Chuyên đề 05 tích phân kit1
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (12.29 MB, 109 trang )
Khóa học LTðH môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương
Tích phân
LÝ THUYẾT CHUNG TÍNH TÍCH PHÂN
TÀI LIỆU BÀI GIẢNG
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG
A. CÁC CÔNG THỨC TÍNH ðẠO HÀM
1. (C ) ' = 0
2. ( x) ' = 1
3. (Cx) ' = C
4. ( xα ) ' = α xα −1
(uα ) ' = α u α −1
'
1
1
5. = − 2
x
x
'
u'
1
=− 2
u
u
( x) = 21x
'
6.
( u ) = 2u 'u
'
7. ( sin x ) = cos x
'
( sin u )
'
= u '.cos u
8. ( cos x ) = − sin x
'
( cos u )
'
= −u '.sin u
1
cos 2 x
u'
'
( tan u ) = 2
cos u
9. ( tan x ) =
'
1
sin 2 x
u'
'
( cot u ) = − 2
sin u
10. ( cot x ) = −
'
11. ( a x ) = a x ln a
'
( a ) = u '.a ln a
12. ( e ) = e
( e ) = u '.e
u '
u
x '
u '
x
u
13. ( log a x ) = ( log a x ) =
'
'
1
x ln a
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 1 -
Khóa học LTðH môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương
Tích phân
u'
u.ln a
'
1
'
14. ( ln x ) = ( ln x ) =
x
'
u'
'
( ln u ) = ( ln u ) =
u
( log a u ) = ( log a u )
'
'
=
15. [ f1 ( x) ± f 2 ( x) ± .... ± f n ( x) ] = f1' ( x) ± f 2' ( x) ± .... ± f n' ( x)
'
16. [u ( x).v( x) ] = u '( x).v( x) + v '( x).u ( x)
'
'
u ( x) u '( x).v( x) − v '( x).u ( x)
17.
=
v 2 ( x)
v( x)
Chú ý: Với u là hàm của x .
B. BẢNG TÍCH PHÂN CƠ BẢN
1. ∫ 0dx = C
2. ∫ dx = x + C
3.
α
∫ x dx =
α
∫ u du =
4.
∫
∫
xα +1
+ C ; α ≠ −1
α +1
u α +1
+ C ; α ≠ −1
α +1
dx
= ln x + C
x
du
= ln u + C
u
5. ∫ e x dx = e x + C
∫ e du = e
u
u
6. ∫ a x dx =
u
∫ a du =
+C
ax
+C
ln a
au
+C
ln a
7. ∫ cos xdx = sin x + C
∫ cos udu = sin u + C
8. ∫ sin xdx = − cos x + C
∫ sin udu = − cos u + C
9.
1
∫ cos x dx = tan x + C
2
1
∫ cos u du = tan u + C
2
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 2 -
Khóa học LTðH môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương
dx
∫ sin
10.
du
∫ sin
2
u
2
x
Tích phân
= − cot x + C
= − cot u + C
C. TÍCH PHÂN XÁC ðỊNH
b
I. Công thức:
b
∫ f ( x)dx = F ( x) a = F (b) − F (a)
a
Ví dụ:
π
1 3
− 1
2
3
∫ cos2 xdx = 2
π
4
ln 5
∫e
3x
dx =
ln 3
98
3
II. Tính chất:
b
a
a
b
+ ∫ f ( x)dx = − ∫ f ( x)dx
b
b
a
a
+ ∫ kf ( x)dx = k ∫ f ( x)dx
b
b
b
b
a
a
+ ∫ ( f1 ( x) + f 2 ( x) + . ... + f n ( x) ) dx = ∫ f1 ( x)dx + ∫ f 2 ( x) dx + ... + ∫ f n ( x) dx
a
a
+ Nếu α ∈ [ a; b ] thì
b
α
a
a
b
∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx + α∫ f ( x)dx
III. BA KỸ NĂNG CƠ BẢN KHI TÍNH TÍCH PHÂN.
a) Kỹ năng ñưa vào dấu vi phân.
