Giải thuật di truyền giải bài toán tối ưu đa mục tiêu

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

NGUYỄN THỊ NHUNG

GIẢI THUẬT DI TRUYỀN GIẢI BÀI TOÁN TỐI ƯU
ĐA MỤC TIÊU

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội - 2015


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

NGUYỄN THỊ NHUNG

GIẢI THUẬT DI TRUYỀN GIẢI BÀI TOÁN TỐI ƯU
ĐA MỤC TIÊU
Chuyên ngành : Toán ứng dụng
Mã số

: 60 46 01 12

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS.Phạm Thanh Hà

Hà Nội - 2015

LỜI CẢM ƠN

Trước khi đi vào từng phần cụ thể của khóa luận tốt nghiệp này, tôi
muốn gửi lời cảm ơn chân thành nhất đến TS Phạm Thanh Hà- người đã đưa
ra đề tài, tận tình giúp đỡ và hướng dẫn tôi trong suốt thời gian tôi thực hiện
khóa luận này.
Tôi xin cảm ơn phòng quản lý và đào tạo sau đại học trường Đại học
sư phạm Hà Nội 2 đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt thời gian học
tập và thực hiện khóa luận. Đồng thời tôi cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành
nhất đến gia đình, bạn bè, đồng nghiệp đã luôn đôn đốc, tạo điều kiện, hỗ trợ
về mặt tinh thần cho tôi trong quá trình thực hiện luận văn.
Cuối cùng tôi xin cảm ơn các bạn cao học khóa 17 chuyên ngành toán
ứng dụng trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 đã quan tâm, chia sẻ và đóng góp
ý kiến để tôi hoàn thành luận văn.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội tháng 10 năm 2015
Học viên

Nguyễn Thị Nhung


LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan rằng số liệu và kết quả nghiên cứu trong luận văn
này là trung thực và không trùng lặp với các đề tài khác. Tôi cũng xin cam
đoan rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận văn này đã được cảm ơn và
các thông tin trích dẫn trong luận văn này đã được chỉ rõ nguồn gốc.

Hà Nội tháng 10 năm 2015

Học viên

Nguyễn Thị Nhung


MỤC LỤC
Trang
LỜI CẢM ƠN
LỜI CAM ĐOAN
MỤC LỤC
DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU
DANH MỤC CÁC HÌNH
MỞ ĐẦU ....................................................................................................... 1
CHƯƠNG 1. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU ..... 4
1.1 Quan hệ thứ tự trong không gian ............................................................ 4
1.2 Các định nghĩa ....................................................................................... 4
1.3.Bài toán tối ưu đa mục tiêu .................................................................. 10
1.4. Các khái niệm tối ưu ........................................................................... 11
1.4.1. Tối ưu pareto ................................................................................. 11
1.4.2. Nghiệm tối ưu Pareto chặt và yếu .................................................. 12
1.4.3. Nghiệm tối ưu Pareto chính thường và điểm hữu hiệu chính thường . 14
1.5. Một số các phương pháp giải bài toán tối ưu đa mục tiêu .................... 17
1.5.1. Phương pháp rằng buộc ................................................................. 17
1.5.2. Phương pháp tổng trọng số ............................................................ 19
1.5.3. Phương pháp tổng trọng số chấp nhận được đối với bài toán tối ưu
2 mục tiêu ................................................................................................ 20
1. 5.4. Phương pháp tổng trọng số chấp nhận được cho bài toán tối ưu đa
mục tiêu ................................................................................................... 24
CHƯƠNG 2. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ GIẢI THUẬT DI TRUYỀN .. 34
2.1. Các khái niệm cơ bản của giải thuật di truyền ..................................... 34

2.1.1. Giới thiệu chung ............................................................................ 34
2.1.2 Giải thuật di truyền đơn giản........................................................... 35


