MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP XÂY DỰNG ĐỘ ĐO VÀ TÍCH PHÂN
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (407.16 KB, 26 trang )
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
-------------------
NGUYỄN THỊ HUỆ
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP XÂY DỰNG
ĐỘ ĐO VÀ TÍCH PHÂN
TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
Hà Nội, Năm 2014
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
-------------------
NGUYỄN THỊ HUỆ
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP XÂY DỰNG
ĐỘ ĐO VÀ TÍCH PHÂN
Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất và thống kê toán
Mã số:
60.46.01.06
TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS.TS. PHAN VIẾT THƯ
Hà Nội, Năm 2014
Mục lục
Mở đầu
3
Lời cảm ơn
5
1 Kiến thức chuẩn bị
6
1.1
Các khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
1.2
Nới rộng độ đo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
1.2.1
Phương pháp nới rộng độ đo Lebesgue . . . . . . . . . . . . . .
6
1.2.2
Độ đo Lebesgue và độ đo Lebesgue- Stieltjes . . . . . . . . . . .
7
1.2.3
Độ đo Hausdorff trong không gian Metric
. . . . . . . . . . . .
7
1.3
Hàm đo được . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
1.4
Các khái niệm của giải tích hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
1.4.1
Định lý Stone - Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
1.4.2
Các lớp đơn điệu của hàm số
9
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 Tích phân theo quan điểm của lý thuyết độ đo
11
2.1
Tích phân Lebesgue trìu tượng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
2.2
Chuyển giới hạn dưới dấu tích phân Lebesgue . . . . . . . . . . . . . .
12
2.3
Tích phân Riemann và tích phân Lebesgue trên R . . . . . . . . . . . .
13
2.3.1
13
Một số tính chất của tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3 Tích phân: Cách tiếp cận theo giải tích hàm
3.1
15
Tích phân theo phương pháp Daniell . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
3.1.1
Tích phân trên Daniell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
3.1.2
Trung bình Daniell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
3.1.3
Các định lý hội tụ theo trung bình . . . . . . . . . . . . . . . .
17
1
3.2
Mở rộng tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
3.3
Tính đo được Daniell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
3.3.1
Tính đo được . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
3.3.2
Tính đo được trên không gian mêtric . . . . . . . . . . . . . . .
20
3.4
Sự tương đương giữa khả tích Daniell và khả tích Lebesgue-Caratheodory 20
3.5
Tính chất Maximality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Tài liệu tham khảo
21
24
2
Mở đầu
Lý thuyết độ đo và tích phân là nền tảng xây dựng cho nhiều môn khoa học
chuyên ngành như: Lý thuyết xác suất, giải tích hàm . . . . Ở chương trình đào
tạo đại học, cao học đã bước đầu nghiên cứu về lý thuyết độ đo, tích phân.
Trong luận văn này sẽ sử dụng các kết quả cơ bản về độ đo và tích phân ở bậc
Đại học và Cao học để nghiên cứu sâu hơn về Tích phân theo quan điểm độ đo.
Ngoài ra, luận văn tập trung nghiên cứu về cách tiếp cận tích phân theo quan
điểm của giải tích hàm.
Ta đã biết rằng lớp hàm khả tích Riemann rất hẹp bao gồm các hàm số mà
tập các điểm gián đoạn có thể bỏ qua đựơc. Còn các hàm số đo được tổng quát
thì nói chung có thể không khả tích Riemann (ví dụ như hàm số Dirichlet). Để
vượt qua được sự hạn chế ấy, Lebesgue đã chia miền lấy tích phân thành các
tập nhỏ, mỗi tập bao gồm những điểm ứng với giá trị gần nhau của f (x), theo
quan điểm cơ bản đó Lebesgue đã xây dụng một khái niệm tích phân tổng quát
hơn, áp dụng cho tất cả các hàm số đo được và bị chặn. Ngoài ra, khi chuyển
giới hạn dưới dấu tích phân của tích phân Lebesgue không cần đòi hỏi khắt khe
về điều kiện hội tụ đều như tích phân Riemann, từ đó đưa ra được nhiều kết
quả quan trong như tính hội tụ đơn điệu, hội tụ bị chặn. . . .
Tuy nhiên, nếu muốn mở rộng định nghĩa tích phân vào những lĩnh vực phức
tạp hơn như xét tính tuyến tính, tích phân trên không gian Banach. . . thì tích
phân Lebesgue gặp khó khăn. Do đó, luận văn tập trung nghiên cứu phương
pháp tiếp cận tích phân bằng giải tích hàm, sử dụng tính tuyến tính và cấu trúc
liên tục của tích phân sơ cấp để xây dựng tích phân trên Daniell
I ∗ (f ) = inf I ∗ (h) : h ∈ E ↑ , f ≤ h
3
Khi đó I ∗ có được các tính chất như: I ∗ là hàm không giảm; I ∗ là tuyến tính;
I ∗ là hàm σ - cộng tính dưới. Ngoài ra, tương ứng với tích phân trên I ∗ là trung
bình Daniell
.
∗
Ω
: R → [0, ∞] cho bởi f → I ∗ (|f |)
với các tính chất cơ bản như tính thuần nhất tuyệt đối, tính cộng tính dưới đếm
được. Các đinh lý hội tụ đơn điệu, hội tụ bị trội theo trung bình ... cũng dễ dàng
được chứng minh.
