Các dạng toán lập phương trình mặt phẳng trong không gian

Fanpage: Thầy Duy Thành – Tiến sĩ Toán
CÁC DẠNG TOÁN LẬP PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG TRONG
KHÔNG GIAN
Bài 1. Trong hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(4;1;3) và đường thẳng
x 1 y 1 z  3
. Viết phương trình mặt phẳng ( P) đi qua A và vuông
d:


2
1
3
góc với đường thẳng d .
Giải:
Đường thẳng d có VTCP là ud  (2;1;3)
Vì ( P)  d nên ( P) nhận ud  (2;1;3) làm VTPT
Vậy PT mặt phẳng ( P) là: 2( x  4)  1( y  1)  3( z  3)  0
 2 x  y  3z  18  0 .
Bài 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng
( P) : x  y  z  1  0 . Viết phương trình mặt phẳng chứa trục Ox và vuông góc
với mặt phẳng (P)
Giải:
Gọi mặt phẳng ( ) là mặt phẳng cần tìm. Trục Ox chứa điểm O và vectơ
i  (1;0;0), ( P) có vtpt n ( P )  (1;1;1) . ( ) chứa trục Ox và vuông góc với mặt

phẳng (P) nên nó qua điểm O và có n( )   n( P) , i   (0;1; 1) .
Vậy, phương trình ( ) : y  z  0 .

Bài 3. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(2;3;1) và đường
 x  2  t


thẳng d :  y  1  2t . Viết phương trình mặt phẳng đi qua A và chứa đường
 z  1  2t


thẳng d.
Giải:
Đường thẳng d đi qua điểm M (2;1; 1) và có vtcp u  (1;2; 2), MA  (4;2;2).
( P) đi qua A và chứa d nhận n  u, MA  (8; 10; 6) làm vtpt. Vậy phương

trình của ( P) là: 4 x  5 y  3z  10  0 .


Fanpage: Thầy Duy Thành – Tiến sĩ Toán

Bài 4. Trong không gian toạ độ Oxyz, cho đường thẳng

:

x 1 y 1 z

 .
1
2
1

Viết phương tình mp (P) chứa  , vuông góc với mặt phẳng Oxy.
Giải:
Đường thẳng  có vectơ chỉ phương u  (1;2; 1) đi qua M (1; 1;0) , mặt
phẳng (Oxy) có vectơ pháp tuyến k  (0;0;1) .
Suy ra (P) có vectơ pháp tuyến n  u, k   (2; 1;0) và đi qua M.

 
Vậy (P) có phương trình là: 2( x  1)  ( y  1)  0 hay 2 x  y  3  0 .

Bài 5. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng
( P) : x  y  2 z  4  0 và mặt cầu ( S ) : x2  y 2  z 2  2 x  6 y  4 z  11 . Viết

phương trình mặt phẳng (Q) song song với mặt phẳng (P) và tiếp xúc với mặt
cầu (S).
Giải:
Mặt cầu (S) có tâm I 1;3; 2 và bán kính R  5.
Mặt phẳng (Q) song song với mặt phẳng (P) nên phương trình mặt phẳng (Q) có
dạng: x  y  2 z  D  0, D  4.
Mặt phẳng (Q) tiếp xúc mặt cầu (S) khi và chỉ khi
d ( I ,(Q))  R 

1  3  2(2)  D
12  (1) 2  22

5

D  6  5 6
 D6 5 6  
 D  6  5 6

Vậy có hai mặt phẳng (Q) thỏa mãn đầu bài là:
(Q1) : x  y  2 z  6  5 6  0; (Q2 ) : x  y  2 z  6  5 6  0.


Fanpage: Thầy Duy Thành – Tiến sĩ Toán
Bài 6. Trong không gian cho tam giác ABC có A(1;-1;3) B(-2;3;3);C(1;7;-3)

lập phương trình mặt phẳng (ABC) và tìm chân đường phân giác trong kẻ từ A
trên cạnh BC.
Giải:
Có:

AB(3;4;0) 
 
   AB, AC   (24; 18; 24).
AC (0;8; 6) 


Do AB, AC là hai véc tơ không cùng phương có giá nằm trong (ABC) nên
 AB, AC  là một véc tơ pháp tuyến của (ABC).Chọn véc tơ pháp tuyến của



(ABC) là n  (4;3;4) . Suy ra (ABC) có phương trình:
4( x  1)  3( y  1)  4( z  3)  0  4 x  3 y  4 z  13 .

