Đề tài Các dạng phương trình lượng giác

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
-----------------------

NGÔ THỊ THÚY

ĐỀ TÀI
CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp
Mã số: 60.46.01.13

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS. Lê Đình Định

HÀ NỘI - 2015


Mở đầu
Lượng giác là chuyên đề quan trọng trong chương trình toán phổ thông. Các bài
toán lượng giác thường xuyên xuất hiện trong các đề thi tuyển sinh vào Đại học,
Cao đẳng.
Việc giảng dạy lượng giác đã được đưa vào chương trình từ lớp 10 bậc trung học
phổ thông, trong đó phần kiến thức về phương trình lượng giác chiếm vai trò trọng
tâm. Tuy nhiên, do thời gian hạn hẹp của chương trình phổ thông, không nêu được
đầy đủ chi tiết tất cả các dạng bài toán về phương trình lượng giác. Vì vậy học sinh
thường gặp nhiều khó khăn khi giải các bài toán nâng cao về phương trình lượng
giác trong các đề thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng. Mặc dù đã có nhiều tài liệu
tham khảo về lượng giác với các nội dung khác nhau, nhưng chưa có chuyên đề
riêng khảo sát về phương trình lượng giác một cách hệ thống.

Đặc biệt, nhiều dạng toán về đại số và lượng giác có quan hệ chặt chẽ, khăng khít
với nhau , không thể tách rời được. Nhiều bài toán lượng giác cần có sự trợ giúp
của đại số, giải tích và ngược lại, ta có thể dùng lượng giác để giải một số bài toán
về phương trình, bất phương trình và hệ phương trình trong đại số thông qua cách
đặt ẩn phụ là những hàm lượng giác.
Do đó, để đáp ứng nhu cầu về giảng dạy, học tập và góp phần nhỏ bé vào sự
nghiệp giáo dục, luận văn “ Các dạng phương trình lượng giác” nhằm hệ thống
các kiến thức cơ bản về phương trình lượng giác, đồng thời kết hợp với các kiến
thức đại số, giải tích để tổng hợp, chọn lọc và phân loại các phương pháp giải
phương trình và xây dựng một số lớp bài toán mới.
Luận văn được chia làm 2 chương.
Chương I. Các dạng phương trình lượng giác
- Hệ thống lại các dạng phương trình lượng giác cơ bản.
- Đưa ra một số mẹo để giải phương trình lượng giác.
- Đưa ra cách giải một số phương trình lượng giác không mẫu mực.
Chương II. Ứng dụng
- Trình bày một số ứng dụng của lượng giác trong một số dạng toán đại số.
- Nêu các ví dụ minh họa đối với từng dạng toán.
- Nêu một số bài tập ứng dụng.
Luận văn được hoàn thành với sự hướng dẫn và chỉ bảo tận tình của TS. Lê Đình Định,
Trường Đại học Khoa học Tự nhiên - ĐHQGHN. Từ đáy lòng mình, tôi xin được bày
1


tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với sự quan tâm, động viên và sự chỉ bảo hướng dẫn nhiệt
tình, chu đáo của thầy trong suốt thời gian tôi thực hiện luận văn này.
Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành của mình đến quý Thầy Cô giáo trong khoa
Toán – Cơ – Tin, phòng Sau Đào Tạo Trường Đại Học Khoa học Tự Nhiên – ĐHQGHN,
đặc biệt là những Thầy Cô giáo đã từng giảng dạy ở lớp PPTSC, khóa học 2013 – 2015.
Cảm ơn Thầy Cô đã truyền cho tôi kiến thức và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học

tập tại khoa. Đồng thời, tôi xin gửi lời cảm ơn tới tập thể lớp Cao Học Toán PPTSC,
khóa học 2013 - 2015 đã động viên, giúp tôi có cơ hội thảo luận và trình bày về một
số vấn đề trong luận văn của mình.
Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn đến những người thân trong gia đình và bạn bè đã
luôn ủng hộ và nhiệt tình giúp đỡ tôi trong thời gian vừa qua.
Tuy nhiên, do sự hiểu biết của bản thân và khuôn khổ của luận văn thạc sĩ, nên chắc
rằng trong quá trình nghiên cứu không tránh khỏi những thiếu sót, tôi rất mong được
sự chỉ dạy và đóng góp ý kiến của Thầy Cô và độc giả quan tâm tới luận văn này.
Hà Nội, ngày 18 tháng 11 năm 2015
Học viên

Ngô Thị Thúy

2


Mục lục
1 CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
1.1 Các phương trình lượng giác cơ bản . . . . . . . . .
1.1.1 Dạng phương trình . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2 Cách giải và biện luận . . . . . . . . . . . .
1.1.3 Các công thức lượng giác . . . . . . . . . . .
1.1.4 Các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.5 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Phương trình hạ bậc bậc 2 . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Dạng phương trình . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 Cách giải và biện luận . . . . . . . . . . . .
1.2.3 Các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.4 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Phương trình bậc nhất dạng a cos x + b sin x = c . .

