7 bo de thi hsg toAn 8

1
Kim tra cht lng hc sinh gii nm hc 2008 2009

Mụn Toỏn lp 8
Thi gian 150 phỳt Khụng k thi gian giao
Bài 1 (3 điểm)Tính giá trị biểu thức
1 4 1 4 1
4 1
1+ ữ 3 + ữ 5 + ữ.......... 29 + ữ
4
4
4
4
Bài 2 (4 điểm)

A=
4 1 4 1 4 1
4 1
a/ Với mọi số a, b, c
2 + ữ 4 + ữ 6 + ữ.......... 30 + ữ
4
4
4
4


không đồng thời bằng

nhau, hãy chứng minh

a2 + b2 + c2 ab ac bc 0

b/ Cho a + b + c = 2009. chứng minh rằng
a 3 + b3 + c3 - 3abc
= 2009
Bài 3 (4 điểm). Cho a 0, b 0 ; a a 2 + b 2 + c2 - ab
- ac - bc

và b thảo mãn 2a + 3b 6 và 2a + b 4. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = a 2
2a b
Bài 4 (3 điểm). Giải bài toán bằng cách lập phơng trình
Một ô tô đi từ A đến B . Cùng một lúc ô 2 tô thứ hai đi từ B đến A vơí vận tốc bằng vận
tốc của ô tô thứ nhất . Sau 5 giờ chúng gặp 3 nhau. Hỏi mỗi ô tô đi cả quãng đờng AB thì
mất bao lâu?
Bài 5 (6 điểm). Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, các điểm M, N thứ tự là trung điểm của BC và
AC. Các đờng trung trực của BC và AC cắt nhau tại O . Qua A kẻ đờng thẳng song song với OM,
qua B kẻ đờng thẳng song song với ON, chúng cắt nhau tại H
a) Nối MN, AHB đồng dạng với tam giác nào?
b) Gọi G là trọng tâm ABC , chứng minh AHG đồng dạng với MOG ?
c) Chứng minh ba điểm M , O , G thẳng hàng?

ề thi học sinh giỏi năm học 2008 - 2009
Môn: Toán lớp 8
Thời gian làm bài 120 phút

Bài 1. Cho biểu thức: A =
x5 + x 2
a) Rút gọn biểu thức A
x3 x 2 + x

b) Tìm x để A A =0
c) Tìm x để A đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 2: a) Cho a > b > 0 và 2( a2 + b2) = 5ab
Tính giá trị của biểu thức: P =
3a b
b) Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam 2a + b giác. Chứng minh rằng a2 + 2bc > b2 + c2
Bài 3: Giải các phơng trình:


2

2 x
1 x
x
1 =

2007
2008 2009

a)

b) (12x+7) (3x+2)(2x+1) = 3
Bài 4: Cho tam giác ABC; Điểm P nằm ãABP
AB, PK
AC
= ãACP
trong tam giác sao cho , kẻ PH . Gọi D là
trung điểm của cạnh BC. Chứng minh.
a) BP.KP = CP.HP
b) DK = DH

Bài 5: Cho hình bình hành ABCD, một AB AD AC
+
=
đờng thẳng d cắt các cạnh AB, AD tại M AM AK AG
và K, cắt đờng chéo AC tại G. Chứng minh rằng:
2

Lớp 8 THCS - Năm học 2007 - 2008
Môn : Toán
Thời gian làm bài: 120 phút
Bài 1: (2 điểm)
Phân tích đa thức sau đây thành nhân tử:
1.
x2 + 7 x + 6
x 4 + 2008 x 2 + 2007 x + 2008

2.

Bài 2: (2điểm)
Giải phơng trình:
x 2 3x + 2 + x 1 = 0
2

Bài 3: (2điểm)

1.

2

2

1
1
1
1
2



8 x + ữ + 4 x 2 + 2 ữ 4 x 2 + 2 ữ x + ữ = ( x + 4 )
x
x
x
x



64 = 6 + 4

2.