2.2. Thuật toán di truyền. ........................................................................... 39
2.3. Giới thiệu thuật toán di truyền (Genetic Algorithm) ............................ 46
CHƯƠNG 3. GIẢI THUẬT DI TRUYỀN GIẢI BÀI TOÁN TỐI ƯU ĐA
MỤC TIÊU .................................................................................................. 48
3.1. Một số thuật toán di truyền giải bài toán tối ưu đa mục tiêu ................ 48
3.1.1. Thuật toán MOGA ( Multi-Objective Genetic Algorithm) ............. 48
3.1.2. Thuật toán SPEA ........................................................................... 50
3.1.3. Thuật toán SPEA2 ......................................................................... 51
3.1.4. Thuật toán NSGA (Thuật toán di truyền sắp xếp các nghiệm
không trội ) .............................................................................................. 54
3.1.5. Thuật toán NSGA-II ...................................................................... 55
3.2. Khoảng cách quy tụ - Crowding Distance ........................................... 57
3.3. So sánh ưu điểm và khuyết điểm của các thuật toán di truyền đa mục tiêu .. 60
3.4. Giải bài toán với thuật toán SPEA2: .................................................... 61
3.5. Các giải thuật tiến hóa cho bài toán tối ưu đa mục tiêu........................ 64
KẾT LUẬN .................................................................................................. 69
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................ 70


DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU

f ( f1 ( x), f 2 ( x)) : Vector hàm mục tiêu

x  ( x1 ,..., xn )

: Vector biến quyết định

ni

: Số lượng đoạn cần mịn hóa thứ i

li

: Chiều dài đoạn thứ i

larg

:

C

: Hệ số nhân

P1, P2

: Điểm cuối của đoạn

ði

:

Khoảng cách vuông góc từ các điểm trên biên đến nón R+Q

x1, x2

:

Kích thước của lưới

f(x,p)

: Hàm mục tiêu của vector x và véc tơ tham số cố định p

p

: Vector tham số cố định

g(x, p)

: Vector ràng buộc bất đẳng thức với tham số p

h(x,p)

: Vector ràng buộc đẳng thức với tham số p

, w

: Vector trọng số

fi

: Hàm mục tiêu được chuẩn hóa

fU

:

Điểm utopia

fN

:

Điểm nadir

fi*

:

NE

:

Chiều dài trung bình của tất cả các đoạn ở mỗi bước

Điểm anchor thứ i
Số lượng lớn nhất mà tập E có thể chứa được các tập nghiệm
không trội

NP

:

Số lượng cá thể trong quần thể/ kích thước tập P.

k

N
: Tham số của mật độ tính toán: k  f

nu

: Số nghiệm trội hơn nghiệm u

S

: Tập nghiệm trội bởi nghiệm u

E

 NP


Po,Pt

:

Quần thể ban đầu và tại thế hệ thứ t

Qt

:

Quần thể con tạo thành từ các cá thể trong Pt

Fj

:

Biên chứa các nghiệm không trội. Với j=1,…, R

I =Ri=E(ri) : Kỳ vọng của ri
I

:

Phương sai của ri

Oij

:

Hiệp phương sai giữa ri và rj

R

: Vector giá trị kỳ vọng của ri

Rnxn

:

Ma trận hiệp phương sai của oịj


DANH MỤC CÁC HÌNH

Hình 1.1. Mô phỏng bài toán tối ưu đa mục tiêu ........................................... 10
Hình 1.2a: Minh họa cho i, iv,v Hình 1.2b: Minh họa cho ii,iii .................... 12
Hình 1.3. Tuyến tính hóa các đoạn trên biên Pareto...................................... 21
Hình 1.4. Xác định khoảng cách giữa 1 và 2 dựa trên j ............................ 23
Hình 1.5. Biên Pareto tìm được bằng phương pháp tổng trọng số ................. 26
Hình 1.6. Biên Pareto tìm được bằng phương pháp tổng trọng số chấp nhận
được hai mục tiêu ......................................................................... 27
Hình 1.7: Minh họa phương pháp Adaptive Weight Sum ............................. 28
Hình 1.8: Trong trường hợp 3 chiều, biên Pareto là mặt và mảnh biên
Pareto đã được tuyến tính hóa bằng 4 đoạn thẳng nối 4 đỉnh ........ 30
Hình 1.9. Minh họa 3 chiều mô tả ràng buộc đẳng thức bổ sung cho quá
trình minh hóa biên Pareto ............................................................ 32
Hình 2.1. Sơ đồ lai ghép 1 điểm cắt .............................................................. 36
Hình 3.1: Minh họa bán kính  share ............................................................... 49
Hình 3.2: Minh họa thuật toán MOGA ......................................................... 50
Hình 3.3: Minh họa tính toán độ thích nghi của các cá thể ........................... 52
Hình 3.4.Minh họa cách xóa bỏ các nghiệm nào có  k nhỏ nhất .................. 52
Hình 3.5. Sơ đồ khối của thuật toán SPEA2 ................................................. 53
Hình 3.6: Minh họa biên chứa các nghiệm không trội và thứ hạng tương
ứng ............................................................................................... 54
Hình 3.7. Sơ đồ khối thể hiện thuật toán NSGA-II ....................................... 57
Hình 3.8. Minh họa khoảng cách quy tụ quanh nghiệm i .............................. 57
Hình 3.9. Minh họa các biên và thứ hạng ..................................................... 58
Hình 3.10. Minh họa sự quy tụ của các nghiệm quanh một nghiệm .............. 58
Hình 3.11. Minh họa khoảng cách quy tụ quanh nghiệm x ........................... 59


