CHUYEN DE HINH HOC LOP 10 THPT
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.02 MB, 20 trang )
Hình học lớp 10
Người soạn: Bùi Thiện Chiến
Chƣơng I
VEC-TƠ
I. CÁC ĐỊNH NGHĨA.
1.Định nghĩa.
Vec-tơ là một đoạn thẳng có hướng, nghĩa là trong hai điểm mút của đoạn thẳng, đã
chỉ rõ điểm nào là điểm đầu, điểm nào là điểm cuối.
Kí hiệu: MN
Trong đó M là điểm đầu, N là điểm cuối.
Vec-tơ -khơng
Vec-tơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau gọi là vec-tơ –không.
2. Hai vec-tơ cùng phƣơng, cùng hƣớng.
Hai vec-tơ cùng phƣơng: Hai vec-tơ cùng nằm trên hai đường thẳng trùng nhau hoặc
hai đường thẳng song song.
Hai vec-tơ cùng phương thì hoặc chúng cùng hướng hoặc chúng ngược hướng.
Lưu ý: Ta quy ước vec-tơ –không cùng hướng với mọi vectơ.
3. Hai vec-tơ bằng nhau.
Hai vec-tơ được gọi là bằng nhau nếu chúng cùng hướng và cùng độ dài.
Nếu vec-tơ a và b bằng nhau thì ta viết a b .
Lưu ý : Vectơ-khơng kí hiệu 0 .
II. TỔNG CỦA HAI VECTƠ
1. Định nghĩa.
Cho vec-tơ a và b . Lấy một điểm A nào đó rồi xác định điểm B và C sao cho AB a ,
BC b . Khi đó vec-tơ AC được gọi là tổng của hai vec-tơ a và b .
Kí hiệu : c a b
2. Các tính chất của phép cộng vectơ.
Tính giao hốn : a b b a .
Tính kết hợp : a b c a b c .
Tính chất của vectơ-khơng : a 0 a .
3. Quy tắc.
Quy tắc ba điểm.
Với ba điểm M, N, P bất kì ta ln có MN NP MP .
Quy tắc hình bình hành.
Nếu OABC là hình bình hành thì ta có OA OC OB .
4. Kiến thức bổ sung.
M là trung điểm đoạn thẳng AB thì MA MB 0 .
M là trung điểm đoạn thẳng AB và O là một điểm bất kì thì 2OM OA OB .
G là trọng tâm tam giác ABC thì GA GB GC 0 .
G là trọng tâm tam giác ABC và O là một điểm bất kì thì 3OG OA OB OC .
Copyright to
Trang: 1
Hình học lớp 10
Người soạn: Bùi Thiện Chiến
G là trọng tâm tứ giác ABCD và O là một điểm bất kì thì 4OG OA OB OC OD .
5. Bài tập áp dụng.
1. Chứng minh rằng với bốn điểm bất kì A, B, C D ta có AC BD AD BC .
2. Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a. Tính độ dài của vec-tơ tổng AB AC .
3. Gọi M là trung điểm đoạn thẳng AB. Chứng minh MA MB 0 .
Giải
0 MM MA AM MA MB ( Vì AM , MB là hai vec-tơ cùng hướng, cùng độ lớn).
4. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Chứng minh GA GB GC 0 .
III. TỔNG HAI VECTƠ.
1. Vec-tơ đối của một vectơ.
Nếu tổng hai vec-tơ a và b là vectơ-không, thì ta nói a là vec-tơ đối của b , hoặc b là
vec-tơ đối của a .
Nhận xét :
- Hai vec-tơ đối nhau là hai vec-tơ ngược hướng và cùng độ lớn.
- Vec-tơ đối của vec-tơ 0 là vec-tơ 0 .
- Vec-tơ đối của vec-tơ AB là vec-tơ BA .
2. Hiệu của hai vectơ.
Hiệu của hai vec-tơ a và b là tổng của vec-tơ a và vec-tơ đối của vec-tơ b .
Kí hiệu : a b .
3. Quy tắc hiệu hai vectơ.
MN ON OM
4. Bài tập áp dụng.
Cho bốn điểm A, B, C, D. Chứng minh AB CD AD CB .
Giải
Cách 1. AB CD AD DB CB BD AD CB DB DB AD CB
Cách 2. AB CD OB OA OD OC OB OC OD OA CB AD
IV. TÍCH CỦA MỘT SỐ VỚI MỘT VECTƠ.
1. Định nghĩa tích của một số với một vectơ.
Tích của vec-tơ a với số thực k là một vectơ, kí hiệu ka , được xác định như sau:
Copyright to
Trang: 2
Hình học lớp 10
Người soạn: Bùi Thiện Chiến
- Nếu k 0 thì vec-tơ ka cùng hướng với vec-tơ a .