1.3.1 Dạng phương trình . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2 Cách giải và biện luận . . . . . . . . . . . .
1.3.3 Các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.4 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Phương trình bậc hai dạng a(f (x))2 + bf (x) + c = 0
1.4.1 Dạng phương trình . . . . . . . . . . . . . .
1.4.2 Cách giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.3 Các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.4 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5 Phương trình đẳng cấp theo sin x và cos x . . . . .
1.5.1 Dạng phương trình . . . . . . . . . . . . . .
1.5.2 Cách giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.3 Các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.4 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6 Phương trình đối xứng theo sin x và cos x . . . . . .
1.6.1 Cách giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6.2 Các kiến thức cần nhớ . . . . . . . . . . . .
1.6.3 Các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6.4 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7 Một số mẹo lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7.1 Đổi biến cos 2x = t hoặc sin 2x = t . . . . .
1.7.2 Đổi biến t = sin x ± cos x . . . . . . . . . . .
x
. . . . . . . . . . . . . .
1.7.3 Đổi biến t = tan
2
3

.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.

5
5
5
5
7
10
12
13
13
13
13
15
17
17
17
17
21
23
23
23
23
25
27
27
27
27

29
31
31
31
31
33
33
33
35
37


1.7.4

Bài tập

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
b
với ab > 0, trong đó f (x) là hàm
1.7.5 Đổi biến t = af (x) ±
f (x)
lượng giác hoặc biểu thức lượng giác . . . . . . . . . . . . . . .
1.7.6 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.8 Phương trình lượng giác bậc cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.8.1 Dạng phương trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.8.2 Cách giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.8.3 Các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.8.4 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.9 Phương trình tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.9.1 Dạng phương trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.9.2 Cách giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.9.3 Các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.9.4 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.10 Các dạng phương trình không chính tắc . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.10.1 Phương pháp ước lượng 2 vế . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.10.2 Biến đổi vế trái của phương trình f (x) = 0 về tổng các hạng tử
cùng dấu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.10.3 Dùng bất đẳng thức để giải phương trình lượng giác . . . . . . .
1.10.4 Dùng hàm số để giải phương trình lượng giác . . . . . . . . . .
2 ỨNG DỤNG
2.1 Ứng dụng lượng giác để chứng minh các đẳng thức, bất đẳng thức .
2.1.1 Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Ứng dụng lượng giác để giải phương trình đại số, bất phương trình đại
2.2.1 Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Ứng dụng lượng giác để giải hệ phương trình . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1 Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.2 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Ứng dụng lượng giác trong bài toán cực trị . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.1 Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.2 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5 Nhận dạng tam giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.1 Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.2 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6 Cực trị tam giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6.1 Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6.2 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39

40
43
44
44
44
44
47
49
49
49
49
52
53
53
56
57
61

65
. 65
. 65
. 72
số. 74
. 75
. 81
. 82
. 82
. 85
. 86

. 86
. 88
. 90
. 90
. 94
. 95
. 95
. 100

Kết luận

102

Tài liệu tham khảo

103

4


Chương 1
CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH
LƯỢNG GIÁC
1.1

Các phương trình lượng giác cơ bản

1.1.1

Dạng phương trình

Về nguyên tắc, nếu phương trình lượng giác giải được thì phải dẫn được một trong ba
dạng phương trình lượng giác cơ bản sau:
sin x = m; cos x = m; tan x = m.
1
Phương trình cot x = m ↔ tan x = (m = 0). Nhưng vì phương trình hay gặp nên ta
m
viết luôn nghiệm của nó để tiện sử dụng.

1.1.2

Cách giải và biện luận

1. Phương trình sin x = m
Nếu |m| > 1 thì phương trình vô nghiệm.
Nếu |m| ≤ 1 thì phương trình có nghiệm là:
x =
arcsin m + 2kπ
(k ∈ Z)
y = (π − arcsin m) + 2kπ
Hay gộp nghiệm ta được x = (−1)k arcsin m + kπ, k ∈ Z.
π π
mà sin α = m.
Trong đó arcsin m là cung α ∈ − ;
2 2
Đặc biệt:
• Nếu m = 0 thì x = kπ
π
• Nếu m = 1 thì x = + 2kπ
2

π
• Nếu m = −1 thì x = − + 2kπ
2

(k ∈ Z)

5


1
Ví dụ 1. Giải phương trình: sin 3x = .
2
Giải

1
π
Vì arcsin = nên ta có:
2
6


π
3x = + 2kπ
π
x =
6
sin 3x = sin ⇔ 
⇔

5π

6
3x =
+ 2kπ
x=
6


π
2kπ
+
18
3
5π 2kπ (k ∈ Z)
+
18
3

2. Phương trình cos x = m
• Nếu |m| > 1 thì phương trình vô nghiệm.
• Nếu |m| ≤ 1 thì phương trình có nghiệm là x = ± arccos m + 2kπ(k ∈ Z).
Trong đó arccos m là cung α ∈ [0; π] mà cos α = m.
Đặc biệt:
• Nếu m = 0 thì x =

