Chuyên đề 03 phương trình, HPT, BPT kit1
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (17.09 MB, 172 trang )
Khóa học LTĐH KIT-1 môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương
Phương trình chứa căn
BÀI 01. PHƢƠNG TRÌNH CHỨA CĂN (PHẦN 01)
TÀI LIỆU BÀI GIẢNG
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG
Đây là tài liệu tóm lược các kiến thức đi kèm với bài giảng Bài 01. Phương trình chứa căn (Phần 01) thuộc khóa học
LTĐH KIT-1 môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương tại website Hocmai.vn. Để có thể nắm vững kiến thức phần Bài 01.
Phương trình chứa căn (phần 01), bạn cần kết hợp xem tài liệu cùng với bài giảng này.
I. Phƣơng trình cơ bản
g ( x) 0
1. f ( x) g ( x)
2
f ( x) g ( x)
2.
f ( x) g ( x) f ( x) g 3 ( x)
3
Ví dụ 1: (ĐHKD – 2006) Giải phương trình:
2 x 1 x 2 3x 1 0
Ví dụ 2: (ĐHKB – 2006) Tìm m để phương trình sau có 2 nghiệm phân biệt:
II. Các dạng bài tập
Dạng I: Biến đổi thông thường
Bài tập mẫu:
Bài 1: Giải phương trình
x2 mx 2 2x 1
1. ( x 3) x 2 5 x 4 2 x 6
2. ( x 3) 10 x 2 x 2 x 12
3. x 2 7 x 2 x 1 x 2 8 x 7 1
4. x 2 x 1 ( x 1) x x2 x 0
Bài 2: Giải phương trình
x3
1. 4 x 1 3 x 2
3
2. 3 2 x 2 2 x x 6
3. (ĐHKB – 2010) 3x 1 6 x 3x 2 14 x 8 0
Bài 3: Giải phương trình
1. 2 x 2 8 x 6 x 2 1 2 x 2
2.
x2 4 x 3 2 x2 3x 1 x 1
3. x 2 3 x 2 x 2 4 x 3 2 x 2 5 x 4
Giáo viên: Lê Bá Trần Phƣơng
Nguồn:
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
Hocmai.vn
- Trang | 1 -
Khóa học LTĐH KIT-1 môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương
Phương trình chứa căn
BÀI 01. PHƢƠNG TRÌNH CHỨA CĂN (PHẦN 01)
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG
Các bài tập trong tài liệu này được biên soạn kèm theo bài giảng Bài 01. Phương trình chứa căn (phần 01) thuộc khóa
học LTĐH KIT-1 môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương tại website Hocmai.vn giúp các bạn kiểm tra, củng cố lại các
kiến thức được giáo viên truyền đạt trong bài giảng Bài 01. Phương trình chứa căn (phần 01). Để sử dụng hiệu quả, bạn
cần học trước bài giảng sau đó làm đầy đủ các bài tập trong tài liệu này.
Bài 1: Giải phương trình: 4 2 x 3 4 x
9 x2
2x 3
Bài 2 : Giải phương trình : x 1 2 x 1 3 x 2 1
Bài 3 : Giải phương trình :
x2 x x 5 7 x2 2 x 3
Bài 4 : Giải phương trình :
x 2x 1 x 2x 1 2
Bài 5 : Giải phương trình :
x2 x 1 x2 x 1
Bài 6 : Tìm m để phương trình
1
2
x4 4x3 2x2 3x m x2 1 0 có nghiệm thực.
Bài 7 : Tìm m để phương trình sau có nghiệm duy nhất :
3x 2 1
2 x 1 mx
2x 1
Giáo viên: Lê Bá Trần Phƣơng
Nguồn:
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
Hocmai.vn
- Trang | 1 -
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương
Phương trình chứa căn
BÀI 01. PHƢƠNG TRÌNH CHỨA CĂN (PHẦN 01)
ĐÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG
Các bài tập trong tài liệu này được biên soạn kèm theo bài giảng Bài 01. Phương trình chứa căn (phần 01) thuộc khóa
học LTĐH KIT-1 môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương tại website Hocmai.vn giúp các bạn kiểm tra, củng cố lại các
kiến thức được giáo viên truyền đạt trong bài giảng Bài 01. Phương trình chứa căn (phần 01). Để sử dụng hiệu quả, bạn
cần học trước bài giảng sau đó làm đầy đủ các bài tập trong tài liệu này.