1. Căn bậc hai của 64 có thể viết dới

dạng nh sau:
Hỏi có tồn tại hay không các số có hai chữ số có thể viết căn bậc hai của chúng dới dạng
nh trên và là một số nguyên? Hãy chỉ ra toàn bộ các số đó.
x + 8 ) + 2008
( x + 2 ) ( x +x42) +( x10+x6+) (21

2. Tìm số d trong phép chia

3
của biểu thức cho đa thức .
Bài 4: (4 điểm)


Cho tam giác ABC vuông tại A (AC > AB), đờng cao AH (HBC). Trên tia HC lấy điểm D
sao cho HD = HA. Đờng vuông góc với BC tại D cắt AC tại E.
1. Chứng minh rằng hai tam giác BEC m = AB và ADC đồng dạng. Tính độ dài đoạn BE
theo .
2. Gọi M là trung điểm của đoạn BE. Chứng minh rằng hai tam giác BHM và BEC đồng
dạng. Tính số đo của góc AHM
3. Tia AM cắt BC tại G. Chứng
GB
HD
=
minh: .
BC AH + HC
Hết

ề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện
Năm học 2008 - 2009
Môn: Toán 8

(Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề)

Đề thi này gồm 1 trang

Bi 1 (4 im): Cho biu thc

a) Tỡm iu kin ca x, y

A=

4xy
y x2
2

1

1

: 2
+ 2
2
2
y + 2 xy + x
y x

giỏ tr ca A c xỏc nh.
b) Rỳt gn A.
c) Nu x; y l cỏc s thc lm cho A xỏc nh v tho món: 3x2 + y2 + 2x 2y = 1, hóy tỡm tt
c cỏc giỏ tr nguyờn dng ca A?
Bi 2 (4 im):
a) Gii phng trỡnh :
x + 11 x + 22 x + 33 x + 44
+
=
+

115
104
93
82
b) Tỡm cỏc s x, y, z



bit :
x2 + y2 + z2 = xy + yz + zx
v

x 2009 + y 2009 + z 2009 = 32010

Bi 3 (3 im): Chng minh rng vi mi n N thỡ n5 v n luụn cú ch s tn cựng ging
nhau.
Bi 4 (7 im): Cho tam giỏc ABC vuụng ti A. Ly mt im M bt k trờn cnh AC. T C v
mt ng thng vuụng gúc vi tia BM, ng thng ny ct tia BM ti D, ct tia BA ti E.


ã
ã
a) Chng minh: EA.EB = ED.EC v EAD
= ECB

4


b) Cho v . Tớnh SEBC?

ã AED ==36
SBMC
cm02
120

c) Chng minh rng khi im M di chuyn trờn cnh AC thỡ tng BM.BD + CM.CA cú giỏ tr
khụng i.
BC)
CQ
PD
d) K . Gi P, Q ln lt l trung (DH
H BC

im ca cỏc on thng BH, DH. Chng minh .
Bi 5 (2 im):
a) Chng minh bt ng thc sau: x y
+ 2
(vi x v y cựng du)
y x
b) Tỡm giỏ tr nh nht ca biu x 2 yx2 0,yx 0y
+
3 + ữ+ 5
thc P = (vi )
y2 x2
y x

Đề khảo sát chọn học sinh giỏi cấp huyện
Môn: Toán Lớp 8
Năm học 2008 2009

Thời gian làm bài: 150 phút

Bài 1: (4 điểm)
1, Cho ba số a, b, c thoả mãn , A a= +a 4b++bc4 =+0c 4
2
tính .
2
2
a + b + c = 2009
2, Cho ba số x, y, z thoả mãn . B x= +xyy + yz
z =+3zx
Tìm giá trị lớn nhất của .
Bài 2: (2 điểm)
Cho đa thức với . Chứng f ( kf) ( =xp)f
Z,
=( 2008
x 2 q+
.fZ(+2009
q )
)px
minh rằng tồn tại số nguyên k để .
Bài 3: (4 điểm)
1, Tìm các số nguyên dơng x, 3xy + x + 15y 44 = 0
y thoả mãn .
2009
2, Cho số tự nhiên , b là tổng các
a = ( 29 )
chữ số của a, c là tổng các chữ số của b, d
là
tổng các chữ số của c. Tính d.

