Luận văn thạc sĩ bài toán cauchy neumann đối với phương trình hyperbolic cấp hai trong trụ với đáy không trơn

Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỘC sư PHẠM HÀ NỘI 2

VŨ THỊ HOÀI PHƯƠNG

BÀI TOÁN CAUCHY-NEUMANN ĐỐI VỚI
PHƯƠNG TRÌNH HYPERBOLIC CẤP HAI TRONG
TRỤ YỚI ĐÁY KHÔNG TRƠN
Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC sĩ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH. Nguyễn

HÀ NỘI, 2015


Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2 dưói sự hướng
dẫn của GS.TSKH Nguyễn Mạnh Hùng.
Tác giả xin gửi lời cảm on chân thành, sâu sắc tới GS.TSKH Nguyễn Mạnh Hùng,
người đã luôn quan tâm động viên và tận tình hướng dẫn tác giả trong quá trình thực
Lòi cảm ơn
hiện luận văn.
Tác giả cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới Ban Giám Hiệu Trường Đại
Học Sư Phạm Hà Nội 2, Phòng Sau Đại Học, các thầy cô giáo trong nhà trường và các
thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán Giải Tích đã tạo điều kiện thuận lợi
trong quá trình tác giả học tập và nghiên cứu.
Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình, người thân đã động viên và tạo mọi
điều kiện để tác giả hoàn thành bản luận văn này.
Hà Nội, tháng 12 năm 2015

Vũ Thị Hoài Phương


Tôi xin cam đoan Luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi duới sự huớng
dẫn trực tiếp của GS.TSKH Nguyễn Mạnh Hùng.
Trong quá trình nghiên cứu, tôi đã kế thừa thành quả khoa học của các nhà khoa
học với sự trân trọng và biết ơn.
Hà Nội, tháng 12 năm 2015

Vũ Thị Hoài Phuơng


Mục lục


Mở đâu

1. Lý do chọn đề tài
Phương trình đạo hàm riêng là một bộ phận quan trọng của toán học, nó được
nghiên cứu lần đầu tiên vào giữa thế kỷ 18 trong các công trình của các nhà toán học
như Euler, Dalembert, Lagrange và Laplace như là một công cụ quan trọng để mô tả
các mô hình của vật lý và cơ học. Các bài toán biên đối với phương trình và hệ
phương trình đạo hàm riêng tuyến tính trong các miền trơn đã được nghiên cứu gần
như hoàn thiện vào giữa thế kỷ XX. Tuy nhiên các kết quả này chỉ dừng lại là các bài
toán được xét trong các miền với biên trơn.
Một vấn đề đặt ra cần nghiên cứu các bài toán trong các miền không trơn, tức là
biên của miền chứa điểm kì dị. Các phương pháp nghiên cứu truyền thống nhờ phép
biến đổi Fourier hoặc Laplace để đưa bài toán không dừng về bài toán dừng chỉ thu
được kết quả đối với phương trình và hệ phương trình có các hệ số không phụ thuộc

vào biến thời gian.
Khi đó một vấn đề cơ bản cần giải quyết: nghiên cứu được bài toán với hệ số của
phương trình phụ thuộc vào cả biến thời gian không những cho miền với biến không
trơn mà cho cả miền vói biến trơn. Các vấn đề này đến nay vẫn đang tiếp tục được
nghiên cứu.
Với mong muốn được hiểu sâu hơn về các bài toán trong miền không trơn, nhờ sự
giúp đỡ của GS.TSKH Nguyễn Mạnh Hùng tôi chọn nghiên cứu đề tài: “BÀI TOÁN
CAUCHY- NEUMANN ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH HYPERBOLIC CẤP HAI
TRONG TRỤ VỚI ĐÁY KHÔNG TRƠN” để
thực hiện luận văn tốt nghiệp của mình.


