Hấp thụ phi tuyến sóng điện từ mạnh biến điệu theo biên độ bởi điện tử giam cầm trong hố lượng tử (3)
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (715.81 KB, 54 trang )
LỜI CẢM ƠN
Em xin được gửi lời cảm ơn sâu sắc và lòng biết ơn chân thành tới GS. TS
Nguyễn Quang Báu. Cảm ơn thầy đã hướng dẫn, chỉ bảo và giúp đỡ tận tình trong
suốt quá trình em thực hiện luận văn này.
Em cũng xin gửi lời cảm ơn đến các thầy cô giáo trong khoa Vật lý, bộ môn
Vật lý lý thuyết cũng như các thầy cô trường Đại học Khoa Học Tự Nhiên - Đại học
Quốc Gia Hà Nội đã hết lòng đào tạo, dạy dỗ, giúp đỡ em trong suốt thời gian em
học tập tại trường.
Em cũng xin cảm ơn gia đình, người thân, bạn bè đã luôn động viên, quan
tâm, ủng hộ và tạo điều kiện giúp em hoàn thành luận văn này.
Hà Nội, tháng 11 năm 2012
Học viên
Đỗ Tuấn Long
MỤC LỤC
Trang
MỞ ĐẦU…………………………………………………………………….
1
CHƢƠNG 1: TỔNG QUAN VỀ HỐ LƢỢNG TỬ VÀ LÝ THUYẾT
LƢỢNG TỬ VỀ HẤP THỤ SÓNG ĐIỆN TỪ MẠNH BIẾN ĐIỆU
THEO BIÊN ĐỘ BỞI ĐIỆN TỬ TỰ DO TRONG BÁN DẪN KHỐI ….
3
1.1.Tổng quan về hố lượng tử……………………………………………
3
1.2. Lý thuyết lượng tử về hấp thụ sóng điện từ mạnh biến điệu theo
biên độ bởi điện tử tự do trong bán dẫn khối ……………………………......
4
CHƢƠNG 2: HỆ SỐ HẤP THỤ PHI TUYẾN SÓNG ĐIỆN TỪ MẠNH
BIẾN ĐIỆU THEO BIÊN ĐỘ BỞI ĐIỆN TỬ GIAM CẦM TRONG
HỐ LƢỢNG TỬ………………………………………………..................... 14
2.1. Phương trình động lượng tử cho điện tử trong hố lượng tử khi có
mặt sóng điện từ mạnh biến điệu theo biên độ …………………………….... 14
2.2. Hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện từ mạnh biến điệu theo biên độ
bởi điện tử giam cầm trong hố lượng tử ……..……………………………… 23
CHƢƠNG 3: TÍNH TOÁN SỐ, VẼ ĐỒ THỊ TRONG TRƢỜNG HỢP
HỐ LƢỢNG TỬ AlAs/GaAs/AlAs VÀ BÀN LUẬN……………………... 32
3.1. Sự phụ thuộc của hệ số hấp thụ vào tần số sóng điện từ….………… 32
3.2. Sự phụ thuộc của hệ số hấp thụ vào cường độ sóng điện từ...……… 33
3.3. Sự phụ thuộc của hệ số hấp thụ vào nhiệt độ………………………
34
3.4. Sự phụ thuộc của hệ số hấp thụ vào bề rộng hố lượng tử…………
35
KẾT LUẬN…………………………………………………………………. 37
DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO
PHỤ LỤC
Lu ận văn tốt nghi ệp
Đỗ Tuấn Long
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Trong thời gian gần đây, các nhà khoa học đã tìm ra nhiều phương pháp tạo ra
các cấu trúc nano khác nhau, trong đó có bán dẫn thấp chiều (như siêu mạng, hố
lượng tử, dây lượng tử, chấm lượng tử, …). Việc nghiên cứu các loại vật liệu mới
này cho ra đời nhiều công nghệ hiện đại có tính chất cách mạng trong lĩnh vực khoa
học kỹ thuật như: các vi mạch, diod huỳnh quang điện, pin mặt trời, … Khi nghiên
cứu các hệ điện tử thấp chiều này, người ta thấy rằng: không những rất nhiều đặc
tính của các hệ đó bị thay đổi một cách đáng kể, mà còn xuất hiện trong chúng thêm
nhiều đặc tính mới khác hoàn toàn so với hệ điện tử ba chiều thông thường.
Trong bán dẫn khối, các điện tử có thể chuyển động trong toàn mạng tinh thể
thì ở các hệ thấp chiều, chuyển động của điện tử sẽ bị giới hạn nghiêm ngặt dọc
theo một, hoặc hai, ba hướng tọa độ nào đó [1, 12]. Phổ năng lượng của các hạt tải
trở nên bị gián đoạn theo phương này. Sự lượng tử hóa phổ năng lượng của hạt tải
dẫn đến sự thay đổi cơ bản các tính chất vật lý của hệ như: tương tác điện tử phonon, tính chất điện, tính chất quang [13÷17], ... Do vậy, các đặc trưng của vật
liệu như: hàm phân bố, mật độ trạng thái, mật độ dòng, tensor độ dẫn … cũng thay
đổi. Theo đó, khi chịu tác dụng của trường ngoài, các bài toán trong các hệ thấp
chiều như: tính toán mật độ dòng, tính toán hệ số hấp thụ, hệ số biến đổi tham số,
… sẽ cho các kết quả mới, khác biệt so với bán dẫn khối.
Trong lĩnh vực nghiên cứu lý thuyết, bài toán về hấp thụ phi tuyến sóng điện
từ trong các hệ bán dẫn thấp chiều đã được nghiên cứu khá nhiều [4, 6, 9, 10, 11].
