sang kien TI SO LUONG GIAC

I. ĐẶT VẤN ĐỀ
Trong sách giáo khoa Toán 9 mỗi tác giả đã chú trọng hơn về phần tỉ số
lượng giác của góc nhọn. Vì đó là cơ sở để học tốt bộ môn lượng giác vào lớp
11. Tuy nhiên, đa số học sinh gặp nhiều khó khăn khi gặp loại toán này.
Để giúp học sinh giải quyết tốt các bài toán tỉ số lượng giác trong năm
học này tôi đã cố gắng phân dạng bài tập và đúc rút cho học sinh phương
pháp giải từng dạng để học sinh nắm vững các bí quyết thành công cho họ khi
gặp các bài toán cụ thể.
Một trong những mục đích quan trọng nhất của Toán học phổ thông là
phát triển ở học sinh bãn lĩnh giải toán. Bài tập ôn luyện toán rất đa dạng. Sự
thành công của dạy học môn Toán là cung cấp được cho học sinh các phương
pháp suy nghĩ và thao tác tư duy.
Sau đây tôi xin được trình bày kinh nghiệm đã thực hiện có hiệu quả
trong giảng dạy toán cho học sinh lớp 9 với một số dạng toán sử dụng tỉ số
lượng giác của góc nhọn. Rất mong được đồng nghiệp gần xa giúp những ý
kiến cho tôi để công tác dạy và học được tốt hơn.

1


II. THỰC TRẠNG CỦA HỌC SINH VÀ GIÁO VIÊN
1. Đối với giáo viên
Khi giảng dạy nhất là tiết luyện tập nhiều giáo viên còn chủ yếu là giải
toán chứ chưa phân dạng và chốt lại các phương pháp giải từng dạng cho học
sinh ghi nhớ và vận dụng.
2. Đối với học sinh
Khối lượng kiến thức của lớp 9 tương đối lớn nhưng nhiều em chưa
nắm bắt vận dụng được những kiến thức đó để giải toán nhất là bộ môn Hình
học. Do đó chất lượng đại trà của 2 lớp 9A, 9B năm học 2011 – 2012 như sau:

Điểm

Số

10

9

8

7

6

5

4

3

2

Lớp

0

0

1

5

7

5

15

2

4

9A

em

0

1

0

6

7

6

10

7

1

9B

Với kết quả như trên tôi thấy chất lượng đại trà thấp quá. Sau khi tìm
hiểu nguyên nhân ở lớp tôi dạy và tham khảo các lớp cùng khối tôi thấy có
mấy điểm sau đây:
- Học sinh lười học bài cũ
- Các dạng bài tập ở SGK mới ít hướng dẫn và gợi ý không đầy đủ nên
khó tiếp thu và nghiên cứu.
- Học sinh thường chỉ học vẹt các định lý, công thức, quy tắc, không
biết vận dụng sinh động chúng vào việc giải bài tập.

2


III. BIỆN PHÁP THỰC HIỆN
Từ những nguyên nhân trên tôi càng cố gắng hơn trong phương pháp
lên lớp cũng như việc đầu tư soạn giáo án ở nhà.
Trong phần hình tôi đã đưa ra các dạng toán cơ bản rồi nhưng thấy rằng
nếu trong đó cho học sinh nhận biết và chia nhỏ thành những loại yếu tố đặc
biệt cụ thể hơn từ đó học sinh sử dụng các phương pháp phù hợp với từng bài.
Vì vậy, trong khi dạy học sinh làm toán “Sử dụng tỉ số lượng giác của
góc nhọn” nhất thiết mỗi học sinh phải có suy nghĩ về định hướng cho lời giải
thích hợp. Muốn làm được điều đó học sinh phải ghi nhớ các kiến thức sau:
- Các tỉ số lượng giác của góc nhọn chỉ phụ thuộc vào độ lớn của góc
mà không phụ thuộc vào từng tam giác vuông có góc nhọn đó. Nói cách khác
mỗi góc nhọn đều có một tỉ số lượng giác xác định.
- Học sinh cần nhớ các tỉ số lượng giác của α với α là 3 góc đặc biệt là
300, 450 và 600 bằng cách sin300; sin450; sin600 lần lượt là

