giáo trình giảng dạy Toán cao cấp 2

NGUYỄN QUỐC TIẾN

BÀI GIẢNG

TOÁN CAO CẤP 2

THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH 11 – 2012
1

Th.s Nguyễn Quốc Tiến


1 CHƯƠNG 1

HÀM NHIỀU BIẾN

1.1 Hàm nhiều biến
1.1.1 Các định nghĩa
Định nghĩa 1.1.1 Một qui luật f đặt tương ứng mỗi cặp số thực (x , y ) ∈ D × D, D ⊂ R với một
và chỉ một phần tử z ∈ R thì ta nói f là hàm hai biến số trên D × D . Ký hiệu f : D × D → R
hay z = f (x , y ) .
Đối với hàm ba biến thì ta có định nghĩa tương tự, khi đó ta có: u = f (x , y, z ) . Chẳng hạn
u = 1 − x 2 − y 2 − z 2 , u = x + y 2 − z, ...

Định nghĩa 1.1.2 Tập hợp các cặp (x , y ) mà ứng với chúng có thể xác định được giá trị của z
được gọi là miền xác định của hàm hai biến z = f (x , y ) , ký hiệu là D( f ) .
Ví dụ 1.1.1
1) Miền xác định của hàm z =

1
2

1−x −y

2

là x 2 + y 2 < 4 . Vậy D( f ) gồm các điểm nằm

trong vòng tròn tâm là gốc toạ độ và bán kính bằng 2.
2) Miền xác định của hàm z = sin(x + y ) là R 2 .
1.1.2 Giới hạn của hàm hai biến
Định nghĩa 1.1.3 Số L được gọi là giới hạn của hàm z = f (x , y ) khi điểm M (x , y ) tiến đến điểm
M 0 (x 0, y 0 ) nếu với mọi ε > 0 bé tuỳ ý cho trước có thể tìm được δ > 0 sao cho khi
0 < M 0M < δ thì f (x , y ) − A < ε . Ký hiệu
lim f (x , y ) = A

M →M 0

Hay
lim f (x , y ) = A .

x →x 0
y →y 0

2

Th.s Nguyễn Quốc Tiến


Giới hạn của hàm hai biến còn có thể định nghĩa thông qua giới hạn của dãy như sau:
Định nghĩa 1.1.4 Cho hàm số f (M ) = f (x , y ) xác định trong miền D chứa điểm M 0 (x 0, y 0 ) có

thể trừ điểm M 0 . Ta nói rằng L là giới hạn của f (x , y ) khi điểm M (x , y ) dần tới điểm
M 0 (x 0 , y 0 ) nếu với mọi dãy M n (x n , yn ) thuộc D dần tới M 0 ta đều có lim f (x n , yn ) = L . Ký
n →+∞

hiệu

lim

(x ,y )→(x 0 ,y 0 )

f (x , y ) = L hay lim f (M ) = L .

Ví dụ 1.1.2 Tính

M →M 0

lim

(x ,y )→(0,0)

f (x , y ) với f (x , y ) =

xy
x 2 + y2

Giải.
Ta có f (x , y ) =
lim

(x n ,yn )→(0,0)

x
x 2 + y2

. y ≤ y , ∀(x , y ) ≠ (0, 0) , do đó ∀ {(x n , yn )} → (0, 0) ta đều có

f (x n , yn ) = 0.

Ví dụ 1.1.3 Chứng minh lim
x →0
y →0

xy
không tồn tại
x + y2
2

Giải.
Cho y = x ta có
x2
1
L = lim 2
= ,
x →0 x + x 2
2
y →0

nhưng cho y = 2x thì
2x 2
2

= .
L = lim 2
x →0 x + 4x 2
5
y →0

Vậy khi (x , y ) tiến về (0, 0) theo các hướng khác nhau thì f (x , y ) có những giới hạn khác nhau.
Do đó lim
x →0
y →0

xy
không tồn tại.
x + y2
2

1.1.3 Tính liên tục của hàm hai biến.
Định nghĩa 1.1.5 Giả sử M 0 (x 0, y 0 ) ∈ D( f ) . Hàm z = f (x , y ) được gọi là hàm liên tục tại điểm
M0 nếu
3

Th.s Nguyễn Quốc Tiến


lim f (x , y ) = f (x 0, y 0 ) .

x →x 0
y →y 0

Hàm số liên tục tại mọi điểm của một miền nào đó gọi là hàm liên tục trong miền đó.

Điểm mà tại đó hàm số không liên tục gọi là điểm gián đoạn của hàm số.
Ví dụ 1.1.4
1) Hàm số f (x , y ) = x 2 + y 2 liên tục tại mọi điểm của R 2
⎧⎪ xy
⎪⎪
, (x , y ) ≠ (0, 0)
2) Hàm số f (x , y ) = ⎪⎨ x 2 + y 2
gián đoạn tại (0, 0) vì không tồn tại
⎪⎪
, (x , y ) = (0, 0)
⎪⎪⎩1
lim
x →0
y →0

xy
.
x 2 + y2

1.2 Đạo hàm riêng
1.2.1 Đạo hàm riêng cấp một
Định nghĩa 1.2.1 Cho hàm z = f (x , y ) . Nếu xem y là một hằng số (tham số) thì f trở thành hàm
của một biến số x. Ta gọi đạo hàm riêng của z theo biến x là giới hạn
∂z
f (x + Δx , y ) − f (x , y )
= lim
Δx →0
∂x
Δx

Ký hiệu z x' , fx' ,

∂z ∂f
,
.
∂x ∂x

Tương tự ta cũng định nghĩa đạo hàm riêng của hàm z = f (x , y ) theo biến y .
Ví dụ 1.2.1
1) Cho z = x 2 + y . Ta có

∂z
∂z
= 2x ,
= 1.
∂x
∂y

2) Hàm số z = x y . Ta có

∂z
∂z
= yx y -1 và
= x y ln x
∂y
∂x

1.2.2 Đạo hàm riêng cấp cao
Định nghĩa 1.2.2 Cho hàm số z = f (x , y ) . Các đạo hàm fx' , fy' là những đạo hàm riêng cấp một.
Các đạo hàm riêng của các đạo hàm riêng cấp một gọi là các đạo hàm riêng cấp hai. Ký hiệu các

đạo hàm riêng cấp hai như sau
4

Th.s Nguyễn Quốc Tiến


∂ ⎛⎜ ∂f ⎞⎟ ∂2 f
= fx''2 (x , y )
⎜ ⎟⎟ =
2
⎟
⎜
∂x ⎝ ∂x ⎠ ∂x
∂ ⎛⎜ ∂f ⎞⎟
∂2 f
⎟
=
= fxy'' (x , y );
⎜ ⎟
⎟
⎜
∂y ⎝ ∂x ⎠ ∂y ∂x
∂ ⎛⎜ ∂f ⎞⎟
∂2 f
⎟
=
= fyx'' (x , y ) ;
⎜⎜ ⎟
⎟
∂x ⎝ ∂y ⎠ ∂x ∂y

