Tần số của dao động biến dạng

HOÀNG HẠNH PHƯƠNG
Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2

TẰN SỐ CỦA DAO ĐỘNG BIEN DẠNG

LUẬN VĂN THẠC sĩ KHOA HỌC VẬT CHẮT


HOÀNG HẠNH PHƯƠNG

TẦN SỐ CỦA DAO ĐỘNG BIẾN DẠNG

Chuyên ngành : Vật lí lí thuyết và yật lý toán Mã sổ
60440103

LUẬN VĂN THẠC sĩ KHOA HỌC VẬT CHẤT

:


Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới PGS.TS Nguyễn Thị Hà
Loan về sự quan tâm chỉ bảo, tận tình hướng dẫn của cô trong suốt quá trình học tập
đến hoàn thiện đoạn văn này. Chính sự quan tâm tận tình chỉ bảo của cô đã tạo động
lực cho em thêm niềm tin, sự cố gắng để thực hiện luận văn này và mong muốn có sự
LỜI CẢM
phát triển tiếp theo.
Em xin trân trọng cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa, các thầy giáo, cô giáo Khoa
Vật Lí - Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã tận tình giảng dạy, quan tâm chỉ bảo
em trong suốt quá trình học tập và hoàn thiện luận văn này.
Tôi xin chân thành cảm ơn tới gia đình, bạn bè và đồng nghiệp đã luôn sát

cánh bên tôi trong suốt thời gian học tập và nghiên cứu để hoàn thành luận văn này.

Hà Nội, tháng 7 năm 2015
Học viên

Hoàng Hạnh Phương


Tôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi.
Trong quá trình nghiên cứu, tôi đã kế thừa những thành quả nghiên cứu của
các nhà khoa học, nhà nghiên cứu với sự trân trọng và lòng biết ơn sâu sắc nhất.
Những vấn đề trình bày trong luận văn là sự tìm hiểu của riêng tôi và không
LỜI CẢM
trùng lặp vói luận văn khác.

Hà Nội, tháng 7 năm 2015
Học viên

Hoàng Hạnh Phương


MỤC LỤC


6
MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài
Để nghiên cứu các hệ vật lý thực người ta thường dùng mô hình lượng tử là
dao động lượng tử. Mô hình này được xem là các mô hình gần đúng của chuyển động

của các hệ vật lý thực.
Vài chục năm gần đây nhiều nhà vật lý trong nước và trên thế giới đã mở rộng
hình thức luận dao động tử điều hòa thành hình thức luận dao động tử biến dạng để
nghiên cứu các hệ vật lý thực vói một hy vọng rằng cho các kết quả gần vói thực
nghiệm hơn khi nghiên cứu hệ vật lý bằng hình thức luận dao động tử điều hòa.
Gần đây nhiều nhà vật lý quan tâm nghiên cứu nhóm lượng tử, đại số lượng tử
[3, 4, 5] dựa trên hình thức luận dao động tử biến dạng bởi chúng liên quan đến nhiều
vấn đề trong nghiên cứu các mô hình vật lý, trong quang lượng tử, trong vật chất đông
đặc.
Dao động biến dạng là tổng quát hơn dao động chưa biến dạng. Dao động
chưa biến dạng chỉ là một trường hợp riêng của dao động biến dạng khi thông số biến
dạng tiến đến một giá trị xác định nào đó [6],
Dao động tử biến dạng có thể xem như dao động phi tuyến vói tần số phụ
thuộc vào biên độ. Có nhiều kiểu dao động biến dạng, mỗi kiểu dao động biến dạng
có một tần số dao động khác nhau đặc trưng cho kiểu biến dạng đó. Biết được tần số
của dao động biến dạng sẽ biết được các tính chất của dao động biến dạng. Từ đó mở
đường cho việc nghiên cứu các ứng dụng của dao động tử biến dạng.
Trong luận văn này tôi nghiên cứu tần số của dao động biến dạng và chỉ ra tính
chất phi tuyến của các dao động biến dạng.

