Đề thi học kì 2 môn Toán lớp 11 trường THPT Thạch Thành 1, Thanh Hóa năm học 2015 - 2016

VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí
TRƯỜNG THPT THẠCH THÀNH 1

ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ II
Năm học 2015 - 2016

Môn Toán Khối 11
Thời gian làm bài: 90 phút
Câu 1: (2đ) Tính giới hạn của các dãy số, hàm số sau:
a) lim
c) xlim
1

4n  5
n3
x5 2
3x  3

b) xlim
( x 2  3 x  5)

d) xlim




4x2  x  2  2x



Câu 2: (2đ)

a) Xét tính liên tục của hàm số sau tại x = 2
 x2  5x  6
khi x  2

f ( x)   x  2
3 khi x  2


b) Chứng minh phương trình -x3 + 2x2 + 7x + 1 = 0 có ít nhất 2 nghiệm trong khoảng
(-1; 4).
Câu 3: (2đ)
a) Tính đạo hàm của hàm số f ( x) 

x2 1
x3

b) Cho hàm số y = - x3 + x - 2 có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị
(C) tại điểm M(2; -8)
Câu 4: (1đ) Cho hàm số y = 2x - x2 . Chứng minh rằng y3y’’ + 1 = 0
Câu 5: (3đ) Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAD là
tam giác đều, (SAD) vuông góc với mặt phẳng đáy.

a) Gọi I là trung điểm của AD. Chứng minh SI  (ABCD).
b) Tính tan của góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (ABCD).
c) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BD.


VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí

ĐÁP ÁN

Câu
Ý
5
Câu 1
a
4 
n  4
2
(0,5đ) lim 4n  5  lim
3
n3
điểm
1

Nội dung

Điểm
0,5

n

b
(0,5đ)
c
(0,5đ)
d
(0,5đ)

Câu 3
2

điểm

Câu 4
1
điểm

a(1đ)

x5 2
x54
 lim
 lim
x 1
3x  3
3( x  1) x  5  2 x 1 3

lim



x 1

lim

x 

Câu 2
2
điểm

0,5

3 5 

lim   x 2  3 x  5   lim x 2  1   2   
x 
x 
x x 






4 x 2  x  2  2 x  lim

Ta có: lim
f ( x)  lim
x2
x2

x 



x  2
4x  x  2  2x
2



1
x5 2

 lim

x 





1
12

2
1
x

4
1 2
4  2 2
x x
1 

x2  5x  6
 lim( x  3)  1
x2
x2

f(2) = 3  lim
f ( x) nên hàm số gián đoạn tại x = 2
x2
b(1đ) Hàm số f(x) = - x3 + 2x2 +7x + 1 liên tục trên -1; 4
f(-1) = - 3; f(0)= 1: f(4) = -3
suy ra phương trình có ít nhất 2 nghiệm thuộc khoảng (-1; 4)
a(1đ)
2 x( x  3)  ( x 2  1) x 2  6 x  1
f '( x) 

( x  3) 2



( x  3) 2

b(1đ) ý = - 3x2 + 1; y’(2) = -11
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M(2; -8) là:
y = -11(x – 2) - 8  y = -11x + 14
(1  x)
(1đ)
 2 x  x 2  (1  x).
y'


1 x

2x  x2
1

 y '' 

0,5

0,5
0,5
0,5
0,5
1,0
0,5
0,5
0,5

2x  x2

2x  x2

0,5

(2 x  x 2 ) 2 x  x 2

y 3 . y '' 1  (2 x  x 2 ) 2 x  x 2

0,5

1
(2 x  x ) 2 x  x 2
2

1  0

VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí

Câu 5 a(1đ)
3
điểm

S

H

D

I

C

M

N
A

O
B

Tam giác SAD đều nên SI  AD.
(SAD)  (ABCD); AD = (SAD)  (ABCD)  SI  (ABCD)

b(1đ)


Góc giữa SB và mặt phẳng (ABCD) là SBI

tan SBI

c(1đ)

SI

BI

a 3
2
a
a2   
2

2



3
5

+ Qua A kẻ đường thẳng d song song với BD. Gọi O là giao điểm của
AC và BD; I, M lần lượt là trung điểm của AD và OD; N là giao điểm
của d và IM.

d ( SA, BD)  d (( SA, d ), BD)  d ( M ,( SA, d ))

+ Trong mp(SMN) kẻ MH  SN (1), (H  SN)
Do SI  ( ABCD)  SI  d (*) Mặt khác ta có:
d / / BD 

BD  AO   d  MN (**) . Từ (*), (**) suy ra:
AO / / MN 
d  ( SMN )  d  MH (2) . Từ (1), (2) suy ra: MH  ( SA, d ) .
+ Xét tam giác SMN có:
1
1
SI .MN
với
S SMN  MH .SN  SI .MN  MH 
2
2
SN
a 3
a 2
a 14
SI 
, MN  AO 
, SN  SI 2  IN 2 
. Do đó,
2
2
4

MH 

a 21

SI .MN a 21

. Vậy d ( SA, BD ) 
SN
7
7