Đề cương ôn thi chi tiết môn toán vào lớp 10 năm 2016

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO CAO BẰNG
TRƯỜNG THPT HÒA AN

TÀI LIỆU ÔN THI VÀO LỚP 10

MÔN TOÁN

---------- HÒA AN, NGÀY 8 THÁNG 5 NĂM 2016 ----------


www.MATHVN.com

VẤN ĐỀ 1. RÚT GỌN BIỂU THỨC CÓ CHỨA CĂN
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

Bài toán 1.1 Cho biểu thức P = x2 x
x x  1

+

vớ x ≥ 0, x ≠ 1.
i

xx
x1


a) Rút gọn biểu thức P
b) Tìm x
P = 0. (Trích đề thi tuyển sinh vào lớp 10 tỉnh Nam Định năm 2011)
khi

 Lời giải. a) Với x ≥ 0, x ≠ 1 ta có
x −1
1−
x
x
x
x
P=
+
x x  1
x1


(

)

(

( )(x +

x x −1
=
x x  1
= x −x

−x

x +1

)

)


=

−x

x

(x ) −1
3

−

x x  1
=x

x

(x

( x −1)

x

−1

)

−1 − x

= x − 2x .

Vậy với x ≥ 0, x ≠ 1 thì P = x − 2x .
b) Với x ≥ 0, x ≠ 1 ta
=0⇔
có
0
P
=
0
⇔
x
−
2
x

(

x

x

−2

) =0⇔


x


=

⇔ x = 0

x−2=0


x
2

=

⇔

x=0


=
x 4

Đối chiếu với điều kiện x ≥ 0, x ≠ 1 ta thấy hai giá trị này đều thỏa mãn.
Vậy với P = 0 thì x = 0, x = 4.
NHỮNG ĐIỂM CẦN LƯU Ý KHI GIẢI TOÁN

•
•
•

•

Kĩ năng cũng như cách giải chung cho dạng toán như câu a
Đặt điều kiện thích hợp, nếu đề bài đã nêu điều kiện xác định thì ta vẫn phải chỉ
ra trong bài làm của mình như lời giải nêu trên.
Đa phần các bài toán dạng này, chúng ta thường quy đồng mẫu, xong rồi tính toán
rút gọn tử thức và sau đó xem tử thức và mẫu thức có thừa số chung nào hay
không để rút gọn tiếp.
Trong bài toán trên thì đã không quy đồng mẫu mà đơn giản biểu thức luôn.
Khi làm ra kết quả cuối cùng, ta kết luận giống như trên.


•
•

Đối với dạng toán như câu b
Cách làm trên là điển hình, không bị trừ điểm.
Ngoài câu hỏi tìm x như trên thì người ta có thể hỏi: cho x là một hằng số nào đó
bắt rút gọn P, giải bất phương trình, tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất, tìm x để P có


www.MATHVN.com
giá trị nguyên, chứng minh một bất đẳng thức. Nhưng thường thì người ta sẽ hỏi
như sau: tìm x để P có giá trị nào đó (như ví dụ nêu trên), cho x nhận một giá trị
cụ thể để tính P.
MỘT SỐ CÂU HỎI MỞ CHO BÀI TOÁN

•

Câu hỏi mở 1. Rút gọn P khi x = 3 + 22 .

Ta có

x=3+
2

Khi đó, với
Do đó

2

2

2

=1 +
2.1.

(12 ) 2

x ≥ 0, x ≠ 1 xthì

P=x−
2
x

2 2
2 2
+ ( ) = (1+ )
=

=3+
2 2

=21+

−
2(1+
2

)=3+
2 2

−2−
2 2

Vậy với x = 3 +
thì P = 1.
2
2
• Câu hỏi mở 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của P
Với

x ≥ 0, x ≠ 1 ta
có

2
x = (x ) − x
2

P=x−
2

+ 1−1 = x
(

= 1.