∂ ⎛⎜ ∂f ⎞⎟ ∂2 f
= fy''2 (x , y ) .
⎜⎜ ⎟⎟ =
2
∂y ⎝ ∂y ⎠⎟ ∂y

Định lí 1.2.1 Nếu trong một lân cận U nào đó của điểm M 0 (x 0, y 0 ) hàm số z = f (x , y ) có các
''

''

''

''

đạo hàm riêng fxy , fyx và nếu các đạo hàm ấy liên tục tại M 0 thì fxy , = fyx tại M 0 .
∂2z
∂ 2z
xy
xy
Ví dụ 1.2.2 z = e ;
= e + xye =
.
∂x ∂y
∂y ∂x
xy

1.3 Vi phân
1.3.1 Vi phân toàn phần
Định nghĩa 1.3.1 Nếu hàm số z = f (x , y ) có các đạo hàm riêng trong lân cận điểm (x 0, y 0 ) và

các đạo hàm riêng

∂f ∂f
liên tục tại (x 0, y 0 ) thì ta có
,
∂x ∂y

Δz = f (x , y ) − f (x 0, y 0 ) =

∂f
∂f
(x 0, y 0 )Δx +
(x , y )Δy + 0(ρ) ,
∂x
∂y 0 0

trong đó
Δx = x − x 0, Δy = y − y 0, ρ = (Δx )2 + (Δy )2 < δ .
Δz = f (x , y ) − f (x 0, y 0 ) được gọi là số gia toàn phần của z. Hàm 0(ρ) là vô cùng bé cấp cao hơn

ρ khi ρ → 0 . Ta cũng nói hàm z khả vi tại điểm (x 0, y 0 ) .

Định nghĩa 1.3.2 Khi z = f (x , y ) khả vi tại (x 0, y 0 ) ta gọi phần tuyến tính
∂f
∂f
(x 0 , y 0 )Δx +
(x , y )Δy
∂x
∂y 0 0

là vi phân toàn phần của z = f (x , y ) tại (x 0, y 0 ) và ký hiệu là dz (x 0, y 0 ) . Vậy:
5

Th.s Nguyễn Quốc Tiến


dz (x 0, y 0 ) =

∂f
∂f
(x 0, y 0 )Δx +
(x , y )Δy ,
∂x
∂y 0 0

hay
df (x , y ) =

Ví dụ 1.3.1 Xét hàm z = x y ta có dz =

∂f
∂f
(x , y )dx +
(x , y )dy .
∂x
∂y

∂z
∂z
dx +

dy = yx y−1dx + x y ln x dy .
∂x
∂y

Định nghĩa 1.3.3 Vi phân cấp hai của hàm z = f (x , y ) là vi phân toàn phần của df (x , y ) tức là
d (df ) và được kí hiệu là d 2z hay d 2 f .

Bằng cách dựa vào đạo hàm riêng cấp 2, ta được công thức
∂2 f 2
∂2 f
∂2 f 2
d f (x , y ) =
dx + 2
dxdy + 2 dy .
∂x ∂y
∂x 2
∂y
2

1.3.2 Áp dụng vi phân toàn phần để tính gần đúng
Xét hàm z = f (x , y ) khả vi tại (x 0, y 0 ) . Khi Δx và Δy đủ bé ta có công thức gần đúng sau
Δz = f (x , y ) − f (x 0, y 0 ) ≈

∂f
∂f
(x 0, y 0 )Δx +
(x , y )Δy
∂x
∂y 0 0

hoặc
f (x , y ) ≈ f (x 0, y 0 ) +

∂f
∂f
(x 0, y 0 )Δx +
(x , y )Δy
∂x
∂y 0 0

Ví dụ 1.3.2 Tính gần đúng giá trị 1, 023,01 .
Giải.
Xét hàm z = x y , x = 1, y = 3, Δx = 0, 02, Δy = 0, 01 . Khi đó 1, 023,01 ≈ 1 + 0, 06 = 1, 06 .
1.3.3 Đạo hàm hàm hợp
Cho z = f (u, v ) với u = u(x , y ), v = v(x , y ) thì các đạo hàm riêng của z theo x , y được tính
theo công thức sau
∂z
∂z ∂u ∂z ∂v
=
+
,
∂x
∂u ∂x ∂v ∂x

tương tự
6

Th.s Nguyễn Quốc Tiến

∂z
∂z ∂u ∂z ∂v
=
+
.
∂y
∂u ∂y ∂v ∂y

Ví dụ 1.3.3 Tính các đạo hàm riêng của z theo x , y với z = e u

2

+v 2

, u = a cos x , v = a sin x .

Giải.
dz
∂z du ∂z dv
=
+
∂u2 dx
∂v dx
dx
2
2
u +v 2
=e
2u(−a sin x ) + e u +v 2v(a cos x )
= 2ae u

2

+v 2

(v cos x − u sin x ).

1.3.4 Đạo hàm của hàm ẩn
Xét phương trình F (x , y ) = 0 (1), nói chung không giải ra đối với y, trong đó F (x , y ) là
một hàm số xác định. Nếu ∀x ∈ E thì (1) có nghiệm duy nhất y = f (x ) thì y được gọi là hàm
ẩn theo biến số x trên E .

(

)

Nếu từ phương trình (1) xác định một hàm ẩn y = f (x ) thì ta có F x , f (x ) = 0 , nghĩa
là vế trái là hàm số hợp của biến số x thông qua biến trung gian y. Do đó, ta sẽ lấy đạo hàm của
(1) theo biến x bằng quy tắc đạo hàm hàm hợp.
Khi đó
∂F ∂F dy
+
= 0.
.
∂x
∂y dx

Nếu

∂F

≠ 0 thì :
∂y

∂F
dy
= − ∂x
dx
∂F
∂y

Nếu từ phương trình F (x , y, z ) = 0 (2) xác định một hàm ẩn 2 biến z = f (x , y ) thì tương

(

)

tự ta có F x ; y; f (x ; y ) = 0 . Nghĩa là, vế trái là hàm số hợp của 2 biến số x, y thông qua biến
trung gian z. Do đó, ta sẽ lấy các đạo hàm riêng của (2) theo biến x (hoặc y) bằng quy tắc đạo hàm
hàm hợp.
Khi đó
7

Th.s Nguyễn Quốc Tiến


∂F ∂F ∂z
+
= 0.
.
∂x

∂z ∂x

Nếu

∂F
≠ 0 thì
∂z
∂F
∂z
= − ∂x .
∂x
∂F
∂z

Tương tự, ta có
∂F
∂z
∂y
=−
∂y
∂F
∂z

Ví dụ 1.3.4 Phương trình x 2 + y 2 – a 2 = 0 xác định hai hàm số ẩn y = a 2 − x 2 và
y = − a 2 − x 2 trong khoảng – a ≤ x ≤a.