- Nếu k 0 thì vec-tơ ka ngược hướng với vec-tơ a .
Độ dài vec-tơ ka được kí hiệu k . a .
Phép lấy tích của một số với một vec-tơ với một số gọi là phép nhân vec-tơ với một số.
Nhận xét: a 1.a; a 1.a
2. Tính chất của phép nhân vec-tơ với một số.
Với hai vec-tơ a, b bất kì và mọi số thực k, l ta có
k la kl a
k a b ka kb
k l a ka la
k 0
ka 0
a 0
a b ka kb
Bài tập áp dụng.
1.Chứng minh rằng điểm I là trung điểm của đoạn thẳng AB khi và chỉ khi với điểm M
bất kì, ta có MA MB 2MI .
Giải.
- I là trung điểm AB. Chứng minh: Điểm M bất kì, MA MB 2MI .
Áp dụng quy tắc hình bình hành , ta có MA MB MD ; mà MD 2MI ( tính chất hình
bình hành ). Suy ra MA MB 2MI .
- Điểm M bất kì, MA MB 2MI . Chứng minh: I là trung điểm AB.
Ta có: MA MB MI IA MI IB 2MI IA IB ; mà MA MB 2MI (gt).
Suy ra IA IB 0
Vậy: I là trung điểm của AB.
3. Cho tam giác ABC với trọng tâm G. Chứng minh rằng với điểm M bất kì, ta có
MA MB MC 3MG .
Giải.
MA MB MC MG GA MG GB MG GC 3MG GA GB GC 3MG
3. Điều kiện để hai vec-tơ cùng phƣơng.
Vectơ b cùng phương với vec-tơ a a 0 khi và chỉ khi có số k sao cho b ka .
Điều kiện để ba điểm thẳng hàng.
Điều kiện để ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng là có số k sao cho AB k.AC .
Bài tập áp dụng.
1.Cho tam giác ABC có trực tâm h, trọng tâm G và tâm đường tròn ngoại tiếp O.
a. Gọi I là trung điểm của BC. Chứng minh AH 2OI .
b. Chứng minh OH OA OB OC .
c. Chứng minh ba điểm O, G, H thẳng hàng.
Giải.
a. Kẻ đường kính AK.
Ta có: BH // CK ( cùng vng góc KC )
Copyright to
Trang: 3
Hình học lớp 10
Người soạn: Bùi Thiện Chiến
CH // BK ( cùng vng góc AB )
Suy ra BHCK là hình bình hành.
Mà I là trung điểm của BC.
Suy ra I là trung điểm IK.
Mà O là trung điểm AK.
Suy ra OI là đường trung bình tam giác AKH.
1
AH AH 2OI .
2
b. Ta có : OB OC 2OI ( tính chất hình bình hành ).
Suy ra : OB OC AH OB OC OA AH OA OB OC OA AH AO OH .
c. OA OB OC 3OG GA GB GC OA OB OC 3OG OH 3OG .
OI
Vậy ba điểm O, G, H thẳng hàng.
Đường thẳng đi qua ba điểm này gọi là đường thẳng Ơ-le.
2. Cho tam giác ABC với trọng tâm G. Gọi I là trung điểm của đoạn AG và K là điểm
1
5
a. Hãy phân tích AI , AK , CI , CK theo a CA, b CB .
trên cạnh AB sao cho AK AB .
b. Chứng minh ba điểm C, I, K thẳng hàng.
Giải.
a. Kẻ trung tuyến AD của tam giác ABC.
1
1
AD CD CA CB CA b a .
2
2
1
1
1
AI AD b a .
3
6
3
1
1
AK AB CB CA
5
5
b. ( tự giải )
4. Biểu thị một vec-tơ qua hai vec-tơ không cùng phƣơng.
Cho a và b là hai vec-tơ khơng cùng phương. Khi đó mọi vec-tơ x đều có thể biểu thị
một cách duy nhất qua hai vec-tơ a và b , nghĩa là có duy hất cặp số m và n sao cho
x na mb .
V. TRỤC TỌA ĐỘ VÀ HỆ TRỤC TỌA ĐỘ.
1.Trục tọa độ.
Trục tọa độ ( trục số ) là một đường thẳng trên đó đã xác định một điểm O và một vectơ i có độ dài bằng 1.
Trong đó :
Điểm O gọi là góc tọa độ, vec-tơ i gọi là vec-tơ đơn vị.
Trục tọa độ được kí hiệu O; i .
Tọa độ của vec-tơ trên trục.
Cho vec-tơ u nằm trên O; i . Khi đó vec-tơ u ai thì số a được gọi là tọa độ của u
trên O; i .
Tọa độ của điểm trên trục.
Copyright to
Trang: 4
Hình học lớp 10
Người soạn: Bùi Thiện Chiến
Cho điểm M nằm trên O; i . Khi đó vec-tơ OM mi thì số m được gọi là tọa độ của
điểm M trên O; i .
