Ảnh hưởng của sóng điện từ mạnh lên hấp thụ sóng điện từ yếu bởi điện tử giam cầm trong siêu mạng pha tạp có kể đến hiệu ứng giam cầm của phonon(trường hợp tán xạ điện tử phonon quang

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

Đào Thu Hằng

ẢNH HƯỞNG CỦA SÓNG ĐIỆN TỪ MẠNH LÊN HẤP THỤ
SÓNG ĐIỆN TỪ YẾU BỞI ĐIỆN TỬ GIAM CẦM TRONG
SIÊU MẠNG PHA TẠP CÓ KỂ ĐẾN HIỆU ỨNG GIAM
CẦM CỦA PHONON (TRƯỜNG HỢP TÁN XẠ ĐIỆN TỬ
-PHONON QUANG)

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội - 2012


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
KHOA VẬT LÝ

Đào Thu Hằng

ẢNH HƯỞNG CỦA SÓNG ĐIỆN TỪ MẠNH LÊN HẤP THỤ SÓNG
ĐIỆN TỪ YẾU BỞI ĐIỆN TỬ GIAM CẦM TRONG SIÊU MẠNG
PHA TẠP CÓ KỂ ĐẾN HIỆU ỨNG GIAM CẦM CỦA PHONON
(TRƯỜNG HỢP TÁN XẠ ĐIỆN TỬ -PHONON QUANG)

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và vật lý toán
Mã số: 60 44 01

Cán bộ hướng dẫn : GS.TS Nguyễn Quang Báu

Hà Nội – 2012


LỜI CẢM ƠN

Để hoàn thành tốt luận văn này, em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc đến
GS.TS Nguyễn Quang Báu, người thầy đã tận tâm giúp đỡ, hướng dẫn em, đóng góp ý kiến
và động viên em trong suốt quá trình thực hiện luận văn.
Em xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ và dạy bảo tận tình của các thầy cô giáo trong
bộ môn Vật lý lý thuyết và vật lý toán, khoa Vật lý, trường Đại học Khoa học Tự nhiên-Đại
học Quốc gia Hà Nội, trong suốt thời gian vừa qua đã tạo điều kiện cho em hoàn thành luận
văn này một cách tốt nhất.
Cuối cùng em xin bày tỏ lòng biết ơn tới tất cả bạn bè và người thân đã quan tâm,
động viên và dành nhiều tình cảm tốt đẹp để em có thể vượt qua mọi khó khăn để hoàn
thành tốt luận văn này.

Hà Nội, ngày 02 tháng 12 năm 2012
Học viên
Đào Thu Hằng


MỤC LỤC
MỞ ĐẦU

……1

1. Lý do chọn đề tài

1

2. Phương pháp nghiên cứu

2

3. Cấu trúc khóa luận

3

CHƯƠNG 1. GIỚI THIỆU VỀ SIÊU MẠNG PHA TẠP VÀ BÀI TOÁN VỀ HẤP THỤ
SÓNG ĐIỆN TỪ TRONG BÁN DẪN KHỐI
…………………………………..4
1. Tổng quan về siêu mạng pha tạp

4

1.1. Khái niệm về siêu mạng pha tạp

4

1.2. Phổ năng lượng và hàm sóng của điện tử trong siêu mạng pha tạp

4

2. Hấp thụ sóng điện từ yếu bởi điện tử trong bán dẫn khối khi có mặt hai sóng điện từ.
5
2.1. Xây dựng phương trình động lượng tử cho điện tử trong bán dẫn khối
2.2. Tính hệ số hấp thụ

5
15

CHƯƠNG 2. PHƯƠNG TRÌNH ĐỘNG LƯỢNG TỬ VÀ BIỂU THỨC GIẢI TÍCH CỦA
HỆ SỐ HẤP THỤ SÓNG ĐIỆN TỪ YẾU BỞI ĐIỆN TỬ GIAM CẦM TRONG SIÊU
MẠNG PHA TẠP DƯỚI ẢNH HƯỞNG SÓNG ĐIỆN TỪ MẠNH CÓ KỂ ĐẾN HIỆU
ỨNG GIAM CẦM CỦA PHONON(TRƯỜNG HỢP TÁN XẠ ĐIỆN TỬ-PHONON
QUANG)
22
1. Phương trình động lượng tử của điện tử giam cầm trong siêu mạng pha tạp khi có mặt hai
sóng.
22
2. Tính hệ số hấp thụ sóng điện tử yếu bởi điện tử giam cầm trong siêu mạng pha tạp khi có
mặt trường song điện từ mạnh
39
CHƯƠNG 3. TÍNH TOÁN SỐ VÀ VẼ ĐỒ THỊ KẾT QUẢ LÝ THUYẾT CHO SIÊU
MẠNG PHA TẠP n-GaAs/p-GaAs
52
3.1. Tính toán số và vẽ đồ thị cho hệ số hấp thụ α cho trường hợp siêu mạng pha tạp nGaAs/ p- GaAs:
52
3.2. Nhận xét

54

KẾT LUẬN

55

TÀI LIỆU THAM KHẢO

56

PHỤ LỤC

57


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Sự mở rộng các nghiên cứu về hệ bán dẫn thấp chiều, trong đó có hệ hai chiều trong
thời gian gần đây đã đem lại nhiều ứng dụng to lớn trong đời sống, lôi cuốn sự tham gia
nghiên cứu của nhiều nhà khoa học trên khắp thế giới. Việc chuyển từ hệ ba chiều sang các
hệ thấp chiều đã làm thay đổi nhiều tính chất vật lý cả về định tính lẫn định lượng của vật
liệu [1,14], Trong số đó, có bài toán về sự ảnh hưởng của sóng điện từ mạnh lên sóng điện
từ yếu trong các loại vật liệu.
Trong khi ở bán dẫn khối, các điện tử có thể chuyển động trong toàn mạng tinh thể
(cấu trúc 3 chiều) thì ở các hệ thấp chiều, chuyển động của điện tử sẽ bị giới hạn nghiêm
ngặt dọc theo một (hoặc hai, ba) hướng tọa độ nào đó. Phổ năng lượng của các hạt tải trở
nên bị gián đoạn theo phương này. Sự lượng tử hóa phổ năng lượng của hạt tải dẫn đến sự
thay đổi cơ bản các đại lượng của vật liệu như: hàm phân bố, mật độ trạng thái, mật độ
dòng, tương tác điện tử - phonon… Như vậy, sự chuyển đổi từ hệ 3D sang hệ 2D, 1D đã làm
thay đổi đáng kể những tính chất vật lý của hệ.
Đối với hệ hai chiều (2D), cụ thể ở đây là siêu mạng pha tạp, khi có sự tác dụng của
từ trường ngoài vào các hệ thấp chiều, trong trường hợp từ trường song song với trục của
siêu mạng, phổ năng lượng của điện tử trong trường hợp này trở nên gián đoạn hoàn toàn.
Chính sự gián đoạn hoàn toàn của phổ năng lượng một lần nữa lại ảnh hưởng lên các tính
chất phi tuyến của hệ.
Trong lĩnh vực nghiên cứu lý thuyết, các công trình về sự ảnh hưởng của sóng điện từ
mạnh lên sóng điện từ yếu trong bán dẫn khối đã được nghiên cứu khá nhiều. Thời gian gần
đây cũng đã những có công trình nghiên cứu về ảnh hưởng sóng điện từ mạnh lên hấp thụ

