Bài giảng xử lý số tín hiệu chương 5 biến đổi z (2012)

Xử lý số tín hiệu
Chương 5:
Biến đổi Z


1. Biến đổi Z
 Biến đổi Z của tín hiệu rời rạc x(n):

X ( z )  n x(n) z  n


 Biến đổi Z của một chuỗi rời rạc là hội tụ khi:

| X ( z ) | n | x(n) z  n |  


 Tập hợp các giá trị của z làm cho

n
x
(
n
)
z
n


tụ được gọi là miền hội tụ (ROC: region of
convergence) .

hội

1. Biến đổi Z (tt)
VD: Tìm biến đổi Z và ROC của:
a. x(n)=[-1, 2, 0, 2, 3]
b. x(n)=δ(n)
c. x(n)=anu(n)
d. x(n)=-anu(-n-1)


1. Biến đổi Z (tt)
Giải:

a. X ( z )  n   x(n) z  n  1  2 z 1  2 z 3  3z 4 ,
ROC : z  0
n
0
b. X ( z )  
x
(
n
)
z

1
.
z
 1,
n  


ROC : z
Z

X ( z)  1
Vậy: x(n)   (n) 


1. Biến đổi Z (tt)
c. X ( z )  n0 a z


n n

 

 n0 az


1 n

Để X(z) hội tụ thì: |az-1|<1 hay |z|>|a|. Lúc đó:
1
Im
X ( z) 
1
1  az
ROC

1

,
Vậy: a u (n) 
1
1  az
ROC :| z || a |
n

Mặt phẳng z

Z

Re
a


1. Biến đổi Z (tt)
d. X ( z )  n a z
1

n n

 

 1  n0 a z


1

n

Để X(z) hội tụ thì: |a-1z|<1 hay |z|<|a|. Lúc đó:
Im

1
1
X ( z)  1 

1  a 1 z 1  az 1
Z
Vậy:  a nu (n  1) 

ROC :| z || a |

1
,
1
1  az

Mặt phẳng z
ROC

Re
a


2. Tính chất của biến đổi Z
Z
 Giả sử ta đã có: x(n) 
X ( z ), ROC  Rx
Z

x1 (n) 
X 1 ( z ), ROC  Rx1
Z
x2 (n) 
X 2 ( z ), ROC  Rx2

1.

Tính tuyến tính:
Z
a1 x1 (n)  a2 x2 (n) 

a1 X 1 ( z )  a2 X 2 ( z ), ROC  Rx1  Rx2

VD: Tìm biến đổi Z và ROC của
n

n

1
 1
x(n)    u (n)     u (n  1)
 3
 2


2. Tính chất của biến đổi Z (tt)
2.

Tính trễ

Z
x(n  n0 ) 

z  n0 X ( z ), ROC  Rx

Z

z m
VD:  (n  m) 

3.

Nhân cho chuỗi luỹ thừa
 z
z x(n)  X  , ROC | z0 | Rx
 z0 
n
0

Z

Ghi chú: Giả sử Rx  a1 | z | a2 thì ROC | z0 | Rx | z0 | a1 | z || z0 | a2

VD: Tìm biến đổi Z và ROC của x(n)  r n cos(0 n)u(n), r  0


2. Tính chất của biến đổi Z (tt)
4.

Đạo hàm của X(z)

Z
nx(n) 
z

5.

dX ( z )
, ROC  Rx
dz

Lấy liên hợp của chuỗi phức
Z
x* (n) 

X * ( z * ), ROC  Rx

6.

Đảo thời gian
1
x (n)  X  * , ROC  1 / Rx
z 
*

Z

*


2. Tính chất của biến đổi Z (tt)

7.

Tích chập
Z
x1 (n) * x2 (n) 

X 1 ( z ) X 2 ( z ), ROC  Rx1  Rx2

VD: Dùng biến đổi Z tính tích chập của bộ lọc và tín hiệu
ngõ vào sau:
h = [1, 2, -1, 1]
x = [1, 1, 2, 1, 2, 2, 1, 1]


3. Tính nhân quả và ổn định
1.

Điểm cực và zero:
P( z )
X ( z) 
Q( z )

Điểm zero: các giá trị của z làm cho P(z)=0.
Điểm cực: các giá trị của z làm cho Q(z)=0.