1
2
3
;
;
. Các
2
2
2

giá trị của cosα cũng là ba số trên nhưng viết theo thứ tự ngược lại. Các giá trị
của tanα là tỉ số các giá trị sinα và cosα. Các giá trị của cotα cũng là các giá
trị của tanα nhưng viết theo thứ tự ngược lại.
Để có kỹ năng vận dụng và biến đổi thành thạo các tỉ số lượng giác học
sinh cần nhớ định nghĩa và một số hệ thức cơ bản sau có trong bài tập ở SGK:
1. Định nghĩa

B

A

Cạnh đối

Cạnh kề

ˆ = 900 ; B
ˆ =α
Xét ∆ABC , A
sin α =

c¹nh ®èi
c¹nh huyÒn

cosα =

c¹nh kÒ
c¹nh huyÒn

tan α =

c¹nh ®èi
c¹nh kÒ

cot α =

c¹nh kÒ
c¹nh ®èi

C

α
Cạnh huyền

3


2. Một số hệ thức cơ bản
a. sin2α + cos2α = 1
b. tanα . cotα = 1

c. tan α =

sin α
cos α

d. cot α =

cos α
sin α

2
e. 1 + tan α =

1
cos 2 α

2
f. 1 + cot α =

1
sin 2 α
A

3. Hệ thức giữa cạnh và góc
b = a sinB = a cosC

b

c

b = c tanB = c cotC
c = a sinC = a cosB
B

c = b tanC = c cotB

a

C

4. Một số tính chất
+ Nếu sinα - sinβ (hoặc cosα = cosβ) tanα = tanβ; cotα = cotβ thì α = β
+ Khi góc α tăng từ 00 đến 900 thì sinα và tanα tăng còn cosα và cotα
giảm.
+ Nếu hai góc phụ nhau thì sin góc này bằng cosin góc kia, tang góc
này bằng cotang góc kia.

4


IV. NỘI DUNG
Các dạng toán tỉ số lượng giác thường gặp và các phương pháp giải nó
với một số ví dụ minh họa.
Dạng 1: Vận dụng định nghĩa của các tỉ số lượng giác phương pháp
chứng minh.
Để tính các tỉ số lượng giác của các góc nhọn trong một tam giác vuông
khi biết độ dài hai cạnh ta dùng định lý Pitago để tính cạnh còn lại. Sau đó
dùng định nghĩa để tính các tỉ số lượng giác của góc nhọn còn lại theo định lý
tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau.
Ví dụ 1: Tam giác ABC vuông tại A, AB = 4cm, BC = 6cm. Tính các tỉ số

lượng giác của góc B và góc C.
Giải
Dùng định lý Pitago tính được: AC = 2 5cm .
sin B =

AC 2 5
=
≈ 0,7454 = cos C
BC
4

cos B =

AB 4
= ≈ 0,6667 = sin C
BC 6

tan B =

AC 2 5
=
≈ 1,118 = cot C
AB
4

cot B =

AB
4
=

≈ 0,8944 = tan C
AC 2 5

C

6

A

4

B

Lưu ý: Sau khi tính được sinB và cosB ta có thể tính tanB và cosB bằng
cách khác:
tan B =

sin B 2 5 4
=
: ≈ 1,1,8
cos B
6 6

cot B =

cos B 4 2 5
= :
= 0,8944
sin B 6 6

Ví dụ 2: Cho tam giác nhọn ABC, hai đường cao BH và CK.
a) Hãy biểu thị cosA bằng hai cách để chứng minh ∆AHK ∾∆ABC.
5


ˆ = 450 , chứng minh SAHK = SBCHK
b) Biết A
Giải
a) Xét tam giác HAB vuông tại H có:
cos A =