Điều đặc biệt của tích phân Daniell là xây dựng tích phân trước rồi mới định
nghĩa khái niệm độ đo. Khi đó, độ đo Lebesgue đạt được như là tích phân của
hàm chỉ tiêu. Các tính chất cơ bản như σ – cộng tính, tính đo được của tập
Borel là hệ quả của tích phân. Tính đo được Daniell mô tả cấu trúc địa phương
của quá trình khả tích Daniell và sử dụng tích phân Daniell dễ dàng chứng minh
được định lý biểu diễn Riesz cho phiếm hàm tuyến tính bị chặn trên không gian
C(X) của các hàm liên tục trên không gian tôpô compact X .
Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn được chia làm
ba chương:
Chương 1: Kiến thức chuẩn bị. Chương này trình bày những kiến thức
cơ bản về độ đo, mở rộng độ đo và các kiến thức cơ bản về giải tích hàm làm cơ
sở để xây dựng nội dung các chương tiếp theo.
Chương 2: Tích phân theo quan điểm độ đo. Chương này trình bày
cách xây dựng tích phân của hàm đo được - tích phân Lesbegue, các định lý về
chuyển giới hạn dưới dấu tích phân, tích phân Riemann và tích phân Lebesgue
trên R và một số tính chất của tích phân.
Chương 3: Tích phân: Tiếp cận bằng giải tích hàm. Chương này là
phần chính của luận văn, trình bày cách xây dựng tích phân trên Daniell, trung
bình Daniell và các tính chất, khái niệm đo được Daniell, sự tương đương giữa
khả tích Lebesgue và khả tích Daniell, tính chất maximality.
4
Lời cảm ơn
Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn tác giả xin bày tỏ lòng biết
ơn sâu sắc tới PGS.TS. Phan Viết Thư người đã tận tình hướng dẫn tác giả.
Cùng toàn thể các thầy cô giáo trong khoa Toán - Cơ - Tin học, thầy cô trong
tổ bộ môn "Lý thuyết xác suất và thống kê toán học" trường Đại học Khoa học
Tự Nhiên đã tận tình dạy bảo tác giả trong suốt quá trình học tập tại trường.
Đồng thời tác giả cũng gửi lời cảm ơn tới các đồng nghiệp trong Khoa Khoa
học Cơ bản, ban giám hiệu trường Đại học Sao Đỏ đã giúp đỡ và tạo điều kiện
tốt nhất để tác giả hoàn thành khóa học.
Nhân dịp này tác giả cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình,
bạn bè đã luôn bên tác giả cổ vũ, động viên, giúp đỡ tác giả. Cảm ơn các bạn
trong lớp đã góp ý giúp đỡ tác giả trong luận văn này.
Do lần đầu mới làm quen với công tác nghiên cứu khoa học và còn hạn chế
về ngoại ngữ, thời gian nên khi làm luận văn không tránh khỏi những sai sót.
Tác giả mong nhận được sự góp ý và những ý kiến phản biện của quí thầy cô
và bạn đọc.
Hà nội, tháng 08 năm 2014
Tác giả luận văn
Nguyễn Thị Huệ
5
Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
1.1
Các khái niệm cơ bản
Định nghĩa 1.5. Một hàm cộng tính đếm được µ : F → [0, ∞) trên F được
gọi là độ đo nếu với mọi dãy {An } ⊂ F từng đôi không giao nhau thì
∞
µ(
∞
Ak ) =
k=1
µ (Ak )
k=1
Bộ ba (Ω, F, µ) được gọi là không gian có độ đo.
Nếu µ(Ω) = 1 thì µ được gọi là độ đo xác suất và (Ω, F, µ) gọi là không gian
xác suất.
1.2
Nới rộng độ đo
1.2.1
Phương pháp nới rộng độ đo Lebesgue
Định nghĩa 1.8. Không Ω là một không gian mẫu. Một độ đo ngoài trên Ω
là một hàm µ∗ : P(Ω) → [0, ∞) thỏa mãn:
(i) µ∗ (∅) = 0.
(ii) Nếu A ⊂ B ∈ Ω thì µ∗ (A) ≤ µ∗ (B) (Tính đơn điệu tăng).
(iii) µ∗ (
∞
n=1
∞
An ) ≤
µ∗ (An ) (Tính chất nửa σ - cộng tính dưới).
n=1
6
Định lý 1.2. Cho Ω là một tập không rỗng. Cho một tập khác rỗng E ⊂
P(Ω), ∅ ∈ E , và một hàm h : E → R+ với h (∅) = 0 định nghĩa
µ∗ (A) = inf{
h(An ) : A ⊂
n
An , An ∈ E}
(1.1)
n
thì µ∗ là một độ đo ngoài.
Định lý 1.3. Cho µ∗ là một độ đo ngoài trên Ω. Tập hợp Mµ ∗ tất cả các tập
µ∗ - đo được là một σ - đại số và chứa tất cả các tập µ∗ - bỏ qua được. Ngoài ra
(Ω, Mµ ∗, µ∗) là một không gian có độ đo đủ.
Định lý 1.4. (Mở rộng của Caratheodory) Giả sử rằng µ là hàm tập không
âm cộng tính dưới đếm được trên nửa vành E thỏa mãn µ (∅) = 0. Thì µ được mở
rộng thành một độ đo đủ trên σ - đại số Mµ chứa σ (E ).