2. Mục đích nghiên cứu
Mục đích nghiên cứu của luận văn là tìm hiểu về tính giải đuợc của bài toán
Cauchy-Neumann đối với phuơng trình hyperbolic cấp hai trong trụ với đáy không
trơn, đó là các định lý tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán trên trong trụ với đáy
không trơn.

3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu các kiến thức cơ sở của không gian hàm, không gian Sobolev, các
bất đẳng thức cơ bản, các kiến thức liên quan. Từ đó áp dụng vào nghiên cứu tính giải
đuợc của bài toán.

4. Đổi tượng và phạm vi nghiên cứu
Đối tuợng nghiên cứu của luận văn là nghiệm suy rộng của bài toán CauchyNeumann đối với phuơng trình hyperbolic cấp hai trong trụ vói đáy không trơn.

5. Phương pháp nghiên cứu
Phuơng pháp đuợc sử dụng trong luận văn là phuơng pháp xấp xỉ Galerkin,
phuơng pháp đánh giá bất đẳng thức, phuơng pháp không gian hàm Sobolev.

6. Đóng góp mới của đề tài
Các kết quả của luận văn góp phần hoàn thiện lí thuyết một cách hệ thống các
truờng hợp đặc biệt của những bài toán tống quát đã đuợc giải trong miền không trơn.
7. Nội dung
Luận văn bao gồm 2 chưong:
Chương 1: Giới thiệu một số kiến thức bổ trợ.
Chương 2: Trình bày cách đặt bài toán Cauchy-Neumann đối với phương trình
hyperbolic cấp hai trong trụ với đáy không trơn, trình bày nghiệm suy rộng, sự


tồn tại và duy nhất nghiệm suy rộng của bài toán.


Chương 1

Kiến thức chuẩn bi

1.1.

Các kí hiệu
IRn là một không gian Euclide n- chiều, x= (jjq ,x 2 ,... ,x n ) E W 1 .
Xét il là một miền bị chặn trong IRn , n > 2 với s = díì là biên của nó và Í1
= Í1 u ổíl
Giả sử 0 < T < 00. Kí hiệu
ÍI T = nX(0,T) = {(X,t)\x en, t G (0,71)}.
là trụ trong IRn+1.
Mặt xung quang của nó là:
S T = ổíl X (0, T ) = {(x, t)\x G díì, t G (0,71)}.
Với u là hàm véc tơ phức với các thành phần u 1 ,u 2 ,....u n . Ta kí hiệu:
g\p\

u = (u1#u2,... un) và D p = --------------------— là đạo hàm suy rộng câp p theo
biến X = (*! ..., x n ), u t k = d k uỉdt k là đạo hàm suy rộng cấp k theo biến t.
Ớ đây p = (p1,..,pn) là kí hiệu đa chỉ số với Pi là các số nguyên không âm,
|p| =Pi + ....+pn.
C0°° (fl) là không gian các hàm khả vi vô hạn vói giá compact trong fl.
Giá của một hàm là bao đóng của tập họp tất cả các điểm mà hàm đó khác không
và kí hiệu là supp. Kí hiệu c k { fl} là tập họp tất cả các hàm có đạo hàm liên tục đến
cấp k trong miền fl, 0 < k < 00,


c° (Í1) = c (Í1) và ũ k (Í1) = C(Í1) n c k (Í1),
ở đó Ể k là tập họp tất cả các hàm liên tục trong íl và có giá compact thuộc íl.
Định nghĩa không gian Lp (íl): Cho íl là một miền ữong không gian IRn và cho 0 < p
<+ 00. Khi đó Lp (ÍỊ) là không gian bao gồm tất cả các hàm u (x) khả tổng cấp p theo
Lebesgue trong với chuẩn:

\\u\\LpW = Ị Ị \u\p dx
\n
,
L 2 (íl) là không gian các hàm khả tổng bình phương trên Í1 với chuẩn:

ll“llỉ2(n) = Ị luWI2 d x
n
¿2 (íl) là không gian các hàm khả tổng bình phương trên Í1 T với chuẩn :

l“llỉ2(n) = Ị \n
Một hàm số / đo được trên Mn được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại một số k sao
cho I f(pc) I < k hầu khắp nơi trên Mn. Cận dưới lớn nhất các hằng số k được gọi là
essential supremun của l/l hên Mn.

