Bài giảng xử lý số tín hiệu chương 3 các hệ thống thời gian rời rạc

1-Oct-12

XỬ LÝ SỐ TÍN HIỆU
1

Chương 3:
Các hệ thống thời gian rời rạc


HỆ THỐNG RỜI RẠC THỜI GIAN
1-Oct-12



Hệ thống tuyến tính bất biến với thời gian LTI (Linear
Time Invariant System) được phân loại tuỳ thuộc vào
đáp ứng xung:
FIR (Finite Impulse Response): đáp ứng xung hữu hạn
 IIR (Infinite Impluse Response): đáp ứng xung vô hạn




Bộ lọc số FIR: xử lý mẫu/khối tuỳ thuộc ứng dụng và
phần cứng.

IIR
h(n)

FIR
h(n)

0 1 2 3 ... M

n

Đáp ứng xung h(n) hữu hạn

0 1 2 3 ...

n

Đáp ứng xung h(n) vô hạn

2


1. QUY TẮC VÀO/RA (I/O RULES)




1-Oct-12



Ký hiệu: x(nT)≡x(n)≡xn
Quy ước: n=0: hiện tại.
n<0: quá khứ.
n>0: tương lai.
Hệ thống thời gian rời rạc: biến đổi chuỗi tín hiệu rời rạc
đầu vào x(n) thành một chuỗi các mẫu đầu ra theo một quy

tắc định sẵn gọi là quy tắc vào/ra.
x(n)

y(n)
h(n)
H
{x0 , x1 , x2 ,...} 
{ y0 , y1 , y2 ,...}



hay y (n)  T {x(n)}
Quy tắc vào/ra: chỉ ra cách tính toán chuỗi ra y(n) từ chuỗi
vào x(n).

3


1. QUY TẮC VÀO/RA (I/O RULES) (TT)
1-Oct-12



Phân loại quy tắc vào/ra:


Phương pháp xử lý mẫu: mỗi mẫu đầu vào được xử lý một
cách tuần tự. Mỗi mẫu đầu vào sẽ cho một mẫu ngõ ra →
phương pháp xử lý tức thời, thích hợp cho ứng dụng thời
gian thực.

H
H

x0  y0 , x1  y1 ,...



Phương pháp xử lý khối: chuỗi vào được chia làm nhiều
khối, các mẫu trong 1 khối được xử lý cùng lúc để tạo ra
một khối ngõ ra tương ứng. Phương pháp này thích hợp
trong các hệ thống biến đổi tốc độ cao.

 x0 
 y0 
  y
H
x     
 
 xL 
 y L 

4


1. QUY TẮC VÀO/RA (I/O RULES) (TT)
1-Oct-12



VD: y(n)=2x(n)

x0 , x1 , x2 ,... 2 x0 , 2 x1 , 2 x2 ,...
H



VD: y(n)=2x(n)+3x(n-1)+4x(n-2)

 y0   2
  
 y1   3
 y2   4
y 
 y3   0
 y  0
 4 
 y5   0

0 0 0
2 0 0   x0 
 
3 2 0   x1 

4 3 2   x2 
 

0 4 3  x3 

0 0 4

• Đây là trung bình cộng có
trọng số của liên tiếp các
mẫu đầu vào.
• Khối ngõ ra nhiều hơn 2
phần tử vì bộ lọc nhớ 2
phần tử.
• Hai phần tử ra cuối cùng là
quá độ tắt khi ngõ vào đã
hết.

5


1. QUY TẮC VÀO/RA (I/O RULES) (TT)
1-Oct-12

VD: y(n)=2x(n)+3x(n-1)+4x(n-2) được xử lý tương
đương mẫu theo mẫu như sau:
y(n)=2x(n)+3w1(n)+4w2(n)
w2(n+1)=w1(n)
w1(n+1)=x(n)
w1(n), w2(n) là các trạng thái trong của hệ thống. Thứ tự
cập nhật trạng thái của w1, w2 rất quan trọng

6


1. QUY TẮC VÀO/RA (I/O RULES) (TT)
1-Oct-12

VD: y(n)=0.5y(n-1)+2x(n)+3x(n-1)
 Ngõ ra được tính lại theo 1 hằng số của
phương trình vi sai. Tại mỗi thời điểm n hệ
thống phải nhớ các giá trị ngõ ra, ngõ vào
trước đó (n-1)
 Hệ thống trên được xử lý tương đương mẫu
theo mẫu như sau:
y(n)=0.5w1(n)+2x(n)+ 3v1(n)
 w1(n+1)=y(n)
 v1(n+1)=x(n)


7


2. TÍNH CHẤT CỦA HỆ THỐNG THỜI GIAN
RỜI RẠC
Không nhớ (memoryless): ngõ ra y(n) chỉ phụ
thuộc ngõ vào x(n) ở cùng một giá trị của n.
Ví dụ:

y(n)=x2(n)

Bộ trung bình: y (n) 
2.

1-Oct-12

1.

: Không nhớ.

