SỰ THAM GIA của u – hạt vào QUÁ TRÌNH e+e

Sự tham gia của U – hạt vào quá trình

e+ e− → µ + e−

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
---------------------

Đào Thị Thơm

SỰ THAM GIA CỦA U – HẠT VÀO QUÁ TRÌNH e+e-  �+e-

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội - 2014

Đào Thị Thơm

1


Sự tham gia của U – hạt vào quá trình

e+ e− → µ + e−

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
---------------------

Đào Thị Thơm

SỰ THAM GIA CỦA U – HẠT VÀO QUÁ TRÌNH e+e-  �+e-

Chuyên ngành:Vật lý lý thuyết và vật lý toán
Mã số:60440103

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hướng dẫn khoa học : GS.TS Hà Huy Bằng

Hà Nội - 2014

Đào Thị Thơm

2


Sự tham gia của U – hạt vào quá trình

e+ e− → µ + e−

LỜI CẢM ƠN
Đầu tiên, em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc nhất tới Thầy giáo, GS.TS. Hà
Huy Bằng, là người đã trực tiếp chỉ bảo tận tình, trực tiếp giúp đỡ em trong
suốt thời gian học tập và hoàn thành luận văn.
Em cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất đến đội ngũ giảng dạy
đầy nhiệt tình và uyên bác của bộ môn Vật Lý Lý Thuyết đã truyền đạt cho
em những kiến thức đáng nhớ.
Qua đây, em cũng chân thành gửi lời cảm ơn tới các Thầy Cô ở Khoa
sau đại học và Trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên đã dạy bảo và tạo
mọi điều kiện thuận lợi giúp đỡ em trong suốt quá trình học tập và hoàn thành

luận văn của em.
Cuối cùng em gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè, người thân đã luôn
sát cánh bên em trên khắp mọi nẻo đường gian khó.
Do thời gian và kiến thức còn hạn chế nên chắc chắn khóa luận có
nhiều thiếu sót, em rất mong nhận được sự chỉ bảo, góp ý của các thầy cô và
các bạn.

Một lần nữa, em xin trân trọng cảm ơn.

Hà Nội, 10 tháng 01 năm 2014
Học viên

Đào Thị Thơm

Đào Thị Thơm

3


Sự tham gia của U – hạt vào quá trình

e+ e− → µ + e−

MỤC LỤC
Mở đầu………………………………………………………………………...3
Chương 1. KIẾN THỨC CHUNG VỀ U – HẠT.TIẾT DIỆN TÁN XẠ……..8
1.1.
1.2.
1.3.
1.4.

Giới thiệu chung về U – hạt……………………………………..8
Tính chất……………………………………………………….9
Hàm truyền của U – hạt…………………………………….….10
Lagrangian tương tác của các loại U – hạt với các hạt trong mô

1.5.

hình chuẩn…………………………………………………...…11
Tiết diện tán xạ……………………………………………….11

Chương 2.QUÁ TRÌNH KHI TÍNH ĐẾN U – HẠT…….….20
Chương 3. PHÂN TÍCH SỐ VÀ VẼ ĐỒ THỊ……………………………....34
Kết luận……………………………………………………………………...37
Tài liệu tham khảo…………………………………………………………..38
Phụ lục………………………………………………………………………39

DANH MỤC CÁC BẢNG BIỂU, HÌNH VẼ

Đào Thị Thơm

4


Sự tham gia của U – hạt vào quá trình

e+ e− → µ + e−

Hình 3c :Sự phân bố góc khi có sự tham gia của U – hạt với

s = 500GeV

và Ʌ=1000TeV………………………………………………………………34
Hình 3c :Sự phân bố góc khi có sự tham gia của U – hạt với

s = 500GeV

và Ʌ=1000TeV ……………………………………………………………..35
Hình 3c :Sự phân bố góc khi có sự tham gia của U – hạt với

s = 500GeV

và Ʌ=1000TeV ……………………………………………………………35
Bảng số liệu : Tiết diện tán xạ khi có sự tham gia của U – hạt với