Bài 4: (3 điểm)
Cho phơng trình , tìm m để ph- 2x m x 1
+
=3
ơng trình có nghiệm dơng.
x2 x+2
Bài 5: (3 điểm)
Cho hình thoi ABCD có cạnh bằng đ- CAF

AEC ờng chéo AC, trên tia đối của tia AD lấy
ãEOF
điểm E, đờng thẳng EB cắt đờng
thẳng DC tại F, CE cắt à tại O. Chứng minh
đồng dạng, tính .
Bài 6: (3 điểm)
Cho tam giác ABC, phân giác ãBE BF ã AB 2
EAD = FAD
trong đỉnh A cắt BC tại D, trên các đoạn CE CF = AC 2
thẳng DB, DC lần lợt lấy các điểm E và F sao cho . Chứng minh rằng: .
Bài 7: (2 điểm)


5
Trên bảng có các số tự nhiên từ 1 đến 2008, ngời ta làm nh sau lấy ra hai số bất kỳ và
thay bằng hiệu của chúng, cứ làm nh vậy đến khi còn một số trên bảng thì dừng lại. Có
thể làm để trên bảng chỉ còn lại số 1 đợc không? Giải thích.
..........................................Hết..............................................
Thí sinh không đợc sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh: .............................................................. Số báo danh: ..........................

ề thi học sinh giỏi lớp 8
Năm học 2008-2009
Môn toán (150 phút không kể thời gian giao đề)
Câu 1 (5 điểm) Tìm số tự nhiên n để :
a) A=n3-n2+n-1 là số nguyên tố.
n 4 + 3n 3 + 2n 2 + 6n 2
n2 + 2

b) B= có giá trị là một số
nguyên .
c) D=n5-n+2 là số chính

phơng . (n
Câu 2: (5 điểm) Chứng minh rằng :
a) biết abc=1
a
b
c
+
+
=1
b) Với a+b+c=0 thì
ab + a + 1 bc + b + 1 ac + c + 1
a4+b4+c4=2(ab+bc+ca)2
c)
a2 b2 c2 c b a
Câu 3: (5 điểm) Giải các phơng
+
+

+ +
b2 c2 a2 b a c
trình sau:
a)
x 214 x 132 x 54
+
+
=6
b) 2x(8x-1)2(4x-1)=9
86
84
82
2 2
c) x -y +2x-4y-10=0 với
x,y nguyên dơng.
Câu 4: (5 điểm). Cho hình thang ABCD (AB//CD) ,O là giao điểm hai đờng chéo. Qua O kẻ đờng
thẳng song song với AB cắt DA tại E, cát BC tại F.
a) Chứng minh rằng : diện tích tam giác AOD bằng diện tích tam giác BOC.
b) Chứng minh :
1
1
2
+
=
c) Gọi K là điểm bất kì thuộc
AB CD EF
OE.Nêu cách dựng dờng thẳng đI
qua K và chia đôi diện tích tam giác DEF.
-----------------------------------------------hết------------------------------------------------------------------

2)


6

ề thi phát hiện học sinh giỏi bậc thcs năm học 2008-2009
Môn: toán (120 phút không kể thời gian giao đề)

Bài 1: (1 đ)
Cho biết a-b=7 tính giá trị của biểu thức: a(a+2)+b(b-2)-2ab
Bài 2: (1 đ)
Chứng minh rằng biểu rhứ sau luôn luôn dơng (hoặc âm) với một giá trị của chử đã cho :
-a2+a-3
Bài 3: (1 đ)
Chứng minh rằng nếu một tứ giác có tâm đối xứng thì tứ giác đó là hình bình hành.
Bài 4: (2 đ)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:
2
Bài 5: (2 đ)
2
4 x + 8x 5
Chứng minh rằng các số tự nhiên có
dạng 2p+1 trong đó p là số nguyên tố , chỉ có một số là lập phơng của một số tự nhiên khác.Tìm
số đó.
Bài 6: (2 đ)
Cho hình thang ABCD có đáy lớn AD , BAC = CAD
đờng chéo AC vuông góc với cạnh bên
CD, .Tính AD nếu chu vi của hình thang bằng 20 cm và góc D bằng 600.
Bài 7: (2 đ)
Phân tích đa thức sau thành nhân tử:

a) a3m+2a2m+am
b) x8+x4+1
Bài 8: (3 đ) Tìm số d trong phép chia của biểu thức :
(x+1)(x+3)(x+5)(x+7)+ 2004 cho x2+8x+1
Bài 9: (3 đ) Cho biểu thức :
C=
2x
2x
1

