VẾ GIẢI TÍCHCỦA CÔNG THỨC VẾT TRÊN SL(2, R)

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

NGUYỄN THỊ TRANG

VẾ GIẢI TÍCH
CỦA CÔNG THỨC VẾT TRÊN SL(2, R)

Chuyên nghành: TOÁN GIẢI TÍCH
Mã số: 60.46.0102

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học
GS. TSKH. ĐỖ NGỌC DIỆP

HÀ NỘI - NĂM 2014


Mục lục

Mở đầu

2

1 Kiến thức chuẩn bị

5

1.1

Cấu trúc của SL(2, R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.2

Toán tử bất biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.3

Chuỗi Eisenstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.4

Khai triển Fourier của hàm tự đẳng cấu . . . . . . . . . . . . . . . 11

2 Lý thuyết phổ của L2 (Γ \ SL(2, R))

13

2.1

Chuỗi Theta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.2

Phổ liên tục và phổ rời rạc. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.3

Phổ liên tục và chuỗi Eisenstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.4

Công thức tổng Poisson: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3 Công thức tính vết trên SL(2, R)

34

3.1

Phân tích phổ của biểu diễn chính quy . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.2

Công thức tính vết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

Kết luận

39

Tài liệu tham khảo

40

1

Mở đầu
Biểu diễn của SL(2, R) mà chúng tôi quan tâm trong luận văn này gồm các
chuỗi biểu diễn bất khả quy và biểu diễn trong L2 (Γ \ SL(2, R). Trong đó các
chuỗi biểu diễn bất khả quy bao gồm biểu diễn chuỗi chính, biểu diễn chuỗi rời
rạc, giới hạn chuỗi rời rạc, biểu diễn hữu hạn chiều và biểu diễn tầm thường. Biểu
diễn được xác định duy nhất nhờ vết của biểu diễn. Biểu diễn chính quy được
phân tích thành tổng rời rạc và tích phân liên tục các biểu diễn bất khả quy. Phần
rời rạc của biểu diễn chính quy của nhóm SL(2, R) được phân tích thành tổng
các biểu diễn bất khả quy. Do vậy công thức vết của phần rời rạc của biểu diễn
chính quy được viết thành tổng các vết của từng biểu diễn bất khả quy nhọn và
biểu diễn hữu hạn chiều. Việc tính vết của biểu diễn trên SL(2, R) quy về việc
tính vết của biểu diễn bất khả quy. Trong bài toán tìm vết của biểu diễn trên
L2 (Γ \ SL(2, R)) ta quan tâm phân tích thành phần rời rạc của biểu diễn chính
quy ra tổng các biểu diễn chuỗi rời rạc, giới hạn chuỗi rời rạc và biểu diễn hữu
hạn chiều. Công thức vết tương ứng cho ta vế giải tích của công thức vết theo
các công trình nghiên cứu của Arthur – Selberg, Langlands, Shelstad.
Các phương pháp nghiên cứu sử dụng trong luận văn là phương pháp giải tích
tính vết toán tử tích phân với hạt nhân. Các kết quả chính trình bày trong luận
văn là: Đưa ra công thức tính vết trên SL(2, R).
Cấu trúc luận văn gồm 3 chương:
Chương 1 trình bày tóm tắt một số kiến thức chuẩn bị.
Chương 2 trình bày về phổ liên tục và phổ rời rạc của các toán tử tuyến tính
và công thức vết của các toán tử tích phân có nhân trên nhóm SL(2, R).
Chương 3 trình bày công thức tính vết trên SL(2, R) cho các biểu diễn chính
quy như là tổng của các vết của từng biểu diễn bất khả quy nhọn.
Do thời gian thực hiện luận văn không nhiều, kiến thức còn hạn chế nên khi
2

làm luận văn không tránh khỏi những hạn chế và sai sót. Tác giả mong nhận được
sự góp ý và ý kiến phản biện của quý thầy cô và bạn đọc. Tôi xin chân thành
cảm ơn!
Hà Nội, tháng 11 năm 2014.
Học viên

Nguyễn Thị Trang

3


Lời cảm ơn
Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của GS. TSKH.
Đỗ Ngọc Diệp. Thầy đã dành nhiều thời gian quý báu của mình để kiên trì hướng
dẫn cũng như giải đáp các thắc mắc của tôi trong suốt cả quá trình làm luận
văn. Tôi muốn bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất tới người thầy của
mình.
Tôi cũng muốn gửi tới toàn thể các thầy cô Khoa Toán - Cơ - Tin học trường
Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, các thầy cô đã đảm nhận
giảng dạy hai khóa Cao học 2011 - 2013 và 2012 - 2014, đặc biệt là các thầy cô
tham gia tham gia giảng dạy nhóm giải tích 2011 - 2013 lời cảm ơn chân thành
đối với công lao dạy dỗ trong suốt thời gian của khóa học.
Tôi xin cám ơn gia đình, bạn bè, đồng nghiệp, các anh chị em trong nhóm Cao
học Toán 2011-2013, đặc biệt là các anh chị em nhóm Giải tích đã quan tâm, giúp
đỡ, tạo điều kiện cũng như động viên tinh thần để tôi có thể hoàn thành khóa
học này.