λVeeλVeµ = 1

,Ʌ=1TeV……………………………………………………………………36

Đào Thị Thơm

5


Sự tham gia của U – hạt vào quá trình

e+ e− → µ + e−

MỞ ĐẦU
Vật lý hạt là một nhánh của vật lý, nghiên cứu các thành phần hạ

nguyển tử cơ bản, bức xạ và các tương tác của chúng. Lĩnh vực này cũng
được gọi là vật lý năng lượng cao bởi nhiều hạt cơ bản không xuất hiện ở điều
kiện thông thường. Chúng chỉ có thể được tạo ra qua các va chạm trong máy
gia tốc năng lượng cao.
Những hiểu biết của chúng ta về thế giới tự nhiên phần lớn là nhờ lý
thuyết về vật lý hạt. Các hạt cơ bản là cơ sở của sự tồn tại của vũ trụ nhưng
cũng còn khá nhiều bí ẩn liên quan tới sự hình thành vũ trụ. Nhờ cơ học lượng
tử, chúng có thể được coi là các điểm không có cấu trúc, không kích thước
hoặc là sóng. Tất cả các hạt khác là phức hợp của các hạt cơ bản.
Các hạt hạ nguyên tử
Các nghiên cứu về vật lý hạt hiện đại đang tập trung vào các hạt hạ
nguyên tử, các thành phần cấu tạo nên nguyên tử như điện tử, proton, notron
(proton và notron thực ra là các hạt phức hợp cấu thành bởi hạt quark và
gluon), các hạt sinh ra từ hoạt động phóng xạ hay là các quá trình tán xạ như
photon, neutrino, muon, và các hạt lạ (ví dụ về một hạt lạ là tachyon – một
loại lý thuyết di chuyển nhanh hơn ánh sáng). Thực ra thuật ngữ “hạt” được
dùng chưa được chuẩn xác. Đối tượng nghiên cứu của vật lý hạt tuân theo
các nguyên lý của cơ học lượng tử, theo đó chúng có lưỡng tính sóng – hạt,
thể hiện tính hạt trong một số trường hợp,. tính sóng trong những trường hợp
khác. Nếu được mô tả bằng lý thuyết thì chúng không là hạt mà cũng không là
sóng mà là các vecto trạng thái trong không gian Helberl rút gọn. như vậy
thuật ngữ “hạt cơ bản” được dùng để chỉ các đối tượng như electron và
photon cần phải được hiểu thêm rằng các hạt còn có cả tính sóng.

Đào Thị Thơm

6


Sự tham gia của U – hạt vào quá trình

e+ e− → µ + e−

Mô hình chuẩn
Các hạt được quan sát thấy cho đến nay được phân loại trong một lý
thuyết trường lượng tử - gọi là mô hình chuẩn SM – mô hình thu được nhiều
kết quả nhất cho tới ngày nay. Mô hình chuẩn kết hợp điện động lực học
lượng tử (QED) và sắc động học lượng tử (QCD) để tạo thành lý thuyết mô tả
các hạt cơ bản và 3 trong 4 loại tương tác. Cho đến nay SM mô tả được 17
loại hạt cơ bản, 12 fermion (và nếu tính phản hạt thì là 24) ,4 boson vecto và 1
boson vô hướng . Các hạt cơ bản này có thể kết hợp để tạo ra hạt phức hợp.
Tính từ những năm 60 cho đến giờ đã có hàng trăm loại phức hợp được tìm
ra. SM cũng mô tả được các tương tác mạnh, yếu và điện từ nhờ trao đổi các
hạt gluon, năng lượng và Z boson , photon. SM là lý thuyết được kiểm
nghiệm là đúng đắn nhất cho đến ngày nay nhưng các nhà vật lý hạt vẫn tin
rằng đây chưa phải là lý thuyết hoàn chỉnh để mô tả thế giới tự nhiên. Những
năm gần đây các kết quả đo khối lượng của neutrino đã cho thấy những sai
lệch so với kết quả tính toán từ mô hình chuẩn.
Để khắc phục các khó khăn hạn chế của mô hình chuẩn các nhà vật lý
lý thuyết đã xây dựng khá nhiều lý thuyết mở rộng hơn như lý thuyết thống
nhất (Grand unified theory - GU) , siêu đối xứng (supersymmtry), lý thuyết
dây (string theory), sắc kỹ (techou - color), lý thuyết Preon, lý thuyết
Acceleron và gần đây nhất là U – hạt.
Năm 2007, H. Georgi cho rằng trong đối xứng tỉ lệ phải đúng cho hạt
có khối lượng bất kỳ chứ không chỉ cho các loại hạt có khối lượng rất nhỏ
hoặc bằng không. Từ đó, chúng ta phải xem xét các hạt ở khoảng cách bé,
thậm chí đưa ra khái niệm về một loại không giống như các hạt truyền thống
U_hạt. U – hạt tuy có khối lượng nhưng vẫn có tính chất là bất biến tỉ lệ, chưa
được tìm thấy nhưng nó được cho rằng nếu tồn tại sẽ tương tác rất yếu với vật