Song, thời gian gần đây mới xuất hiện các công trình nghiên cứu về hấp thụ phi
tuyến sóng điện từ mạnh biến điệu theo biên độ bởi điện tử giam cầm trong các hệ
bán dẫn thấp chiều, và chúng tôi chọn vấn đề nghiên cứu là: “Hấp thụ phi tuyến
sóng điện từ mạnh biến điệu theo biên độ bởi điện tử giam cầm trong hố lượng tử”.
2. Phƣơng pháp nghiên cứu
Hiện có nhiều phương pháp lý thuyết khác nhau để giải quyết bài toán hấp thụ
sóng điện từ. Theo quan điểm lượng tử, các phương pháp có thể áp dụng là: lý
thuyết hàm Green, phương pháp tích phân phiếm hàm, phương pháp phương trình
động lượng tử [3, 5, 7, 8], ... Trong luận văn này, chúng tôi sử dụng phương pháp
phương trình động lượng tử: xuất phát từ Hamiltonian của hệ điện tử - phonon trong
1
Lu ận văn tốt nghi ệp
Đỗ Tuấn Long
hố lượng tử, sử dụng phương trình chuyển động Heisenberg để tìm ra mật độ điện
tử cũng như hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện từ mạnh biến điệu theo biên độ bởi
điện tử giam cầm trong hố lượng tử.
3. Cấu trúc luận văn
Bài luận văn gồm phần mở đầu, kết luận, danh mục tài liệu tham khảo, phụ
lục, và ba chương chính sau:
Chương 1: Tổng quan về hố lượng tử và lý thuyết lượng tử về hấp thụ sóng
điện từ mạnh biến điệu theo biên độ bởi điện tử tự do trong bán dẫn khối
Chương 2: Hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện từ mạnh biến điệu theo biên độ
bởi điện tử giam cầm trong hố lượng tử.
Chương 3: Tính toán số, vẽ đồ thị trong trường hợp hố lượng tử
AlAs/GaAs/AlAs và bàn luận.
Các kết quả chính của luận văn được chứa đựng trong chương 2 và chương 3.
Chúng tôi đã thu được biểu thức giải tích của hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện từ
mạnh biến điệu theo biên độ bởi điện tử giam cầm trong hố lượng tử. Việc khảo sát
số cũng được thực hiện, cho thấy sự phụ thuộc phi tuyến của hệ số hấp thụ vào các
thông số trường ngoài (cường độ điện trường E0 , tần số Ω), các tham số cấu trúc hố
lượng tử (bề rộng hố lượng tử), nhiệt độ T của hệ, và thời gian t. Hệ số hấp thụ tăng
khi cường độ E0 của sóng điện từ tăng, khi nhiệt độ T của hệ tăng, hoặc khi bề rộng
L của hố lượng tử giảm. Hệ số hấp thụ đạt giá trị cực đại khi tần số sóng điện từ đạt
giá trị thích hợp. Đặc biệt, trong trường hợp sóng điện từ mạnh biến điệu, sự phụ
thuộc vào thời gian của hệ số hấp thụ cho phép sóng điện từ xâm nhập sâu vào vật
liệu hố lượng tử. Đây là hiện tượng mới và khác biệt so với hấp thụ sóng điện từ
không biến điệu.
Các kết quả thu được của luận văn là mới mẻ và có giá trị khoa học. Một phần
kết quả thu được trong luận văn đã được công bố dưới dạng báo cáo khoa học
“Calculation of the nonlinear absorption coefficient of a strong electromagnetic
wave modulated by amplitude in doped superlattices” tại Hội nghị khoa học khoa
Vật Lý, trường Đại học Khoa Học Tự Nhiên, tháng 10 năm 2012.
2
Lu ận văn tốt nghi ệp
Đỗ Tuấn Long
CHƢƠNG 1: TỔNG QUAN VỀ HỐ LƢỢNG TỬ VÀ LÝ THUYẾT LƢỢNG
TỬ VỀ HẤP THỤ SÓNG ĐIỆN TỪ MẠNH BIẾN ĐIỆU THEO BIÊN ĐỘ
BỞI ĐIỆN TỬ TỰ DO TRONG BÁN DẪN KHỐI
1.1. Tổng quan về hố lƣợng tử
1.1.1. Khái niệm hố lượng tử
Hố lượng tử là một cấu trúc bán dẫn thuộc hệ điện tử chuẩn hai chiều, được cấu
tạo bởi các chất bán dẫn có hằng số mạng xấp xỉ bằng nhau, có cấu trúc tinh thể
tương đối giống nhau. Tuy nhiên, do các chất bán dẫn khác nhau có độ rộng vùng
cấm khác nhau nên tại các lớp tiếp xúc sẽ xuất hiện độ lệch ở vùng hóa trị và vùng
dẫn. Sự khác biệt giữa các cực tiểu vùng dẫn và cực đại vùng hóa trị của hai chất
bán dẫn đó đã tạo ra một giếng thế năng đối với các điện tử, làm cho chúng không
thể xuyên qua mặt phân cách để đi đến các lớp bán dẫn bên cạnh (tức là không có
hiệu ứng đường ngầm). Do vậy, trong cấu trúc hố lượng tử, các hạt tải điện bị định
xứ mạnh, chúng bị cách li lẫn nhau trong các giếng thế năng hai chiều. Đặc điểm
chung của các hệ điện tử trong cấu trúc hố lượng tử là chuyển động của điện tử
theo một hướng nào đó (thường trọn là hướng z) bị giới hạn rất mạnh, phổ năng
lượng của điện tử theo trục z khi đó bị lượng tử hoá, chỉ còn thành phần xung lượng
của điện tử theo hướng x và y biến đổi liên tục.
