Bài giảng xử lý số tín hiệu chương 6 các hàm truyền

Xử lý số tín hiệu
Chương 6:
Các hàm truyền

1


1. Các dạng mô tả tương đương của bộ lọc
số
Xử lý khối

Các PP thiết
kế bộ lọc

2

Các tiêu
chuẩn
thiết kế

Xử lý mẫu


1. Các dạng mô tả tương đương của bộ lọc
số (tt)
Ví dụ: Xét một bộ lọc nhân quả có hàm truyền
1  2.5 z 1
H ( z) 
1  0.5 z 1

Từ hàm truyền này hãy dẫn ra

a.Đáp ứng xung h(n)
b.Đáp ứng tần số H(ω)
c.Phương trình vi phân I/O
d.Phương trình tích chập
e.Sơ đồ cực/zero và đáp ứng biên độ | H(ω) |
f.Lưu đồ giải thuật
3


1. Các dạng mô tả tương đương của bộ lọc
số (tt)
Giải:
a.Đáp ứng xung h(n)

h(n) được tính từ biến đổi Z ngược:
Do bộ lọc là nhân quả nên ROC: |z|>0.5
H ( z )  5 

6
1  0.5 z 1

Suy ra: h(n)=-5δ(n)+6(0.5)nu(n)
b.Đáp ứng tần số H(ω)
H ( )  H ( z ) z e j
4

1  2.5e  j

1  0.5e  j

1. Các dạng mô tả tương đương của bộ lọc
số (tt)
c.

Phương trình vi phân I/O:
Y ( z)
1  2.5 z 1
 H ( z) 
X ( z)
1  0.5 z 1
 (1  0.5 z 1 )Y ( z )  (1  2.5 z 1 ) X ( z )
 y (n)  0.5 y (n  1)  x(n)  2.5 x(n  1)
 y (n)  x(n)  2.5 x(n  1)  0.5 y (n  1)

d.

Phương trình tích chập:
y (n)   h(n) x(n  m)
 x(n)  6  0.5 x(n  1)  6  0.52 x(n  2)  ...

5


1. Các dạng mô tả tương đương của bộ lọc
số (tt)
Sơ đồ cực/zero và đáp ứng biên độ |H(ω)|
H(z) có 1 cực tại p=0.5 và 1 zero tại z=-2.5
Đáp ứng biên độ:
e.

| H ( ) |

1  2.52  5 cos 
1  0.52  cos 

Tổng quát:
N()  1  a.e -jω
| N() | 1  a 2  2a cos 
6


1. Các dạng mô tả tương đương của bộ lọc
số (tt)
f.

Lưu đồ giải thuật:



Dạng trực tiếp:

Từ phương trình vi phân I/O ta vẽ được lưu đồ giải
thuật theo dạng trực tiếp:
y(n)  x(n)  2.5x(n 1)  0.5 y(n  1)

Giải thuật xử lý mẫu:
w0 (n)  x(n)
v0 (n)  w0 (n)  2.5w1 (n)  0.5v1 (n)
y (n)  v0 (n)

w1 (n  1)  w0 (n)
7

v1 (n  1)  v0 (n)


1. Các dạng mô tả tương đương của bộ lọc
số (tt)


Dạng chính tắc:

Giải thuật xử lý mẫu:
w0 (n)  x(n)  0.5w1 (n)
y (n)  w0 (n)  2.5w1 (n)
w1 (n  1)  w0 (n)
8


1. Các dạng mô tả tương đương của bộ lọc
số (tt)
 Tổng quát:
b0  b1 z 1  b2 z 2
H ( z) 
1  a1 z 1  a2 z 2

Dạng trực tiếp:

Dạng chính tắc:
x(n)

b0
+

z-1
-a1

b1
z-1

-a2
9

b2

+

y(n)


1. Các dạng mô tả tương đương của bộ lọc
số (tt)


Dạng Cascade: hàm truyền được biến đổi thành tích
các thành phần bậc 2:
1
1
1
(

1

f
z
)
(
1

g
z
)(
1

g
z
)
 k 
k
k
*

H ( z)  A

k

1
1
1
(
1


c
z
)
(
1

d
z
)(
1

d
z
)
 k  k
k
*

k

10

k

k


1. Các dạng mô tả tương đương của bộ lọc
số (tt)



Dạng Parallel: hàm truyền được biến đổi thành tổng
các thành phần bậc 2:

H ( z )   Ck z
k

k

Ak

1
k 1  ck z

Bk (1  ek z 1 )

* 1
1
(
1

d
z
)(
1

d
k
k

k z )

11


2. Đáp ứng biên độ, đáp ứng pha
 Đáp ứng trạng thái ổn định

 Tín hiệu vào: sine phức, tần số ω0, dài vô hạn
 Ngõ ra có thể xác định bằng 2 cách:
 Chập trong miền thời gian

x(n)  e j0n



y(n)   h(m) x(n  m)  H (0 )e j0n


 Phương pháp miền tần số
 Phổ tín hiệu vào: X() = 2( - 0) + (các phiên bản)
 Phổ tín hiệu ra: Y() = H()X() = 2H(0)( - 0)

 DTFT ngược:
1

y ( n) 

2

j 0 n
jn
Y
(

)
e
d


H
(

)
e
0




 Tổng quát: H() là số phức H 0   H 0  e j arg H 0 

e
12

j0 n

j n  j arg H  



 H 0 e
H

0

0

12


2. Đáp ứng biên độ, đáp ứng pha
 Tín hiệu vào gồm 2 tín hiệu sine tần số 1 và 2 kết

hợp tuyến tính & bộ lọc tuyến tính:

A1e

j1n

 A2e

j2 n

 A1 H 1  e
H

j (1n  arg H (1 ))

 A2 H 2  e

j (2 n  arg H (2 ))

 Với tín hiệu vào tổng quát: phân tích Fourier thành

các thành phần sine rồi tính ngõ ra.

13
13


2. Đáp ứng biên độ, đáp ứng pha
 Xét hệ thống:

 Ngõ ra: Y ( )  H ( ) X ( )
 Y(ω) có biên độ:

| Y () || H () || X () |

 Y(ω) có pha: Y ( )  H ( )  X ( )
 |H(ω)| được gọi là đáp ứng biên độ của bộ lọc.
 H ( ) được gọi là đáp ứng pha của bộ lọc (

 Độ trễ pha:

d ( )  

H ( )

 Độ trễ nhóm: d g ( )  

14



dH ( )
d

 H ()   )


2. Đáp ứng biên độ, đáp ứng pha (tt)
 Ảnh hưởng của đáp ứng biên độ và đáp ứng pha lên

tín hiệu ngõ ra:
j1n
 e j2n
 Xét tín hiệu vào có dạng: x(n)  e

j n jH (1 )
 | H (2 ) | e j2n e jH (2 )
 Tín hiệu ra: y (n) | H (1 ) | e 1 e

| H (1 ) | e j1 ( nd (1 ))  | H (2 ) | e j2 ( nd (2 ))
 Ảnh hưởng của đáp ứng biên độ:



H(ω)

15

Chọn lọc tần số


2. Đáp ứng biên độ, đáp ứng pha (tt)
 Ảnh hưởng của đáp ứng pha: Biến dạng tín hiệu
 Giả sử |H(ω1)| = |H(ω2)| =1

y(n)  e j1 ( nd (1 ))  e j2 ( nd (2 ))
 Nếu độ trễ pha d(ω) thay đổi theo ω: các thành phần

tần số khác nhau sẽ bị trễ một lượng khác nhau.
x 1(n)

y 1(n)

1

1

0

0

-1

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

-1

100

0

10

20

30

40

x 2(n)
1

1

0

0

-1

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

H(ω)

-1

0

10

20

30

2

2

0

0

-2

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

60

40

50

60

70

80

90

100

70

80

90

100

y(n)=y 1(n)+y 2(n)

x(n)=x 1(n)+x 2(n)

16

50
y 2(n)

70

80

90

100

-2

0

10

20

30

40

50

60


2. Đáp ứng biên độ, đáp ứng pha (tt)
 Để các thành phần tần số khác nhau sau khi qua bộ

lọc bị trễ pha bằng nhau:
d g ( )  

dH ( )
 D  const
d

H ()  D (hệ thống có pha tuyến tính).
 Trong ví dụ trên, giả sử hệ thống có pha tuyến tính
thì: y(n)  e j ( n D)  e j ( n D)
 Lúc đó:

1

17

2


3. Đáp ứng hình sine (tt)
 Đáp ứng quá độ: Tín hiệu vào: sine, bắt đầu tại t=0

x ( n)  e

j0 n

u ( n) 
 X z  
Z

1
1  e j0 z 1

với ROC: z  e j0  1
 Giả sử bộ lọc có hàm truyền H(z):