Độ dài đại số của vec-tơ trên trục.
Nếu hai điểm A và B nằm trên trục Ox thì tọa độ của vec-tơ AB được kí hiệu là AB
và được gọi là độ dài đại số của vec-tơ AB trên trục Ox.
Trên trục số :
AB CD AB CD
AB BC AC AB BC AC
2. Hệ trục tọa độ.
Hai hệ trục Ox và Oy vng góc với nhau.
Vec-tơ đơn vị trên trục Ox là i , vec-tơ đơn vị trên trục Oy là j .
Điểm O được gọi là góc tọa độ, trục Ox được gọi là trục hoành, trục Oy được gọi là
trục tung.
Hệ trục tọa độ được kí hiệu Oxy hay O; i; j .
Trong một mặt phẳng đã cho ( đã chọn ) một hệ trục tọa độ ta gọi mặt phẳng đó là mặt
phẳng tọa độ.
3. Tọa độ của vec-tơ đối với hệ trục tọa độ.
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , nếu a xi y j thì cặp số x; y được gọi là tọa độ của
vec-tơ a .
Kí hiệu : a x; y hay a x; y .
Ví dụ : Đối với hệ trục tọa độ
0; i ; j ; i j ; 2 j i ;
1
i 3 j;
3
Hai vec-tơ bằng nhau.
O; i ; j ;
hãy chỉ ra tọa độ của các vec-tơ
3i 0.14 j
x x
y y
Cho a x; y và b x; y . a b
4. Biểu thức tọa độ của các phép toán vec-tơ.
Cho a x; y và b x; y .
a b x x; y y ; a b x x; y y
ka kx; ky
Điều kiện hai vec-tơ cùng phƣơng.
Cho a x; y và b x; y khác vec-tơ 0 .
x kx
Vec-tơ a cùng phương với vec-tơ b khi và chỉ khi
y ky
Bài tập áp dụng.
1. Cho a 3; 2 và b 4; 5 .
a. Hãy biểu thị vec-tơ a; b qua hai vec-tơ i; j .
b. Tìm tọa độ của các vec-tơ c a b ; d 4a ; u 4a b .
2. Xét mỗi cặp vec-tơ sau có cung phương không?
a. a 0; 5 ; b 1; 7
Copyright to
Trang: 5
Hình học lớp 10
Người soạn: Bùi Thiện Chiến
b. e 4; 8 ; f 0.5; 1
5. Tọa độ của điểm.
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , tọa độ của vec-tơ OM được gọi là tọa độ của điểm M.
Cặp số x; y được gọi là tọa độ của điểm M khi và chỉ khi OM x; y .
Ta viết: M x; y hoặc M x; y .
Số x được gọi là hoành độ của điểm M, số y được gọi là tung độ của điểm M.
Tọa độ của vec-tơ.
Cho điểm A xA ; yA và điểm B xB ; yB thì AB xB xA ; yB y A .
6. Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng, tọa độ trọng tâm tam giác.
Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng.
M là trung điểm của đoạn thẳng AB thì xM
Tọa độ trọng tâm của tam giác.
G là trọng tâm của tam giác ABC thì xG
xB xA
y y
; yM B A .
2
2
xA xB xC
y y y
; yG A B C .
3
3
Bài tập.
1. Tìm tọa độ điểm M đối xứng với điểm M 7; 3 qua điểm A 1; 1 .
2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho các điểm A 1; 0 ; B 0; 4 ; C 1; 3 .
a. Chứng minh A, B, C là ba đỉnh của tam giác.
b. Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác.
3. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho các điểm A 2; 0 ; B 0; 4 ; C 1; 3 .
a. Chứng minh A, B, C là ba đỉnh của tam giác.
b. Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác.
c. Tìm tọa độ trung điểm các cạnh của tam giác ABC.
4. Cho a 1; 1 , b 2; 1 . Hãy phân tích c 4; -1 theo a và b .
Giải
m 2n 4
m n 1
Giả sử c ma nb m 2n; m n
Copyright to
Trang: 6
Hình học lớp 10
Chƣơng II
Người soạn: Bùi Thiện Chiến
TÍCH VƠ HƢỚNG CỦA HAI VEC-TƠ VÀ ỨNG DỤNG.
I. TỈ SỐ LƢỢNG GIÁC CỦA MỘT GĨC BẤT KÌ.
1. Định nghĩa.
Nửa đƣờng trịn đơn vị.
Trên mặt phẳng tọa độ Oxy vể phía tung độ dương, ta vẽ đường trịn tâm O, bán kính
R 1 , đường kính thuộc trục xOx . Nửa đường tròn ấy được gọi là nửa đường tròn
đơn vị.
Tỉ số lƣợng giác của một góc bất kì.
