mô hình hóa chuong 6

CHƯƠNG VI – MÔ PHỎNG HỆ THỐNG HÀNG ĐỢI
6.1. Khái niệm chung về hệ thống hàng đợi(Queueing Systerm)
- Hệ thống hàng đợi là một hệ thống có các bộ phận phục vụ(Services) và các khách hàng đi đến hệ thống để được phục vụ.

- Nếu khi khách hàng đến mà các bộ phận phục vụ đều bị bận thì khách hàng sẽ xếp hàng để đợi được phục vụ.

- Chính vì những lý do đó mà ta có hệ thống hàng đợi. Lý thuyết toán học để khảo sát các hệ hàng đợi được gọi là lý thuyết phục vụ đám
đông.

- Trong hệ hàng đợi khách hàng là sự kiện gián đoạn xảy ra tại các thời điểm ngẫu nhiên, vì vậy hệ hàng đợi thuộc loại hệ các sự kiện gián
đoạn.

1


6.2. Các thành phần của hệ thống hàng đợi(Queueing Systerm)

Hình 6.1. Hệ thống hàng đợi một kênh phục vụ

2


6.2. Các thành phần của hệ thống hàng đợi(Queueing Systerm)
- Mô phỏng hệ thống hàng đợi nhằm đánh giá năng lực làm việc của hệ thống, khả năng mất khách hàng do để khách phải chờ quá lâu,
hoặc không còn chỗ để xếp hàng đợi đến lượt được phục vụ.
- Trên cơ sở phân tích đánh giá năng lực để thiết kế lại hệ thống, chọn số kênh phục vụ, kích thước hàng đợi, năng suất phục vụ… để đạt
hiệu quả tối ưu

Bảng 6.1. Một số hệ thống hàng đợi

3

Bảng 6.1. Một số hệ thống hàng đợi


6.2. Các thành phần của hệ thống hàng đợi(Queueing Systerm)
- Hệ thống hàng đợi gồm 3 bộ phận chính:
+ Dòng khách hàng( Arriving Customers): Là các phần tử, các sự kiện đi đến hệ thống để được phục vụ (khách hàng).
- Cường độ dòng khách hàng λ l/đvtg.
- Dòng khách hàng là một dòng các sự kiện gián đoạn, ngẫu nhiên do đó khoảng thời gian giữa hai khách hàng liên tiếp là một
đại lượng ngẫu nhiên.
+ Kênh phục vụ( Server): Là bộ phận phục vụ khách hàng, thực hiện các yêu cầu của khách hàng.
- Thời gian phục vụ(Service Time): Là khoảng thời gian giữa các lần phục vụ.
- Đặc trưng cho kênh phục vụ là dòng phục vụ với cường độ phục vụ là μ (l/đvtg)(Số khách hàng được phục vụ xong trên một đơn
vị thời gian)
μ = 1/Ms Trong đó Ms Kỳ vọng toán học của thời gian phục vụ.

4


6.2. Các thành phần của hệ thống hàng đợi(Queueing Systerm)
+ Hàng đợi: Queue Là số khách hàng chờ đến lượt phục vụ
- Chiều dài hàng đợi: Số khách hàng có trong hàng đợi đang chờ được phục vụ. Nếu số vị trí đứng đợi không hạn chế thì chiều dài hàng đợi
có thể dài bất kỳ, ngược lại nếu số vị trí đứng đợi bị hạn chế thì chiều dài hàng đợi không vượt quá số đã cho.
- Thời gian đợi: Là khoảng thời gian từ khi khách hàng đến hệ thống đến khi bắt đầu được phục vụ. (Thời gian đợi có thể được hạn chế
hoặc không hạn chế tức có vị khách chờ bao lâu cũng được, có vị khách chỉ đợi trong một thời gian nào đó, sau khoảng thời gian này
khách sẽ tự động bỏ hệ thống cho dù hệ thống vẫn còn chỗ đứng đợi)
- Luật xếp hàng: Là phương thức chọn khách hàng trong hàng đợi:
* Đến trước phục vụ trước FIFO: Các dịch vụ công cộng
* Đến sau phục vụ trước LIFO: Lấy dữ liệu tại một ô nhớ. Ra khỏi buồng thang máy.
* Ngẫu nhiên: Các khách hàng đều có độ ưu tiên như nhau và được phục vụ ngẫu nhiên
* Ưu tiên: Một số khách hàng có một số đặc tính đặc biệt nào đó được phục vụ trước.