4

Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
1.1

Cấu trúc của SL(2, R)

Kí hiệu G = SL(2, R) là nhóm các ma trận vuông cấp 2 có định thức bằng 1
trên trường số thực R.

G = SL(2, R) =

a b
c d | a, b, c, d ∈ R, ad − bc = 1 .

Kí hiệu H là nửa trên của mặt phẳng phức (còn được gọi là nửa mặt phẳng
Poincaré):
H = {x + iy, x, y ∈ R, y > 0} .
Kí hiệu

K = SO(2) =
=

g ∈ SL(2, R) : g t g = 1
cos θ − sin θ
sin θ cos θ | θ ∈ R .

là nhóm con đóng lớn nhất của SL(2, R).
Nhóm G tác động lên H bởi phép biến đổi phân tuyến tính:

z → gz =

az + b
a b
, với g = c d ∈ G, z ∈ H.
cz + d

Ánh xạ G → H đồng nhất G/K với H
g → gi
5


Trên nửa mặt phẳng H, ta có một cấu trúc Riemannian được xác định bởi

ds2 =

1
(dx2 + dy 2 ),
2
y

đây là tích vô hướng duy nhất G-bất biến trên H. Metric cho ta độ đo G-bất biến
trên H được hiểu là
1
dz = 2 dxdy.
y
Các phần tử của G:
Xét |g − λI| = 0, với g ∈ G, I là ma trận đơn vị cấp 2, λ là giá trị riêng nếu
có của g . Ta có:

a−λ

b
c
d−λ =0
⇔ λ2 − (a + d)λ + ad − bc = 0
⇔ λ2 − tr(g)λ + 1 = 0, với tr(g) = a + d.
• Nếu |tr(g)| < 2 thì g được gọi là elliptic và g có dạng chuẩn Jordan là
ε 0
0 ε , ε ∈ C, |ε| = 1.
• Nếu |tr(g)| = 2 thì g được gọi là parabolic và g có dạng chuẩn Jordan là
1 x
0 1 , x ∈ R.
• Nếu |tr(g)| > 2 thì g được gọi là hyperbolic và g có dạng chuẩn Jordan là
t 0
0 t−1 , t ∈ R.
Phân tích Iwasawa:
Với mỗi phần tử g ∈ G, ta có thể phân tích g duy nhất thành dạng

g = n(x)a(y)k(θ), với n(x) ∈ N, a(y) ∈ A, k(θ) ∈ K,

6


trong đó

N=
A=
K=

1 x
0 1 , x∈R ,

√
y
0
√ −1 , y ∈ R, y > 0 ,
y
0
cos θ − sin θ
sin θ cos θ , θ ∈ [0, 2π] .

Ta có

G = N AK.
Phân tích Cartan:
Với mỗi phần tử g ∈ G, tồn tại k(θ), k(θ ) ∈ K và a(y) ∈ A, sao cho g =
k(θ)a(y)k(θ ). Ta có
G = KAK.
Nhóm rời rạc:
Một nhóm rời rạc là nhóm con, rời rạc của nhóm

P SL(2, R) = G/ {±I} ,
với I là ma trận đơn vị cấp 2 của SL(2, R).

±I là các phần tử duy nhất trong SL(2, R) cảm sinh ra ánh xạ đồng nhất trên
H, G/ {±I} là nhóm các phép biến đổi phân tuyến tính.
Γ được gọi là nhóm rời rạc có diện tích hữu hạn nếu độ đo của Γ \ H là hữu
hạn.
Điểm nhọn:
Kí hiệu Γ là một nhóm con rời rạc của nhóm P SL(2, R). Cho κ là số thực
hoặc ∞ và Γκ là nhóm con dừng của κ trong Γ:

Γκ = {σ ∈ Γ|σκ = κ} .
Khi đó ta gọi κ là một điểm nhọn của R nếu Γκ được sinh bởi một phần tử
parabolic.
Các điểm nhọn tương đương là các tương ứng một - một của các lớp liên hợp
của nhóm con cực đại của Γ có một phần tử parabolic là phần tử sinh.
7


Nếu Γ là có diện tích hữu hạn thì số các điểm nhọn tương đương là hữu hạn.
Độ đo trên G:
Cho γ ∈ G, nhóm tâm hóa của phần tử γ trong G, kí hiệu là Gγ ,

Gγ = g ∈ G|g −1 γg = γ .
Một độ đo µ trên Gγ \ G được gọi là G- bất biến phải nếu µ(Ax) = µ(A) với mọi
tập Borel A trong Gγ \ G và mọi x ∈ G. Độ đo G- bất biến trái được định nghĩa
tương tự. Một độ đo µ trên G gọi là độ đo Haar nếu nó bất biến dưới tác động
của G.
Biểu diễn của SL(2, R):
Định nghĩa 1.1. Cho G là một nhóm (GL(2, R) hoặc SL(2, R), E là không gian
Hilbert. Một biểu diễn của G trong E là một đồng cấu nhóm từ G vào nhóm
GL(E) các tự đẳng cấu tuyến tính liên tục của E .