Ký hiệu:


3. Tính nhân quả và ổn định (tt)
2.

Tính nhân quả

Xét tín hiệu nhân quả có dạng:

x(n)  k 1 Ak pknu (n)

Im
ROC

Mặt phẳng z

N

Tín hiệu này có biến đổi Z là:

Ak
X ( z )  k 1
1  pk z 1
N

p1

Re
p3

p2

Miền hội tụ: ROC=|z|>|pk|, k=1,…,N
Hay: ROC=|z|>max{|p1|,…,|pN|}

Vậy: x(n) nhân quả: có ROC nằm ngoài max(p1,…,pN)


3. Tính nhân quả và ổn định (tt)
Xét tín hiệu phản nhân quả có dạng

x(n)  k 1  Ak pknu(n  1)

Im

N

Tín hiệu này có biến đổi Z là:

Ak
X ( z )  k 1
1
1  pk z
N

Mặt phẳng z
p2

p1
ROC

Re
p3

Miền hội tụ: ROC=|z|<|pk|, k=1,…,N
Hay: ROC=|z|
Vậy x(n) phản nhân quả: có ROC nằm trong min(p1,…,pN)


3. Tính nhân quả và ổn định (tt)
VD: Xác định biến đổi Z và miền hội tụ của
a.
x(n) = (0.8)nu(n) + (1.25)nu(n)
b.
x(n) = (0.8)nu(n) – (1.25)nu(-n – 1 )
c.
x(n) = – (0.8)nu(-n-1) + (1.25)nu(n)
d.
x(n) = – (0.8)nu(- n – 1) – (1.25)nu(-n – 1)


3. Tính nhân quả và ổn định (tt)
3.

Tính ổn định:

x(n) ổn định ⇔ ROC tương ứng chứa vòng tròn đơn vị.
Hệ quả:
 Nếu x(n) nhân quả và ổn định:
 | z | 1 ROC
  | pi | 1

| z | max i {| pi |}



Nếu x(n) phản nhân quả và ổn định:
 | z | 1 ROC
  | pi | 1

| z | min i {| pi |}


4. Biến đổi Z ngược
 Công thức của biến đổi Z ngược:

x(n)   X ( z ) z n1dz
C

Trong đó, C là một đường kín trong miền hội tụ của
biến đổi Z.

Cho những chuỗi thông thường hay các hệ thống
LTI, người ta thường dùng các quy trình đơn giản
hơn để tìm biến đổi Z ngược.


4. Biến đổi Z ngược (tt)
Dùng các tính chất của biến đổi Z và các cặp biến
đổi Z thông dụng



1 

VD: Tìm biến đổi Z ngược của X ( z )   1 , | z | 1 / 2
1.

 1  z 1 


 2


2.

Dùng khai triển phân số từng phần
X ( z) 



N ( z)
N ( z)

D( z ) (1  p1 z 1 )(1  p2 z 1 )...(1  pM z 1 )

Nếu bậc của N(z)< bậc của D(z):
A1
A2
AM
X ( z) 

 ... 
1
1

1  p1 z
1  p2 z
1  pM z 1







Với Ai  1  pi z 1 X ( z ) z  pi , i  1, 2, ..., M


4. Biến đổi Z ngược (tt)
VD: Tìm biến đổi Z ngược của
Giải:

1  2 z 1
X ( z) 
1  0.8 z 1  4 z 2

1  2 z 1
0.1
0.9
X ( z) 


1
1
1

(1  2.4 z )(1  1.6 z ) 1  2.4 z
1  1.6 z 1

(i) ROC=|z|<1.6: phản nhân quả
x(n)=-0.1(2.4)nu(-n-1)-0.9(-1.6)nu(-n-1)
(ii) ROC=|z|>2.4: nhân quả.
x(n)=0.1(2.4)nu(n)+0.9(-1.6)nu(n)
(iii)ROC=1.6<|z|<2.4
x(n)=-0.1(2.4)nu(-n-1)+0.9(-1.6)nu(n)


4. Biến đổi Z ngược (tt)


Nếu bậc của N(z)≥ bậc của D(z):

N ( z)
R( z )
 Q( z ) 
Chia đa thức N(z) cho D(z): X ( z ) 
D( z )
D( z )
 Q(z) là đa thức nguyên của N(z)/D(z) có thể dễ dàng

tìm được biến đổi ngược q(n).
Z
Q( z)  a0  a1 z 1  ... 

q(n)  a0 (n)  a1 (n  1)  ...