Bài 1: Giải phương trình: 4 2 x 3 4 x
9 x2
2x 3
Giải:
Điều kiện :
2x 3 0 x
3
2
Phương trình 4(2 x 3) 4 x 2 x 3 9 x 2
4(2 x 3) 4 x 2 x 3 x 2 9
2 2x 3 x
2
2 2 x 3 x 3
9
2 2 x 3 x 3
2 2 x 3 3 x (1)
2 2 x 3 x 3 (2)
x 1
Phương trình (1) 4(2 x 3) (3 x)2 x 2 2 x 3 0
(thỏa mãn)
x 3
x 3
x 3
x 7 52 x 7 52
Phương trình (2)
2
4(2
x
3)
(
x
3)
x 7 52
Bài 2 : Giải phương trình : x 1 2 x 1 3 x 2 1
Giải :
Điều kiện : x 2 1 0 x 1 x 1
+ Với x 1 thì phương trình 1 3x 3 x 2 1 (1 3x) 2 9( x 2 1) 6 x 10 x
+ Với x 1 thì phương trình 3x 1 3 x 2 1 (3x 1) 2 9( x 2 1) 6 x 10 x
Đáp số : Vậy x
5
(loại)
3
5
3
5
là nghiệm của phương trình.
3
Bài 3 : Giải phương trình :
x2 x x 5 7 x2 2 x 3
Giải :
2
3 x 1
x 2 x 3 0
Phương trình 2
2
x x 5 2( x 2) (*)
x x x 5 7 x 2 x 3
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 1 -
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương
Phương trình chứa căn
+ Với x 0 thì (*) không thỏa mãn
x2
+ Với 3 x 0 0 x 1 thì (*) x 5 2
x
x2
2 x 0
2 x 0
3
2
2
x x 16 x 16 0
x 5 4 ( x 2)
x2
2 x 0
2 x 0
x 1 x 1
2
( x 1)( x 16) 0
x 4
Đáp số : x 1
Bài 4 : Giải phương trình :
x 2x 1 x 2x 1 2
Giải :
x 2x 1 0
x 2x 1
1
x
Điều kiện : x 2 x 1 0
1
2
2 x 1 0
x
2
Phương trình x 2 x 1 2 ( x 1)2 x 2 x 1 2
1 x 0
x 1
( x 1)2 1 x
2
2
2
2
( x 1) (1 x)
( x 1) (1 x)
1
Kết hợp điều kiện suy ra đáp số : x 1
2
1
Bài 5 : Giải phương trình : x 2 x 1 x 2 x 1
2
Giải :
Điều kiện x R
1
Phương trình x 2 x 1 x 2 x 1
2
1
Bình phương 2 vế ta được : x 2 x 1 2 x
4
4 x2 x 1 8x 1
1
8 x 1 0
15
x
8 x
2
2
48
16( x x 10 (8 x 1)
48 x 2 15
x4 4x3 2x2 3x m x2 1 0 có nghiệm thực.
Bài 6 : Tìm m để phương trình
Giải :
2
1 x 0
Phương trình x 4 x 2 x 3x m 1 x 4
3
2
2 2
x 4 x 2 x 3x m (1 x )
4
3
2
2
1 x 1
3
4 x 3x 1 m
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 2 -
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương
Phương trình chứa căn
Để phương trình đã cho có nghiệm thì phương trình : 4 x3 3x 1 m phải có nghiệm thực thỏa mãn
y 4 x3 3x 1; x 1;1
phải có điểm chung
1 x 1 hai đồ thị
y m
Xét hàm số : y 4x3 3x 1; x 1;1
Ta có : y ' 12 x 2 3; y ' 0 x
1
2
Bảng biến thiên :
-1
x
y’
+
y
1
2
0
0
1
2
0
-
1
+
0
-2
-2
Từ bảng biến thiên suy ra giá trị cần tìm là : 2 m 0
Bài 7 : Tìm m để phương trình sau có nghiệm duy nhất :
3x 2 1
2 x 1 mx
2x 1
Giải :
Điều kiện : x
1
2
Phương trình 3x 2 1 2 x 1 mx 2 x 1
3x 2
m
2x 1
Để phương trình đã cho có nghiệm duy nhất thì 2 đồ thị y
3x 2
1
, x và y = m phải cắt nhau tại duy
2
2x 1
nhất một nghiệm.
Xét hàm số : y
Ta có : y '
3x 2
1
, x
2
2x 1
3x 1
1
0 với x
2
(2 x 1) 2 x 1
Bảng biến thiên :
x
1
2
y’
y
+
+
+
-
Từ bảng biến thiên suy ra với mọi m thì phương trình đã cho luôn có nghiệm duy nhất.
Giáo viên: Lê Bá Trần Phƣơng
Nguồn:
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
Hocmai.vn
- Trang | 3 -
Khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương
Phương trình chứa căn
BÀI 2. PHƢƠNG TRÌNH CHỨA CĂN (PHẦN 2)
TÀI LIỆU BÀI GIẢNG
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG
Đây là tài liệu tóm lược các kiến thức đi kèm với bài giảng Bài 2. Phương trình chứa căn (phần 2) thuộc khóa học
LTĐH KIT-1: Môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương tại website Hocmai.vn. Để có thể nắm vững kiến thức phần Bài
2. Phương trình chứa căn (phần 2), bạn cần kết hợp xem tài liệu cùng với bài giảng này.
II. Các dạng bài tập
Dạng 1: Biến đổi thông thường (tiếp)
Bài 4: Giải phương trình
1. x 2 x 1 x 2 x 1 2
2.