phi tuyến sóng điện tử yếu từ bởi điện tử giam cầm trong các bán dẫn thấp chiều .Tuy nhiên,
đối với siêu mạng pha tạp, sự ảnh hưởng của trường bức xạ laze lên hấp thụ sóng điện từ
yếu bởi điện tử giam cầm có kể đến hiệu ứng giam cầm của phonon vẫn còn là một vấn đề
mở, chưa được giải quyết. Do đó, trong luận văn này, tôi chọn vấn đề nghiên cứu của mình
là “Ảnh hưởng của sóng điện từ mạnh lên hấp thụ sóng điện từ yếu bởi điện tử giam cầm


trong siêu mạng pha tạp có kể đến hiệu ứng giam cầm của phonon(trường hợp tán xạ điện
tử-phonon quang’’.
Về phương pháp nghiên cứu: Chúng ta có thể sử dụng nhiều phương pháp lý thuyết
khác nhau để giải quyết bài toán hấp thụ phi tuyến sóng điện từ như như lý thuyết hàm
Green, phương pháp phương trình động lượng tử… Mỗi phương pháp có một ưu điểm riêng
nên việc áp dụng chúng như thế nào còn phụ thuộc vào từng bài toán cụ thể. Trong luận văn
này, chúng tôi sử dụng phương pháp phương trình động lượng tử. Từ Hamilton của hệ trong
biểu diễn lượng tử hóa lần hai ta xây dựng phương trình động lượng tử cho điện tử giam
cầm, áp dụng phương trình động lượng tử để tính mật độ dòng hạt tải, từ đó suy ra biểu thức
giải tích của hệ số hấp thụ.Đây là phương pháp được sử dụng rộng rãi khi nghiên cứu các hệ
bán dẫn thấp chiều, đạt hiệu quả cao và cho các kết quả có ý nghĩa khoa học nhất định.
Về đối tượng nghiên cứu: Đối tượng nghiên cứu của luận văn là cấu trúc bán dẫn
thấp chiều thuộc hệ hai chiều. Đối tượng đặc biệt đó là siêu mạng pha tạp.
Kết quả trong bài luận văn này đã đưa ra được biểu thức giải tích của ảnh hưởng
sóng điện từ mạnh lên hấp thụ sóng điện từ yếu bởi điện tử giam cầm trong siêu mạng pha
tạp có kể đến hiệu ứng giam cầm của phonon. Biểu thức này chỉ ra rằng, hệ số hấp thụ phụ
thuộc phi tuyến vào cường độ sóng điện từ, phụ thuộc phức tạp và không tuyến tính nào
nhiệt độ T của hệ, tần số Ω của sóng điện từ và các tham số của siêu mạng pha tạp. Kết quả
được đưa ra và so sánh với bài toán tương tự trong bán dẫn khối để thấy được sự khác biệt.
Cấu trúc của khóa luận: Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo và phụ lục, khóa
luận được chia làm 3 chương, 7 mục, 4 hình vẽ.
Chương I: Giới thiệu về siêu mạng pha tạp và bài toán về hệ số hấp thụ sóng điện từ
trong bán dẫn khối.

Chương II: Phương trình động lượng tử và biểu thức giải tích của hệ số hấp thụ sóng
điện từ yếu bởi điện từ giam cầm trong siêu mạng pha tạp dưới ảnh hưởng sóng điện từ
mạnh có kể đến hiệu ứng giam cầm của phonon (trường hợp tán xạ điện tử-phonon quang).
Chương III: Tính toán số và vẽ đồ thị các kết quả lý thuyết cho siêu mạng pha tạp
GaAs/ GaAsAl.
Trong đó chương II và chương III là hai chương chứa đựng những kết quả chính của khóa
luận.


Các kết quả tính toán trong luận văn đã được báo cáo tại hội nghị Vật lý lý thuyết
trường ĐH KHTN-ĐHQGHN: “The influence of strong electromagnetic waveon the
absorption of a weak electromagnetic wave by confined electrons in doped superlattices,
including the effect of phonon confinement”.


CHƯƠNG 1
GIỚI THIỆU VỀ SIÊU MẠNG PHA TẠP VÀ BÀI TOÁN VỀ HẤP
THỤ SÓNG ĐIỆN TỪ TRONG BÁN DẪN KHỐI
Trong chương này trình bày khái quát về siêu mạng pha tạp (cấu trúc phổ năng
lượng, hàm sóng điện từ) và từ phương pháp phương trình động lượng tử đưa ra biểu thức
giải thích cho hệ số hấp thụ sóng điẹn từ yếu bởi điẹn tử trong bán dẫn khối khi chịu ảnh
hưởng của trường laser.
1. Tổng quan về siêu mạng pha tạp.
1.1. Khái niệm về siêu mạng pha tạp.
Bán dẫn siêu mạng là loại cấu trúc tuần hoàn nhân tạo gồm các lớp bán dẫn thuộc hai
loại khác nhau có độ dày cỡ nanomet đặt kế tiếp. Do cấu trúc tuần hoàn, trong bán dẫn siêu
mạng, ngoài thế tuần hoàn của mạng tinh thể, các electron còn phải chịu một thế tuần hoàn
phụ do siêu mạng tạo ra với chu kỳ lớn hơn hằng số mạng rất nhiều. Thế phụ được tạo nên
bởi sự khác biệt giữa các đáy vùng dẫn của hai bán dẫn cấu trúc thành siêu mạng.
Trong bán dẫn siêu mạng, chiều dài của các lớp đủ hẹp để electron có thể suyên qua

các lớp mỏng kế tiếp nhau, và khi đó có thể coi siêu mạng như một thế tuần hoàn bổ sung
vào thế cảu mạng tinh thể.
Bán dẫn siêu mạng được chia làm hai loại: bán dẫn siêu mạng pha tạp và bán dẫn siêu
mạng hợp phần. Bán dẫn siêu mạng pha tạp có cấu tạo các hố thế trong siêu mạng được tạo
thành từ hai lớp bán dẫn cùng loại nhưng được pha tạp khác nhau.
1.2. Phổ năng lượng và hàm sóng của điện tử giam cầm trong siêu mạng pha tạp.
Với giả thiết hố thế có thành cao vô hạn, giải phương trình Schrodinger cho điện tử
chuyển động trong hố thế này ta thu được hàm sóng và phổ năng lượng của điện tử như sau:

ψ

r
r r
r S0
r ( r ) = eip⊥ r⊥ U n ( r ) ∑ eik z jzψ n ( z − jd )
n, p
j =1

Phổ năng lượng:

ε

ur
n, p⊥

1  h2 p⊥2

= hω p  n + ÷+
2  2m*


Trong đó
ur
ur ur
Với p ⊥ ≡ ( p x , p y ) n = 1,2,3... là chỉ số lượng tử của phổ năng lượng theo phương z
ur ur
ur
p = p ⊥ + p z là vectơ xung lượng của điện tử (chính xác là vectơ sóng của điện tử).
Với Ψ Oxy : Hệ số chuẩn hóa hàm sóng trên mặt phẳng Oxy
m: khối lượng hiệu dụng của điện tử;
L: chiều dài của siêu mạng pha tạp.
ur
r
p ⊥ : Hình chiếu của p trên mặt phẳng (x, y)
r
r
r ⊥ : Hình chiếu của r trên mặt phẳng (x, y)
Như vậy phổ năng lượng của điện tử bị giam cầm trong siêu mạng pha tạp chỉ nhận các
giá trị năng lượng gián đoạn, không giống trong bán dẫn khối, phổ năng lượng là liên tục
trong toàn bộ không gian. Sự gián đoạn của phổ năng lượng điện tử là đặc trưng nhất của
điện tử bị giam cầm trong các hệ thấp chiều nói chung và trong siêu mạng pha tạp nói riêng.
Sự biến đổi phổ năng lượng như vậy gây ra những khác biệt đáng kể trong tất cả tính chất
của điện tử trong siêu mạng pha tạp so với các mẫu khối.
2. Hấp thụ sóng điện từ yếu bởi điện tử trong bán dẫn khối khi có mặt hai
sóng điện từ.
2.1. Xây dựng phương trình động lượng tử cho điện tử trong bán dẫn khối.
Xét Hamilton của hệ điện tử - phonon trong bán dẫn khối:
H = H e + H ph + H e − ph

 ur e ur  u+r ur H = ∑ hωr br+br
ε  p − A(t ) ÷a p a p ; ph r
q q q
Với: H e = ∑
ur
q
hc


p

(

H e− ph = ∑
C r au+r r aur bqr + b−+qr
r ur q p + q p
q, p

)