Ví dụ 1.3.5 Tính yx ′ nếu xy – e x + e y = 0
Giải.
Vì F (x , y )= xy – e x + e y khả vi trên \ 2 nên:
/

y =−

Fx/ (x , y )
Fy/ (x , y )

=−

y − ex
x + ey

nếu x + e y ≠ 0.
Ví dụ 1.3.6 Tìm z x' , biết z (x , y ) là hàm ẩn xác định từ phương trình x + y − z = e z −x −y
Giải.
Đặt
F (x , y, z ) = x + y − z − e z −x −y ≡ 0 .

Ta có
Fx' = 1 + e z −x −y ; Fz' = −1 − e z −x −y .

Suy ra
Fx'

1 + e z −x −y
z =− ' =−
=1
Fz
−1 − e z −x −y
Tương tự tìm đạo hàm riêng của z theo y.
'

x

8

Th.s Nguyễn Quốc Tiến


1.4 Cực trị của hàm hai biến
1.4.1 Điểm cực đại, điểm cực tiểu
Định nghĩa 1.4.1 M 0 (x 0, y 0 ) được gọi là điểm cực đại của z = f (x , y ) nếu tại mọi điểm M (x , y )
trong lân cận của M0 ta đều có f (x 0, y 0 ) ≥ f (x , y ) . Trong trường hợp này ta cũng nói là hàm
z = f (x , y ) đạt cực đại tại M 0 (x 0, y 0 ) .

Nếu thay chữ “đại” bởi chữ “tiểu” và bất đẳng thức f (x 0, y 0 ) ≥ f (x , y ) thay bởi
f (x 0, y 0 ) ≤ f (x , y ) thì M 0 (x 0, y 0 ) được gọi là điểm cực tiểu của z = f (x , y ) .

Điểm cực đại và cực tiểu khi chưa cần phân biệt được gọi chung là điểm cực trị hay gọn
hơn gọi là cực trị.
Ví dụ 1.4.1 Cho hàm z = x 2 + (y − 1)2 + 2 . Ta có z (0,1) = 2 và z (x , y ) ≥ 2 = z (0,1), ∀(x , y ) .
Vậy (0,1) là điểm cực tiểu của hàm z . Giá trị cực tiểu thu được là 2. Điểm (2, 3) chẳng phải là
điểm cực trị của hàm z vì trong lân cận của nó có các điểm khác mà giá trị tại chúng có thể lớn
hơn, có thể nhỏ hơn giá trị của z tại (2, 3) .?
1.4.2 Cách tìm điểm cực trị của hàm hai biến
Ta có điều kiện cần như sau
Định lí 1.4.1 Nếu hàm z = f (x , y ) đạt cực trị tại M 0 (x 0, y 0 ) thì tại đó hoặc không tồn tại hai đạo
hàm riêng hoặc các đạo hàm riêng
Các điểm (xo , yo ) mà

∂f ∂f
,

đều bằng 0.
∂x ∂y

∂f
∂f
(xo , yo ) =
(x , y ) = 0 được gọi là điểm dừng. Như vậy, để
∂x
∂y o o

tìm cực trị của hàm hai biến trước hết ta tìm các điểm (xo , yo ) mà tại đó không tồn tại hai đạo
hàm riêng và các điểm dừng.
Định lí 1.4.2 ( Điều kiện đủ) Giả sử M 0 (x 0, y 0 ) là một điểm dừng của z = f (x , y ) và tại M0 hàm
∂2z
∂2z
∂2z
(x , y ) = A,
(x , y ) = B,
(x , y ) = C . Khi đó
z có các đạo hàm riêng
∂x ∂y 0 0
∂x 2 0 0
∂y 2 0 0

i) Nếu B 2 − AC < 0 thì hàm đạt cực trị tại M0 (đạt cực tiểu nếu A > 0 , đạt cực đại nếu
A < 0 );
9

Th.s Nguyễn Quốc Tiến

ii) nếu B 2 − AC > 0 thì hàm không có cực trị tại M0;
iii) nếu B 2 − AC = 0 thì chưa có kết luận.
Ví dụ 1.4.2 Tìm cực trị của hàm số f (x , y ) = x 3 + y 3 − 6xy
Giải.
Ta có fx' = 3x 2 − 6y, fy' = 3y 2 − 6x ∀(x , y ) hay hàm số luôn tồn tại hai đạo hàm riêng. Các điểm
dừng là nghiệm của
⎧⎪
1 2
⎪⎧3x 2 − 6y = 0 ⎪⎪y = x
⎪⎨
2
.
⇒ ⎪⎨
⎪⎪3y 2 − 6x = 0 ⎪⎪
1 2
⎪⎩
⎪⎪x = y
2
⎪⎩

Giải hệ ta được hai điểm dừng M 0 (0; 0) và M 1(2;2) .
Xét điểm

M 0 (0; 0)

C = fyy'' (0; 0) = 6y

: Ta có A = fxx'' (0; 0) = 6x
M0

M0

= 0 , B = fxy'' (0; 0) = −6 ,

= 0.

B 2 − AC = 36 > 0 nên tại M0 không phải là cực trị.

Xét điểm M 1(2;2) : Ta có A = fxx'' (2, 2) = 6x
C = fyy'' (2, 2) = 6y

M1

M1

= 12 , B = fxy'' (2, 2) = −6 ,

= 12 .

B 2 − AC = −108 < 0 . Mà A = 12 > 0 . Do đó (2, 2) là điểm cực tiểu của hàm số và giá trị cực

tiểu là f (2, 2) = 8 + 8 − 24 = −8 .
1.4.3 Cực trị có điều kiện
Bài toán cực trị có điều kiện là bài toán tìm cực trị của hàm z = f (x , y ) với ràng buộc
ϕ(x , y ) = 0 . Điều này khác với tìm cực trị tự do của hàm z = f (x , y ) trên toàn tập xác định thỏa

điều kiện ϕ(x , y ) = 0 .
Từ điều kiện ϕ(x , y ) = 0 nếu suy ra được y = y(x ) thì hàm z = f (x , y ) = f (x , y(x )) là
hàm số một biến. Ta tìm cực trị hàm một biến. Trong trường hợp việc rút y = y(x ) phức tạp ta sử

dụng phương pháp nhân tử số Lagrange theo các bước sau:
Bước 1. Lập hàm Lagrange: L(x , y, λ) = f (x , y ) + λϕ(x , y ) với λ gọi là nhân tử số Lagrange.
10