A

AH
AB

Xét tam giá KAC vuông tại K có:

H

AK
cos A =
AC
Suy ra:

K

AH AK
=
(= cos A)

AB AC

B

C

Do đó: ∆AHK ∾∆ΑΒC (c-g-c)
2

b)

SAHK  AH 
2
=
÷ = cos A
SABC  AB 
2

⇒ SAHK

 2 1
= SABC .cos 2 A = SABC .
÷ = SABC
2

 2

Mặt khác: SAHK + SBCHK = SABC nên SAHK = SBCHK
a 2 − b2
Ví dụ 3: Cho cot α =

trong đó α là góc nhọn a > b > 0. Tính cosα.
2ab
Giải
Cách 1: Vận dụng định nghĩa của các tỉ số lượng giác. Dựng ∆ABC vuông
tạiA; AB = a2 – b2
a 2 − b2
AC m= 2ab thế thì: cot B =
2ab

C

ˆ =α
Vậy B

2ab
ab

BC2 = AB2 + AC2 = (a 2 − b 2 ) 2 + (2ab) 2 = (a 2 + b 2 ) 2
⇒ BC = a 2 + b 2
cos α =

B

AB a 2 − b 2
=
BC a 2 + b 2

6

a2- b2

A


Nhận xét: Ta thấy để tính giá trị một tỉ số lượng giác bằng cách vận dụng định
nghĩa ta phải tạo ra một tam giác vuông có góc bằng góc α. Trong nhiều
trường hợp ta thường vẽ thêm đường vuông góc làm xuất hiện tam giác vuông
để có điều kiện tính các tỉ số lượng giác.
Chú ý: Ví dị trên có thể giảitheo cách khác bằng cách vận dụng các công thức
bổ sung.
Cách 2:
a 2 − b2
cot α =
2ab

2ab
a − b2
1
1
2
1 + tan 2 α =
⇒
cos
α
=
=
cos 2 α
1 + tan 2 α
⇒ tan α =

2

1
(a 2 − b 2 ) 2
= 2
4a 2 b 2
(a + b 2 ) 2
1+ 2
(a − b 2 ) 2

a 2 − b2
⇒ cos α = 2
a + b2
Ví dụ 4: Cho tam giác nhọn ABC, AB = c; BC = a; AC = b. Chứng minh
rằng:

a
b
c
=
=
sin A sin B SinC
Giải
Vẽ CH CH ⊥ AB ta có sin A =
Do đó:

sin A BC a
=
=
sin B AC b

Suy ra:

a
b
=
sin A sin B

CH
CH
;sin B =
AC
BC
A

Chứng minh tương tự ta được:

H

b
c
=
sin B sin C

B

a
b
c
=

=
Vậy
sin A sin B sin C

7

C


Ví dụ 5: Tam giác ABC, đường trung tuyến AM. Chứng minh rằng nếu
cotB= 3cotC thì AM = AC
Giải
Để tính cotA và cotC ta vẽ đường cao AH
BH
CH
; cot C =
AH
AH
cot B = Bcot C
⇔ BH = 3CH
cot B =

A

⇔ BC = 4CH
⇔ MC = 2CH

B

⇔ MH = HC

C

M H

⇔ ∆AMC cân
⇔ AM = AC
ˆ = α = 450 , đường trung
Ví dụ 5: Xét tam giác ABC vuông tại A; AB < AC; C
tuyến AM, đường cao AH, MA = MB = MC = a. Chứng minh các công thức
a) sin2α = 2sinα cosα
b) 1 + cos2α = 2 cos2α
c) 1 – cos2α = 2 sin2α
Giải
Ta có: sin α =

AH
CH
; cos α =
AC
AC

a

·
AMH
= 2α
AH AH
cos 2α =
=

AM
a
AH AH
sin 2α =
=
AM
a

2α
B

H

AH CH 2AH.CH 2AH.CH
.
=
=
AC AC
AC2
BC.CH
2AH AH
=
=
= sin 2α
2a
a

2sin α. cos α = 2
a)

b)