Hình 3.12. Kết quả chạy thuật toán với số lượng thế hệ tối đa là 50 và số
lượng cá thể trong mỗi thế hệ là 50. .............................................. 62

Hình 3.13. Kết quả thực hiện thuật toán với thông số đầu vào: số lượng cá
thể trong mỗi thế hệ là: 50 và số lượng thế hệ tối đa là 50 ............ 63
Hình 3.14. Kết quả thực hiện thuật toán với thông số đầu vào: số lượng cá
thể trong mỗi thế hệ là: 100 và số lượng thế hệ tối đa là 100 ........ 63
Hình 3.15. Kết quả thực hiện thuật toán với thông số đầu vào: số lượng cá
thể trong mỗi thế hệ là: 200 và số lượng thế hệ tối đa là 200 ........ 64


1

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Bài toán tối ưu hóa đa mục tiêu đặt ra yêu cầu tìm phương án tốt nhất
để đạt được cực tiểu, cực đại nhiều mục tiêu cùng lúc, nếu có một phương án
như vậy thì ta gọi là phương án lý tưởng.
Tuy nhiên trong bài toán tối ưu nhiều mục tiêu thường thì các mục tiêu
xung đột với nhau nên việc cố gắng làm tăng giá trị tiểu, cực đại của mục tiêu
này kéo theo giảm (tăng) cực đại, cực tiểu của mục tiêu khác, do đó việc tồn
tại phương án lý tưởng là rất hiếm.
Thông thường cách tốt nhất là tìm một phương án nhằm thỏa mãn các
yêu cầu các mục tiêu trong một mức độ chấp nhận được và phương án như thế
gọi là phương án thỏa hiệp các mục tiêu.
Trên thực tế có rất nhiều bài toán tối ưu đa mục tiêu, đặc biệt trong
kinh tế, kỹ thuật như các bài toán về thiết kế, lập kế hoạch.
Thuật toán tiến hóa hình thành dựa trên quan niệm cho rằng: quá trình
tiến hóa tự nhiên là quá trình hoàn hảo nhất, hợp lý nhất, và nó tự mang tính
tối ưu. Quan niệm này được xem là tiền đề đúng, không chứng minh được,
nhưng phù hợp với thực tế khách quan. Quá trình tiến hóa thể hiện tính tối ưu
ở chỗ thế hệ sao bao giờ cũng tốt hơn (phát triển hơn, hoàn thiện hơn) thế hệ
trước.

Tiến hóa tự nhiên được duy trì nhờ hai quá trình cơ bản: sinh sản và
chọn lọc tự nhiên. Xuyên suốt quá trình chọn lọc tự nhiên, các thế hệ mới
luôn được sinh ra để bổ sung, thay thế thế hệ cũ. Cá thể nào phát triển hơn,
thích ứng hơn với môi trường sẽ tồn tại. Cá thể nào không thích ứng với môi
trường sẽ bị đào thải. Sự thay đổi của môi trường là động lực thúc đẩy quá
trình tiến hóa. Ngược lại, quá trình tiến hóa cũng tác động ngược lại làm thay
đổi môi trường.


