Luyện tập toán hình học lớp 7 CHUYÊN ĐỀ THẲNG HÀNG ,ĐỒNG QUY

Chuyên đề

CHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG, BA ĐƯỜNG THẲNG
ĐỒNG QUY
I.CHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG
Phương pháp:
1)Chứng minh điểm M nằm trên đường thẳng AB (hay ba điểm M , A, B thẳng hàng)
Cách 1. M ∈ AB ⇐ Các tia MA, MB đối nhau ⇐ Góc AMB là góc bẹt.
(Góc bẹt là góc có hai cạnh là hai tia đối nhau).
Cách 2. M ∈ AB ⇐ Các tia MA ≡ MB ⇐ ∠xMA = ∠xMB .
Cách 3. M ∈ AB ⇐ Các tia MA, MB cùng song song với một đường thẳng cho trước
(Tiên đề về đường thẳng song song)
Cách 4. M ∈ AB ⇐ AB đi qua M hoặc BM đi qua A hoặc AM đi qua B.
Sử dụng tính chất về đường chéo của hình bình hành, hình chữ nhật.
Cách 5. Phương pháp thêm điểm.
Cách 6. Sử dụng diện tích tam giác tạo bởi ba điểm bằng 0.
Lớp 7.
VD1.Cho ∆ABC với D, E lần lượt là trung điểm của AC , AB . Vẽ các điểm M , N sao cho
E là trung điểm của CM và D là trung điểm của BN .
Chứng minh ba điểm M , A, N thẳng hàng
VD2. Bài 32(70).Cho ∆ABC . Chứng minh rằng giao điểm của hai tia phân giác của hai
góc ngoài ở đỉnh B và C nằm trên tia phân giác của góc A .
VD3.Bài 40(73). Cho ∆ABC cân tại A với G là trọng tâm, I là điểm nằm trong tam giác
và cách đều ba cạnh của tam giác đó. Chứng minh ba điểm A, G, I thẳng hàng.
VD4.Bài 46(76). Cho ba tam giác cân ABC , DBC , EBC có chung đáy BC .
Chứng minh ba điểm A, D, E thẳng hàng
VD5. Bài 55-56(80).Cho ∆ABC vuông tại A . Các đường trung trực của các đoạn AB ,
AC cắt AB , AC lần lượt tại I , K . Gọi D là giao điểm của hai đường trung trực đó.
1)Chứng minh ba điểm B, D, C thẳng hàng;
2)Sử dụng kết quả trên để chứng minh rằng: Điểm cách đều ba đỉnh của một tam giác
vuông là trung điểm của cạnh huyền của tam giác đó.

1


BÀI TẬP ÁP DỤNG
LỚP 7
1.Cho ∆ABC cân tại A . Tia phân giác của góc A cắt đường trung tuyến BD tại K .
Gọi I là trung điểm của AB . Chứng minh ba điểm I , K , C thẳng hàng.
2.Cho ∆ABC vuông tại A . Kẻ AH ⊥ BC . Các tia phân giác của các góc HAC , AHC cắt
nhau ở I . Tia phân giác của góc HAB cắt BC ở D . Chứng minh rằng, CI đi qua trung
điểm của AD .
3. Cho ∆ABC cân tại A . Các đường trung trực của các đoạn AB , AC cắt nhau tại O .
Lấy điểm D ∈ AB, E ∈ AC sao cho BD = CE . Chứng minh rằng, đường trung trực của
DE đi qua O .
4.Gọi H là trực tâm của ∆ABC nhọn có ∠A = 600 và M , N thứ tự là giao điểm của các
đường trung trực của BH , CH với AB, AC . Chứng minh ba điểm M , N , H thẳng hàng.
LỚP 8.
1. Cho ∆ABC với D, E lần lượt là trung điểm của AB , BC . Vẽ các điểm M , N sao cho C
là trung điểm của EM , B là trung điểm của DN . Gọi K là giao điểm của DM và AC .
Chứng minh ba điểm N , E , K thẳng hàng
2. Cho ∆ABC với đường trung tuyến AM . Gọi I là trung điểm của BM , lấy điểm E sao
cho I là trung điểm của AE . Gọi N là trung điểm của EC .
Chứng minh đường thẳng AM đi qua điểm N .
3. Trên cạnh BC của hình vuông ABCD lấy điểm M . Qua A vẽ AN ⊥ AM ( N thuộc tia
đối của tia DC ). Chứng minh ba điểm B, I , D thẳng hàng.
4. Chứng minh rằng, chân của các đường vuông góc kẻ từ A và các trung điểm của các
cạnh AB, AC của ∆ABC là 6 điểm thẳng hàng.
5. Chứng minh rằng, các hình chiếu của chân đường cao AA1 của ∆ABC lên các cạnh
AB, AC và lên hai đường cao BB1 , CC1 là bốn điểm thẳng hàng.
6. Cho ∆ABC với các đường cao AD, BE , CF . Gọi P, Q, H theo thứ tự là hình chiếu của