H z  

N z 
1  p2 z 1 ... 1  pM z 1

1  p z 

1

1





 Ngõ ra: Y(z) = H(z).X(z)

Y z  
18

1  e

j0

z 1

N z 
1  p1 z 1 1  p2 z 1 ... 1  pM z 1









18


3. Đáp ứng hình sine (tt)
 Giả sử bậc của N(z) nhỏ hơn M+1, khai triển phân

số từng phần:
H 0 

B1
BM
Y z  


j0 1
1
1  p1 z
1  pM z 1 với ROC: |z|>1
1 e z
 Biến đổi ngược:

y(n)  H 0 e

j0 n

 B1 p1n   BM pMn , n  0

Giả sử bộ lọc ổn định: pi  1 , i  1, M

pin n

 0 , i  1, M

y(n)  H 0 e
n 

19

j0 n

19


3. Đáp ứng hình sine (tt)
 Nếu x(n)=ejωn, -∞ Tuy nhiên, nếu x(n)=ejωn u(n) thì

 n
 jk  jn
y ( n )   h ( k )e
   h( k )e
e
k 0
 k 0

 
 
 jk  jn
 jk  jn
   h ( k )e
e    h ( k ) e

e
 k 0

 k  n 1

n

j ( n  k )

 
 jk  jn
y (n)  H ( )e    h(k )e
e

  k n 1
y ss ( n )

jn

yt ( n )
n
 0 ,
 Để bộ lọc ổn định thì yt (n) 

với điều kiện ổn định:
20



 | h( k ) |  

k 0


3. Đáp ứng hình sine (tt)
 Bộ lọc ổn định nghiêm ngặt, các hệ số p n
i


n
 0

 Cực có biên độ lớn nhất pI thì hệ số tương ứng sẽ

tiến về 0 chậm nhất.
 Ký hiệu:   max pi .
i
 Hằng số thời gian hiệu quả neff là thời gian tại đó



neff



 với  là mức độ nhỏ mong muốn, ví dụ 1%

neff
21

1

ln  
ln 




ln 
1
ln  


21


3. Đáp ứng hình sine (tt)
 Đáp ứng unit step: tín hiệu vào x(n)=u(n)
 Trường hợp đặc biệt của

e

j0 n

u(n) với 0 = 0 (z = 1)

y(n)  H 0  B1 p1n  B2 p2n  ...  BM pMn , n  0

yn n
 H 0

 H(0) coi như đáp ứng DC của bộ lọc.

 Độ lợi DC:


H 0  H z  z 1   h(n)
n 0

22

22


3. Đáp ứng hình sine (tt)
 Đáp ứng unit step thay đổi:
 Tín hiệu vào x(n) = (-1)nu(n)
 Trường hợp đặc biệt của

e

j0 n

u(n) với 0 =  (z =-1)

y(n)  H  e jn  B1 p1n  B2 p2n  ...  BM pMn , n  0

yn n
 H   1

n

 Độ lợi AC:



H    H z  z 1   (1) n h(n)
n 0

23

23


3. Đáp ứng hình sine (tt)
 Bộ lọc ổn định dự trữ (marginally stable): có cực

nằm trên vòng tròn đơn vị.


j1
p

e
Xét bộ lọc H(z) có cực trên vòng tròn đơn vị 1
 j
*
 Bộ lọc sẽ có cực liên hợp: p1  e 1

 Và các cực khác nằm trong vòng tròn đơn vị

 Đáp ứng quá độ

y(n)  H 0 e j0n  B1e j1n  B1*e j1n  B2 p2n  ...

y(n) 
 H 0 e
n

24

j0 n

 B1e

j1n

*  j1n
1

B e

24


3. Đáp ứng hình sine (tt)
 Nếu

0  1 thì tạo ra cộng hưởng và ngõ ra

không ổn định.
j
j
 Ví dụ: 0  1  e 1  e 0  p1
Y ( z) 

N ( z)
(1  p1 z 1 ) 2 (1  p2 z 1 )...(1  pM z 1 )

B1
B1'
B2



 ...
1
1 2
1
1  p1 z
(1  p1 z ) 1  p2 z
 Biết:

1
Z 1
n


(
n

1
)
a
u ( n)

1 2
(1  az )

 y(n)  B1e j1n  B1' (n  1)e j1n  B2 p2n  ...
25

25