5
5
x2 1 x2
x2 1 x2 x 1
4
4
3. (ĐHKD – 2005) 2 x 2 2 x 1 x 1 4
Dạng 2: Đặt ẩn phụ
a) Đặt ẩn phụ đưa về phương trình bậc 2 – bậc 3.
Bài 1: Giải phương trình
1. x 2 2 x 2 13 22
2. x 2 4 x 2 2 0
3. x 2 2 x 2 3 x 11 3 x 4
4. ( x 4)( x 1) 3 x 2 5 x 2 6
Bài 2: Giải phương trình
1. 1 2 x x 2 ( x 1)(2 x)
2. x 2 3x 1 ( x 3) x 2 1
.
3. x 2 2 x 1 2(1 x) x 2 2 x 1
Bài 3: Giải phương trình
1. x 2 x 12 x 1 36
2. (ĐHKD – 2006)
2 x 1 x 2 3x 1 0
Bài 4: Giải phương trình
1. x 2 x 2 2 x 2 4 2 2 x
2. 3x 2 x 1 4 x 9 2 3x 2 5 x 2
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 1 -
Khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương
Phương trình chứa căn
3. (ĐHKB – 2011) 3 2 x 6 2 x 4 4 x2 10 3x
4. 4
1 x 1 x 8 x2
5. 3 x 6 x (3 x)(6 x) 3
6. x 1 x
2
x x2 1
3
7. x 4 x 2 2 3x 4 x 2
Giáo viên: Lê Bá Trần Phƣơng
Nguồn:
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
Hocmai.vn
- Trang | 2 -
Khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương
Phương trình chứa căn
BÀI 2. PHƢƠNG TRÌNH CHỨA CĂN (PHẦN 2)
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG
Các bài tập trong tài liệu này được biên soạn kèm theo bài giảng Bài 2. Phương trình chứa căn (phần 2) thuộc khóa học
LTĐH KIT-1: Môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương tại website Hocmai.vn giúp các bạn kiểm tra, củng cố lại các
kiến thức được giáo viên truyền đạt trong bài giảng Bài 2. Phương trình chứa căn (phần 2). Để sử dụng hiệu quả, bạn
cần học trước bài giảng sau đó làm đầy đủ các bài tập trong tài liệu này.
Bài 1. Chứng minh rằng phương trình: 2x3 3x 6 5x2 x 1 6 0 không có nghiệm âm.
Bài 2. Tìm m để phương trình sau có nghiệm:
Bài 3. Giải phương trình: x 2
x2 x 1 x2 x 1 m
x2 4x 7 1 x
x2 3 1 0
Bài 4. Giải phương trình
x3
1) 4 x 1 3x 2
5
2) 3 2 x 2 2 x x 6
3) ĐHKB 2010:
3x 1 6 x 3x 2 14 x 8 0
4)
x 1 1 4 x 2 3x
5)
3x2 7 x 3 x2 2 3x2 5x 1 x2 3x 4
6)
x2 91 x2 x 2 , điều kiện: x 2
7) x 1 3 x 3x 2 4 x 2
Bài 5. Giải phương trình
1.
2x2 5x 2 x2 x 2 3x 6
2. x2 4x 3 2x2 3x 1 x 1
Bài 6. Giải phương trình
1.
x 1 2 x 2 x 1 2 x 2 1
2.
x 2 2 x 1 x 2 2 x 1
x5
2
Bài 7. Giải phương trình
1. x 4 6 x3 3x 13
2
2.
x 1 x2 4x 3
x 2
3
3. x2 x 2 . x 1 x 2
4.
x2
3 9 x2
1
4 3 9 x2
1
5. 1 x2 2 3 1 x2 3
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 1 -
Khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương
6.
Phương trình chứa căn
4 3x 2 2 x 2
9x 2
x
x
2
7. x 3 x 1 4 x 3 .
8) 2 x 1 1 2 x
x 1
3
x3
4x
1 4 x2
Bài 8: Giải phương trình
1.
(4 x 1) x2 1 2 x2 2 x 1
3
2. (3x 1) 2 x 2 1 5 x 2 x 3
2
Giáo viên: Lê Bá Trần Phƣơng
Nguồn:
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
Hocmai.vn
- Trang | 2 -
Khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương
Phương trình chứa căn
BÀI 2. PHƢƠNG TRÌNH CHỨA CĂN (PHẦN 2)
ĐÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG
Các bài tập trong tài liệu này được biên soạn kèm theo bài giảng Bài 2. Phương trình chứa căn (phần 2) thuộc khóa học
LTĐH KIT-1: Môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương tại website Hocmai.vn giúp các bạn kiểm tra, củng cố lại các
kiến thức được giáo viên truyền đạt trong bài giảng Bài 2. Phương trình chứa căn (phần 2). Để sử dụng hiệu quả, bạn
cần học trước bài giảng sau đó làm đầy đủ các bài tập trong tài liệu này.