Th.s Nguyễn Quốc Tiến


Bước 2. Tìm điểm dừng của hàm L, tức là giải hệ phương trình:
⎧⎪L' (x , y, λ) = 0
⎪⎪ x
⎪L' (x , y, λ) = 0
⎨ y
⎪⎪ '
⎪⎪Lλ (x , y, λ) = 0
⎩

Bước 3. Xét dấu d 2L = L''xxdx 2 + 2L''xydxdy + L''yydy 2 tại từng điểm dừng (x 0, y 0 , λ0 ) .
- Nếu d 2L(x 0, y 0, λ0 ) < 0 thì z max = f (x 0 , y 0 ) .
- Nếu d 2L(x 0, y 0, λ0 ) > 0 thì z min = f (x 0, y 0 ) .
- Nếu d 2L(x 0, y 0, λ0 ) không xác định dấu thì (x 0, y 0 ) không là điểm cực trị.
Để khảo sát dấu d 2L (x 0, y 0 ) đôi khi ta cần sử dụng điều kiện:
ϕ (x , y ) = 0 ⇒ dϕ (x , y ) = 0

hay
ϕx' (x , y )dx + ϕy' (x , y )dy = 0 .

Tại (x 0 , y 0 ) ta được
ϕx' (x 0, y 0 )dx + ϕy' (x 0, y 0 )dy = 0 .

Từ đây, ta có dx theo dy hoặc ngược lại. Thay vào biểu thức của d 2L (x 0 , y 0 ) , ta được

một hàm theo dx 2 hoặc dy 2 . Chú ý rằng trong bài toán cực trị có điều kiện, dx và dy không
đồng thời bằng 0.
Ví dụ 1.4.3 Tìm cực trị của hàm z = xy với x + y = 2 .
Giải.
Ta tìm cực trị của hàm z = xy với ràng buộc ϕ(x , y ) = x + y − 2 = 0 .
Bước 1. L(x , y, λ) = xy + λ(x + y − 2)
⎧ '
⎧
⎪⎪⎪Lx = y + λ = 0
⎪⎪⎪x = 1
Bước 2. Giải hệ ⎪⎨L'y = x + λ = 0
⇒ ⎪⎨y = 1 ⇒ L có điểm dừng là (1;1; −1)
⎪⎪ '
⎪
⎪⎪Lλ = x + y − 2 = 0 ⎪⎪⎪λ = −1
⎩
⎩

Bước 3. L''xx = 0, L''xy = 1, L''yy = 0 ⇒ d 2L = 2dxdy .
11

Th.s Nguyễn Quốc Tiến


Vì x + y = 2 ⇒ dx + dy = 0 ⇒ dx = −dy . Do đó d 2L = −2dx 2 < 0 . Vậy tại (1;1) hàm số đạt
cực đại z max = f (1;1) = 1 .
1.4.4 Giá trị lớn nhất và bé nhất của hàm hai biến
Các bước tìm giá trị lớn nhất và bé nhất của hàm z = f (x , y ) trong miền đóng:
Bước 1. Tìm các điểm dừng nằm trong miền này và tính giá trị của hàm tại các điểm dừng.
Bước 2. Tìm các cực trị với ràng buộc là phương trình đường biên.

Bước 3. Chọn giá trị lớn nhất và bé nhất trong tất cả các giá trị đã tìm được.
Ví dụ 1.4.4 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm z = x 2 + y 2 trong hình tròn
C : (x − 1)2 + (y − 1)2 ≤ 2.

Giải.
Hàm z = x 2 + y 2 có một điểm dừng (0; 0) nằm trên C và tại (0; 0) hàm z có giá trị bé nhất
z min = 0 .

Từ ràng buộc

ϕ(x , y ) = (x − 1)2 + (y − 1)2 − 2 = 0
⇔ x 2 + y 2 = 2x + 2y
Ta có
x 2 + y 2 = 2 (x + y ) ≤ 2 2

(x

2

)

+ y2 .

Suy ra

(x

2

)

+ y 2 ≤ 2 2 ⇔ x 2 + y 2 ≤ 8.

Vậy giá trị lớn nhất của z trong hình tròn C là 8 khi x = y = 2. Tóm lại z max = z (2, 2) = 8 và
z min = z (0, 0) = 0 .

Ví dụ 1.4.5 Tìm giá trị lớn nhất và bé nhất của hàm số f (x , y ) = x 2 + 2xy + 3y 2 trong một miền
đóng D là hình tam giác có các đỉnh A(–1; 1), B(2; 1) , C(–1; –2) .
Giải.
Ta có hệ phươg trình

12

Th.s Nguyễn Quốc Tiến


⎧⎪ f / = 2x + 2y = 0
⎪x
⎨ /
⎪⎪ fy = 2x + 6y = 0
⎪⎩

có nghiệm (0;0) ∈ D , f (0, 0) = 0 .
- Trên cạnh AB: y = 1, –1 ≤ x ≤ 2 . Thay vào biểu thức của f (x , y ) ta được g(x ) = x 2 + 2x + 3 .
Tam thức đạt cực tiểu tại x = −1 . Ta có g(−1) = f ( –1; 1) = 2, f (2 , 1) = 11.
- Trên cạnh AC: x = –1, –2 ≤ y ≤ 1, f ( –1, y ) = 3y 2 – 2y + 1 và đạt cực tiểu tại y =

1
. Ta có
3

1
2
f (–1; ) = , f ( –1; 1) = 2, f ( –1; – 2) = 17.
3
3

- Trên cạnh BC: x – y = 1 do đó
y = x – 1 , f (x , x – 1) = x 2 + 2x (x – 1) + 3 (x – 1) , –1 ≤ x ≤ 2
2

và đạt cực tiểu tại x =

2
.
3

2 −1
1
f( ,
) = , f (2,1) = 11, f ( –1, – 2) = 17. So sánh các giá trị đã tính ta được
3 3
3

fmin = 0, fm ax = 17.