3

: 1 2
a) Tìm điều kiện đối với x
2
x 1 x + x x 1 x +1
để biểu thức C đợc Xác
định.
b) Rút gọn C.
c) Với giá trị nào của x thì biểu thức C đợc xác định.
Bài 10 (3 đ)
Cho tam giác ABC vuông tại A (AC>AB) , đờng cao AH. Trên tia HC lấy HD =HA, đờng vuông
góc với BC tại D cắt AC tại E.
a) Chứng minh AE=AB
b) Gọi M trung điểm của BE . Tính góc AHM.
------------------------------------------------Hết---------------------------------------------------------------

Hớng dẫn chấm môn toán 8
Bài

Nội dung

1.1 Cho ba số a, b, c thoả mãn ,
A a= +a 4b++bc4 =+0c 4
2
tính .
a + b 2 + c2 = 2009

2
Ta có
a 2 + b 2 + c2 = ( a + b + c ) 2 ( ab + bc + ca ) = 2 ( ab + bc + ca )

Điểm

2,00
0,50
0,50


7
2 2

2
2
2
2
4
4
4
2009 2

a 2 ++ca
b 2) +2 c 22abc
) 2( a( a+2bb 2++cb) 2=c2 +a c+2ab2 ) =+ c2009
a 2 b 2 + bA2 c=2 a+ c+2 ab2 =+( cab =+ (bc
=
ữ
2
2
4



1.2 Cho ba số x, y, z thoả mãn . Tìm B x= +xyy ++ yz
z =+3zx
giá trị lớn nhất của .
B = xy + z ( x + y ) = xy + 3 ( x + y ) ( x + y )

1,00

2,00

= xy + 3 ( x + y ) ( x + y ) = x 2 y 2 xy + 3x + 3y
2

2

2

2

y 3 3y 2 + 6y + 9
y 3 3
2


= x +
+
= x +
+ ( y 1) + 3 3
ữ
ữ
2
4
2
4



1,25

Dấu = xảy ra khi
y 1 = 0
Vậy giá trị lớn nhất của B

là 3 khi x = y = z = 1
y 3

= 0 x = y = z =1
x +
Cho đa thức với . Chứng minh

Z,
f ( kf)2( =xp)f
=( 2008
x 2 q+
.fZ(+2009
q )
)px
x + y + z = 0
rằng tồn tại số nguyên k để

0,50

.

f f ( x ) + x = f ( x ) + x + p ( f ( x ) + x ) + q
= f 2 ( x ) + 2.x.f ( x ) + x 2 + p.f ( x ) + p.x + q

0,25

2,00

2

= f ( x ) f ( x ) + 2x + p + ( x 2 + px + q )

Với x = k = f ( 2008 ) + 2008 Â
2008 chọn
Suy ra
f ( k ) = f ( 2008 ) .f ( 2009 )

= f ( x ) x 2 + px + q + 2x + p + 1

= f ( x ) ( x + 1) + p ( x + 1 ) + q = f ( x ) f ( x + 1 )


2

3.1
3xy + x + 15y 44 = 0 Tìm các số nguyên dơng x, y
thoả mãn .
3xy + x + 15y 44 = 0 ( x + 5 ) ( 3y + 1) = 49
x, y nghuyêndơng do vậy x + 5, 3y + 1 nguyên dơng và lớn hơn 1.
Thoả mãn yêu cầu bài toán khi x + 5, 3y + 1 là ớc lớn hơn 1 của 49 nên có:
x+5 = 7
x = 2
Vậy phơng trình có nghiệm


nguyên là x = y = 2.
3y + 1 = 7
y = 2
2009
Cho
số
tự
nhiên
,
b
là
tổng

các
chữ
3.2
a = ( 29 )
số của a, c là tổng các chữ số của b,
d là tổng các chữ số của c. Tính d.
a = ( 29 )