2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu tần số của dao động tử biến dạng.


7

3. Nhiệm vụ nghiên cứu
-

Nghiên cứu tần số của dao động tử biến dạng q boson.

-

Nghiên cứu tần số của dao động tử biến dạng q Fermion.

4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
-

Nghiên cứu dao động biến dạng q boson, tần số của dao động biến dạng q boson.

-

Nghiên cứu dao động biến dạng q Fermion, tần số của dao động biến dạng q Fermion.

5. Phương pháp nghiên cứu
-

Dùng phương pháp nghiên cứu của vật lý lý thuyết và vật lý toán.

-

Dùng phương pháp nghiên cứu của nhóm đối xứng lượng tử và dao động lượng tử.

-

Dùng phương pháp nghiên cứu của vật lý thống kê và cơ lượng tử.

6. Dự kiến đóng góp của đề tài
Viết tổng quan về dao động lượng tử đưa ra cách tìm tần số của dao động tử,
lượng tử làm cơ sở cho việc nghiên cứu các ứng dụng của dao động tử biến

dạng.


CHƯƠNG 1
TỒNG QUAN VÈ DAO ĐỘNG BIỂN DẠNG
Trong chưong này chúng tôi sẽ trình bày tổng quan về dao động tử điều hòa,
dao động tử biến dạng.[l]
1.1 Dao động tử điều hòa
Toán tử Hamiltonian của dao động tử điều hòa có dạng:
Để thuận tiện khi viết các công tithức ở đây cũng như sau này, thay cho các toán
(1.
2 mdùng
dx2 các toán tử tọa độ và xung lượng chính
tử tọa độ X và xung lượng - ihd/dx ta hãy
tắc mới:
X—» q = y[mx

(1.2)
Hệ thức giao hoán giữa p và q vẫn là:
—

U

h
= -ih
■Ỉ-. (1.
yjm

Biểu diễn qua p và q, Hamiltonian (1.1) có dạng Ta lại đặt:
(1.

(1.6)

(1.7)

(1.


và có
+P p)n

(1-8)

Các toán tử p và Ị5 xuất hiện ở ttên có thể biểu diễn ngược lại qua
p và q như sau:

hoán.
/?=

1
yíĩh

=

y )

(1.9
p>p

và do đó Hamiltonian (1.8) trở thành:
P=TỈn

(L10)

Dễ dàng chứng minh được
H =rằng các toán tử hên thỏa mãn hệ thức giao

(1.12)

Việc nghiên cứu phổ năng lượng của dao động tử điều hòa quy về bài toán tìm các
véctơ riêng của Hamiltonian (1.12), trong đó các toán tử Ị3 và
p thoản mãn hệ thức giao hoán (1.11). Đê làm điêu đó ta định nghĩa một toán tử mới
như sau:
N=pp
và có các hệ thức giao hoán giữa toán tử này với các toán tử Ị3 và p
N,p =-P

(1.13)


ha

Nß = ß [ N - 1)

(1.14

N,ß+
hay

N ß = ß Ịw + lj

(1.15)

Thật vậy, theo định nghĩa (1.13) và sử dụng hệ thức giao hoán (1.11)
N,ß^ = Nß-ßN
=ß ßß-ßß ß =-[ßß -ß ß}ß
=-ß

(1.16

chính là hệ thức (1.14), và

-ß+N
= ß ßß -ß ß ß = ß [ ß ß - ß ß \ ß

N,ß
+

(1.17 = ß
chính là hệ thức (1.15)
Ký hiệu r ì ỳ là véctơ riêng của toán tử N ứng với trị riêng n yv|n) = n ị n )
Từ phương trình (1.18) ta suy ra ngay
(1.18


v

n

(n N n)

>

(.n I n)

(1.20
(1.19)
(1.21
dr>
0

( n I n ) =+ ^\y/n (r)|2 dr > 0
{n\p p\
n)

Vậy ta có định lý sau.