A

Xét
8

α
M

a

C


2

2.CH 2 2CH.CH 2CH
 CH 
2cos α = 2. 
=
=
÷ =
BC
 AC  BC.CH BC.CH
2CH CH
=
=
2a
a

2

Xét 1 + cos 2α = 1+

HM a + HM CH
=
=
a
a
a

(1)

(2)

Từ (1) và (2) suy ra: 1 + cos 2α = 2 cos 2 α
2

c)

AH 2
 AH 
Ta có: 2sin α = 2. 
÷ = 2.
AC2
 AC 
2

= 2.
Xét: 1 − cos 2α = 1−

BH.HC 2BH 2BH BH
=
=
=
BC.HC BC
2a
a

(1)

HM a − HM BH
=
=
a
a
a

(2)

Từ (1) và (2) suy ra: 2sin 2 α = 1 − cos 2α
Dạng 2: Vận dụng định lý về tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau
Phương pháp
Nhờ có định lý về tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau mà ta có thể so
sánh sin và cosin của hai góc, tang và cotang của hai góc bằng cách đưa về so
sánh cùng tỉ số sin hoặc cùng tỉ số tang của hai góc khác nhau.
Ta có thể đưa sin của một góc về cos của một góc phụ nó. Sau đó sử
dụng các công thức để tính nhanh kết quả.
Ví dụ 6: Không dùng máy tính hoặc bảng số hãy sắp xếp các tỉ số lượng giác
sau theo thứ tự tăng dần: cot 400 ; sin 500 ; tan 700 ; cos550

Giải
Theo định lý về tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau ta có:
cos550 = sin 350 ; cot 500 = tan 700
Vì sin 350 < sin 500 < tan 500 < tan 700
Lưu ý: Sinα < tanα
9


Ví dụ 7: Không dùng bảng tính số hoặc máy tính, tính nhanh giá trị của biểu
thức:
a) M = sin 2 100 + sin 2 200 + sin 2 450 + sin 2 700 + sin 2 800
b) N = tan 350.tan 400.tan 450.tan 50 0.tan 550
Giải
a)

M = (sin 2 100 + sin 2 800 ) + (sin 2 200 + sin 2 700 ) + sin 2 450
= (sin 2 100 + cos 2 100 ) + (sin 2 200 + cos 2 200 ) + sin 2 450

b)

N = (tan 350.tan 550 ).(tan 400.tan 500 ).tan 450
= (tan 350.tan 350 ).(tan 400.tan 400 ).tan 450 = 1.1.1 = 1

Ví dụ 8: Cho biểu thức: A =

cos800 − sin α
tan 600 − cot 700

(00 < α < 900 )

Xác định dấu của biểu thức A theo giá trị của α
Giải
A=

cos800 − sin α
sin100 − sin α
=
tan 600 − cot 700 tan 600 − tan 200

Vì tan600 > tan200 nêntan600 – tan200 > 0
- Nếu α = 100 thì sin100 = sinα ⇒ sin100 – sinα = 0 ⇒ Α = 0
- Nếu α > 100 thì sin100 < sinα ⇒ sin100 – sinα < 0 ⇒ Α < 0
Dạng 3: Biết tỉ số lượng giác của một góc tính các tỉ số lượng giác còn lại
của góc đó
+ Biết sin hoặc cosin của một góc
Ví dụ 9: Biết sin α =