Đào Thị Thơm

7


Sự tham gia của U – hạt vào quá trình

e+ e− → µ + e−

chất thông thường. Thời gian gần đây từ khi có giả thuyết của Georgi, các nhà
vật lý lý thuyết đang nỗ lực tính toán lại các quá trình tương tác có tính đến sự
tham gia của U – hạt. Có thể kể ra các quá trình khá thông dụng như: tán xạ
Bha- Bha (), Moller (), …
Nhờ sự vận hành của máy gia tốc LHC với năng lượng lên tới 7TeV
người ta mong chờ rằng lý thuyết về U – hạt sẽ được kiểm nghiệm.
Trong lý thuyết bất biến tỷ lệ , tức là các vật, hiện tượng không thay đổi
khi các đại lượng thứ nguyên được thay đổi bởi một hệ số nhân. Khái niệm về
“ hạt ” không có tác dụng vì hầu hết các hạt có khối lượng khác không. Trong
cơ học lượng tử, vấn đề này không phải là vấn đề vì mô hình chuẩn cũng
không có tính bất biến tỷ lệ. Nhưng Georgi cho thấy rằng có thể có một khu
vực chưa được phát hiện ra của mô hình chuẩn có tính bất biến tỷ lệ.
"Tôi đã có rất nhiều niềm vui với điều này," Georgi nói với
PhysOrg.com. "Đây là một hiện tượng mà đã được hiểu một cách toán học
trong một thời gian dài, trong ý nghĩa mà chúng tôi biết những lý thuyết có
tính bất biến tỷ lệ. Thật khó để diễn tả điều này bởi vì nó khác với những gì
chúng tôi đã được sử dụng. Đối với chúng tôi nó làm cho sự khác biệt lớn nếu
chúng ta đo khối lượng bằng gam hoặc kg. Nhưng trong một thế giới bất biến
tỷ lệ, nó không có gì khác cả. "
Georgi giải thích rằng, photon, đó là các hạt của ánh sáng, có đặc tính
bất biến tỷ lệ bởi vì chúng không có khối lượng. Nhân tất cả các nguồn năng

lượng của photon với 1000 vẫn không có thay đổi gì, photon chúng vẫn như
vậy.

Đào Thị Thơm

8


Sự tham gia của U – hạt vào quá trình

e+ e− → µ + e−

"Các nhà lý thuyết thông minh như Ken Wilson đã từ lâu chỉ ra rằng có
khả năng điên rồ là khi không tính đến các hạt có khối lượng bằng không,
nhưng vẫn còn có những nguồn năng lượng có thể được nhân với một số bất
kì mà vẫn cho cùng một bức tranh vật lí. Điều này là không thể được nếu với
hạt có khối lượng bất kỳ khác không xác định. Đó là lý do tại sao tôi gọi là
“unparticle” Georgi nói.
Tất cả các thứ bất biến tỉ lệ sẽ tương tác rất yếu với phần còn lại của mô
hình chuẩn, làm cho nó có thể quan sát bằng chứng cho “thứ không hạt”, nếu
nó tồn tại. Lý thuyết unparticle là một lý thuyết năng lượng cao, bao gồm các
lĩnh vực mô hình chuẩn và lĩnh vực mô hình "Ngân hàng-Zaks" (trong đó có
quy mô bất biến tại một điểm hồng ngoại). Hai lĩnh vực có thể tương tác
thông qua các tương tác của các hạt thông thường năng lượng cao theo máy
móc hoặc một quy mô đủ khối lượng thấp.
Unparticle là một công cụ mới, quan trọng trong nhiều lĩnh vực phát
triển của vật lý lý thuyết ở giai đoạn hiện nay, một loại chất mà không thể
được mô tả bởi các hạt bởi vì thành phần của nó là bất biến tỷ lệ. Đặc tính này
có nghĩa là những unparticles không thay đổi ngoại hình khi xem ở quy mô
khác nhau, mà là rất khác nhau từ các đối tượng chúng ta đang quen thuộc.