π
+ kπ
2

• Nếu m = 1 thì x = 2kπ

(k ∈ Z)

• Nếu m = −1 thì x = π + 2kπ
√
Ví dụ 2. Giải phương trình: cos x =

2
.
2

Giải
π
cos π
π
2
Vì arccos
= nên ta có: cos x =
⇔ x = ± + 2kπ (k ∈ Z).
2
4
4
4
√

3. Phương trình tan x = m (cos x = 0)
π π
Phương trình có nghiệm x = arctan m + kπ. Trong đó arctan m là cung α ∈ (− ; )
2 2
mà tan α = m.
Ví dụ 3. Giải phương trình tan 5x =

√
3.

.
Giải
√
π
Vì arctan 3 = nên ta có:
3
π
π
π
kπ
tan 5x = tan ⇔ 5x = + kπ ⇔ x =
+
, (k ∈ Z).
3
3
15
5

6


4. Phương trình cot x = m (sin x = 0)
Phương trình có nghiệm x = arccot m + kπ. Trong đó arccot m là cung α ∈ (0; π) mà
cot α = m.
Ví dụ 4. Giải phương trình: cot 4x = 1.
Vì arccot 1 =

Giải

π
nên ta có:
4
cot 4x = cot

π
π
π
kπ
⇔ 4x = + kπ ⇔ x =
+
(k ∈ Z).
4
4
16
4

Chú ý:
• Nếu sin x = sin a thì nghiệm là x = a + k2π hoặc x = (π − a) + k2π (k ∈ Z)
• Nếu cos x = cos a thì nghiệm là x = ±a + k2π (k ∈ Z)
• Nếu tan x = tan a thì nghiệm là x = a + kπ (k ∈ Z)
• Nếu cot x = cot a thì nghiệm là x = a + kπ (k ∈ Z).
Ví dụ 5. Giải phương trình cos 2x = sin 3x.
Giải
Ta có:
π
cos 2x = cos( − 3x)

2

π
2x = − 3x + k2π
2
⇔
π
2x = 3x − + k2π
2
2π
π
⇔x=
+k
10
5
π
⇔ x = − 2kπ (k ∈ Z).
2

1.1.3

Các công thức lượng giác

Giải phương trình lượng giác là dùng các công thức lượng giác để biến đổi tương đương
phương trình về dạng các phương trình cơ bản.
Chú ý là trong lượng giác có 3 công thức cơ bản sau:
(1) sin2 x + cos2 x = 1∀x.
(2) sin(a ± b) = sin a cos b ± sin b cos a và cos(a ± b) = cos a cos b ± sin a sin b.
(3) tan x =

sin x
(cos x = 0).
cos x
7


Các công thức khác đều suy được từ 3 công thức trên. Chẳng hạn nên lưu ý các công
thức sau:
(4) Công thức góc nhân đôi.
Trong (2) cho a = b = x ta được:
sin 2x = 2 sin x cos x
cos 2x = cos2 x − sin2 x
Lại lưu ý (1) và (3) ta được:
cos 2x = 2 cos2 x − 1 = 1 − 2 sin2 x
sin 2x
2 sin x cos x
2 tan x
tan 2x =
=
− sin2 x =
2
cos 2x
cos x
1 − tan2 x
(chia cả tử số và mẫu số cho cos2 x).
(5) Công thức chia đôi.
x
ta được:
2
x

x
sin x = 2 sin cos
2
2
x
x
x
x
cos x = cos2 − sin2 = 2 cos2 − 1 = 1 − 2 sin2
2
2
2
2
x
2 tan
2 = 2t trong đó t = tan x .
tan x =
x
1 − t2
2
1 − tan2
2

Trong (4) thay x =

(6) Công thức hạ bậc.
Trong (4) giải cos2 x, sin2 x theo cos x ta được:
1 + cos 2x
2
1

−
cos
2x
sin2 x =
2

cos2 x =

(7) Công thức nhân ba.
Trong (2), cho a = 2x, b = x và dùng công thức (4) ta được:
sin 3x = −4 sin3 x + 3 sin x
cos 3x = 4 cos3 x − 3 cos x.
(8) Biến đổi tổng thành tích.

