ĐỀ KHẢO SÁT ĐỘI TUYỂN HSNK

Trường THCS Tiên Phong

ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH NĂNG KHIẾU
MÔN TOÁN 6 - NĂM HỌC 2015 - 2016
Thời gian làm bài:120 phút

Câu 1: (4 điểm). Thực hiện phép tính
5.(22.32 )9 .(22 ) 6 − 2.(22.3)14 .34
a) A =
5.228.318 − 7.229.318
12 12 12
5
5
5 

12 − 7 − 289 − 85 5 + 13 + 169 + 91  158158158
:
.
b) B = 81. 
4
4
4
6
6
6  711711711
 4− −
−
6+ +
+ 
7 289 85
13 169 91 



Câu 2: (4 điểm)
a) So sánh P và Q
Biết

P=

2010 2011 2012
2010 + 2011 + 2012
+
+
và Q =
2011 2012 2013
2011 + 2012 + 2013

b) Tìm hai số tự nhiên a và b, biết: BCNN(a,b) = 420; ƯCLN(a,b)=21
và a +21 = b.
Câu 3: (4 điểm)
a) Chứng minh rằng: Nếu 7x + 4y M 37 thì 13x +18y M 37
b) Cho A =

1 3 3 2 3 3 3 4
3
3
+ + ( ) + ( ) + ( ) + ... + ( ) 2012 và B = ( ) 2013 : 2
2 2 2
2
2
2

2

Tính B – A
Câu 4. (6 điểm).
·
Cho xAy
, trên tia Ax lấy điểm B sao cho AB = 6 cm. Trên tia đối của tia
Ax lấy điểm D sao cho AD = 4 cm.
a) Tính BD.
·
·
b) Lấy C là một điểm trên tia Ay. Biết BCD
= 800, BCA
= 450. Tính ·ACD

c) Biết AK = 2 cm (K thuộc BD). Tính BK
Câu 5: (2 điểm)
x 3 1
− =
9 y 18
10 n − 3
b) Tìm số tự nhiên n để phân số B =
đạt GTLN . Tìm giá trị lớn nhất đó.
4 n − 10
a) Tìm các số tự nhiên x, y sao cho:


HD CHẤM

Câu

Nội dung
5.(2 .3 ) .(2 ) − 2.(22.3)14 .34
a) Ta có: A =
5.228.318 − 7.229.318
5.218.318.212 − 2.228.314.34
=
5.228.318 − 7.229.318
5.230.318 − 229.318
=
228.318 (5 − 7.2)
229.318 (5.2 − 1)
2.9
= 28 18
=
= −2
2 .3 (5 − 14)
−9
KL:…..
2

Câu 1
(4đ)

2 9

Điểm

2 6

12 12 12
5
5
5 

12 − 7 − 289 − 85 5 + 13 + 169 + 91  158158158
:
.
b) Ta có: . B = 81. 
4
4
4
6
6
6
 4− −
−
6+ +
+  711711711
7 289 85
13 169 91 

  1
1
1  
1
1
1 
12  1 − 7 − 289 − 85 ÷ 5  1 + 13 + 169 + 91 ÷ 158.1001001
: 

.
= 81.  
 4 1 − 1 − 1 − 1  6  1 + 1 + 1 + 1   711.1001001

÷
  7 289 85 ÷

 13 169 91  
 12 5  158
= 81.  : ÷.
 4 6  711
18 2 324
= 81. . =
= 64,8
5 9
5

KL:…………

0.5đ
0.5đ
0.5đ
0.5đ

0.5đ
0.5đ
0.5đ
0.5đ

a) Ta có:

Q=
Câu 2
(4đ)

2010 + 2011 + 2012
2010
2011
=
+
+
2011 + 2012 + 2013
2011 + 2012 + 2013 2011 + 2012 + 2013
2012
+
2011 + 2012 + 2013

Lần lượt so sánh từng phân số của P và Q với các tử là : 2010; 2011;
2012 thấy được các phân thức của P đều lớn hơn các phân thức của
Q
Kết luận: P > Q
b) Từ dữ liệu đề bài cho, ta có :
+ Vì ƯCLN(a, b) = 21, nên tồn tại các số tự nhiên m và n khác 0, sao
cho:
a = 21m; b = 21n
(1)
và ƯCLN(m, n) = 1
(2)
+ Vì BCNN(a, b) = 420, nên theo trên, ta suy ra :