Bài 1. Chứng minh rằng phương trình: 2x3 3x 6 5x2 x 1 6 0 không có nghiệm âm.
Giải
1
1
Đặt: f ( x) x3 x 5x 2 x 1 1 , hàm số xác định x R
3
2
1
10 x 1
Ta có: f '( x) x 2
2 2 5x2 x 1
Và f ''( x) 2 x
19
4 5 x x 1 . 5 x 2 x 1
2
Nhận thấy f’’(x) < 0 x 0 , nên f’(x) là hàm nghịch biến trên ,0
Suy ra f’(x) > f’(0) = 0 x 0 . Vậy f(x) là hàm đồng biến trên khoảng ,0 .
Do đó f(x) < f(0) = 0 x 0 . Vậy phương trình đã cho không có nghiệm âm.
Bài 2. Tìm m để phương trình sau có nghiệm: x2 x 1 x2 x 1 m
Giải
Để phương trình đã cho có nghiệm thì 2 đồ thị:
y x 2 x 1 x 2 x 1; x R
phải cắt nhau.
y m
Xét hàm y x2 x 1 x2 x 1; x R
Ta có: y '
2x 1
2 x2 x 1
Xét hàm f (t )
t
3
t
4
2x 1
2 x2 x 1
x
1
2
2
1 3
x
2 4
x
1
2
2
1 3
x
2 4
;t R
2
f '(t )
3
3
4. t 2
4
3
0t
1
1
=> f(t) là hàm đồng biến => f x f x x
2
2
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 1 -
Khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương
Phương trình chứa căn
=> y ' 0x => y là hàm đồng biến.
lim y lim
x
x
lim y lim
x
x
x 2 x 1 x 2 x 1 lim
2x
x2 x 1 x2 x 1
x
lim
Do đó ta có bảng biến thiên:
x
-
y’
y
-1
x
2x
x x 1 x x 1
2
2
2
1 1
1 1
1 2 1 2
x x
x x
Xét hàm f (t ) t
2
1 1
1 1
1 2 1 2
x x
x x
1
1
+
1
Bài 3. Giải phương trình: x 2
Phương trình x 2
x
+
Từ bảng biến thiên suy ra giá trị cần tìm là -1 < m < 1
Giải
lim
x2 4x 7 1 x
x2 3 1 0
x 2 3 1 x. x 3 1 (*)
2
2
t 2 3 1
Ta có: f '(t ) 1 t 2 3
t2
0t R
t2 3
Vậy f(t) là hàm đồng biến. Do đó ta có (*) f(x + 2) = f(-x) x + 2 = -x x = -1
Đáp số: x = -1
Bài 4. Giải phương trình
x3
2
1) 4 x 1 3x 2
; điều kiện: x
5
3
x3
x3
5 x 3 x 3 4 x 1 3 x 2
5
4 x 1 3x 2
x 3 .
4 x 1 3x 2 5 0
Hoặc: x + 3 = 0 x = -3 (loại)
Hoặc:
4 x 1 3x 2 5 4 x 1 2
4 x 13x 2 3x 2 25
26
26 7 x 0
x
2 12 x 5 x 2 26 7 x
7
2
2
4
12
x
5
x
2
26
7
x
2
x 344 x 684 0
2
26
x
x2
7
x 342; x 2
Đáp số: x = 2
2) 3 2 x 2 2 x x 6 ; điều kiện: x 2
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 2 -
Khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương
Phương trình chứa căn
3 x 2 x 6 2x 6
8 x 3
3 x2 x6
2 x 3 4 x 3 3 x 2 x 6 x 3
x 3 3 x 2 x 6 4 0
Hoặc: x = 3
Hoặc: 3 x 2 x 6 4 3 x 2 4 x 12 14 5 x
14
x
14
5
x
0
11 45
5
x
2
2
2
9 x 4 x 12 14 5 x
x 11 45
2
x 3
Đáp số:
x 11 45
2
3) ĐHKB 2010
1
3x 1 6 x 3x 2 14 x 8 0 ; điều kiện x 6
3
3x 1 4 1 6 x 3x 2 14 x 5 0
3 x 5
x 5
3x 1 4 1 6 x
x 5 3 x 1 0
1
1
x 5
3 x 1 0 x 5 0 x 5
3x 1 4 1 6 x
1
0
3x 1 4
1
1
1
0
3 x 1 0
Vì:
1 6 x
3x 1 4 1 6 x
3x 1 0
4)
x 1 1 4 x 2 3x ; điều kiện: x 0
4 x 2 1 3x x 1 0 2 x 1 2 x 1
2x 1
0
3x x 1
1
1
2 x 1 2 x 1
0 2 x 1 0 x 2
3x x 1
1
Vì: 2 x 1
0
3x x 1
5)
3x2 7 x 3 x2 2 3x2 5x 1 x2 3x 4
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 3 -
Khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương
Phương trình chứa căn
3 x 2 7 x 3 0
2
x 2 0
Điều kiện: 2
3 x 5 x 1 0
x 2 3x 4 0
Phương trình: 3x2 7 x 3 3x2 5x 1 x2 2 x2 3x 4
2 x 2
3x 2 7 x 3 3x 2 5 x 1
3 x 2
x 2 2 x 2 3x 4
2
3
x 2
0
2
2
x 2 2 x 2 3x 4
3x 7 x 3 3x 5 x 1
_______________________________________________________________________________
0
x2 0 x 2
Với x = 2 thử vào điều kiện ta thấy thỏa mãn.