π : G → GL(E),
sao cho với mỗi véc tơ v ∈ E thì ánh xạ π xác định bởi x → π(x)v là ánh xạ liên
tục.
Biểu diễn π được gọi là unita nếu π(x) là unita với mọi x thuộc G.
Định nghĩa 1.2. Cho π là biểu diễn của nhóm G trong không gian Hilbert E ,
W là một không gian con của E . Ta nói W là G- bất biến nếu π(x)W ⊂ W với
mọi x ∈ G.
Định nghĩa 1.3. Một biểu diễn π : G → GL(E) được gọi là bất khả quy nếu E

không có không gian con bất biến nào khác ngoài {0} và E .
Cho π là biểu diễn của G trong không gian Hilbert E, giả sử rẳng

En ,

E=

cos θ − sin θ
sin θ cos θ , θ ∈ [0, 2π] .
Phần tử v ∈ E là K - hữu hạn nếu π(K)v sinh ra một không gian hữu hạn chiều.
trong đó En là không gian riêng thứ n của K =

8


1.2

Toán tử bất biến

Tiếp theo chúng ta sẽ nghiên cứu không gian Hilbert các hàm bình phương
khả tích trên D = Γ \ H. Nếu độ đo của D hữu hạn thì các hằng số là các phần
tử của L2 (Γ \ H).
Định nghĩa 1.4. Toán tử tích phân được định nghĩa bởi

(Lf )(z) =

k(z, z )f (z )dz ,
H

được gọi là toán tử tích phân có nhân với hàm hạt nhân k(z, z ).

Với σ ∈ G, ánh xạ f (z) → f (σz) xác định một toán tử tuyến tính và được kí
hiệu là Tσ . Một toán tử L được gọi là xác định toán tử hạt nhân bất biến nếu nó
giao hoán với tất cả Tσ .
Để một hàm hạt nhân k(z, z ) là toán tử bất biến thì điều kiện cần và đủ là
k(σz, σz ) = k(z, z ), ∀σ ∈ G.
∂2
∂2
2
Ta có
=y
+
là toán tử vi phân G - bất biến trên H có bậc
∂x2 ∂y 2
thấp nhất và mọi toán tử vi phân G - bất biến trên H là một đa thức của
với
các hệ số hằng.

• Ta có một phép chiếu chính tắc: G → H = G/K , khi đó một hàm xác định
trên H luôn có thể xem như một hàm trên G. Nói riêng, cặp điểm bất biến
xác định hàm k(g, g ) trên G × G. Tồn tại một hàm F trên G sao cho
F (g −1 g) = k(g, g ),
và hàm F có tính chất đặc biệt

F (kgk ) = F (g) với mọi k, k ∈ K.
Nói cách khác, F là hàm không đổi trên tất cả các lớp kép KgK .
Ngược lại, bất kì hàm F nào trên G không đổi trên mọi lớp kép KgK đều
thu được bằng cách này. Ta sẽ định nghĩa hàm trên các cặp điểm bất biến
trên H bởi k(g, g ) = F (g −1 g).
9

Nếu f là một hàm trên H được xem như một hàm trên G. Khi đó

f (g )F (g −1 g)dg =

k(z, z )f (z )dz =
G

H

f (gg )F (g −1 )dg ,
G

trong đó dg là độ đo Haar trên G sao cho độ đo của K được chuẩn hóa là 1.
Điều này có nghĩa là toán tử tích phân được xác định bởi k là ánh xạ
f → f ∗ F , trong đó ∗ là kí hiệu tích chập trên G.

a b
d −b
−1
∈
G
,
nghịch
đảo
của
σ
là
σ
=

−c a , ta thấy rằng
c d
KgK = Kg −1 K , với ∀g ∈ G. Do mỗi hàm F trên G là hàm không đổi trên
mọi lớp kép KgK nên ta có F (g) = F (g −1 ).

Ta có σ =

Bây giờ chúng ta đưa ra hai định lý quan trọng là hàm riêng của toán tử
Laplace là hàm riêng của toán tử tích phân bất biến.
Định lí 1.1. Cho f (z) là hàm trên H thỏa mãn f = λf , trong đó
là toán
tử Laplace, λ là số phức và cho L là toán tử tích phân bất biến. Khi đó, tồn tại
hằng số ΛL (λ) chỉ phụ thuộc vào L và λ và không phụ thuộc vào hàm riêng lẻ f
nào sao cho Lf = ΛL (λ)f .
Định lí 1.2. Cho f (z) là hàm trên H với hàm riêng của toán tử tích phân bất
biến được xác định bởi cặp điểm bất biến k(z, z ) có tính chất tương tự hàm F (g)
thuộc C∞ và có giá compact. Khi đó f (z) là hàm riêng của toán tử Laplace trên
H. Xem [3].