Tuy nhiên, unparticles có thể quan sát được thấy các hạt tương tác với mô
hình chuẩn.
Trong các quá trình tán xạ và phân rã thì được xem xét để tìm kiếm các
hạt mới, va chạm đóng một vai trò rất lớn. Nó được nghiên cứu vè ứng dụng
nhiều trong vật lý bởi các lí do chính như:
-

Sạch về phương diện môi trường

Đào Thị Thơm

9


Sự tham gia của U – hạt vào quá trình

e+ e− → µ + e−

-

Năng lượng khối tâm rất linh động, nên có thể thay đổi dễ dàng

-

Khả năng phân cực cao của các chùm

Nội dung khóa luận trình bày về quá trình tán xạ

e+ e− → µ + e−

khi có sự

tham giá của U – hạt, nhằm mục đích tính được tiết diện tán xạ. Bài khóa luận
này bao gồm: phần mở đầu, ba chương, phần kết luận, phụ lục và tài liệu
tham khảo.
Chương 1.Đưa ra một số kiến thức chung về U – hạt, tiết diện tán xạ
Chương 2.Trình bày sự tham gia của U – hạt vào quá trình

e+ e− → µ + e−

.

Chương 3.Phân tích số và vẽ đồ thị. Từ đó rút ra nhận xét về sự đóng góp của
U – hạt vào việc tính tiết diện tán xạ toàn phần trong phần kết luận.

Đào Thị Thơm

10


Sự tham gia của U – hạt vào quá trình

e+ e− → µ + e−

Chương 1: KIẾN THỨC CHUNG VỀ U – HẠT. TIẾT DIỆN TÁN XẠ
1.1. Giới thiệu về U – hạt
Trong vật lí lí thuyết, vật lí “ U - hạt ” là lí thuyết giả định vật chất
không thể được giải thích bởi lí thuyết hạt trong mô hình chuẩn (Standard
Model) bởi các thành phần của nó là bất biến tỷ lệ.
Mùa xuân 2007, Howard Georgi đưa ra lí thuyết U – hạt trong các bài

báo “ Unparticle Physics” và “ Another Odd Thing About Unparticle Physics
”. Các bài báo của ông được phát triển thêm qua các nghiên cứu về tính chất,
hiện tượng luận của vật lí U – hạt và ảnh hưởng của nó tới vật lí hạt, vật lí
thiên văn, vật lí vũ trụ, vi phạm CP, vi phạm loại Lepton, phân rã neuon, dao
động neutrino và siêu đối xứng.
Tất cả các hạt tồn tại trong các trạng thái đặc trưng bởi mức năng
lượng, xung lượng và khối lượng xác định. Trong phần lớn của mô hình
chuẩn của vật lí hạt, các hạt cùng loại không thể tồn tại trong một trạng thái
khác mà ở đó tất cả các tính chất (đại lượng) chỉ hơn kém nhau một hằng số
so với các tính chất ở trạng thái ban đầu. Lấy ví dụ về điện tử: Điện tử luôn có
cùng khối lượng bất kể năng lượng hay xung lượng. Tuy nhiên, điều này
không phải cũng đúng, các hạt không khối lượng, ví dụ photon có thể tồn tại ở
các trạng thái mà các tính chất hơn kém nhau một hằng số. Sự “ Miễn nhiễm”
đối với phép tỉ lệ được gọi là “Bất biến tỷ lệ”.
Ý tưởng về các U – hạt xuất phát từ giả thuyết rằng vẫn có loại vật chất
(thứ) tồn tại mà không nhất thiết khối lượng bằng không mà vẫn bất biến tỷ

Đào Thị Thơm

11


Sự tham gia của U – hạt vào quá trình

e+ e− → µ + e−

lệ, các hiện tượng vật lí vẫn xảy ra như nhau bất kể sự thay đổi về chiều dài
(độ lớn) hoặc năng lượng. Những “ thứ ” này gọi là U – hạt.
U – hạt chưa được quan sát thấy, điều đó cho thấy nếu tồn tại, nó phải
tương tác (liên kết) yếu với vật chất thông thường tại các mức năng lượng khả

kiến. Năm 2009, máy gia tốc LHC ( Large Hadron Collider) sẽ hoạt động và
cho ra dòng hạt với năng lượng , các nhà vật lí lí thuyết đã bắt đầu tính toán
tính chất của U – hạt và xác định nó sẽ xuất hiện trong LHC như thế nào. Một
trong những kì vọng về LHC là nó có thể cho ra các phát hiện mới giúp chúng
ta hoàn thiện bức tranh về các hạt tạo nên thế giới vật chất và các lực gắn kết
chúng với nhau.
1.2.Các tính chất
U – hạt sẽ phải có các tính chất chung giống với neutrino – hạt không
có khối lượng và do đó gần như là bất biến tỉ lệ. Neutrino rất ít tương tác với
vật chất nên hầu hết các trường hợp, các nhà vật lí chỉ nhận thấy sự có mặt
của nó bằng cách tính toán phần hao hụt năng lượng, xung lượng sau tương
tác. Bằng cách nhiều lần quan sát một tương tác, người ta xây dựng được “
phân bố xác suất ” và xác định được có bao nhiêu neutrino và loại neutrino
nào xuất hiện.
Chúng tương tác rất yếu với vật chất thông thường ở năng lượng thấp
và hệ số tương tác càng lớn khi năng lượng càng lớn.
Kĩ thuật tương tự cũng có thể dùng để phát hiện ra U – hạt. Theo tính
bất biến tỉ lệ, một phân bố chứa U – hạt có khả năng quan sát được bởi nó
tương tự với phân bố cho một phần hạt không có khối lượng. Phần bất biến tỉ
lệ này sẽ rất nhỏ so với phần còn lại trong mô hình chuẩn, tuy nhiên, sẽ là
bằng chứng cho sự tồn tại của U – hạt. Lí thuyết U – hạt là lí thuyết với năng
lượng cao chứa cả các trường của mô hình chuẩn và các trường Banks – Zaks,