E trên BC , CF , AB . Chứng minh P, Q, H là ba điểm thẳng hàng.
7. Cho ∆ABC vuông tại A với đường cao AD . Gọi E , F thứ tự là hình chiếu của D trên
AB, AC và I là trung điểm của AD . Chứng minh ba điểm E , I , F thẳng hàng
Thử năng lực

2


8.Cho ∆ABC nhọn với M là điểm nằm trong tam giác. Kí hiệu H là hình chiếu của M
trên cạnh BC và P, Q, E , F lần lượt là hình chiếu của H trên các đường thẳng
MB, MC , AB, AC . Giả sử bốn điểm P, Q, E , F thẳng hàng.
1) Chứng minh rằng M là trực tâm của ∆ABC
2) Chứng minh rằng BEFC là tứ giác nội tiếp. Chuyên ĐHKHTN vòng 2.2010.
9. Cho hình thang ABCD ( AB / /CD ) . Gọi O là giao điểm hai đường chéo và O1 , O2 lần
lượt là giao điểm các đường trung trực của các tam giác OAB, OCD .
Chứng minh O, O1 , O2 là ba điểm thẳng hàng.
10. Cho tứ giác ABCD có ∠B = ∠D = 900 . Kẻ AH ⊥ BD , lấy K ∈ BD sao cho BH = DK .
Vẽ hình bình hành DABE . Chứng minh E , C , K cùng nằm trên một đường thẳng và đường
thẳng này vuông góc với BD .
LỚP 9.
Bài 1. Trên đường tròn ( O ) , vẽ hai dây AB // CD . AC , BD cắt nhau tại M . Hai tiếp tuyến
của ( O ) tại A, B cắt nhau tại N . Chứng minh ba điểm M , O, N thẳng hàng

Bài 2. Cho ∆ABC với trực tâm H nội tiếp đường tròn ( O ) đường kính AD . Gọi M là
trung điểm của BC . Chứng minh ba điểm H , M , D thẳng hàng.
Bài 3. Cho nửa ( O ) đường kính AB với C là điểm chính giữa »AB và điểm
» . Kẻ đường cao CH của ∆ACM .
M ∈ BC

1) Chứng minh ∆HCM vuông cân và OH là tia phân giác của góc COM .

2) Gọi giao điểm của OH , CB là I . Kẻ BD ⊥ OI . Chứng minh ba điểm M , I , D
thẳng hàng.

Bài 4. Cho đường tròn ( O ) và dây AB với C là điểm chính giữa »AB . Trên dây AB lấy
điểm I sao cho IA > IB . CI cắt ( O ) tại D . Tiếp tuyến với ( O ) tại D cắt AB tại K , lấy
điểm E sao cho K là trung điểm của IE , ED cắt ( O ) tại F .
Chứng minh ba điểm C , O, F thẳng hàng.

Bài 5. Cho nửa đường tròn ( O ) đường kính AB với C là điểm chính giữa »AB và điểm
K là trung điểm đoạn BC , AK cắt ( O ) tại M . Kẻ CH ⊥ AM , OH cắt BC tại N và MN
cắt ( O ) tại D . Chứng minh ba điểm B, H , D thẳng hàng.

Bài 6. Cho nửa đường tròn ( O ) đường kính AB với C ∈ AB ( CA < CB ) và M là điểm thuộc
nửa đường tròn đó. Đường thẳng qua M vuông góc với MC cắt tiếp tuyến qua A tại M 1 .
Đường thẳng qua C vuông góc với M 1C cắt tiếp tuyến qua B tại M 2 .

3


Chứng minh ba điểm M , M 1 , M 2 thẳng hàng.
Bài 7. Bài 42(Tr 79) SBT T9 tập 2. Cho ba đường tròn cùng đi qua một điểm P. Gọi các
giao điểm khác P của hai trong ba đường tròn đó là A, B, C. Từ một điểm D (khác P) trên
đường tròn (PBC) kẻ các tia DB, DC cắt các đường tròn (PAB) và (PAC) lần lượt tại M
và N.
Chứng minh ba điểm M , A, N thẳng hàng.
Thử năng lực
1. Trên đường tròn ( O ) đường kính AB và dây CD . Gọi M là giao điểm của các tiếp
tuyến tại C , D của ( O ) , N là các giao điểm của các dây cung AC , BD .
Chứng minh MN vuông góc với AB . T5/231