Chú ý: d [ f ( x)] = f '( x)dx
dx = d ( x ± C )
Ví dụ:
1
+ d (ln 2 x + cos3x ) = 2 ln x. − 3sin 3 x dx
x
+ d ( e5 x − 3 x 2 + 2 ) = ( 5.e5 x − 6 x ) dx
1
+
+ 3 dx = d
2 x
1
+ dx = d ( ln x )
x
(
x + 3x
)
Giáo viên: Lê Bá Trần Phương
Nguồn:
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
Hocmai.vn
- Trang | 3 -
Khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)
Chuyên đề 05. Tích phân
BÀI 1. LÝ THUYẾT CHUNG TÍNH TÍCH PHÂN
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG
Các bài tập trong tài liệu này được biên soạn kèm theo bài giảng Bài 1. Lý thuyết chung tính tích phân thuộc khóa học
LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) tại website Hocmai.vn giúp các Bạn kiểm tra, củng cố lại các kiến
thức được giáo viên truyền đạt trong bài giảng Bài 1. Lý thuyết chung tính tích phân. Để sử dụng hiệu quả, Bạn cần học
trước Bài giảng sau đó làm đầy đủ các bài tập trong tài liệu này.
I1
I2
( x 1)( x 2)( x 3)( x 4)
dx
x x
7x 3
2 x 5 dx
I3
I4
3x 2 7 x 5
dx
x2
2 x3 5 x 2 7 x 10
dx
x 1
4 x 2 9 x 10
dx
2x 1
x
I6
dx
x x2 1
dx
I7
( x 2)( x 5)
I5
ln 2
I8
0
1
I9
1 e
0
e
I10
1
1 ex
dx
1 ex
x 2
1 e
dx
2x
1 ln x
dx
x
Giáo viên : Lê Bá Trần Phƣơng
Nguồn
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
:
Hocmai.vn
- Trang | 1 -
Khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)
Chuyên đề 05. Tích phân
BÀI 1. LÝ THUYẾT CHUNG TÍNH TÍCH PHÂN
ĐÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG
Các bài tập trong tài liệu này được biên soạn kèm theo bài giảng Bài 1. Lý thuyết chung tính tích phân thuộc khóa học
LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) tại website Hocmai.vn giúp các Bạn kiểm tra, củng cố lại các kiến
thức được giáo viên truyền đạt trong bài giảng Bài 1. Lý thuyết chung tính tích phân. Để sử dụng hiệu quả, Bạn cần học
trước Bài giảng sau đó làm đầy đủ các bài tập trong tài liệu này.
( x 1)( x 2)( x 3)( x 4)
dx
x x
Giải:
I1
( x 1)( x 2)( x 3)( x 4)
x 4 10 x 3 35 x 2 50 x 24
dx
dx
3
x x
2
x
5
3
1
1
3
7
5
1
1
2
2 2
70 32
2
2
2
2
2
2
x 10 x 35 x 50 x 24 x dx x 4 x x 100 x 48 x 2 C
7
3
I1
I2
7x 3
2 x 5 dx
Giải:
I2
7
7x 3
41
7
41
dx
dx x ln 2 x 5 C
2x 5
2
4
2 2(2 x 5)
3x 2 7 x 5
dx
x2
Giải:
I3
I3
3x 2 7 x 5
3
3 2
dx 3x 1
dx x x 3ln x 2 C
x2
x2
2
2 x3 5 x 2 7 x 10
I4
dx
x 1
Giải:
2 x 3 5 x 2 7 x 10
6
2 3 3 2
I4
dx 2 x 2 3x 4
dx x x 4 x 6 ln x 1 C
x 1
x 1
3
2
4 x 2 9 x 10
dx
2x 1
Giải:
I5
I5
4 x 2 9 x 10
7
13
7
13
dx 2 x
dx x 2 x ln 2 x 1 C
2x 1
2 2(2 x 1)
2
4
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 1 -
Khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)
x
I6
x x2 1
Chuyên đề 05. Tích phân
dx
Giải:
x
I6
x x 1
2
x 2 dx ( x 2 1)d x 2 1
I7
dx x x x2 1 dx x2 dx x x 2 1 dx
3
1 3 1 2
x x 1 2 C
3
3
dx
( x 2)( x 5)
Giải:
I7
dx
1 1
1
1 x2
C
dx ln
( x 2)( x 5) 7 x 2 x 5
7 x5
ln 2
I8
0
1 ex
dx
1 ex
Giải:
ln 2
I8
0
1
I9
1 ex
dx
1 ex
1 e
x 2
1 e
0
ln 2
0
ln 2
d 1 e
2e x
dx
1
x
0 1 e x
1 e
x
ln 2 2 ln 1 e ln 2 ln18
0
x
dx
2x
Giải:
1
I9
1 e
0
e
I10
1
x 2
dx
1 e2 x
1
1
1
2e x
de x
1
dx
dx
2
1 2acr tan e x 1 2acr tan e
2x
2x
0
1 e
1 e
2
0
0
0
1
1 ln x
dx
x
Giải:
e
I10
1
e
1
3
e 2
1 ln x
2
dx (1 ln x) 2 d (1 ln x) (1 ln x) 2 2 2 1
1 3
x
3
1
Giáo viên : Lê Bá Trần Phƣơng
Nguồn
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
:
Hocmai.vn
- Trang | 2 -
Khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)
Chuyên đề 05. Tích phân
BÀI 2. CÁC KỸ NĂNG CƠ BẢN TÍNH TÍCH PHÂN (PHẦN 1)
TÀI LIỆU BÀI GIẢNG
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG
Đây là tài liệu tóm lược các kiến thức đi kèm với bài giảng Bài 2. Các kỹ năng cơ bản tính tích phân (Phần 1)
thuộc khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) tại website Hocmai.vn. Để có thể nắm
vững kiến thức phần Bài 2. Các kỹ năng cơ bản tính tích phân (Phần 1). Bạn cần kết hợp xem tài liệu cùng với
bài giảng này.
