S = S 0 .e rt, trong đó S0
là số vi khuẩn ban đầu, S là số vi khuẩn
sau thời gian t, r là tỉ lệ tăng trưởng.
Biết rằng số lượng vi khuẩn ban đầu là
100 con và sau 5 giờ có 300 con. Hỏi
sau 10 giờ có bao nhiêu con vi khuẩn?
Tìm r ?


Ví dụ 6

Theo đề bài ta có:

I - PHƯƠNG TRÌNH MŨ
1. Phương trình mũ cơ bản
Cho 0 < a ≠ 1;

b > 0 ta có:

a f ( x ) = b ⇔ f ( x) = log a b
a f ( x ) = a g ( x ) ⇔ f ( x) = g ( x)
2. Cách giải một số phương
trình mũ đơn giản
a) Đưa về cùng cơ số
b) Đặt ẩn phụ
c) Lôgarit hóa
(*) Một số bài tập Tích hợp,
Liên môn

300 = 100.e5 r

ln 3
⇔ e = 3 ⇔ 5r = ln 3 ⇔ r =
5
5r

Vậy sau 10 giờ số lượng vi khuẩn là:
10.

S = 100.e

ln 3
5

= 100.e

2ln 3

= 100.(eln 3 ) 2 = 100.32 = 900 (con).


Tiết 35:

§5: PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT

Bài tập về nhà

Làm các bài tập 1, 2 – Trang 84 (SGK)


Tiết 35:

§5: PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT

Xin ch©n thµnh
c¸m ¬n c¸c thÇy
c« gi¸o vµ c¸c em
häc sinh !