8


Trong (2) đặt a + b = x; a − b = y, khi đó a =

x+y
x−y
;b =
và ta được:
2
2

x+y
x−y
cos
2

2
x+y
x−y
sin x − sin y = 2 cos
sin
2
2
x−y
x+y
cos
cos x + cos y = 2 cos
2
2
x+y
x−y
cos x − cos y = −2 sin
sin
.
2
2
sin x + sin y = 2 sin

(9) Biến đổi tích thành tổng.
Từ công thức (2) suy ra được:
1
sin a sin b = [cos(a − b) − cos(a + b)]
2
1
sin a cos b = [sin(a − b) + sin(a + b)]
2

1
cos a cos b = [cos(a − b) + cos(a + b)].
2
(10) Từ công thức (2) có thể suy ra các công thức lệch pha sau:
π
− x) = cos x
2
π
cos( − x) = sin x
2
π
tan( − x) = cot x
2
π
cot( − x) = tan x
2
π
sin( + x) = cos x
2
π
cos( + x) = − sin x
2
π
tan( + x) = − cot x
2
π
cot( + x) = − tan x
2
sin(x + 2π) = sin x
cos(x + 2π) = cos x

tan(x + π) = tan x
cot(x + π) = cot x
sin[x + (2k + 1)π] = − sin x
cos[x + (2k + 1)π] = − cos x
tan[x + (2k + 1)π] = tan x
cot[x + (2k + 1)π] = cot x.
sin(

9


1.1.4

Các ví dụ

Ví dụ 6. Giải phương trình:
√
1
3
8 sin x =
+
(*)
cos x sin x
Điều kiện:

Giải
π
cos x = 0
⇔ sin 2x = 0 ⇔ 2x = lπ ⇔ x = l , l ∈ Z (**)
sin x = 0

2

Với điều kiện (**) thì:
⇔ 8 sin2 x cos x =

√

3 sin x + cos x
√
⇔ 4(1 − cos 2x) cos x = 3 sin x + cos x
√
⇔ 3 cos x − 4 cos 2x cos x − 3 sin x = 0
√
⇔ 3 cos x − 2(cos 3x + cos x) − 3 sin x = 0
√
⇔ cos x − 3 sin x = 2 cos 3x
√
3
1
sin x = cos 3x
⇔ cos x −
2
2
π
⇔ cos(x + ) = cos 3x
3
π
⇔ 3x = ±(x + ) + 2kπ
3
π

π
⇔ 3x = x + + 2kπ hoặc 3x = −x − + 2kπ
3
3
π
π
π
⇔ x = + kπ hoặc x = − + k (k ∈ Z)
6
2
2
Cả 2 nghiệm này đều thỏa mãn (**).
Kết luận: Vậy phương trình (*) có nghiệm là: x =

π
π
π
+ kπ và x = − + k (k ∈ Z).
6
12
2

Ví dụ 7. (Đề thi tuyển sinh ĐHKA-2012): Giải phương trình:
√

3 sin 2x + cos 2x = 2 cos x − 12.
Giải

Phương trình đã cho tương đương với:

10


√
2 3 sin x cos x + 2 cos2 x − 1 = 2 cos x − 1
√
⇔2 cos x( 3 sin x + cos x − 1) = 0
√
⇔ cos x = 0 hoặc 3 sin x + cos x − 1 = 0
√
3
1
1
⇔ cos x = 0 hoặc
sin x + cos x =
2
2
2
π
π
⇔ cos x = 0 hoặc cos x −
= cos
3
3
π
2π
⇔x = + kπ hoặc x =
+ 2kπ hoặc x = 2kπ (k ∈ Z).
2
3

Ví dụ 8. Giải phương trình:
√
3

3

cos x sin 3x + sin x sin 3x =

2
.
4

Giải
Theo công thức ta có:
cos 3x = 4 cos3 x − 3 cos x
cos 3x + 3 cos x
⇒ cos3 x =
4
Tương tự:
sin 3x = 3 sin x − 4 sin3 x
− sin 3x + 3 sin x
⇒ sin3 x =
4
Vậy phương trình đã cho có thể viết dưới dạng:
√
− sin 3x + 3 sin x
cos 3x + 3 cos x
2
cos 3x +
sin 3x =

4
4
4
√
1
3
2
⇔
cos2 3x − sin2 3x + (cos 3x cos x + sin 3x sin x) =
4
4
√4
2
1
3
⇔ cos 6x + cos 2x =
4
4
4
√
1
3
2
3
⇔
4 cos 2x − 3 cos 2x + cos 2x =
4
4
4
√

2
⇔ cos3 2x =
√4
2
⇔ cos 2x =
2
π
⇒ 2x = ± + 2kπ
4
π
⇒ x = ± + kπ (k ∈ Z).
8
11


1.1.5

Bài tập

Giải các phương trình sau:
Bài 1. (KB-2012)
2(cos x +

√
√
3 sin x) cos x = cos x − 3 sin x + 1.

Bài 2. (KA-2011)
1 + sin 2x + cos 2x √
= 2 sin x sin 2x.

1 + cot2 x
Bài 3. (KD-2011)
sin 2x + 2 cos x − sin x − 1
√
= 0.
tan x + 3
Bài 4.
√
1
3
8 cos x =
+
.
cos x sin x
Bài 5.
tan2 x =

1 − cos |x|
.
1 − sin |x|

tan2 x =

1 − cos3 x
.
1 − sin3 x

Bài 6.