1 2 sin 2 x
dx
1
sin
2
x
0
4
Ví dụ 1. ĐHKB 2003: Tính tích phân I
4
Ví dụ 2:Tính tích phân I
dx
sin x( 3 cot x)
2
6
e
Ví dụ 3:Tính tích phân I
1
x 2 ln x x 2 ln 2 x
dx
x(ln 2 x 1)
ln(ex)dx
3 x ln x
2
2
Ví dụ 4:Tính tích phân I
( x 3)5
0 ( x 7)7 dx
1
Ví dụ 5:Tính tích phân
6
Ví dụ 6:Tính tích phân
s in6 x cos6 x
1
sin x cos x
12
2
4
dx
4
4
Ví dụ 7:Tính tích phân
dx
cos x
4
0
Giáo viên: Lê Bá Trần Phƣơng
Nguồn:
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
Hocmai.vn
- Trang | 1 -
Khóa học LTĐH môn Toán - Thầy Lê Bá Trần Phương
Tích phân
CÁC KỸ NĂNG CƠ BẢN TÍNH TÍCH PHÂN (Phần 1)
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG
Bài 1. Tính tích phân:
4 sin 3 x
0 1 cos x dx
2
1
Bài 2. Tính tích phân:
e2 x
ex 1
0
Bài 3. Tính tích phân:
dx
4
(tan x e
sin x
cos x)dx
0
Bài 4. Tính tích phân:
2
0
ln 3
Bài 5. Tính tích phân:
4sin 3 x
dx
1 cos x
e
0
dx
2
x
Bài 6. Tính tích phân: I cos3 x 1 cos 2 x.dx
2
0
Giáo viên: Lê Bá Trần Phƣơng
Nguồn:
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
Hocmai.vn
- Trang | 1 -
Khóa học LTĐH môn Toán - Thầy Lê Bá Trần Phương
Tích phân
CÁC KỸ NĂNG CƠ BẢN TÍNH TÍCH PHÂN (Phần 1)
HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG
Bài 1. Tính tích phân:
4 sin 3 x
0 1 cos x dx
2
Hƣớng dẫn giải:
2
2
2
4sin 3 x
4sin 2 x
cos 2 x
dx
d
cos
x
4
1
cos
x
d
cos
x
4
cos
x
2
0 1 cos x
0 1 cos x
0
2 0
2
1
Bài 2. Tính tích phân:
e2 x
ex 1
0
dx
Hƣớng dẫn giải:
1
1
e2 x
ex 1
0
ex
dx
ex 1
0
d e
1
x
0
ex 1
x
d e 1
x
e 1
1
1
2
2
e x 1 2 e x 1
e 1 e 2
3
0 3
3
2
1
2
Bài 3. Tính tích phân:
4
(tan x e
sin x
cos x)dx
0
Hƣớng dẫn giải:
4
(tan x esin x cos x)dx
0
4
0
ln cos x 0 4
sin x
dx
cos x
d e ln
4
sin x
0
Bài 4. Tính tích phân:
2
0
4
e
sin x
cos xdx
0
2 sin x 4 ln 2
e
e
0
2
2
2
2
1
4sin 3 x
dx
1 cos x
Hƣớng dẫn giải:
I 2
0
4sin 3 x
dx
1 cos x
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 1 -
Khóa học LTĐH môn Toán - Thầy Lê Bá Trần Phương
Tích phân
4sin 3 x 4sin 3 x(1 cos x)
4sin x 4sin x cos x 4sin x 2sin 2 x
1 cos x
sin 2 x
I
2
0
4sin x 2sin 2 x dx cos 2 x 4 cos x
ln 3
e
Bài 5. Tính tích phân:
0
2 2