1
M
x(n  k ) : Có nhớ.

k 0
M 1

Tuyến tính (linear):
Nếu

H
x1 (n) 
y1 (n)

H
x2 (n) 
y 2 ( n)
Hệ thống gọi là tuyến tính khi và chỉ khi
H
a1 x1 (n)  a2 x2 (n) 
a1 y1 (n)  a2 y2 (n)

8


2. TÍNH CHẤT CỦA HỆ THỐNG THỜI GIAN RỜI
RẠC (TT)
1-Oct-12

Sơ đồ kiểm tra tính tuyến tính:

Hệ thống tuyến tính khi: y(n) = a1y1(n) + a2y2(n)
VD: Kiểm tra tính tuyến tính của
y(n)=3x(n)
 y(n)=3x(n)+4


9


2. TÍNH CHẤT CỦA HỆ THỐNG THỜI GIAN RỜI
RẠC (TT)
Bất biến theo thời gian (time-invariant): có đáp ứng
không đổi theo thời gian.

1-Oct-12

3.

Hệ thống bất biến theo thời gian nếu y(n  D)  yD (n)
VD: Xét tính bất biến của các hệ thống sau:



y(n)=3x(n)+4
y(n)=2x(2n)

10

2. TÍNH CHẤT CỦA HỆ THỐNG THỜI GIAN RỜI
RẠC (TT)
Tính nhân quả (Causality): một hệ thống là nhân
quả nếu như cho một giá trị bất kỳ của n0, giá trị ngõ
ra ở n=n0 chỉ phụ thuộc vào giá trị ngõ vào ở n≤n0.

1-Oct-12

4.

VD: y(n)=x(n+1)+x(n) : Không nhân quả
y(n)=x(n)+x(n-1) : Nhân quả

11


2. TÍNH CHẤT CỦA HỆ THỐNG THỜI GIAN RỜI
RẠC (TT)
Tính ổn định: hệ thống là ổn định nếu ngõ vào hữu
hạn cho ra ngõ ra hữu hạn.

1-Oct-12

5.

| x(n) | A   | y(n) | B  
VD: Xét tính ổn định của:
: hệ thống ổn định.

y(n)=e-x(n)
: hệ thống không ổn định.
y(n)=tan(x(n)-1)

12


3. HỆ THỐNG TUYẾN TÍNH VÀ BẤT BIẾN.
ĐÁP ỨNG XUNG
Biểu diễn tín hiệu rời rạc:


Hàm xung đơn vị (hàm xung dirac):
1 n  0
 ( n)  
0 n  0



Một tín hiệu rời rạc bất kỳ có thể được biểu diễn bằng
chồng chập của các bản sao xung dirac được làm trễ:

1-Oct-12



x(n)  k  x(k ) (n  k )




VD: tín hiệu x(n) như hình có thể được biểu diễn bằng:

x(n)  x(3) (n  3)  x(0) (n)
 x(1) (n  1)  x(5) (n  5)

13


3. HỆ THỐNG TUYẾN TÍNH VÀ BẤT BIẾN.
ĐÁP ỨNG XUNG (TT)
Như vậy y(n) có thể được biểu diễn:





y(n)  T {x(n)}  T k  x(k ) (n  k )
 Nếu hệ thống là tuyến tính:

y(n)  k  x(k )T  (n  k )
 Nếu hệ thống là bất biến:


1-Oct-12



T  (n)  h(n)  T  (n  k )  h(n  k )
 Do đó, ta có thể viết lại y(n) như sau:

y(n)  k  x(k )T  (n  k )  k  x(k )h(n  k )




 (làn)đáp
 ứng xung của hệ thống.
h(n)  Tgọi
14


3. HỆ THỐNG TUYẾN TÍNH VÀ BẤT BIẾN.
ĐÁP ỨNG XUNG (TT)
Nhắc lại: nếu hệ thống là LTI thì

1-Oct-12



y(n)  k  x(k )h(n  k )




Nhận xét:


y(n) chính là tích chập của x(n) và h(n):

y(n)  x(n) * h(n)

Ta có thể hoàn toàn xác định được ngõ ra của một hệ
thống tuyến tính bất biến nếu biết h(n) cho x(n) bất kỳ
 hệ thống tuyến tính bất biến có thể được xác định hoàn
toàn bởi đáp ứng xung h(n) của hệ thống.


15


3. HỆ THỐNG TUYẾN TÍNH VÀ BẤT BIẾN.
ĐÁP ỨNG XUNG (TT)
1-Oct-12



Tính chất:


Tính giao hoán:

y (n)  k  x(k )h(n  k )  l  x(n  l )h(l )




 x(n)  h(n)  h(n) * x(n)


Tính phân phối:
x(n) * h1 (n)  h2 (n)  x(n) * h1 (n)  x(n) * h2 (n)

16


3. HỆ THỐNG TUYẾN TÍNH VÀ BẤT BIẾN.
ĐÁP ỨNG XUNG (TT)
Tính kết hợp:
y(n)  x(n) * h1 (n)* h2 (n)  x(n) * h2 (n)* h1 (n)

1-Oct-12



 x(n) * h1 (n) * h2 (n)