Kí hiệu:
ess sup|/(x)|
XEln
Định nghĩa không gian L°° (íl): là không gian bao gồm tất cả các hàm u (x) đo được theo
Lebesgue và bị chặn hầu khắp nơi trên (1 vói chuẩn :
IIWIIL“(ÍI) = ess supluOOI
XE Í1


Cho X là không gian Banach vói chuẩn II. ||x .Kí hiệu L°° (0, T, X)là không gian bao
gồm tất cả các hàm u (,,í) nhận giá trị trong không gian X , xác định trên(0, T ) sao cho:
IMIL^CO/TVO = esssup|u(z)l
XE n
Điều kiện Lipschitz :
Hàm u : ư -> M. (U là tập mở trong IRn) là liên tục Lipschitz nếu Vx,y G u, c lầ hằng
số :
|u(x) — u(y)I < c\x — y\
Ta viết:
Ta sử dụng các kí hiệu sau :
\u(x)-u(y)\
Lip[ũ\ :
sup
\x-y\
x,yeư
(v{.,t),(p C))n
= I, v(x, t)n
(vC,t),w(.,t))n = I v(x, t)w(x, t)dx
n

(v,w)nT = I v(x, t)w(x, t)dx dt
n

1.2.

Đạo hàm suy rộng
Định nghĩa 1.2.1, Giả sử (1 là một miền trong không gian IRn. Một hàm V (x)

G (íl) được gọi là đạo hàm suy rộng cấp p của hàm u( x) G Li (íl) nếu:


lpl

J u(x)Dp (p(x)dx = (—l) J v(x) (p(x)dx
n

n

với mọi

Chủ ỷ:
Từ công thức Green suy ra một hàm u(x) có đạo hàm thông thường liên tục cấp p
thì nó có đạo hàm suy rộng cấp p. Từ định nghĩa đạo hàm suy rộng ta thấy hàm u(x) có
không quá một đạo hàm suy rộng.
Một hàm có đạo hàm suy rộng có thể không có đạo hàm theo nghĩa thông thường.
Ví dụ xét u(x) = I X I, X e (—1,1). Dễ kiểm tra được hàm u(x) có đạo hàm suy rộng
trong khoảng (—1,1). Tuy nhiên, hàm này không có đạo hàm thông thường tại điểm có X
= 0.
Thật vậy,
Giả sử v(x) là đạo hàm suy rộng của u(x) = I X I, X e (—1,1). Khi đó
ta có:

Ị \x\(p'(x)dx= —Ị v(x)íp(x)dx, V(pe t°° (—1,1)
ç1
ç0
ç1
7=1 I x\(p'dx= I — X. (p'(x)dx + I x.q)'(x)dx
J-1
J-1
JQ
= — xọ(x) I ^

^Ị < p ( x ) d x — Ị ( p ( x ) d x S j + x ọ ( x ) I ^

= — I signx.(p(x)dx
J-1
Vậy v(x) = signx là đạo hàm suy rộng của u(x) = I X I, X £ (—1,1).
Một hàm có đạo hàm suy rộng cấp p trong miền íì thì nó cũng có đạo hàm suy
rộng cấp p trong miền íì' c íì. Thật vậy, giả sử u(x) có đạo hàm suy rộng trong miền ỉì
là hàm và

(p(x ) = 0 với X e Í1\ÍT ta nhận đuợc (p e Ể 00 ựì')


Ta có hệ thức:

/ “WD'l’W* = / «WD'iW*
íì I
lì

íỉ

íỉl

Từ đó ta nhận đuợc u(x) có đạo hàm suy rộng trong miền íì' cũng chính là hàm
v(pc). Đạo hàm suy rộng trong miền íì' đuợc gọi là thu hẹp của đạo hàm suy rộng
trong n vào íì'.
[)a+p v _ D a ịpP v '^ i aĐ a v 1 + bD a v 2 = Đa(av1 + bv 2), ở đó a, b là các hằng
số tùy ý.
Từ định nghĩa của đạo hàm suy rộng thấy ngay đuợc đạo hàm suy rộng không
phụ thuộc vào thứ tự lấy đạo hàm. Nói chung, đạo hàm suy rộng bảo toàn đuợc nhiều
tính chất của đạo hàm theo nghĩa thông thuờng. Tuy nhiên, không phải là tất cả, chẳng
hạn từ sự tồn tại đạo hàm suy rộng cấp p không suy ra đuợc sự tồn tại đạo hàm suy rộng
cấp nhỏ hon p.

1.3.

Không gian Sobolev

•Không gian w l (ÍT)
Định nghĩa 1.3.1. Giả sử n là một miền trong không gian IRn . Ta định nghĩa w l
(Ü) là không gian bao gồm tất cả các hàm u(x) G ¿2 (n), X E n với chuẩn:


\lp|sỉ

NIWlw = ( X /\DĨ>u\2dx

• Không gian w* (ÍỊ)
Định nghĩa 1.3.2. Giả sử là một miền trong không gian IRn . Ta định nghĩa w x
(fl) là không gian bao gồm tất cả các hàm u(pc) G ¿2 (fl), X G với chuẩn:

\lp|si n

•

\\u\\wiw = 1 ^ Ị \Dpu\2dx

Không gian w1(íl)
Định nghĩa 1.3.3. Giả sử Í1 là một miền trong không gian IRn . Ta định nghĩa

•

w 1(íl) là bao đóng của Ễ 00 trong chuẩn của v v 1 (íl)
Không gian w l ’ k ( e ~ y t , s 3r)
Định nghĩa 1.3.4. Giả sử Í1 là một miền trong không gian IRn. Ta định nghĩa
w l , k ( e ~ y t ,ỈÌ T ) là không gian bao gồm tất cả các hàmu(x, t) G L 2 (ÍÌ T ) sao cho:
Dpu (., t),utj(., t) G L2(n), (0 < \p\ < 1,1 < j < k)\ớ i mỗi t G (0,7) và:
•Không gian w 1 , 1 ( e y t , n T )
Định nghĩa 1.3.5. Giả sử n là một miền trong không gian IRn. Ta định
lUlllUk( eyt.íìr)

e 2ytdxdt < 00


nghĩa w 1,1 (e

Yt

,íì T ) là không gian bao gồm tất cả các hàm u{x, t)e l 2 (íì), sao cho

Đpu(., t), u t i , t) G ¿2 (fì), với mỗi t G (0, T ) và

e

|D U|2 +
=dxdt
/ ( Z<
”00 z 1^1

2Yt

0
n T \os|p|si
Đặt L2(e~yt,ỈÌT) =

1.4.
1.4.1.

Một sô bất đẳng thức cơ bản
Bất đẳng thức Cauchy với E
Cho a, b là các số thực dương và £ > 0. Khi đó
ab < sa 2 +

4£

Chứng minh
Ta có

(2 Ạ
Áp dụng bất đẳng thức ab < — + — ta có:
4

Bất đẳng thức được chứng minh.(2f)2 a.

1.4.2.

Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz
Cho u, ve IRn. Khi đó, ta có:

2£ữ2
97
----+ —
1
(2£ —
22

ab = (2f)2 a.

= £ữ2 +


\uv\ < \u\\v\
Chứng minh
Cho £ > 0 và ta có:
0 < \u ± svỊ2 = \u\2 ± 2EUV + £2\v\2
Do đó
1£

±uv < — \u\2 + — \v\2

2
?

r
111 I
Cưc tiêu hóa vê trái, đăt £ = 7-7VỚÌ V ^ 0, ta đươc:
V

r
Hay ta viêt:
\uv\ < \u\\v\
Bất đẳng thức được chứng minh
Trong không gian Hilbert (H), chuẩn của phần tử u được lấy là:
||u|| = yj (u, V)
Đối với u, ve (//) ta có bất đẳng thức Cauchy-Schwwarz:

1.4.3.