0
dx
2
x
Hƣớng dẫn giải:
ln 3
0
dx
x
e 2
ln 3
0
d ex
1
x
x
e e 2 2
ln 3
0
ln3
1
1
ex
1 3
1 1 6
1
x
d
e
ln
ln ln ln
x
x
x
2 e 2 0
2 5
2 2 5
e e 2
Bài 6. Tính tích phân: I cos3 x 1 cos 2 x.dx
2
0
Hƣớng dẫn giải:
2
I=
2
cos x.dx cos x.dx
5
2
0
0
1
1
12
Ta có: I2 = cos x.dx (1 cos2x).dx = x sin 2 x 2
2
2
20
0 4
0
2
2
1 5
2sin 3 x
8
Mặt khác xét I1 = cos x.dx cos x.cosx.dx = (1 sin x) d (sin x) sin x
sin x 2
3
5
0 15
0
0
0
2
5
Vậy I = I1 – I2 =
2
2
4
2
2
8
15 4
Giáo viên: Lê Bá Trần Phƣơng
Nguồn:
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
Hocmai.vn
- Trang | 2 -
Khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)
Chuyên đề 05. Tích phân
BÀI 3. CÁC KỸ NĂNG CƠ BẢN TÍNH TÍCH PHÂN (PHẦN 2)
TÀI LIỆU BÀI GIẢNG
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG
Đây là tài liệu tóm lược các kiến thức đi kèm với bài giảng Bài 3. Các kỹ năng cơ bản tính tích phân (Phần 2)
thuộc khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) tại website Hocmai.vn. Để có thể nắm
vững kiến thức phần Bài 3. Các kỹ năng cơ bản tính tích phân (Phần 2). Bạn cần kết hợp xem tài liệu cùng với
bài giảng này.
3
Ví dụ 8. Tính tích phân I tan3 xdx
0
2
Ví dụ 9. ĐHKD 2005: Tính tích phân I (esinx cos x) cos xdx
0
2
Ví dụ 10. ĐHKA 2009: Tính tích phân I (cos3 x 1)cos2 xdx
0
x ln x x ln 2 x
Ví dụ 11. Tính tích phân I
dx
x(ln 2 x 1)
1
e
2
2
x 2 ex 2 x 2 ex dx
Ví dụ 12. ĐHKA 2010 Tính tích phân I
1 2.ex
0
1
4
Ví dụ 13. ĐHKA 2011:Tính tích phân
0
e 5
Ví dụ 14.Tính tích phân
1
x sin x ( x 1) cos x
dx
x sin x cos x
2 ln 2 x
ln xdx
x
Ví dụ 15.Tính tích phân
a) ĐHKA 2005
sin 2 xdx
2
I
0
cos2 x 4 sin 2 x
ln 3
b) I
e x dx
0 3
e 1
x
2
2
c) I
0
s inx cos x
3
s inx cos x
dx
Giáo viên: Lê Bá Trần Phƣơng
Nguồn:
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
Hocmai.vn
- Trang | 1 -
Khóa học LTĐH môn Toán - Thầy Lê Bá Trần Phương
Tích phân
CÁC KỸ NĂNG CƠ BẢN TÍNH TÍCH PHÂN (Phần 2)
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG
1
Bài 1. Tính tích phân: I x5 1 x3 dx
6
0
7x 199
Bài 2. Tính tích phân: I =
dx
101
0 2x +1
1
1 x2
Bài 3. Tính tích phân: I
dx.