Với mỗi góc 0o 180o , xác định điểm M sao cho MOx . Giả sử điểm
M x; y , ta có
sin y
cos x
tg
y
x
x 0
cotg
x
y
y 0
Chen hình vào
Ví dụ. Tìm giá trị lượng giác của góc 135o .
2. Hệ thức cơ bản.
tan
sin
cos
sin 2
cos2
cot
cos
sin
tan .cot
1
1
cos
0
cos2
Chú ý: 0 sin 1; 1 cos 1
1 tan 2
1
sin .cos
1
sin 2
1 cot 2
sin
0
0
3. Tỉ số lƣợng giác một số góc đặc biệt.
0o
30o
45o
60o
90o
180o
sin
0
1
2
2
2
3
2
1
0
cos
1
3
2
2
2
1
2
0
-1
tan
0
3
3
1
3
3
1
3
3
TSLG
cot
Copyright to
0
0
Trang: 7
Hình học lớp 10
Người soạn: Bùi Thiện Chiến
4. Tỉ số lƣợng giác hai góc phụ nhau và bù nhau.
Tỉ số lƣợng giác hai góc phụ nhau.
Góc bù nhau
Góc phụ nhau
sin 180o
cos 180o
sin
tan 180o
cot 180o
tan
sin 90o cos
cos 90o sin
cos
tg 90o cot g
cot g 90o tg
cot
Bổ sung.
Hai góc hơn kém 180o
sin 180o
sin
cos 180o
tan 180o
tan
cot 180o
cot
Hai góc hơn kém 90o
sin 90o cos
cos 90o sin
cos
tg 90o cot g
cot g 90o tg
5. Bài tập áp dụng.
1. Chứng minh rằng
a. sin 2 cos2 1
1
1
90o
1 cot g 2 2
0o
2
cos
sin
2. Cho tan x 5 , tìm các giá trị lượng giác cịn lại của góc x.
b. 1 tg 2
3. Tính giá trị biểu thức.
P tg1o.tg 2o.tg 4o.tg5o.....tg87o.tg88o.tg89o
Q cos10o cos 20o cos30o cos 40o .... cos150o cos160o cos170o
R cos1o.cos 2o.cos3o.cos 4o....cos178o.cos179o.cos180o
II. TÍCH VƠ HƢỚNG CỦA HAI VÉC-TƠ.
1. Góc giữa hai véc-tơ.
Cho a 0; b 0 . Từ một điểm O bất kì ta vẽ OA a; OB b .
Khi đó a, b AOB với 0o AOB 180o ; a, b gọi là góc giữa hai véc-tơ a và b .
b
a
O
a
A
b
B
Chú ý:
Copyright to
Trang: 8
Hình học lớp 10
Người soạn: Bùi Thiện Chiến
a, b 90 a b .
a, b 0 a, b cùng hướng.
a, b 180 a, b ngược hướng.
a, b b, a
o
o
o
2. Tích vơ hƣớng của hai véc-tơ.
Định nghĩa. a. b a . b cos a, b
2
Đặc biệt: a. a a a
2
Tính chất.
Với a, b, c và k .
a.b b.a
ka .b k a.b a kb
a b a 2a.b b
a b a b a b
a.b 0 a, b nhọn
2
2
a. b c a.b a.c
2
2
2
2
a 0; a 0 a 0
a b
2
2
a 2a.b b
2
2
a.b 0 a, b tù
a.b 0 a, b vuông.
3. Biểu thức tọa độ của tích vơ hƣớng.
Cho a a1 , a2 ; b b1, b2 . Khi đó
a.b a1b1 a2b2
cos a, b
a. b
a.b
a a12 a22
=
a1b1 a2b2
a b a1b1 a2b2 0
a a22 b12 b22
2
1
Cho A xA ; yA , B xB ; yB . Khi đó AB
4. Kiến thức bổ sung.
4.1.Trong ABC :
AB. AC
xB xA
2
yB y A .
2
2
2
2
2
2
1
1
1
AB 2 AC 2 BC 2
AB AC AB AC
AB.AC AB AC
2
4
2
2
2
Chứng minh. BC AC AB BC AC AB khai triển hằng đẳng thức ta được
AB. AC
1
AB 2 AC 2 BC 2 .
2
4.2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho A xA ; yA , B xB ; yB ; C xC ; yC không thẳng
hàng.
- Điểm I xI ; yI là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC AI BI CI .
x ?
AI BI
tìm I
.
AI CI
yI ?
Giải hệ phương trình
Copyright to
Trang: 9
Hình học lớp 10
Người soạn: Bùi Thiện Chiến
AH .BC 0
- Điểm H xH ; yH là trực tâm của ABC
BH . AC 0
AH .BC 0
x ?
Giải hệ phương trình
tìm H
.
yH ?