13

Th.s Nguyễn Quốc Tiến

BÀI TẬP CHƯƠNG 1
1.1. Miền xác định của hàm số
a) z =

1−x2
1 − x 2 − y2

1−x2
d) z = ln
2 − sin x

1 + sin xy

b) z =

4 − x 2 − y2

e) z = e 1+sin xy

c) z =

xy
5 − x 2 − y2

f) z =

1
8 −x −y

1.2. Miền giá trị của hàm số
a) z = cos(1 − xy )

c) w = x 2 + 2x + 4 + y 2

b) w = xy sin z

1.3. Tính các giới hạn
a)

xy − 1
(x ,y )→(0;0) x + 1

b)

x 2 + x + 2y
(x ,y )→(1;0) x 2 + 3y 2

c)

x 2 + 2xy + y 2
x →2
x +y
y →−2

e)

x 2y 2
(x ,y )→(0;0) x 4 + y 4

f)

lim

d) lim

g)

lim e

lim

x 2y
h) lim
(x ,y )→(0;0) x 2 + y 2

x −y

(x ,y )→(1;1)

1.4. Cho hàm số f (x , y ) =

lim

lim

(x ,y )→(2;1)

(e

x 2 −y 2

)

+1

e y sin(1 / 2x )
(x ,y )→( ∞;1)
1 / 2x
lim

i) lim(x 2 + y 2 ) sin
x →0
y →0

1
x +y

x 2 + y2 + 1 − 1
. Định nghĩa f (0, 0) để hàm số liên tuc trên R2
2
2
x +y

1.5. Tìm a để các hàm số liên tục
⎧⎪cos2xy − 1
⎪⎪
, (x , y ) ≠ (0, 0)
a) f (x , y ) = ⎪⎨ x 2y
trên R 2

⎪⎪
, (x , y ) = (0, 0)
⎪⎪⎩ a
3
⎧ 3
⎪⎪⎪ x − y , (x , y ) ≠ (0, 0)
b) f (x , y ) = ⎨⎪ x − y
⎪⎪
, (x , y ) = (0, 0)
⎪⎪⎩ a

tại (0, 0)

⎧⎪ x 3 + y 3
⎪⎪
, (x , y ) ≠ (1, −1)
c) f (x , y ) = ⎪⎨ 2 (x + y )
tại (1, −1)
⎪⎪
, (x , y ) = (1, −1)
⎪⎪ a
⎩

1.6. Tính các đạo hàm riêng cấp một
14

Th.s Nguyễn Quốc Tiến


2

+yx

a) z = x 3 + ln y 3 − 3xy

b) z = e x

d) z = x 3 − 3x y

e) z = ln x

c) z = x 2 sin

+ ln x

(

x 2 + y2

)

f) z = x 2tg

x
y

x
y

1.7.Tính gần đúng các số sau

a)

9.1, 952 + 8,12

b) ln (0, 093 + 0, 993 )

c)

5e 0,02 + 2, 032

1.8. Tính các đạo hàm riêng cấp hai
a) z = e x sin y − x 3 + 2y

b) z = x 3 + y 3 + ln (xy )

c) z = x + y

d) z = sin(2x + 3y )

e) z = x 2 + y 2

f) z = cot g (x + y )

1.9. Tính đạo hàm các hàm hợp
a) Cho z = e x

2

+y 2

∂z
∂t

, x = a cos t, y = a sin t . Tính

b) Cho z = eucosv, u = xy, v =

∂z ∂z
x
. Tính
,
∂x ∂y
y

c) Cho z = ln x + y , y = sin x . Tính

∂z
∂x

1.10 Tính đạo hàm của các hàm số ẩn được xác định bởi phương trình sau:
y(3x 2 − y 2 )
ĐS: y ' = −
a) x 3y – y 3x = a 4
x (x 2 − 3y 2 )
b) xe y + ye x – e xy = 0,
c) arctg

ĐS: y ' = −

e y + ye x − ye xy

xe y + e x − xe xy

a2
x +y
y
= , ĐS: y ' =
a
a
(x + y )2

d) ln x 2 + y 2 = arctg

x
,
y

e) x + y + z = e z , tính z x′ , z y′ ,

ĐS: y ' = −

x −y
x +y

ĐS: z x = z y =

1
x + y + z −1

f) x 3 + y 3 + z 3 – 3xyz = 0 , tính z x′ , z y′ , ĐS: z x′ =

x 2 − yz
y 2 − xz
′
,
z
=
z 2 − xy y
z 2 − xy

1.11. Tìm cực trị của các hàm số sau:
a) z = x 4 − 8x 2 + y 2 + 5

b) z = x 2 + y 2 − 2x + 1
15

c) z = x 2 + y 2
Th.s Nguyễn Quốc Tiến


d) z = xy + 3x − 2y
g) z = (x 2 + y 2 )e −(x

2

+y 2 )

e) z = x 2 − y 2

f) z = 4(x − y ) − x 2 − y 2

h) z = x 4 + y 4 − x 2 − 2xy − y 2

i) z = 2x 4 + y 4 − x 2 − 2y 2

1.12. Tìm cực trị có điều kiện
a) z = 6 − 4x − 3y với x 2 + y 2 = 1
b) z = xy với x + y = 1

c) z = cos2 x + cos2 y với y − x =

π
4

1.13. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của
a) z = xy + x + y trong hình vuông giới hạn bởi x = 1, x = 2, y = 2, y = 3 .
b) z = x 2 + 3y 2 + x − y trong tam giác giới hạn bởi yx = 1, y = 1, x + y = 1 .
c) z = 1 − x 2 − y 2 trong hình tròn (x − 1)2 + (y − 1)2 ≤ 1 .

16

Th.s Nguyễn Quốc Tiến


2 CHƯƠNG 2

TÍCH PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN

2.1 Tích phân kép
2.1.1 Các định nghĩa
Định nghĩa 2.1.1 Cho hàm hai biến z = f (x , y ) xác định trên miền D ⊂ R × R . Tích phân kép

trên miền D của hàm z = f (x , y ) được ký hiệu là
I =

∫∫ f (x, y )dxdy
D

và được định nghĩa như sau:
1) Nếu D là hình chữ nhật D : a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d thì:
d

∫∫ f (x, y)dxdy = ∫
D

c

⎛b
⎞⎟
⎜⎜
⎟⎟dy
f
(
x
,
y
)
dx
⎜⎜ ∫
⎟⎟
⎝a
⎠

Người ta chứng minh được rằng:
d

∫
c

⎛b
⎞⎟
⎜⎜
⎟⎟dy =
f
(
x
,
y
)
dx
⎜⎜ ∫
⎟⎟
⎝a
⎠

b

∫
a

⎛d
⎞⎟

⎜⎜
⎟⎟dx
f
(
x
,
y
)
dy
⎜⎜ ∫
⎟⎟
⎝c
⎠

nên có thể viết:
d

∫∫ f (x, y)dxdy = ∫
D

c

d

Để đơn giản cách viết ta quy ước

∫
c

⎛b

⎞⎟
⎜⎜
⎟⎟dy =
f
(
x
,
y
)
dx
⎜⎜ ∫
⎟⎟
⎝a
⎠

b

∫
a

⎛d
⎟⎟⎞
⎜⎜
f
(
x
,
y
)
dy

⎟⎟ dx .
⎜⎜ ∫
⎟⎠
⎝c

⎛b
⎞⎟
⎜⎜
⎟
⎜⎜ ∫ f (x , y )dx ⎟⎟dy có thể được viết
⎝a
⎠⎟

d

b

∫ dy ∫ f (x, y )dx
c

a

2) Nếu D có dạng a ≤ x ≤ b, y1(x ) ≤ y ≤ y2 (x ) thì:
b

∫∫ f (x, y )dxdy = ∫
D

a

⎛ y2 ( x )
⎞⎟
⎜⎜
⎟
⎜⎜ ∫ f (x , y )dy ⎟⎟dx =
⎟⎟⎠
⎜⎝y 1 (x )

y 2 (x )

b

∫ dx ∫
a

f (x , y )dy

y 1 (x )