+
+ aupr , aupr lần lượt là toán tử sinh và hủy điện tử ( kiểu hạt fecmi )

{aupr , au+pr '} = {aupr ' , au+pr }=δ upr ,upur' , [au+pr , au+pur' ]=[aupr , aupr ' ] = 0
+
+ bqr , bqr lần lượt là toán tử sinh và hủy phonon (kiểu hạt boson)

[bupr , bup+ur' ] = δ upr , upur'

+

+
, [bupr , bupur' ]=[bupr , bupr ' ] = 0

(1)


+ Cqr : hằng số tương tác điện tử - phonon.

 ur e ur 
A(t ) ÷là hàm năng lượng theo biến
hc



+ ε p−

 ur e ur 
 p − A(t ) ÷
hc



uur
h2 p 2
2
Dạng tường minh ε ( p) = hp / m * → ε ( p ) =
2m∗
Phương trình động lượng tử cho điện tử có dạng: ih

∂nupr (t )

∂t

=  au+pr aupr , Hˆ 

(2)
t

Vế phải của (2) có tương ứng ba số hạng với toán tử Hamilton. Ta lần lượt tính từng số
hạng.
Số hạng thứ nhất:

r e ur  + 
 +
 uu
ur a ur ;
a
ε
p
 p p ∑
 ' − A(t ) ÷aupur' aupr ' 
uu
r
hc


p'



t

 ur e ur   u+r ur u+r ur 
=∑
ε
 p − A(t ) ÷ a p a p , a p ' a p '  =
ur
hc


p

 ur e ur 
= ε  p − A(t ) ÷ au+pr aupr − au+pr aupr = 0
hc



(



)

+

Số hạng thứ hai:  aupr aupr ;





+
r br br
h
ω
∑r q q q 
q


 +

+
+
r auu
r r auu
r br + b r
C
 aupr aupr ; ∑
q
−q 
r uu
r q p '+ q p '
q
,
p
'



(

)

t

= 0 Số hạng thứ ba:
t

(

=∑
C r  au+r aur ; au+pur'+qr aupur'  bqr + b−+qr
r uu
r q  p p
q, p '

Làm tương tự

(

 au+r aur ; au+ur r auur  = au+r aur δ ur uur r − au+r r aurδ ur uur
p p ' p , p '+ q
p '+q p p , p '
 p p p '+ q p ' 
 +

+
+
r auu
r r auu
r br + b r

C
 aupr aupr ; ∑
q
−q 
r uu
r q p '+ q p '
q, p '



(

)

)

t

=∑
Cqr  Fupr ,upr −qr ,qr (t ) + Fupr*−qr ,upr ,− qr (t ) − Fupr ,upr + qr ,qr (t ) − Fupr*,upr +qr ,− qr (t ) 
r


q
Vậy phương trình (2) trở thành:

)


ih

∂nupr (t )
∂t

=∑
Cqr  Fupr ,upr −qr ,qr (t ) + Fupr*−qr ,upr ,− qr (t ) − Fupr ,upr +qr ,qr (t ) − Fupr*,upr +qr ,−qr (t ) 
r


q

+
Với Fupur1 ,upu2r ,qr (t ) = aupur1 aupu2rbqr

ih

∂Fupur,upur ,qr (t )
1

t

=  au+puraupurbqr ; H 
 1 2


2

∂t

(4)

t

Số hạng thứ nhất:

r e ur  + 
 +
 uu
uur auur br , ∑ ε
a
p
 p p q upur  3 − hc A(t ) ÷aupur aupur 




1

2

3

=

3

3

t

uu

r
r ur 
eh uur uu
 uur
= ε ( p2 ) − ε ( p1 ) −
p2 − p1 A(t )  Fupur,upur ,b (t )
m*c



(

)

1

2

r
q

Số hạng thứ hai.

 +

+
uur auur br , ∑ hω r buu
r br
a
q q q 

 p p q quur


1

2

1

1

1

1

= hωqr aup+ur aupur bqr
1

2

t

t

=∑
hωqr au+puraupur bqr ; bqu+urbqr 
uu
r
q
1

1

)

=

2

1

1

= hωqr Fupur,upur ,b (t )
1

r
q

2

Số hạng thứ ba:

(

 au+urauurbr  , ∑ Cuurau+r uuraur buur + b +uur
 p1 p2 q  quur,upr q1 p + q1 p q1 − q1

t

1

∑C
r ur
q, p

(

)

 au+urauurbr , au+r uuraur buur + b +uur 
 p1 p2 q p +q1 p q1 − q1 

r
q

(

)

 au+urauurbr , au+r r aur br + b +r  =
 p p q p+q p q −q 
1

2

= δ upur , upur + quurau+puraupr bqr bqr − δ upur ,upr + quuraup+urauprbqr b−+quur
2

3

−δ upur, upr a
1

1

1

2

1

a b b + δ upur,upr a

+
ur uu
r uur uu
r r
p + q1 p2 q1 q

1

1

1

1

a b b − δ qr ,− uqurau+puraupr aupur

+
+
ur uu
r uur
uu
r r
p + q1 p2 − q1 q

1

Đặt vào số hạng thứ ba ta được:

(

 au+pur aupurbqr  , ∑ Cquurau+pr + quuraupr bquur + b−+quur

 quur,upr
1

2

1

1

1

(3)

1

1

)

=
t

1

2

1

t


(

=∑
Cquur au+puraupur − qr bqr bquur + b−+quur
uur
1

q1

1

2

1

1

1

)

t

(

)

−∑
Cquur au+pur+ qr aupur bquur + b−+quur bqr
uur
1

q1

1

1

2

1

1

t

Thay các số hạng vào (4) ta được phương trình:

ih

∂Fupur,upur ,qr (t )
1

uu
r he uur uu
r ur
 uur

= ε ( p2 ) − ε ( p1 ) −
p2 − p1 A(t ) + hωqr  Fupur,upur ,qr (t ) +
mc

 1 2

(

2

∂t

+∑
Cquur a a
uu

r
1

q1

ih

+
uur uur r r
p1 p2 − q1 q

∂Fupur,upur ,qr (t )
1

2

∂t

(

+
uu
r
− q1

b bquur + b
1

)

)

−∑
Cquur a
uu
r
q1

t

1

+
uur r uur
p1 + q1 p2

a

(b

uu
r
q1

+
uu
r
− q1

+b

)b

(5)

r
q
t

uu
r he uur uu
r ur
 uur

= ε ( p2 ) − ε ( p1 ) −
p2 − p1 A(t ) + hωqr  Fupur,upur ,qr (t )
mc



(

)