Bài 7.

cos3 4x = cos 3x cos3 x + sin 3x sin3 x.
Bài 8. (KA-2010)
(1 + sin x + cos 2x) sin(x +
1 + tan x

π
)
4 = √1 cos x.
2

Sau đây là 1 số dạng phương trình cần lưu ý để thấy rõ cách biến đổi đưa về phương
trình cơ bản.

12


1.2
1.2.1

Phương trình hạ bậc bậc 2
Dạng phương trình
sin2 = a hoặc cos2 = a.

1.2.2

Cách giải và biện luận

Dùng công thức hạ bậc ta đưa về các dạng phương trình cơ bản:
1 − cos 2x
• sin2 x = a ⇔

= a ⇔ cos 2x = 1 − 2a.
2
1 + cos 2x
= a ⇔ cos 2x = 2a − 1.
• cos2 x = a ⇔
2

1.2.3

Các ví dụ

Ví dụ 9. Giải phương trình
√
2+ 3
sin x =
.
4
Giải
2

Ta có:

√
1 − cos 2x
2+ 3
sin x =
=
2√
4
3

⇔ cos 2x = −
2
5π
⇔ 2x = ±
+ k2π
6
5π
+ kπ (k ∈ Z).
⇔x=±
12
Ví dụ 10. Giải phương trình
2

| cos x| + sin 3x = 0.
Giải
Phương trình đã cho tương đương với | cos x| = − sin 3x ⇒ Điều kiện sin 3x ≤ 0.
Bình phương 2 vế ta được:
cos2 x = sin2 3x
1 + cos 2x
1 − cos 6x
⇔
=
2
2
⇔ cos 6x = − cos 2x
⇔ cos 6x = cos(2x + π)
⇔ 6x = ±(2x + π) + 2kπ
13

Nếu 6x = 2x + π + kπ thì ta được x =
sin

3π 3kπ
+
4
2

π
π
+ k (k ∈ Z) ta cần chọn k để sin 3x =
4
2

≤ 0.

Muốn vậy ta chọn k sao cho x biến thiên trên [0, 2π] mà sin 3x ≤ 0. Kết quả nhận được
ta cộng thêm 2nπ (một số nguyên chu kỳ).
π
3π
⇒ sin 3x = sin
> 0 (loại)
4
4
3π
π
Với k = 1, x =
⇒ sin 3x = sin > 0 (loại)
4
4

5π
π
Với k = 2, x =
⇒ sin 3x = sin(− ) < 0 (thích hợp)
4
2
7π
3π
Với k = 3, x =
⇒ sin 3x = sin(− ) < 0 (thích hợp)
4
4
Với k = 0, x =

Vậy trong trường hợp này phương trình có các nghiệm:
5π
7π
+ 2nπ và x =
+ 2nπ; (n ∈ Z).
4
4
π
π
Nếu 6x = −2x − π + 2kπ thì ta được: x = − + k (k ∈ Z). Tương tự trên ta cho
8
4
k = 0; 1; 2; ...7 với k = 0; 2; 3; 5 thì thích hợp. Vậy trong trường hợp này phương trình
có các nghiệm:
x=

x=−

3π
5π
9π
π
+ 2nπ; x =
+ 2nπ; x =
+ 2nπ; x =
+ 2nπ; với n ∈ Z.
8
8
8
8

Ví dụ 11. Giải và biện luận phương trình:
(2m − 1)cos2x + 2msin2 x + 3m − 2 = 0 (1)
Giải
Phương trình đã cho tương đương với:
(2m − 1)cos2x + 2msin2 x + 3m − 2 = 0
⇔ (m − 1)cos2x = 2 − 4m (2)
Nếu m = 1, thế vào phương trình (2) ta được:
0.cos2x = −1 (vô lý)
Nếu m = 1, thế vào phương trình (2) ta được:
2 − 4m
(3)
m−1

3



2 − 4m
3 − 5m
5
>
1
>
0



1
1
Nếu  2m−−4m
⇔  1m−−3m
⇔ m < 1

3
< −1
<0
m−1
m−1
m>1
thì phương trình (3) vô nghiệm nên phương trình (1) vô nghiệm.
cos2x =

14

2 − 4m
3
1
≤ 1 ⇔ ≤ m ≤ thì phương trình (3) có nghiệm.
m−1
3
5
2 − 4m
Đặt cos 2α =
. Khi đó (3) trở thành: cos 2x = cos 2α ⇔ x = ±α + kπ (k ∈ Z)
m−1
Nếu

Kết luận:

1
3
hoặc m > thì phương trình (1) vô nghiệm.
3
5
3
2 − 4m
1
Nếu ≤ m ≤ thì phương trình (1) có nghiệm x = ±α+kπ (k ∈ Z). Với cos 2α =
3
5
m−1
Nếu m <

Ví dụ 12. Giải phương trình

2 cos2

6x
8x
= 1 + cos
(1)
5
5
Giải

Phương trình đã cho tương đương với:
cos 12x
cos 8x
=1+
5
5
8x
12x
= cos
⇔ cos
5
 5
12x
8x
 5 = 5 + k2π
⇔  12x
8x
= − + k2π
5
 5

5kπ
x = 2
⇔
(k ∈ Z)
kπ
x=
2

1+

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: x =

1.2.4

5kπ
kπ
hoặc x =
(k ∈ Z).
2
2

Bài tập

Bài 9. Giải các phương trình sau:
√
2
+
2
1) cos2 x =
.