( n \ p +( np I\ nn j) = ị\py/n{r)
Định lý 1. Các trị riêng của toán tử N là các sổ không âm Bây giờ ta xét véctơ trạng
thái thu được bằng cách tác dụng toán tử p n). Đó là véctơ trạng thái Jd\n)• Tác dụng
lê
lên vectơ trạng thái này toán
tử N và sử dụng công thức (1.14), ta có:
Nj3\n) = j3ịN-l)j\n)
= p(n-ì)\n) = ( n - \ ) p \ n )
Hệ thức vừa thu được có nghĩa p \ n ) cũng là một véctơ riêng của N nhưng ứng vói trị
riêng n - 1. Tương tự như vậy, dễ dàng chứng minh được
2

3.

răng p In ) , p ị n j , ... cũng là các véctơ riêng của N ứng với các trị riêng n - 2 , n
- 3, ...

(1.22


Tiếp theo ta xét véctơ trạng thái thu được bằng cách tác dụng toán tử ß lên n j .
Đó là véctơ trạng thái ß I n j . Tác dụng lên véctơ trạng thái này toán tử N và sử dụng
công thức (1.15), ta có:
A7?+|w) = /?+(w-l)|w)

= ß (rc-l)ln)
= {n-l)ß+\n)

(1.23)

Hệ thức trên có nghĩa ß I ï i j cũng là một véctơ riêng của N nhưng ứng với trị
riêng n + 1 . Tương tự như vậy, dễ dàng chứng minh được rằng
ß In j , ß \ n j , ... cũng là véctơ riêng của N ứng vói các trị riêng n + 2, n + 3, ... Ta
đi đến định lý sau.
Định lý 2. Neu là một véctơ riêng của toán tử N ứng với trị riêng
PIỵ
n thì, với p = 1, 2, 3, ..., ß I nj cũng là một véctơ riêng của tóa tử N ứng

+p \
vớỉ trị riêng n - p và ß n) cũng là một véctơ riêng của toán tử N ứng với trị riêng n + p
nếu chúng khác không.
Kết hợp hai định lý trên ta thấy rằng nếu n là một trị riêng của N thì
chuỗi các số không âm n - 1, n - 2, n - 3, ... cũng là các trị riêng của N. Vì chuỗi này
giảm dần nên phải tồn tại một số không âm nhỏ nhất nmin. Xét véctơ

hạng thái nmin ^ ứng với trị riêng nhỏ nhất nmin. Rõ ràng là:
y?lwmi„)=°
(1.24


vì, nếu /^Winin^o thì đó là véctơ trạng thái ứng với trị riêng
wmin — 1 < wmin 5 trái với giả thiết nmin là trị riêng nhỏ nhất.
1
Từ đẳng thức (1.24) ta suy ra:
ß y?Kin} = ^"min} = 0

(1-25)

Mặt khác, theo định nghĩa của nmin,
N\n ■ ) = n ■ Iw . \

(1.26)

So sánh hai phương trình trên ta đi đến định lý sau.
Định lý 3: Trị riêng nhỏ nhất của toán tử N là nmịn = 0 Véctơ trạng thái ứng
với ttị riêng nhỏ nhất của N được ký hiệu o). Véctơ trạng thái này thỏa mãn điều kiện.
/?|0) = 0

(1.27)

ß+10)

(1.28)

Khi đó:

tỷ lệ véctơ riêng |l) của N ứng với trị riêng n= 1,
p110)

(1.29)

tỷ lệ véctơ riêng 2y của N ứng với trị riêng n= 2,
/>)

(1.30)

tỷ lệ véctơ riêng n) của N ứng với trị riêng n. Vì toán tử Hamiltionian của dao
động tử điều hòa có dạng:
2/

/+n
H= ß ß + - h

h

(1.31)


Để tìm phổ năng lượng ta cần giải phương trình:
H\n)=E„\n)
Từ đó ta tìm được phổ năng lượng của dao động tử điều hòa có dạng:
t