2

−1) −1

Vì x ≠ 1 nên ( x −1)2 > 0 ⇒ ( x −1)2 −1 > −1
Vậy với x ≥ 0, x ≠ 1 thì P không có giá trị nhỏ nhất.
Trong loại câu hỏi này, ta cần chú ý đến điều kiện xác định. Chẳng hạn với điều kiện
x ≥ 4 ta rút gọn được P = x − x thì ta sẽ không làm như trên mà sẽ làm như sau
Với x ≥ 4 ta có P = x − 2x
Vì x ≥ 4 ⇒ x
0,

≥ 2 ⇒x

+x
=

x (x

− 2) +x

>

−2≥0
( x − 2) +
≥0+2=2
⇒
x
x
x
Vậy min P = 2 , dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = 4 (thỏa mãn điều kiện).
•

Câu hỏi mở 3. Chứng minh rằng
P > −1 thì ta làm như trên nhưng kết luận là
P > −1.

•

Câu hỏi mở 4. Tìm số nguyên x để P có giá trị nguyên.

Ví dụ trên, ta có P = x − x
2

, thì thường đề bài sẽ không hỏi đến nghiệm nguyên. Chẳng

hạn với điều kiện

3x , đề bài hỏi: tìm số nguyên x để P nhận
x ≥ 1 ta rút gọn được P
= x +1
giá trị nguyên thì ta làm như sau

Với

x ≥ 1, ta có

P=

3x x +1


=
3(x

+ 1) − 3
=3−

x +1

3
x +1

Từ đó với x là số nguyên,

3
P ∈¢ ⇔ 3 − 3 ⇔
∈ ¢ ⇔ 3M( x +1)
x
x+1
+1
Tương đương với x +1 là ước của 3, mà ước của 3 là {−3; −1;1;3} ⇒ (x + 1) ∈{−3; −1;1;3}
Mà x ≥ 1 ⇒ x + 1 ≥ 2 ⇒ x +1 = 3 ⇒ x = 2 (thỏa mãn điều điện)

Kết luận: vậy x = 2 là giá trị cần tìm.
Ta xét thêm một bài toán nữa là một câu trong đề chung chuyên Lê Hồng Phong Nam
Định năm 2011.


www.MATHVN.com

Bài toán 1.2 Cho biểu thức P = 3 x −1


−

x 1

 x −1

a) Rút gọn biểu thức B
b) Tìm x để 2P − x =
3.

1



:



vớ x > 0, x ≠ 1.
i

1
x x



(Đề chung Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định năm 2011)
 Lời giải. a) Với x > 0, x ≠ 1 ta có

(

B= x+
x
=x

=



−1
−
3 x

x
x
x
 ( −1)( +1) (

)

x +1
−1)(x

+1).3 x −1− x −1
x −1)( x +1)
(

x(

x (2 x  2)
x1


=

2 x ( x 1)

x1


= 2x .

Vậy với x > 0, x ≠ 1 thì P = 2x .
b) Với x > 0, x ≠ 1
và

P = 2x

ta có

2P − x = 3 ⇔ 4x

−x=3

⇔ x − 4x + 3 = 0
⇔ x − x − 3x + 3 = 0
⇔ x ( x −1) − 3(x −1) = 0
⇔ (x −1)(x − 3) = 0
x=1
 x −1 = 0
⇔


⇔
x =
=
1
⇔
x−3=0

 x
x 9
=3
Kết hợp với điều kiện nêu trên thì chỉ có x = 9 thỏa mãn bài toán.


B. CÁC BÀI TOÁN RÈN LUYỆN

Bài 1: Cho biểu thức P = a  2
a3

a) Rút gọn P.

−

5
a a  6

+

1
2 a



+1) 


b) Tìm giá trị của a để P < 1.