x x3
1
2
e
log32 x
Bài 4. Tính tích phân: I
x 1 3ln 2 x
1
dx
3
dx
e 1
1
Bài 5. Tính tích phân: I
x
ln x 3 2 ln 2 x
dx
x
1
e
Bài 6. Tính tích phân: I
2
sin 2 x
2 sin x
Bài 7. Tính tích phân: I
2
dx
0
Bài 8. Tính tích phân: I
4
cos 2 x
sin x cos x 2
2
dx
0
Giáo viên: Lê Bá Trần Phƣơng
Nguồn:
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
Hocmai.vn
- Trang | 1 -
Khóa học LTĐH môn Toán - Thầy Lê Bá Trần Phương
Tích phân
CÁC KỸ NĂNG CƠ BẢN TÍNH TÍCH PHÂN (Phần 2)
HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG
1
Bài 1. Tính tích phân: I x5 1 x3 dx
6
0
Hướng dẫn giải:
1
1
dt
1 6
1 6 7
1 t 7 t8 1
1
t 1 x dt 3x dx dx 2 I t 1 t dt t t dt
3x
30
30
3 7 8 0 168
3
2
7x 199
dx
101
0 2x +1
1
Bài 2. Tính tích phân: I =
Hướng dẫn giải:
dx
1 7 x 1
7 x 1
7 x 1 1 1 7 x 1
I
d
2
2 x 1 2 x 1
9 0 2x 1
2 x 1 9 100 2 x 1
0
99
1
99
1
100
1
0
1
2100 1
900
1 x2
Bài 3. Tính tích phân: I
dx.
x x3
1
2
Hướng dẫn giải:
1 x
dx. =
x x3
1
2
Cách 1. I
2
2
1
1
1
1
2 d (x )
2
x
x = ln( x 1 ) 2 ln 2 ln 5 ln 4
dx =
1
1
x 1
2
5
1
x
x
x
x
2
2 dx
2 d ( x 1)
1 x2
2x
4
1
Cách 2. I
dx. = 2 dx=
.. ln .
3
2
1
1
x x
x x 1
x
x 1
5
1
1
2
2
e
Bài 4. Tính tích phân: I
1
log32 x
x 1 3ln 2 x
dx
Hướng dẫn giải:
3
ln x
e
e
e
3
log 2 x
1
ln 2 x.
ln xdx
ln 2
I
dx
dx 3
.
2
2
2
ln 2 1 1 3ln x x
1 x 1 3ln x
1 x 1 3ln x
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 1 -
Khóa học LTĐH môn Toán - Thầy Lê Bá Trần Phương
Tích phân
1
dx 1
Đặt 1 3ln 2 x t ln 2 x (t 2 1) ln x. tdt .
3
x 3
1 2
2
2
t 1 1
1
1
dx 3 3
. tdt
Suy ra I
t 2 1 dt
3
2
ln
2
t
3
9
ln
2
1 x 1 3ln x
1
1
e
log 32 x
2
1 1 3
4
t t
3
3
9 ln 2 3
1 27 ln 2
3
dx
e 1
1
Bài 5. Tính tích phân: I
x
Hướng dẫn giải:
3
1 ex ex
ex
I
dx
dx
dx 2 ln e x 1
x
x
1
e 1
e 1
1
1
1
3
3
3
2 ln(e3 1) ln(e 1) 2 ln(e2 e 1)
ln x 3 2 ln 2 x
dx
x
1
e
Bài 6. Tính tích phân: I
Hướng dẫn giải:
1
ln x 3 2 ln 2 x
1
dx ln x 3 2 ln 2 xd ln x 2 ln 2 x 3 d 2 ln 2 x
x
21
1
1
e
e
I
1 3
.
2
3
2 ln x
2
4
e
e
3
3 34 3 24
8
4
1
Bài 7. Tính tích phân: I
2
sin 2 x
2 sin x
2
dx
0
Hướng dẫn giải:
I
2
sin 2 x
2 sin x
2
dx 2
0
1
2
0
0
sin x
2 sin x
2
d sin x
t 2 2 dt
2
0 2 t
1
t
2 t
2
2
dt 2
2
2
2 ln 2 t
2 ln 2 1
2t 0
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 2 -
Khóa học LTĐH môn Toán - Thầy Lê Bá Trần Phương
4
cos 2 x
sin x cos x 2
Bài 8. Tính tích phân: I
Tích phân
2
dx
0
Hướng dẫn giải:
I
4
cos 2 x
sin x cos x 2
2
dx
0
4
0
sin x cos x cos x sin x dx
2
sin x cos x 2
Đặt t sin x cos x 2 dt cos x sin x , khi x 0 t 3; x t 2 2
4
2 2
Do đó: I
3
t 2
dt
t2
2 2
3
2 2
2
1 2
2 dt ln t
t 3
t t
ln
2 2
5
2
3
3
Giáo viên: Lê Bá Trần Phƣơng
Nguồn:
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
Hocmai.vn
- Trang | 3 -
Khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)
Chuyển đề 05. Tích phân
BÀI 4. CÁC KỸ NĂNG CƠ BẢN TÍNH TÍCH PHÂN (PHẦN 3)
TÀI LIỆU BÀI GIẢNG
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG
Đây là tài liệu tóm lược các kiến thức đi kèm với bài giảng Bài 4. Các kỹ năng cơ bản tính tích phân (Phần 3)
thuộc khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) tại website Hocmai.vn. Để có thể nắm
vững kiến thức phần Bài 4. Các kỹ năng cơ bản tính tích phân (Phần 3). Bạn cần kết hợp xem tài liệu cùng với
bài giảng này.