4

2009

= ( 23 )

3.2009

= ( 23 )

6027

1,25
0,50
0,25

2,00
0,75
0,50

0,75

2,00

< 10 6027 b 9.6027 = 54243
a b c 2d3 mod
1mod
9 d91mod
a1,00
1mod
9 ( 29)
c 5 + 4.9 = 41 d 4 + 1.9 = 13 ( 1)
0,75
mà
Từ (1) và (2) suy ra d = 8.
0,25
Cho
phơng
trình
,
tìm
m
để
ph3,00
2x m x 1
+
= 3 ơng trình có nghiệm dơng.
x
Điều kiện:
0,25
x 2 2;xx+22
2x m x 1

0,75
+
= 3 ... x ( 1 m ) = 2m 14
2m 14

2
x2 x+2
1 m
0,25
m = 1phơng trình có dạng 0 = -12 vô nghiệm.

0,50
phơng trình trở
m4
2m 14



2

m

1
2m 14 thành


x=
1 < m < 7
trình có
1 m

1 m Phơng
nghiệm dơng
2m 14
1 m > 0



m 4 Vậy thoả mãn yêu cầu bài toán khi .

1 < m < 7

5

D

Cho hình thoi ABCD có cạnh bằng đ- CAF

AEC ờng chéo AC, trên tia đối của tia AD
ãEOF
lấy điểm E, đờng thẳng EB cắt đờng
thẳng DC tại F. Chứng minh đồng
dạng, tính .
AEB (g-g)
đồng dạng CBF
E
2
CAF
AEC
AB = AE.CF
AC 2 = AE.CF

A
AE AC

=
AC CF
O
đồng dạng (c-g-c)
AEC
đồng dạng CAF
B
ã EAO
ã= ACF
ã
ã AEC
ã = CAF
ã
ã
EOF
= AEC
+
+ EAO
ã
= 180 0 DAC
= 120 0
mà

8
1,00

0,25

3,00

1,00
1,00

1,00

C

F

6

ãBE
BF= ãFAD
AB 2 Cho tam giác ABC, phân giác
EAD
=
CE CF AC 2 trong đỉnh A cắt BC tại D, trên
các đoạn thẳng DB, DC lần lợt lấy các điểm E và F sao cho. Chứng minh rằng: .
FKAC tại K
Kẻ EHAB tại H,
A
ã
ã
ã
ã
BAE
= CAF;

BAF
= CAE
đồng dạng (g-g) A

K
AFEH
EHAE

=
S ABE BE EH.AB
BF AFAF.AB
AE.AB
FK BE = AE.AB
=
=
==
S ACF CF FK.AC
CE AE.AC
AF.AC
CF AF.AC
K
Tơng tự
(đpcm).
BE BF AB 2

=
CE CF AC 2

H

E

B

7

D

F

3,00

1,00
1,25
0,50
0,25

C

Trên bảng có các số tự nhiên từ 1 đến 2008, ngời ta làm nh sau lấy ra hai số bất kỳ
và thay bằng hiệu của chúng, cứ làm nh vậy đến khi còn một số trên bảng thì dừng
lại. Có thể làm để trên bảng chỉ còn lại số 1 đợc không? Giải thích.
Khi thay hai số a, b bởi hiệu hiệu hai số thì tính chất chẵn lẻ của tổng các số có trên
bảng không đổi.