Đào Thị Thơm

12


Sự tham gia của U – hạt vào quá trình

e+ e− → µ + e−

các trường này có tính chất bất biến tỉ lệ ở vùng hồng ngoại. Hai trường có
thể tương tác thông qua các va chạm của các hạt thông thường nếu năng
lượng hạt đủ lớn. Những va chạm này sẽ có phần năng lượng, xung lượng hao
hụt nhưng không đo được bởi các thiết bị thực nghiệm.
Các phân bố riêng biệt của năng lượng hao hụt sẽ chứng tỏ sự sinh U –
hạt. Nếu các dấu hiệu đó không thể quan sát được thì các giả thuyết, mô hình
cần phải xem xét và chỉnh lại.
1.3. Hàm truyền của U – hạt
Hàm truyền của các U – hạt vô hướng, vector và tensor có dạng:
∆s =
Vô hướng:
∆v =

Vector:
∆T =

Tesor:

iAdu
2sin(π du )

iAdu
2sin(π du )
iAdu
2sin(π du )

( − q 2 ) du − 2

(− q 2 ) du −2 π µυ

(2.1)
(− q 2 ) du − 2 Tµυ ,ρσ

Trong đó:
µν

π (q) = − g
T µν , ρσ (q) =

µν

q µ qν
+ 2
q

1  µρ
2 µν

νσ
µσ
νρ
ρσ
π ( q)π ( q) + π ( q)π ( q) − π ( q)π ( q) 
2
3


1

Γ( du + )
16π π
2
Adu =
2 du
(2π )
Γ( du − 1)Γ(2du )

(2.2)

2

Với

Đào Thị Thơm

13

(2.3)


Sự tham gia của U – hạt vào quá trình
Trong các hàm truyền (2.1),

( − q 2 ) du − 2 = q 2

du − 2

q2

e+ e− → µ + e−

có cấu trúc sau đây:

e −iduπ
trong kênh s và cho

q2

dương

du − 2

( − q 2 ) du − 2 = q 2

trong kênh t, u cho

q2

âm

1.4. Lagrangian tương tác của các loại U – hạt với các hạt trong mô hình
chuẩn
Tương tác của các U – hạt vô hướng, vector và tensor với các hạt trong
mô hình chuẩn được cho bởi:

λ0
λ1

1

Λ

du −1
u

1
Λ

du −1
u

f fOu , λ0

1
Λ

du −1
u

cv f γ µ fOuµ , λ1

f iγ 5 fOu , λ0
1

Λ

du −1
u

1

Gαβ G αβ Ou
du
Λu

ca f γ µ γ 5 fOuµ

sur
suu
r
1
1
1
− λ2 du f i(γ µ Dν + γ ν Dµ ) fOuµν , λ2 du Gµα Gνα Ouµν
4 Λu
Λu

Ở đó

λi

(i=0,1,2) là các hằng số tương tác hiệu dụng tương ứng với các

toán tử U – hạt vô hướng, vector và tensor.
tương tác vector và vector của U – hạt vector.
các fecmion mô hình chuẩn,

Gαβ

cv , ca
Dµ

là trường gluon.

