Đặc trưng hình học của mặt cắt ngang

I. KHÁI NIỆM
Trong thí nghiệm về kéo nén đúng tâm, ta nhận thấy với cùng một loại vật liệu, thanh nào có
diện tích mặt cắt ngang lớn hơn thì chịu được tải trọng lớn hơn.Nhưng đối với thí nghiệm uốn,
xoắn ... thì khả năng chịu lực của chúng không những phụ thuộc diện tích mặt cắt ngang mà còn
phụ thuộc hình dạng và sự bố trí mặt cắt ngang nữa. Thí nhiệm cho thấy, thanh tròn rỗng như
hình 5-1 chịu được momen xoắn lớn gấp hai lần thanh tròn đặc có cùng diện tích mặt cắt ngang.
Ðối với thanh chữ nhật đặt đứng (h 5-1a) chịu lực P thì ứng suất trên mặt cắt ngang của thanh
nhỏ hơn 4 lần khi đặt ngang (h 5-1b), độ võng nhỏ
hơn 16 lần khi đặt ngang.
Vì vậy ngoài diện tích mặt cắt ngang F ta cần xét
đến những đại lượng khác đặc trưng cho hình dạng
của mặt cắt ngang về hình học. Ðó là momen tĩnh
vàmomen quán tính.
II- MOMEN TĨNH CỦA MẶT CẮT NGANG
1. Momen tĩnh đối với một trục
Ta gọi momen tĩnh của mặt cắt ngang F đối với các
trục x, y là các tích phân sau:

Sx : moment tĩnh của mặt cắt ngang đối với trục x
Sy : moment tĩnh của mặt cắt ngang đối với trục y
x,y: khoảng cách từ diện tích vi cấp dF tới các trục tương ứng

- Ðối với trục y: dF =
Ghi chú: Moment tĩnh đối
bằng tổng đại số moment
Ví dụ:

Ví dụ: Tính moment tĩnh của mặt cắt ngang chữ nhật chữ nhật đối
với trục x, y trùng với các cạnh của nó.
- Ðối với trục x: dF = b.dy
=>Ġ

h.dx
=>Ġ
với một trục của mặt cắt hình dạng phức tạp
tĩnh của các hình đơn giản thành phần.


2. Momen tĩnh đối với những trục song song

TOP

Ta tính momen tĩnh của trục với OXY so với hệ trục cũ Oxy song song tương ứng với gốc Oï(b,
a).
Ta có Ġ

3. Trục trung tâm

TOP

Ghi chú: mọi trục đối xứng của mặt cắt ngang đều là trục trung tâm

4. Trọng tâm mặt cắt ngang
Trọng tâm mặt cắt ngang là giao điểm của các trục trung tâm.
Gọi xc, yc là tọa độ trọng tâm của mặt cắt ngang (C(xc,yc)) ta có:

TOP


Ngược lại nếu biết trọng tâm của mặt cắt ngang đối với hệ trục x, y thì ta có thể biết được
momen tĩnh của mặt cắt ngang đối với hệ trục đó

Vậy mọi trục đi qua trọng tâm mặt cắt đều có momen tĩnh bằng 0
Ví dụ:
1) Xác định trọng tâm của mặt cắt ngang hình chữ nhật:

2) Xác định tọa độ trọng tâm hình tam giác: (chỉ xét tung độ yc)
a) Tính momen tĩnh của mặt cắt ngang so với trục x trùng với
cạnh đáy
Xét một dãy song song với trục x. Coi dãy đó là một hình chữ
nhật có diện tích b(y).dy
Ta có: b(y) = Ay +B
y = 0 => b(y) = b => B = b

Ta có
Vậy:Ġ
b) Tung độ trọng tâm yc:


Ta có:Ġ
3) Xác định tọa độ trọng tâm hình nữa tròn:
Xác định momen tĩnh của mặt cắt ngang đối với trục x trùng cạnh đáy
Xét một dãy dài b(y) rộng dy
Ta có: y = R.sin( ; b(y) = 2Rcos( ;
d(y) = R.dj.cosj
dF = b(y) dy = 2Rcosj.Rcosj dj
= 2R2cos2j dj

Vì y là trục đối xứng nên Sy = 0
b) Do Sy = 0 nên trọng tâm C nằm trên trục tung => xc = 0

III- MOMEN QUÁN TÍNH CỦA MẶT CẮT NGANG

Momen quán tính đối với một trục
Momen quán tính của mặt cắt ngang đối với trục x hay y được định nghĩa là các tích phân
sau

* Momen quán tính cực
Momen quán tính cực của mặt cắt ngang đối với cực 0 được định nghĩa là tích phân sauĠ
* Momen quán tính ly tâm
Momen quán tính ly tâm của mặt cắt ngang đối với hệ trục xy là tích phân sau

Nhận xét:

TOP


a) Momen quán tính đối với một trục và momen quán tính cực luôn luôn dương
b) Tổng hai momen quán tính của một mặt cắt đối với hai trục vuông góc nhau bằng momen
quán tính cực của mặt cắt ngang đó đối với giao điểm của hai trục trên
c)
Momen quán tính ly tâm Jxy có thể âm, dương hoặc bằng không. Thật vậy, khi xoay hệ trục
0xy một góc (/2 hoặc đổi chiều một trục thì trong tọa độ mới 0xy ta có:
y = y ; x = -x hoặc y = -y và x = x
Như vậy momen quán tính ly tâm lấy trong hệ tọa độ mới đã đổi dấu so với trong hệ tọa độ
cũ. Vậy ở bất kỳ điểm nào ta cũng có thể tìm được một hệ trục quán tính chính (Jxy = 0)
Tất nhiên khi ta xoay hệ trục một góc ( hoặc đổi chiều cả hai trục thì momen quán tính ly tâm sẽ
không đổi dấu.
Khi chuyển momen quán tính ly tâm từ âm sang dương hoặc ngược lại sẽ đạt giá trị bằng 0, hệ
trục có Jxy = 0 gọi là hệ trục quán tính chính hay hệ trục chính
d) Momen quán tính ly tâm đối với một hệ trục vuông góc, trong đó có một hoặc cả hai là trục
đối xứng của mặt cắt ngang thì bằng 0
Thật vậy khi có một trục là trục đối xứng và F = F1 + F2 thì:

Do tính chất đối xứng nênĠ
Do đó:Ġ
e) Momen quán tính của một mặt cắt ngang dạng phức tạp đối với một trục nào đó bằng tổng
momen quán tính của những phần diện tích đơn giản của mặt cắt ngang đối với trục đó. Ðiều
này đúng với tất cả momen quán tính
f)
Nếu mặt cắt có ít nhất hai trục đối xứng không vuông góc nhau thì tất cả các trục đi qua
trọng tâm của mặt cắt đều là trục quán tính chính trung tâm. Momen quán tính trục của mặt cắt
đối với các trục này đều bằng nhau.
IV. MOMEN QUÁN TÍNH CỦA MỘT SỐ MẶT CẮT NGANG
1. Xác định momen quán tính của mặt cắt ngang hình chữ nhật đối với các trục trung tâm X, Y
Do hệ trục X, Y là trục đối xứng nên
Jxy = 0
Momen quán tính đối với trục X và trục Y

Tương tựĠ

2. Xác định momen quán tính của mặt cắt ngang hình tam giác đối với trục x đi qua đáy


3. Mặt cắt ngang hình tròn
Trước hết ta tính momen quán tính cực của mặt cắt ngang hình tròn. Lấy diện tích phân tố dF là
diện tích của một hình vành khăn. Ðể tính dF ta coi hình vành khăn như một hình chữ nhật dài
2(( rộng d(.
Do đó

Ta có J( = Jx + Jy
Mà Jx = = Jy
Do đóĠ

Nếu mặt cắt ngang hình tròn rỗng thì:

Trong đó Ġv à Ġ
V. CÔNG THỨC CHUYỂN TRỤC SONG SONG CỦA MOMEN QUÁN TÍNH
Trong sức bền vật liệu, nhiều khi cần thiết phải xác định momen quán tính của một mặt cắt
đối với trục trung tâm của nó.
Nhưng việc tính toán đối với trục trung tâm là khó khăn và phức
tạp hơn nhiều so với việc tính tóan đối với những trục ở vị trí đặc
biệt rồi sau đó ta dùng công thức biến đổi để đưa về trục trung tâm.
Ở đây ta thiết lập công thức biến đổi momen quán tính từ hệ trục
0xy bất kỳ về hệ trục CXY là trục trung tâm song song với nó
Ta có:


Nhưng các hệ trục X, Y là các trục trung tâm nên

Như vậy: đối với mặt cắt ngang có trục trung tâm thì momen quán tính của mặt cắt ngang đối với
trục trung tâm là nhỏ nhất
Chú ý: trục x, y là bất kỳ nhưng trục X, Y phải là trục trung tâm
VI. HỆ TRỤC QUÁN TÍNH CHÍNH - CÔNG THỨC XOAY TRỤC CỦA MOMEN
QUÁN TÍNH
1. Hệ trục quán tính chính
Ta biết rằng khi xoay hệ trục thì momen quán tính ly tâm sẽ thay đổi và có giá trị bằng 0 khi
chuyển từ giá trị âm sang dương hoặc ngược lại
Hệ trục có momen quán tính ly tâm bằng 0 gọi là Hệ trục quán tính chính hay Hệ trục chính
Nếu hệ trục quán tính chính lại đi qua trọng tâm mặt cắt ngang thì được gọi là Hệ trục quán tính
chính trung tâm hay Hệ trục chính trung tâm
Ðối với hệ trục chính trung tâm ta luôn luôn có:
SX = Sy= 0
Jxy = 0

2. Công thức xoay trục momen quán tính
Ta tìm sự liên hệ giữa momen quán tính của mặt cắt
ngang đối với hệ trục oxy và hệ trục ouv xoay với nó một
góc (
Ta có:


Ta có những nhận xét:
a) Nếu cộng hai biểu thức của Ju và Jv vế với vế ta được Ju + Jv = Jx + Jy
Tức là: Tổng momen quán tính của một mặt cắt ngang đối với hai trục vuông góc nhau là không
đổi khi quay các trục đó quanh giao điểm của chúng
b) Ta thấy các công thức trên hoàn toàn tương tự như các công thức tính (( , ((+(/2 , (( trong
chương trạng thái ứng suất
c)
Ðiều kiện để xác định hệ trục quán tính chính là Juv = 0 hoàn toàn giống như điều kiện xác
định mặt chính trong chương trạng thái ứng suất (uv = 0
Vì vậy ở đây ta có thể sử dụng ngay các kết quả đã nghiên cứu trong chương trạng thái ứng suất
để xác định hệ trục chính và momen quán
tính chính
d) Giá trị dương của các đại lượngĠgọi
là bán kính quán tính của mặt cắt đối với
các trục tương ứng
e) Ellip vẽ theo phương trìnhĠ gọi là
ellip quán tính của mặt cắt. Ơí đây các
trục x và y đều là các trục quán tính
chính. Thông thường ellip quán tính vẽ
trên hệ trục quán tính chính
trung tâm của mặt cắt

Momen quán tính của một số mặt cắt ngang