2

Các cá thể mới được sinh ra trong quá trình tiến hóa nhờ sự lai ghép ở
thế hệ cha-mẹ. Một cá thể mới có thể mang những tính trạng của cha-mẹ (di
truyền), cũng có thể mang những tính trạng hoàn toàn mới (đột biến). Di
truyền và đột biến là hai cơ chế có vai trò quan trọng như nhau trong quá trình
tiến hóa, dù rằng đột biến xảy ra với xác xuất nhỏ hơn nhiều so với hiện tượng
di truyền. Các thuật toán tiến hóa tuy có những điểm khác biệt, nhưng tất cả
đều mô phỏng bốn quá trình cơ bản: lai ghép, đột biến, sinh sản và chọn lọc tự
nhiên.
Với những khả năng tiềm tàng của giải thuật tiến hóa. Luận văn sẽ tập
trung nghiên cứu xây dựng giải thuật tiến hóa để giải quyết bài toán tối ưu đa
mục tiêu.
2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu bài toán tối ưu đa mục tiêu và một số phương pháp giải bài
toán tối ưu đa mục tiêu.
Nghiên cứu giải thuật tiến hóa trong đó có giải thuật di truyền.
Nghiên cứu xây dựng giải thuật di truyền trong giải bài toán tối ưu đa
mục tiêu.
Cài đặt chương trình giải quyết một bài toán ứng dụng tối ưu đa mục
tiêu.

3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Nghiên cứu bài toán tối ưu đa mục tiêu và một số phương pháp giải bài
toán tối ưu đa mục tiêu.
Nghiên cứu giải thuật tiến hóa trong đó có giải thuật di truyền.
Nghiên cứu xây dựng giải thuật di truyền trong giải bài toán tối ưu đa
mục tiêu.
4. Phương pháp nghiên cứu
- Nghiên cứu lý thuyết kết hợp với cài đặt thực nghiệm.


3

5. Ý nghĩa khoa học của đề tài
Hệ thống các kiến thức về tối ưu đa mục tiêu và giải thuật di truyền,
nghiên cứu ứng dụng giải thuật di truyền giải bài toán tối ưu hóa đa mục tiêu.


4

CHƯƠNG 1
CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU
1.1 Quan hệ thứ tự trong không gian
Trong Toán học, quan hệ hai ngôi là sự kết hợp hai phần tử bất kỳ trong
cùng một tập hợp hoặc với các phần tử của tập hợp khác. Quan hệ hai ngôi
được sử dụng trong nhiều nhánh khác nhau của toán học như trong số học ta
có các quan hệ: lớn hơn hoặc bằng, bằng… Trong hình học ta có các quan hệ:
đồng dạng, đối xứng, song song,… Trong lý thuyết đồ thị ta có các quan hệ:
kề nhau, liên thông,...Quan hệ hai ngôi cũng được sử dụng trong khoa học
máy tính, nhất là trong các mô hình quan hệ cơ sở dữ liệu như: các quan hệ:
một – nhiều, nhiều – nhiều.

Trong lý thuyết tối ưu nhiều mục tiêu quan hệ thứ tự hai ngôi có ý
nghĩa rất quan trọng trong việc đưa ra các khái niệm về nghiệm tối ưu. Thông
qua các khái niệm này ta lựa chọn nghiệm nào là nghiệm tốt nhất cho bài
toán.
1.2 Các định nghĩa
Xuất phát từ khái niệm tích Đề-cát của hai tập hợp các cặp có thứ tự
của hai tập hợp A, B bất kỳ

A  B  ( a, b ) / a  A, b  B
Một cách tổng quát, một quan hệ n ngôi là một tập hợp bất kỳ của các
bộ n-thứ tự từ n tập hợp
Chúng ta chỉ xét trường hợp đơn giản nhất là quan hệ hai ngôi trên một
tập hợp. Điều này có nghĩa là tập hợp của cặp có thứ tự, ứng với các phần tử
của mỗi tập là thuộc cùng một tập A.
Định nghĩa 1.1: Quan hệ hai ngôi trên tập A là tập con R của A×A. Ta
gọi đơn giản là quan hệ hai ngôi


5

Ký hiệu: aRb hoặc R ( a, b ) hoặc ( a, b )  R gọi là “ a R- quan hệ b”
Ví dụ 1.1: Xét tập hợp S  1, 2, 3, 4, 5 thì quan hệ “<” là tập hợp các
cặp thứ tự: (1, 2 ) , (1,3) , (1, 4 ) , (1,5) , ( 2,3) , ( 2, 4 ) , ( 2,5) , ( 3, 4 ) , ( 3,5) , (4,5)
Quan hệ hai ngôi R tương ứng với hàm đặc trưng
PR : A  B  True, False

Định nghĩa 1. 2: Quan hệ ngược là một quan hệ 2 ngôi R:AxB được
xác định:
R–1 ∶≡ {(b, a)|(a, b) R}.
Ví dụ 1.2: <–1 = {(b, a) | a < b} = {(b, a) | b > a} = >.