1.3

Chuỗi Eisenstein

Định nghĩa 1.5. (Chuỗi Eisenstein) Cho Γ là nhóm con rời rạc có diện tích hữu
hạn tác động lên nửa trên của mặt phẳng phức và cho {κ1 , κ2 , ..., κh } là tập tất
cả các điểm nhọn của Γ đôi một không tương đương. Tập hợp này được gọi là tập
các điểm nhọn không tương đương.
Cho Γi là nhóm con dừng của κi trong Γ, khi đó:

Γi = {σ ∈ Γ|σκi = κi } .

10


Cố định phần tử σi ∈ G = SL(2, R) sao cho σi ∞ = κi và σi−1 Γi σi = Γ0 với
1 b
Γ0 =
0 1 , kí hiệu y(z) là phần ảo của z ∈ H.
Chuỗi Eisenstein Ei (z, s) của điểm nhọn κi được định nghĩa bởi :

y(σi−1 σz)s ,

Ei (z, s) =
với σ ∈ Γi \ Γ trong đó s là biến phức.

Chuỗi Eisenstein Ei (z, s) là các hàm hai biến z và s, trong đó z là một điểm
trên nửa mặt phẳng phức H, s là biến phức.

Ei (z, s) là hàm tự đẳng cấu với biến z vì vậy Ei (z, s) là bất biến đối với nhóm
Γ nào đó của phép biến đổi phân tuyến tính. Nói cách khác Ei (σz, s) = Ei (z, s),
với σ ∈ Γ.

1.4

Khai triển Fourier của hàm tự đẳng cấu

Định nghĩa 1.6. Cho Γ là nhóm rời rạc, hàm f (z) được gọi là hàm tự đẳng cấu
trên Γ nếu f (σz) = f (z) với ∀σ ∈ Γ.
Định nghĩa 1.7. (Khai triển Fourier của hàm tự đẳng cấu tại một điểm nhọn).
Nếu κ là điểm nhọn của Γ thì tồn tại σ ∈ G sao cho σ ∞ = κ sao cho
σ −1 Γκ σ = Γ0 , trong đó Γκ = {σ ∈ Γ| σκ = κ} là nhóm con dừng của κ trong Γ.

Nếu f (z) là hàm tự đẳng cấu thì khi đó f (σ z) là hàm tuần hoàn với chu kì 1,
tức là
f (σ (z + 1)) = f (σ z), ∀z ∈ C.
Ta đặt e(x) = e

√
2π −1x

1

và am (y) =

f (σ z)e−2π

√

−1mx

dx, với z = x+iy , x, y ∈ R,

0

thì ta có một khai triển chuỗi Fourier:

am (y)e2πimx , m ∈ Z,

f (σ z) =
m

với f thỏa mãn điều kiện khả tích. Biểu thức trên được gọi là khai triển Fourier

của f tại điểm nhọn κ. Các số am (y) là các hệ số Fourier.

11


Định nghĩa 1.8. (Khai triển Fourier của chuỗi Eisenstein tại một điểm nhọn).
Kí hiệu Γ là nhóm rời rạc có diện tích hữu hạn và {κ1 , κ2 , ..., κh } là tập đầy
đủ các điểm nhọn không tương đương thuộc Γ.
Khai triển Fourier của Ei (z, s) tại κj , (j = 1, 2, ..., h) được cho bởi dạng

aij,m (y, s)e

Ei (σj z, s) =

√
2π −1mx

, m ∈ Z,

m
1

với aij,m =

Ei (σj z, s)e−2πmx dx.

0

Kết quả tính toán trong trường hợp chung cho ta công thức:
1

1

aij,m (y, s) = 2π s |m|s− 2 Γ(s)−1 y 2 Ks− 21 (2π|m|y)ϕij,m (s), (m = 0)
aij,0 (y, s) = δij y s + ϕij (s)y 1−s ,
với ϕij,m (s) =
c

Và

1
|c|2s

d

∗ ∗
−1
e( md
c ) , c > 0, d mod c, c d ∈ σi Γσj .
Γ(s − 12 )
ϕij,0 (s).
ϕij (s) = π
Γ(s)
1
2

Ở đây Ks là hàm Bessel định nghĩa bởi:

Ks (z) =

π I−s (z) − Is (z)
,
2
sinsπ

( 12 z)s+2m
Với Is (z) =
.
m=0 m!Γ(s + m + 1)
∞

Ma trận Φ(s) = (ϕij (s)) của các hàm xuất hiện trong các hệ số của khai triển
Fourier của chuỗi Eisenstein được gọi là ma trận số hạng hằng hệ số tự do. Ma
trận số hạng hằng là một ma trận đối xứng.