√ 4
3+2
2) sin2 x =
.
4
3
3) sin2 x = .
4
1
2
4) cos x = .
2
5) | cos x| + sin(2x + 3) = 0.
6) cot 2x = tan2 x + 2 tan 2x + 1.
7) (ĐHQGHN/96): tan2 x − 2 tan x tan 3x = 2.

15


Bài 10. Giải hệ phương trình:
sin2 x = cos x cos y
cos2 x = sin x sin y
Bài 11. (HVQHQT/1996) Tìm GTLN và GTNN của hàm số:
y = 4 sin2 x +

√

2 sin 2x +

π

.
4

Bài 12. Cho phương trình:
2(5m − 1) sin2 2x + 3m cos 4x + m − 5 = 0
π π
a) Biện luận số nghiệm x ∈ − ;
của phương trình trên.
6 2
π π
b) Xác định m để phương trình đã cho có đúng 2 nghiệm x ∈ − ;
.
3 12
Bài 13. Giải phương trình sau:
5 cos2 x + sin2 x = 4.

16


Phương trình bậc nhất dạng a cos x+b sin x = c

1.3
1.3.1

Dạng phương trình
a cos x + b sin x = c.

1.3.2

Cách giải và biện luận

1) Nếu a2 + b2 = 0 ⇒ a = b = 0, phương trình trở thành:
0 cos(x) + 0 sin(x) = c ⇒ c = 0, vô nghiệm hoặc c = 0, nghiệm là ∀x.
√
2) Nếu a2 + b2 > 0, chia 2 vế cho a2 + b2 = 0 ta được:
a
b
c
√
cos x + √
sin x = √
2
2
2
2
2
a +b
a +b
a + b2
Do

√

a
a2 + b 2

2

√

+
√

b
a2 + b 2

2

= 1 nên ta đặt:

b
c
a
= cos t; √
= sin t; √
=m
2
2
2
2
+b
a +b
a + b2

a2

Ta được: cos x cos t + sin x sin t = m hay phương trình cơ bản cos(x − t) = m.
a
= sin α, ta sẽ dẫn về phương trình cơ bản: sin(x + α) = m.
Chú ý: Nếu đặt √

2
a + b2

1.3.3

Các ví dụ

Ví dụ 13. Cho phương trình sin x + m cos x = 1.
√
1) Giải phương trình trên với m = − 3.
2) Tìm m để phương trình trên vô nghiệm.
3) Tìm m để mọi nghiệm của phương trình trên cũng là nghiệm của phương trình sau:
m sin x + cos x = m2 .
Giải

√
1) m = − 3, ta được:
sin x −

√

3 cos x = 1
√
1
3
1
⇔ sin x −
cos x =
2
2

2
π
π
⇔ sin x −
= sin
3
6
π
π
π
5π
⇒ x − = + 2kπ hoặc x − =
+ 2kπ
3
6
3
6
π
7π
⇒ x = + 2kπ hoặc x =
− 2kπ(k ∈ Z).
2
6
17


2) Phương trình đã cho tương đương với:
√

1

m
1
sin x + √
cos x = √
2
2
m +1
m +1
m2 + 1

1
≤ 1 ∀m
m2 + 1
1
m
Đặt √
= cos(α) ⇒ √
= sin α.
m2 + 1
m2 + 1

Nhận thấy: 0 < √

Khi đó ta được:
sin x cos α + sin α cos x = √

1
1
≤ 1 ∀m ⇒ sin(x + α) = √
m2 + 1

m2 + 1

Vậy phương trình luôn có nghiệm; tức là không có giá trị nào của m để phương trình
trên vô nghiệm.
3) Gọi x0 là nghiệm chung của 2 phương trình trên. Khi đó ta có hệ phương trình:
sin x0 + m cos x0 = 1(1)
m sin x0 + cos x0 = m2 (2)
Từ (1) ⇒ sin(x0 ) = 1 − m cos(x0 ), thế vào (2) ta được:
m(1 − m cos x0 ) + cos x0 = m2
⇔ (m2 − 1) cos x0 = −m(m − 1)
• Với m = −1, ta được 0 = −1 (loại).
• Với m = 1, thì 2 phương trình ban đầu trùng nhau. Vậy m = 1 thích hợp.
• Với m = ±1, ta được cos x0 = −

m
.
m+1

m
| ≤ 1, lại có sin x0 = 1−m cos x0 =
m+1
m2
m2 + m + 1
m2 + m + 1
1+
=
có nghiệm khi và chỉ khi |
| ≤ 1 từ hai bất phương
m+1
m+1

m+1
trình trên suy ra m = 0.