Một tính chất quan trọng xuất hiện trong hố lượng tử do sự giam giữ điện tử là
mật độ trạng thái đã thay đổi. Nếu như trong cấu trúc với hệ điện tử ba chiều, mật
độ trạng thái bắt đầu từ giá trị 0 và tăng theo quy luật ε 1/2 (với ε là năng lượng của
điện tử), thì trong hố lượng tử cũng như các hệ thấp chiều khác, mật độ trạng thái
bắt đầu tại giá trị nào đó khác 0 tại trạng thái năng lượng cho phép thấp nhất
(ε = 0) và tăng theo quy luật khác ε 1/2 .
Các hố thế có thể được xây dựng bằng nhiều phương pháp như epytaxy chùm
phân tử (MBE) hay kết tủa hơi kim loại hóa hữu cơ (MOCVD).
1.1.2. Hàm sóng và phổ năng lượng của điện tử trong hố lượng tử với hố thế cao vô
hạn.
Xét hố lượng tử với hố thế cao vô hạn, giải phương trình Schrodinger cho
điện tử chuyển động trong hố thế này ta thu được biểu thức của hàm sóng và phổ
năng lượng của điện tử như sau:
3
Lu ận văn tốt nghi ệp
Đỗ Tuấn Long
(
)
Hàm sóng: ψ n, p⊥ ( r ) = ψ 0eip⊥ ⊥r sin pzn z
Phổ năng lượng:
trong đó: pzn =
nπ
L
ρ
n, p
η2
n2
p2
p
z
2m
(
(1.1)
(1.2)
)
, p⊥ = px y, p
với: n = 1, 2, 3... là chỉ số lượng tử của phổ năng lượng theo phương z.
m: khối lượng hiệu dụng của điện tử.
L : độ rộng của hố lượng tử.
1.2. Lý thuyết lƣợng tử về hấp thụ sóng điện từ mạnh biến điệu theo biên độ
bởi điện tử tự do trong bán dẫn khối.
1.2.1. Phương trình động lượng tử của điện tử trong bán dẫn khối khi có mặt sóng
điện từ mạnh biến điệu theo biên độ.
Hamiltonian của hệ điện tử - phonon trong bán dẫn khối khi có mặt sóng
điện từ mạnh biến điệu theo biên độ có dạng:
ρ
ρ ρ
p
bρ Cq pρq pρ
Atappρρ bb
H
a
ρ ρηaqa
q qρ
ρ ρ ρρ
ηc
p q p, q
b
q
qρ
(1.3)
trong đó:
a p
+ , a p là các toán tử sinh, hủy điện tử.
bqρ ,qρb là các toán tử sinh, hủy phonon.
ρρ
p, q lần lượt là véc tơ sóng của điện tử và phonon.
e
A(t ) là phổ năng lượng của điện tử trong trường ngoài.
c
ρ
At là thế véc-tơ của trường điện từ.
Cqρ là hằng số tương tác điện tử - phonon trong bán dẫn khối.
Phương trình động lượng tử cho trung bình số điện tử n p (t ) = a +p
ap
iη
n pρ
t
t
apρa ρp
, H
hay:
4
t
t
là:
Lu ận văn tốt nghi ệp
i
∂n p (t )
∂t
Đỗ Tuấn Long
e +
A(t'a) p '
= a +ppa , ∑pε'−
a +p
ab b c
p'
q
a
p pρ
ρ ρ, Cq pρ 'q pρ ' bq qρ
ρ a
ρ a ρ a
ρ b
p ', q t
∑ωq q q
+ a +p p ,
+
t
t
(1.4)
Sử dụng các hệ thức của toán tử sinh, hủy điện tử, và toán tử sinh, hủy boson [2]:
+
+
a +p , a +p '
a,a =aa
=0
+ a p a +p ' = δ p , p '; {a p , a p '} =
p
p'
p p'
, b' bρ , bρ
bqρ qρ
bq' bq' b'bq q ,q ' ;
0
ρ , b
ρb
ρ
q q'
{
}
{}
Ta
có:
+ e
(t )'a p '
a p p , ∑ ε
aAp+
c
t
=
a
p '−
p
'
At ap p pρ 'a pρ ' apρ 'a pρ 'ap pρ
p '
ηc
ρ e ρ
ρ aρ a
ρ a
ρ
e +
p'
∑ ε
A(at )p p 'δ p , p ' − a p+ 'a p p , p '
(
)
p '− aδ
c
a p pρ , ηq q qρ
ρ ηqρ ap p q q q q p pρ
ρ a
ρbρ b
ρ a ρ bρ bρ bρ bρ a ρ a
t
=
p'
a p a p ,
+
+
ρ
q
∑ Cq a p '+q
+
a( ) b
p '
q
− q
=
t
a a
ρ ρ
ρ
p ', q
p
ρ
a
ρ
t
0
a
ρ
a
b
q ρ
ρ
t
p
∑
Cq {a + (δ p, p+
'+q − a + '+q an, p ) a p ' (b−q + bq ) −
⊥
p ', q
