Bài giảng xử lý số tín hiệu chương 7 thiết kế bộ lọc số

Xử lý số tín hiệu
Chương 7:
Thiết kế bộ lọc số


1. Các bước thực hiện bộ lọc số.
 Bộ lọc: hệ thống thực hiện hiệu chỉnh tín hiệu ở một

số thành phần tần số nào đó.
 Bộ lọc chọn lọc tần số: cho qua một số thành phần
tần số của tín hiệu và loại bỏ tất cả các thành phần
còn lại.
 3 bước thiết kế bộ lọc số:
Yêu cầu của bộ lọc

Phụ thuộc vào ứng dụng

Thiết kế bộ lọc

Thực hiện trên phần cứng

Phụ thuộc vào phần cứng


1. Các bước thực hiện bộ lọc số (tt)
Mục đích của thiết kế bộ lọc số: Xác định hàm truyền H(z)
 Đối với bộ lọc IIR:
bz

H ( z) 
1  a z

M1

i

i 0 i
M2
i 1

i

i

→Xác định các vector tham số tử số b=[b0,b1,…,bM1]
và mẫu số a=[1,a1,…,aM2]
 Đối với bộ lọc FIR:
H ( z )  i 10 bi z i
M

→ Xác định vector b=[b0,b1,…,bM1], đây cũng chính là
đáp ứng xung của bộ lọc


2. Các yêu cầu của bộ lọc.


2. Các yêu cầu của bộ lọc.
ωp: Cạnh dải thông.
ω s: Cạnh dải chắn.
δp1, δp2: độ gợn dải thông.
δs: độ gợn (suy hao) dải chắn.

3. Thiết kế bộ lọc FIR dùng phương
pháp cửa sổ.



Thiết kế bộ lọc FIR dùng phương pháp cửa sổ dựa
trên nguyên tắc xấp xỉ đáp ứng xung của bộ lọc
mong muốn.
Giả sử ta có bộ lọc có đáp ứng tần số mong muốn:



Đáp ứng xung mong muốn:





H d ( )  n hd (n)e  jn


1
hd (n) 
2







H d ( )e jn d

VD: tìm đáp ứng xung của bộ lọc thông thấp lý
tưởng:
H ( )  1,   c


3. Thiết kế bộ lọc FIR dùng phương
pháp cửa sổ. (tt)
Đáp ứng xung của một số bộ lọc thông dụng:
 Thông thấp: hd (n)  sin(c n)
n



Thông cao:



Thông dải:



Chắn dải:

sin(c n)
hd (n)   (n) 
n

sin(b n)  sin(a n)
hd (n) 
n
sin(b n)  sin(a n)
hd (n)   (n) 
n

Nhận xét:
Các bộ lọc lý tưởng có đáp ứng tần số thay đổi đột
ngột giữa dải thông và dải chắn → đáp ứng xung
dài vô hạn và không nhân quả.


3. Thiết kế bộ lọc FIR dùng phương
pháp cửa sổ. (tt)




Để xấp xỉ đáp ứng xung của các bộ lọc lý tưởng
này, cách đơn giản nhất là xén bớt từ đáp ứng
xung lý tưởng này.
Giả sử cần thiết kế bộ lọc bậc M(M chẵn), đáp ứng
xung của hệ thống xấp xỉ:
h(n)  hd (n),




M

M
- n
2
2

Hay ta có thể viết cách khác:
Với

h(n)  hd (n)w(n)

M
M

1 
n
w(n)  
2
2

n khác
0


3. Thiết kế bộ lọc FIR dùng phương
pháp cửa sổ. (tt)


Do h(n) sau khi nhân với hàm cửa sổ là không
nhân quả, ta cần làm trễ đi M/2 mẫu để có đáp
ứng xung nhân quả.

h(n-M/2)=hd(n-M/2)w(n-M/2)