1.2.2
Độ đo Lebesgue và độ đo Lebesgue- Stieltjes
Trong phần này ta sẽ trình bày độ đo trên không gian Borel (Rd , B(Rd )).
Cho F : Rd → R là hàm liên tục phải tức là lim+ F (x) = F (a). Với a ≤ b và
x→a
1
Định lý 1.6. Giả sử rằng F là liên tục phải và có số gia không âm tức là
d
∆j (aj , bj )F ≥ 0 với mọi khoảng d-chiều (a,b] bất kỳ. Thì µ nhận
µ ((a, b]) =
j=1
một mở rộng thành độ đo trên σ - đại số B(Rd )⊂ Mµ .
1.2.3
Độ đo Hausdorff trong không gian Metric
Giả sử (X, d) là một không gian metric và giả sử rằng g : R
không giảm với g(0) = 0 . Định nghĩa h : (X) → R
+
+
→R
+
là hàm
là hàm A → g(diam(A)) với
diam(∅) = 0 và diam(A) = sup {d(x, y), x; y ∈ A} nếu A = ∅.
Với mỗi δ > 0 đặt E δ là tập hợp các tập có đường kính lớn nhất là δ thì hàm
tập Hδg định nghĩa bởi:
Hδg (A) = inf{
g(diam(An ): A ⊂
An , An ∈ Eδ }
n
n∈N
là độ đo ngoài.
Từ Eδ ⊂ Eδ , ∀δ < δ nên A → H g (A) := supδ>0 Hδg (A) cũng là một độ đo ngoài.
Định nghĩa 1.11. Một độ đo ngoài µ∗ trên không gian metric thỏa mãn
7
µ∗ (A ∪ B) = µ∗ (A) + µ∗ (B) nếu d (A, B) > 0.
được gọi là độ đo ngoài metric.
Chú ý: Nếu A, B ⊂ X và d(A, B) = inf {d(x, y) : x ∈ A, y ∈ B} > 0 thì
Hδg (A ∪ B) = Hδg (A) + Hδg (B)
Định lý 1.8. (Caratheodory) Nếu µ∗ là độ đo ngoài metric thì mọi tập Borel
là µ∗ - đo được.
1.3
Hàm đo được
Định nghĩa 1.12. (i) Cho các không gian đo (X , S ) và (Y , R). Ánh xạ
f : X → Y gọi là ánh xạ đo được nếu với mọi A ∈ R ta có
f−1 (A) = {x ∈ X : f (x) ∈ A} ∈ S
(ii) Cho không gian có độ đo (X, S, µ). Hàm số f : X → [−∞, +∞] được gọi
là µ - đo được nếu với mọi tập Borel B ⊂ R ta có
f −1 (B) = {x ∈ X : f (x) ∈ B} ∈ S(µ)
Định lý 1.12. (Egorov) Cho (fn ) , f là các hàm đo được sao cho fn → f µ
- hầu khắp nơi. Khi đó với mọi ε > 0 tồn tại tập A với µ(Ac ) < ε sao cho fn hội
tụ đều tới f trên A.
Định lý 1.12. Cho (Ω, F) là không gian đo được và (S , d) là không gian
metric. Nếu {fn } ⊂ S Ω dãy hội tụ các hàm đo được thì f = lim fn là hàm đo
n
được.par
1.4
1.4.1
Các khái niệm của giải tích hàm
Định lý Stone - Weierstrass
Định nghĩa 1.14. Cho E và V là họ các hàm thực hoặc phức xác định trên
Ω.
8
(i) E gọi là vành thực hoặc phức nếu nó là không gian véctơ thực hoặc phức
đối với cộng từng điểm và phép nhân vô hướng và nó là đóng dưới với phép
nhân từng điểm.
(ii) V là dàn véctơ thực hoặc phức nếu nó là không gian véctơ đối với phép
cộng và phép nhân vô hướng theo từng điểm, và f ∧ g := min {f, g} ∈ V ;
f ∨ g := max {f, g} ∈ V với mọi hàm thực f, g ∈ V .
(iii) Một họ các hàm V gọi là đóng với phép chặt cụt nếu f ∧ 1 ∈ V với mọi
hàm thực f ∈ V .
Định lý 1.15. Cho E là tập hợp các hàm bị chặn trên một tập nào đó. Nếu
E là một vành hoặc một dàn véctơ đóng với phép chặt cụt thì bao đóng đều E
của E cũng là vành hoặc dàn véctơ đóng với phép chặt cụt.
Định lý 1.16. (Định lý Stone Weierstrass) Giả sử S là một không gian
Hausdorff compact và E ⊂ C(S) là một vành hoặc dàn véctơ đóng với phép chặt
cụt. Giả thiết rằng E tách các điểm tức là s = t trong S thì tồn tại φ ∈ E thỏa
mãn φ (s) = φ (t) thì ta có:
(i) Nếu E không có không điểm chung z ∈ S thì hợp bao đóng đều E = C(S).
(ii) Nếu E có không điểm chung duy nhất z ∈ S thì E = {φ ∈ C(S): φ (z) = 0 } .
1.4.2
Các lớp đơn điệu của hàm số
Định nghĩa 1.16. Cho Ω là tập không rỗng bất kỳ
(i) Một tập V ⊂ RΩ là một lớp đơn điệu (Tương ứng: Lớp đơn điệu bị chặn)
nếu nó đóng dưới giới hạn từng điểm của dãy hội tụ đơn điệu (hội tụ bị
chặn).