 
+3 x +2
x
Bài 2: Cho biểu thức P = 1 −
: x
+
+ x

 
x−
x + 1  x − 2 3 −


5
a) Rút gọn P.
x
b) Tìm giá trị của x
P < 0.
để



x+6

+2

www.DeThiThuDaiHoc.com


www.MATHVN.com

−1
1
  3x − 2 
8

Bài 3: Cho biểu thức P = x x −1 − 3 x +1 + x
: 1−

  3 x 1
6
3


9x −1  
+ 
P= .
a) Rút gọn P.
5
b) Tìm các giá trị của x để



2a
a  : 1 −
Bài 4: Cho biểu thức P = 1

 a + 1  a − 1 a a + a − a − 1
+
a) Rút gọn P.
 
b) Tìm giá trị của a để P < 1.
c) Tìm giá trị của P nếu a = 19 − 83
(1 − a)

2


 1 +
1 a3

a3
a

−

Bài 5: Cho biểu thức P =
: 
+ a .
− a 

1+
 1 −
  1 + a
a


a) Rút gọn P
a
b) Xét dấu của biểu thức M = a(P − 0, 5).

+1
+x
Bài 6: Cho biểu thứ P = x2x + 1 + 2x 2x
1 −


3 + 22
x
=
a) Rút gọn P
2 .

 

+1
+
− 1 : 1 x2x 1 − 2x 2x x1
+  
+
−
 

b) Tính giá trị của P
khi

Bài 7: Cho biểu thức P =
a) Rút gọn P
b) Tìm x để P ≤ 0


2x
−
 x x + x − x − 1

 2a + 1
Bài 8: Cho biểu thức P =
a) Rút gọn P




a3

−

+

1
.
a + 1  1
+

a
+
a

1  :  1 + x 
x + 1
x − 1 
 


a3
a


− a








b) Xét dấu của biểu thức P 1  a
Bài 9: Cho biểu thức P =



1


 1−
a) Rút gọn P

−
+

1   2x
x −1
:
+

 
x
  1− x

x
b) Tính giá trị của P với x = 7 − 43
c) Tính giá trị lớn nhất của a để P > a.


2x x  x x

1 x x





www.MATHVN.com
1−a
.1 + a −

a

a 
a 
Bài 10: Cho biểu thức P = 
+
a
1

 1− a
a) Rút gọn P.
b) Tìm a để P < 7 − 4 3.
 2
3x + 3:  2x − 2 
x
x
+ x−3− x−9
Bài 11: Cho biểu thức P =
x − 3 −1
 x+3




a) Rút gọn P
b) Tìm x để P <

 



1

2
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P
x−3

x
Bài 12: Cho biểu thức P =

 x−
a) Rút gọn P
9

  9−
−3
−2
x 

−1 :
−x

−x



x−6 2−
x+3
 x
+
x

b) Tìm giá trị của x để P < 1
x −2 2 x+3
− 11
+
−
x2 x3
3
1 x
x3
1
a) Rút gọn P
P=
2
b) Tìm các giá trị của x
để

Bài 13: Cho biểu thức P =

c) Chứng
minh

P≤

2
3

15 x

.

Bài 14: Cho biểu thức P =

2x
xm

x
+
xm

−

m

2

4x − 4m

2

với m > 0

a) Rút gọn P
b) Tính x theo m để P = 0.
c) Xác định các giá trị của m để x tìm được ở câu b thoả mãn điều kiện x > 1.
2
a
2a +
+1
Bài 15: Cho biểu thức P = a + a
a − a + 1−
a
a) Rút gọn P
b) Biết a > 1 hãy so sánh P với P
c) Tìm a để P = 2


d) Tìm giá trị nhỏ nhất của P

a + 1 + ab + a
Bài 16: Cho biểu thức P =
ab
 ab + 1
1 −

a) Rút gọn biểu thức P.

 
a + 1 ab + a
− 1 : ab + 1 − ab −
1


  