\uv\ < ||u|| II17II
Bất đẳng thức Gronwall - Belman mở rộng

Giả sử u và (p là các hàm khả tích, không âm trên đoạn [t0, T), L = cont > 0 thỏa mãn:
u(t) <
u(t)dt, vt G [t0lT).
Khi đó:


u(t) < (p{t) + L ị ei(t S )(p(s)ds, vt G [t0,7).
■'to
Hơn nữa, nếu (p(t) có đạo hàm cp' (t) khả tích trên [t 0 , 7) thì u(t) <
+ L ị e L ( t ~ s ) 'to
Chứng minh

Đặt
y(t) = J u(t) dt
t0
ta có:
y'(t) = u(t) < hay:
y'(t) - Ly(t) < lịo(t), vt G [t 0 , T )
Đặt z(t) = y(t)e_it ta nhận được:
z'(t) = (y'(t) - Ly(t))e_it <
Ta có z(t0) = y(t0) = 0 và do đó:
t
z ự ) < I e L s ( p { s ) d s , vt G [t0,7)
¿0
Suy ra:
t
y(t) < J e L C t ~ s ) < p ( s ) d s , vt G [t0,7)
¿0
Do đó:

t
u(t) < Neu

ta có:

= — ( p ( t ) + Từ đây ta suy ra:
t
u(t) <

Bất đẳng thức đuợc chứng minh
Ta nhận thấy rằng nếu (p = c = const trên [t0, T) thì từ bất đẳng thức trên ta
suy ra bất đẳng thức Gronwall-Belman thông thuờng, tức là:
uự) < CeL(-t~t°\vt G [t0, T)
Đặc biệt nếu t
u(t) < L Ị u(s)ds => u(t) = 0,vt G [t0,T)
tO
Chương 2

Bài toán Cauchy - Neumann đối vói phương trình heyperpolic cấp hai trong

trụ với đáy không trơn
Trong chương này luận văn trình bày về sự tồn tại và duy nhất nghiệm suy rộng
của bài toán Cauchy - Neumann đối với phương trình heyperpolic cấp hai trong trụ với
đáy không trơn, ta nhận được kết quả về tính giải được của bài toán trong trụ với đáy
không trơn.


2.1.

Đăt bài toán

Giả sử n là một miền bị chặn trong Mn, n > 2, với biên n không trơn Giả sử 0 <
7 < 00. Kí hiệu
ÍÌ T =íìx (0, 7) = {(X, t)\x G n, t G (0,7)} là trụ trong
IRn+1. Mặt xung quanh của nó là
ST = ớn X (0, 7) = {(x, í): X G ớn, t G (0, 7)}
Xét toán tử vi phân cấp 2

ở đây aỊj=aịj (x,t) là hàm phức khả vi vô hạn trên ÍÌ T a.ij =

{Ị,ị = 1,.., rì) và a =

a(x, t) là hàm thực khả vi vô hạn trên
nT. Hơn nữa giả sử rằng a.ij (i,j = 1,.., lì) là liên tục đều với X G ũ theo biến t G (0,7)
Ký hiệu:


n
d
N(x,t,d) = ^ aij(x,t)cos(xi,v)-^7
i,j = 1
ở đây V là vector pháp tuyến ngoài của mặt S T Xét
trong miền trụ ÍÌ T phương trình:
(2.