2
Ví dụ 16. Tính tích phân I
s inx cos x
1 sin 2 x
dx
4
4 3
Ví dụ 17. Tính tích phân I
sin3 x s inx.cot x
dx
sin3 x
3
4
1
dx
(s inx cos x) cos x
0
Ví dụ 18. Tính tích phân I
4
dx
2
0 (s inx 2 cos x )
Ví dụ 19. Tính tích phân I
3
Ví dụ 20. Tính tích phân I
0
dx
cos x.cos x
4
3
Ví dụ 21. Tính tích phân
dx
3 5 sin x 3 cos x
0
2
Ví dụ 22. Tính tích phân
dx
s inx
3
Giáo viên: Lê Bá Trần Phƣơng
Nguồn:
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
Hocmai.vn
- Trang | 1 -
Khóa học LTĐH môn Toán - Thầy Lê Bá Trần Phương
Tích phân
CÁC KỸ NĂNG CƠ BẢN TÍNH TÍCH PHÂN (Phần 3)
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG
Bài 1. Tính tích phân: I
3
1
cos x.sin
3
x
dx
4
Bài 2. Tính tích phân: I
sin
2
3
x cos3 x dx
0
Bài 3. Tính tích phân:
2
sin 2 x
3 4sin x cos 2 x dx
0
Bài 4. Tính tích phân: I 2
0
s inxdx
1 3cos x
dx
0 1 ex
Bài 5. Tính tích phân: I
1
Bài 6. Tính tích phân: I 2
0
sin 2 xdx
cosx+1
Giáo viên: Lê Bá Trần Phƣơng
Nguồn:
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
Hocmai.vn
- Trang | 1 -
Khóa học LTĐH môn Toán - Thầy Lê Bá Trần Phương
Tích phân
CÁC KỸ NĂNG CƠ BẢN TÍNH TÍCH PHÂN (Phần 3)
HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG
Bài 1. Tính tích phân: I
3
1
cos x.sin
3
x
dx
4
Hướng dẫn giải:
I
4
3
4
2
2
3
3
d sin x
1
cos x
dx
dx
3
2
3
2
3
cos x.sin x
cos x.sin x
1 sin x sin x
3
2
3
dt
1 t 2 t 3
t
1 1
dt
3
2
t t 1 t
2
2
4
2
3
1 1
ln t 2 ln 1 t 2
2t
2
Bài 2. Tính tích phân: I
2
2
1
1
ln 3
2
3
2
sin
x cos3 x dx
2
3
0
Hướng dẫn giải: I
sin
2
3
x cos x dx
3
0
2
sin xd cos x
2
0
2
cos
2
2
2
sin xdx
cos
0
0
3
3
xdx
xd sin x
0
2
2
cos3 x
sin 3 x
4
cos x
sin x
3 0
3 0
3
Bài 3. Tính tích phân:
2
sin 2 x
3 4sin x cos 2 x dx
0
Hướng dẫn giải:
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 1 -
Khóa học LTĐH môn Toán - Thầy Lê Bá Trần Phương
2
0
Tích phân
2
sin xd sin x
sin 2 x
dx 2
dx
3 4sin x cos 2 x
2 4sin x 2sin 2 x
0
1
1
1 2 ln 2 1
2
dx ln t 1
ln 2
2
t 1 0
2
2
0 2 t 1
1
tdt
Bài 4. Tính tích phân: I 2
0
s inxdx
1 3cos x
Hướng dẫn giải:
t 1 3cos x dt 3sin xdx dx
Bài 5. Tính tích phân: I
1
0
ln t 1
dt
1 41
I dt
ln 4
3sin x
3 1 t
3
3
dx
1 ex
Hướng dẫn giải:
x
1
1 d 1 e
1
1
ex
2e
1
I dx
1 ln 1 e x 1 ln(1 e) ln 2 ln
x
x
x
0
0
0
1 e
1 e
1 e
e 1
Bài 6. Tính tích phân: I 2
0
sin 2 xdx
cosx+1
Hướng dẫn giải:
I 2
2
0
sin x cos xdx
sin x(cosx+1) s inx
sin xdx
2
2
2
dx 2 s inxdx - 2 2
0
0
0
cosx+1
cosx+1
cosx+1
2
0
0
2 cos x 2 2
2
d (cosx 1)
2 2 ln(1 cosx) = 2 – 2ln2
0
cosx+1
Giáo viên: Lê Bá Trần Phƣơng
Nguồn:
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
Hocmai.vn
- Trang | 2 -
Khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)
Chuyên đề 05. Tích phân
BÀI 5. CÁC KỸ NĂNG CƠ BẢN TÍNH TÍCH PHÂN (PHẦN 4)
TÀI LIỆU BÀI GIẢNG
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG
Đây là tài liệu tóm lược các kiến thức đi kèm với bài giảng Bài 5. Các kỹ năng cơ bản tính tích phân (Phần 4)
thuộc khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) tại website Hocmai.vn. Để có thể nắm
vững kiến thức phần Bài 5. Các kỹ năng cơ bản tính tích phân (Phần 4). Bạn cần kết hợp xem tài liệu cùng với
bài giảng này.