Phương trình này có nghiệm khi và chỉ khi |−

Kết luận: với m = 0 hay m = 1 thì thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Ví dụ 14. (ĐHKD - 2007) Giải phương trình: (sin
Giải

18

√
x
x
+ cos )2 + 3 cos x = 2.
2
2


Phương trình đã cho tương đương với:
√
1 + sin x + 3 cos x = 2
√
⇔ sin x + 3 cos x = 1
√
3
1
1
cos x =
⇔ sin x +

2
2
2
π
π
⇔ sin x +
= sin
3
6
π
π
5π
π
+ k2π
⇔ x + = + k2π hoặc x + =
3
6
3
6
π
π
⇒ x = − + k2π hoặc x = + k2π (k ∈ Z).
6
2
Ví dụ 15. (ĐHKA - 2009)Giải phương trình:
√
(1 − 2 sin x) cos x
= 3.
(1 + 2 sin x)(1 − sin x)
Giải

sin x = 1
1
2
Phương trình đã cho tương đương với:
√
√
cos x − 3 sin x = sin 2x + 3 cos 2x
√
√
1
cos x
3
3
−
sin x = sin x +
cos 2x
⇔
2
2
2
2
π
π
⇔ cos x +
= cos 2x −
3
6
π
π
π

π
⇒ x + = 2x − + k2π hoặc x + = −2x + + k2π
3
6
3
6
π
π
2π
⇒ x = + k2π hoặc x = − + k
(k ∈ Z)
2
18
3
π
Nhận thấy x = + k2π loại vì không thỏa mãn điều kiện xác định. Nên nghiệm của
2
phương trình là:
2π
π
x=− +k
(k ∈ Z).
18
3
Ví dụ 16. Tìm GTNN, GTLN của hàm số sau:
Điều kiện xác định:

sin x = −

y = 4 sin 2x − 3 cos 2x (1)

Giải
Xem (1) là phương trình bậc nhất đối với sin 2x và cos 2x. Khi đó ymax , ymin tồn tại
khi và chỉ khi phương trình (1) có nghiệm
⇔ 42 + 32 ≥ y 2
⇔ 25 − y 2 ≥ 0
⇔ −5 ≤ y ≤ 5
19


Vậy ymax = 5 và ymin = −5.
Ví dụ 17. Tìm GTNN, GTLN của hàm số sau:

y=

sin x + cos x − 1
sin x − cos x + 3
Giải

Hàm số đã cho tương đương với:
y(sin x − cos x + 3) = sin x + cos x − 1
⇔ (y − 1) sin x − (y + 1) cos x = −1 − 3y
Xem phương trình trên là phương trình bậc nhất đối với sin x và cos x, khi đó ymax , ymin
tồn tại ⇔ (1) có nghiệm.
⇔ (y − 1)2 + (y + 1)2 ≥ (−1 − 3y)2
⇔ 7y 2 + 6y − 1 ≤ 0
1
⇔ −1 ≤ y ≤
7
Vậy ymax =

1
và ymin = −1.
7

Ví dụ 18. Giải hệ phương trình sau:
3 sin x + 4 cos y = 5
3 sin y + 4 cos x = 5
Ta có: 3 sin x + 4 cos y = 5 ≤

√

32

+

42

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

Giải
√
+ sin2 x + cos2 x ⇔ 3 sin x + 4 cos x ≤ 5.

sin x
cos x
3
=
⇔ tan x = .
3
4

4

Cộng vế với vế 2 phương trình của hệ đã cho ta được:
3 sin x + 4 cos y + 3 sin y + 4 cos x = 10
⇔ (3 sin x + 4 cos x) + (3 sin y + 4 cos y) = 10
Vì (3 sin x + 4 cos x) + (3 sin y + 4 cos y) ≤ 5 + 5 = 10 nên phương trình trên tương
đương với hệ


tan x = 3
3 sin x + 4 cos x = 5
4 ⇔ x = α + kπ (k ∈ Z)
⇔
3
3 sin y + 4 cos y = 5
y = α + kπ

tan y =
4
3
với α = arctan .
4
20


Ví dụ 19. Giải phương trình:
25 sin2 x − 33 sin x − 4 cos x + 14 = 0.
Giải
Phương trình đã cho tương đương với:
3 sin x + 4 cos x = 25 sin2 x − 30 sin x + 14

⇔ 3 sin x + 4 cos x = 5 + (5 sin x − 3)2
Nhận thấy: vế trái ≤ 5, vế phải ≥ 5.
Vậy dấu = xảy ra khi


tan x = 3
4 ⇔ tan x = 1 ⇔ x = 2α + k2π (k ∈ Z)
3

2
3
 sin x =
5
1
với α = arctan .
3

1.3.4

Bài tập

Bài 14. Giải các phương trình sau:
√
√
1) 3 sin 2x =
√ 2 − cos 2x.
2) 2 sin 3x = 6 + 2 cos 3x.
3) sin x + 2 sin 2x = 3 + sin 3x.
Bài 15. Chứng tỏ rằng phương trình sau vô nghiệm:
√

sin x − 2 sin 2x − sin 3x = 2 2.
Bài 16. (ĐHKB-2009) Giải phương trình:
sin x + cos x sin 2x +

√

3 cos 3x = 2(cos 4x + sin3 x).