5
, hãy tính cosα, tanα, cotα.
13
Giải

10


Phân tích, biết sinα sẽ tồn tại được cosα nhờ hệ thức cơ bản
sin 2 α + cos 2 α = 1 . Khi đã biết sinα và cosα thì sẽ tìm được tanα và cotα nhờ
hệ thức tan α =

sin α

cos α
và cot α =
cos α
sin α
Giải
2

 5  144
Ta có; sin α + cos α = 1 ⇒ cos α = 1 ÷ =
 13  169
2

2

Do đó: cos α =

2

12
13

sin α 5 12 15
= : =
cos α 13 13 12
12
cot α =
5
tan α =

Biết tang hoặc cotang của một góc

Trước hết ta bổ sung thêm hai hệ thức cơ bản
1 + tan 2 α =

1
1
> 1 + cot 2 α =
2
cos 2
sin 2 α
2

2
2
1
 sin α  cos α + sin α
=
Chứng minh: 1 + tan α = 1+ 
÷ =
2
cos α
cos 2 α
 cos α 
2

2

2
2
1
 cos α  sin α + cos α

1 + cot α = 1 + 
=
÷ =
2
sin α
sin 2 α
 sin α 
2

Ví dụ 10: Biết tan α =

12
, hãy tính sinα, cosα.
35
Giải
2

1
1
 12  1369
⇒
=
1
+
Ta có: 1 + tan α =
 ÷ =
cos 2 α cos 2 α
 35  1225
2

cos α =

1225 35
=
1369 37

11


sin 2 α = 1− cos 2 α = 1−
⇒ sin α =

35 144
=
37 1369

12
37

Ví dụ 11: Biết sinα + cosα =

7 0
(0 < α < 900 ) . Tính tanα.
5
Giải
2

7

Do sin α + cos α = 1 ⇒ sin α +  − sin α ÷ = 1

5

2

2

2

⇒ 25sin 2 α − 35sin α + 12 = 0
⇒ (5sin α − 4)(5 sin α − 3) = 0
4

sin
α
=

5
⇒
sin α = 3

5
- Nếu sin α =

4
3
4
thì cos α = ⇒ tan α =
5
5
3

- Nếu sin α =

3
4
3
thì cos α = ⇒ tan α =
5
5
4

Dạng 4: Tính tỉ số lượng giác của một góc mà không dùng bảng số, không
dùng máy tính
Phương pháp:Tạo một tam giác vuông có một góc bằng góc cần tính tỉ số
lượng giác từ đó ta suy ra các tỉ số về cạnh để tính.
Ví dụ 12: Tính tan150 mà không dùng bảng số, không dùng máy tính.
Giải
ˆ = 900 ; B
ˆ = 150 , AC = 1.
Xét tam giác ABC có A

B
150

Đường trung trực của BC cắt AB ở I.
·
Ta có : AIC
= 300 nên IC = 2AB = 2
I
300

12
A

1

C


AC
1
= tan 300 =
AI
3
⇒ AI = 3
Ta có: AB = AI + BI = AI + IC = 3 + 2
tan150 =

AC
1
=
= 2− 3
AB 2 + 3

Ví dụ 13: Tính cos360 mà không dùng bảng số, không dùng máy tính.
Giải
ˆ = 360 ;BC = 1
Vẽ ∆ABC cân tại A, A
ˆ = 720
ˆ =C

Thế thì B

A

Vẽ đường phân giác CDx
Ta có ∆ADC cân tại D

360

x

1

∆ BCD cân tại C, AD = DC = CB = 1
Kẻ DH ⊥ AC . Đặt AH = HC = x
AH
=x
Như vậy cos360 =
AD

H

D
720

Ta có: AB = AC = 2x

x

K

360

BD = 2x – 1
Xét ∆ ABC với đường phân giác CD

B

2

1 5

⇔  2x − ÷ =
2 4

1
5
=±
2
2

⇔
Do x > 0 nên x =

1+ 5
1+ 5
. Do đó cos360 = x =
4
4

13

36

720

DA AC
1
=
⇒
= 2x
DB CB
2x − 1
⇔ 4x 2 − 2x − 1 = 0

⇔ 2x −

0

1

C


Dạng 5: Chứng minh hệ thức
Phương pháp: Để chứng minh hệ thức lượng giác chủ yếu ta dùng các phép
biển đổi và các công thức lượng giác đã biết để biến đổi vế này thành về kia
hoặc biến đổi. Tương đương đồng thời 2 vế về 1 đẳng thức đúng.
Ví dụ 14: Cho biểu thức A =