1

2

Sử dụng điều kiện đoạn nhiệt tương tác ln Fp1 , p 2 , q (t = −∞) = 0

uu
r he uur uu
r ur
 t i  uur
 
F o upur,upur ,qr (t ) = exp  ∫ −  ε ( p2 ) − ε ( p1 ) −
p2 − p1 A(t1 ) + hωqr ÷dt1 
mc
 
 −∞ h 
1

ih

(

2

∂Fupur,upur ,qr (t )
1

2

∂t

= M (t ).F o upur,upur ,qr (t )
1

2

i
Cquur au+puraupur −qr bqr bquur + b−+uqur
∫−∞ h ∑
uu
r
1
1
2
1
1
1
 q1

(

t

⇒ M (t ) =

)

)

t


+
+
uu
r auur r auur buu

r + b uu
r br
−∑
C

q1
p1 + q1 p2
q1
− q1
q
uu
r
q1

t

t
uu
r he uur uu
r ur
 2 i  uur
 
× exp  ∫  ε ( p2 ) − ε ( p1 ) −
p2 − p1 A(t1 ) + hωqr ÷dt1  dt2
mc
 
 −∞ h 

(

)

⇒ Fupur,upur ,qr (t ) = F o upur,upur ,qr (t ).M (t )
1

2

1

2

uu
r he uur uu
r ur

i  uur
 
= exp  ∫ −  ε ( p2 ) − ε ( p1 ) −
p2 − p1 A(t1 ) + hωqr ÷dt1 
mc
 
 −∞ h 
t

(

)

(

)


i
Cquur au+pur+ qr aupur bquur + b−+quur bqr − ∑
Cquur au+puraupur −qr bqr bquur + b−+uqur
∑
uu
r
uu
r
1
1
2
1
1
1
1
2
1
1
1
1
h  q1
q1
−∞

(

t

×∫

)

(

)



tt 


uu
r he uur uu
r ur
 t2 i  uur
 
× exp  ∫  ε ( p2 ) − ε ( p1 ) −
p2 − p1 A(t1 ) + hωqr ÷dt1  dt2
mc
 
 −∞ h

(

)

(

t

)

i
  u+ur uur uur uur
+
uu
r
Fupur, upur ,qr (t ) = ∑
C
  a p1 +q1 a p2 bq1 + b− quur1 bqr
∫
q
uu
r
1 2
1
h q1
−∞  

t2

(

− au+puraupur −quurbqr bquur + b−+quur
1

2

1

1

1

)


×
t2 

t u
u
r uur ur
i

ie

× exp  ε upur − ε upur − hωqr ( t − t2 ) −
p
−
p
A
(
t
)
dt


 dt 2
1
2
1
1
∫
1
2
h
mc
t2

 


(

)

(

+
Toán tử số hạt của điện tử: nupr (t ) = aupr aupr

)

t

N qr = bqr+bqr

Toán tử số hạt của phonon:

t

r
r
Do tính đối xứng mạng tinh thể nên q = −q và ωqr = ω−qr

Bỏ qua số hạng chứa bqr bqr

t

+ +
và bqr bqr

(6)

N qr + 1 = bqr bqr+

t

t

Thay (6) vào (3) ta đưa vào toán tử số hạt của điện tử và phonon, t2 → t ta được:
∂nur (t )
1
p
2
ih
=

∑
r |Cqr | ×
2
∂t
h q
t


× ∫ dt '  nur r (t ') N r − nur (t ')( N r + 1)  ×
q
p
q

−∞   p − q
i 


ie t r ur
× exp   ε ur − ε ur r − hωr ÷( t − t ' ) −
∫ q A(t1 )dt1  −
mc t '
p−q
q
 h  p


i 





ie t rur
−  nur (t ') N r − nur r (t ')( N r + 1)  × exp   ε ur − ε ur r + hω r ÷( t − t ' ) −
∫ q A(t1 )dt1  −
mc t '
q
p−q
q
p−q
−q 
 p

 h  p

i 




ie t r ur
−  nur (t ') N r − nur r (t ')( N r + 1)  × exp   ε ur r − ε ur − hω r ÷( t − t ' ) −
q
A
(
t
)
dt
+
∫
1 1

mc t '
q
p+q
q
p
q
 p

 h  p + q



i 
 



ie t r ur
+  nur r (t ') N r − nur (t ')( N r + 1)  × exp   ε ur r − ε ur − hω r ÷( t − t ' ) −
∫ q A(t1 )dt1   (7)
mc t '
q
p
q
p
−q 
 p+q

 h  p + q
 

ur
Ta xét thế véc tơ của trường điện từ trong trường hợp tồn tại hai sóng điện từ E1 (t ) và

ur
E 2 (t )

ur
ur
ur
ur
ur
ur
1 ∂ A(t )
E (t ) = E1 (t ) + E 2 (t ) = E 01 sin ( Ω1t ) + E 02 sin ( Ω 2t ) = −
c ∂t
ur
ur
ur
E 01c
E 02c
cos ( Ω1t ) +
cos ( Ω 2t )
Suy ra: A(t ) =
Ω1
Ω2
uuu
rr
uuur r
 ieEo1 q


 ie t r ur

ieEo 2 q
exp 
q A(t1 ) dt1 ÷ = exp 
sin Ω1t '− sin Ω1t ) +
sin Ω 2t '− sin Ω 2t ) 
2 (
2 (
∫
mΩ 2
 mc t '

 mΩ1

uuu
rr
uuu
rr
+∞
 eE q   eE q 
= ∑ J l  o1 2 ÷J s  o12 ÷exp(isΩ1t ')exp( −il Ω1t ) ×
l , s =−∞
 mΩ1   mΩ 2 
uuur r
uuur r
+∞
 eEo 2 q   eEo 2 q 
× ∑ Jf 

J
exp(if Ω 2t ') exp(−imΩ 2t )
2 ÷ m
2 ÷
m
Ω
m
Ω
f , m =−∞
1
2

 


uuu
r
ur eE
a1 = o12 ;
mΩ1
Đặt:
uuur thì:
uu
r eE
a2 = o 22
mΩ 2

 ie t r ur

+∞

uu
rr
uu
rr
uur r
uur r
÷=
exp 
q
A
(
t
)
dt
J a q J a q J a q J a q ×
∑
∫
1 1÷
l 1
s 1
m 2
f 2
 mc
t'

 l , s, m, f = −∞

( ) ( ) ( ) ( )

{

} {

}

× exp i ( s − l )Ω + (m − f )Ω  t exp −i ( sΩ + mΩ )(t − t ')

1
2
1
2


ih

∂nupr (t )
∂t

=

+∞
urr
ur r
uu
rr
uu
rr
1
2
r |

|
C
J
a
q
J
a
q
J
a
q
J
a
∑
∑ l 1 s 1 m 2 f 2q
h2 qr q l ,s ,m, f =−∞

( ) ( ) ( ) ( )

× exp { i [ ( s − l )Ω1 + (m − f )Ω 2 ] t} ×

∫ dt '{ n
t

−∞

ur r
p −q

(

(t ') N qr − nupr (t ')( N qr + 1) 

)

i

× exp  ε upr − ε upr − qr − hωqr − shΩ1 − mhΩ 2 + ihδ ( t − t ')  −
h

i

−  nupr (t ') N qr − nupr − qr (t ')( N qr + 1)  × exp  ε upr − ε upr −qr + hω− qr − shΩ1 − mhΩ 2 + ihδ ( t − t ' )  −
h


(

)

(

) ( t − t ')  +

(

) ( t − t ')  

i
−  nupr (t ') N qr − nupr + qr (t ')( N qr + 1)  × exp  ε upr + qr − ε upr − hωqr − shΩ1 − mhΩ 2 + ihδ



h

i
+  nupr + qr (t ') N qr − nupr (t ')( N qr + 1)  × exp  ε upr + qr − ε upr − hω− qr − shΩ1 − mhΩ 2 + ihδ


h

(8)

là phương trình động lượng tử cho hàm phân bố không cân bằng của điện tử trong bán dẫn
khối

khi có mặt hai song điện

t

K2 =

∫ exp { i [ (s − l )Ω

1

−∞

từ

E 1 (t )

và

E 2 (t ) .

