Tổng hợp bài tập toán hình học phổ thông phương pháp giảng dạy toán 2 (bản 2)

PHƯƠNG PHÁP TOÁN 2- BÀI TẬP SỐ 1
Danh sách thành viên nhóm
1.
2.
3.
4.
5.

Đỗ Thị Thu Hiền
Bùi Thị Yến Duyên
Trần Thị Ngọc Cẩm
Trịnh Thị Thu Trinh
Lê Thị Hiền Diệu

1311106
1311046
1311026
1311369
1311038

Bài tập
Câu 1: Xác định điểm M trong mỗi câu sau:
a)


Vậy M nằm ngoài đoạn AB và
b)
Gọi I là trung điểm AB, J là trung điểm CD


(I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD)


 M là trung điểm IJ

c)

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC

Gọi I là tâm tị cự của AD theo hệ thức :



TH - ĐHKHTN

Page 1


Khi đó


Vậy M nằm trên đường trung trực của GI.
d)
Gọi I là tâm tị cự của tam giác ABC theo hệ số



Khi đó:

Vậy M nằm trên đường tròn tâm I bán kính 2
Xác định điểm I:

Gọi H là trung điểm của AC




Câu 2:
TH - ĐHKHTN

Page 2


Cho Δ��� nội tiếp đường tròn tâm O. Gọi D là điểm đối xứng với B qua O và H là
trực tâm Δ���.
a) Chứng minh rằng
b) Gọi I là trung điểm của AH, M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng
Giải:

a) Chứng minh =
Ta có:
 AH // DC (1)

Ta có:

 AD // CH (2)

Từ (1), (2) suy ra tứ giác ADCH là hình bình hành
 = (đpcm)
b) Gọi I là trung điểm của AH, M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng
Ta có:

OB = OC = R (bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC)
 cân tai O

Mặt khác M là trung điểm của BC
Do đó OM vừa là trung tuyến vừa là đường cao của
Ta có:

TH - ĐHKHTN

Page 3


 OM // AH
 OM // AI (1)

 OM là đường trung bình của tam giác BCD
 OM = DC

Mặt khác ADCH là hình bình hành nên DC =AH
Do đó
 OM = DC = AH = AI
 OM = AI (2)

Từ (1), (2) suy ra AOMI là hình bình hành


(đpcm)

Câu 3: Cho hình thang ABCD, có CD=3AB, M, N trên AD và BC sao cho
.

a) Tìm sao cho .
b) Gọi P là giao điểm AC và MN, tìm sao cho .

Giải:

a) Tìm sao cho .

Ta có:
Suy ra
⇒
TH - ĐHKHTN

Page 4


Vậy k =
b) Gọi P là giao điểm AC và MN, tìm sao cho .

Ta có:
(định lý talet trong hình thang ABCD)
Suy ra
Mà P là giao điểm của MN và AC.
Nên
Áp dụng hệ quả định lý Talet trong tam giác ABC, có:
⇒
Vậy
Câu 4: Gọi O, G, H lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp, trọng tâm, trực tâm của
Δ���. Chứng minh rằng:
a)
b)

Giải

a) Chứng minh:

Gọi D là điểm đối xứng của A qua O và I là trung điểm của BC
Ta có:
TH - ĐHKHTN

Page 5


⇒

⇒

BH DC (1)

BD HC (2)

Từ (1) và (2) ta

có:

Tứ giác BDCH là hình bình hành, do đó I là trung điểm của HD.
Xét tam giác AHD, ta có:

⇒

OI là đường trung bình nên:

Ta có:
(G là trọng tâm )

Vậy
b) Chứng minh:

CHỨNG MINH ĐỀ SAI
Theo câu a), ta có BDCH là hình bình hành nên:
(1)
Mặt khác O là trung điểm của AD nên:
(2)
Từ (1) và (2), suy ra:

SỬA LẠI ĐỀ:
CM:
TH - ĐHKHTN

Page 6


Từ câu a), ta có:
+

Vậy
Câu 5: Cho Δ���, trên cạnh BC ta lấy các điểm ,đối xứng nhau qua trung điểm của
BC. Trên cạnh CA ta lấy các điểm ,đối xứng nhau qua trung điểm của CA. Trên cạnh
BA ta lấy các điểm ,đối xứng nhau qua trung điểm của BA. Chứng minh rằng trọng
tâm của ba tam giác thẳng hàng.
Giải

Gọi:
lần lượt là trong tâm của ba tam giác .
E, D và F lần lượt là trung điểm của ba cạnh AC, BC và AB.
Ta có:

+
( trong tâm của hai tam giác )
TH - ĐHKHTN

Page 7


⇔

(1)

Chứng minh tương tự trên ta có: (2)
Cộng (1) và (2) vế theo vế ta được:
3(+) = +

(E, D, F là trung điểm của ba cạnh AC, BC và AB)

⇔
⇔

3(+)
=

Vậy thẳng hàng và là trung điểm của
Câu 6: Cho hình bình hành ABCD. Kí hiệu lần lượt là các điểm thuộc cạnh AB, BC,

CD, DA sao cho. Chứng minh rằng giao điểm các đường chéo của tứ giác trùng với
giao điểm các đường chéo hình bình hành.