17


3. HỆ THỐNG TUYẾN TÍNH VÀ BẤT BIẾN.
ĐÁP ỨNG XUNG (TT)
Cách tính tích chập từ đáp ứng xung và tín hiệu đầu
vào:

1-Oct-12



Ví dụ: tìm ngõ ra cho hệ thống có đáp ứng xung

1 0  n  N  1
h( n)  u ( n)  u ( n  N )  
n khác
0
n

a
Với tín hiệu đầu vào có dạng: x(n)  a nu (n)  
0

n0
n0

y(n)  x(n) * h(n)  k  x(k )h(n  k )


18


3. HỆ THỐNG TUYẾN TÍNH VÀ BẤT BIẾN.
ĐÁP ỨNG XUNG (TT)
Tìm h(n-k) từ h(k):

1-Oct-12



flip
by n samples

h(k ) 
h(k ) delay


 h(n  k )

19


3. HỆ THỐNG TUYẾN TÍNH VÀ BẤT BIẾN.
ĐÁP ỨNG XUNG (TT)
Ngõ ra:
y(n)=0

n<0:
 0≤n≤N-1


n 1
1

a
y (n)  k 0 a k 
1 a
 n>N-1
a n  N 1  a n1
n
k
y (n)  k n  N 1 a 
1 a



0
n0
 1  a n 1
 Do đó:
y ( n)  
0  n  N 1
1 a

N
1

a
a n  N 1
n  N 1

1 a

1-Oct-12



n

20


3. HỆ THỐNG TUYẾN TÍNH VÀ BẤT BIẾN.
ĐÁP ỨNG XUNG (TT)

Xác định tính nhân quả và ổn định của hệ thống LTI từ
đáp ứng xung:


1-Oct-12



Tính nhân quả: hệ thống LTI nhân quả khi mẫu ngõ ra
không phụ thuộc ngõ vào tương lai:

h(n)  0, n  0
Tín hiệu nhân quả: chỉ tồn tại khi n≥0, triệt tiêu khi n≤-1.
 Tín hiệu không nhân quả: chỉ tồn tại khi n≤-1, triệt tiêu khi n≥0.
 Tín hiệu trung gian: tồn tại trong cả 2 miền thời gian trên.




Tính ổn định: hệ thống LTI ổn định khi:




k  

| h(n) | 
21

3. HỆ THỐNG TUYẾN TÍNH VÀ BẤT BIẾN.
ĐÁP ỨNG XUNG (TT)
Ví dụ: Xét bộ lọc làm trơn 5-tap, hệ số lọc h(n)=1/5
trong -2≤n ≤ 2

1-Oct-12



2

1 2
y( n)   h( m)x( n  m)   x( n  m)
5 m2
m 2
1
y( n)  [ x( n  2)  x( n  1)  x( n)  x( n  1)  x( n  2)]
5


Bộ lọc có phần không nhân quả trong khoảng D=2, có
thể làm cho nó nhân quả bằng cách làm trễ 2 đơn vị:
1
y2 ( n)  y( n  2)  [ x( n)  x( n  1)  x( n  2)  x( n  3)  x( n  4)]
5
22


3. HỆ THỐNG TUYẾN TÍNH VÀ BẤT BIẾN.
ĐÁP ỨNG XUNG (TT)

1-Oct-12



Ví dụ: Xét bộ lọc không nhân quả hữu hạn -D≤n≤-1:

D

D h(n)

n

-D ... 0 1 2 3 ...

y( n) 



 h(m)x(n  m)

m  D

Không nhân quả hữu hạn

hD(n)=h(n-D)

-D ... 0 1 2 3 ...

n



yD ( n)   hD ( m)x( n  m)
m 0

Nhân quả hữu hạn

yD ( n )  y ( n  D )

23


4. BỘ LỌC FIR VÀ IIR
Các hệ thống tuyến tính và bất biến có thể phân làm 2
loại tuỳ theo đáp ứng xung của nó:


1-Oct-12



Bộ lọc FIR: có đáp ứng xung h(n) của hệ thống có giá trị
trên một khoảng thời gian hữu hạn và bằng 0 ở các giá trị

khác.
 VD: bộ lọc FIR nhân quả có đáp ứng xung
h={h0,h1,…,hM,0,0,…}, M: bậc của bộ lọc.
Chiều dài đáp ứng xung: Lh=M+1
Ngõ ra được xác định bởi phương trình tích chập (phương
trình I/O):

y(n)  k  x(k )h(n  k ) h0 x(n)  h1 x(n  1)  ...  hM x(n  M )


M

y( n)   h( m)x( n  m)
m0

24


4. BỘ LỌC FIR VÀ IIR (TT)
h  [h0 , h1 , h2 , h3 ]

1-Oct-12

Ví dụ: Bộ lọc FIR bậc ba đặc trưng bởi 4 trọng số:

y(n)  h(0) x( n)  h(1) x( n  1)  h( 2) x( n  2)  h(3) x( n  3)

Xét bộ lọc FIR sau:
y(n)  2 x(n)  3x(n  1)  5x(n  2)  2 x(n  3)
Đáp ứng xung h(n) của bộ lọc trên là:
h=[h0,h1,h2,h3]=[2,3,5,2]
25