 R(z) là đa thức dư của phép chia N(z)/D(z).
 R(z) có bậc nhỏ hơn D(z).
 Biến đổi Z ngược của R(z)/D(z) có thể tìm được như cách ở
trên.


4. Biến đổi Z ngược (tt)
3.

Phương pháp “Khử - phục hồi”:
 Đặt
1
W z  

X ( z )  N ( z )W ( z )
D( z )

 Khai triển phân số từng phần của W(z)

VD: Tìm biến đổi Z ngược của





6  z 5
X ( z) 
, ROC  z z  0.5
2
1  0.25 z

 Đặt:

W ( z) 

1
0.5
0.5


1  0.25 z 2 1  0.5 z 1 1  0.5 z 1

 w(n)  0.5(0.5) n u(n)  0.5(0.5) n u(n)



 Mặt khác: X ( z )  6  z

5

W ( z)  6W ( z)  z

 x(n)  6w(n)  w(n  5)

5

W ( z)


5. Phổ tần số
 Công thức biến đổi DTFT: X ( ) 

 Công thức biến đổi Z:
 Nhận xét: X ( ) 

 jn
x
(
n
)
e
n


X ( z )  n x(n) z  n


 jn
x
(
n
)
e
 X ( z ) z e j
n


⇒ Biến đổi DTFT chính là biến đổi Z trên vòng tròn

đơn vị (z=ejw).

5. Phổ tần số (tt)
 Tính chất của biến đổi DTFT: tương tự như tính chất của

biến đổi Z.

DTFT
ax(n)  by(n) 
 aX ( )  bY ( )

1.

Tuyến tính:

2.

Trễ:

DTFT
x(n  nd ) 
 e jnd X ( )

3.

Điều chế:

DTFT
e j0n x(n) 
 X (  0 )

4.

Đảo thời gian:

5.

Vi phân:

6.

Tích chập:

7.

Định lý Parseval:

DTFT
x(n) 
 X ( )
dX ( )
DTFT
nx(n)  j
d
DTFT
x(n) * y(n)  X ( )Y ( )

1
|
x
(
n

)
|

n
2


2



  | X ( ) |


1
x
(
n
)
y
(
n
)

n
2


*



2

d

  X ( )Y


*

( )d


5. Phổ tần số (tt)
 Phổ tần số tuần hoàn với chu kỳ 2π

X (  k 2 )  n x(n)e  jn e j 2k  X ( )


 Khoảng Nyquist: -π≤ω≤π
 Chia thành các miền tần số thấp, trung bình và cao:
π/2

MEDIUM

π

HIGH

LOW

MEDIUM

-π/2

High
0

-π

Medium

-3π/4

low
-π/4

0

Medium
π/4

High
3π/4

π


5. Phổ tần số (tt)

 Phổ biên độ của X(ω):

Xét một biến đổi Z đơn giản có 1 cực và 1 zero.
1  z1 z 1 z  z1
X ( z) 

1
1  p1 z
z  p1
 Phổ tần số:

X ( )  X ( z ) z e j
 Phổ biên độ:

X ( ) 

e j  z1
e j  p1

e j  z1
 j
e  p1


5. Phổ tần số (tt)

X ( ) 

e j  z1
e j  p1

|z-p1|
ejω
|z-z1|
p1

|X(ω)|

pole

z1
ω1

zero
φ1 1

0

0



Nhận xét: Khi ejw  z1: |X(w)| giảm.
Khi ejw  p1: |X(w)| tăng.

φ1

ω1

ω