1đ

0,75 đ
0,25 đ

0.5đ


⇒ BCNN ( 21m; 21n ) = 420 = 21.20

0.5đ

⇒ BCNN ( m; n ) = 20
(3)
+ Vì a + 21 = b, nên theo trên, ta suy ra :
(4)
⇒ 21m + 21 = 21n ⇒ 21.( m + 1) = 21n ⇒ m + 1 = n
Trong các trường hợp thoả mãn các điều kiện (2) và (3), thì chỉ có
Trường hợp : m = 4, n = 5 hoặc m = 2, n = 3 là thoả mãn điều kiện
(4).
Vậy với m = 4, n = 5 hoặc m = 2, n = 3 ta được các số phải tìm là :
a = 21 . 4 = 84; b = 21 . 5 = 105
a) Ta có: 5(13x + 18 y ) − 4(7 x + 4 y ) = 65 x + 90 y − 28 x − 16 y
= 37 x + 74 y = 37( x + 2 y )M37
Hay 5(13x + 18 y ) − 4(7 x + 4 y )M37 (*)
Vì 7 x + 4 y M37 , mà (4;37) = 1 nên 4(7 x + 4 y )M37
Do đó, từ (*) suy ra: 5(13x + 18 y )M37 , mà (5; 37) = 1 nên 13x + 18 y M37

0.5đ
0.5đ
0.5đ
0.5đ

0.5đ
0.5đ

b)Ta có:
1 3 3 2 3 3 3 4
3
+ + ( ) + ( ) + ( ) + ... + ( ) 2012
2 2 2
2
2
2
3
3 3
3
3
3
=> A = + ( ) 2 + ( )3 + ( ) 4 + ... + ( ) 2013
2
4 2
2
2
2
A=

Câu 3
(4đ)

(1)
(2)

0.5đ

Lấy (2) – (1), ta được:
3
3
3 1 3
A − A = ( ) 2013 + − −
2
2
4 2 2
1
3
1
32013 1
A = ( ) 2013 + => A = 2012 +
2
2
4
2
2
2013
2013
3
3
5
Vậy B − A = 2014 − 2012 + .
2
2
2

Câu 4 Hình vẽ:
(6đ)
.

C

D

0.5đ
0.5đ
0.5đ
y

A

B

x

a) Vì B thuộc tia Ax, D thuộc tia đối của tia Ax
⇒ A nằm giữa D và B
⇒ BD = BA + AD = 6 + 4 = 10 (cm)

KL:…..
b) Vì A nằm giữa D và B => Tia CA nằm giữa 2 tia CB và CD

0.5đ
0.5đ
0.5đ
0.5đ

·
⇒ ·ACD + ·ACB = BCD
·
⇒ ·ACD = BCD
− ·ACB = 800 − 450 = 350

0.5đ
0.5đ
0.5đ
0.5đ

KL:….
c) * Trường hợp 1 : K thuộc tia Ax
- Lập luận chỉ ra được K nằm giữa A và B
- Suy ra: AK + KB = AB

0.25đ
0.25đ
0.25đ

⇒ KB = AB – AK = 6 – 2 = 4 (cm)

D

A

K

x

B

0.25đ
* Trường hợp 2 : K thuộc tia đối của tia Ax
- Lập luận chỉ ra được A nằm giữa K và B
- Suy ra: KB = KA + AB
0.25đ

⇒ KB = 6 + 2 = 8 (cm)

0.25đ
0.25đ
D

K

A

x

B

0.25đ

* Kết luận: Vậy KB = 4 cm hoặc KB = 8 cm

Câu 5
(2đ)

x 3 1
x 1 3
2x −1 3
⇔ − = ⇔
=
− =
9 18 y
18
y
9 y 18
⇔ ( 2x – 1 ). y = 54 = 1. 54 = 2. 27 = 3. 18 = 6.9
Vì x là số tự nhiên nên 2x – 1 là ước số lẻ của 54.
Ta có bảng sau:
a) Từ

2x – 1
1
3
x
1
2
y
54
18
Vầy (x;y)= ( 1;54); (2;18); (5;6); ( 14;2)

9
5
6

0.25đ

0.25đ
27
14
2

0.25đ
0.25đ


b) B =

10 n − 3
22
= 2,5 +
4n − 10
4 n − 10

Vì n ∈ N nên B = 2,5 +

22
22
đạt GTLN khi
đạt GTLN.
4n − 10
4n − 10

22

đạt GTLN 4n – 10 là số nguyên dương nhỏ nhất.
4n − 10
11
∉ N ( loại)
- Nếu 4n – 10 = 1 thì n =
4

Mà

- Nếu 4n – 10 = 2 thì n = 3.
Vậy GTLN của B = 13,5 khi n = 3.

0.25đ
0.25đ
0.25đ
0.25đ