+ (m − f )Ω 2 ] t '} dt ' =

exp { i [ ( s − l )Ω1 + (m − f )Ω 2 ] t}
i [ ( s − l )Ω1 + (m − f )Ω 2 ]

t

∫ exp ( ε

)

i

− ε upr −qr − hωqr − shΩ1 − mhΩ 2 + ihδ  ( t − t ' )  dt '
h

−∞
ih
=
ε upr − ε upr − qr − hωqr − shΩ1 − mhΩ 2 + ihδ
K1 =

ur
p

Áp

dụng:

n p (t ) ≈ n p


nupr (t ) =
×

+∞
ur r
ur r
uu
rr
uu
rr
1
2
r |
|
C
J
a
q
J
a
q
J
a

q
J
a
∑
l
1
s
1
m
2
f
2q ×
2 ∑
h qr q l , s ,m , f =−∞

( ) ( ) ( ) ( )

exp { i [ ( s − l )Ω1 + (m − f )Ω 2 ] t}
i [ ( s − l )Ω1 + ( m − f )Ω 2 ]

×


 n upr −qr N r − n upr ( N r + 1) 
 n upr N r − n upr − qr ( N r + 1) 
(9)

q
q
q

q




×
−
−
 ε upr − ε upr − qr − hωqr − shΩ1 − mhΩ 2 + ihδ ε upr − ε upr −qr + hω− qr − shΩ1 − mhΩ 2 + ihδ

 n upr N r − n upr + qr ( N r + 1) 
 n upr + qr N r − n upr ( N r + 1) 

q
q
q
q




−
+

ε upr + qr − ε upr − hωqr − shΩ1 − mhΩ 2 + ihδ ε upr + qr − ε upr − hω− qr − shΩ1 − mhΩ 2 + ihδ 


Hay:

ur

ur
− e 2 no ur
−e 2
eh ur ur
eh ur ur
u
r
J (t ) =
A
(
t
)
n
(
t
)
+
pn
(
t
)
=
A
(
t
)
+
∑
∑ p
∑ pn p (t )

p
m * c upr
m * upr
m*c
m * upr

(10)
ur

Do số hạt electron = tổng số electron theo từng trạng thái có xung lượng p nên:

∑n
ur
p

ur
p

(t ) = no

m* : khối lượng hiệu dụng của electron.
Ta xét số hạng thứ hai của biểu thức (10) :
+∞
ur r
ur r
uu
rr
uu
rr
eh ur

e
2
ur (t ) =
r |
pn
|
C
J
a
q
J
a
q
J
a
q
J
a
∑ p
∑
∑ l 1 s 1 m 2 f 2q ×
m * upr
m * qr q l , s ,m , f =−∞

( ) ( ) ( ) ( )

×

exp { i [ ( s − l )Ω1 + (m − f )Ω 2 ] t}
i [ ( s − l )Ω1 + (m − f )Ω 2 ]

×

 n upr −qr N r − n upr ( N r + 1) 
 n upr N r − n upr −qr ( N r + 1) 
ur 

q
q
q
q




×∑
p
−
−
ur
ε upr − ε upr −qr − hωqr − shΩ1 − mhΩ 2 + ihδ ε upr − ε upr −qr + hω− qr − shΩ1 − mhΩ 2 + ihδ
p



 n upr N r − n upr + qr ( N r + 1) 
 n upr + qr N r − n upr ( N r + 1) 

q
q

q
q




−
+
 (11)
ε upr + qr − ε upr − hωqr − shΩ1 − mhΩ 2 + ihδ ε upr + qr − ε upr − hω− qr − shΩ1 − mhΩ 2 + ihδ 


k = l − s → l = k + s
Đặt 
r = l − m → f = r + m

k : −∞ ÷ +∞
ta có:
r : −∞ ÷ +∞


+∞
ur r
ur r
uu
rr
uu
rr
eh ur ur
e

2
r |
pn
(
t
)
=
|
C
J
a
q
J
a
q
J
a
q
J
a
∑
∑
∑
k
+
s
1
s
1
m

2
r
+
m
2q ×
p
q
m * upr
m * qr
l , s , m , f =−∞

( ) ( ) ( )

×

exp { −i [ k Ω1 + rΩ 2 ] t}
i [ k Ω1 + r Ω 2 ]

( )

×

 n upr − qr N r − n upr ( N r + 1) 
 n upr N r − n upr − qr ( N r + 1) 
ur 
q
q
q
q





×∑
p
−
−

ur
u
r
u
r
r
r
u
r
u
r
r
r
ε
−
ε
−
h
ω
−
s
h

Ω
−
m
h
Ω
+
i
h
δ
ε
−
ε
+
h
ω
−
s
h
Ω
−
m
h
Ω
+
i
h
δ
p
1
2

1
2
 p p − q
q
p
p−q
−q

 n upr N r − n upr + qr ( N r + 1) 
 n upr + qr N r − n upr ( N r + 1) 
q
q
q
q





−
+

ε upr + qr − ε upr − hω qr − shΩ1 − mhΩ 2 + ihδ ε upr + qr − ε upr − hω − qr − shΩ1 − mhΩ 2 + ihδ 


Thực hiện các bước chuyển đổi: q → − q, m → − m đối với số hạng thứ 1 và thứ 2 và sử
µ
dụng tính chất hàm Bessel J µ (− x) = J −µ ( x) = (−1) J µ ( x)

+ Số hạng 1:

+∞
uuurr
uuur r
uuurr
uuurr
e
2
r |
|
C
J
−
a
q
J
−
a
q
J
−
a
q
J
−
∑
∑ k −s 1 − s 1 − m 2 r −m a2 q ×
m * qr q l , s , m, f =−∞

(

×
=
×

) (

)

(

)

(

)

exp { −i [ k Ω1 + r Ω 2 ] t}
i [ k Ω1 + rΩ2 ]

+∞
e
2
r |
|
C
∑
∑
m * qr q l , s , m, f =−∞

 ur

 n upr + qr N r − n upr ( N r + 1) 

q
q


× ∑
p
ur
ur − ε ur r − hω r − s hΩ + mhΩ + i hδ
ε
1
2
 p
p
p+q
q
ur r
ur r
uu
rr
uu
rr
J s −k a1 q J s a1 q J m a2 q J m −r a2 q ×

exp { −i [ k Ω1 + r Ω 2 ] t}
i [ k Ω1 + rΩ2 ]

( ) ( ) ( )

( )



 n upr + qr N r − n upr ( N r + 1) 
ur

q
q



× − ∑
p

ur
 p ε upr + qr − ε upr + hωqr + shΩ1 − mhΩ 2 − ihδ 

+ Số hạng 2 :
+∞
urr
urr
uurr
uurr exp { − i [ k Ω 1 + rΩ 2 ] t}
e
2
r |
|
C
J

a
q
J
a
q
J
a
q
J
a
∑
∑ k + s 1 s 1 m 2 r + m 2 q × i [ k Ω + rΩ ]
m * qr q l ,s ,m, f =−∞
1
2