3. Thiết kế bộ lọc FIR dùng phương
pháp cửa sổ. (tt)
VD: Dùng phương pháp cửa số chữ nhật xác định đáp
ứng xung nhân quả của bộ lọc thông thấp FIR bậc
10 có tần số cắt là ωc=/4
Giải:
sin(c n)
h ( n) 
, 5  n  5
n


2
2 1
2 1 2 1
2
2
h(n)  
,0,
,
,
, ,
,
,
,0,

6 2 2 4 2 2 6

10 
 10

Đáp ứng xung nhân quả:

2
2 1
2 1 2 1
2
2
h(n  5)  
,0,
,
,
, ,
,
,
,0,

10

6

2

2

4
2


2

6

10





3. Thiết kế bộ lọc FIR dùng phương
pháp cửa sổ. (tt)
Tìm lại đáp ứng tần số từ đáp ứng xung này:
H ( )  e

 j 5



5
n  5

h( n)e

 jn

e

 j 5

 2
2
1
1
cos(5 ) 
cos(3 )  cos( )  

3

4
 5
 2
2
1
1
H ( )  
cos(5 ) 
cos(3 )  cos( )  
3

4
 5

1

|H()|

0.8

H ( )  5 :pha tuyến tính.

Nhận xét:
_ Bộ lọc kết quả có độ dốc giữa dải thông và
dải chắn lài.
_ Đáp ứng biên độ của bộ lọc kết quả có
những gợn trong cả dải thông và dải chắn.

0.6

0.4

0.2

0

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

/

0.6

0.7

0.8

0.9

1


3. Thiết kế bộ lọc FIR dùng phương
pháp cửa sổ. (tt)


Hiện tượng Gibbs
1
H ( ) 
2



H


d

( )W (   )d

W ( )  n M / 2 e  jn 
M /2

sin ( M  1) / 2
sin( / 2)


3. Thiết kế bộ lọc FIR dùng phương
pháp cửa sổ. (tt)


Thay đổi chiều dài cửa sổ:
 Tăng chiều dài cửa sổ: độ rộng búp chính của hàm cửa sổ



giảm → khoảng chuyển tiếp nhỏ. Tuy nhiên, tần số các
gợn biên tăng lên.
Giảm chiều dài cửa sổ: khoảng chuyển tiếp lớn.


3. Thiết kế bộ lọc FIR dùng phương
pháp cửa sổ. (tt)




Để giảm bớt hiện tượng Gibbs cần thay đổi hình
dạng cửa sổ: tránh thay đổi đột ngột tại cạnh hàm
cửa sổ.
Cửa sổ Bartlett (cửa sổ tam giác)
 2n / M

w(n)  
2  2n / M





0 n M /2
, M even
M /2 n M

Cửa sổ Hann: w(n)  0.5  0.5 cos(2n / M ), 0  n  M
Cửa sổ Hamming: w(n)  0.54  0.46 cos(2n / M ), 0  n  M
Cửa sổ Blackman:

w(n)  0.42  0.5 cos(2n / M )  0.08 cos(4n / M ), 0  n  M


3. Thiết kế bộ lọc FIR dùng phương
pháp cửa sổ. (tt)


3. Thiết kế bộ lọc FIR dùng phương
pháp cửa sổ. (tt)
Ví dụ: Bộ lọc thông thấp dùng cửa sổ chữ nhật và cửa
sổ Hamming với cùng chiều dài N=81.


3. Thiết kế bộ lọc FIR dùng phương
pháp cửa sổ. (tt)

Thiết kế bộ lọc FIR bằng cửa sổ Kaiser:



Với




2

nM /2 

I 0  1  
 

 M / 2  
w(n) 
, 0nM
I 0 ( )

𝛼: hệ số hình dạng.
I0(x): hàm Bessel sửa đổi loại 1 bậc 0.

Cửa sổ Bessel có 2 tham số giúp bù trừ độ rộng
búp chính (độ rộng khoảng chuyển tiếp) và độ cao
búp chính (tăng/giảm hiện tượng Gibbs) qua hệ
số hình dạng và chiều dài bộ lọc ->linh động hơn
khi thiết kế.