3) Nếu D có dạng x 1(y ) ≤ x ≤ x 2 (y ), c ≤ y ≤ d thì:
d

I =

∫∫ f (x, y )dxdy = ∫
D

c

⎛ x 1 (y )

⎞⎟
⎜⎜
f (x , y )dx ⎟⎟⎟dy =
⎜⎜⎜ ∫
⎟⎠⎟
⎝ x 2 (y )
17

d

x 2 (y )

∫ dy ∫
c

d (x , y )dx

x 1 (y )

Th.s Nguyễn Quốc Tiến


Nếu tồn tại tích phân kép của hàm z = f (x , y ) trên miền D thì ta nói f (x , y ) khả tích trên
D. Miền D được gọi là miền lấy tích phân. Người ta chứng minh được rằng nếu z = f (x , y ) liên
tục trên D thì nó khả tích trên D.
Tích phân kép chỉ phụ thuộc D và z = f (x , y ) , không phụ thuộc vào ký hiệu biến số,
nghĩa là

∫∫ f (x, y )dxdy = ∫∫ f (u, v)dudv .
D

D

2.1.2 Các tính chất của tích phân kép
1)

∫∫ kf (x, y )dxdy = k ∫∫ f (x, y )dxdy ( k là hằng số).
D

2)

D

∫∫ ⎡⎢⎣ f (x, y ) + f (x, y )⎤⎥⎦ dxdy = ∫∫ f (x, y )dxdy + ∫∫ f (x, y )dxdy
1

2

1

D

3)

2

D

D

Nếu miền lấy tích phân D chia thành hai miền D1 và D2 rời nhau thì

∫∫ f (x, y )dxdy = ∫∫ f (x, y)dxdy + ∫∫ f (x, y)dxdy
D

4)

D1

D2

Nếu tại mọi điểm thuộc miền D ta luôn có f (x , y ) ≥ 0 thì

∫∫ f (x, y )dxdy ≥ 0 .
D

Nếu tại mọi điểm thuộc miền D ta luôn có f (x , y ) ≥ ϕ(x , y ) thì

5)

∫∫ f (x, y )dxdy ≥ ∫∫ ϕ(x, y)dxdy
D

6)

D

Nếu m và M là các giá trị bé nhất và lớn nhất của hàm số f (x , y ) trong miền D thì
mS D ≤ ∫∫ f (x , y )dxdy ≤ MS D
D

trong đó SD là diện tích của miền D.
7)

Nếu f (x , y ) liên tục trong miền D thì trong miền đó tìm được ít nhất một điểm M i (ξi , ηi ) )

sao cho:

∫∫ f (x, y )dxdy = f (ξ , η ) S
i

i

D

D

Giá trị của hàm số f (x , y ) tại điểm M i (ξi , ηi ) gọi là giá trị trung bình của hàm số f (x , y ) trong
miền D.
18

Th.s Nguyễn Quốc Tiến


Ví dụ 2.1.1 Tính I =

dxdy

∫∫ (x + y )

2

với D : 1 ≤ x ≤ 2,1 ≤ y ≤ 3 .

D

Giải. Ta có:
2

I =

∫
1

⎛3
dy ⎞⎟⎟
⎜⎜
⎜⎜ ∫
2⎟
⎟dx =
⎝ 1 (x + y ) ⎟⎠

2

∫
1

2

⎛ 1

x +1
1 ⎞⎟
6
⎜⎜
⎟ dx = ln
−
= ln
⎜⎝ x + 1 x + 3 ⎟⎟⎠
x +31
5

2.1.3 Đổi biến trong tích phân kép
1) Công thức đổi biến số tổng quát
Xét tích phân I =

∫∫ f (x, y )dxdy . Giả sử tồn tại các hàm x = x (ξ, η), y = y(ξ, η) có các
D

đạo hàm riêng liên tục trên miền D’ sao cho (ξ, η) 6 (x , y ) là một song ánh từ D’ đến D.
Đặt
∂x
∂ξ
Δ=
∂y
∂ξ

∂x
∂η
∂y
∂η

Nếu Δ ≠ 0 trên D’ thì ta có công thức đổi biến số tổng quát trong tích phân kép như sau:
I =

∫∫ f (x, y )dxdy = ∫∫ f (x (ξ, η), y(ξ, η)) Δd ξd η
D

Ví dụ 2.1.2 Tính I =

D'

∫∫ (x + y )dxdy , D là hình bình hành giới hạn bởi các đường
D

x + 2y = 2, x + 2y = 4, 3x − y = 0, 3x − y = 3 .
Giải. Đặt
⎧
⎧x = 1 (ξ + 2η)
⎪
⎪x + 2y = ξ ⇒ ⎪
⎪
7
.
⎨
⎨
1
⎪
⎪
3x − y = η
y = 7 (3ξ − η)

⎪
⎪
⎩
⎩

Ta có:
1
2
7 = − 1 ≠ 0 . Khi đó:
2 ≤ ξ ≤ 4, 0 ≤ η ≤ 3, Δ = 7
3
1
7
−
7
7
4

I =

∫
2

⎡3
⎢
⎢∫
⎢⎣ 0

4
⎛1

⎞ ⎤
⎜⎜ (ξ + 2η) + 1 (3ξ − η)⎟⎟ d η ⎥d ξ = 1
⎟ ⎥
7
7 ∫2
⎝⎜ 7
⎠⎟ ⎥⎦

19

⎛3
81
⎟⎟⎞
⎜⎜
⎜⎜ ∫ (4ξ + η)d η ⎟⎟d ξ = 7 .
⎟⎠
⎝0
Th.s Nguyễn Quốc Tiến


2) Đổi biến trong hệ toạ độ cực
Đặt
⎧⎪x = r cos ϕ
⎪
⎨
⎪⎪y = r sin ϕ
⎩

Khi đó
∂x

∂x
∂y
∂y
= cos ϕ,
= −r sin ϕ,
= sin ϕ,
r cos ϕ .
∂r
∂ϕ
∂r
∂ϕ

Do đó:
Δ=

cos ϕ −r sin ϕ
=r
sin ϕ r cos ϕ

Theo công thức đổi biến số ta có công thức đổi biến trong hệ toạ độ cực:
I =

∫∫ f (x, y )dxdy = ∫∫ f (r cos ϕ, r sin ϕ)rdrdϕ .
D

Giả sử cần tính tích phân kép I =

D'