L(x, t, d)u — utt = f(pc, t) hên Í1T
Với điều kiện ban đầu :
u\ t = 0 =u t |t=0 = 0 trên

(2.2)

Và điều kiện biên:
N(x,t,d)u\s T = 0
(2.3)
Bài toán trên được gọi là bài toán Cauchy Neumann đối với phương trình
hyperbolic cấp hai trong trụ với đáy không trơn.
Bài toán ta đang xét là Hypebolic mạnh, tức là với Ẹ G R n \ {0} và (X, t) G íloo ,
tồn tại trong Hi= const >0, ta luôn có đẳng thức sau :

n
¿7 = 1

^/¿il£l2

(2.4)

Định nghĩa nghiệm suy rộng :
Cho f G L2(íl). Khi đó hàm u(x, t) được gọi là nghiệm suy rộng của bài toán (2.1) (2.3) trong không gian wu(e-yí, nT ) nếu u(x, í) G W 1 ' 1 (e~ y t , Í1 T ) ,u(x, 0) = 0 với
mỗi T > 0 thỏa mãn đẳng thức sau:
n
(aijUx.,rỊx.)nT + (au, TỊ) nT + (ut,7Ịt)nT =(/,?]) nT
i,j = l

(2.5)

Với mọi hàm thử TỊ = ĩ}(x, í) G W 1 ' 1 (e~ y t , ÍÌ T ) sao cho rj(x, í) = 0 vói t G
[T, OO), 0 < T < T


2.2. Tính duy nhất của nghiệm suy rộng

2.2.1.

Bất đẳng thức năng lượng
Đặt :
n
B(u> ũ)(t) — ^\.tlịjUXị c > 0' V-xi c > 0)íì
ij

Trong bổ đề sau ta sẽ xét bất đẳng thức năng lượng. Bất đẳng thức này là một
trong các cơ sở quan họng trong các chứng minh ở các phần sau.
Bổ đề 2.2.1. Giả sử điều kiện (2.4) thỏa mãn. Khi đó tồn tại 2 hằng
sổ fÀQ >0, ẰQ >0 sao cho với mọi hàm cổ định U = u(x,t) E v/1’1(e_yt, ÍÌT )ta
có bất đẳng thức sau :

=-B(u,u)(t) -

^ (aijuXj,uXi)íì
1 n

< B(u, li) (t) + C(£)||u||2wo(n) +£^11^.11^
i =1
Với 0 < £ < Ị1, C(È) > 0. Từ bất đẳng thức này ta nhận được :
n
Qi - E)Ỵjux.\\2L
i=1
Từ đó ta được :

< -B(u,u)(t) + C(E)\\U\\ 2 W O W


1

z IK I
1=1

_
[Ắ

Suy ra
llull2^!^ < -QB^uXO + CJull^o
n
Với Q = — > 0, c2 = — > 0
ịl-E
Ịl-E

IVU(
1

(2.7)

Bởi vì il là miền có tính chất đoạn nên từ bất đẳng thức nội suy ra ta có
NlVcn) £*iNIVcn) +C(£1)||u||2i2(n)
Với mọi 0<£iThay vào (2.7) ta nhận được :
\\u\\ 2 w i i a ) <-Qổ (u,u)(t) + (C2)£1||U||2v/1(íì) +C2C(£1)||U||2¿2(^ Suy ra
(1 - C2£i)NIV(n) < C^^uJCt) + QCCfiJIlull2^
Vậy nên
—B(u,ù)(t) > tí~^ 2 £ l ) llullVm) -^||u|pi2(ũ)

Từ đó suy ra
-B(u,u)(t) >ỊI 0 \\U\\2wHíì) -Ả 0 \\U\\

\TA.: .. _ 1_C2£1 1 _ C2C(£l)
Với /1 0 = —7*—, Ả 0 = v
C1
C1
Bố đề được chứng minh

2.2.2.