BH . AC 0
AK .BC 0
- Điểm K xK ; yK là chân đường cao AK của ABC
BC k KC
xK ?
.
yK ?
Giải hệ phương trình ẩn số k ? tìm
- Điểm D xD ; yD là chân đường phân giác hạ từ đỉnh A . Ta có
BD AB
sử dụng
DC AC
xD ?
.
yD ?
kiến thức hai véc –tơ bằng nhau để tìm
III. HỆ THỨC LƢỢNG TRONG TAM GIÁC.
1. Hệ thức lƣợng trong tam giác vng.
Cho ABC có BC a AB c AC b AH h BH c HC b
Ta có:
a 2 b2 c 2
h2 b.c
b2 ab
c 2 a.c
1
1 1
1
1
a.h b.c
2 2 S a.h b.c
2
h
b c
2
2
A
C
B
Tỉ số lƣợng giác.
H
b a sin B a cos C c tan B c cot C
c a sin C a cos B b tan C b cot B
2. Hệ thức lƣợng trong tam giác thƣờng.
Cho ABC có
A
- BC a AB c AC b .
- Ba đường cao kẻ từ A, B, C lần lượt là: hA , hB , hC .
- Ba đường trung tuyến kẻ từ A, B, C lần lượt là: mA , mB , mC .
C
B
H D M
- Ba đường phân giác kẻ từ A, B, C lần lượt là: lA , lB , lC .
- Bán kính đường trịn ngoại tiếp, đường tròn nội tiếp tam giác lần lượt là: R, r.
- Đường trong bàng tiếp ABC : Đường trịn có tâm nằm trên đường phân giác của một
góc và tiếp xúc ngoài với ba cạnh của tam giác. Trong đó rA , rB , rC là bán kính đường
trịn bàng tiếp có tâm nằm trên đường phân giác góc A, góc B, góc C.
- Chu vi : P
Nửa chu vi : p P : 2 .
Định lí côsin.
a 2 b2 c 2 2bc.cos A
b 2 a 2 c 2 2ac.cos B
c 2 a 2 b 2 2ab.cos C
Định lí sin.
Copyright to
Trang: 10
Hình học lớp 10
Người soạn: Bùi Thiện Chiến
a
b
c
2R
sin A sin B sin C
Độ dài đƣờng trung tuyến.
m
2
a
2 b2 c 2 a 2
m
2
b
4
2 a 2 c 2 b2
4
m
2
c
2 a 2 b2 c 2
4
Một số công thức bổ sung.
tan
A
r
r
A
2 pa p
tan
a hA cot B cot C
B
r
r
B
2 p b p
b hB cot A cot C
tan
C
r
r
C
2 pc p
c hC cot A cot B
Diện tích tam giác.
1
1
1
1
1
1
abc
S a.hA b.hB c.hC ab.sin C ac.sin B bc.sin A
2
2
2
2
2
2
4R
S pr p a rA p b rB p c rC p p a p b p c
S ABC
1
AB2 . AC 2 AB. AC
2
2
Hệ thức lƣợng trong đƣờng tròn.
Cho đường tròn ( O, R ) và điểm M cố định.
- Từ điểm M vẽ hai cát tuyến MAB và MCD.
PM / O MA.MB MC.MD MO2 R 2
- Từ điểm M vẽ tiếp tuyến MT.
2
PM / O MT MO2 R2
Copyright to
Trang: 11
Hình học lớp 10
Người soạn: Bùi Thiện Chiến
Chƣơng III
PHƢƠNG PHÁP TẠO ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG.
I. PHƢƠNG TRÌNH ĐƢỜNG THẲNG.
1. Định nghĩa véc-tơ.
Véc-tơ chỉ phƣơng.
a được gọi là véc-tơ chỉ phương của đường thẳng
giá trùng hoặc song song với đường thẳng
Lƣu ý: n
a; b
a
b; a
a
0 và a có
.
Véc-tơ chỉ phƣơng.
n được gọi là véc-tơ pháp tuyến của đường thẳng
véc-tơ n vuông góc với đường thẳng
khi và chỉ khi a
khi và chỉ khi n
0 và giá của
.
b; a
2. Phƣơng trình tổng quát của đƣờng thẳng.
Định nghĩa.
Trong mặt phẳng tọa độ, phương trình tổng quát của đường thẳng có dạng
Ax
trong đó: A2
B2
By
0 và có VTPT n
C
0
A; B .
Định lí.
qua M xo ; yo và có VTPT n
:A x
xo
B y
yo
A; B
0
Lưu ý:
i.
qua M xo ; yo và có VTPT n
A;0
:x
ii.
0; B
:y
qua M xo ; yo và có VTPT n
xo
yo
iii. Hai đường thẳng vng góc thì tọa độ vec-tơ chỉ phương của đường thẳng này là
tọa độ vec-tơ pháp tuyến của đường thẳng kia.