pρ
ρρ
pρ
ρ
ρρ
)(
ρρ
a 'q p, p ' aa p ' a p bq bq
∑ Cq a +p p −q p+ +q p b−+q qb
(
=
q
)
t
a − a a +
(1.7)
t
ρρρ
pρ ρ ρ
Thay (1.5), (1.6), (1.7) vào (1.4), và đặt Fp1 , p2 ,qt a1 a p2 bq
5
(1.6)
=
ρ Cqρ ap p pρ 'q pρ ' apρ 'q pρ 'ap pρbq
(1.5)
tt
+ bq
p ', q
=0
t
ta được:
Lu ận văn tốt nghi ệp
i
∂n p (t )
∂t
q
Đỗ Tuấn Long
{
= ∑ Cq Fp, p−q ,q (t ) + F +−q , p ,−q (t ) − Fp +q , p ,q (t ) − F + p +q ,−q (t )
}
Ta tìm biểu thức Fpρ1 , pρ2 ,qρt bằng phương pháp phương trình động lượng tử:
i
∂Fp1 , p 2 ,q (t )
∂t
a b
t
hay:
iη
ρ
t
ρ
aρ b
p
ρ
p
a
ρ
a ρ bρ ,
b
ρ ρ
ρ
q1
t
a b
t
p, q '
Ta có:
pp
p
a
ρ aρ b
ρ
p
p − a − a a a
p
t
ρ
ηc
ρ
p
= a +p1 2p q , H
a ρ a ρ a ρ a ρ ρ a ρ a
ρ
t
e e
Fpρ1 2p, ,qρt
pρρ
ap1 2p qρc
,a
c
ηc Atp
ρ e ρ ρ e ρ
q1
ρ
at p1
2p
q
η
qq b
qρ
111
()
+ a +p1ηc
2p q , ∑ Cq 'a +p +q 'a p b−+q ' + bq '
ηc
=
,
(1.10)
(1.9)
1
q1
t
1
2
1
1
1
1
2
1
q1
1
t
ρ e ρ ρ
Atp pρ
a p1 2p qρ ,a
ηc
t1 b bq bq1 ηq1 a1 a p2 b bq1bq
1
1
2
q1
e + +
= ∑ε
a Ap+(t1 )a p 2 a p p
=ωq a+1 a p2 c
bq
t
(
p
= ε p2 −
q1
p p p+1
e ρ
At ap1
2
(1.11)
2
− Aε(t ) p1 −
t
)
a p 2 bq
1
1
2p
qρ
A(t ) a p+1 a p2 bq
6
p2
A
t p1
+
+
a p1 a p2 bq∑ωq1bq1bq1
ρ ηq ρp apρρa qρ ,qρ
p
At Fpρ1 , pρ 2 ,qρt
a a b∑bω
ωq papaq qbqb−b
∑
q p p q q qb
+
ρq1
ρ
=ωq Fp1 2p, ,q (t )
+
+
ρ pρ ρ ρq1 ρ ρρ
+
ρ
Lu ận văn tốt nghi ệp
Đỗ Tuấn Long
+
+
+
a p1 a p 2 bq , ∑ Cq 'a p +q 'a p b− q ' + bq ' =
p, q '
t
()
ρ ρCρq 'apρ ρ
a
p, q '
=
a b
ab
bq '
2
q ' p q
q'
pρ ρ ρ ρρ ρ p
1
t
{a
∑C
(
1
C
a
a a
b
q ' q ' p 1
2
ρ ρ ρ pρ ρ ρ pρ ρρ
p, q '
ρ
2
b
q
t
()
)
t
∑ Cq ' {a ppa−q 'bq (b−+q ' + bq ' ) − a p+ +q 'a p (b−+q ' + bq ' ) bq}
+
1
a pbq '
q '
ρ
++q 'a p2b−+qb
qδb
p,q
p1'
−
' +
a pbq b− q ' + bq ' δ2 p+q−', p a p
q'
+1
p
+
p, q '
aqpρ'aρpρaρpaρ p ρ ρ q ',q
=
2
1
−
2
q'
t
ρ a ρpapρ1pρ
aρ a
ρ C q pρq
p
2
t
Tachỉgiữlạicá sốhạngchứatrungbìnhsốđiệntửnp(t)=a+ pvà
t
trung bình số phonon Nq
q qρ
ρ bỏ
bρ bquat số hạng thứ ba chứa thành
, đồng thời
phần bậc hai của n p (t ) , thu được:
bρ ρq qρ
aρ aCρ q bρpρ1q pρ 2 bq qρ
a pρ1 a pρ 2 bqρρ,ρ Cqρ 'a pρqρ 'a pρ bqρ ' bqρ ' Cq ρpρa1 a pρb2q
p, q '
t
Thay (1.10), (1.11) và (1.12) vào (1.9) ta thu được:
i
∂Fp1 , p2 ,q (t )
e e
A(t ) +ωq Fp1 2p, ,q (t ) +
= ε p2 − −Aε(t ) p1 −
∂t
c c
Cq
p1
2
ρ
a ab
p q q ρ
1
ρ2pρq qρ
ρ
b b a
(1.13)
Giải phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 không thuần nhất (1.13) với giả
thiết đoạn nhiệt Fp1
Fpρ1 2ρp, ,qρt
i
2p,
,q
(t ) t =−∞ = 0 ta thu được:
dt C a
a bpρ
ρ bρ
a
1 a
2 pρq q qbρbρ ρ
ρ
ρ
ρ
1 q pρ1q2 p q q
t
it e e
× exp ∫ dt2 ε p1 −
t1 c
η
2
−
A
) (εt −p2
c
7
2
A(tq
) −ω
(1.12)
Lu ận văn tốt nghi ệp
Đỗ Tuấn Long
Sử dụng biến đổi:
e e
A (t )
= A(t )
c c
2
2
eρ eρ ρ
ρ
η2
η2
p2 p1 At
2m ηc
2m ηc
22222 e
A (t )
p2
1
2 1 ) 2( p − p
= − p−
2mρ 2mρ 2mc
ηe ρ ρ
p
p21 p2 1 A
t p ρ
mc
1Aρt
Eρt với E (t ) = e1sin1 β 2t + 2et sin β
và tính A(t ) thông qua:
ρ
trong đó
ρ
e1 e2 E0
2
2
2
ρ
ct
với Ω =
1
2
, ∆Ω = 1 2 , ∆Ω Ω .