+1




www.MATHVN.com
b) Tính giá trị của P nếu a = 2 −3

và b =

c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P nếu a

31
13


+b =4


1  a + 1 a − 1
a a1
a
a

1
+

+
−

a
Bài 17: Cho biểu thức P =
−
a a

a + 1
a  a − 1
a a 
a) Rút gọn P
b) Với giá trị nào của a thì P = 7
c) Với giá trị nào của a thì P > 6.
2


1  
−
+1
1 a
 a

a
Bài 18: Cho biểu thức P =
−
−
 2
2 a   a + 1
a − 1 


a) Rút gọn P
b) Tìm các giá trị của a để P < 0
c) Tìm các giá trị của a để P = −2
Bài 19: Cho biểu thức P =

(a −

b

)2 + 4ab

ab


.

a b − ba
ab

a) Tìm điều kiện để P có nghĩa.
b) Rút gọn P
c) Tính giá trị của P khi a = 23 và b = 3

x
Bài 20: Cho biểu thức P =  x + 2
+
x x  1
x x −1
a) Rút gọn P

b) Chứng minh rằng P > 0 với∀ x ≠ 1

+

1
1 x

 x  1
: 2


2 +x
+ 2 
1   x

Bài 21: Cho biểu thức P = x
−
: 1−

 

x − 1  x + x + 1
x x −1
a) Rút gọn P
b) Tính P khi x = 5 + 23


Bài 22: Cho biểu thức P = 1 :  1

2+


a) Rút gọn P
x

b) Tìm giá trị của x để P = 20


3x
2
1
+ 2 −
:
4−
4−2 x 4−2 x

x

www.DeThiThuDaiHoc.com


www.MATHVN.com
 x−y
Bài 23: Cho biểu thức P = 
 x−

y
a) Rút gọn P
b) Chứng minh P ≥
0


1

+

x3

3





y 2 xy
x y

 





3

1
. a − b −

a
 

ab
a+
b

Bài 24: Cho P =  a + ba +


 x
y3  :
y − x 


ab
ba −

a−b



b  : a + ab + b 


a) Rút gọn P
b) Tính P khi a = 16 và b = 4
 2a +
Bài 25: Cho biểu thức P = 1 + 
a − 12a a a  a
−1  a a
 1−a


a a 
.
2 a 1

a) Rút gọn P
b) Cho P = 1 +

6

c) Chứng minh
rằng

6

tìm giá trị của a
P>

Bài 26: Cho biểu thức:P=

2

.

 
x

3 x
x−
5




25 −

 
−1 :


 x+2 x−
 x − 25
15

x

+3

−

x

−5



+
x+5

a) Rút gọn P
b) Với giá trị nào của x thì P < 1.

x−3


3a
3a
1  
Bài 27: Cho biểu thức P = 
−
+
: a  1. a b

a

a
a

b
b
a

b
ab + b

 2a  2 ab  2b
+
a) Rút gọn P
b) Tìm những giá trị nguyên của a để P có giá trị nguyên



 1
Bài 28: Cho biểu thức P = 
a  1
a) Rút gọn P

P>

b) Tìm giá trị của a để 

1
6



1   a + 1 a + 2 
−
−
:


a  a−2
a−1

.




x3

y x xy 
x3 y xy3

y3


1
Bài 29: Cho biểu thức P = 
+ 1
2
.
x
y
x y

a) Rút gọn P


+

1
x

+

1

:

y


b) Cho x.y = 16. Xác định x, y để P có giá trị nhỏ nhất.

www.DeThiThuDaiHoc.com


www.MATHVN.com
x3

Bài 30: Cho biểu thức P =

−

2x
1−x
.
xy − 2
x + x − xy − 2 y 1 − x
y
2
a) Rút gọn P
b) Tìm tất cả các số nguyên dương x để y = 625 và P < 0, 2.
VẤN ĐỀ 2. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
2