2,00

1,00

1 1mod
2008.
( 20082+ 1) = 1004.2009 0 mod 2
2
Mà ; do vậy trên bảng không thể chỉ còn lại số 1.
S = 1 + 2 + 3 + ... + 2008 =

Kỳ thi chn học sinh giỏi

lớp 8 thCS - năm học 2007 - 2008
Môn : Toán
Đáp án và thang điểm:

9
1,00


Bài 1 Câu
1.
1.1

(0,75 điểm)

1.2

(1,25 điểm)

Nội dung

Điểm

2,0

x 2 + 7 x + 6 = x 2 + x + 6 x + 6 = x ( x + 1) + 6 ( x + 1)
= ( x + 1) ( x + 6 )

0.5
0,5

x 4 + 2008 x 2 + 2007 x + 2008 = x 4 + x 2 + 2007 x 2 + 2007 x + 2007 + 1
= x + x + 1 + 2007 ( x + x + 1) = ( x + 1) x + 2007 ( x + x + 1)
4

2

2

2

2

2

= ( x + x + 1) ( x x + 1) + 2007 ( x + x + 1) = ( x + x + 1) ( x x + 2008 )
2

2.

2.1

2.2

2

2

2

2

1
2
2

2x = 10x hay

và .


8
x
+

8
x + 2 ữ=0( xx += 4)8 ( x + 4 ) = 16

ữ

Vậy phơng
x
=

8
x
x


trình đã cho
có một nghiệm

áp án và hớng dẫn chấm thi học sinh giỏi
Năm học 2008 - 2009
Môn: Toán 8




0,25

2

(1)
x 2 3x + 2 + x 1 = 0
2
+ Nếu : (1) (thỏa mãn điều
( x 1) x = 10 x = 1
kiện ).
x 2 4 x + 3 = 0 x 2 x x3<( x1 1) = 0 ( x 1) ( x 3) = 0
+ Nếu : (1)
(cả hai đều x = 1; x = 3
không bé hơn 1, nên bị loại)

Vậy: Phơng trình (1) có một nghiệm x = 1 duy nhất là .
2
2
2
1
1
2

2 1
2 1
8 x + ữ + 4 x + 2 ữ 4 x + 2 ữ x + ữ = ( x + 4 )
x
x
x
x



(2)
Điều kiện để phơng trình có x 0 nghiệm:
2
2
1
1
2

2 1 2 1
8 x + ữ + 4 x + 2 ữ x + 2 ữ x + ữ = ( x + 4 )
x
x

x
x


(2)

Bi 1: (4 im)
a) iu kin: x y; y0

0,25

2

(1 im)

0,25
2,0

0,5
0,5

0,25
0,5
0,25

10


11
b) A = 2x(x+y)

(2 điểm)
c) Cần chỉ ra giá trị lớn nhất của A, từ đó tìm được tất cả các giá trị nguyên dương của A

⇒ 2xy + x2 – 2xy + y2 + 2(x – y) = 1
+ Từ (gt): 3x2 + y2 + 2x – 2y = 1 2x2 +
2
2x(x + y) + (x – y) + 2(x – y) + 1 = 2 A ⇒ + (x – y + 1)2 = 2
≤20 (với mọi x ; y) A 2. (0,5đ)
≤⇒
≥
A = 2 – (x – y + 1)2 (do (x – y + 1)
+ A = 2 khi
⇔
x −y + 11= 0
x
=
+ A = 1 khi Từ đó, chỉ
(x − y + 1)22 −=11
 
2
2x ( x + y ) = 2 cần chỉ ra được một cặp giá  x =
( x + y ) 2= 1
3
 
trị của x và y, chẳng hạn: 2x

= ≠0
x ≠±yy;y
+ Vậy A chỉ có thể có 2 giá x ≠ ± y;y 2


2
≠+
03

y
=
trị nguyên dương là: A = 1; A = 2
(0,5 điểm)

2
Bài 2: (4 điểm)
a)
x + 11 x + 22 x + 33 x + 44
115

+

= x + 11
+
x + 22
x + 33
x + 44
104 ⇔ (93
82+ (
+ 1)
+ 1) = (
1) + (
+ 1)
115
104

93
82

(1 điểm)

⇔

x + 126 x + 126 x + 126 x + 126
+
=
+x + 126 x + 126 x + 126 x + 126
115
104
93 ⇔
82 +
−
−
=0
115
104
93
82

(0,5 điểm)

(0,5 điểm)
b) x2 + y2 + z2 = xy + yz + zx
2x2 +2y2 + 2z2 – 2xy – 2yz – 2zx = 0
(x-y)2 + (y-z)2 + (z-x)2 = 0