Ví dụ 1.3: Nếu xét quan hệ R: “Người” x “ăn” được định nghĩa bởi:
a R b  a ăn b,
b R−1 a  b thì được ăn bởi a
Định nghĩa 1. 3: Cho R là một quan hệ 2 ngôi trên tập A, khi đó R gọi là:
i) Phản xạ nếu (a, a) ∈ R, ∀a ∈ A ( hoặc là a  A (aRa) )
Ví dụ 1.4: Các quan hệ =, `có cùng tính chất toán học’, 
<=, >=, , , … là phản xạ
ii) Phi phản xạ nếu (a, a) ∉ R, ∀a ∈ A hoặc là aA ( aRa )
Ví dụ 1.5: Quan hệ <, >, ‘có tính chất toán học khác nhau’,  là phi
phản xạ.
iii) Đối xứng nếu ∀a, b ∈ A sao cho (a, b) ∈ R ⟹ (b, a) ∈ R
Ví dụ 1.6: Quan hệ “ = ” là đối xứng.
iv)

Phản xứng nếu ∀a, b ∈ A sao cho (a, b) ∈ R ⟹ (b, a) ∉ R

Ví dụ 1.7: Quan hệ “ < ” là phản xứng.
v) Phi đối xứng nếu ∀a, b ∈ A sao cho (a, b) ∈ R và (b, a) ∈ R ⟹ a = b
Ví dụ 1.8: các quan hệ “ ≥, <, , =” là Phi đối xứng
vi) Bắc cầu nếu ∀a, b, c ∈ A sao cho (a, b) ∈ R rà (b, c) ∈ R ⟹ (a, c) ∈ R


6

Ví dụ 1.9: Quan hệ “ ≥, <, >, = “ là bắc cầu.
vii) Phủ định bắc cầu nếu ∀a, b, c ∈ A sao cho (a, b) ∉ R và (b, c) ∉ R
⟹ (a, c) ∉ R
Ví dụ 1.10: Nếu “ chó sói ăn cừu ” và “ cừu ăn cỏ ” nhưng “ sói không
ăn cỏ ” thì quan hệ “ ăn ” là phủ định và bắc cầu
viii) Phản bắc cầu nếu: ∀a, b, c ∶ aRb ⋀ bRc ⟹ ¬aRc

Ví dụ 1.11: Nếu “ A quen B” và “ B quen C” nhưng “ A chưa chắc
quen C” thì quan hệ “ quen” là phản bắc cầu
ix) Liên hợp nếu  a, b A sao cho a≠b(a,b)R hoặc (b,a)R
Ví dụ 1.12: Cho A là tập các số chẵn thì quan hệ chia hết là lien hợp.
x) Liên hợp mạnh nếu a, bA(a,b)R hoặc (b,a)R
Ví dụ 1.13: Cho A=N. Thì quan hệ <, >,… là liên hợp mạnh.
Định lý 1.1: R là đối xứng khi và chỉ khi R= R−1
Chứng minh:
 Giả sử R là đối xứng. Thì: (x,y) R (y,x) R (x,y) R−1
< Giả sử R = R−1 Thì: (x,y) R (x,y) R−1 (y,x) R
Định nghĩa 1.4: Cho R là một quan hệ 2 ngôi trên A khi đó:
i) R được gọi là quan hệ tương đương nếu R có tính chất phản xạ, đối
xứng và bắc cầu.
ii) R được gọi là tiền thứ tự nếu R có tính chất phản xạ và bắc cầu.
Ví dụ 1.14: =; “các tập tương đương”; “chia hết”; mod…
Trong trường hợp quan hệ R là tiền thứ tự thì cặp (A,R) được gọi là tập
tiền thứ tự. Để tiện ta thay đổi quan hệ R là ≼. Do đó ta quy ước viết:
a ≼ b thay cho (a, b) ∈ ≼
a ⋠ b thay cho (a, b) ∉ ≼
với bất kỳ một quan hệ ≼ là tiền thứ tự nào thì cũng có quan 2 quan hệ
khác mà ta định nghĩa chúng như sau:


7

x ≺ y ⟺ x ≺ y rà y ≰ x (1.1)
x ~ y ⟺ x ≼ y rà y ≼ x (1.2)
Mệnh đề 1.1: Cho ≼ là một tiền thứ tự trên tập A. Khi đó:
 Quan hệ ≺ định nghĩa trong (1.1) là phi phản xạ và bắc cầu.
 Quan hệ ~ định nghĩa trong (1.2) là quan hệ tương đương.