1 − 2sin αcosα
với α ≠ 450
2
2
sin α − cos α

a) chứng minh rằng: A =

sin α − cosα
sin α + cosα
1
3

b) tính giá trị của A biết tanα =

Giải:
1 − 2sin αcosα sin 2 α + cos 2α − 2sin αcosα
A=
=
=
sin 2 α − cos 2α ( sin α − cosα ) ( sin α + cosα )

( sin α − cosα )
=
( sin α − cosα ) ( sin α + cosα )
2

=

sin α − cosα

sin α + cosα

(Vì α ≠ 450 nên sinα – cosα ≠ 0).
b) chia cả tử và mẫu của A cho cosα ta được:
sin α
−1
tan α − 1
cos
α
A=
=
=
sin α
tan
α
+
1
+1
cosα

1
−1
1
3
=− .
1
2
+1
3

Lưu ý: Sau khi rút gọn, biểu thức A chỉ chứa sinα và cosα. Ta đã chia cả tử và
mẫu cho cosα để khử sinα, cosα và làm xuất hiện tanα, do đó có thể tính được
giá trị của biểu thức A nếu đề bài cho giá trị của cotα thì phải chia cả tử và
mẫu cho sinα, cosα và làm xuất hiện cotα.
Ví dụ 15: Chứng minh các đẳng thức.
a) sin6α + cos6α = 1 – 3sin2αcos2α

14


b)

sin α + cosα − 1
2cos α
=
1 − cosα
sin α − cosα + 1
Giải:

a) ta có: sin6α + cos6α = (sin2α)3 + (cos2α)3
= (sin2α + cos2α)[(cos2α)2 – cos2αsin2α + (sin2α)2]
= (cos2α)2 – cos2αsin2α + (sin2α)2
= (cos2α + sin2α)2 – 3sin2αcos2α
= 1 – 3sin2αcos2α
c)

sin α + cosα − 1
2cos α
=
1 − cosα

sin α − cosα + 1
⇔ ( sin α + cosα − 1) ( sin α − cosα + 1) = 2 ( 1 − cosα ) cosα
⇔ sin 2 α = ( cosα − 1) = 2cos α − 2cos 2 α
2

⇔ sin 2 α + cos 2α = 1
Đẳng thức cuối cùng đúng. Vậy đẳng thức xuất phát đúng
Dạng 6: Tính giá trị của góc.
Phương pháp: Muốn tính được giá trị của một góc ta phải tìm được giá trị
của 1 tỉ số lượng giác của góc đó
Ví dụ 16: Tìm x biết rằng. tanx + cotx = 2
sinx cos x
+
−2=0
cos x sinx
sin 2 x + cos 2 x − 2sin x cos x
=0
sin x cos x

( sinx = cos x )

2

=0

Suy ra: sinx = cosx
Do đó: t anx =

sinx
= 1 = tan 450

cos x

Vậy x = 450
Ví dụ 17: Cho sin x+ cos x = 2 . Tìm x
Giải:
Bình phương 2 vế ta được:
15


sin2x + cos2x + 2sinxcosx = 2
⇔ 1+ 2sinxcosx = 2
⇔ 1 – 2sinxcosx = 0
⇔ ( sinx-cos x ) = 0
2

⇔ sinx = cos x
Mà theo bài ra sinx+ cos x = 2
2
2
⇒ sinx = sin 450
⇒ sinx =

⇒ x = 450
Dạng 7: Vận dụng một số hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông để
tính diện tích tứ giác.
Ví dụ 18: Tứ giác ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại O cho biết
¼
AOD = 700 , AC = 5,3CB, BD = 4,0CB. Tính diện tích tứ giác ABCD (làm
tròn kết quả đến một chữ số thập phân).
Giải:

A
K

Tìm hướng giải: Diện tích tứ giác ABCD
bằng tổng diện tích của cao tam giác ABC

O
H

và AKC. Đã biết AC, cần biết thêm chiều
cao ứng với AC. Do đó cần vẽ BH ⊥ AC;
DK ⊥ AC.
Lời giải:

B

D

C

Vẽ BH ⊥ AC; DK ⊥ AC.