12


Chương 2
Lý thuyết phổ của L2(Γ \ SL(2, R))
2.1

Chuỗi Theta

Kí hiệu Γ là nhóm rời rạc có diện tích hữu hạn và {κ1 , κ2 , ..., κh } là tập đầy
đủ các điểm nhọn không tương đương thuộc Γ.
1 x
Cho n(x) = 0 1 , x ∈ R và ψ(x) là hàm liên tục trên nửa mặt phẳng H
sao cho
ψ(n(x)z) = ψ(z), ∀x ∈ R.

Khi đó, ta định nghĩa phép biến đổi Mellin Lψ (z, s) của ψ bởi
∞

ψ(a(y)z)y −s

Lψ (z, s) =

dy
,
y

0

√
trong đó a(y) =

y
0
√ −1 , y ∈ R, y > 0.
0 ( y)

Ta kí hiệu ψ(a(y)i) bởi ψ(y), vì vậy ψ(z) = ψ(y(z)), ∀y(z) = Im z. Giá trị
Lψ (i, s) sẽ được kí hiệu đơn giản là Lψ (s), khi đó ta có

Lψ (z, s) = Lψ (s)y(z)s ,
và

∞

ψ(y)y −s

Lψ (s) =
0

13

dy
.
y


Với mỗi hàm ψ(z) ở trên, ta đặt

ψ(σi−1 σz).

θi,ψ (z) =
σ∈Γi \Γ

Nếu Γ được rút gọn tại ∞ và nếu κ1 = ∞, ta có

ψ(σz),

θψ (z) =
σ∈Γ0 \Γ

với Γ0 =

1 b
n(b) = 0 1 , b ∈ Z .

Nhận xét 2.1.

• Hàm ψ trên N \ H xác định một tự đẳng cấu θi,ψ (z).
• Ta gọi hàm θi,ψ là chuỗi theta không đầy đủ.
• ψ được xem như một hàm của y > 0.
• ψ trong chuỗi theta không đầy đủ luôn được giả thiết là giảm nhanh cả khi
y → 0 và y → ∞. Trong trường hợp đó θi,ψ thuộc D = L2 (Γ \ H).
• Không gian con đóng nhỏ nhất của D chứa tất cả các θi,ψ được kí hiệu là Θ.
• Không gian con đóng nhỏ nhất của D chứa các điểm nhọn với tác động Γ
được kí hiệu là D0 .
• Không gian các hàm tự đẳng cấu f ∈ D chứa các số hạng hằng trong khai
triển Fourier của f tại κi bằng 0 với mọi i = 1, 2, ... được kí hiệu là D0 .
Ta có D0 ⊃ D0 , ta sẽ chỉ ra ở phần tiếp theo rằng D0 = D0 .
Định lí 2.1. Cho Γ là một nhóm rời rạc có diện tích hữu hạn, khi đó phần bù
trực giao trong D = L2 (Γ \ H) của không gian Θ của các chuỗi theta không đầy
đủ là không gian D0 .
Chứng minh.

14


Ta có:

θi,ψ (z)f (z)dz

(θi,ψ , f ) =
Γ\H

ψ(σi−1 z)f (z)dz

=
Γi \H

=

ψ(z)f (σi z)dz
Γ0 \H
∞

=

1

ψ(y).
0

f (σi z)dx

dy
.
y2

0

Vì vậy, để (θi,ψ , f ) = 0, ∀θi,ψ ∈ Θ, điều kiện cần và đủ là
1

f (σi z)dx = 0, ∀i.
0

Dễ thấy rằng cả Θ và D là vô hạn chiều. Ta sẽ chỉ ra rằng toán tử Laplace
∂2
∂2
2
+
có một phổ rời rạc trong D0 .
=y
∂x2 ∂y 2
Kí hiệu F (z) là một hàm trên H, F có thể được xem như một hàm trên
K \ G/K . F (z) là một hàm bất biến với phép biến đổi z → σz, σ ∈ K = SO(2).

k(z, z ) là cặp điểm được xác định bởi F . Nếu z = gi, z = g i (g, g ∈ G) đặt
k(z, z ) = F (g −1 g).
Với toán tử tích phân bất biến xác định bởi k(z, z ), ta có

K(z, z )f (z )dz =

k(z, σz )f (z )dz ,
Γ\H

H

σ∈Γ

với f là hàm tự đẳng cấu trên nhóm rời rạc Γ.
Nói cách khác, nếu f là tự đẳng cấu, tích phân xác định bởi k(z, z ) có cùng
kết quả với toán tử tích phân

f→

K(z, z )f (z )dz
D

15


trên miền cơ bản, trong đó K(z, z ) =

κ(z, σz ).
σ∈Γ

Từ các Định lý 1.1 và Định lý 1.2, phổ rời rạc của toán tử Laplace được xác định
đầy đủ nếu chúng ta biết phổ của mỗi toán tử tích phân f → K(z, z )f (z )dz ,
D

hàm hạt nhân K được định nghĩa trên K \ G/K thuộc C

∞

và có giá compact.