Mệnh đề 1.2:
 Một quan hệ hai ngôi phản xứng là phi phản xạ.
 Một quan hệ hai ngôi bắc cầu và phi phản xạ là phản xứng.
Định nghĩa 1.5: Một quan hệ hai ngôi ≼ trên A là:
i) Tiền thứ tự tổng quát nếu ≼ là phản xạ, bắc cầu và liên hợp.
ii) Thứ tự tổng quát nếu ≼ là tiền thứ tự tổng quát phi đối xứng. Như
quan hệ ≤ đối với số nguyên là thứ tự tổng quát.
iii) Thứ tự yếu chặt nếu ≼ là phản xứng và phủ định bắc cầu.
Mệnh đề 1.3:
Nếu ≼ là tiền thứ tự tổng quát trên A, khi đó quan hệ ≺là thứ tự yếu chặt.
Nếu ≺ là thứ tự yếu chặt trên A, khi đó ≼ định nghĩa bởi:
x ≼ y ⟺ x ≺ y hoặc (x ⊀ y và y ⊀ x )(1.3) là tiền thứ tự tổng.
Định nghĩa 1.6: Quan hệ hai ngôi ≼ được gọi là thứ tự từng phần nếu
là phản xạ, bắc cầu và phi đối xứng.
Định nghĩa 1.7: Quan hệ hai ngôi ≼ được gọi là thứ tự từng phần chặt
nếu ≼ là phản xứng và bắc cầu ( hoặc ≼ là phi phản xạ và bắc cầu )
Trong luận văn này chúng ta sử dụng quan hệ thứ tự trên không gian
Euclid_Rn.
Khi đó ta có một số thứ tự trên Rn.


8

Kí hiệu

Định nghĩa

Tên gọi

x≤y

Nếu xi ≤ yi với i= 1,..,n

Thứ tự từng phần yếu

x
Nếu xi ≤ yi với i= 1,..,n; x ≠ y

Thứ tự từng phần

x≪y

Nếu xi < yi với i= 1,..,n

Thứ tự từng phần chặt

x ≤Lex y

Nếu xk < yk hoặc x = y

Thứ tự tự điển

x ≤Mo y

Nếunmaxi=1,…,n{xi}≤

Max_thứ tự.

maxi=1,…,n{ yi}

Định nghĩa 1.8: Một tập con K ⊆ Rn được gọi là nón nếu:
ßx ∈ K với mọi x ∈ K và ß ∈ R, ß > 0
Ví dụ 1.15: K=R2+ ={xR2\xi≥0,i=1,2} là nón
Định nghĩa 1.9: Nón k trong Rn gọi là:
Không tầm thường nếu K ≠ ∅ và K ≠ Rn
Lồi nếu αx1 + (1 – αx2) ∈ K với mọi x1, x2 ∈ K và 0 < α < 1
Nhọn nếu K ∩ (−k) ⊂ {0}
Mệnh đề 1.4: Cho một quan hệ thứ tự ≼ trên Rn, ta định nghĩa tập:
K≼ = { y − x | x ≼ y}. Khi đó K≼ là nón.
Chứng minh:
Cho u ∈ K≼ khi đó: u = y – x với x, y ∈ Rn
⟹ x ≼ y ⟹ ßx ≼ ßy với ß >0
Do đó: ßu = ß(x − y) = ßx − ßy ∈ K≼ với ß >0
Định lý 1.2: Cho ≼ một quan hệ 2 ngôi trên Rn là phép nhân vô hướng.
Khi đó:
i)

0 ∈ K≼ nếu ≼ là Phản xạ

ii)

K≼ lồi nếu ≼ là Bắc cầu

iii)

K≼ nhọn nếu ≼ là Phi đối xứng


9

Chứng minh:
(i): Giả sử quan hệ: ≼ là Phản xạ
Khi đó: x ≼ y với x ∈ Rn ⟹ x − x = 0 ∈ K≼
(ii): Giả sử quan hệ ≼ là Bắc cầu và Cho u, r ∈ K≼
Nên: u − 0 ∈ K≼ và 0 − r ∈ −K≼
Điều này có nghĩa là: 0 ≼ u và −r ≼ 0. Mà ≼ là Bắc cầu ⟹ −r ≼ u
Do đó: u − r = u + r ∈ K tức là K lồi
(iii): Giả sử ta có 0 ≠ u ∈ K≼.
Thì u = y − x ∈ K≼ và – u = x − y ∈ K≼ với x, y ∈ Rn
Do 0 ≠ u nên x ≼ y và y ≼ x nhưng x ≠ y. Điều này vô lý.
Định nghĩa 1.10: Cho K là nón. Ta định nghĩa thứ tự theo nón ≼K là:
x ≼K y ⟺ y − x ∈ K