Vậy nghiệm của phương trình là x = 2.
6)
x2 91 x2 x 2 , điều kiện: x 2
x2 91 10 x 2 1 x2 9
x2 9
x 91 10
2
x 3
x 3 x 3 = 0
x 2 1
x3
1
x 3
x 3 0
2
x 2 1
x 91 10
1
1
x 3 x 3
1
0
2
x 2 1
x 91 10
1
1
1
Do: x 3
0 x 2
2
x 2 1
x 91 10
Nên phương trình x 3 0 x 3
7) x 1 3 x 3x 2 4 x 2
Giải
Điều kiện: 1 x 3
Phương trình: x 1 1 3 x 1 3x 2 4 x 4
x2
2 x
x 2 3 x 2
x 1 1
3 x 1
1
1
x 2
3x 2 0
3 x 1
x 1 1
Dễ thấy với 1 x 3 thì biểu thức trong ngoặc vuông là hàm nghịch biến và tại x = 1 thì biểu thức đó
5 4 2
0 . Chứng tỏ với mọi 1 x 3 thì biểu thức trong dấu ngoặc vuông luôn âm. Do
1 2
đó phương trình có nghiệm duy nhất là x = 2.
Bài 5. Giải phương trình
nhận giá trị là
1.
2x2 5x 2 x2 x 2 3x 6
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 4 -
Khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương
Phương trình chứa căn
Giải
Điều kiện: x 2 x 1
Phương trình:
2 x 1 x 2 x 1 x 2
3 x 2
+) Với x = -2 thì phương trình thỏa mãn.
+) Với x 1thì phương trình: 2 x 1 x 1 3
2x 1 x 1 3
2 x 1 x 2 2 3 x 1 2 3 x 1 x 1
x 1
2
4 3 x 1 x 1 x 2 14 x 13
x 13
x 1
Đáp số: x 13
x 2
x2 4x 3 2x2 3x 1 x 1
Giải
1
Điều kiện: x x 1 x 3
2
2.
x 1 x 3 x 1 2 x 1 x 1
Phương trình:
+) Với x 3 thì phương trình
x 3
x 1
x 3 2 x 1
x 1
2 x 1
Bình phương hai vế ta có: 2 2x2 3x 1 1 2x
Phương trình này vô nghiệm vì với x 3 thì vế phải âm.
+) Với x = 1 thì phương trình thỏa mãn.
1
+) Với x thì phương trình 1 x 3 x 1 x 1 2 x 1 x
2
3 x 1 2 x 1 x
3 x 1 x 1 2 x
2 x2 4x 3 3 (Vô nghiệm)
Đáp số: x = 1
Bài 6. Giải phương trình
1.
x 1 2 x 2 x 1 2 x 2 1
Giải
Phương trình
x 2 1
+) Nếu
2
x 2 1
x 2 1
2
1; điều kiện x 2
x 2 1 1
x 2 1 0 x 2 1 x 3 thì ta có:
x 2 1
x 2 1 1 2 1 (vô nghiệm)
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 5 -
Khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương
+) Nếu
Phương trình chứa căn
x 2 1 0 2 x 3 thì ta có:
x 2 1 x 2 1 1
2 x 2 1 x 2
Đáp số: x
2.
1
9
x
4
4
9
4
x5
2
x 2 2 x 1 x 2 2 x 1
Giải
Phương trình
x 1 1
+) Nếu
2
x 1 1
x 1 1
2
x5
; điều kiện x 1
2
x5
2
x 1 1
x 1 1 0 x 1 1 x 0 thì phương trình tương đương:
x 1 1 x 1 1
x5
2
4 x 1 x 5 16 x 1 x 5
2
x2 6x 9 0 x 3
+) Nếu
x 1 1 0 x 1 1 1 x 0 thì phương trình tương đương:
x 1 1 x 1 1
x5
x5
2
x 1
2
2
Đáp số: x = 3; x = -1
Bài 7. Giải phương trình
1. x 4 6 x3 3x 13
2
Giải
Điều kiện: x3 3x 0 x x 2 3 0 x 0
Phương trình x2 8x 3 6 x3 3x 0
+) Với x = 0 thì phương trình không thỏa mãn.