⇔ ...
⇔ x + 126 = 0
⇔ x = −126
⇔
⇔
⇔xx=−yy==z0
⇔ y − z = 0
z − x = 0


(0,75 điểm)
x2009 = y2009 = z2009

(0,75

điểm)

Thay vào điều kiện (2) ta có 3.z2009 = 32010
z2009 = 32009
⇔
z =3
⇔
Vậy x = y = z = 3
(0,5 điểm)
Bài 3 (3 điểm)
Cần chứng minh: n5 – n 10
M
- Chứng minh : n5 - n 2
M
n5 – n = n(n2 – 1)(n2 + 1) = n(n – 1)(n + 1) M(n2 + 1) 2 (vì n(n – 1) là tích của hai số

nguyên liên tiếp)
(1 điểm)
5
- Chứng minh: n – n 5
M
n5 - n = ... = n( n - 1 )( n + 1)( n2 – 4 + 5)
= n( n – 1 ) (n + 1)(n – 2) ( n + 2 ) + 5n( n – 1)( n + 1 )
lý luận dẫn đến tổng trên chia hết cho 5
(1,25 điểm)
5
5
- Vì ( 2 ; 5 ) = 1 nên n – n 2.5 tức là n – n M10
Suy ra n5 và n có chữ số tận cũng giống nhau.
(0,75 điểm)
Bµi 4: 6 ®iÓm

⇔


12
E

Câu a: 2 điểm
* Chứng minh EA.EB
= ED.EC
(1
điểm)
- Chứng minh EBD
đồng dạng với ECA
(gg)

0,5 điểm
- Từ đó suy ra
0,5 điểm
* Chứng minh
(1 điểm)
- Chứng minh EAD
đồng dạng với ECB
(cgc)
0,75
điểm
- Suy ra

D


A

EB M
ED
=
EA.EBQ = ED.EC
EC EAã
ã
EAD = ECB

B

P

0,25 điểm

I

C

H

ã
ã
EAD
= ECB

Câu b: 1,5 điểm
- Từ = 120o = 60o = 30o
0,5 điểm ãABM

BMC
AMB
- Xét EDB vuông tại D có = 30o
à

B
ED = EB
0,5 ED
1 1 điểm
2
- Lý luận cho từ đó SECB = 144 cm2
=
S EADEB2 ED
2

0,5 điểm
=
ữ
Câu c: 1,5 điểm
S ECB EB
- Chứng minh BMI đồng dạng với BCD

(gg)
0,5 điểm
- Chứng minh CM.CA = CI.BC
- Chứng minh BM.BD + CM.CA = BC2 có giá trị không đổi
Cách 2: Có thể biến đổi BM.BD + CM.CA = AB2 + AC2 = BC2
Câu d: 2 điểm
- Chứng minh BHD đồng dạng với DHC (gg)
0,5 điểm
BH BD
2 BP
=

- Chứng minh DPB đồng
=
DH DC
2 DQ
dạng với CQD (cgc)
1 điểm
ã
ã
BDP
= DCQ
Bi 5: (2 im)

0,5 điểm
0,5 điểm

0,5 điểm
BD
BP BD

=
DC
DQ DC


CQ PD
ã
ã
ma`BDP
+ PDC
= 90o

a) vỡ x, y cựng x 2 +x y 2 y 2xy
+ 2
du nờn xy >

y

0, do ú (*)

(x y)2 0

(**). Bt ng thc (**) luụn ỳng,
suy ra bt (*) ỳng (pcm) (0,75)
b) t

x y
+ =t
(0,25)
x y yx2
2
Biu thc ó cho tr thnh P = t2 2 + 2 = t 2
y
x
3t + 3
2

P = t2 2t t + 2 + 1 = t(t 2) (t 2) + 1 = (t 2)(t 1) + 1
(0,25)