2
2
ρ
Ta biến đổi Eρt
ρ e1 sin
ρ 1t e2 sin2t
E0
2
2
sin1t22
sin2t
12
∆Ω Ω nên ta thực
đúngbiến
1điệu
2 ;
. Khiđộ
đó,biến
E (đổi
t ) được
viếttheo
lại thời gian:
Do hiện
sóngphép
điện gần
từ mạnh
có biên
chậm
;
ρ
ρ sau: E0
ρ1 21 2
như
2 sin
t E
t sin
Et ;
2 sint
1
2
0cos
hay:
2
2
2
t
= E (Ωt ) với E0 0cost
E
E (t ) Ecos
0 2 ( ∆Ωt ) sin0 ((Ωt
τ) sin
ρ
ρ
Phép lấy tích phân cho ta: A(t ) =
cE0 ( τ)
cos ( Ωt ) .
Ω
Từ đó ta tính được:
t p2
At ηqρ
exp dt2 p1 A
1
iηtt
ρ e ρ ρ e ρ
ηc t ηc −i
E0 ( τ )
(
p
1
−
p
2
)
cos
(
Ωt
)
exp
∫
Ω
t1
e
dt2
ie ρmρ
E0
p1 p2 ρ sint sint1
exp p1 p2 ηqρt t1 exp
i t
= exp ∫ dt2
t1
m
i ρ
ρ
η2
8
Lu ận văn tốt nghi ệp
Đỗ Tuấn Long
+∞
Áp dụng biến đổi: exp ( ±iz sin ϕ ) =
∑ Jν ( z ) exp ( ±iνϕ ) ta được:
ν =−∞
i t e e
A(t ) −ωq =
exp ∫ dt2 ε p1 − − A
ε (t ) p2 −
c
c
t1
ρ
ie ρ ρ E0
i ρ ρ
p
sint
sint
1
p
p1 2
exp
exp
2
m
η
i
( p ωq )(t − t1 ) ×
= exp (ε ( p1 ) −2 ε) −
ρ ρ ρ
ρ ρ ρ
p J sa p1 2
p
exp il st lt t1
J la p1 2
l ,s
i
= exp ε ( p1 ) − ε ( p2 ) −ωq − lΩ (t − t1 ) ×
(
)
ρ ρ ρ
ρ ρ ρ
a p1 p2 J sa p1 pexp
2 il st
J l
l ,s
eE0 ( τ)
t biểu thức của Fpρρ1 2p, ,qρt :
với a( τ) =
= . VàeEta0 cos
thu ∆Ω
được
mΩ2
mΩ2
Fp1 , p 2 ,q (t ) =
a
b − a
∫ dt1C− q (pa +
−q p bq q p a p
−∞
it
+ +
+
1
2
1
2
)
bb
+q q q
×
i ρ
ρ
exp p1 p2 ηqρ lη t t1
η
×∑ J l a ( τ)( p1 −2 p) J s a ( τ)( p1 2−)p exp{i (l − s ) Ωt}
(1.14)
l ,s
Một cách tương tự, ta tìm được:
i
ρpa
ρ bpρ
ρbρa
a
ρbρ
Fpρ1 2ρp, ,qρt t
dt1Cρq pρaq
2
1 qq
2
1pρq q qbρ
(
)
× exp η
i
p
p
J la
p1 2 J sa p1 2 expil st
ρ ρ ρ
ρ ρ ρ
l ,s
p
Từ (1.14) và (1.15) ta tìm được Fp, p−q ,q (t ) , F +−q , p,−q (t ) , Fp+q , p,q (t ) ,
Fpρ , pρqρ ,qρt rồi thay vào (1.8) ta được:
9
(1.15)
Lu ận văn tốt nghi ệp
Đỗ Tuấn Long
2
∂n p (t )
1
=
( τ) q exp{i (l − s ) Ωt}×
∑
Cq ∑ J l a ( τ)q J as
∂t
2 q
l ,s
i
ρ
dt1n pρqρt1 Nqρt1 1 nn, pρt1 N qρt1 exp pρq
pρ
η
)
(
)
−ωq − lΩ (t −
t1 ) + n p+q (t1 ) N−q (t1 ) − n p(t1 ) N−q (t1 ) + 1 ×
i
exp pρqρ pρη qρ lη t t1n pρt1 Nqρt1 1
η
i
−n p −q (t1 ) N q (t1 ) exp ε p− εp −q −
q −ω
lΩ (t − t1 ) −
(
)
n pρt1 N qρt1 n pρqρt1 Nqρt1 1
i
× exp ε p
(
p −q
+ω− q − lΩ (t − t1 )
(1.16)
− ε
)
Biểu thức (1.16) là phương trình động lượng tử cho điện tử tự do trong bán
dẫn khối khi có mặt sóng điện từ mạnh biến điệu theo biên độ. Ta giải (1.16) bằng
ρ n pρ , Nq
ρ t1
ρ N
ρρq . Khi đó n p , N q
phương pháp gần đúng lặp, tức là ta lấy: n pt1
được đưa ra ngoài dấu tích phân. Ta thực hiện tính:
t
i
∫ dt1 exp (ε p +q − ε p −ωq − lΩ)(t − t1 ) =
−∞
i
ρ
ηlη
t
exp pρq
p ρqρ
η
t
−i
exp
(ε p +q p − qε−lΩ−ω
) t1
×
−i
(ε p+q
− ε p −ωq − lΩ)
−∞
iη
ρ ρ
ηρ q
ρ lη i
pq
p
Việc đưa vào số hạng iδ là do giả thuyết đoạn nhiệt tại t = −∞ . Lúc này,
(1.16) trở thành:
∂n p (t )
∂t
=
2
i
∑
Cq ∑ J l a ( τ) q J s a ( τ) q exp{i (l − s ) Ωt}×
q
l ,s
10
Lu ận văn tốt nghi ệp
Đỗ Tuấn Long
×
+
N 1 n
np
q
−
pq
Nq
pρ pρqρ ηqρ lη i
Lấy tích phân theo dt, và chuyển chỉ số l s s ta thu được:
1
ηq
2
ρ ρ ρ ρ exp
is
t
l ,ss
×
+
N 1 n
np
q
−
pq
Nq
pρ pρqρ ηqρ lη i
(1.17)
Biểu thức (1.17) chính là biểu thức của mật độ hàm phân bố điện tử trong
bán dẫn khối khi có mặt sóng điện từ mạnh biến điệu theo biên độ. Ta sẽ sử dụng
biểu thức này để tính toán mật độ dòng và hệ số hấp thụ sóng điện từ mạnh biến
điệu theo biên độ bởi điện tử tự do trong bán dẫn khối.