2

 Xét phương trình ax + bx + c = 0 với a khác 0, biệt thức ∆ = b − 4ac.
•

Hệ thức Viet đối với phương trình bậc hai
b
c
x1 + x2 = − ; x1 x2 =
a
a

•
•
•
•

Nếu ac < 0 thì PT có 2 nghiệm phân biệt.
PT có nghiệm ⇔ ∆ ≥ 0.
PT có nghiệm kép ⇔ ∆ = 0.
PT có 2 nghiệm phân biệt ⇔ ∆ > 0.
∆ > 0
PT có 2 nghiệm phân biệt trái dấu ⇔ 
 x1 x2 < 0

•

∆ > 0

• PT có 2 nghiệm dương phân biệT ⇔  x1 + x2 > 0
 x1 x2>
0

∆ > 0

⇔  x1 + x2 < 0
• PT có 2 nghiệm âm phân biệt

 x1 x2>
0
 Từ những tính chất quan trọng nêu trên, ta sẽ giải được một dạng toán về PT trùng
phương.
Xét phương trình

4

2

2

ax + bx + c = 0 (i) với a khác 0. Đặt t = x ≥ 0 , ta có
2

at + bt + c = 0. (ii)
•
•
•
•

PT (i) có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi (ii) có 2 nghiệm dương phân biệt.
PT (i) có 3 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi (ii) có 1 nghiệm dương và 1 nghiệm
bằng 0.
PT (i) có 2 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi (ii) có duy nhất một nghiệm dương.

PT (i) có 1 nghiệm khi và chỉ khi (ii) có duy nhất một nghiệm là 0.

Sau đây chúng ta sẽ xét một số bài toán thường gặp mang tính chất điển hình.

www.DeThiThuDaiHoc.com


www.MATHVN.com
2

Bài toán 2.1 Cho phương trình (m −1)x − 4mx + 4m +1 = (1)
0.
a) Hãy giải phương trình trên khi m = 2
b) Tìm m để phương trình có nghiệm.
c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt. Khi đó hãy tìm một biểu thức
liên hệ độc lập giữa các nghiệm của phương trình.
d) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân
x1, thỏa mãn
biệt
x2
x1 + x2 + x1 x2 = 17.
e) Tìm m để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt.
f) Tìm m để phương trình có hai nghiệm âm phân biệt.
g) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt trái dấu.
h) Tìm m
x1 − x2 = 7 ,
x1, là hai nghiệm của phương trình.
khi
với x2
2

i) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn nghiệm này bằng 2 lần
nghiệm kia.
 Lời giải. a) Khi m =
2

thay vào (1) ta được x2 − 8x + 9 =
0

(2)

PT này có ∆ ' = 16 − 9 = 7 > 0
Khi đó (2) có hai nghiệm x1 = 4 7 ; x2 = 4 + 7
−
Vậy với m = 2 thì PT đã cho có tập nghiệm là
S=

{4

;4+

}.

7
7
−
b) Để làm câu hỏi này, ta sẽ chia thành hai trường hợp
TH1: Khi m = 1 ⇒ 5 − 4x = 0 ⇒ x = 5 ⇒ m = 1 thỏa mãn.
4
TH2: Khi m khác 1, PT (1) là PT bậc hai. Xét
2

2
2
∆ ' = 4m − (m −1)(4m + 1) = 4m − (4m − 3m −1) = 3m +1
1
PT (1) có nghiệm khi ∆ ' ≥ 0 ⇔ 3m +1 ≥ 0 ⇔ m ≥ −
3
1
Tóm lại, vậy với m ≥ − thì PT đã cho có nghiệm.
3
c) PT (1) có 2 nghiệm phân biệt khi
m ≠ 1
m ≠ 1
m ≠ 1
∆ ' > 0