(ii) Một tập V của các hàm phức hoặc thực bị chặn là lớp bị chặn nếu nó đóng
dưới giới hạn theo từng điểm của dãy hội tụ bị chặn; Khi đó, với {fn } ⊂ V
thỏa mãn sup fn
u
< ∞ và f (x) = limn fn (x) với mọi x thì f ∈ V .
(iii) Tập hợp M ⊂ RΩ là lớp phép nhân thực nếu nó đóng dưới với hữu hạn
phép nhân.
9
(iv) Một tập M ⊂ CΩ hàm phức là lớp các phép nhân phức nếu nó đóng dưới
với hữu hạn phép nhân và dưới số phức liên hợp.
Định lý 1.18. (Lớp hàm thực đơn điệu). Cho V là không gian véctơ thực
của các hàm (Tương ứng: Hàm bị chặn) chứa hàm hằng và nó là lớp đơn điệu
(Tương ứng: Đơn điệu bị chặn). Nếu M ⊂ V là lớp nhân của các hàm bị chặn
thì V chứa tất cả hàm đo được giá trị thực σ(M).
Định nghĩa 1.17. Họ V ⊂ RΩ là dãy đóng nếu giới hạn của một dãy hội tụ
trong V cũng thuộc V .
Cho họ E ⊂ RΩ , giao của tất cả các dãy đóng chứa E là dãy đóng bé nhất
chứa E và được gọi là bao đóng của E , kí hiệu là E Σ .
Bổ đề 1.3. Giả sử E là một vành hoặc một dàn đóng với phép chặt cụt. khi
đó:
(i) E Σ cũng là một vành hoặc một dàn đóng với phép chặt cụt.
(ii) Nếu E ∈ RΩ đóng kín đối với các phép toán +, −, ., ∨, ∧, ∧1 hoặc |.| thì E Σ
cũng vậy.
(iii) Tập hợp R(E) các tập con trong E Σ trùng với σ vành R (E) sinh bởi
φ−1 ((r, ∞)) : φ ∈ E, r > 0 .
(iv) f ∈ E Σ nếu và chỉ nếu f −1 (I) ∈ R (E) với mọi khoảng trong R\ {0}.
Đặt MR (E) là tập hợp các hàm thực đo được của σ(E).
10
Chương 2
Tích phân theo quan điểm của lý
thuyết độ đo
Trong giải tích cổ điển, ta đã nghiên cứu tích phân Riemann và các ứng dụng
của nó. Tuy nhiên, trong nhiều trường hợp có những hàm đo được đơn giản
nhưng không khả tích Riemann. Do đó, Lebesgue đã đưa ra phương pháp mới
là chia miền lấy tích phân thành các tập hợp nhỏ, mỗi tập bao gồm những điểm
ứng với những giá trị gần nhau của f (x). Khi đó, ta có thể dùng những hàm bậc
thang để xấp xỉ f (x).
2.1
Tích phân Lebesgue trìu tượng
Định nghĩa 2.1.
Giả sử rằng s là một hàm đơn giản, đo được không
âm, {a1 , a2 , ...an } là tập hợp tất cả các giá trị khác nhau của s. Khi đó s =
n
ak 1{s=ak } . Với mỗi E ∈ F, tích phân của s trên E đối với độ đo µ xác định
k=1
bởi
n
ak µ (E ∩ Ak )
sdµ :=
E
(2.1)
k=1
Định nghĩa 2.2. Với mọi hàm đo được f : Ω → [0, ∞] thì tích phân của f
trên E được cho bởi
f dµ = sup{
E
sdµ : 0 ≤ s ≤ f với s là hàm đơn giản}
E
11
(2.3)
Định nghĩa 2.3. Một hàm giá trị phức hoặc giá trị thực mở rộng đo được
|f |dµ < ∞.
f trên Ω là khả tích nếu
Ω
Tập tất cả hàm khả tích trên Ω kí hiệu là L1 (Ω, F, µ).
2.2
Chuyển giới hạn dưới dấu tích phân Lebesgue
Trong giải tích và xác suất ta thường phải chuyển giới hạn dưới dấu tích phân.
Đối với tích phân Riemann việc chuyển qua giới hạn như thế đòi hỏi nhiều điều
kiện khắt khe như điều kiện hội tụ đều. Đối với tích phân Lebesgue vấn đề này
sẽ được giải quyết đơn giản hơn.
Định lý 2.2. (Hội tụ đơn điệu) Cho {fn }n là dãy các hàm đo được thỏa mãn
(i) 0 ≤ ... ≤ fn (ω) ≤ fn+1 (ω) ≤ ... ≤ ∞, ∀ω ∈ Ω.