Các trƣờng hợp đặc biệt.
Các hệ số Phƣơng trình đƣờng thẳng
.
Tính chất đƣờng thẳng
A
0
By
C
0
// Ox
Ox
B
0
Ax
C
0
// Oy
Oy
C
0
Ax
By
0
đi qua gốc tọa độ O
.
Phƣơng trình đƣờng thẳng theo đoạn chắn.
Copyright to
Trang: 12
Hình học lớp 10
Người soạn: Bùi Thiện Chiến
qua A a ;0 và B 0 ; b
:
x
a
y
b
0
Phƣơng trình đƣờng thẳng theo hệ số góc ( hsg ) k.
qua A a ;0 và hsg : k
:y
yo
k x
xo
+ Hệ số góc k.
là góc tạo bởi đường thẳng và trục Ox theo chiều dương- ngược
k tan với
chiều kim đơng hồ.
tan 1 a .
là góc nhọn và
k 0
180o tan 1 a .
là góc tù và
k 0
k 0
0o khi đó
// Ox
Ox .
Phƣơng trình tổng qt của đƣờng thẳng.
Ví dụ. Lập phương trình đường thẳng
. Biết
Giải.
VTCP a AB 3;4
VTPT n 4; 3 .
qua A
2;0 và có VTPT n
:4 x
2
: 4x
3y
3 y
8
0
đi qua A
2;0 và B 1;4 .
4; 3
0
0
Ví dụ. Cho tam giác ABC có ba đỉnh A 1; 1 , B 1;3 , A 2; 4 .
a. Viết phương trình tổng quát ba cạnh của tam giác.
b. Viết phương trình tổng quát của ba đường cao trong tam giác tam giác.
c. Viết phương trình tổng quát của ba đường trung tuyến trong tam giác tam giác.
( tự giải).
Ví dụ. Cho A 1;2 , B 3;4 . Tìm điểm C trên đường thẳng d : x 2 y 1 0 sao cho
tam giác ABC vuông tại C.
Giải.
Gọi C xc ; yc .
C xc ; yc
d
C 2 yc
1; yC
Tam giác ABC vuông tại C
CACB
.
CA.CB
2
0
Vậy C 3;2
2 yc 4
C
2 yc
0.
yc 4
yc
0
yc
2
yc
4
5
3 4
; .
5 5
Ví dụ. Lập phương trình đường thẳng các cạnh của tam giác ABC biết đỉnh C 4; 1 ,
đường cao và đường trung tuyến lần lượt có phương trình là 2 x 3 y 12 0;
Copyright to
Trang: 13
Hình học lớp 10
2x
3y
Người soạn: Bùi Thiện Chiến
0.
Giải
A
B
H
C
M
Ta có.
AH : 2 x 3 y 12
0; AM : 2 x
VTPT n AH
VTCPa AH
2; 3
3y
0.
3;2
+ Viết phương trình đường thẳng BC .
Dạng PTTQ của BC : Ax
BC
AH
VTCPa AH
BC đi qua C 4; 1
Vậy BC : 3x
By
C
0
3;2 .
VTPT n BC
3.4
2.
1
C
0
C
10
0.
2 y 10
+ Viết phương trình đường thẳng AC .
2x
2x
Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ phương trình
Tọa độ điểm A
AC
7; 3
3
0
x
y
3
2
.
3;2 .
VTPT n AC
AC đi qua điểm A
3
3 y 12
3y 0
3;7
3;2 và có VTPT n AC
7.2
C
0
C
Vậy AC : 3x
7y
5
0.
3;7
5
+ Viết phương trình đường thẳng
AB .
2x
3x
Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ phương trình
3y 0
2 y 10
0
x
y
6
4
Tọa độ điểm M 6; 4 .
M 6; 4 là trung điểm của BC
xB
yB
2 xM
2 yM
xC
yC
xB
2.6 4
yB
2
4
8
1
7
Tọa độ điểm B 8; 7
AB
11; 9
VTPT n AB
AB đi qua điểm A
9.
3
11.2
9;11
3;2 và có VTPT n AB
C
0
C
Vậy AB : 9x 11y
5
0.
9;11
5
Ví dụ: Cho đường thẳng
1 : 2x
tạo bởi đường thẳng và trục Ox .
2y 1
Copyright to
0;
2
: 3x
y
5
0 . Tính số đo góc
Trang: 14
Hình học lớp 10
Người soạn: Bùi Thiện Chiến
Giải
1
k
: 2x
2y 1
1
2
tan
: 3x y
0
1
:y
x
1
tan
5 0 ( tự giải)
1
1
2
180o
135o
3. Phƣơng trình tham số của đƣờng thẳng.
Định nghĩa.