Giải
Gọi
Ta có:
TH - ĐHKHTN

Page 8


⇒

Do đó , thẳng hàng và O là trung điểm của (1)

⇒

, thẳng hàng và O là trung điểm của (2)
Từ (1) và (2) suy ra:
Tứ giác là hình bình hành

•

•

Vậy giao điểm hai đường chéo của hình bình hành trùng với giao điểm hai đường chéo hình
bình hành ABCD.
Câu 7: Cho Δ��� có , ,
a
b

c

Tính độ dài đường trung tuyến của kẻ từ đỉnh A.
Tính độ dài đường phân giác trong của kẻ từ đỉnh A.
Tính độ dài đường phân giác ngoài của kẻ từ đỉnh A.
Giải

TH - ĐHKHTN

Page 9


a) Gọi I là trung điểm của BC

Ta có:
⇔
⇒
⇒
b) Gọi AD là đường phân giác trong của tam giác ABC
Ta có:
⇔
⇔
⇔

⇔

⇔
c) Gọi AD’ là đường phân giác ngoài của tam giác ABC
Ta có:
⇔

⇔
⇔

⇔
⇔
⇒
Câu 8: Cho hình vuông ABCD cạnh a. N là trung điểm của AC, M trên cạnh CD sao
cho
4AM = AC.
a) Tính độ dài các cạnh và diện tích của ΔBMN theo a.
b) Gọi I là giao điểm của BN và AC. Tính CI theo a.
c) Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp ΔABC theo a.
TH - ĐHKHTN

Page 10


Lý luận bài toán
Theo đề bài điểm M nằm trên CD nên AM < AC (AC là cạnh huyền tam giác ADC)
Ta có AM > AD

(1)

Theo đề bài ta lại có 4AM = AC => AM=vì N là trung điểm AC cũng là giao điểm 2 đường
chéo của hình vuông nên AND vuông tại N => AN AD hay < AD) (2)
Từ (1) và (2) => mâu thuẫn
Ta sửa lại đề
Cho hình vuông ABCD cạnh a. N là trung điểm của CD, M trên cạnh AC sao cho
4AM = AC.
a) Tính độ dài các cạnh và diện tích của ΔBMN theo a.

b) Gọi I là giao điểm của BN và AC. Tính CI theo a.
c) Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp ΔABC theo a.
Giải:

a) Tính độ dài các cạnh và diện tích của ΔBMN theo a.
* Tính BN
Xét ΔBCN vuông tại C, áp dụng định lý pi-ta-go ta có
BN2 = BC2 + CN2 => BN =
=
=
Vậy BN =
* Tính BM
Gọi K là giao điểm 2 đường chéo BD và AC của hình vuông
Ta có

TH - ĐHKHTN

Page 11


Vậy BM =
* Tính MN
Ta có CA là đường chéo trong hình vuông ABCD, chia góc C thành 2 góc
Ta có định lý cosin :
 MN =

=
=
Vậy MN =
*Tính diện tích ΔBMN:

Ta thấy và BM =MN = => ΔBMN vuông cân tại M
= =
b) Gọi I là giao điểm của BN và AC. Tính CI theo a.
Ta có CA là đường chéo trong hình vuông ABCD, chia góc C thành 2 góc => CA là đường
phân giác trong của góc C cắt BN tại I
Xét ΔBCN, Ta có tỷ lệ độ dài :

(3)

Theo câu a ta lại có IN + IB = BN =

(4)

Từ (3) và (4) ta có hệ phương trình sau, nghiệm của hệ là độ dài cạnh IN và IB
=>
Ta có
Ta có định lý cosin :

=
=a
Vậy IC =a
c) Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp ΔABC theo a.
Ta có ΔABC vuông tại B, vậy đường kính đường tròn ngoại tiếp ΔABC chính là AC =
TH - ĐHKHTN

Page 12


Bán kính đường tròn ngoại tiếp ΔABC theo a là R =
Câu 9: Cho ΔABC có A(1; 5), B(4; −1), C(−4; −5)

Giải
Hình vẽ

a. Tìm tọa độ trực tâm

Ta có:
Xét

∆ABC

uuur
uuur
AB(3; −6), BC (−8; −4)