E.

nê

o) là véctơ riêng của H ứng với trị riêng
E0 =
-h
0
2

(1.32)

|l) là véctơ riêng của H ứng vói trị riêng
1\
1+- h
^ 2)

(1.33)

n j \ ầ véctơ riêng của H ứng vói trị riêng
Vậy các hạng thái dừng của dao động từ điều hòa có năng
n + lượng
-T gián đoạn với các giá

n
=
trị cách đều: hiệu số£ năng
lượng
giữa hai hạng thái kề nhau (1.34)
2)

luôn luôn bằng cùng một lượng tử năng lượng h . Trạng thái 0^ có năng lượng thấp

nhất là E0. Trạng thái tiếp theo 11^ với năng lượng E Q + h c ó thể được xem là kết
quả của việc thêm một lượng tử năng lượng T i vào trạng thái 0^. Trạng thái tiếp theo
2^ với năng lượng
El+h

h

(1.35)

có thể được xem là kết quả của việc thêm một lượng tử năng lượng h vào trạng thái
11^, cũng có nghĩa là thêm hai lượng tử năng lượng h vào trạng


thái o), vv... Nếu ta lấy gốc tính năng lượng là Eo thì có thể coi o) là trạng thái không
chứa một lượng tử nào, 11) là trạng thái chứa một lượng tử, 2) là
trạng thái chứa hai lượng tử,..., n j là hạng thái chứa n lượng tử. Toán tử N có các trị
riêng nguyên không âm cách nhau một đơn vị được đoán nhận là toán tử số lượng tử
năng lượng. Toán tử ß khi tác dụng lên cho một trạng thái tỷ lệ với n — 1) và do đó
được đoán nhận là toán tử hủy lượng tử
+

1

năng lượng, Toán tử ß khi tác dụng lên n j cho một trạng thái tỷ lệ với « +1) và do đó
được đoán nhận là toán tử sinh lượng tử năng lượng. Nếu ta
>
r
tưởng tượng răng lượng tử năng lượng là một hạt thì yv sẽ là toán tử sô hạt,
+
ß sẽ là toán tử hủy hạt và ß sẽ là toán tử sinh hạt. Khi hạng thái năng lượng:

En = nh

n)
với
(1.36)

sẽ là trạng thái chứa n hạt. Đó là biểu diễn số hạt của dao động tử điều hòa. Trong Cơ
học lượng tử trạng thái dừng của một dao động tử điều hòa có thể coi là tập họp của
nhiều hạt, mỗi hạt có năng lượng ti . Khái niệm "hạt" đưa vào ở đây chỉ để cho tiện.
Thực chất đó chỉ là các "giả hạt", một khái niệm quan trọng và hữu hiệu khi nghiên
cứu các trạng thái kích thích trong Vật lý các môi trường đậm đặc.
Cuối cùng, ta hãy tính các hệ số tỷ lệ CCn,ßn và ỵn trong các hệ thức
!>.

n


1

+n ,

\n) = rß |0)

(1.37)

để sao cho các véctơ trạng thái là trực giao chuẩn hóa:
(m|n)=£™
(1.38)
Từ các biểu thức (1.19), (1.37) và sử dụng điều kiện trực giao chuẩn hóa vừa
(n ß ß

n = n^Ị
a

(w-ll w-l)
(1.39)

v
(nß ßnj
n =
= ( n \ ß ß -IIn ^ Ị

= \ ß n |2 ị n +11 n + 1) - ( n I
n)
= |Â| 2 - 1

(1.40)

Coi an , ßn là các số thực, ta rút ra:
an=4ñ,

ßn = v^ + ĩ
Ta cũng có:

+n .

+n-1 + .

ß |0) = >ơ ß |0)

.