Trong mặt phẳng tọa độ, phương trình tham số của đường thẳng, với tham số t có dạng
x
y
trong đó: a 2
b2
xo
yo
at
bt
0 và có VTCP a
a; b .
Định lí.
qua M xo ; yo và có VTCP a
:
x
y
xo
yo
a; b
at
bt
Ví dụ. Lập phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua M
Giải.
qua M 2;3 và có VTCPa
5; 1
PTTS
:
x
y
2
5t
2;3 , VTCPa
5; 1
t
3 t
4. Phƣơng trình chính tắc của đƣờng thẳng.
Định nghĩa.
Trong mặt phẳng tọa độ, phương trình chính tắc của đường thẳng có dạng
x
xo
a
y
yo
b
trong đó: ab 0 và có VTCP a a; b .
+ Lƣu ý: Khi a 0 b 0 thì đường thẳng khơng có phương trình chính tắc.
Định lí.
qua M xo ; yo và có VTCP a
:
x
xo
a
y
a; b
yo
b
Phƣơng trình đƣờng thẳng đi qua A xA ; yA ; B xB ; yB .
AB :
x xA
xB xA
y yA
yB y A
Copyright to
Trang: 15
Hình học lớp 10
Người soạn: Bùi Thiện Chiến
Ví dụ. Lập phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua M
2;3 , VTCPa
qua M
PTCT
:
2;3 và có VTCPa
x
2
y
5
5; 1
3
1
Ví dụ. Viết phương trình đường thẳng đi qua A 4; 1 ; B
x 4
3 4
AB :
5; 1
y 1
2 1
AB :
x 4
7
3;2 .
y 1
3
Chuyển phƣơng trình tổng quát sang phƣơng trình tham số; phƣơng trình chính
tắc.
+ PTTQ của đường thẳng
ĐK: A2 B 2 0 .
: Ax By C 0
VTPT n
A; B
VTCP a
B; A
+ Chọn điểm M xo ; yo
+ Lập phương trình tham số, phương trình chính tắc của đường thẳng
qua M xo ; yo và có VTCP a
.
B; A
Chuyển đổi giữa phƣơng trình tham số; phƣơng trình chính tắc sang phƣơng
trình tổng qt.
+ PTTS của đường thẳng
:
PTCT của đường thẳng
VTCP a
a; b
:
x
y
x
VTPT n
xo
yo
xo
a
at
;
bt
y yo
b
b; a
+ Chọn điểm M xo ; yo
+ Lập phương trình tổng quát của đường thẳng
qua M xo ; yo và có VTPT n
.
b; a .
Ví dụ. Lập PTTS, PTCT (nếu có), PTTQ của đường thẳng đi qua điểm M
hsg : k
2.
Giải.
qua M 3; 1 và có hsg : k
2
:y 1
: 2x
PTTQ
3
y
5
0
: 2x
y
5
VTPT n
M
2 x
3;1
2;1
3;1 và có
0
VTCPa
M
1; 2
3;1
Copyright to
Trang: 16
Hình học lớp 10
Người soạn: Bùi Thiện Chiến
qua M
PTTS
:
PTCT
:
3;1 và có VTCPa
x
y
x
3 t
1 2t
3
1
1;2
t
y 1
2
Tìm điểm M xM ; yM
đối xứng với N xN ; yN qua đƣờng thẳng
+ Lập phương trình đường thẳng
1
+ Tìm giao điểm I của đường thẳng
đi qua điểm N xN ; yN và
và
1
.
1
.
.
+ M xM ; yM đối xứng với N xN ; yN qua đường thẳng
I là trung điểm của
MN. Dùng công thức trung điểm của đoạn thẳng tìm tọa độ điểm M.
Ví dụ. Cho
: x 2 y 5 0 , tìm tọa độ điểm N đối xứng với M 2; 2 .
Giải.
2; 2 và 1
y 0.
1 đi qua điểm M
1 : 2x
Tìm giao điểm I của đường thẳng
N đối xứng với M
xI
yI
xM
2; 2
1
được I 1; 2 .
và
I là trung điểm của MN.
xN
2
yM
yN
xN
yN
4
6
2
Vậy: N 4;6 .
Lập phƣơng trình đƣờng thẳng d
thẳng
đối xứng với đƣờng thẳng d qua đƣờng
.
Trƣờng hợp d / /
.
+ Chọn M xM ; yM
d .
+ Tìm tọa độ điểm M đối xứng với M qua đường thẳng
+ Viết phương trình đường thẳng d
.
đi qua điểm M và có VTPT n d
VTPT n .
Trƣờng hợp d
I .
d với M I .
+ Chọn M xM ; yM
+ Tìm tọa độ điểm M đối xứng với M qua đường thẳng
+ Viết phương trình đường thẳng d
đi qua điểm M và có VTPT n d
Ví dụ. Lập phương trình đường thẳng d
thẳng
a. d : 2 x
.