1.5.Tiết diện tán xạ

Đào Thị Thơm

(2.4)

14

tương ứng với hằng số

là đạo hàm hiệp biến, f là


Sự tham gia của U – hạt vào quá trình

e+ e− → µ + e−

1.5.1.Khái niệm
Giả sử có một hạt bia ở trong một miền không gian A và một hạt đạn đi
qua miền không gian này. Xác suất tán xạ P được định nghĩa như sau:
(1.21)
Trong đó là xác suất tìm tán xạ trong một đơn vị thể tích và được gọi
là tiết diện tán xạ toàn phần của quá trình tán xạ. Xác suất tán xạ P và miền
không gian A đều không phụ thuộc vào hệ quy chiếu là khối tâm hay phòng
thí nghiệm. Do vậy, tiết diện tán xạ không phụ thuộc vào hệ quy chiếu ta
chọn.
Trường hợp tán xạ có nhiều hạt tới và nhiều hạt bia, khi đó tốc độ tán

xạ R được định nghĩa như sau:
(1.22)
Trong đó F là số hạt tới trong một đơn vị thể tích và một đơn vị thời
gian:
(1.23)
Với là mật độ hạt tới, là vận tốc tương đối giữa hai hạt với nhau
(), là số hạt bia.
Khi đó biểu thức (1.22) được viết lại như sau:
(1.24)
Trong nhiều trường hợp, ta chỉ quan tâm tới sự tán xạ trong một góc
khối. Ta có khái niệm: Tiết diện tán xạ riêng phần, hay tiết diện tán xạ vi phân
. Do góc khối dΩ phụ thuộc vào hệ quy chiếu cho nên tiết diện tán xạ vi phân
phụ thuộc vào hệ quy chiếu.
1.5.2.Biểu thức tiết diện tán xạ vi phân.

Đào Thị Thơm

15


Sự tham gia của U – hạt vào quá trình

e+ e− → µ + e−

Xác suất cho một chuyển dời từ trạng thái i() đến trạng thái f() với là:
2

2

W fi = S fi = R fi = (2π )8 (σ 4 ( p f − pi ))2 M fi

2

(1.25)

Ta có

(σ 4 (q)) 2 = σ 4 (q)σ 4 (0), (σ 4 ( q)) 2 = σ 4 ( q)σ 4 (0)

(1.26)

Trong đó
1
d 4x
VT
iqµ x µ
σ (0) = lim(σ (q)) = lim ∫ d x
e
=∫
=
4
4
q →0
q →0
(2π )
(2π )
(2π ) 4
4

4

4

(1.27)

Do đó
2

W fi = (2π ) 2 (σ 4 ( p f − pi )) M fi VT
(1.28)
Xác suất chuyển dời trong một đơn vị thời gian là:

rate fi =

W fi
T

2

= (2π )4 (σ 4 ( p f − pi )) M fi V
(1.29)

Biến đổi công thức trên về dạng sau

∑ rate

= (2π ) ∫ σ ( p f − pi ) M fi
4

fi

4

2

d 3 pk n +1
V
∏
3
(2
π
k =1
n

Tổng lấy theo nhiều hạt ở trạng thái cuối. Mặt khác:

Đào Thị Thơm

16

(1.30)


Sự tham gia của U – hạt vào quá trình

e+ e− → µ + e−

1
rate
=

n
ν
N
σ
=
∑ fi i rel t fi Vν relσ fi

(1.31)

So sánh (1.30) với (1.31), ta có:

V n+2
σ fi =
(2π ) 4 ∫ σ 4 ( p f − pi ) M fi
ν rel

2

d 3 pk
∏
3
k =1 (2π )
n

(1.32)

ở đây

V n+2 =

1
n

2 Ea 2 Eb ∏ 2 Ek
k =1

(1.33)

Từ đó suy ra

(2π ) 4
σ fi =
σ 4 ( p f − pi ) M fi
∫
4 Ea Ebν rel

2

d 3 pk
∏
3
k =1 (2π ) 2 Ek
n

(1.34)

Trong đó là năng lượng cấc hạt tới a, b và

Vrel = Vab = Va − Vb

(1.35)

Là vận tốc tương đối giữa hai hạt.
Tiết diện tán xạ vi phân

dσ fi =

M fi

2

4 Ea Ebν rel

Đào Thị Thơm

d 3 pk
(2π ) σ ( p f − pi )∏
3
k =1 (2π ) 2 Ek
4

n

4

17

(1.36)

Sự tham gia của U – hạt vào quá trình

e+ e− → µ + e−

2

Hay

M
dσ =
dΦ f
4F

(1.37)

Trong đó

F = Ea Ebν rel
ur
ν i Flab = P (k ) mb

(1.38)

ur
Fcm = P (k ) ( Ea + Eb )
d 3 pk
d Φ = (2π ) σ ( p f − pi )∏
3
k =1 (2π ) 2 Ek
4

n

4

(1.39)

Đối với trường hợp hệ hạt đồng nhất, ta có:
2

M
dσ =
dΦ f S
4F

(1.40)

Trong đó

S =∏
i

1
li !