- Nu x; y cựng du, theo c/m cõu a) ( t 2
)P( t11) 0
suy ra t 2. t 2 0 ; t 1 > 0 .
ng thc xy ra khi v ch khi t = 2 x = y (1) (0,25)
- Nu x; y trỏi du thỡ v t < 0 t 1 < 0 v y
x t 2 < 0
<0
>0 P>1
(2) t
2 ) ( t 1)
(
y

x
(0,25)
luụn cú P 1. ng thc xy ra khi v ch khi x
- T (1) v (2) suy ra: Vi mi x 0 ; y 0 thỡ
= y. Vy giỏ tr nh nht ca biu thc P l Pm=1 khi x=y

x


13

Kiểm tra chất lợng học sinh giỏi năm học 2008 2009
Đáp án, biểu điểm, hớng dẫn chấm
Môn Toán 8
Nội dung

Bài 1 (3 điểm)
2
Có a4+=
1 thì: 2 21
1
1
2
Khi cho a các giá trị từ 1 đến
30
a + ữ a = a 4+ a + ữ a 2 a + ữ
2
2
2
Tử thức viết đợc thành

2
2
2
2
2
2
1 (29 +29+)(29 -29+)
(1 +1+)(1 -1+)(3 +3+)(3 -3+).
Mẫu thức viết đợc thành
2
1 (302+30+)(302-30+)
(22+2+)(22-2+)(42+4+)(42-4+)
12 =.=k2+k+
Mặt khác (k+1)2-(k+1)+
Nên A=
12
12 1 +
Bài 2: 4 điểm
2 = 1
ý a: 2 điểm
1 1861 sử dụng bớc sau
2
-Có ý tởng tách, thêm bớt hoặc thể 30
hiện
+ đợc
30 + nh vậyđể
-Viết đúng dạng bình phơng của một hiệu 2
- Viết đúng bình phơng của một hiệu
- Lập luận và kết luận đúng

ý b: 2 điểm
Phân tích đúng tủ thức thành nhân tử
Rút gọn và kết luận đúng
Bài 3 : 4 điểm
*Từ 2a + b 4 và b 0 ta có 2a 4 hay a 2
Do đó A=a2 - 2a - b 0
Nên giá trị lớn nhất của A là 0 khi a=2và b=0
2
* Từ 2a + 3b 6 suy ra b 2 a
2
2
23222
Do đó A a 2a 2 + = () - a b =
Vậy A có giá trị nhỏ nhất là - khi a = và a322
92 3
Bài 4 : 3 điểm
93
- Chọn ẩn và đạt điều kiện đúng
- Biểu thị đợc mỗi đại lợng theo ẩn và số liệu đã biết(4 đại lợng)
- Lập đợc phơng trình
- Giải đúng phơng trình
- Đối chiếu và trả lời đúng thời gian của 1 ô tô
- Lập luận , tính và trả lời đúng thời gian của ô tô còn lại
Bài 5 : 6 điểm
ý a : 2 điểm
Chứng minh đợc 1
1.0
cặp góc bằng nhau
Nêu đợc cặp góc
0,5

bằng nhau còn lại
Chỉ ra đợc hai tam
0,5
giác đồng dạng
ý b : 2 điểm
Từ hai tam giác
0,5
đồng dạng ở ý a suy
ra đúng tỉ số cặp
cạnh AH / OM
Tính đúng tỉ số cặp
0,5
cạnh AG / GM
Chỉ ra đợc cặp góc
0,5
bằng nhau
Kết luận đúng 2 tam 0,5
giác đồng dạng
ý c : 2 điểm

Điểm
1,0
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5

1,0
1,0
1,0
0,5
0,5
1,0
0,5
0,5
0,25
0,25 x 4
0,25
0,5
0,5
0,5


14
A

H
N

G

O

C

B
M

- Từ hai tam giác đồng dạng 0,5
ở câu b suy ra góc AGH =
góc MGO (1)
- Mặt khác góc MGO + Góc 0,5
AGO = 1800(2)
- Từ (1) và (2) suy ra góc
0,5
AGH + góc AGO = 1800
- Do đó H, G, O thẳng hàng 0,5
Chú ý: -Các cách giải khác nếu đúng chấm điểm tơng tự theo các bớc của từng bài
`-Điểm của bài làm là tổng số điểm của các bài HS làm đợc, không làm tròn