1.1.2. Hệ số hấp thụ sóng điện từ mạnh biến điệu theo biên độ bởi điện tử tự do
trong bán dẫn khối.
Mật độ dòng điện tử trong bán dẫn khối được cho bởi:
ρ
j (t )
j (t ) = e
p
ηc
mp
Ω
cos ( Ωt )
với n0 n pt là nồng độ hạt tải trong hố lượng tử.
p
2
hay j (t ) =j (t) −
(
mΩ
)
n p+q N q + 1 − n p N q
(1.19)
mp
(
)
n p+q N − q − n p N − q + 1
− εp −ω
− lΩ + iδ ε − ε
ε p +q
q
p +q p +ω− q − lΩ + iδ
ρ
ρ
(
)
n p N − q − n p−q N − q + 1
ρρ ρ
11
n pρtρ Cqρa
q aJlsq
J l
(
)
n p+q N q + 1 − n p N q
(
)
n p+q N − q − n p N − q + 1
− εp −ω
− lΩ + iδ ε − ε
ε p +q
q
p +q p +ω− q − lΩ + iδ
ρ
ρ
(
)
n p N − q − n p−q N − q + 1
ρρ ρ
eη ρ e ρ
At
m pρn pρt
n0e2 E0 ( τ)
∑ pn p (t ) − m
ρ ρ
n0 e 0E( τ)
ρ
eη ρ
cos ( Ωt ) ; với %j (t )
ρ pn pρt
Lu ận văn tốt nghi ệp
Đỗ Tuấn Long
Xétj (t ) , lưu ý rằng ta chỉ lấy phần thực của hàm phức là mật độ dòng. Ta
sử dụng: expist cos st i sin st , và
1
i
thành phần chứa cos st sau khi lấy tích phân sẽ cho kết quả bằng 0, suy ra:
Rej (t )
e
sin
st
2
m p,q
s
l ,s
N
Thay (1.20) vào (1.19) ta thu được biểu thức mật độ dòng. Từ đây, ta xây
dựng biểu thức hệ số hấp thụ sóng điện từ mạnh biến điệu theo biên độ bởi điện tử
tự do trong bán dẫn khối:
(1.20)
Ta có:
m
t
n0e2 1 T 2
với T
2
(1.22)
i . Và lưu ý
m p
e
m
Do
2
a q aJls
q
aJlsq
J
N
n p Nq 1 n pq q pq pq l
l ,s Cq q
1 T sin
st
s
l
sintdt
sintdt
T0
nên trong phép lấy tổng theo s ta lấy s1
, từ đó thu được:
e8
jt E2t
2
pn pt E0 sint
c E0
c E0 m p
n0e2 E0
cost E0 sint
12
n0e2 E0
cost E0 sint
m T0
e
E0 cost sintdt 0
pn pt E0 sint
Cq
p,q
a Jqls
a q J ls
a q
qE0 J l
n p Nq 1 n pq q pq pq l
T 0
1 T sin st1/ 2 khi : s
s
0 khi : s
Lu ận văn tốt nghi ệp
Đỗ Tuấn Long
e
∑ pn p (t ) E0 ( τ) sin ( Ωt ) =
m p⊥
e 2 ρ ρ
ρ ρ
ρ ρ
ρ ρ
a q J al1
q
aJl1
q
qE0 J l
Cqρ
m ρρp,q
l
×
(
)
(
)
1 n p Nq + 1 − n p+q Nq δ ε p+q − ε p +ωq − lΩ
Ω
(1.23)
Thay (1.22) và (1.23) vào (1.21) và sử dụng J l1 x J l1 x
2l
x
J l x ta
thu được biểu thức của hệ số hấp thụ:
16 2
Cqρ
c E02ρ pρ ,qρ
2
aρρ q
lJ l2
l
× n p ( Nq + 1) − n p+q Nq δ (ε p+q p q − lΩ)
− ε +ω
(1.24)
Xét trường hợp hấp thụ gần ngưỡng η0 lη = và tán xạ điện tử phonon quang. Ta sử dụng hàm phân bố cân bằng của điện tử là hàm phân bố
Bolztmann (khí điện tử không suy biến). Khi đó, trung bình số điện tử cho bởi:
εp
n0 e 3/2 η3
n = n exp
−
với n0
*
V0 mkBT 3/2
kB*T
p 0
ρρ
Thực hiện phép lấy tổng theo p và q ta thu được biểu thức của hệ số hấp
thụ như sau:
4π e n0 ( kBT )4m 1 1 Ω − ω0 1/2 5/2
1 +
3kBT ×
3c χ∞ Ω35 χ∞ χ0 4 ( Ω − ω0 ) π
3kBT
E0
30 e2
η
0 3kBT / 4
1
1
20mη4
2
Biểu thức (1.25) chính là biểu thức hệ số hấp thụ sóng điện từ mạnh biến
điệu theo biên độ bởi điện tử tự do trong bán dẫn khối với trường hợp hấp thụ gần
ngưỡng. Ta thấy rằng, hệ số hấp thụ phụ thuộc vào tần số Ω , cường độ E0 của
sóng điện từ mạnh biến điệu theo biên độ, nhiệt độ T của hệ và thời gian t.