+) Với x > 0 thì phương trình x 8
3
3
6 x 0
x
x
3
Đặt: t x ; t 4 12
x
t 2
Thay vào phương trình, ta có: t 2 6t 8 0
t 4
+) Với t = 2, ta có x = 1; x = 3.
+) Với t = 4, ta có: x 8 61
2.
x 1 x2 4x 3
x 2
3
Giải
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 6 -
Khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương
Phương trình chứa căn
Điều kiện: x 1
x 1 x 3 x 2
Phương trình x 1
3
Đặt t x 2 1
Thay vào phương trình ta được:
t t t 1
2
t 1 t t t 1
t 1 t 2 1 t t t 2 1 t t t 1
t 1
2
3
t 1 t t 1 2t t t 1
2
t 1
t 1
2
t t 1 1 0
t t 1 1
t
1 5
5 3
x
2
2
3. x2 x 2 . x 1 x 2
Giải
Điều kiện x 1
Phương trình: x 2 x
Đặt
x 1 1 2 x 1 2 x 1 0
x 1 t; t 0
Thay vào phương trình ta có: x2 x t 1 2t 2t 2 0
x 2t x t 1 0
x 2t 0 (do x + t + 1 > 0)
x 2t x 2 x 1 x2 4 x 1
x2 4x 4 0 x 2
4.
x2
3 9 x
2
1
4 3 9 x2
1
Giải
Điều kiện: 3 x 0 0 x 3
Đặt: t 9 x2 ; t 0, t 3
x2 9 t 2 , thay vào phương trình ta có:
9 t2
1
2
1 4 3 t 4 3 t 1 0
3 t 4 3 t
2 3 t 1 0 2 3 t 1
2
t
5
5
11
x2 9 x
2
2
2
5. 1 x2 2 3 1 x2 3
Giải
Điều kiện: 1 x 1
Đặt 6 1 x2 t; t 0
Thay vào phương trình ta có: t 3 2t 2 3 0 t 1 t 2 3t 3 0 t 1
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 7 -
Khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương
Phương trình chứa căn
6 1 x2 1 x 0
6.
9x2
4 3x 2 2 x 2
x2
x
Giải
Điều kiện: x 0
Phương trình: 9 x 2
Đặt t 3x
4
2
3x 2
2
x
x
2
4
4
t 2 9 x 2 2 12 9 x 2 2 t 2 12
x
x
x
Khi đó ta có phương trình:
Với t = 2, ta có: 2 3 x
t 2 0
t 2
t 2 12 t 2 2
t2
2
t
2
t
12
t
2
2
1 7
3x 2 2 x 2 0 x
x
3
7. x 3 x 1 4 x 3 .
x 1
3
x3
Giải
x 1
0
Điều kiện: x 3
x 1 x 3
x 3
Đặt t x 3
x 1
t 2 x 3 x 1
x 3
t 1
Thay vào phương trình ta có: 4t 2 4t 3 0
t 3
x 1
1
x3
- Với x > 3 thì phương trình vô nghiệm.
- Với x 1, ta có: (x - 3)(x + 1) = 1
+) Với t = -1, ta có: x 3
x 1 5
x2 2x 4 0
x 1 5 (loai )
+) Với t = -3 ta có: x 3
x 1
3
x3
- Với x > 3 thì phương trình vô nghiệm.
- Với x 1, ta có (x - 3)(x + 1) = 9
x 1 13 (loai )
x 2 2 x 12 0
x 1 13
x 1 5
Đáp số:
x 1 13
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 8 -
Khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương
2x 1 1 2x
8.
Phương trình chứa căn
4x
1 4 x2
Giải
1
1
Điều kiện: x
2
2
Đặt:
2 x 1 u, u 0
1 2 x v, v 0
u 2 v 2 4 x . Thay vào phương trình ta có: u v
u 2 v2
u v
1
uv u v
u.v
u.v
Khi đó ta lại có phương tình: 1 4 x 2 2 x 1 1 2 x
Từ phương trình suy ra:
2x 1 1 2x 0 2x 1 1 2x 2x 1 1 2x
<=> x > 0, kết hợp điều kiện ta có: 0 x
1
2
Bình phương hai vế ta có: 1 4x2 2 2 1 4 x2 1 4 x2 2 1 4 x2 2 0
Đặt 1 4 x2 t; t 0
t 1 3 (loai )
Khi đó ta có: t 2 2t 2 0
t 1 3
Với t 1 3 ta có: 1 4x2 3 1 1 4 x2 4 2 3
2 3 3
2 3 3
x
4
2
Bài 8: Giải phương trình
x2
1.