⇔ 3m +1 > ⇔ m > − 1
0


3
Khi đó, áp dụng hệ thức Viet ta có
4m
x +x =


=

4(m −1) + 4

=4+

4

1

−1

2

m

m −1

m −1


x1 x2 =

Do đó 5 ( x + x ) = 5 4
1
2

+


4m +1 4(m −1) + 5
5
4+
=

=
m −1
m −1
m −1

4 

= 4(1+ x1 x2 )
+ = 4  5
5 
m −1  
m −1 

Vậy biểu thức cần tìm là 5 ( x1 + x2 ) = 4 (1+ x1 x2 ) .


www.MATHVN.com
d) PT (1) có 2 nghiệm phân biệt khi
m ≠ 1
m ≠ 1
m ≠ 1
∆ ' > 0


⇔ 3m +1 > ⇔ m > − 1
0


3
4m

4m + 1
; x1 x2 m −1
Áp dụng hệ thức Viet ta có x1 + x2 =
=
m −1
Khi đó với m ≠ 1, m > −
ta có
1
3
x +x
1

⇔
Vậy m =
2

2

8m +1
m −1

+x
x

1 2

= 17
⇔

4m

m −1

+

4m + 1
m −1

= 17 ⇔

4m + 4m +1
m −1

= 17 ⇔ 8m +1 = 17m −17 ⇔ 9m = 18 ⇔ m = 2 (thỏa mãn ĐK)

là giá trị cần tìm.

∆ ' > 0

e) PT (1) có 2 nghiệm dương phân biệt khi và chỉ khi  x1 x2 > 0

x1 + x2 > 0
1
 ∆'>0⇔m>−
m > 1
3
+




4m 1

> 0 ⇔ (4m +1)(m −1) > 0 ⇔ 
1
m < −
m −1

4
m > 1
4m
x1 + x2 > 0 ⇔
> 0 ⇔ 4m(m −1) > 0 ⇔ 
m −1
m < 0
x1
x2

>0⇔

= 17

Vậy PT đã cho có 2 nghiệm dương phân biệt khi m > 1 or

1
1
− . 3< m < − 4

∆ ' > 0

f) PT (1) có 2 nghiệm âm phân biệt khi và chỉ khi x1 x2 > 0


x1 + x2 < 0
Đến đây ta làm tương tự như câu e.

∆ ' > 0
g) PT (1) có 2 nghiệm phân biệt trái dấu khi và chỉ khi 
x1 x2 < 0
Đến đây ta làm tương tự như câu e.
h) Bình phương hai vế và làm tương tự như câu d, chú ý
2

2

2


x −x
1

2

= ( x − x ) = ( x + x ) − 4x x .
1

2

1

2

1

1 2

i) ĐK để PT (1) có 2 nghiệm phân biệt: m ≠ 1, m > − .
3
Từ giả thiết bài toán, ta có: x1 = 2x2 or
2 x2 =2 2x1 ⇒ ( x1 − 2x2 )

(

)

(

( x2 − 2x1 ) = 0
)2

⇒ 5x1 x2 − 2 x1 + x2 = 0 ⇒ 9x1 x2 − 2 x1 + x2 = 0


www.MATHVN.com
Áp dụng hệ thức Viet ta có x + x =
1

2

9(4m + 1)
−
2.16m

m −1

2

(m −1)

2

4m

; x x = 4m + 1
1 2
m −1 , nên
m −1
2
= 0 ⇒ 9(m −1)(4m +1) − 32m = 0

2
2

2

⇒ 36m − 27m − 9 − 32m = 0 ⇒ 4m − 27m − 9 = 0
Đến đây các em làm tiếp, chú ý điều kiện PT có 2 nghiệm phân biệt.
NHỮNG ĐIỂM CẦN LƯU Ý KHI GIẢI TOÁN

•

Đối với những bài toán có liên quan đến hệ thức Viet, thì ta đặc biệt quan tâm đến
ĐK để phương trình có nghiệm, tìm ra được x, ta phải đối chiếu ĐK để PT có

nghiệm.