5


6.3. Dòng khách hàng
Ví dụ: - Dòng các cuộc gọi của một trạm điện thoại
- Dòng các thiết bị điện gia dụng nối vào mạng điện cung cấp



- Dòng bệnh nhân đến khám bệnh, khách hàng vào nhà hàng, siêu thị…
Gọi là dòng sự kiện ngẫu nhiên có trạng thái gián đoạn xảy ra kế tiếp nhau trong thời gian liên tục

Hình 6.2. Dòng sự kiện gián đoạn
* Dòng (sự kiện) tối giản có 3 tính chất
- Dòng dừng: là dòng mà xác suất xảy ra một số sự kiện nào đó chỉ phụ thuộc vào quãng thời gian t mà không phụ thuộc vào vị trí của
quãng thòi gian t trên trục thời gian
- Dòng không hậu quả: là dòng mà số sự kiện xảy ra độc lập nhau
- Dòng tọa độ: là dòng mà các sự kiện chỉ xảy ra tại một tọa độ nhất định
Dòng dừng hoặc không dừng nhưng không hâu quả và tọa độ  gọi là dòng Poisson

λ = λ (t)
Nếu λ = const thì dòng Poisson là dừng và trở thành dòng tối giản

6


6.3. Dòng khách hàng
- VD: Xét một dòng
khách hàng là một

dòng tối giản.

t1, t 2, …ti

Thời điểm các khách hàng xuất hiện.

A1, A 2, …Ai Khoảng thời gian giữa các khách hàng.
Do dòng khách hàng là dòng tối giản nên cường độ khách hàng(Số khách hàng trung bình trên một đơn vị thời gian) là hằng số.

Trong đó MA Kỳ vọng toán học của đại lượng ngẫu nhiên A1 A2 Ai

7


6.4. Kênh phục vụ
- Một hệ thống có thể có 1 hoặc nhiều kênh phục vụ. Tùy tính chất khách hàng mà thời gian phục vụ khác nhau, thời gian
phục vụ là một đại lượng ngẫu nhiên
- Ký hiệu của hàng đợi
+ M/M/1: hệ thống hàng đợi có 1 kênh phục vụ, dòng khách hàng và phục vụ là dòng tối giản
+ M/M/S: hệ thống hàng đợi có S kênh phục vụ, dòng khách hàng và phục vụ là dòng tối giản
+ GI/G/S: hệ thống hàng đợi có S kênh phục vụ, dòng khách hàng và phục vụ không phải là dòng tối giản
- Khả năng của hệ thống được đánh giá bằng hệ số sử dụng:
Hệ M/M/1: ρ = λ /µ
Hệ M/M/S: ρ = λ /Sµ

8


6.5. Thời gian xếp hàng và chiều dài hàng đợi
Wi = Di + Si

Wi Thời gian chờ đợi trong hệ thống của khách hàng thứ i
Di Thời gian xếp hàng của khách hàng thứ i
Si Thời gian phục vụ cho khách hàng thứ i
L(t) = Q(t) + P(t)
L(t) Số khách hàng trong hệ thống tại thời điểm t.
Q(t) Số khách hàng trong hàng đợi tại thời điểm t.
P(t) Số khách hàng đang được phục vụ tại thời điểm t.
Thời gian xếp hàng trung bình:

Thời gian chờ đợi trung bình trong hệ thống

9


6.5. Thời gian xếp hàng và chiều dài hàng đợi
* Chiều dài trung bình của hàng đợi: Q = λd
λ: Cường độ dòng khách hàng.
d: Thời gian xếp hàng trung bình
* Trị số khách hàng trung bình có trong hệ thống: L = ωλ
ω: Thời gian chờ đợi trung bình của khách hàng trong hệ thống.