4. Thiết kế bộ lọc IIR từ các bộ lọc thời
gian liên tục
Đối với bộ lọc IIR thì các phương pháp thiết kế
thường bắt đầu bằng thiết kế bộ lọc tương tự, sau
đó dùng các phép biến đổi để chuyển thành bộ lọc
số.







Các phương pháp thiết kế bộ lọc IIR tương tự đã rất
phát triển.
Các bộ lọc tương tự thường được xác định bằng các
công thức cụ thể -> đơn giản hoá việc thiết kế.
Các phương pháp xấp xỉ toán học khi áp dụng cho
bộ lọc số IIR thường rất phức tạp.


4. Thiết kế bộ lọc IIR từ các bộ lọc thời
gian liên tục (tt)



Biến đổi bộ lọc tương tự thành bộ lọc số:
H(s) → H(z)
Các yêu cầu của phép biến đổi:

Miền s
Miền z

s    j

    
 0

Trục tần số
Tính ổn định

z  re j
    
r 1


4. Thiết kế bộ lọc IIR từ các bộ lọc thời
gian liên tục (tt)


Phép biến đổi song tuyến tính:
1  z 1
s
1  z 1



Kiểm tra các yêu cầu của phép biến đổi:

1  s 1    j


1  s 1    j
 e j cho s  j :
 Chứng minh j 
1  j
z
| z | 1 : z  e j
1  j
1  e  j
 
Mối liên hệ giữa Ω và ω: s  j 

j
tan
 
1  e  j
2
z

Như vậy:   tan   hay   2 arctan
2


4. Thiết kế bộ lọc IIR từ các bộ lọc thời
gian liên tục (tt)


Chứng minh   0 
 r  1
z

1  s 1    j

1  s 1    j

Dễ thấy:
Nếu σ<0: tử số nhỏ hơn mẫu số →|z|<1
Nếu σ>0: tử số lớn hơn mẫu số →|z|>1


4. Thiết kế bộ lọc IIR từ các bộ lọc thời
gian liên tục (tt)
Ví dụ: Cho các tiêu chuẩn thiết kế của một bộ lọc số
như sau:
0.89125  H ( )  1, 0    0.2

H ( )  0.17783, 0.3    

a) Thiết kế bộ lọc tương tự Butterworth thoả các

điều kiện trên biết:
H ( ) 
2

1


1  
 c 

2N

b) Sử dụng phép biến đổi song tuyến tính tìm hàm

truyền của bộ lọc IIR tương ứng.


4. Thiết kế bộ lọc IIR từ các bộ lọc thời
gian liên tục (tt)
Nhận xét:   tan  
2
ánh xạ trục tần số
vô hạn vào vòng
tròn đơn vị hữu hạn
dẫn đến các tần số
được ánh xạ không
tuyến tính -> không
áp dụng được cho
bộ lọc có đáp ứng
biên độ hay pha
tuyến tính.


4. Thiết kế bộ lọc IIR từ các bộ lọc thời
gian liên tục (tt)
Bộ lọc 1 cực:
b0  b1 z 1
H ( z) 
1  a1 z 1

Hàm truyền chuẩn hoá trong miền s:
H a ( s) 


s 

Yêu cầu: thiết kế bộ lọc thông thấp với đáp ứng tần số
tại ωc là Gc2


4. Thiết kế bộ lọc IIR từ các bộ lọc thời
gian liên tục (tt)
Ta có:



2
H a () 
 H a ()  2
j  
  2
Tại c  tan(c / 2) : 2
Gc

2
2
H a ( c )  2

G




c
c
2
2
c  
1  Gc
2

Nếu Gc2=1/2 thì 𝛼=Ωc
Suy ra hàm truyền trong miền z:
H ( z )  H a ( s) s 1 z 1 
1 z 1


s 

Với a  1   , b  
1 

1 

s

1 z 1
1 z 1

1  z 1
b

1  az 1