•

Ngoài các câu hỏi như trên ta còn có thể hỏi: tìm m thông qua giải bất phương
trình (tương tự như câu hỏi d), tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất. Ví dụ trên, hệ số của
2
x là tham số nên khi áp dụng Viet ta thấy có biến ở mẫu, thường người ta sẽ
không hỏi min max ở bài này.

•

Đối với bài toán mà hệ số của x không chứa tham số thì ta có thể hỏi min max
thông qua hệ thức Viet. Chẳng hạn cho PT x2 − 2(m +1)x + m2 −1 = 0 . Tìm m để

2

PT có 2 nghiệm x , x ; khi đó tìm min của biểu thức P = x x + 2 ( x + x ta có
1 2
1
2
1
2
thể làm như sau

)

Đễ dàng tìm được ĐK để PT có 2 nghiệm x1, là m ≥ −1 (các em làm đúng kĩ năng như
x2
VD). Áp dụng Viet ta có x + x = 2m + 2; x = m2 −1

x
1
2
1 2
Khi đó ta có P = x x + 2 ( x + x ) = m2 −1+ 2(2m + 2) = m2 + 4m + 3
1 2

1

2

Đến đây có một sai lầm mà đa số HS mắc phải là phân tích
2
2
m + 4m + 3 = (m + 2) −1 ≥ −1 và kết luận ngay min P = −1.
Đối với bài toán này, cách làm trên hoàn toàn sai. Dựa vào điều kiện PT có nghiệm là
m ≥ −1, ta sẽ tìm min của P sao cho dấu bằng xảy ra khi m = −1. Ta có
2
2
P = m + 4m + 3 = m + m + 3m + 3 = m(m +1) + 3(m +1) = (m +1)(m +
3) Với m ≥ −1 ⇒ m +1 ≥ 0, m + 3 > 0 ⇒ (m +1)(m + 3) ≥ 0 ⇒ P ≥ 0
Vậy min P = 0 , dấu bằng xảy ra khi m = −1 (thỏa mãn ĐK đã nêu).
Bài toán 2.2 Tìm m để
PT
x1 = 2 x2 .

2

x − 4mx + 3m +1 = 0 (i) có hai
nghiệm

x1, x2 thỏa mãn


2

 Lời giải. PT (i) có ∆ ' = 4m − 3m −1, (i) có 2 nghiệm
2

2

⇔ ∆ ' ≥ 0 ⇔ 4m − 3m −1 ≥ 0 ⇔ 4m − 4m + m −1 ≥ 0
⇔ 4m(m −1) + (m −1) ≥ 0 ⇔ (m −1)(4m + 1) ≥ 0
1
⇔ m ≥ 1 or m ≤ − .
4


www.MATHVN.com
Khi đó theo hệ thức Viet ta có x + x = 4m ; x x = 3m +1 (*)
1
2
1 2
=
x2
=
x
2x

2

Ta lại có x
⇔ 1

x1 =
2
−2x
+ Với x1 = 2x2 kết hợp với (*) ta được
x1 = 2x2
 x1 = 2x2
x1 = 2x2



4m ⇔ 3x22 = 4m
x1 + x2 = 4m ⇔ 2x2 + x=2 =
3m +1
xx =
2x x
2x = 3m + 1
+13m
 12
 2 2
 2
3
Từ 3x = 4m ⇒ m = x , thế vào 2x2 = 3m + 1 ta được
1

2

2

2

2

94
2
2
2
2x = x + 1 ⇔ 8x = 9x + 4 ⇔ 8x − 9x − 4 = 0.
2

2

2

2

4
Đến đây, các em làm tiếp để rèn luyện kĩ năng.
+ Với x1 = −2x2 ta làm tương tự như trên.
Nhận xét. Bài toán trên, ta đã thế m bởi

2

2

x2 bởi lẽ, khi làm như vậy ta không phải khai

phương tức là nếu thế x2 bởi m thì ta sẽ phải khai phương, không thuận lợi. Ngoài cách

làm trên ta còn có thể giải như sau: x = 2 x ⇔ ( x1 + 2x2 )( x1 − 2x2 ) = Từ đó khai
1
2
triển ra và dùng hệ thức Viet để giải.
0.
B. CÁC BÀI TOÁN RÈN LUYỆN

Bài 1: Cho phương trình
m

(

)

2
− −12
−x+m
= 2
2
a) Giải phương trình khi m = 2 + 1
b) Tìm m để phương trình có nghiệm x = 3 − 2
c) Tìm m để phương trình có nghiệm dương duy nhất.