(1.12)

Mệnh đề 1.5: Cho K là nón và thứ tự theo nón ≼K trong (1.12) là phép
nhân vô hướng và cộng trong Rn. Hơn nữa:
i)

≼K là phản xạ nếu 0 ∈ K

ii)

≼K là bắc cầu nếu K lồi

iii)

≼K là phi đối xứng nếu K nhọn

Chứng minh: Cho x, y, z ∈ Rn và 0 < ß ∈ R với x ≼K y. Ta có: y − x ∈ K

Do K là nón nên: ß(x − y) ∈ K => ßx ≼K ßy
Và x ≼Ky nghĩa là: y − x = (z + y) − (x + z)
Do đó: (z + y) ≼K(x + z)
Cho x ∈ Rn. Khi đó x − x = 0 ∈ K ⟺ x ≼K x
Cho x ≼K y và y ≼K z khi đó: y − x ∈ K và z − y ∈ K
Do K lồi nên: y − x + z − y = z − x ∈ K  x ≼K z
(3) Cho x, y ∈ Rn với x ≼K y và y ≼K x. Khi đó ta có:
y - x ∈ K và x − y ∈ K. y − x ∈ K(−K) = {0}. Do đó: y = x


10

1.3.Bài toán tối ưu đa mục tiêu
Có rất nhiều lớp khác nhau để biểu diễn cho bài toán tối ưu đa mục
tiêu. Trong phạm vi luận văn này ta sẽ biểu diễn bài toán tối ưu đa mục tiêu
dưới dạng sau: Min  f1 ( x ) ,..., f k ( x )

( P1 ) , sao

cho : x  X

Trong đó:
x: là biến quyết định





X  x   n / g j ( x )  0; h j ( x )  0, j  1,..., p  n là không gian quyết định
fi :  n   với i  1,..., k là các hàm mục tiêu.

Đặt: Y   y  ( f1 ( x ) ,..., fk ( x ) ) k  là không gian hàm mục tiêu.
KHÔNG GIAN QUYẾT ĐỊNH

KHÔNG GIAN MỤC TIÊU

F3

X2

F2
X1

F1

Hình 1.1. Mô phỏng bài toán tối ưu đa mục tiêu
Định nghĩa 1.11: Một nghiệm x*  X của bài toán (P1) được gọi là
nghiệm lý tưởng nếu: f i ( x* )  f i ( x), x  X , i  1,..., k 
Nói một cách khác một nghiệm mà nó thỏa mãn tất cả các hàm mục
tiêu cần tối ưu ứng với miền chấp nhận được là X. Thực tế thì những nghiệm
như vậy rất ít tồn tại. Nếu đưa ra một số khái niệm khác về tối ưu có vẻ ‘ mềm
dẻo’ hơn đó là nghiệm tối ưu Pareto.


11

Định nghĩa 1.12: Một nghiệm x  ( x1 , x2 ,..., xn ) được gọi là trội hơn
 f ( x )  fi ( y )
nghiệm y  ( y1 , y2 ,..., yn ) ký hiệu là: x  y , nếu:  i
j  1,..., n

i  1,..., k 
f j ( x)  f j ( y)

Định nghĩa 1.13: x  ( x1 , x2 ,..., xn ) được gọi là nghiệm không trội hơn
nghiệm y  ( y1 , y2 ,..., yn ) nếu x  X , không tồn tại y  X sao cho: y X x
1.4. Các khái niệm tối ưu
1.4.1. Tối ưu pareto
Định nghĩa 1.14: Một nghiệm x*  X được gọi là một nghiệm tối ưu
Pareto nếu không tồn tại một nghiệm x  x*  X sao cho x trội hơn x* . Nghĩa
là: f ( x )  f ( x* )
Tính chất
*
i) Nếu x là nghiệm tối ưu Pareto thì f ( x* ) gọi là điểm hữu hiệu