(1.41) ở đây là số

hạt đồng nhất loại I tại trạng thái cuối.

Đào Thị Thơm

18


Sự tham gia của U – hạt vào quá trình

e+ e− → µ + e−

Xét quá trình tán xạ với hai hạt ở trạng thái đầu có xung lượng là
( p1 , p2 )

, khối lượng

( p3 , p4 ,..., pn )

( m1 , m2 )

, khối lượng

, cho (n-2) hạt ở trạng thái cuối có xung lượng

( m3 , m4 ,..., mn )

.

Phần thể tích không gian pha của trạng thái cuối là:

uur 3 uur
uur
3

3
d
p
d
pn
1
d
p
3
4
d Φ f ( p3 , p4 ,..., pn ) = (2π ) 4 σ 4 ( p3 + p4 + pn − pi )
...
(2π )3( n−2) 2 E3 2 E4
2 En
(1.42)
Với

pi = p1 + p2

Nếu quan tâm đến xác suất tán xạ theo một phương nào đó () trong góc
khối

d Ω = dϕ d cos θ

thì
2

dσ =

∫

dΩ

M
dΦ f
4F

(1.43)

Trường hợp n = 4 (quá trình tán xạ hai hạt tới, hai hạt ra):
Tại góc cố định (), kết quả tích phân theo không gian pha của hai hạt
sau phép lấy tích phân đối với toàn và toàn là
uur
ur 2
uur 3 uur
d
p3
d Ω p3
1 d p3 d p4
4 4
d
Φ
(
p
,
p
)
=
(2
π

)
δ
(
p
+
p
−
p
−
p
)
=
3
4
1
2
∫ f 3 4 d∫Ω
(2π ) 6 2 E3 2 E4 16π E3 E4 d ( E3 + E4 )
dΩ
3

(1.44)
Do đó

Đào Thị Thơm

19


Sự tham gia của U – hạt vào quá trình

2

uur
p3

e+ e− → µ + e−

uur
d p3

M
dσ
=
d Ω 64π 2 F E3 E4 d ( E3 + E4 )

(1.45)

ur 2
E − p 3 = m32
2
3

Với

(1.46)

ur2
ur2 ur 2 ur2
E42 − p3 = E42 − ( p1 + p 2 − p3 ) = m42

(1.47)

Đối với các hạt không có spin, sự phụ thuộc của ma trận M vào xung
lượng chỉ thông qua bất biến Lorentz bởi các biến s,t và u được gọi là các
biến Mandelstam được định nghĩa như sau:

 s = ( p1 + p2 ) 2 = ( p3 + p4 ) 2

2
2
t = ( p1 − p3 ) = ( p4 − p2 )

2
2
u = ( p1 − p4 ) = ( p3 − p2 )

(1.48)

Do đó

s + t + u = m12 + m22 + m32 + m42 + 2 p1[(p1 +p 2 )-(p3 +p 4 )]

(1.49)

Trong hệ quy chiếu khối tâm, các xung lượng 4 chiều được định nghĩa
như sau

ur
ur
uu

r
uu
r
p1 = ( E1 , p), p2 = ( E2 , − p ), p3 = ( E3 , p′), p4 = ( E4 , − p′)

(1.50)

Áp dụng các định luật bảo toàn năng, xung lượng ta được

s + t + u = m12 + m22 + m32 + m42

Đào Thị Thơm

20

(1.51)


Sự tham gia của U – hạt vào quá trình

e+ e− → µ + e−

Ta có
uu
r2
uu
r2

2
2

′
 d m3 + p d m4 + p ′
d ( E3 + E4 )
E3 E4
= E3 E4 
uur
uur
uu
r
d p3
d p3
d p′




r
uu
r
 uu
 = p′ ( E3 + E4 ) = p′ ( E1 + E2 )



(1.52)
Mặt khác

uu
r
Fcm = p′ ( E1 + E2 )

(1.53)

s = ( E1 + E2 )

(1.54)

Khi đó biểu thức tiết diện tán xạ vi phân được viết lại như sau

uu
r
p′
1
 dσ 
ur M

÷ =
2
 d Ω cm 64π s p

2

(1.55)

Chú ý rằng

ur 2 1
p = λ ( s, m12 , m22 )
4
uu

r2 1
p′ = λ ( s, m32 , m42 )
4s

(1.56)

(1.57)