Kỹ năng thêm bớt:
cos x
dx
1 cos x
0
3
Ví dụ 1. Tính tích phân I
3
dx
1 e 1
Ví dụ 2. ĐHKD 2009 Tính tích phân I
ln 2
Ví dụ 3. Tính tích phân I
0
1
Ví dụ 4. Tính tích phân
x
1 ex
dx
1 ex
dx
( x 1)
5
0
Ví dụ 5. Tính tích phân
2
a) I
1
2
b) I
1
2
c) I
1
dx
x ( x 1)
2
dx
x( x 5 1)
dx
x x5
3
5 sin x 4 cos x
dx
s inx cos x
0
2
Ví dụ 6. Tính tích phân I
Giáo viên: Lê Bá Trần Phƣơng
Nguồn:
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
Hocmai.vn
- Trang | 1 -
Khóa học LTĐH môn Toán - Thầy Lê Bá Trần Phương
Tích phân
CÁC KỸ NĂNG CƠ BẢN TÍNH TÍCH PHÂN (Phần 4)
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG
dx
x 2 x + 5
3
Bài 1. Tính tích phân: I
1
Bài 2. Tính nguyên hàm:
dx
x 5 x + 2 x + 4
dx
x 3x
2
Bài 3. Tính tích phân: I
3
1
2
Bài 4. Tính tích phân: I = 1
2
4
1
dx
x x3 1
Bài 5. Tính tích phân: I
2
Bài 6. Tính tích phân: I
1
0
dx
2 +5
x
Bài 7. Tính tích phân: I 6
0
Bài 8. Tính tích phân:
2
0
x2 1
dx
x 4 +1
cos5 x
dx
1 sin x
sin x 3cosx
dx
sin x cos x
Giáo viên: Lê Bá Trần Phương
Nguồn:
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
Hocmai.vn
- Trang | 1 -
Khóa học LTĐH môn Toán - Thầy Lê Bá Trần Phương
Tích phân
CÁC KỸ NĂNG CƠ BẢN TÍNH TÍCH PHÂN (Phần 4)
HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG
3
Bài 1. Tính tích phân: I
1
dx
x 2 x +5
Hướng dẫn giải:
1
7
dx
x 2 x +5
Ta có:
x 5
x 2
dx
x 2 x 5
1
7
1
1
x 5
x 5
dx
1 x 2
ln
c
7 x 5
1 3
ln
7 4
Do đó: I
dx
x 5 x+2 x+4
Bài 2. Tính nguyên hàm:
Hướng dẫn giải:
Ta có:
dx
1
x 4
x
x 5 x+2 x+4
9 x 5 x 2
1
1
1
dx
9
x 5 x 2
x 2 x 4
1
63
1
1
x 5
x 2
dx
Bài 3. Tính tích phân: I
1
18
1
x
2
1
5
dx
x 4
1 x 2
x 5
dx
63
x 5 x 2
1
4 x
2
dx
1
x
ln
63 x
5
2
1
3
xdx
x2 3
dx
x
1
18
1 x
ln
18 x
x
4
x 2
dx
x 2 x 4
4
c
2
dx
x 3x
3
Hướng dẫn giải:
Ta có:
dx
3
x 3x
1 1 d x2 3
3 2
x2 3
Do đó: I
1 x2 x2 3
dx
3 x x2 3
dx
x x2 3
dx
x
1 1
ln x 2 3 ln x
3 2
c
1 x2 3
ln
6
x2
c
1
ln 8
6
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 1 -
Khóa học LTĐH môn Toán - Thầy Lê Bá Trần Phương
2
Bài 4. Tính tích phân: I =
1
2
Tích phân
x2 1
dx
x 4 +1
Hướng dẫn giải:
1
2
x 1
dx
x 4 +1
Ta có:
Do đó: I
x2
1
x 2 dx
1
x2
d x 1
x
2
x 1
2
x
x 1
x
ln
2 2
x 1
x
1
2
2
c
2
0
4
1
dx
x x3 1
Bài 5. Tính tích phân: I
2