(ii) lim fn (ω) = f (ω) , ∀ω ∈ Ω.
n→∞
Thì f là đo được và
lim
fn dµ =
n→∞
f dµ
Ω
(2.6)
Ω
Hệ quả 2.2. (Beppo Levi) Cho fn : Ω → [0, ∞] là dãy các hàm đo được, thì
∞
∞
fn dµ
fn dµ =
Ω n=1
(2.10)
n=1 Ω
Hệ quả 2.3. Giả sử f : Ω → [0, ∞] là hàm đo được và đặt
f dµ, E ∈ F
ηf (E) =
(2.11)
E
thì ηf là một độ đo trên F và với mọi hàm đo được g : Ω → [0, ∞] ta có
gdηf =
Ω
(2.12)
gf dµ
Ω
Định lý 2.3. (Bổ đề Fatou) Nếu fn : Ω → [0, ∞] là dãy các hàm đo được,
thì
lim inf fn dµ ≤ lim inf
n
n
n
Ω
fn dµ
n
Ω
12
(2.13)
Định lý 2.5. (Hội tụ bị làm trội của Lebesgue) Cho {fn }n và {gn }n là dãy
các hàm đo được (thực hoặc phức) hội tụ theo từng điểm µ - h.c.c thỏa mãn
f = lim fn µ - h.c.c, g = lim gn µ - h.c.c và
n
n
|fn | ≤ gn µ- h.c.c.
(2.16)
Giả sử rằng
lim
n
gdµ < ∞
gn dµ =
(2.17)
thì f ∈ L1 và
|fn − f | dµ = 0;
lim
n→∞
lim
Ω
2.3
f dµ < ∞
fn dµ =
n→∞
Ω
(2.18)
Ω
Tích phân Riemann và tích phân Lebesgue trên R
Định nghĩa 2.5. Một hàm f : [a, b] → R là khả tích Riemann nếu
sup L (f, P ) = inf U (f, P )
P ∈P
(2.19)
P ∈P
Giá trị duy nhất A(f ) trong (1.23) gọi là tích phân Riemann của f trên [a, b].
Định lý 2.8. Giả sử rằng f là khả tích Riemann trên [a, b] và đặt M([a, b])
là σ - đại số Lebesgue. Thì f ∈ L1 ([a, b], M([a, b]), λ) và f là liên tục λ - hầu chắc
chắn. Hơn nữa, A(f ) =
f dλ.
[a,b]
Định lý 2.9. (Lebesgue) Một hàm f là khả tích Riemann trên [a, b] nếu và
chỉ nếu f là hàm bị chặn, liên tục λ - hầu chắc chắn trên [a, b]. Khi đó nó khả
tích theo nghĩa Lebesgue và hai tích phân bằng nhau.
2.3.1
Một số tính chất của tích phân
Cho f là hàm từ E × [a, b] → R. Ta giả thiết rằng hàm x → ft (x) = f (x, t)
đo được với mỗi t ∈ [a, b], ft ∈ (ME , B; R, BR ) và ta quan tâm đến tính chất của
hàm
t→
f (x, t) dµ (x)
E
với µ là một đo đo dương trên B.
13
Định lý 2.10. (Tính liên tục) Giả sử lim f (x, t) = l (x) với mọi x ∈ E, t0 ∈
t→t0
[a, b], |f (x, t)| ≤ g (x), g µ – khả tích với mọi t ∈ [a, b]. Khi đó
lim
f (x, t) dµ (x) =
t→t0
E
l (x) dµ (x).
E
Định lý 2.11. (Tính khả vi) Với các điều kiện sau đây:
(i) Tồn tại t0 ∈ [a, b] sao cho x → f (x, t0 ) là µ – khả tích trên E.
(ii)
∂f
∂t
tồn tại trên E × [a, b].
∂f
∂t
(iii) Tồn tại hàm g µ – khả tích trên E sao cho:
(x, t) ≤ g (x) với mọi
t ∈ [a, b].
Khi đó, hàm số t → F (t) =
f (x, t) dµ (x) khả vi trên [a, b] và ta có:
E
dF (t)
d
=
dt
dt
df
(x, t) dµ (x)
dt
f (x, t) dµ (x) =
E
E
Định lý 2.12. (Tính khả tích Riemann) Với các điều kiện sau:
(i) t → f (x, t) liên tục trên [a, b] với mọi x ∈ E .
(ii)Tồn tại g µ – khả tích trên E sao cho: |f (x, t)| ≤ g (x).
b
Khi đó, hàm số t → F (t) =
b
[
a
f (x, t) dµ (x)]dt =
E
14
f (x, t) dt]dµ (x).
[
E
a
Chương 3
Tích phân: Cách tiếp cận theo giải
tích hàm
Cách tiếp cận tích phân trực tiếp của Daniell sử dụng sự tuyến tính và cấu
trúc liên tục của tích phân sơ cấp và không dùng lý thuyết độ đo. Phương pháp
của Daniell mở rộng tích phân sơ cấp tới tập lớn nhất có thể của các hàm mà
tính tuyến tính và hội tụ bị trội được thỏa mãn.
3.1
Tích phân theo phương pháp Daniell
Cho Ω là một tập hợp, E là tập không rỗng các hàm thực bị chặn trên Ω và
là một dàn véctơ đóng với phép chặt cụt hoặc là một vành.
Định nghĩa 3.1.
(i) Một tích phân sơ cấp trên E là phiếm hàm tuyến tính giá trị thực trên E .
(ii) Tích phân sơ cấp I là dương nếu I (f ) ≥ 0 khi 0 ≤ f ∈ E .
(iii) Tích phân sơ cấp I là δ - liên tục nếu I (fn )
3.1.1
0 khi E
fn
0.
Tích phân trên Daniell
Bổ đề 3.1. Giả sử rằng E là một dàn véctơ. Khi đó, không gian E ↑ là đóng
đối với:
(i) Phép cộng.