¼ .
Đặt AOD
=α
Xét tam giác vuông HOB có BH = OB.sinα. Xét tam giác vuông KOD.
Có DK = Odsinα

16

1
SABCD = SABC + SADC = AC ( BH + DK )
2
1
= AC ( OB + OD ) sin α
2
1
= AC.BDsin α
2
1
1
= .5,5.4.sin 700 ≈ .5.3.4.0,9397
2
2
SABCD ≈ 10,0 (cm2).
Nhận xét:

Nếu tứ giác có độ dài hai đường chéo là m và n góc nhọn.

1
Xen giữa hai đường chéo là α thì diện tích tứ giác là: S = .m.n.sin α .
2
ˆ = 1200 , AB = a, BC = b các
Ví dụ 19: Cho hình bình hành ABCD có A
đường phân giác của bốn góc cắt nhau tạo thành tứ giác MNPQ. Tính dienj
tích tứ giác MNPQ.
Giải: Dễ thấy MNPQ là hình chữ nhật
A

1
AQ = AD.cos60 = a
2
1
AM = AB.cos600 = b
2
0

Suy ra: MQ =

Vậy SMNPQ

M

B
b

P
Q

1
( a − b)
2

Tương tự ta có PQ =

a
N

B

C

3
( a − b)
2

( a − b)
= MQ.PQ =

2

. 3

4

Dạng 8: Vận dụng một số hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông để
giải tam giác thường (Khi biết trước 3 yếu tố).
Phương pháp giải: Thường vẽ đường cao để vận dụng hệ thức về cạnh và
góc trong tam giác vuông để tính các yếu tố.
ˆ = 1200 ,A
ˆ = 350 ,AB = 12,25dm .
Ví dụ 20: Cho tam giác ABC có A
Hãy giải tam giác ABC. (Làm tròn kết quả đến hai chữ số thập phân).
17


Giải:
·

C = 1800 − 1200 + 350 = 250.

(

)

Vẽ AH ⊥ BC vì các góc B và C nhọn nên H nằm giữa B và C
AH = AB.sinB = AC.SinC
AB.sin B 12,25sin 350
=
≈ 16,63(dm)
sin C
sin 250
BC = BH + CH = AB.cos350 + AC.cos250
≈ 10,035 + 15,069 ≈ 25,10(dm)

A

⇒ AC =

12,25

B

350

H

C

·
Ví dụ 21: Cho tam giác nhọn ABC, A = 750 ,AB = 30mm;BC = 35mm. Hãy
giải ∆ABC (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).
Giải:

A

Vì tam giác ABC nhọn nên theo ví dụ 4 ta có:

750

a
b
c
=
=
sin A sin B sin C

30

C.sin A 30.sin 750
sin C =
=
≈ 0,8275
a
3
·
⇒ C = 560
·
B = 1800 − 750 + 560 = 490

(

35

B

C

)

a sin B 35.sin 490
b=
=
≈ 27 ( mm )
sin A
sin 750
Ví dụ 22: Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao BH biết BH = h,
·
C = α. Hãy giải ∆ABC.