Bài 17. Tìm m để phương trình
π π
.
2 sin x + m cos x = 1 − m có nghiệm thực − ;
2 2
Bài 18. (ĐHNNI-1995) Giải phương trình:

2 + cos 2x +

√
√
3 sin 2x = sin x + 3 cos x.

Bài 19. (TN-1998) Giải phương trình:
21


π
2 cos2 ( cos2 x) = 1 + cos(π sin 2x).
2
Bài 20. Cho phương trình:
3

cos x
π
.
tìm m để phương trình trên có đúng 2 nghiệm thuộc 0;
4
2(m − 1) sin x + 4m2 cos x =

Bài 21. Tìm GTNN, GTLN của các hàm số sau:
1) y = √

sin x
.
5 + cos x

2) y = sin6 x + cos6 x + sin 4x.
Bài 22. Giải phương trình sau:
√
2| sin x + cos x| = tan x + cot x.

22


1.4
1.4.1

Phương trình bậc hai dạng a(f (x))2 + bf (x) +
c=0
Dạng phương trình

Xét phương trình bậc 2 có dạng: a[f (x)]2 + bf (x) + c = 0, trong đó f (x) là một hàm

lượng giác hoặc là một biểu thức của hàm lượng giác.

1.4.2

Cách giải

Giải phương trình bậc hai theo đối số t = f (x), rồi dẫn về phương trình bậc hai của t,
sau đó giải phương trình bậc hai để tìm t rồi tìm x.

1.4.3

Các ví dụ

Ví dụ 20. Cho phương trình cos 2x − (2m + 1) cos x + m + 1 = 0
3
a, Giải phương trình với m = .
2

π 3π
;
.
2 2
Giải

b, Tìm m để phương trình có nghiệm x ∈
Phương trình đã cho tương đương với:

(cos 2x + 1) − (2m + 1) cos x + m = 0
⇔ 2 cos2 x − (2m + 1) cos x + m = 0
1

phương trình này có nghiệm cos x = m và cos x = .
2
3
3
1
a, Với m = thì phương trình có hai nghiệm là cos x = và cos x = . Nhưng nghiệm
2
2
2
3
cos x = > 1 (loại), còn lại nghiệm:
2
1
2
π
⇔ cos x = cos
3
π
⇒ x = ± + k2π (k ∈ Z).
3

cos x =

b, Để có nghiệm x ∈

π 3π
;
2 2

thì cos x < 0 ⇒ −1 ≤ m < 0.

Ví dụ 21. Giải phương trình:
√
√
3 cot2 x + 2 2 sin2 x = (2 + 3 2) cos x.
Giải
Điều kiện xác định: sin x = 0 ⇔ sin x = 0 ⇔ x = mπ; m ∈ Z.
2

23


Chia cả hai vế của phương trình cho sin2 x = 0 ta được:
3
Đặt t =

√
√ cos x
cos2 x
+
2
2
=
(2
+
3
2) 2
sin4 x
sin x

cos x
và chuyển vế ta được:
sin2 x

√
√
3t2 − (2 + 3 2)t + 2 2 = 0
√
√
√
Xét ∆ = (2 + 3 2)2 − 24 2 = (2 − 3 2)2 > 0
√
2
⇒Phương trình có 2 nghiệm t = hoặc t = 2.
3
2
Nếu t = thì:
3
cos x
2
=
2
3
sin x
⇒ 2 sin2 = 3 cos x
⇒ 2 cos2 x + 3 cos x − 2 = 0
1
⇒ cos x = (thỏa mãn) hoặc cos x = −2 (loại)
2
π

⇒ x = ± + k2π (k ∈ Z).
3
Nếu t =

√
2 thì:
√
cos x
=
2
sin2 x
1
⇔ √ cos x = sin2 x
2
1
⇔ cos2 x + √ cos x − 1 = 0
2
√
1
⇔ cos x = √ (thỏa mãn) hoặc cos x = − 2 (loại)
2
π
⇒ x = ± + k2π (k ∈ Z).
4

Kết luận: Vậy phương trình có các họ nghiệm là:
x=±

π
π

+ 2kπ và x = ± + 2kπ (k ∈ Z).
3
4

Ví dụ 22. (ĐHTCKT-KA/2001) Giải phương trình:
sin2 x + sin2 3x − 3 cos2 2x = 0.
Giải

24