15
(ii) Nhân với vô hướng không âm.
(iii) inf hữu hạn.
(iv) sup đếm được.
Định nghĩa 3.2. Tích phân trên của hàm h ∈ E ↑ được định nghĩa bởi
I ∗ (h) = sup {I (φ) : φ ∈ E, φ ≤ h}
(3.1)
Tích phân trên của hàm thực f bất kỳ trên Ω được định nghĩa bởi
I ∗ (f ) = inf I ∗ (h) : h ∈ E ↑ , f ≤ h
(3.2)
Rõ ràng I ∗ (φ) = I (φ) nếu φ ∈ E . Sự biểu diễn (3.1) và (3.2) là trùng nhau trên
E ↑.
Định lý 3.1. Giả sử rằng E là một dàn véctơ. Thì tích phân trên I ∗ của
Daniell có các tính chất sau:
(i) I ∗ không giảm và thuần nhất dương.
(ii) Nếu {hn } ⊂ E ↑ là dãy không giảm thì I ∗ (hn )
I ∗ (sup hn ).
n
(iii) I ∗ là tuyến tính trên E ↑ .
(iv) I ∗ là σ - cộng tính dưới tức là, nếu fn ≥ 0 thì I ∗ (
I ∗ (fn ).
fn ) =
n
3.1.2
n
Trung bình Daniell
Định nghĩa 3.3. Giả sử E là một dàn véctơ. Trung bình Daniell của tích
phân sơ cấp (E ,I ) là ánh xạ .
∗
Ω
: R → [0, ∞] cho bởi f → I ∗ (|f |).
Định lý 3.2. Trung bình Daniel .
∗
là hữu hạn trên E . Ngoài ra,
Ω
(i) Tính thuần nhất tuyệt đối: Với mọi a ∈ R và f ∈ R , af
(ii) Tính vững: Nếu |f | ≤ |g| thì f
∗
∗
= |a| f
∗
.
≤ g ∗.
(iii) Cộng tính dưới đếm được: Nếu {fn } là dãy các hàm giá trị thực suy rộng
không âm thì
fn
n
∗
fn ∗ .
≤
n
16
n
(iv) Nếu 0 ≤ φn ∈ E và sup
n
φk
∗
< ∞ thì lim φn
n
k=1
∗
= 0.
(v) Với mọi φ ∈ E , |I (φ)| ≤ φ ∗ .
Định nghĩa 3.4. Cho E ⊂ RΩ là không gian véc tơ các hàm bị chặn. Một
Ω
phiếm hàm . trên R là hữu hạn trên E và thỏa mãn (i)-(iv) trong định lý 3.2
được gọi là trung bình đối với E .
Định lý 3.4. Cho E là một dàn véctơ đóng với phép chặt cụt hoặc một vành.
Nếu . là một trung bình đối với E thì
Ω
(i) F = {f ∈ R : f < ∞} là một dàn véctơ đóng với phép chặt cụt.
(ii) (F , . ) là không gian đủ có nửa chuẩn.
(iii) Nếu {fn } ⊂ F và lim f − fn = 0 thì có một dãy con {fnk } hội tụ theo
n
từng điểm tới f - hầu chắc chắn.
(iv) Bao đóng của E trong (F, . ) kí hiệu bởi L1 ( . ) là dàn véctơ đóng với phép
chặt cụt.
Các hàm số trong L1 ( . ) được gọi là khả tích đối với trung bình . .
3.1.3
Các định lý hội tụ theo trung bình
Định lý 3.5. (Định lý hội tụ đơn điệu) Giả sử rằng {fn } ⊂ L1 là dãy tăng
hoặc dãy giảm thỏa mãn sup fn < ∞. Nếu fn hội tụ theo từng điểm tới f thì
n
f ∈ L1 và lim f − fn = 0.
n
Hệ quả 3.1. Nếu E là một dàn véctơ thì E ↑ ⊂ F ⊂ L1 .
Định lý 3.6. (Hội tụ bị làm trội Daniell Lebesgue) Giả sử {fn } ⊂ L1 hội tụ
hầu chắc chắn đến f . Giả sử có g ∈ F thỏa mãn |fn | ≤ g hầu chắc chắn với mọi
n. Thì f ∈ L1 và lim fn − f = 0.
n
Bổ đề 3.5. Giả sử f ∈ L1 và a ∈ (0, ∞) thì 1{f >a} , 1{f <−a} , 1{f ≤−a} , 1{f ≥a}
là khả tích.
Định lý 3.7. Cho (E, I) là một tích phân sơ cấp và .
Daniell thì
17
∗
là trung bình của
A
∗
= inf
B
∗
: A ⊂ B ∈ E ↑ = inf
B
∗
: A ⊂ B ∈ L1 }
với mọi A ∈ F . Ngoài ra, nếu A ∈ F thì có tập B ∈ E ↑↓ ∩ L1 thỏa mãn A ⊂ B và
∗
A
3.2
= B ∗.
Mở rộng tích phân
Giả sử rằng (E ,I ) là tích phân sơ cấp và đặt . là trung bình trội của tích
phân cơ bản tức là |I (φ)| ≤ φ , ∀φ ∈ E .
Khi đó, I nhận được một mở rộng tới (L1 , . ) bằng cách cho
(3.8)
I (f ) = lim I (φn )
n
với mọi {φn } ⊂ L1 thỏa mãn f − φn → 0.