,

uuu
r uuur
AB.BC = 3.( −8) + ( −6).( −4) = 0

⇒ ∆ABC

vuông ở B
B (4; −1)
∆ABC
Vậy trực tâm của
là
TH - ĐHKHTN

Page 13

b. Tìm tọa độ chân đường cao kẻ từ A của

Ta có:

∆ABC

∆ABC

vuông ở B

Vậy chân đường cao kẻ từ A của

B (4; −1)

∆ABC

là
∆ABC
c. Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp
Gọi O(x;y) là trung điểm AC
mà

∆ABC

vuông tại B suy ra O là tâm đường tròn ngoại tiếp

xA + xB 1 − 4 −3


x
=
=
=
o

2
2
2
⇒
 y = y A + yB = 5 − 5 = 0
 o
2
2

Vậy tâm đường tròn ngoại tiếp
d. Đường phân giác của

Xét

∆ABC

·
BAC

∆ABC

O(

là:

cắt BC tại D. Tìm tọa độ D

, có AD là phân giác trong

·
BAC

BD AB 3 5 3
=
=
=
DC AC 5 5 5
uuur 5 uuur
⇒ DC = BD
3

(*)

D(x; y)

Gọi

TH - ĐHKHTN

−3
;0)
2

Page 14

, ta có:

∆ABC


Ta có:

uuur
uuur
DC (−4 − x; −5 − y ), BD( x − 4; y + 1)

(*)

5

x = 1
−4 − x = 3 ( x − 4)
−12 − 3 x = 5 x − 20

⇒
⇔
⇔
−5
−15 − 3 y = 5 y + 5
−5 − y = 5 ( y + 1)
 y = 2

3

D (1;

Vậy

−5
)
2

e. Tìm tọa độ tâm đường tròn nội tiếp

Đường phân giác trong của

·ABC

Xét
⇒

.

cắt AD tại E

Do đó E là tâm đường tròn nội tiếp
∆ABD

∆ABC

∆ABC

, có BE là phân giác trong của

·ABC

AE AB 3 5
=
=
=2
ED BD 3 5
2

uuur
uuur
⇒ AE = 2 ED

(**)

E ( x, y )

Gọi

Ta có:

(**)

uuur
uuur
−5
AE (x − 1; y − 5), ED (1 − x; − y )
2

 x − 1 = 2(1 − x)

3x = 3
x = 1

⇒
⇔
⇔
−5
3 y = 3  y = 0
 y − 5 = 2( 2 − y )

Vậy tâm đường tròn nội tiếp của
TH - ĐHKHTN

∆ABC

E (1;0)

là:

Page 15


f.

∆ABC

Tìm tọa độ tâm đường tròn bàng tiếp
Đường phân giác ngoài của

·ABC ¶ACB

,

thuộc

cắt nhau tại F

Do đó F là tâm đường tròn bàng tiếp của

∆ABC

⇒ EB ⊥ BF , EC ⊥ CF

F (x; y)

Gọi
Ta có:

uuu
r
uuur
EB (3; −1), BF ( x − 4; y + 1)

uuur
uuur
EC (−5; −5), CF (x + 4; y + 5)
uuu
r uuur
 EB.BF = 0
3.(x − 4) − 1.(y + 1) = 0

3 x − y = 13  x = 1
⇔
⇔
⇔
 uuur uuur
−5.( x + 4) − 5.( y + 5) = 0
 x + y = −9
 y = −10
 EC.CF = 0

Vậy tâm đường tròn bàng tiếp của

∆ABC

là:

F (1; −10)

Câu 10: Cho A(2; 5), B(−3; 4).
a) Xác định điểm M trên trục Ox sao cho nhỏ nhất.
b) Xác định điểm N trên trục Ox sao cho lớn nhất.
c) Xác định điểm K trên trục Ox sao cho nhỏ nhất, với C(−1,2).
Giải:
a) Xác định điểm M trên trục Ox sao cho �� +�� nhỏ nhất.
Theo đề bài ta có A, B cùng phía với , ta lấy đối xứng qua Ox


Ta có
Do đó đạt giá trị nhỏ nhất khi dấu “=” xảy ra tức là
TH - ĐHKHTN

Page 16


hay M, A, B’ thẳng hàng




=>
Vậy
b) Xác định điểm N trên trục Ox sao cho lớn nhất

Do đó đạt giá trị lớn nhất khi dấu “=” xảy ra tức là
hay N, A, B thẳng hàng
Theo đề bài ta có A, B cùng phía với




=>
Vậy

c) Xác định điểm K trên trục Ox sao cho
K nằm trên trục Ox, ta đặt K(x,0)
Ta có
TH - ĐHKHTN

Page 17

đạt GTNN khi dấu “=” xảy ra, tức là



TH - ĐHKHTN

Page 18