2x

Bài 2: Cho phương trình (m − 4 )x − 2mx + m − 2 = 0
2

a) Tìm m để phương trình có nghiệm x = 2 . Tìm nghiệm còn lại.
b) Tìm m để phương trình 2 có nghiệm phân biệt.

c) Tính x2 + x2 theo m.
1

2

Bài 3: Cho phương trình

x − 2(m + 1)x + m − 4 = 0
a) Tìm m để phương trình 2 có nghiệm trái dấu
b) Chứng minh rằng phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m
c) Chứng minh biểu thức M = x1 (1 − x2 ) + x2 (1 − Bài 4: Tìm m để phương trình
x1 )
2


không phụ thuộc vào m.
2
a) x − x + 2(m − 1) = có hai nghiệm dương phân biệt
0
2
b) 4x + 2x + m − 1 = 0 có hai nghiệm âm phân biệt
c)

(m

2

+ 1)x − 2(m + 1)x + 2m − 1 = 0 có hai nghiệm trái dấu.
2

www.DeThiThuDaiHoc.com


www.MATHVN.com
Bài 5: Cho phương trình

x − (a − 1)x − a + a − 2 = 0
2
2
a) Chứng minh rằng phương trình trên có 2 nghiệm tráI dấu với mọi x + x đạt giá
a
b) Gọi hai nghiệm của phương trình là x1 và x2. Tìm giá trị của a để
2

2

1

trị nhỏ nhất

2

Bài 6: Cho b và c là hai số thoả mãn hệ thức 1 1 1
b+c= 2

 x 2 + bx + c = 0
Chứng minh ít nhất một trong hai phương trình sau phải có nghiệm 
2
 x + cx + b = 0.
Bài 7: Với giá trị nào của m thì hai phương trình sau có ít nhất một nghiệm số chung

2x 2 − (3m + 2) x +12 = 0

2
4x − (9m − 2) x + 36 = 0
Bài 8: Cho phương trình

2

2

2x − 2mx + m − 2 = 0
a) Tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt
b) Giả sử phương trình có hai nghiệm không âm, tìm nghiệm dương lớn nhất của
phương trình.

Bài 9: Cho phương trình

2

x + 4x + m + 1 = 0
a) Tìm điều kiện của m để phương trình có nghiệm
b) Tìm
m2 sao cho phương trình có hai nghiệm x1 và x2 thoả mãn điều
2
10
x1 + x2 =

Bài 10: Cho phương trình

kiện

x − 2(m − 1)x + 2m − 5 = 0
2

a) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm với mọi m
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm cung dấu. Khi đó hai nghiệm mang dấu gì.
Bài 11: Cho phương trình

x − 2(m + 1)x + 2m + 10 = 0
a) Giải và biện luận về số nghiệm của phương trình
x1;
b) Trong trường hợp phương trình có hai nghiệm phân biệt là x2
2

hãy tìm một hệ

thức liên hệ giữa x1; mà không phụ thuộc vào m
x2
2
2
c) Tìm giá trị của m để 10x x + x + x đạt giá trị nhỏ nhất.
1 2

1

2

Bài 12: Cho phương trình (m − 1)x − 2mx + m + 1 = 0
a) Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m khác 1.
b) Xác định giá trị của m dể phương trình có tích hai nghiệm bằng 5, từ đó hãy tính

tổng hai nghiêm của phương trình.
2