( ) ( ) ( )

( )


 n upr N r − n upr − qr ( N r + 1) 
ur 
q
q



×∑
p

−


ur
p
 ε upr − ε upr − qr + hω − qr − shΩ1 − mhΩ 2 + ihδ 

+∞
urr
uuurr
uuurr
uuurr exp { − i [ k Ω 1 + rΩ 2 ] t}
e
2
r
=
|
C
|
J
a
q
J
−
a
q
J
−
a
q

J
−
a2 q ×
×
∑
∑
k
−
s
1
−
s
1
−
m
2
r
−
m
m * qr q l , s ,m, f =−∞
i [ k Ω1 + rΩ 2 ]

( ) (

) (


 n upr N r − n upr + qr ( N r + 1) 
ur 
q

q



×∑
p

ur
p
 ε upr + qr − ε upr − hω qr − shΩ 1 − mhΩ 2 − ihδ 

)

(

)


+ Số hạng 3 : giữ nguyên
+ Số hạng 4 : giữ nguyên.
Khi đó (11) có dạng :
+∞
exp { −i [ k Ω1 + rΩ 2 ] t}
eh ur
e
2
ur (t ) =
r |
pn
|

C
×
∑
∑
∑
p
q
m * upr
m * qr
i [ k Ω1 + r Ω 2 ]
k , s , m , r =−∞
ur ur r
×∑
p  n p + q N qr − n upr ( N qr + 1)  ×
ur
p
urr
ur r
uu
rr
uu
rr
ur r
ur r
uu
rr
uu
rr
 J s − k a1 q J s a1 q J m a2 q J m −r a2 q
J k + s a1 q J s a1 q J m a2 q J r + m a2 q

×
−
 ε upr + qr − ε upr + hωqr − shΩ1 − mhΩ 2 − ihδ ε upr + qr − ε upr + hωqr − shΩ1 − mhΩ 2 + ihδ

ur
+ p  n upr + qr N qr − n upr ( N qr + 1)  ×
ur r
ur r
uu
rr
uu
rr
ur r
ur r
uu
rr
uu
rr
 J k + s a1 q J s a1 q J m a2 q J r + m a2 q
J s −k a1 q J s a1 q J m a2 q J m − r a2 q
×
−
 ε upr + qr − ε upr + hωqr − shΩ1 − mhΩ 2 + ihδ ε upr + qr − ε upr + hωqr − shΩ1 − mhΩ 2 − ihδ


{

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )

( )  +



(12)

( )  




Rút gọn hai số hạng triệt tiêu nhau trong ngoặc vuông, biểu thức (12) chỉ còn
+∞
ur exp { −i [ k Ω1 + rΩ 2 ] t}
eh ur ur
e
2
r
pn
(
t

)
=
|
C
|
p
∑
∑
∑
p
m * upr
m * qr , upr q k ,s ,m ,r =−∞
[ k Ω1 + r Ω2 ]
ur r
uu
rr
× J s a1 q J m a2 q  n upr + qr N qr − n upr ( N qr + 1) 

( ) ( )

ur r
uu
rr
ur r
uu
rr


J s −k a1 q J m−r a2 q
J k + s a1 q J r + m a2 q


 (13)
×
−
 ε upr + qr − ε upr + hωqr − shΩ1 − mhΩ 2 − ihδ ε upr + qr − ε upr + hωqr − shΩ1 − mhΩ 2 + ihδ 



( )

( )

( )

( )

Áp dụng : exp { −i [ k Ω1 + r Ω 2 ] t} = cos [ ( k Ω1 + rΩ 2 )t ] − i sin [ ( k Ω1 + rΩ 2 )t ]
+∞
r ur r
uu
rr
eh ur ur
e
2
ur
 ur r r

r
r
pn

(
t
)
=
|
C
|
qJ
a
q
J
a
∑
∑
∑
s
1
m
2 q  n p + q N q − n p ( N q + 1)  ×
p
q
ur
r ur
m* p
m * q, p
k , s ,m ,r =−∞
ur r
uu
rr
ur r

uu
rr
×{  J k + s a1 q J r + m a2 q − J s − k a1 q J m− r a2 q  ×


cos [ (k Ω1 + r Ω 2 )t ]
ρ
×
+
[ k Ω1 + rΩ2 ] ε upr +qr − ε upr + hωqr − shΩ1 − mhΩ2

( ) ( )

( )

+ ( −i )

( )

( )

( )

ur r
uu
rr
ur r
uu
rr
sin [ (k Ω1 + rΩ2 )t ]

 J k + s a1 q J r + m a2 q + J s −k a1 q J m−r a2 q  ×

[ k Ω1 + rΩ2 ] 

( )

(

( )

×(−iπ )δ ε upr + qr − ε upr + hωqr − shΩ1 − mhΩ 2

)





( )

( )


Suy ra:

+∞
r
eh ur
e
2

u
r
r
pn
(
t
)
=
|
C
|
q
∑
∑
∑
r
r
m* u
m * qr , u
p p
p q k , s, m, r = −∞
ur
 ur r

 n p + q N r − n p ( N r + 1) 
rr
uurr
q
q
 × J auu

×
q J a q ×
s 1
m 2
 k Ω + rΩ 
 1
2

( ) ( )


ρ cos (k Ω + r Ω )t 
uu
rr
uur r
uu
rr
uur r


1
2 

×  J
a q J
a q −J
a q J
a q
−
k+s 1

r+m 2
s−k 1
m − r 2  ε ur r − ε ur + hω r − shΩ − mhΩ


1
2
p+q
p
q

uu
rr
uur r
uu
rr
uur r
−  J
a q J
a q +J
a q J
a q  π sin (k Ω + rΩ )t  ×
r+m 2
s−k 1
m−r 2 

1
2 
 k+s 1



×δ  ε ur r − ε ur + hω r − shΩ − mhΩ ÷ (14)
1
2 
p
q
 p+q

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

Thay kết quả này vào biểu thức mật độ dòng (10) ta thu được:
ur
 ur r

r
r

n
N
−
n
(
N
+
1)
2
p
+
q
p

− e n ur
+∞
ur
r 
q
q

o A(t ) + e ∑ |C r |2
J (t ) =
q
∑
r
u
r
mc
m * q, p q k , s, m, r = −∞

 k Ω + rΩ 
2
 1
uurr
uurr
×J a q J a q ×
s 1 m 2

ρ cos  (k Ω + rΩ )t 
uurr
uur r
uurr
uurr
(1

2 
 1

×  J
aq J
a q −J
aq J
a q 
−
k+s 1 r+m 2
s−k 1
m − r 2  ε ur r − ε ur + hω r − shΩ − mhΩ

1
2

p+q p
q

uurr
uurr
uurr
uurr
−  J
aq J
a q +J
aq J
a q  π sin  (k Ω + rΩ )t  ×
s−k 1 m−r 2 
 1
2 
 k+s 1 r+m 2

( ) ( )
( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )


 
×δ  ε ur r − ε ur + hω r − shΩ − mhΩ ÷ 
1
2 
p
q
 p+q
5)
2.2. Tính hệ số hấp thụ α .