(4 x 1) x2 1 2 x2 2 x 1
Giải
Đặt t x2 1; t 1 t x2 1; t 1 x2 t 2 1
Thay vào phương trình đã cho ta được: (4 x 1)t 2(t 2 1) 2 x 1
2t 2 (4 x 1)t 2 x 1 0
1
t 1
2
t 2 x 1
t 2 x 1 x 2 1 2 x 1 3x 2 4 x 0
x 0
x 4
3
Với x = 0 (loại) do t 1 2x 1 1 x 1
3
2. (3x 1) 2 x 2 1 5 x 2 x 3
2
Giải
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 9 -
Khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương
Điều kiện: 2 x 2 1 0 x
Phương trình chứa căn
1
1
x
2
2
Phương trình 2(3x 1) 2x2 1 10 x2 3x 6
2(3x 1) 2 x2 1 4(2 x2 1) 2 x2 3x 2
Đặt t 2 x2 1; t 0
Thay vào phương trình ta có: 4t 2 2(3x 1)t 2 x 2 3x 2 0
2x 1 2x 1
2
t x
2 2x 1
t x 2
x 2 2x2 1
2
2
Giải ra ta được x
6 1
2 60
; x
2
7
Giáo viên: Lê Bá Trần Phƣơng
Nguồn:
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
Hocmai.vn
- Trang | 10 -
Khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương
Phương trình chứa căn
BÀI 3. PHƢƠNG TRÌNH CHỨA CĂN (PHẦN 3)
TÀI LIỆU BÀI GIẢNG
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG
Đây là tài liệu tóm lược các kiến thức đi kèm với bài giảng Bài 3. Phương trình chứa căn (phần 3) thuộc khóa học
LTĐH KIT-1: Môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương tại website Hocmai.vn. Để có thể nắm vững kiến thức phần Bài
3. Phương trình chứa căn (phần 3), bạn cần kết hợp xem tài liệu cùng với bài giảng này.
Dạng 2: Đặt ẩn phụ (tiếp)
Bài 5: Tìm m để phương trình sau có nghiệm
1. (ĐHKB -2004):
2. (TK- 2011):
m
1 x2 1 x2 2 2 1 x4 1 x2 1 x2
2 x
6 x 2 (4 x)(2 x 2) m 4
3. (TK- 2010 : 9 2 4 x 2 m
2 x
4 x 2x 2
4. (TK - 2009): 1 x 8 x (1 x)(8 x) m
Bài 6: (ĐHKA – 2007) Tìm m để phương trình sau có nghiệm:
3 x 1 m x 1 2 4 x2 1
Bài 7: Tìm m để phương trình sau có nghiệm
x x x 12 m
5 x 4 x
Bài 8: (ĐHKA – 2008): Tìm m để phương trình sau có nghiệm
4
2x 2x 2 4 6 x 2 6 x m
Bài 9: Giải phương trình
x
x 1
1.
2.
3
x 1 3
x
2
2x
x 1
3
2
x 1
2x
Giáo viên: Lê Bá Trần Phƣơng
Nguồn:
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
Hocmai.vn
- Trang | 1 -
Khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương
Phương trình chứa căn
BÀI 3. PHƢƠNG TRÌNH CHỨA CĂN (PHẦN 3)
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG
Các bài tập trong tài liệu này được biên soạn kèm theo bài giảng Bài 3. Phương trình chứa căn (phần 3) thuộc khóa học
LTĐH KIT-1: Môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương tại website Hocmai.vn giúp các bạn kiểm tra, củng cố lại các
kiến thức được giáo viên truyền đạt trong bài giảng Bài 3. Phương trình chứa căn (phần 3). Để sử dụng hiệu quả, bạn
cần học trước bài giảng sau đó làm đầy đủ các bài tập trong tài liệu này.
Bài 1: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: 9 2 4 x 2 m
2 x 2 x
Bài 2: Tìm m để phương trình: 2x2 2mx 1 3 2x3 x có hai nghiệm thực phân biệt.
Bài 3: Tìm m để phương trình sau có nghiệm:
x 1 2 4 x2 1 m x 1 2 4 x2 1
Bài 4: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: 3x2 2 x 3 m( x 1) x2 1
Bài 5 : Tìm m để phương trình sau có nghiệm:
6 x 2 (4 x)(2 x 2) m 4
4 x 2x 2
Giáo viên: Lê Bá Trần Phƣơng
Nguồn:
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
Hocmai.vn
- Trang | 1 -
Khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương
Phương trình chứa căn
BÀI 3. PHƢƠNG TRÌNH CHỨA CĂN (PHẦN 3)
ĐÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG
Các bài tập trong tài liệu này được biên soạn kèm theo bài giảng Bài 3. Phương trình chứa căn (phần 3) thuộc khóa học
LTĐH KIT-1: Môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương tại website Hocmai.vn giúp các bạn kiểm tra, củng cố lại các
kiến thức được giáo viên truyền đạt trong bài giảng Bài 3. Phương trình chứa căn (phần 3). Để sử dụng hiệu quả, bạn
cần học trước bài giảng sau đó làm đầy đủ các bài tập trong tài liệu này.
