Hàm số mũ và hàm số logarit

Hàm số mũ và hàm số logarit
Hàm số mũ và hàm số logarit
Thầy giáo: Nguyễn Anh Dũng
Cộng tác viên truongtructuyen.vn
Hàm số mũ và hàm số logarit
Nội dung
1. Nhắc lại lí thuyết
2. Giới hạn
3. Giới hạn
4. Đạo hàm của hàm số mũ
5. Đạo hàm của hàm số logarit
( )
x 0
ln 1 x
lim 1
x
→
+
=
x
x 0
e 1
lim 1
x
→
−
=
Hàm số mũ và hàm số logarit
1. Nhắc lại lí thuyết
Với a là số dương khác 1:


Hàm số dạng y = a
x
được gọi là hàm số mũ. Hàm số xác định và liên tục
trên R.

Hàm số dạng y = log
a
x được gọi là hàm số logarit cơ số a. Hàm số xác
định và liên tục trong (0 ; + ∞).
Hàm số mũ và hàm số logarit
1. Nhắc lại lí thuyết (tt)
( )
x 0
x
x 0
x x
x x
u(x) u(x)
u(x) u(x)
Ð nh lí 1:
ln 1 x
lim 1
x
e 1
lim 1
x
Ð nh lí 2:
y e y' e
y a y' a lna
y e y' u'(x)e

y a y' u'(x)a lna
→
→
+
=
−
=
= ⇒ =
= ⇒ =
= ⇒ =
= ⇒ =
Þ
Þ
Hàm số mũ và hàm số logarit
1. Nhắc lại lí thuyết (tt)
a
a
Ð nh lí 3:
1
y ln x y'
x
u'(x)
y ln u(x) y'
u(x)
1
y log x y'
xlna
u'(x)
y log u(x) y'
u(x)lna

= ⇒ =
= ⇒ =
= ⇒ =
= ⇒ =
Þ
Hàm số mũ và hàm số logarit
1. Nhắc lại lí thuyết (tt)
Biến thiên của hàm số mũ:
Các hàm số y = a
x
, y = log
a
x đồng biến khi a > 1, nghịch biến khi 0 < a < 1.
Hàm số mũ và hàm số logarit
( )
x 0
ln 1 x
2. Gi i h n lim 1
x
→
+
=í ¹
Bài tập 1:
( )
x 0
ln 1 sin3x
Tính L lim
x
→
+

=
Hàm số mũ và hàm số logarit
( )
( )
x 0
ln 1 x
2. Gi i h n lim 1 tt
x
→
+
=í ¹
Bài tập 1 (tt)
Bài giải

( ) ( )
( ) ( )
( )
x 0 x 0
x 0 t 0
x 0
ln 1 sin3x ln 1 sin3x
sin3x
Ta có: L lim lim . .3 3
x sin3x 3x
ln 1 sin3x ln 1 t
Vì lim lim 1 t sin3x .
sin3x t
sin3x
lim 3
3x

→ →
→ →
→
+ +
= = =
+ +
= = =
=
Hàm số mũ và hàm số logarit
Bài tập 2:
( )
( )
x 0
ln 1 x
2. Gi i h n lim 1 tt
x
→
+
=í ¹
( )
2
x 0
ln cos2x
Tính L lim
x
→
=
Hàm số mũ và hàm số logarit
Bài tập 2 (tt)
Bài giải

( )
( )
x 0
ln 1 x
2. Gi i h n lim 1 tt
x
→
+
=í ¹
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
→ →
→
→ →
→ →
−
= =
−
= − = −
−
−
+
= = = −
−
 

= =
 ÷
 
2
2 2
x 0 x 0
2
2
2 2
x 0
2
2
2
t 0 t 0
2
2
2
x 0 x 0
ln 1 2sin x
ln cos2x
Ta có: L lim lim
x x
ln 1 2sin x
sin x
lim . 2 2
2sin x x
ln 1 2sin x
ln 1 t
Vì lim lim 1 t 2sin x
2sin x t

sin x sinx
lim lim 1
x x
Hàm số mũ và hàm số logarit
Bài tập 3:
( )
( )
x 0
ln 1 x
2. Gi i h n lim 1 tt
x
→
+
=í ¹
( )
x 0
ln sinx cos x
Tính L lim
x
→
+
=
Hàm số mũ và hàm số logarit
Bài tập 3 (tt)
Bài giải

( )
( )
x 0
ln 1 x

2. Gi i h n lim 1 tt
x
→
+
=í ¹
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
2
x 0 x 0
x 0 x 0
x 0 t 0
x 0
ln sinx cos x ln sin x cos x
Ta có: L lim lim
x 2x
ln 1 sin2x ln 1 sin2x
sin2x
lim lim . 1
2x sin2x 2x
ln 1 sin2x ln 1 t
Vì lim lim 1 t sin2x
sin2x t
sin2x
lim 1
2x
→ →
→ →
→ →

→
+ +
= =
+ +
= = =
+ +
= = =
=