10


6.6. Năng lực phục vụ và xác suất mất khách hàng của hệ thống
- Xét một hệ thống hàng đợi M/M/1. Hệ thống có n chỗ đợi, khi khách đến mà cả n vị trí đợi đều bị chiếm chỗ thì khách hàng sẽ tự động bỏ
đi tức là hệ thống mất khách.
- Cường độ dòng khách là: λ
- Cường độ phục vụ là: μ
- Trạng thái của hệ thống: Ui

U0 Điểm phục vụ rỗi(Không có khách hàng)
U1 Một khách đang được phục vụ, không có khách đợi.
U2 Một khách đang được phục vụ, có một khách đợi.
U3 Một khách đang được phục vụ, có hai khách đợi.
…
Ui Một khách đang được phục vụ, có i-1 khách đợi.
Un+1 Một khách đang được phục vụ, có n khách đợi.
p0, p1, …pn+1 xác suất để hệ thống ở trạng thái U0, U1, …Un+1

11


6.36 Năng lực phục vụ và xác suất mất khách hàng của hệ thống

λp0 = μ p1
λp1 = μ p2
…
λpi-1 = μ pi
Hay p0 = p0
p1 = (λ/μ)p0
2
p2 = (λ/μ) p0
n+1
pn+1 = (λ/μ)
p0

12


6.6. Năng lực phục vụ và xác suất mất khách hàng của hệ thống

Ta có p0 + p1 + …+ pn+1 = 1  xác suất hệ thống rỗi, không có khách:

* pn+1 là xác suất có 1 khách đang được phục vụ còn n khách đang xếp hàng. Khi đó nếu có khách hàng đến hệ thống sẽ bỏ đi bởi hệ thống
không còn chỗ  xác suất hệ thống mất khách:
p0 = pn+1

13


6.6. Năng lực phục vụ và xác suất mất khách hàng của hệ thống
* Đối lập với khả năng mất khách là khả năng phục vụ tương đối của hệ thống.
P* = 1 – pn+1
* Khả năng phục vụ tuyệt đối của hệ thống là
A = λ. P* Trong đó A là số khách hàng được phục vụ trên 1 đơn vị thời gian.
* Số khách hàng trung bình có trong hàng đợi là Q

* Thời gian xếp hàng trung bình: d = Q/λ

14


6.6. Năng lực phục vụ và xác suất mất khách hàng của hệ thống
* Thời gian trung bình của khách hàng trong hệ thống ω = Thời gian xếp hàng trung bình d + Thời gian phục vụ trung bình ts
ω = d + ts Trong đó ts = (1/μ). P*
Hay ω = d + ts = Q/λ + (1/μ). P*
* Số khách hàng trung bình đang được phục vụ là
Is = λ ts = λ (1/μ). P*
* Số khách hàng trung bình nằm trong hệ thống L = Số khách hàng trung bình trong hàng đợi Q + Số khách hàng trung bình đang được
phục vụ
L = Q + Is = Q + λ (1/μ). P*

15


6.6. Năng lực phục vụ và xác suất mất khách hàng của hệ thống

VD6.1: Một garage ôtô có bãi đỗ xe chỉ chứa được 5 xe ( n = 5). Cường độ dòng xe đến sửa chữa là λ = 1xe/1phút, Thời gian sửa chữa xe ôtô là
1.25 xe/phút. Hãy xác định:
- Xác suất để trạm mất khách p0
- Khả năng phục vụ tương đối và tuyệt đối: P* và A
- Trị số trung bình số ôtô chờ phục vụ Q.
- Trị số trung bình số ôtô có trong trạm L.
- Thời gian trung bình ôtô chờ trong hàng d.
- Thời gian trung bình ôtô có mặt tại trạm sửa chữa ω

16


6.7. Hệ thống hàng đợi M/M/1 có độ dài không hạn chế n ==> ∞
- Trong trường hợp độ dài không hạn chế thì tất cả khách hàng đều được phục vụ, hệ thống sẽ không bao giờ mất khách.
* Số khách hàng trung bình có trong hàng đợi là Q

* Trị số trung bình số khách hàng có mặt trong hệ thống

* Trị số trung bình thời gian khách hàng chờ trong hệ thống

17