∫∫ f (x, y )dxdy trong hệ tọa độ cực

trong đó miền D

D

có tính chất là mọi tia xuất phát từ gốc cực O cắt biên của nó không quá hai điểm. Ta xét các
trường hợp sau:
Trường hợp 1: Gốc cực O nằm ngoài miền D.
Giả sử miền D nằm giữa các tia ϕ = α và ϕ = β , mọi tia xuất phát từ gốc cực O cắt biên của D
không quá hai điểm và r = g1(ϕ), r = g1(ϕ) lần lượt là phương trình trong hệ tọa độ cực của
đường biên. Khi đó
β

g 2 (ϕ )

∫∫ f (r cos ϕ, r sin ϕ)rdrdϕ = ∫ dϕ ∫
D'

α

f (r cos ϕ, r sin ϕ)rdr

g1 (ϕ )

Trường hợp 2: Gốc cực O nằm trên biên của miền D.
Giả sử mọi tia xuất phát từ gốc cực O cắt biên của miền D không quá một điểm ( không kể điểm
O) và phương trình của biên trong hệ tọa độ cực là r = g(ϕ), α ≤ ϕ ≤ β . Khi đó
β

g (ϕ )

∫∫ f (r cos ϕ, r sin ϕ)rdrdϕ = ∫ dϕ ∫
D'

α

f (r cos ϕ, r sin ϕ)rdr .

0

Trường hợp 3: Gốc cực O nằm trong miền D.
20

Th.s Nguyễn Quốc Tiến


Giả sử mọi tia xuất phát từ gốc cực O cắt biên của miền D tại một điểm và phương trình của biên
trong hệ tọa độ cực là r = g(ϕ), 0 ≤ ϕ ≤ 2π . Khi đó
2π

g (ϕ )

∫∫ f (r cos ϕ, r sin ϕ)rdrdϕ = ∫ dϕ ∫
D'

0

f (r cos ϕ, r sin ϕ)rdr .

0

∫∫ f (x, y )dxdy

Như vậy muốn chuyển tích phân kép

từ hệ tọa độ Đề - các sang hệ tọa độ

D

cực , ta thay x và y trong hàm số dưới dấu tích phân bởi rcosϕ và rsinϕ , còn dxdy thay bằng
rdrdφ. Đồng thời phương trình đường cong giới hạn miền lấy tích phân D cũng phải đổi sang hệ
tọa độ cực bằng cách thay x = r cos ϕ, y = r sin ϕ . Sau đó tính tích phân hoàn toàn giống như
trong hệ tọa độ Đề - các.
Ví dụ 2.1.3 Tính I =

∫∫ ydxdy, D : x

2

+ y 2 = R 2, x ≥ 0, y ≥ 0 .

D

Giải. Đặt
⎧⎪x = r cos ϕ
⎪
⎨
⎪⎪y = r sin ϕ
⎩

Khi đó D ' : 0 ≤ r ≤ R, 0 ≤ ϕ ≤

π
2

Vậy
π

I =

2

∫
0

⎛R
⎟⎞
⎜⎜
⎟
⎜⎜ ∫ (r sin ϕ)rdr ⎟⎟ d ϕ =
⎟⎠
⎝0
R

Ví dụ 2.1.4 Tính I =

⎛
⎜⎜
⎜⎜
⎜⎜⎝

R2 −x 2

∫ ∫
0

0

π

2

∫
0

⎛
3
⎜⎜⎜sin ϕ. r
3
⎜⎝⎜

⎞
3
⎟⎟⎟d ϕ = R
⎟⎟
3
0⎟
⎠

R

π

2

∫
0

R3
sin ϕd ϕ =
.
3

⎞⎟
ln(1 + x + y )dy ⎟⎟⎟ dx .
⎟
⎠⎟
2

2

Giải. Ta có
⎧⎪0 ≤ x ≤ R
⎪⎧x 2 + y 2 ≤ R 2
⎪⎪
.
⇒⎪
⎨
⎨
⎪⎪0 ≤ y ≤ R 2 − x 2

⎪
≥
≥
x
0,
y
0
⎪
⎩
⎪⎩

Do đó, đặt
⎪⎧⎪x = r cos ϕ
⎪⎧⎪0 ≤ r ≤ R
.
⇒
⎨
⎨
⎪⎪y = r sin ϕ
⎪⎪0 ≤ ϕ ≤ π2
⎩
⎩
21

Th.s Nguyễn Quốc Tiến


Vậy
R

I =

∫
0

⎛ π2
⎞
⎜⎜⎜ ln(1 + r 2 )rd ϕ⎟⎟⎟dr = π
⎟⎟
⎜⎜ ∫
2
⎟⎠
⎝0

R

∫ r ln(1 + r

2

)dr =

0

π
4

⎡(1 + R 2 ) ln(1 + R 2 ) − R 2 ⎤ .
⎢⎣
⎥⎦

2.1.4 Ứng dụng của tích phân kép
1) Tính diện tích hình phẳng
Diện tích s(D ) của hình phẳng D được cho bởi công thức
s(D ) =

∫∫ dxdy
D

Ví dụ 2.1.5 Tính diện tính hình phẳng giới hạn bởi y 2 =

b2
b
x , y = x (a, b > 0) .
a
a

Giải. Do hai đường cong cắt nhau tại O(0; 0), A(a, b) nên ta có:
a

s(D ) =

∫∫ dxdy = ∫
D

0

⎛ ba x ⎞⎟
⎜⎜
⎟⎟

ab
⎜⎜
dy
.
⎟⎟dx =
∫
⎜⎜ b
⎟
6
⎟
⎜⎝ a x
⎠

2) Tính thể tích vật thể không gian
Thể tích V của vật thể hình trụ giới hạn bởi D và đồ thị hàm z = f (x , y ) không ân được tính theo
công thức:
V =

∫∫ f (x, y )dxdy
D

Ví dụ 2.1.6 Tính thể tích V của phần hình trụ giới hạn bởi mặt x 2 + y 2 = 2x nằm trong mặt cầu
x 2 + y2 + z 2 = 4 .