Ta có hệ số hấp thụ phi tuyến song điện từ yếu bởi điện tử trong bán dẫn khối với giả
thiết Ω 2 < Ω1 như sau: α =
Thay (15) vào (16) ta được:

ur ur
8π
J (t ) E o 2 sin Ω 2t
c χ ∞ Eo22

t

(16)





2
ur
eh ur
 −e no ur ur

α=
A(t ) E o 2 sin Ω t +
pnur (t ) E o 2 sin Ω t 
∑

u
r
2
2
mc
m p p
c χ E2 

∞ o2 
t
t
8π

uuu
r
uuur
ur
Eo1c
E c

cos Ω1t + o 2 cos Ω 2t
Với thế vectơ trường sóng điện từ: A(t ) =
Ω1
Ω2
−e 2n ur ur
o A(t ) E sin Ω t
o2
2
mc

uuur
uuuu
r
ur
−e 2n 1 T  E c
E c
o
o1 cos Ω t + o2 cos Ω t ÷E sin Ω tdt

=
∫
1
2 ÷ o2
2 Tron
mc T o  Ω
Ω
1
2



t

2π
2π
và T2 =
là chu kỳ của hai sóng điện từ. T là bội chung nhỏ nhất
Ω2
Ω
1

g đó: T1 =
của T1 và T2.

Sử dụng tích phân: ∫ sin( ax) cos(bx) dx =

− e2 no ur ur
A(t ) E o 2 sin Ω 2t
Suy ra:
mc

cos( a + b) x cos( a − b) x
+
với a 2 ≠ b 2
2(a + b)
2(a − b)

=0

(18)

t

Ta tính số hạng thứ hai.
r
u
r
eh u
r (t ) E o 2 sin Ω t
pnu
∑
u
r
2
m p
p

ur

=

πeE o 2
m

t

+∞
r
2
r |
∑

r∑
u
r q|Cq
k , s, m, r = −∞
q, p

r r
u
r
 u

n p + q N r − n p ( N r +1) 
uu
rr
uur r
q
q

 ×J a
q J
a q
s 1
m 2
k Ω + r Ω 
 1
2
uu
rr
uur r
uu

rr
uur r
×J
a q J
a q +J
a q J
a q ×

r +m 2
s −k 1
m −r 2 
 k +s 1

T

1
r r −εu
r + hωr − shΩ − mhΩ ÷ ∫ sin ( k Ω + r Ω )t sinΩ tdt
δ εu
1
2 T
1
2 
2

p
q
 p +q
0

(

(

)

(

)

)

)

(

(

0
T



Lưu ý: ∫ sin ( k Ω1 + rΩ2 )t  sinΩ2tdt =  T

0
2

Suy ra:

(17)

)

(

)

khi k Ω + rΩ ≠ Ω
1
2
2
khi

k Ω + rΩ = Ω
1
2
2


ur
r
π eE o2
2 +∞
=
∑ur q|C r |
∑
r
2mΩ q, p
q s, m = −∞

2
t
uu
rr
uur r
uu
rr
uurr
uu
rr
×J a q J a q  J
a q J
a q +J
a q
s 1
m 2  k + s 1
r +m 2
s−k 1
ur
eh ur
pnur (t ) E o 2 sin Ω t
∑
u
r
2
m p p

( ) ( )

( )

( )

ur
 ur r

n p + q N r − n p ( N r + 1)  ×
q
q



( ) J m − r ( a2 q )  ×
uur r



×δ  ε ur r − ε ur + hω r − shΩ − mhΩ ÷
1
2
p
q
 p+q

(19)
Với
k Ω1 + rΩ 2 = Ω 2

(20)

Thay (19) vao (16) ta được hệ số hấp thụ:
r
uu
rr
uurr
ur
 ur r

4π 2e
2 +∞
r
r
r
q
|
C
|
n
N
−
n
(
N
+
1)
J
a
q
J
a

q ×
∑
p
 p+q
 s 1
r∑ur
m
2
q
q
c χ mΩ E q, p q s, m = −∞ 

∞
2 o2
uu
rr
uur r
uu
rr
uur r
×J
a q J
a q +J
a q J
a q ∗
 k + s 1
r+m 2
s−k 1
m − r 2 

( ) ( )

α=

( )

( )

( )

( )



∗δ  ε ur r − ε ur + hω r − shΩ − mhΩ ÷
1
2
p
q
 p+q

Với
kΩ 1 + rΩ 2 = Ω 2

Từ biểu thức hàm Bessel:

uu
r r 2β + s + k
β


a
q
+∞
uu
rr
( −1)
1

÷
J
(a q ) = ∑
s+k 1

÷
β
!
Γ
(
s
+
k
+
β
+
1)
2
β =0


ur r k

ur r +∞ Γ( s + β + 1)
 a1 q 
=
J
(
a
÷ s 1 q) ∑
2
β = 0 Γ ( s + k + β + 1)


r r 2k uur r 2r
 uu
k
+
r
a
+∞
 1q ÷  a2 q ÷
2
Γ( s + β + 1)Γ(m + β + 1)
= uu
∑
rr k uur r r
 2 ÷  2 ÷ Γ( s + k + β + 1)Γ(m + r + β + 1) +
( a q ) ( a q ) β = 0 
 

1
2



+

uu
rr
uurr
Γ ( s + β + 1)Γ (m + β + 1) 
J
(
a
q
)
J
(
a
q)
Γ ( s − k + β + 1)Γ (m − r + β + 1)  s 1 m 2


Giới hạn gần đúng của hàm Bessel và sử dụng giả thiết Eo1 >> Eo 2 ta cho r=1;k=0 (thoả mãn
giả thiết kΩ 1 + rΩ 2 = Ω 2 ) ta được:
uur r
uur r
uu
rr
uu
rr
uur r
2m

J
(a q) + J
(a q )  J (a q ) = uur r J (a q ) J (a q )
m −1 2  s 1
 m +1 2
(a q) s 1 m 2
2
2
+∞
r
urr 2 uu
rr
2
4π 2e
2
m
Ω
2
ur r
ur
2


r
r
r
u
r
r
α=

q
|
C
|
n
N
−
n
(
N
+
1)
mJ
a
q
J
a
q ×
p
+
q
p
∑ q 
1
2
q
q
 s ,m∑
=−∞ E o 2 q
c χ ∞ mΩ 2 Eo 2 qr ,upr

s



×δ  ε ur r − ε ur + hω r − shΩ − mhΩ ÷
1
2
p
q
 p+q

( ) ( )
m

(21)

8π 2Ω

2
+∞
rr 2 uur r
ur
 ur r
 2 uu
2
r
r
r
α=
|

C
|
n
N
−
n
(
N
+
1)
mJ
a
q J
a q ×
∑
∑
p
 p+q

r ur
2
q
q
 s 1
c χ E 2 q, p s, m = −∞ q 
m
∞
o2

( ) ( )



×δ  ε ur r − ε ur + hω r − shΩ − mhΩ ÷
1
2
p
q
 p+q

(22)

Viết dãy theo k, l trong công thức (22) dễ thấy các thành phần ứng với sΩ1 + mΩ 2 = 0 tương
hỗ triệt tiêu. Trong trường hợp khi Ω1 , Ω 2 lớn so với năng lượng trung bình điện tử ( ε p ) thì
hàm δ trong (22) được viết lại là:
 q2



δ  ε ur r − ε ur + hω r − shΩ − mhΩ ÷ ≈ δ 
+ hω r − shΩ − mhΩ ÷
1
2
1
2÷
 2m
p
q
q
 p+q



1/ 2
Từ đó ta tìm được thứ tự của ( kΩ1, 2 ) theo các giá trị của q.

Sử dụng điều kiện tần số phonon

ω
<
<
εp
q

rút ra Ω1, 2 <

εp
với s là tốc độ sóng âm.
ms 2

Như vậy tổng theo p không còn phụ thuộc vào phần đối số của δ , ta thực hiện lấy tổng

∑n
p

p

(t ) = no

.