Phương pháp cơ bản để nghiên cứu phổ của toán tử tích phân được đưa ra bởi
định lý sau, định lý chỉ ra cách tìm dạng của điểm nhọn của các hàm tự đẳng
cấu.
Định lí 2.2. Cho Γ là một nhóm rời rạc có diện tích hữu hạn; {κ1 , κ1 , ..., κh } là
tập hợp đầy đủ các điểm nhọn của Γ. Γi là nhóm con dừng trong Γ của κi . Kí
hiệu Θ là không gian đầy đủ của chuỗi theta, D = Θ ⊕ D0 là phân tích trực giao
D = L2 (Γ \ H).
Với mỗi cặp điểm bất biến k(z, z ), đặt
h

H(z, z ) =

Hi (z, z ),
i=1
∞

k(z, σi n(x)σi−1 .σz )dx,

Hi (z, z ) =
σ∈Γi \Γ−∞

với σi là một phép biến đổi tuyến tính trong G sao cho

1 x
σi−1 Γi σi = Γ0 = {n(b)| b ∈ Z} , n(x) = 0 1 , x ∈ R.
Khi đó, ta có:

H(z, z )f (z )dz = 0, D = Γ \ H, f ∈ D0 .
D

Chứng minh.

16


Xét N = {n(x), x ∈ R}. Khi đó

Hi (z, z )f (z )dz
D

∞



=

κ(z, σi n(x)σi−1 .σz )dx f (z )dz


D



σ∈Γi \Γ −∞
∞



=

κ(z, σi n(x)σi−1 z )dx f (z )dz


−∞

Γi \H



=

∞



κ(z, σi n(x)z )dx f (σi z )dz


−∞

Γ0 \H



=

∞


N \H Γ0 \N



=



∞


N \H

−∞



dy
κ(z, σi n(x)n(x )a(y )i)dx f (σi n(x )a(y )i)dx 2
y

 


κ(z, σi n(x)a(y )i) dx 

−∞

 dy
f (σi n(x )a(y )i)dx  2
y

Γ0 \N

= 0,
√

y √0
.
0 ( y )−1

với z = x + iy , a(y ) =

Định lý chỉ ra rằng phổ của toán tử tích phân f →

K(z, z )f (z )dz trong
D

D0 chính là phổ của K(z, z ) → H(z, z ).
Định lí 2.3. Xét D0 như trong Định lý 2.1. Khi đó toán tử bất biến xác định bởi
một cặp điểm bất biến k(z, z ) từ D0 vào chính nó.
Chứng minh.
Theo Định lý 2.1 ta có
1

f (σi n(x)z)dx = 0, f ∈ D0 .
0

17


Đặt

f1 (z) =

k(z, z )f (z )dz ,
H

khi đó ta có
1

f (σi n(x)z)dx
0
1

=

k(σi n(x), z )f (z )dz dx
0

H

1

k(z, n(x)−1 σi−1 z )f (z )dz dx

=
0

H

1



=

k(z, z ) 
H



f (σi n(x)z )dx dz
0

= 0.

2.2

Phổ liên tục và phổ rời rạc.

Tiếp theo ta chỉ ra D0 = D0 và không gian Θ của các chuỗi theta không đầy
đủ chứa một số hữu hạn các tổ hợp tuyến tính chỉ phụ thuộc vào các hàm riêng
của . Điều này có nghĩa là
chỉ có một phổ rời rạc trong D0 = D0 , và tất cả
các phổ liên tục trong Θ.
Mệnh đề 2.1. Cho K(z, z ) là hạt nhân của hàm xác định bởi K(z, z ) =
k(z, σz ), hàm F được định nghĩa bởi cặp điểm bất biến k(z, z ) thuộc C∞
σ∈Γ

và có giá compact, Γ là nhóm rời rạc có diện tích hữu hạn, {κ1 , κ2 , ..., κh } là họ
đầy đủ các điểm nhọn trên biên của miền cơ bản D của Γ, H(z, z ) xác định như
Định lý 2.2. Khi đó

K ∗ (z, z ) = K(z, z ) − H(z, z ) bị chặn trên D × D.
Định lí 2.4. Cho Γ là nhóm rời rạc có diện tích hữu hạn D0 là không gian gồm
các hàm tự đẳng cấu trên Γ với mỗi số hạng hằng của khai triển Fourier bằng 0 tại
18

các điểm nhọn. Khi đó D0 trùng với không gian con đóng D0 của D = L2 (Γ \ H)
xác định bởi các điểm nhọn.
Chứng minh.
Kí hiệu L là toán tử tích phân bất biến được định nghĩa bởi các cặp điểm bất
biến k(z, z ) thuộc C∞ , có giá compact theo biến z khi cố định biến z’. Khi đó,
theo Định lý 2.3 ta có LD0 ⊂ D0 . Theo mệnh đề 2.1, hàm hạt nhân K ∗ được
định nghĩa là toán tử compact ta có