Giải. Do tính đối xứng nên V = 4V ' , với:
V'=

∫∫

4 − x 2 −y 2dxdy

D

trong đó D là nửa hình tròn tâm I (1; 0; 0) và bán kính bằng 1, trong mặt phẳng xOy.
Đặt
⎧
⎪
⎪x = r cos ϕ
⎨
⎪
y = r sin ϕ
⎪
⎩

Khi đó phương trình đường tròn đã cho là r = 2 cos ϕ nên:
22

Th.s Nguyễn Quốc Tiến


D : 0 ≤ ϕ ≤ π2 , 0 ≤ r ≤ 2 cos ϕ

Vậy
π

V'=

2

∫

0

π

π
2
⎛2 cos ϕ
⎞⎟
1
⎜⎜
2
⎟
4 − r rdr ⎟⎟dϕ = − ∫
⎜⎜⎝⎜ ∫0
3 0
⎟⎠

⎛
⎜⎜(4 − r 2 )23
⎜⎜⎝

2 cos ϕ
0

⎞⎟
⎟⎟d ϕ
⎟⎠

8
8 π 2

16
= ∫ (1 − sin 3 ϕ)d ϕ = ( − ) ⇒ V = (3π − 4) .
3 0
3 2 3
3
2

2.2 Tích phân đường
2.2.1 Tích phân đường loại 1
Định nghĩa 2.2.1 Cung (C ) xác định bởi phương trình y = y(x ), a ≤ x ≤ b được gọi là cung
trơn nếu hàm y = y(x ) có đạo hàm liên tục trên [a, b ] .
⎧
⎪x = x (t )
t1 ≤ t ≤ t2 thì (C ) gọi là cung
Trường hợp cung (C ) cho bởi phương trình tham số ⎪⎨
⎪
(
)
y
y
t
=
⎪
⎩

trơn nếu hai hàm x (t ), y(t ) có đạo hàm liên tục trên [t1, t2 ] và [x '(t )]2 + [y '(t )]2 ≠ 0 .
Định nghĩa 2.2.2 Cho đường cong (hay cung) (C ) trong mặt phẳng R 2 và hàm z = f (x , y ) xác
định trên (C ) . Tích phân đường loại 1 của f dọc theo cung (C ) ký hiệu là

∫ f (x, y )ds

(C )

và được xác định như sau:
Nếu cung trơn (C ) cho bởi phương trình y = y(x ), a ≤ x ≤ b thì
b

∫ f (x, y )ds = ∫ f (x, y(x ))

(C )

a

2

1 + ⎡⎢⎣y '(x )⎤⎥⎦ dx

⎧
⎪x = x (t )
Nếu cung trơn (C ) cho bởi phương trình tham số ⎪⎨
⎪
y = y(t )
⎪
⎩

∫

(C )

Ví dụ 2.2.1 Tính I =

t2

f (x , y )ds =

∫
t1

t1 ≤ t ≤ t2 thì

f (x (t ), y(t )) ⎡⎣⎢x '(t )⎤⎥⎦ + ⎡⎢⎣y '(t )⎤⎦⎥ dt
2

2

∫ (x − y)ds với (C ) là đoạn thẳng nối hai điểm A(0; 0) và B(4; 3) .
(C )

23

Th.s Nguyễn Quốc Tiến


Giải. Ta có (C ) có phương trình y =
4

I =

4

∫
0

Ví dụ 2.2.2 Tính I =

∫ (x

2

3
3
x . Suy ra y ' = nên:
4
4

3
9
5
5
(x − x ) 1 + dx =
xdx =
∫
4
16
16 0
2

− y 2 )ds , (C ) là phần đường tròn x 2 + y 2 = R 2 trong góc phần tư

(C )

thứ nhất.
⎧
⎪x = R cos t
Giải. Phương trình tham số của cung (C ) là ⎪⎨
⎪
y = R sin t
⎪
⎩

π
.
2

0≤t ≤

Suy ra
x '(t ) = −R sin t, y '(t ) = R cos t

Do đó
π

I =

π

2

∫ R (cos
2

2

2

2

2

2

t − sin t ) R (sin t + cos t ) dt = R

0

3

2

∫ cos 2tdt = 0 .
0

2.2.2 Tích phân đường loại 2
Định nghĩa 2.2.3 Cho hai hàm hai biến P (x , y ) và Q(x , y ) xác định trên cung (C ) . Tích phân
đường loại 2 của biểu thức P (x , y )dx + Q(x , y )dy dọc theo cung (C ) theo chiều ngược kim đồng
hồ ký hiệu là :

∫ P(x, y )dx + Q(x, y )dy

(C )

và được xác định như sau:
Nếu cung trơn (C ) được cho bởi phương trình y = y(x ), a ≤ x ≤ b thì:
b

∫ P(x, y )dx + Q(x, y )dy = ∫ ⎡⎣⎢P (x, y(x )) + Q (x, y(x )).y '(x )⎤⎦⎥dx

(C )

a

⎧
⎪x = x (t )
Nếu cung trơn (C ) cho bởi phương trình tham số ⎪⎨
⎪
y = y(t )
⎪
⎩

t1 ≤ t ≤ t2 thì:

t2

∫ P(x, y )dx + Q(x, y )dy = ∫ ⎡⎣⎢P (x (t ), y(x )).x '(t ) + Q (x (t ), y(t )).y '(t )⎤⎦⎥dt

(C )

t1

24

Th.s Nguyễn Quốc Tiến


Người ta đã chứng minh được rằng nếu (C ) là một cung trơn và các hàm P (x , y ) và
Q(x , y ) liên tục thì tồn tại tích phân đường loại 2. Tích phân đường loại 2 phụ thuộc vào hướng đi

trên cung (C ) .

∫ ydx − xdy , (C ) là nửa đường tròn x

Ví dụ 2.2.3 Tính I =

2

+ y 2 = R 2 nằm trên Ox, ngược

(C )

chiều kim đồng hồ.
⎧
⎪
x 2 + y 2 = R2
⎪
hay y = R 2 − x 2 với x đi từ a
Giải. Ta có (C ) xác định bởi phương trình sau: ⎨
⎪
y ≥0
⎪
⎪

⎩
−x

đến – a. Khi đó, y ' =

2

R −x

−a

I =

∫
a

2

. Vậy

−a
⎛
⎞⎟
⎜⎜ R 2 − x 2 − x . −x
⎟⎟dx = R 2 ∫
⎜⎜
⎝
R 2 − x 2 ⎠⎟
a

dx
R2 − x 2

= −πR 2 .

Cách khác:
Ta có
⎧⎪x = R cos t
⎪
0 ≤ t ≤ π ⇒ x '(t ) = −R sin t, y '(t ) = R cos t .
⎨
⎪⎪y = R sin t
⎩

Do đó
π

I =

π

∫ ⎡⎢⎣R sin t.(−R sin t ) − R cos t.(R cos t )⎤⎥⎦dt = ∫ (−R )dt = −πR
2

0

Ví dụ 2.2.4 Tính I =

2

.

0

∫ xy dy − x ydx , (C ) là đường tròn x
2

2

2

+ y 2 = R 2 theo hướng ngược

(C )

chiều kim đồng hồ.
Giải.
⎧⎪x = R cos t
Ta có ⎪⎨
0 ≤ t ≤ 2π ⇒ x '(t ) = −R sin t, y '(t ) = R cos t . Suy ra:
⎪⎪y = R sin t
⎩
2π

I =

∫
0

4

⎡(R cos t )(R sin t )2 (R cos t ) − (R cos t )2 (R sin t )(−R sin t )⎤dt = πR .
⎣⎢
⎦⎥
2

25

Th.s Nguyễn Quốc Tiến