(1.41)


+w—2

= MAJ

+n•

3
}

và do đó:
1 = (n I n)
= |r„|2<0| /?y»

(1.42
)

= |r„r»!
hay, coi Yn là thực, ta rút ra

r"~h.
Tóm lại, ta đã thiết lập được các công thức quan họng sau đây:
N ị n ) = n n)
JƠ|0>=0
f}\n) = \fn \n -l) (n > o) p |n) = yịn + 1 \n + l) (n > o)

.

Dao động tử biến dạng
Toán tử Harailtionian của dao động tử biến dạng:

1

H = ^— + U

2m

(1.44)

Trong đó p là toán tử xung lượng , u là toán tử thế năng của dao động tử biến dạng.
Nếu chọn hệ tọa độ suy rộng thích họp thì hoán tử Harailtionian của dao động có dạng:
(1.45)
+ CƠ
Trong đó X là tọa độ suy rộng, G) là tần số góc của dao động biến dạng. Xung lượng và tọa độ suy rộng của dao động
biến dạng có thể biến đổi qua toán tử sinh hủy dao động biến dạng a+ , a như sau:
(1.46)

(1.47)
Thay (1.46) và (1.47) vào (1.45) ta có thể biểu diễn Harailtionian của dao động tử biến dạng qua các toán tử sinh hủy
dao động biến động a+, a như sau:
Toán tử sinh hủy dao động biến dạng thỏa mãn các hệ thức giao hoán
sau:

+aa

n

f[aa+)-f[a+a) = 1

(1.48

(1.49)


Trong đó toán tử số dao động N = f (a+a) thỏa mãn:

Trong đó ký hiệu [«] là một hàm số của n sử dụng hệ thức (1.51) , (1.52) ta có:
n ) = a y Ị [ n + iị n +1)
a
= [n + l]|n)

1

(1.53)

a+a n ) = a+yjịnị n-1)
= [n]\n)

(1.54)

Từ phương trình (1.51), (1.52) ta có véctơ trạng thái riêng của toán tử số
N = f[a+a)

(1.55)

được biểu diễn bởi công thức

f[aa+)-f[a+a) = 1

(1.49)


(1.56)
ở đây sử dụng kí hiệu
H! = [n].[n-l]...[l]

2

(1.57)

Để tìm phổ năng lượng của dao động biến dạng ta đi giải phương trình:
H n) = En n)
(1.58)
(1.60)
Thay (1.48) và (1.56) vào phương trình (1.58) ta có:
Từ trên ta tìm được phổ năng lượng của dao động biến dạng
+ \ 1 , V
(ữ+)"
0)
Kết luân: n
a a ) j k { ‘n ) ị 0) = E " W
(1.59)
-]
+ [»]}
E
(1.61)

2
Ở chương
I xuất phát từ n~Hamiltonian
của dao động tử chúng tôi đã biểu diễn được toán tử Hamiltonian qua các toán tử
2 U"
sinh hủy dao động, đưa ra véctơ trạng thái là véctơ riêng của toán tử số dao động, giải phương trình hàm riêng trị riêng của
toán tử năng lượng để tìm phổ năng lượng của dao động tử. Phổ năng lượng của các dao động tử đều nhận các giá trị gián
đoạn. Đối vói dao động tử điều hòa phổ năng lượng có dạng ở công thức (1.12)

f[aa+)-f[a+a) = 1

(1.49)


Trong đó n là một số nhận những giá trị 0, 1, 2, 3, ... tức là các mức năng lượng cách đều nhau còn phổ năng lượng của
dao động tử biến dạng có dạng ở công thức (1.61) trong đó [n] là một hàm số nào đó của n (n nhận các giá trị 0,1, 2, 3 ...) tức
là các mức năng lượng không cách đều nhau.

2

f[aa+)-f[a+a) = 1

(1.49)


CHƯƠNG 2
TẦN SỐ CỦA DAO ĐỘNG BIỂN DẠNG q BOSON

Trong chưong này chúng tôi trình bày cụ thể về các hệ dao động tử biến dạng
cho hệ các hạt có spin nguyên đó là các hạt boson. Tìm tần số của dao động biến dạng

này.