Bài 7. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(2;-1;3) và đường
thẳng d:

x  2 y  4 z 1
. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua K(1;0;0),


2
3
1

song song với đường thẳng d, đồng thời cách điểm M một khoảng bằng
Giải:
(P) đi qua K (1;0;0) nên phương trình (P) dạng:

A( x  1)  By  Cz  0 ( A2  B 2  C 2  0) .

ud .n p  0
 2 A  3B  C  0 (1)

( P) d  


 H (2;4; 1)  ( P), ( H  d ) 3 A  4 B  C  0 (2)
A  B  3C
d ( M ,( P))  3 
 3
2
2
2
A  B C
 ( A  B  3C )2  3( A2  B 2  C 2 )
Từ (1) suy ra C  2 A  3B , thay vào (3) ta được:
(5 A  8B)2  3( A2  B 2  (2 A  3B)2 )
 A B
 5 A2  22 AB  17 B 2  0  
5 A  17 B

(3)

3.

Fanpage: Thầy Duy Thành – Tiến sĩ Toán
Với A  B , ta có C  B , không thỏa mãn (2).
17
19
Với 5 A  17 B , ta có A  B, C   B . Chọn B  5 ta có A  17, C  19 ,
5
5
thỏa mãn (2).
Vậy phương trình của ( P) :17 x  5 y 19 z 17  0 .
Bài 8. Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng ( ) đi qua điểm
1 1
A( ;0; ) , vuông góc với mặt phẳng ( P) : 2 x  2 y  z  1  0 và tiếp xúc với
2 2
mặt cầu ( S ) : ( x  1)2  ( y  1)2  ( z  2)2  1.
Giải:
Giả sử phương trình ( ) có dạng:
ax  by  cz  d  0
1
1
A  ( )   a  c  d  0  2d  a  c
2
2
( P)  ( )  2a  2b  c  0  2b  2a  c

Khi đó ta viết lại phương trình mặt phẳng ( )
2ax  (2a  c) y  2cz  a  c  0 .
như sau:
Do ( ) tiếp xúc với mặt cầu tâm I (1;1; 2) bán kính R  1 nên

2a  (2a  c)  4c  a  c
d ( I ,( ))  1 
1
2
2
2
4a  (2a  c)  4c
 ac
 a  4c  8a  4ac  5c  7 a  4ac  11c  0  
11
a   c
7

Với a  c , chọn a  c  1. Ta có phương trình ( ) : 2 x  y  2 z  0 .
11
Với a   c , ta chọn c  7 thì a  11 . Ta có phương trình ( ) :
7
2 x  29 y  14 z  18  0 .
2

2

2

2

Bài 9. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d : x  1  y  2  z  3 và điểm
A(2;5;4) . Lập phương trình mặt phẳng ( P) chứa d sao cho khoảng cách từ A
đến mặt phẳng ( P) bằng
Giải:

2.


Fanpage: Thầy Duy Thành – Tiến sĩ Toán
Phương trình mặt phẳng ( P) có dạng : ax  by  cz  d  0
Đường thẳng d đi qua M (1;2;3) có vtcp ud  (1;1;1)

c  (a  b)
n .u  0  a  b  c  0


Do d  ( P) nên  p d
 M  ( P)
a  2b  3c  d  0  d  2a  b

Suy ra phương trình của ( P) có dạng : ax  by - (a  b) z  2a  b  0
Ta có:
2a  5b  4(a  b)  2a  b
d  A,( P)   2 
 2
2
2
2
a  b  ( a  b)


 a0
 2  2b 2  a 2  b 2  (a  b) 2  a(a  b)  0  
b   a

a 2  b 2  ( a  b) 2
2b

c  1
Với a  0 , chọn b  1  
 ( P) : y  z  1  0
d

1

b  1

Với b  a , chọn a  1  c  0  ( P) : x  y  1  0
d  1

Vậy phương trình của ( P) : x  y  1  0 hoặc y  z  1  0 .

Bài 10. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng
( P1) : x  2 y  3z  4  0 và ( P2 ) : 3x  2 y  z  5  0 . Viết phương trình mặt
phẳng ( P) đi qua điểm M (1;2; 1) , vuông góc với hai mặt phẳng ( P1) và ( P2 ) .
Giải:
( P1) có vtpt là n1  (1;2;3); ( P2 ) có vtpt là n2  (3;2; 1)

( P) có vtpt là n  n1,n2   (8;10; 4)  2a, a  (4, 5,2) .
Phương trình của ( P) : 4( x  1)  5( y  2)  2( z  1)  0
Hay phương trình của ( P) : 4 x  5 y  2 z  8  0 .
Để theo dõi các tài liệu khác, truy cập fanpage : Thầy Duy Thành – Tiến sĩ Toán
Để học online, truy cập kênh Youtube: Thầy Duy Thành – Tiến sĩ Toán

Fanpage: Thầy Duy Thành – Tiến sĩ Toán