|K ∗ (z, z )|2 dzdz < ∞,
H H

và theo Định lý 2.2 không gian LD0 bằng ảnh của D0 qua toán tử tích phân trên
Γ \ H định nghĩa bởi K ∗ .
Toán tử L chuẩn tắc vì liên hợp của nó được định nghĩa bởi k(z, z ). Do đó D0
được xác định bởi hàm riêng của L. Xét với tất cả các k có thể, ta có một họ các
toán tử chuẩn tắc giao hoán với nhau và D0 xác định bởi các hàm riêng tương
ứng của chúng.
Theo Định lý 1.2 ta có D0 ≡ D0 .
Phổ của
trong Θ là liên tục trừ trường hợp Θ có thể chứa một số hữu hạn
các hàm riêng không phụ thuộc tuyến tính, các hàm riêng này không phải dạng
nhọn. Trường hợp này được trình bày trong định lý sau:
Định lí 2.5. Cho Γ là nhóm con rời rạc có diện tích hữu hạn và {κ1 , κ2 , ..., κh }
là tập đầy đủ các điểm nhọn không tương đương của Γ. Θ là không gian con của
không gian Θ của các chuỗi theta không đầy đủ xác định bởi hàm riêng của
trong Θ. Khi đó, Θ được xác định bởi thặng dư của chuỗi Eisenstein Ei (z, s) tại
1
các điểm nhọn κi và tại các cực của φ( s) trên khoảng < s ≤ 1, trong đó ϕii (s)
2
là i − th các phần tử trên đường chéo của ma trận số hạng hằng φ(s) của các

chuỗi Eisenstein.
Chứng minh. Phần thặng dư θi (z) của Ei (z, s) tại cực điểm S0 của ϕii (s) là
một phần tử của Θ. Ta có θi (z) là một hàm riêng của
nó thuộc vào L2 (Γ H)
vì nó là giới hạn của ϕ(s)Ei (z, s)khi s → S0 và θi là trực giao với tất cả các dạng
nhọn.
19


Ngược lại, lấy f là một phần tử của Θ thỏa mãn

f = λf. Khi đó, số hạng
1
< S0 ≤ 1
hằng ai,0 (y) trong khai triển Fourier của f (z) tại κi có dạng ci y 1−S0
2
bởi vì ai,0 (y) là một nghiệm của phương trình:
d2 a
λ
−
a = 0, λ ∈ R,
dy 2 y 2
và

∞

|ai,0 (y)|2

dy
< ∞,

y2

Y

với Y đủ lớn và Y > 0.
Giả thiết rằng ϕ11 (s0 ) = ... = ϕrr (s0 ) = ∞ và tương ứng θ1 , θ2 , ..., θr là các
toán tử tuyến tính phụ thuộc, và giả sử r < i thì mỗi θi là một tổ hợp tuyến tính
của θ1 , θ2 , ..., θr hay ϕii là hữu hạn.
Hơn nữa, giả sử det

lim (s − s0 )ϕij (s)

s→s0

= 0, (i, j = 1, 2, ..., r). Khi đó, bớt

đi một tổ hợp tuyến tính phù hợp của θi từ f , ta có phần tử g(z) của Θ sao cho:
1

g(σi z)dx = 0, ∀i ≤ r.
0

Với i > r, ta có
1

g(σi z)dx = c∗i y 1−S0 .
0

Từ đó, ta có
h

g

Y

(z), eYi (z, s)

−c∗l ϕii (S)Y −S0 −s+1 −Ci∗ Y −S0 +s
=
−
,
S
+
s
−
1
S
−
s
0
0
l=r+1

trong đó ei (z, s) thu được từ Ei (z, s) bằng cách bớt đi một tổ hợp tuyến tính của
E1 , ..., Er và thỏa mãn ei (z, S0 ) = ∞.
Nếu c∗ = 0 với i = r + 1, ..., h thì g = 0.
Vậy f là tổ hợp tuyến tính của các hàm θi .
Từ Định lý 2.1, 2.4 và 2.5 ta có được:
20

Định lí 2.6. Cho Γ là nhóm rời rạc có diện tích hữu hạn, Θ là không gian con
đóng của D = L2 (Γ \ H) được xác định bởi chuỗi theta không đầy đủ, và D0 là
không gian con đóng của D được xác định bởi các điểm nhọn. Ngoài ra, cho Θ là
không gian con hữu hạn chiều của Θ xác định bởi thặng dư của chuỗi Eisenstein
tại các cực điểm trên nửa khoảng ( 21 ; 1], và cho Θ0 là phần bù trực giao của Θ
trong Θ. Khi đó, D là tổng trực giao của Θ0 , Θ và D0 . Phổ của toán tử
là rời
rạc trong Θ và D0 , và liên tục trong Θ0 .

2.3

Phổ liên tục và chuỗi Eisenstein

Ta biết rằng nếu

= λf với

=y

2

∂2
∂2
+
∂x2 ∂y 2

thì

k(z, z ) = Λk (λ)f (z).