VTPT n d .
đối xứng với đường thẳng d qua đường
.
y 1 0
b. d : 2 x 3 y 1 0
Giải.
: 3x
4y
2
0
: 2x 3y 1 0
Copyright to
Trang: 17
Hình học lớp 10
Người soạn: Bùi Thiện Chiến
a.
Tìm giao điểm I của d và
được I
6
1
.
;
11 11
Chọn M 0;1
d .
Viết phương trình
1 đi qua điểm M 0;1 vng góc với đường thẳng
3y 3 0
1 : 4x
Tìm giao điểm N của
1
được N
và
.
18 1
.
;
25 25
Tọa độ điểm M đối xứng với M qua N.
Lập phƣơng trình các cạnh của tam giác.
- Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC, biết phương trình chứa cạnh BC;
phương trình đường cao xuất phát từ đỉnh B, đỉnh C của tam giác.
B
AC :
A
BC
BB
qua C xC ; yC
AC
AC
BB
C
AB :
BC
CC
qua B xB ; yB
AB
CC
AB
- Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC, biết tọa độ đỉnh A; phương trình
đường cao xuất phát từ đỉnh B, đỉnh C của tam giác.
AC :
B
BC :
qua A xA ; y A
AC
AB
BB
BB
AB :
C
qua A xA ; y A
AB
AC
CC
CC
qua B xB ; yB
qua C xC ; yC
- Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC, biết tọa độ đỉnh A; phương trình
đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh B, đỉnh C của tam giác.
Mô tả:
- Dựng A’ đối xứng với A qua trọng tâm G.
- Ta có GA’ và BC cắt nhau tại trung điểm S.
- Suy ra BGCA’ là hình bình hành.
- Suy ra BA’ song song CN; CA’ song song BM.
Copyright to
Trang: 18
Hình học lớp 10
Người soạn: Bùi Thiện Chiến
G
CN
BM
A
GA
DG : A
GA
qua A xA ; y A
AC :
AB :
A C / / BM
B
AB
AB
C
N
CN
AB
M
xA
yA
2 xN
2 yN
BC :
AB :
xB
yB
xA
yA
qua B xB ; yB
qua C xC ; yC
; AC :
qua A x A ; y A
AB / / CN
AC
AC
AC
2 xM
2 yM
BM
xC
yC
qua A x A ; y A
qua C xC ; yC
qua B xB ; yB
qua A x A ; y A
- Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC, biết phương trình hai cạnh của tam
giác AB , AC ; trung điểm M của cạnh còn lại BC của tam giác.
d1 :
qua M xM ; yM
d1 / / AB
N
d1
xB
yB
2 xN
2 yN
BC :
AC
xA
yA
d2 :
M
xC
yC
qua M xM ; yM
d 2 / / AC
d2
AB
2 xM
2 yM
xA
yA
qua B xB ; yB
qua C xC ; yC
Bài tập áp dụng.
1. Cho tam giác ABC, biết phương trình
AB : 4 x
y 12
0 , phương trình hai
đường cao
BB :5x 4 y 15 0, CC : 2 x 2 y 9 0 . Viết phương trình các
cạnh cịn lại của tam giác ABC.
2. Cho tam giác ABC, biết tọa độ đỉnh A 3;0 , phương trình hai đường cao
BB :3x 12 y 1 0, CC : 2 x 2 y 9 0 . Viết phương trình các cạnh cịn lại
của tam giác ABC.
3. Cho tam giác ABC, biết tọa độ đỉnh A 1;3 , phương trình đường trung tuyến
BM : x 2 y 1 0, CN : y 1 0 . Viết phương trình các cạnh cịn lại của tam
giác ABC.
Copyright to
Trang: 19
Hình học lớp 10
4. Cho tam giác ABC, biết phương trình
Người soạn: Bùi Thiện Chiến
AB : x 2 y
7
0 , phương trình hai
đường trung tuyến AM : x y 5 0, BN : 2x y 11 0 . Viết phương trình các
cạnh cịn lại của tam giác ABC.
5. Cho tam giác ABC, có M 1,1 là trung điểm của BC phương trình hai cạnh
AB : 2x y 2 0, AC : x 3 y 3 0 . Viết phương trình các cạnh còn lại của
tam giác ABC.
6. Cho tam giác ABC, có A 2; 7 , phương trình đường cao BH :3x y 11 0 ,
phương trình đường trung tuyến CN : x 2 y 7 0 . Viết phương trình các cạnh
cịn lại của tam giác ABC.
Hướng dẫn:
- Viết phương trình đường thẳng (AC) đi qua A và vng góc đường thẳng (BH).
- C là giao điểm đường thẳng (AC) và đường thẳng (CN).
-
Copyright to
Trang: 20