2. Cho tứ giác ABCD nội tiếp ( O ) .Vẽ các tia, Ax ⊥ AD cắt BC tại E , Ay ⊥ AB cắt CD
tại F . Chứng minh E , F , O thẳng hàng.
3. Cho ∆ABC với trực tâm H . Vẽ các tiếp tuyến AM , AN với đường tròn đường kính BC
Chứng minh M , H , N thẳng hàng.
4. Cho ∆ABC với trực tâm H nội tiếp ( O ) . M là điểm bất kì trên cung BC không chứa
A . Gọi N , E lần lượt là điểm đối xứng của M qua AB, AC .
Chứng minh N , H , E thẳng hàng.
5. Cho ∆ABC nội tiếp ( O ) . Trên dây AC lấy điểm D , đường thẳng BD cắt ( O ) tại F .
Đường thẳng qua A vuông góc với AB và đường thẳng qua F vuông góc với FC cắt
nhau tại P . Chứng minh P, D, O thẳng hàng.
CÁC BÀI TẬP KHÔNG THỂ BỎ ĐƯỢC
1. Chứng minh rằng, trong một hình thang trung điểm của hai cạnh bên, trung điểm của
hai đường chéo là bốn điểm thẳng hàng;
2. Cho ∆ABC có góc A tù. Chứng minh rằng chân của các đường vuông góc kẻ từ A
xuống các đường phân giác trong và phân giác ngoài tại đỉnh B, C và các trung điểm của
các cạnh AB, AC là sáu điểm thẳng hàng.
3. Chứng minh rằng trọng tâm, trực tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp của một tam giác là
ba điểm thẳng hàng.
4. Chứng minh rằng, trong một hình thang có hai đáy không bằng nhau thì giao điểm hai
đường chéo, giao điểm hai cạnh bên và trung điểm hai đáy là bốn điểm thẳng hàng.
5. Chứng minh rằng

4


II.CHỨNG MINH CÁC ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG QUY
Phương pháp:
Cách 1. Lợi dụng định lí về các đường đồng quy trong tam giác
1.Sử dụng định lí ba đường cao của tam giác đồng quy tại một điểm
Lớp 7.

Bài1. Cho ∆ABC với đường cao AH . Vẽ ra phía ngoài ∆ABC các tam giác, ACE vuông
cân tại C và ABD vuông cân tại B .Trên tia đối của tia AH lấy điểm K sao cho AK = BC
Chứng minh rằng
1) BE ⊥ CK .

2)Ba đường thẳng AH , BE, CD đồng quy tại một điểm.

Bài 2. Bài 170 NC T7.Cho hai đoạn thẳng AC , BD cắt nhau. Gọi A′, B′, C ′, D′ theo thứ tự
là trọng tâm của các tam giác BCD, ACD, ABD, ABC . Chứng minh rằng
AA′, BB′, CC ′, DD′ đồng quy tại một điểm.
2.Sử dụng định lí ba đường trung tuyến của tam giác đồng quy tại một điểm. Điểm
đó gọi là trọng tâm của tam giác.
VD2. Cho hai đường thẳng a, b cắt nhau tại O , trên đường thẳng a , lấy ba điểm
A, B, C sao cho OA = AB = BC , trên đường kia ta lấy ba điểm L, M , N sao cho
LO = OM = MN . Chứng minh rằng AL, BN , CM đồng quy tại một điểm.
3.Sử dụng các định lí: 1.Ba đường phân giác của tam giác đồng quy tại một điểm.
2.Giao điểm của hai đường phân giác ngoài nằm trên đường phân giác trong của
góc thứ ba.
VD3. Cho ∆ABC với đường cao AH . Vẽ các điểm D, E sao cho AB, AC thứ tự là các
đường trung trực của đoạn HD, HE . Gọi M , N lần lượt là giao điểm của DE với
AB, AC . Chứng minh rằng, ba đường thẳng AH , BN , CM đồng quy tại một điểm.
4.Sử dụng định lí ba đường trung trực của tam giác đồng quy tại một điểm.
VD4. Cho ∆ABC với điểm M nằm trong tam giác. Gọi H , K , L theo thứ tự là hình chiếu
vuông góc của M trên BC , CA, AB . Các đường thẳng h, l , k lần lượt qua A, B, C và vuông
góc với KL, LH , HK . Chứng minh rằng, ba đường thẳng h, l , k đồng quy tại một điểm.
Bài 5(117) tháng 1.2013
Cách 2. Sử dụng tính chất các đường chéo cắt nhau tai trung điểm mỗi
đường của của hình bình hành, hình chữ nhật, hình thoi, hình vuông.