A

· ·
·
Giải: B = C = α;A = 1800 − 2α. Xét ∆BHC
Vuông có BH = BC. Sinα
⇒ BC =

h

sin α

H
B

Vẽ AK ⊥ BC thì
Xét ∆AKC có:
18

α
K

C


KC = AC. cosC ⇒ AC =
AB =

KC
h
=
cosα 2sin αcosα

h
2sin αcosα

V.NHỮNG KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC
Quá trình giảng dạy thực hiện đúng chương trình, đúng phương pháp.
Học sinh nắm vững các kiến thức cơ bản đã được học và có khả năng vận
dụng tốt trong giải toán. Khi đọc đề toán học sinh biết nên chọn phương pháp

nào để chứng minh. Từ chỗ xác định ra cách giải các dạng toán về “tỉ số
lượng giác của góc nhọn” đúng hướng. Học sinh không những giải nhanh và
chính xác loại toán này mà còn đưa ra những lời giải hợp lý, ngắn gọn để giải
những bài toán khác. Trước đây nhiều em rất sợ học hình, nay các em đã yêu
thích bộ môn này nhất là phần lượng giác. Do đó chất lượng đại trà ở các lớp
tôi dạy được nâng lên rõ nét cụ thể kết quả một bài khảo sát sau phần tỉ số
lượng giác ở hai lớp 9D, 9E (năm 2012, 2013) tôi dạy như sau:
Điểm
Số
em

10
7
5

9
5
6

8
8
6

7
6
7

6
6
8

5
9
4

4
1
2

3
0
0

Lớp
9D
9E

Đặc biệt đối với lớp bồi dưỡng học sinh giỏi nhiều em thể hiện tư duy sáng
tạo qua nhiều bài toán. Tự các em khám phá, tìm tòi, tổng hợp các dạng toán
của một số bài tập lượng giác ở các sách tham khảo và các lớp cao hơn.
Tôi đã báo cáo chuyên đề này ở tổ và buổi sinh hoạt chuyên môn cụm
được nhiều người biểu dương, khen ngợi.

19


VI. ĐỀ XUẤT
1. Đối với giáo viên
Giáo viên phải nhận thức đúng vị trí của bộ môn Toán trong toàn bộ
kiến thức hình học của THCS. Xác định tầm quan trọng của toán nâng cao

trong việc bồi dưỡng học sinh giỏi, giáo viên phải thường xuyên nghiên cứu,
phải học tập, trau dồi chuyên môn nghiệp vụ và có kinh nghiệm trong giảng
dạy đối tượng học sinh giỏi.
2. Đối với nhà trường.
Trước hết tổ chuyên môn phải là chỗ dựa vững chắc tin cậy cho giáo
viên trong việc trau dồi chuyên môn nghiệp vụ, cần phải tạo điều kiện thuận
lợi cho giáo viên về các điều kiện giảng dạy như có đủ sách tham khảo và các
thiết bị dạy học cần thiết để nghiên cứu.
Để tạo điều kiện thực hiện tốt được giải pháp đã nêu thì đòi hỏi phải có
thêm thời gian và phù hợp với tứng đối tượng. Cho nên ngoài các giờ chính
kháo, trên lớp nhà trường nên tổ chức thêm các buổi học bồi dưỡng và phụ
đạo cho học sinh.
3. Đối với các cấp quản lý giáo dục
- Thường xuyên tổ chức các chuyên đề, hội thảo để giáo viên giảng dạy
bộ môn Toán có điều kiện tiếp xúc, học hỏi kinh nghiệm.
- Hàng năm phòng giáo dục nên in những sáng kiến kinh nghiệm tốt
gửi về các trường để giáo viên tham khảo và học tập.

20


VII. KẾT LUẬN
Như chúng ta đã biết toán học là công cụ cho mọi khoa học, là chìa
khóa trí thức cho mọi ngành học. Cho nên là giáo viên dạy toán thiết nghĩ
việc phân dạng bài tập chốt lại phương pháp giải cho từng dạng là việc làm
cần thiết và thường nhật của mỗi người giáo viên. Đồng thời rèn luyện cho
học sinh tình tự học, sáng tạo, suy luận linh hoạt trong các bài toán để vận
dụng và tiếp thu kiến thức tốt hơn góp phần thực hiện nhiệm vụ trọng trách
của giáo dục trong thời kỳ đất nước hội nhập toàn cầu hóa.

21