Định lý 3.9. Giả sử . là trung bình trội trên tích phân cơ bản (E ,I ).
(i) Mở rộng của I lên (L1 , . ) là tuyến tính, dương và bị làm trội bởi trung bình
tức là,
I (af + g) = aI (f ) + I (g) , a ∈ R; f, g ∈ L1
(3.9)
I (f ) ≥ 0 nếu f ∈ L+
1
(3.10)
|I (f )| ≤ I (|f |) ≤ f
(3.11)
(ii) Mở rộng I thỏa mãn định lý hội tụ đơn điệu: Nếu 0 ≤ fn ∈ L1 và sup I (fn ) <
n
∞ thì lim I(|fn − sup f |) = 0.
n
n
(iii) Nếu E là dàn véctơ đóng với phép chặt cụt hoặc dàn vành, .
∗
là trung
bình Daniell thì I (f ) = I ∗ (f ) với mọi f ∈ L1 + ( . ∗ ). Ngoài ra I (h) = I ∗ (h)
với mọi h ∈ E ↑ .
3.3
Tính đo được Daniell
Định lý 3.11. Cho f ∈ L1 và ε > 0. Tồn tại một tập U ∈ E ↑ với U < ε và
u
một hàm g ∈ E (bao đóng đều của E ) thỏa mãn f = g , . - hầu chắc chắn trên
U c.
18
Định lý 3.12. Cho {fn } ∈ L1 và giả sử rằng {fn } hội tụ đến f hầu chắc
chắn trên một tập con A ∈ L1 . Thì với mọi ε > 0 có L1
A0 ⊂ A thỏa mãn
A\A0 < ε và fn hội tụ đều đến f trên A0 .
3.3.1
Tính đo được
Tính đo được mô tả cấu trúc địa phương của quá trình khả tích.
Định nghĩa 3.7. Một hàm f ∈ RΩ là đo được đối với trung bình . nếu với
mọi A ∈ L1 và ε > 0 có L1
u
A0 ⊂ A và g ∈ E thỏa mãn A\A0 < ε và f = g
trên A0 . Tập B ⊂ Ω là đo được nếu 1B là đo được.
Hệ quả 3.2. Giả sử D là tập trù mật trong L1 . Một hàm giá trị thực f là đo
được nếu và chỉ nếu với mọi tập A ∈ L1 và ε > 0 có L1 A0 ⊂ A với A\A0 < ε
thỏa mãn f là giới hạn đều của một dãy trong D.
Bổ đề 3.6. Giả sử rằng {fn } ⊂ RΩ là dãy các hàm đo được. Thì với A ∈
L1 và ε > 0 tồn tại L1
u
B ⊂ A và một dãy {gn } ⊂ E thỏa mãn A\B < ε và
fn = gn trên B .
Định lý 3.13. (Định lý Egorov) Cho {fn } ⊂ RΩ là dãy các hàm đo được hội
tụ đến f hầu chắc chắn. Thì f là đo được;
Ngoài ra, với mọi A ∈ L1 và ε > 0 thì có L1
B ⊂ A với A\B < ε thỏa mãn
fn hội tụ đều đến f trên B .
Định lý 3.14.
(i) Lớp MR các hàm thực đo được là một dàn đại số đóng với phép chặt cụt và
chứa E Σ .
(ii) Nếu f ∈ MR và ϕ : R −→ R là liên tục thì ϕ ◦ f ∈ MR .
(iii) Lớp M các tập con đo được của Ω là một σ - đại số.
Kết quả tiếp theo phân loại đầy đủ không gian L1 theo tính đo được hữu hạn
của trung bình.
Bổ đề 3.7. Một tập A ∈ M nếu và chỉ nếu A ∩ B ∈ L1 với mọi B ∈ L1 .
Ω
Định lý 3.15. Một hàm f ∈ R là khả tích nếu và chỉ nếu có f ∈ F ∩ MR
với f − f
= 0 và {f = 0} là σ - hữu hạn. Do đó, E Σ ∩ F ∈ L1 . Ngoài ra,
19
nếu (E , I ) là một tích phân sơ cấp và .
∗
là trung bình của Daniel thì ta có
L1 ( . ∗ ) = F ∩ MR .
Định lý 3.16. Giả sử rằng D ⊂ R là trù mật. Khi đó, f ∈ MR nếu và chỉ
nếu {f > d} ∈ M với mọi d ∈ D.
3.3.2
Tính đo được trên không gian mêtric
Định nghĩa 3.8. Cho (E , I ) là tích phân sơ cấp và . là trung bình trội
hơn I . Giả sử rằng E là một không gian metric. Một hàm f ∈ E Ω là đo được nếu
với mọi A ∈ L1 và ε > 0 có A0 ∈ L1 với A\A0 < ε với f là E - liên tục đều. Ta
ký hiệu bởi ME là không gian các hàm đo được nhận giá trị trên E.
Định lý Egorov nhận được một mở rộng trong trường hợp tổng quát.
Định lý 3.17. Giả sử {fn } là một dãy các hàm đo được nhận giá trị trên
E hội tụ hầu chắc chắn đến f . Thì f là hàm đo được. Ngoài ra, với mọi A ∈ L1
và ε > 0 có L1
3.4
A0 ⊂ A với A\A0 < ε sao cho sự hội tụ là đều trên A0 .