Hướng dẫn giải:
4
I
2
x3 1
x x
3
x3
1
3
4
dx 1 d x 1
x 3 2 x3 1
2
4
dx
Bài 6. Tính tích phân: I
1
0
1
ln x
ln x 3 1
3
4
ln 2
2
1 65
ln
3 9
dx
2 +5
x
Hướng dẫn giải:
Ta có:
1
d 2x
ln 2 2 x 2 x 5
dx
x
2 +5
Do đó: I
1
[(2x 5) 2x ]d 2x
5 ln 2
2x 2x 5
1
5 ln 2
1
2x
1
2x
5
d 2x
1
2x
ln x
c
5 ln 2 2 5
1
12
ln
5ln 2 7
Bài 7. Tính tích phân: I
6
0
cos5 x
dx
1 sin x
Hướng dẫn giải:
Ta có:
cos5 x
dx
1 sin x
1 sin 2 x d sin x
Do đó: I
cos3 x 1 sin x dx
cos3 xd cos x
1 sin2 x cos x
sin x
sin 3 x
3
cos3 x sinx dx
cos 4 x
4
109
192
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 2 -
Khóa học LTĐH môn Toán - Thầy Lê Bá Trần Phương
Bài 8. Tính tích phân:
2
0
Tích phân
sin x 3 cosx
dx
sin x cosx
Hướng dẫn giải:
2
0
sin x 3cos x
dx
sin x cos x
2
0
2(sin x cos x) (sin x cos x)
dx
sin x cos x
2
0
2dx
2
0
sin x c os x
dx
sin x cos x
ln | sin x cos x |0 2
Giáo viên: Lê Bá Trần Phƣơng
Nguồn:
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
Hocmai.vn
- Trang | 3 -
Khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)
Chuyên đề 05. Tích phân
BÀI 6. CÁC KỸ NĂNG CƠ BẢN TÍNH TÍCH PHÂN (PHẦN 5)
TÀI LIỆU BÀI GIẢNG
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG
Đây là tài liệu tóm lược các kiến thức đi kèm với bài giảng Bài 6. Các kỹ năng cơ bản tính tích phân (Phần 5)
thuộc khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) tại website Hocmai.vn. Để có thể nắm
vững kiến thức phần Bài 6. Các kỹ năng cơ bản tính tích phân (Phần 5). Bạn cần kết hợp xem tài liệu cùng với
bài giảng này.
Kỹ năng tách:
3
1
dx
2
2 1 x
Ví dụ 1. Tính tích phân: I
x 2 .dx
2
0 4 x
1
Ví dụ 2. Tính tích phân: I
3
1
dx
x 7 x 10
Ví dụ 3. Tính tích phân: I
2
1
1
1
dx
0 2 x 5x 2
Ví dụ 4. Tính tích phân: I
2
cot x.dx
9
1 sin x
2
Ví dụ 5. Tính tích phân: I
6
ln 4
Ví dụ 6. Tính tích phân: I
Chú ý: Xét
ex
ln3 e2 x 4 dx
P n ( x)
Qm ( x) dx . Nếu bậc tử lớn hơn hoặc bằng bậc mẫu thì chia tử cho mẫu rồi tách thành
tổng các tích phân.
1
Ví dụ 1. Tính tích phân:
0
x 2 3x 10
x2 2 x 9
1
Ví dụ 2. Tính tích phân: I
0
2
3 x3
x2 2 x 1
Ví dụ 3. Tính tích phân: I
1
dx
dx
x ln( x 2 1) x3
x2 1
dx
Giáo viên: Lê Bá Trần Phƣơng
Nguồn:
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
Hocmai.vn
- Trang | 1 -