H

|z − i|2
Đặc biệt, Λk (λ) là một hàm biến phức λ được cho duy nhất bởi k Từ
là
y(z)
bất biến dưới tác động của bất kì σ ∈ K = SO(2).
|z − z |2
Ta có t(z, z ) =
là một cặp điểm bất biến.
y(z)y(z )
√
t
+
2
+
t2 − 4t
u
−u
Hơn nữa, ta có t = e + e − 2(t > 0) và u = ln
.
2
Vì mỗi cặp điểm bất biến k(z, z ) là một hàm của u, đó cũng là một hàm của
t. Ngoài ra, tương ứng 1-1 giữa các cặp điểm bất biến k(z, z ) và các hàm k(t)
của biến số thực dương được thiết lập bởi công thức:
k(z, z ) = k(t(z, z )).
1
1
+ir biến phức thì λ = − −r2 và
2

4
có một tương ứng 1-1 giữa các hàm Λk (λ) và các hàm chẵn h(r) biến phức tương
ứng được cho bởi Λk (λ) = h(r) Ta gọi phép biến đổi tuyến tính k(t) → h(r) là
phép biến đổi Selberg và muốn đưa về dạng cụ thể hơn.
Nói cách khác nếu đặt λ = s(s−1) với s =

21


Định lí 2.7. Cho k(t) là hàm biến thực dương và đặt
∞

k(t)
√
dt = Q(ω).
t−ω
ω

Ngoài ra, định nghĩa g(u) bởi Q(ω) = g(u) với ω = eu + e−u − 2. Khi đó
∞

h(r) =

g(u)e

ru
du, ở đây e(x) = e2πix ,
2π

−∞

là phép biến đổi Selberg của k .
Ngược lại, ta có:

∞

1
g(u) =
2π

h(r)e

−ru
dr,
2π

−∞

và

+∞

dQ(ω)
√
.
ω−t

1
k(t) = −
π

t

Chứng minh. Xét f (z) = (Imz)s = y s là hàm riêng của toán tử

k

|z − z |2
yy

y s dz = h(r)y s ,

H

với z = x + iy , z = x + iy , y = y(z), y = y(z ). Ta có

|z − z |2
k
yy

y s dz

H
+∞ +∞

(x − x )2 + (y − y )2
k
yy

=

0 −∞
+∞ +∞

=

k

y s−2 dx dy

y
y
(x − x )2
+ −2+
y
y
yy

0 −∞

22

dx .y s−2 dy .

, khi đó


Nếu ta đặt

y
y

(x − x )2
+ − 2 = ω, ω +
= t thì
y
y
yy
dx =

yy
dt.
2(x − x )

Và do đó
x

+∞

(x − x )2
k ω+
yy

dx =

+∞

(x − x )2
k ω+
yy

dx +

−∞

−∞

(x − x )2
k ω+
yy

x

= I1 + I2 .
(x − x )2
Xét I1 =
k ω+
yy
−∞
x

dx . Đặt t = 2x − x suy ra dt = −dx . Khi đó

+∞

+∞

(t − x)2
k ω+
yy

I1 =

(t − x )2
k ω+
yy

dt =

x

x

Ta lại có
+∞

(x − x )2
k ω+
yy

I2 =

dx

x
+∞

=

k(t).

yy

dt
2(x − x )

ω

√
=

+∞

yy
2

k(t)
√
dt.
t−ω
ω

Suy ra
+∞

(x − x )2
k ω+
yy

+∞

dx =

−∞

k(t)
√
dt.
t−ω

yy
ω

Từ đó, ta có
+∞

Q(ω) yy y s−2 dy = h(r)y s .
0

23

dt.

dx


y
= eu thì dy = yeu du, ta có
y

Hơn nữa, đặt

+∞

+∞

u

Q(ω) yy y s−2 dy =

g(u)ye 2 (ye)s−2 yeu du

−∞
+∞

0
+∞
1

g(u)eu(s− 2 ) du.y s =

=
−∞

ru
du.y s .
2π

g(u)e
−∞

Như vậy ta có

∞

h(r) =

g(u)e

ru
du.
2π

−∞

Công thức (2.7) là công thức nghịch đảo của biến đổi Fourier.
Dể chứng minh công thức (2.7), ta chú ý
+∞

√

1
−
π

ω − u dQ(ω)

u
+∞

√

1

π

= −



∞

ω − u d

u
1 √
= −  t−ω
π

ω
∞



k(t)
√
dt
t−ω


ω

1
π

u ω
∞

=

1
2

dω
.k(t)dt
2 (ω − u)(t − ω)

k(t)dt,
u

t

do
u

1
k(t)
.√
dtdω
2 ω−u t−ω
√

u

∞ t

=

∞ ∞

k(t)
1
√
dt |+∞
+
u
π
t−ω

dω
= π.
2 (ω − u)(t − ω)

24

ω