Sự tương đương giữa khả tích Daniell và khả
tích Lebesgue-Caratheodory
Trung bình của Daniell .
∗
xác định với hàm cộng tính đếm được I trên
vành R=R(E ) tạo bởi hàm sơ cấp E . Phương pháp Lebesgue-Caratheodory mở
rộng tích phân I thành độ đo đủ µ trên σ - đại số Mµ ⊃ σ(E) thông qua độ đo
ngoài
µ∗ (E) = inf{
Rn , Rn ∈ R}
I (Rn ) : E ⊂
n
(3.12)
n
Định lý 3.18. Giả sử rằng (E ,I ) là một tích phân sơ cấp và .
∗
là trung
bình Daniell, A ∈ M nếu và chỉ nếu
+ E\A
∗
(3.13)
Bổ đề 3.9. Cho µ∗ như trong (3.12) và cho .
∗
là trung bình Daniell. Thì
E
∗
= E∩A
∗
với mọi E ⊂ Ω.
.
∗
= µ∗ .
20
Định lý 3.19. (Daniell Stone) Cho (E, I) là một tích phân sơ cấp và .
∗
là trung bình Daniell của nó và M là tập các hàm đo được đối với . ∗ . Thì
σ (E) ⊂ M và µ = .
∗
xác định một độ đo trên không gian đo được (Ω, M) thỏa
mãn
∗
µ (E) = I (E) = E
, E ∈ M và I (f ) =
f dµ với f ∈ L1 ⊃ E
Ở đây I là mở rộng Daniell của (E, I). Ngoài ra, µ xác định duy nhất trên
σ vành Rσ (E) vành tạo bởi
f −1 (B) : f ∈ E, B ∈ B (R\ {0}) . Nếu có một hàm
dương thực sự f ∈ L1 (Ω, σ (E) , µ) thì Rσ (E) = σ (E) .
Bổ đề 3.10. Giả sử I là một phiếm hàm tuyến tính dương trên E = C00 (X).
+
Nếu dãy {fn } ⊂ C00
và fn 0 theo từng điểm thì Ifn
0.
Định lý 3.21. (Định lý biểu diễn Riesz) Giả sử I là một phiếm hàm tuyến
tính dương trên C00 (X). Khi đó tồn tại duy nhất độ đo Radon µI chính quy đủ
xác định trên một σ - đại số MI ⊃ B(X) thỏa mãn
f dµI , f ∈ C00 (X)
I (f ) =
X
Nếu thêm điều kiện I là liên tục thì µI là hữu hạn với I = µI (X) = X
3.5
∗
.
Tính chất Maximality
Nếu . và .
và f ≤ f
là hai trung bình trên dàn véctơ E đóng với phép chặt cụt,
Ω
với mọi f ∈ R , thì nó chứng tỏ rằng L1 ( .
) ⊂ L1 ( . ).
Trung bình Daniel là trung bình maximal trên (E , I ) thỏa mãn φ
∗
= I (|φ|)
với mọi φ ∈ E . Nó có nghĩa rằng trung bình Daniel cung cấp mở rộng nhỏ nhất
của tích phân sơ cấp mà dãy Cauchy hội tụ và sự hội tụ bị trội được thỏa mãn.
Bổ đề 3.11. Giả sử rằng E là tập hợp các hàm bị chặn và là một dàn véctơ
đóng với phép chặt cụt hoặc là vành. Nếu . và .
φ ≤ φ
với mọi φ ∈ E , thì f ≤ f
Định lý 3.24. Giả sử .
f
là các trung bình thỏa mãn
với mọi f ∈ E Σ .
là trung bình maximal của E . Thì
: |f | ≤ h ∈ E Σ }
= inf{ h
21
(3.18)
Bổ đề 3.13. Giả sử .
F( .
là trung bình maximal của E . Thì với mọi f ∈
)+ , tồn tại h ∈ E Σ , f ≤ h thỏa mãn f
= h
.
Định lý 3.25. Cho E là tập hợp các hàm bị chặn và là dàn véctơ đóng với
phép chặt cụt hoặc là vành.
(i) Nếu (E, I) là tích phân sơ cấp và .
∗
là trung bình Daniell, thì .
∗
là trung
bình maximal trùng với I trên E+ .
của E thỏa mãn
(ii) Mọi trung bình maximal .
sup fn
= sup fn
n
n
Ω
Với mọi dãy không giảm {fn } ⊂ R+ .
22
(3.19)
Kết luận chung
Luận văn đã trình bày được một số nội dung cơ bản như:
Thứ nhất: Cách xây dựng tích phân của hàm đo được theo phương pháp
tích phân Lebesgue. Xét được các điều kiện chuyển giới hạn dưới dấu tích phân
Lebesgue, đưa ra định lý về sự hội tụ đơn điệu, hội tụ bị trội.... Sự tương đương
của tích phân Lebesgue và tích phân Riemann trên R
Thứ hai: Xây dựng tích phân trên Daniell từ tích phân cơ bản (I, E). Xét
tính đo được Daniel như là tính chất địa phương của tính khả tích. Xét được
các tính chất cơ bản của tích phân Daniell và trung bình Daniell tương ứng của
tích phân. So sánh được sự tương đương giữa tính khả tích Daniell và khả tích
Lebesgue. Chỉ ra được tính chất maximality của trung bình Daniell.
23