Bài 1: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: 9 2 4 x 2 m
2 x 2 x
Giải:
Điều kiện: 2 x 2
Đặt t 2 x 2 x , 2 t 2 2
Chú ý: t 2 x 2 x , 2 x 2
Ta có: t '
1
1
2 x 2 x
2 2 x 2 2 x
2 4 x2
t' 0 2 x 2 x x 0
t (0) 2 2; t ( 2) 2, t (2) 2
min t 2; Maxt 2 2 2 t 2 2
t 2 4 2 4 x2 , thay vào phương trình ta có:
5 t 2 mt , 2 t 2 2
t2 5
m
t
Bài toán trở thành: tìm m để phương trình:
Xét hàm f (t )
Ta có: f '(t )
t2 5
m có nghiệm 2 t 2 2
t
t2 5
, 2t 2 2
t
t 5
t2 5
2
;
f
'(
t
)
0
t
5
0
t2
t 5
Bảng biến thiên:
t
f'
-
- 5
+
0
0
-
f
5
2
-
0
2 2
+
9
2
13
2
4
2 5
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 1 -
Khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương
Phương trình chứa căn
t2 5
t2 5
f
(
t
)
, 2t 2 2
m có nghiệm 2 t 2 2 khi và chỉ khi hai đồ thị
Phương trình
t
t
f (t ) m
cắt nhau.
13
Từ bảng biến thiên suy ra giá trị cần tìm là: 2 5 m
2
4
Bài 2: Tìm m để phương trình: 2x2 2mx 1 3 2x3 x có hai nghiệm thực phân biệt.
Giải:
+ Điều kiện bài toán: 2 x3 x 0 x 0
+ ta có: 2x2 2mx 1 3 2 x3 x (1)
2mx 2x2 1 3 2x3 x
Nhận thấy x 0 không phải là nghiệm của (1)
(1) 2m 2 x
+ Đặt 2 x
1
1
3 2x
x
x
1
1
t , vì x 0 2 x 2 2 (theo bất đẳng thức côsi)
x
x
+ Xét y f ( x) 2 x
x
1
2x2 1
có y '
0
x
x2
1
2
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy với mỗi t 2 2 thì có hai nghiệm x 0 .
1 3
(1) trở thành m t
t t 2 2 (2)
2 2
1 3
* Xét hàm số: y g (t ) t
t
2 2
Có y '
1
3
4 t 6
6
0t
2 4 t
2
4 t
Vậy với t 2
34 8
thì phương trình có hai nghiệm phân biệt.
2
Bài 3: Tìm m để phương trình sau có nghiệm:
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
x 1 2 4 x2 1 m x 1 2 4 x2 1
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 2 -
Khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương
Phương trình chứa căn
Giải:
Điều kiện: x 1
+ Với x 1 không là nghiệm
2
x 1
x 1
x 1
4
4
+ Với x 1 , phương trình 1 2
m
24
x 1
x 1
x 1
Đặt
4
x 1
t; t 1
x 1
t 2 2t
m, t 1
Khi đó phương trình
2t 1
t 2 2t
, t 1
y
Để phương trình đã cho có nghiệm thì 2 đồ thị:
phải cắt nhau.
2t 1
y m
Xét y
t 2 2t
,t 1
2t 1
Ta có: y '
2t 2 2t 2
0; t 1
(2t 1) 2
Bảng biến thiên:
x
1
t’
t
1
+
+
+
Từ bảng biến thiên suy ra giá trị cần tìm là m > 1.
Bài 4: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: 3x2 2 x 3 m( x 1) x2 1
Giải:
Phương trình ( x 1)2 2( x2 1) m( x 1) x2 1
x 1
x2 1
2.
m ( x = -1 không là nghiệm)
x 1
x2 1
x 1
, 1 t 2
Đặt t
x2 1
x 1
1 x
t
t'
x2 1
(1 x 2 )3
t ' 0 x 1
x 1
lim
1;
x
x2 1
nên ta có 1 t 2
x 1
lim
1;
x
x2 1
2
Khi đó phương trình t m, 1 t 2
t
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 3 -
Khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương
Phương trình chứa căn
Do đó để phương trình đã cho có nghiệm thì phương trình t
2
m có nghiệm 1 t 2, t 0
t
2
y t
Khi đó 2 đồ thị
t 1 t 2, t 0 phải cắt nhau
y m
2
Xét hàm: y t , 1 t 2, t 0
t
Ta có: y ' 1
t
2 t2 2
2 0, t 1; 2 , t 0
t2
t
-1
y’
y
2
0
-
+
-3
-
2 2
Từ bảng biến thiên suy ra giá trị cần tìm là: m 3 m 2 2
Bài 5 : Tìm m để phương trình sau có nghiệm:
6 x 2 (4 x)(2 x 2) m 4
4 x 2x 2
Giải:
Các em làm tương tự bài 1.
Điều kiện: 1 x 4
Đặt
4 x 2x 2 t
Giáo viên: Lê Bá Trần Phƣơng
Nguồn:
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
Hocmai.vn
- Trang | 4 -