Xét tán xạ điện tử - phonon âm ta có: ωq = ωo và


2

Cqr =

k T
k T
ε o hq
N r +1 ≈ N r = B = B
và
hω
hv q
q
q
2 ρ vsV0
o
s

Từ (22) ta được:
+∞
ur r 2 uu
rr
4π 2Ω 2ε o k BT
2
ur r
ur
r
α=

mJ
a
q
J
a
∑
∑
1
2 q δ ε p + q − ε p + hω q − shΩ1 − mhΩ 2 (23)
c χ ∞ E 2 ρ vs2V0 qr s , m=−∞
s

( ) ( ) (

)

m

o2

Áp dụng gần đúng: Ω1, 2 ≈ ε p , ta có:
+∞
ur r 2 uu
r r  q2

4π 2Ω 2ε o k BT
2
α=
mJ a1 q J a2 q δ 
+ hωo − shΩ1 − mhΩ 2 ÷

∑
∑
2
2
r
c χ ∞ E ρ vs V0 q s , m=−∞
 2m

s

( ) ( )
m

(24)

o2

Xét trường hợp hấp thụ một photon của sóng điện từ yếu Ω 2 (m=1) và hạn chế gần đúng
bậc hai của hàm Bessel ta có:

x ∞ (−1) k x 2 k
J1 ( x) = ∑ 2 k
≈
2 k =0 2 k !(k + 1)!

uu
rr

uu
rr

uu
rr  a q    a q  
x  x2 
2
2
2
mJ
a
1
−

÷ ; ∑ m 2 q ≈  2 ÷ 1 +  2 ÷ 
2
8 m

  
 

( )

2

2

Thay vào (24) ta được:
4π 2 Ω2ε o k BT
α=
c χ ∞ E 2 ρ vs2V0
o2

+∞

∑∑

r ur
q , p s =−∞

uu
rr 2
uu
rr 2
 a2 q    a2 q   2 ur r  q 2

+ hωo − shΩ1 − mhΩ2 ÷

÷ 1 + 
÷  J a1 q δ 
 2m

 2    2  
s

( )

2
Hệ số α chỉ tồn tại các giá trị q và s thoả mãn: q + hω − shΩ − mhΩ = 0
o
1
2

2m
Suy ra:

 sΩ − ω 
q = 2m shΩ + mhΩ − hω = 2hmΩ  1 + 1 o ÷ .
1
2
o
2
÷
Ω

2 

(

)

Và lưu ý:
uuuu
rr 2
uuuu
rr 2
uur r 2
uur r 2


 eE q 
 a q    a q    eE q 
u

u
r
r

1
2 a q ≈  2 ÷ 1 +  2 ÷ =  o 2 ÷ cos 2 ϕ 1 +  o 2 ÷ cos 2 ϕ 
∑ mJ


m 2
2  mΩ2 ÷
 2 ÷   2 ÷   mΩ2 ÷
÷
÷


m

  
  
2 

2 



(

)

Đặt:

ν=

Ω1
; ς = 2mhΑΩ2
Ω2


suy ra:
2
 
8π 2Ω2ε k T hm∗  eE
sΩ − ω

2 o B
o 2 ÷ 1 + 1
o
α=

÷ 
2
2
2
Ω
c χ E ρv V  2mΩ ÷ 
2
∞
s 0 
2

o2


÷×
÷






ω


e2 E 2 h1 − o + sν ÷



÷
Ω

ω
+∞ 
1
o2 
 2
 2
2

4

o
× ∑ cos ϕ +
cos ϕ  J a ς 1 −
+ν cos β ÷
1
3

÷
2
Ω
4mΩ
 s
s = −∞ 
2

2







Lấy trung bình các phần tử ma trận trên các góc, ta thay thế:
ur r

 1 2  eEo q 
eEq
J2 
→ J 

y ÷dy
m mΩ 2 ÷ ∫ m  mΩ 2 ÷

 0


Suy ra:
2
  sΩ − ω 
8π 2Ω2ε k T hm∗  eE
 o 2 ÷ 1 + 1
2 o B
o ÷×
α=

÷ 
2
2
2
÷
Ω
c χ E ρ v V  2mΩ ÷ 
2 
∞
s 0 
2
o2




 ω




e 2 E 2 h1 − o + sν ÷

 +∞ 

÷
Ω
1 
ω
o2 

2
4
2
2

o

cos ϕ  ∫ J a ς 1 −
+ν s y ÷dy
 ∑ cos ϕ +
1
3

÷
Ω

0 s
4mΩ
 s = −∞ 
2


2










 ω

2
2
o



÷
e E h 1−
− sν
 


÷
Ω

1 
ω
+∞
o2 

2
2

4
2
o

+ ∑ cos ϕ +
cos ϕ  ∫ J a ς 1 −
− ν s y ÷dy 
÷ 
Ω
0 s  1
4mΩ3
s = −∞ 
2

 
2





Đây là biểu thức hệ số hấp thụ sóng điện từ yếu bởi điện tử trong bán dẫn khối khi có mặt
trường bức xạ Laser. Kết quả này được chúng tôi sử dụng để so sánh với các kết quả tính
toán hệ số hấp thụ sóng điện từ yếu bởi điện tử giam cầm trong siêu mạng pha tạp khi có
mặt trường bức xạ Laser thu được ở chương sau.


CHƯƠNG 2
PHƯƠNG TRÌNH ĐỘNG LƯỢNG TỬ VÀ BIỂU THỨC GIẢI TÍCH
CỦA HỆ SỐ HẤP THỤ SÓNG ĐIỆN TỪ YẾU BỞI ĐIỆN TỬ GIAM
CẦM TRONG SIÊU MẠNG PHA TẠP DƯỚI ẢNH HƯỞNG SÓNG
ĐIỆN TỪ MẠNH CÓ KỂ ĐẾN HIỆU ỨNG GIAM CẦM CỦA
PHONON(TRƯỜNG HỢP TÁN XẠ ĐIỆN TỬ-PHONON QUANG)
1. Phương trình động lượng tử của điện tử giam cầm trong siêu mạng pha tạp khi có
mặt hai sóng.
Xét Hamiltonian của hệ điện tử-phonon trong siêu mạng pha tạp khi có mặt sóng điện từ
dưới dạng hình thức luận lượng tử hóa lần thứ hai:
H = H e + H oph + H e−oph

uu
r e r  +

r a uu
r
H e = ∑uu
r ε n  p⊥ − A(t ) ÷a uu
h
c
n
,

p
n
,
p


⊥
⊥
n, p
⊥

H oph = ∑
hωq bm+,quur bm ,quur
uur
⊥

m , q⊥

H e − oph = ∑
ur

⊥

∑r Cm,r I nm,n 'an+',upuur+ quur an,upuur (bm, ur + b
q

'

⊥

q⊥ n , n , p ⊥

⊥

⊥

q⊥

+

ur

m , − q⊥

)

uur

an+,upuur , an ,upu⊥ur : Toán tử sinh, hủy điện tử ở trạng thái n, p⊥ .
⊥

{a

ur
n, p ⊥

; a +' ur'

n , p⊥

} ={a

ur'
n , p⊥
'

; an+,upr

⊥

} =δ

n , n'

δ ur

ur'
p⊥ , p ⊥

; a + n, upr ; a +' ur'  = an, upr ; a ' ur'  = 0
n , p⊥ 
  ⊥ n , p ⊥ 
⊥


r
bm+ ,qr , bm,qr : Toán tử sinh hủy phonon ở trạng thái q