Định ỉý duy nhất nghiệm

Mục này dành cho hình bày việc phát biểu và chứng minh tính duy nhất
nghiệm suy rộng của bài toán Cauchy - Nemann đối với phương trình Hypepolic cấp
hai trong trụ với đáy không trơn. Tính duy nhất của nghiệm suy rộng được khẳng định
qua hai định lý sau :
Định lý 2.2.2. Giả sử rằng hệ sổ của toán tử L(x,t,d) thỏa mãn điều
kiện (2.4) và :
sup

► < ỊẮ; 1 < i,j < n, li = const > 0
Khi đó bài toán (2.1) - (2.3) có không quá một nghiệm suy rộng

trong V/1’1 (e~yt, Í1T) với Y > 0 Chứng minh
Giả sử bài toán (2.1) - (2.3) có hai nghiệm suy rộng IÍ! và u2 trong
y/1’1(e y t ,íì T ) với Y > 0.
u(x, t) = IÍ! (x, t) - u2 (x, t)
Khi đó u G W 1 A (e~ y t , ÍÌ T ) và u(x, 0) = 0
Giả sử T là một số dương T< T Xét hàm
f* u(x,s)ds, 0 < t < b
ĩ](x,t) = Jb
,b < t < T
Ta có rj(x, t) G v/1’1(e y t ,íì T ), thật vậy
Vì u(x,t ) G W 1 , 1 (e~ y t ,íĨ T ) nên tồn tại, {UJY . c C°°(Í1T)
IIUj - u\\ w i.i i ữ T ) ->0, khi j->0. Đặt:
rẾ Uj (x, s)ds, 0 < t < b

ĩ]j(x,t) = ■ ị
,0
,b < t
,b < t

Với TỊj G C°(íì
w1,1T(íl
)r

w1,1

= III Uj(x,s)ds — I u(x,s)ds I
Kb
•'b

< I lili, — lili n ds -> 0 khi i -> 0 J6 11 7

1,1

(fir)

J

Do âôr}(x, t) G W1’1(e_yt,ilT)
Hon nữa ĩ j t =u với 0v

(jl> = — I (pudt = —(u, (p)L

>L z (
Vậy hàm ĩj chính là hàm thử Thế u = ĩj t vào (2.5), ta được
n
{a-ijîlxjt >rjXi) nT + {arjt>rj) nT + nT = 0
i j =1
Cộng vào đẳng thức hên với liên họp phức của nó. Ta có :
n
-2R e ^ ( o - i j V x j t . r j x i ) n b + 2 R e ( a ĩ j t , ĩ j ) n ¡ j + 2 R e ( ĩ j t t , ĩ j t ) n ¡ j =0
i,j=l
Sử dụng giả thiết a L J =ã~[\ằ tích phân từng phần ta sẽ nhận được

(2.8


-2fíe ^ (o-ijVxjt >rì X i )íì b n
i,j = l

n
ijtfx jVxj)t dxdt
1 /<■
n
= -2Re ^ Ị aụĩỊx^rị^dxdt
i
J = 1 rtfc n
=

=

2Re {^ij^lxit> Vx¿) íib
Vậy nên :

U=1
n
2Re ^ ^ijVxit'Vxi)
ij = 1

= _(fieZ /(av'!*1’I!*1)t-Re X j a ¡ ¡ t ri X J Tj x t dxdt I
\ ij=i n0
‘j=1 tob

íl

/


n b
ri
= -Re In
= -£(77,77X0) + Re ^ <(Oij)triXjtriXị) ab
i,j=l

i j =1

Thay vào (2.8) ta có :
n
-£(77,77X0)+ £e ^ ({aiJ')triXj,riXị)ab + 2Re(arittri)ab
ij = 1
[ \\rjt\\2 dxdt = 0 n b
Hay :

+2

n
-B(rj,rj)(0) + Re ^ ((p-iịìtĩlxyilxi) nb + 2Re(arjt ,7])^
ij = 1

+ 2 I II77J2 dxdt = 0 n b
Từ đẳng thức trên và Bổ đề 2.2.1, ta có:
/^0

n
II yyiQ — 2-0 ||T7(X, 0)11 L2(ÍÌ) "1" Be ^
i,j = l
+ 2Re(arjt ,ĨỊ) nb + 2 Í ||77t II2 dxdt < 0
nb

suy ra :

X jitf Xị} ỉi b