13
(1.25)
Lu ận văn tốt nghi ệp
Đỗ Tuấn Long
CHƢƠNG 2: HỆ SỐ HẤP THỤ PHI TUYẾN SÓNG ĐIỆN TỪ MẠNH BIẾN
ĐIỆU THEO BIÊN ĐỘ BỞI ĐIỆN TỬ GIAM CẦM TRONG HỐ LƢỢNG TỬ
2.1. Phƣơng trình động lƣợng tử cho điện tử trong hố lƣợng tử khi có mặt sóng
điện từ mạnh biến điệu theo biên độ.
Hamiltonian của hệ điện tử - phonon trong hố lượng tử khi có mặt sóng điện
từ mạnh biến điệu theo biên độ có dạng:
H=
∑ε
n, p⊥
n
e +
pA⊥(t−) an+, p ⊥ an, p ⊥ +
c
∑ω
q q q
+
∑C
q n, n '
b ba
+
( qz n+, p +q
n, p) a
(b−+q Iq
)
⊥
q
,n
n'
⊥
⊥
b
p
trong đó:
an, pρ , an, pρ là các toán tử sinh, hủy điện tử.
+
bq ,qb là các toán tử sinh, hủy phonon.
p, q lần lượt là véc tơ sóng của điện tử và phonon.
qρ là tần số của phonon.
e
A(t ) là phổ năng lượng của điện tử trong trường ngoài.
c
Cq là hằng số tương tác điện tử - phonon.
I n, n ' qz là thừa số dạng đặc trưng cho hố lượng tử:
L
2
n'
iq z
z sin
n
I n, n ' qz
0
sin
q
z
zq z e dz
L
z
−1 ∂A(t )
= E (t )
c ∂t
ρ
At là thế véc-tơ của trường sóng điện từ mạnh biến điệu:
ρ
1sin β t2+ e sin β2t
ρ ρ
e1 e 2 E 0 β + β β − β
ρ
2
2
với ; Ω = 2
1 2 , ∆Ω = 1 2 , ∆Ω Ω
trong đó Et được cho bởi: E (t ) = e1
2
2
2
ρ
nρ
ρ
Phương trình động lượng tử cho trung bình số điện tử nn, pt a, p an, p
có dạng:
i
∂nn, p⊥ (t )= an+, p⊥ ⊥,n p , H .
a
t
∂t
Hay:
14
t
Lu ận văn tốt nghi ệp
i
∂nn, p⊥ (t )
∂t
Đỗ Tuấn Long
e
t
ρ a
ρ bρ b
ρ
q
t
(2.1)
n, p
n ', n '', p '⊥ , q
t
Sử dụng các hệ thức của toán tử sinh, hủy điện tử, và toán tử sinh, hủy boson
n, p
ρ
, a', p '
a
n, p
a
a', p ' an, p a', p ' n,n ' p , p ' ; an, p , an ', p '
, p
0
, a', p '
+
Ta có:
ρ
e ρ
ρ
n ', p '
=
t
∑
n ', p '⊥
c
a δ
)
t
(2.2)
0
ρ
q
ηq a, p
ρ
t
q
n ', n '', p '⊥ , q
t
(
∑
n ', n '', p '⊥ , q
ρ
+ an+, p⊥ a⊥ ,
nρ
nρ
ρρ
)
p , p
p
b b
(b
)
an '', p '
∑ Cq'pnI ', n+'' (bqz ) an+', p ' +q na '',
⊥ ⊥
ρn
15
ρ
nρ
q
q
−+q
⊥
ρn ρ
−
t
Cq I n ', n '' qz a', p 'q
n ', n '', p ' , q
t
)(
an, pρ,n p , ηq q qρ
a
=
+
Cq I n ', n '' qz
= an+, p⊥ an, p⊥ , ∑ ε n ' p '⊥ − A(t ) an+',
+ p '⊥ an ', p '⊥
c
n ', p '⊥
Cq I n ', n '' ( qz ) a +, p⊥
b−q + bq
ρ
n ', n '', p ' , q
=
+q
q
t
ρ
ρ
=δ
b =bb
q, q
b ' = b q, bq+' = 0
bq ,q+'
q q '+ − bq '+ bq q ,q '; b
an, pρ an, pρ , n ' p ' Atan ', pρ ' an ', pρ '
ηc
e
A(t ) an+, p⊥
(
b
an, pρ an, pρ , ηρqbq qρ
n⊥',⊥p '
δ
δ
p,p
⊥ ⊥n,n ⊥' ⊥'p,
'
− an+', p ' an, p
n,n '
δ p
ρ
b pρb aan, pρ
an, pρ bρq b
q ρ
q q n,
ρ nρ
+
+
+
I qqn)', an '' ( z n ', p '⊥ ⊥
an, p⊥ a⊥,n p , C∑
ρ
⊥
()
a ' b− q qb
⊥p'',n
an, pρ n, pρan, pρ an', pρ 'qρ an '', pρ ' an', pρ 'qρ an '', pρ ' an, pρ a bqρ bqρ
ρ
n
ρ
nρ
⊥ ⊥ ⊥
⊥ ⊥ ⊥
δ
δ
p '⊥ + n,n ' p , p ' +q
n, pρ
ρn
ρ
a
ρρ
− an+', p ' +q an, p an '',
ρ
a, ρ