2.1.

Dao động tử biến dạng q Boson
Toán tử sinh A+, toán tử hủy A dao động biến dạng thỏa mãn các hệ thức giao

hoán.
AA+ - qA+A =(2.q'N
Trong đó q là thông số biến dạng, N là toán tử số dao động thỏa mãn các hệ
thức giao hoán.
[N,A] = - A [N,A+] = A+
Đưa vào hệ các vectơ cơ sở trong không gian Hilbert là vectơ riêng của toán tử
dao động có dạng:
(2.4)

Trong đó: I o) là trạng thái nền (trạng thái chân không) Ở đây
sử dụng ký hiệu:
(2.5)
Và (2.6)
Ta tính môt số hê thức cần thiết sau:

(2.
2)


í A+)n
+

A A n) = A+A-^7==IO)

5

(2.7)

Giả sử rằng (A+A) có các trạng thái riêng m) ứng với trị riêng Ỵm
A+A\m)q=ỵm\m)q

(2.8)

Để xác định Ỵm ta cần cho (A+A) tác dụng lên trạng thái A + I m)
A+AA+1 m) = A+ [q~N + qA+Ảj m)
= A+q-m\m}q+A+qmỵm\rn)q = [qm
+qỵm)A+\m)q

(2.9)

Mặt khác ta có:
AA+1 m +1)? = ỵm+1 \m + ì)q

(2.10)

Với lưu ý rằng A + |m) ~ \ m + 1) nên so sánh (2.9) và (2.10) thì suy
ra
Ym+I=A+A|0) = 0 nên ỵ = 0

(2.11
)

Từ công thức truy hồi (2.10) và điều kiện (2.11) thì suy ra:
= g~”(l+?2 +g4 +-+g2”)
_2
=q

q-1
(m+l)
(m+l)
q-q

-

(2.13


r
hay viêt cách khác
m -m
ĩm= -!

q-q

(2.14)

Như vậy ta có phương trình
n) = q q \ n)
'q q - q ~ l 'q
A+A

(2.15)

Từ đây suy ra
A+A = [N]q

(2.16)

„n+l „-n-1
q q
n)
=
\
n)
A+A
'q q - q ~ l ỉ q

(2.17)

Tính tương tự như trên ta có:

tức là:
A+A = [N + l]q
Toán tử năng lượng của hệ dao động tử q boson có dạng:
Hp=^- + -(0 2x2 2 2

(2.18)

(2.19)

?
V

Toán tử tọa độ X và toán tử xung lượng p có thê được biêu diên qua
các toán tử sinh A+, hủy A như sau:
x=

[n V
\hý V-* -0
V2 Cũx J

(2.20)

p=i

(2.21)

{ 2 ^ A)

Thay (2.20,2.21) vào (2.19) thì toán tử năng lượng có dạng:
(2.23)


Để tìm phổ năng lượng của dao động tử biến dạng q Boson ta phải giải phưong
trình làm riêng, trị riêng sau:
2

V—

24

>

^*À)\n)q=E,\n

(2-

Sử dụng (2.15), (2.17) ta có kết quả (2.24)
h
(2.25) Từ đó suy ra: E n = h
22 l
Phổ năng lượng của dao động
biến dạng q boson có dạng như (2.25) tức là năng
lượng gián đoạn và các mức không cách đều nhau.

2.2.

Tần số của dao động biến dạng q Boson
Để tìm tần số dao động của dao động tử biến dạng q Boson ta sẽ xuất phát từ

việc viết toán tử năng lượng của dao động tử biến dạng q Boson về dạng chuẩn rồi biểu
diễn qua các toán tử sinh hủy dao động Boson bình thường như sau:
Toán tử năng lượng của dao động boson bình thường dao động với tần số GO
sẽ có dạng;
H = n^ ^ ^ ¥/}/}*](2.26)
Chọn lại gốc tọa độ để H có dạng đơn giản
H =n

(2.27)