5

Bài 1. Nếu một hình bình hành nội tiếp trong một hình bình hành khác thì bốn đường
chéo gặp nhau tại một điểm.
Bài 2. Cho ∆ABC và điểm P nằm trong tam giác đó. Gọi M , N , Q thứ tự là trung điểm
của các cạnh AB, AC , BC . Gọi A1 , B1 , C1 lần lượt là điểm đối xứng của P qua M , N , Q .
Chứng minh rằng AA1 , BB1 , CC1 đồng quy tại một điểm.
Bài 3. Cho ∆ABC và điểm O nằm trong tam giác đó. Gọi L, M , N thứ tự là trung điểm
của OA, OB, OC và D, E , F lần lượt là trung điểm của các cạnh BC , CA, AB .
Chứng minh rằng DL, EM , FN đồng quy tại một điểm.
Bài 4.Chứng minh rằng trong một tứ giác có hai cạnh đối diện không song song, các
đường thẳng nối trung điểm của các cạnh đối diện và các trung điểm của đường chéo cắt
nhau tại một điểm.
Bài 5. Cho ∆ABC với trực tâm H và A1 , B1 , C1 theo thứ tự là giao điểm các đường trung
trực của các tam giác HBC , HCA, HAB . Chứng minh rằng AA1 , BB1 , CC1 đồng quy tại một
điểm.
Cách 3. Lùi về quen thuộc, chứng minh ba điểm thẳng hàng hoặc giao
điểm của hai đường nằm trên đường thẳng thứ ba.
Lớp 8.
Bài 1. Cho ∆ABC với trung tuyến AM .Trên các cạnh AC , AB thứ tự lấy các điểm D, E
sao cho AB = 3 AE , AC = 3 AD . Chứng minh rằng, AM , BD, CE đồng quy tại một điểm.
Bài 2. Cho tứ giác ABCD , người ta kẻ hai đường thẳng song song với đường chéo AC
cắt cạnh BA, BC lần lượt tại G, H . Cắt các cạnh DA, DC thứ tự tại E , F .
Chứng minh rằng GE , HF , BD đồng quy tại một điểm.
Bài 3. Cho hình thang ABCD ( AB / /CD ) với M , N thứ tự là trung điểm của AB, CD .
Trên các cạnh AD, BC lần lượt lấy các điểm E , F sao cho EF / / BC ( EF không là đường
trung bình của hình thang). Chứng minh rằng EM , BD, FN đồng quy tại một điểm.
Bài 4. Cho hình bình hành ABCD . Qua điểm S ở trong hình bình hành kẻ hai đường
thẳng song song với AB, AD ; lần lượt cắt AD, AB, BC , CD tại M , N , P, Q .
Chứng minh rằng AS , BQ, DP đồng quy tại một điểm.

Bài 5.a) Lấy điểm M , trên đường chéo BD của hình vuông ABCD . Kẻ
ME ⊥ AB, MF ⊥ AD . Chứng minh rằng BF , CM , DE đồng quy tại một điểm.
b)Cho hình vuông ABCD với điểm M nằm trên đường chéo BD .Vẽ MN ⊥ BC ,
MP ⊥ CD , MH ⊥ NP . Chứng minh rằng BF , CM , DE đồng quy tại một điểm.

6


Bài 6. Cho ∆ABC nhọn không cân tại A với đường cao AH . Vẽ HM ⊥ AB, HN ⊥ AC . Kẻ
HE / / AC , HF / / AB . Chứng minh rằng EF , MN , BC đồng quy tại một điểm.
Lớp 9.
Bài 1. Bài 67(138). Cho ( O ) và ( O′ ) cắt nhau tại A và B. Kẻ các đường kính AOC,
AO′D . Chứng minh ba điểm C, B, D thẳng hàng và AB ⊥ CD .
Bài 2. Bài 69(138) Cho ( O ) và ( O′ ) cắt nhau tại A và B, trong đó O′ nằm trên ( O ) .

a)Chứng minh CA, CB là các tiếp tuyến của ( O ) .
b)Đường vuông góc với AO′ tại O′ cắt CB ở I. Đường vuông góc với AC tại C cắt O′B ở
K. Chứng minh ba điểm O, I, K thẳng hàng.
Cho ( O )
Bài 3. Ở bên ngoài ∆ABC , vẽ các tam giác đều ABC1 , BCA1 , CAB1 . Chứng minh rằng
AA1 , BB1 , CC1 đồng quy tại một điểm.(Tứ giác nội tiếp)
Bài 4. Chuyên ĐHKHTN Vòng 1.2014.
Cho ∆ABC ( AB < AC ) phân giác AD . Vẽ các tia Cx / / AD cắt đường trung trực cạnh AC tại
E , By / / AD cắt đường trung trực cạnh AB tại F . Chứng minh rằng: 1) ∆ABF : ∆ACE ;
2) AD, BE , CF đồng quy tại điểm G .
3)Đường thẳng qua G song song với AE cắt BF tại Q , QE cắt đường tròn ngoại tiếp
∆GEC tại P khác E . Chứng minh A, P, G, Q, F cùng thuộc một đường tròn.

7