n,n '' ρ ρ '
Lu ận văn tốt nghi ệp
=
∑ Cq I n, n ' ( qz ) a +, p an ' , p −q (b−q + − ∑ Cq I n ', n ( qz ) a +', p +q an, p (b−q bq )
n '', q
Đỗ Tuấn Long
n ', q
⊥
⊥
⊥
n ', q
⊥
ρ
q
bqρ
(2.4)
t
Thay(2. ),(2.3),(2.4)vào(2.1), vàđặtFn1,p1,n2,p2,q(t)=a+,p1an2,p2bq;
Fρn, p1ρ,n2ρ, p2 ,qtρ an1 , p1 an2 , p2 bq
i
+
t
a', pqρ an, p b
⊥
t
ρ Cq nIρ , n ' qz an,ρp na ', pρqρ
⊥
∂nn, p⊥ (t )
∂t
n ', q
a2 , pρ2 an1 , p1b
t
=
t
∑',
Cq I n, n ' ( qz ){Fn, p
⊥
q ,n, p ,q
t
ta được:
,n ', p⊥ −q⊥ ,q
(t ) + Fn+ p
n, p ,n ', p
Fn',pρ tFρq,t
⊥
−q⊥ ,n, p⊥ ,−q
(t ) −
(2.5)
Ta tìm biểu thức của Fn1 1 2 2p, ,q (t ) bằng
phương pháp phương trình động
, p ,n
lượng tử: iη
i
Fn1 , pρ1 ,n2 , pρ 2 ,qρ
t
t
an1 , 1pρ a2 n2p, ρ bqρ , Ht . Hay:
∂Fn1 , p1 ,n2 , p2 ,q (t )
e +
(tp)⊥a− a
= an+1 1 2 2ap, bq , ∑
εA
n
∂t
c
n, p⊥
an1 , pρ1 an2 , pρ2 bρq ,ρqρη
1bqρ1 bqρ1
q1
n, p⊥ n, p⊥ +
t
,pn
t
)
+ an+1 , p1 an2 , p2 bq ,
n3 , n '3 , p⊥ , q ' ∑ Cq 'I n3 , n '3 ( q 'z na +3 , p⊥ +q '⊥ an '3 , p⊥ b−+q ' + bq t'
()
(2.6)
Ta có:
ρ
a ρ bqρ ,ρ nA
n1 1 ρ2 2p,
pt
a ρ a ρ
ea
ρ
n,
p
ηc
=
e
1 1
2
2 ⊥
⊥
∑ ε n p⊥ −c
A(t ) an+ , p an , p an+, p an, p
n, p⊥
n, p n,
t
p
,pn
(
)
−a+,p⊥n⊥a+,p1n2 bq
t
ρ e ρ
a,n pρ anρ2 , p2 ρ ρan, p bq
ρ n p ηc Atan ,1pρ 1 n,n2
pρ , pρ2
n, p
16
t
Lu ận văn tốt nghi ệp
−
Đỗ Tuấn Long
e
c
n, p⊥
t
ρ e ρ ρ e ρ
ηc
e
c
ηc
t
e
c
(2.7)
an1 , p1 an2 , p2 bq , q1bq1bq1
q1
t
+
=
1
q1
1
1
2
2
+
1
1
1
ρ
1
ρ
1 1
2
2
1
1
1
b bq bq1 ηq1 a , p1 an2 , p2 b bq1bq
t
(2.8)
,
n3 , n '3 , p , q '
∑
n3 , n '3 , p⊥ , q '
=
2
, p ,n
t
=
2
q1
ρ
1
t
q1
1
q1
∑
−
( )
−
t
b
Cq 'I n3 , n '3 q 'z a , pq ' an '3 , p a , p1 an2 , p2
q
t
Cq 'I n3 , n '3 ( q 'z ) a + , p1 an '3 , p⊥ bq
( )δ
−
δ
n3 ,n2 p⊥ +q '⊥ , p2
t
ρ
n3 , n '3 , p , q '
∑
Cq 'I n3 , n '3 q 'z a , pq ' an2 , p2
b
q n '3 ,n1 p , p1
t
Cq 'I n3 , n '3 ( q 'z ) a + , p⊥ +q '⊥ a + , p1 an '3 , p⊥ an2 , p2δ −q ',q
n3 , n '3 , p⊥ , q '
t
ρ
n '3 , q '
t
Cq 'I n3 , n '3 ( q 'z ) a + , p1 an2 , p2 a +3 , p⊥ +q '⊥ an '3 , p⊥ bq
ρ
n3 , n '3 , p , q '
n3 , n '3 , p⊥ , q '
2
3
1
1
3
2
17
∑ ε n p⊥ −
At n1 p1
n2 p2
ρ
At an1 , pρ1 an2 , pρ2 bqρ
A(t ) − ε n1 p1 −
= ε n2 p2 −
ρ
( )
A(t ) an+, p⊥ δ n,n1δ p⊥ , p1 − an+1 , p1 an, p⊥ an2 , p2 bq
A(t ) Fn1 , p1 ,n2 , p 2 ,q (t )
ρ ρ ρρ
ρ
η
∑ωqa+ , pna, p q q qb−b∑bωq a + , p
an , p q q bqb b
ρ ηq na , p na , pρ qρ ,qρ
ρq1
=ωq a+ , p1 an2 , p2 bq =ωq Fn1
ρ
1 2 2p,
ρ n1 ρ
,q
ρ ρq1 ρ ρρ
ρ
(t )
aqρ ' an '3 , pρ bqρ ' bqρ '
an1 , pρ1 an2 , pρ2 bq ρ ρqρC
'I n3 , n '3 q 'z n3 ,pρ
n1 n
ρ
ρ
n3 ρ ρ
n1
ρ
ρ n1 ρ
ρ
b−+q ' + bq '
bqρ ' bqρ '
ρ
b−+q ' + bq '
ρ
bqρ ' bqρ '
ρ
n3 ρ ρ
n3 n1
Cq 'I n , n ' q 'z a , p an ' , pq ' bqbq ' bq '
ρ ρρ