Với

λ (a, b, c) = (a − b − c) 2 − 4abc =  a − ( b + c ) 2   a − ( b − c ) 2 

Đào Thị Thơm

21


Sự tham gia của U – hạt vào quá trình

e+ e− → µ + e−
(1.58)

t = ( p1 − p3 )2 = m12 + m32 − 2 p1 p3

Mà

uu
r
= m + m − 2 E1E3 + 2 p1
uu

r
= m12 + m32 − 2 E1E3 + 2 p1
2
1

2
3

uur
p3 Cosθ
uu
r
p′ Cosθ
(1.59)

ur uu
r
dt = 2 p p′ Cosθ
Ta suy ra

(1.60)

θ ∈ [ 0, π ]
Ta có góc khối :

d Ω = sin θ dθ dϕ

, trong đó

ϕ ∈ [ 0,2π ]

π
d Ω = −2π dcosθ = ur uu
r dt , 0 ≤ θ ≤ π
p p′
(1.61)
Do đó ở dạng khác, chúng ta có thể viết biểu thức tiết diện tán xạ vi
phaann theo các biến s và t như sau:
2

M
 dσ 
=
ur 2

÷
 dt cm 64π s p
(1.62)
Khi lấy tổng theo spin của các hạt ở trạng thái cuối, và lấy trung bình
theo spin của các hạt ở trạng thái đầu, ta thay
2

M →∑ M =
2

s3 s4

1
∑∑ M
(2 s1 + 1)(2 s2 + 1) s1 , s2 s3 , s4

Có thể biết lại (1.55) dưới dạng sau

Đào Thị Thơm

22

2

(1.63)


Sự tham gia của U – hạt vào quá trình

e+ e− → µ + e−

2

M
 dσ 
=

÷
2
2
 d Ω cm 16πλ ( s, m1 , m2 )

(1.64)

Bây giờ ta xét bài toán trong hệ quy chiếu phòng thí nghiệm:

p1µ = ( E1 , p); p2µ = ( m2 , 0); p3µ = ( E3 , p′); p4µ = ( E4 , p4 )
(1.65)
Ta dễ dàng thu được các hệ thức sau:

E4 = E1 + m2 − E2
p42 = ( p − p′) 2 = p 2 + p′2 − 2 p p′ cos(θlab )

E3 E4

d ( E3 + E4 )
= p′ ( E1 + E2 ) − p cos(θlab )
d p′

(1.66)

Thay (1.66) vào (1.45) ta thu được
2

M
p′
 dσ 
=

÷
2
 d Ω lab 64π m2 p

1
( E1 + E2 ) −

p
cos(θlab )
p′

(1.67)

Trong trường hợp:
2

M
p′ 
q2
 dσ 
2
=

1
−
(
m
E
−
m
)
2 3
1 

÷
2 2

2
2
d
Ω
64
π
m
p
′

lab
 2m2 p

2

Đào Thị Thơm

23

−1

(1.68)


Sự tham gia của U – hạt vào quá trình

e+ e− → µ + e−

Chương 2 – QUÁ TRÌNH KHI TÍNH ĐẾN U – HẠT
Trong chương này chúng ta xét quá trình sinh muon từ va chạm khi

tính đến đóng góp của U – hạt.
 Các đỉnh tương tác:

λVee
Λ du −1

γµ +

λVeµ
Λ du −1

λAee
Λ du −1

γµ +

γ µ γ 5 = a1γ µ + a2γ µ γ 5

λAeµ
Λ du −1

γ µ γ 5 = a3γ µ + a4γ µ γ 5

 Hàm truyền
d u −2
− g µν + p µ pν p 2
×
×  −( p1 + p2 ) 2 − iε 
2
sin( duπ )

iAdu

Đào Thị Thơm

24

(1)


Sự tham gia của U – hạt vào quá trình

e+ e− → µ + e−

du − 2
− g µν + p µ pν p 2
×
×  −( p3 − p1 ) 2 − iε 
2
sin(duπ )

iAdu
U

Trong đó:
Quá trình

16π 5/2 Γ( du + 1 / 2)
Adu =
(2π )2 du Γ(du − 1)Γ(2du )

e+ e− → µ +e−

(2)

(3)

, trong đó trạng thái đầu là electron – positron

và trạng thái cuối là electron – muon được biểu diễn qua phương trình.

e − ( p1 ) + e + ( p2 ) → e − ( p3 ) + µ + ( p4 )

Trong đó

và

p3 , p4

p1 , p2

lần lượt là xung lượng của electron,positron ở trạng thái đầu

là xung lượng của electron, muon ở trạng thái cuối.

Quá trình

e+ e− → µ + e−

khi tính đến U – hạt được mô tả bằng giản đồ

Feynman như sau:

U

(a)

Đào Thị Thơm

25