ii) Nếu x1 , x2  X và f ( x1 )  f ( x2 ) thì ta gọi x1 trội hơn x2 và f ( x1 ) trội
hơn f ( x 2 )
iii) Tập hợp tất cả các nghiệm tối ưu Pareto x*  X và tập các điểm hữu
hiệu y  f ( x* )  Y lần lượt là: X par và Yeff
Định nghĩa 1.15: Các định nghĩa tương đương khác.
x* là nghiệm tối ưu Pareto nếu:

i) Không tồn tại một nghiệm x  X sao cho: f ( x ) trội hơn f ( x* )
ii) Không tồn tại một nghiệm x  X sao cho: f ( x )  f ( x* )   RK \ 0
iii) f ( x )  f ( x* )  R K \  RK \ 0 , x  X

(

) 


f ( x )  f ( X ) \  f ( x ) sao cho

iv) f ( X )  f ( x* )  R  f ( x* )
v) Không tồn tại

*

( )

f ( x )  f x*  RK

vi) f ( x )  f ( x* ) với x  X nghía là: f ( x )  f ( x* )


12

Yeff
f(x*)

f(X)

f(x*- RK+)
f( x)
f(x*)
- RK+

Yeff

f(X)- f(x*)

Hình 1.2a: Minh họa cho i, iv,v Hình 1.2b: Minh họa cho ii,iii
1.4.2. Nghiệm tối ưu Pareto chặt và yếu
Định nghĩa 1.16: Nghiệm x∗∈ X được gọi là một nghiệm tối ưu yếu
Pareto nếu không tồn tại một nghiệm x ∈ X sao cho:
ƒ(x) ≪ ƒ(x∗) i = {1, … k}
Khi đó: Điểm y =ƒ(x∗)∈ Y gọi là điểm hữu hiệu yếu.
Tập nghiệm tối ưu Pareto yếu và tập các điểm hữu hiệu yếu lần lượt ký
hiệu là:
Xw–par và Yw–eff
Định nghĩa 1.17:
Nghiệm x∗ ∈ X được gọi là một nghiệm tối ưu chặt Pareto nếu không
tồn tại một nghiệm x ∈ X và x ≠ x∗ sao cho: ƒ(x) ≤ ƒ(x∗).
Khi đó: Tập nghiệm tối ưu Pareto chặt ký hiệu là: Xs-par
Từ định nghĩa ta nhận xét rằng:
Yeff ⊂ Yw-eff
Xs-par ⊂ Xpar ⊂ Xw-par
Định nghĩa 1.18: Cho X ⊂ Rn, một ánh xạ ƒ: X → R và x ∈ X. Kℎi đó:
L≤(ƒ( x ))= { x ∈ X | f(x) ≤ f(x x )} được gọi là tập mức của f tại x


13

L=(ƒ( x ) )= { x ∈ X | f(x) = f(x¯)} được gọi là mặt mức của f tại x
L<(ƒ( x )) = L≤(ƒ(x¯))\L=(ƒ(x¯)) = { x ∈ X | f(x) < ƒ(x¯)} được gọi là
tập mức chặt của f tại x
Nhận xét: Từ định nghĩa ta nhận thấy: L=(ƒ(x¯)) ⊂ L≤(ƒ(x¯))
Định lý 1.3: Cho x∗ ∈ X và định nghĩa yq = ƒq (x∗) khi đó:
1) x∗ là nghiệm tối ưu Pareto chặt nếu và chỉ nếu:
k

 L ( y )  x 
*



q

q 1

2) x∗ là nghiệm tối ưu Pareto nếu và chỉ nếu:
k

k

L ( y )  L  ( y )


q

q 1

q

q 1
k

3) x∗ là nghiệm tối ưu Pareto yếu nếu và chỉ nếu:

L ( y )  



q

q 1

Chứng minh:
(1): “ x∗ là nghiệm tối ưu Pareto chặt ”
 không tồn tại một nghiệm x ∈ X và x ≠ x∗ sao cho: ƒ(x) ≤ ƒ(x∗)
 không tồn tại một nghiệm x ∈ X và x ≠ x∗ sao cho:
ƒq(x) < ƒq(x∗) với q  1, k
 không tồn tại một nghiệm x ∈ X và x ≠ x* sao cho:
k

k

q 1

q 1

x   L ( yq )   L ( yq )  x*

 

(2) ‘‘ x* là nghiệm tối ưu pareto’’
 không tồn tại một nghiệm xX sao cho

( )

( )

f q ( x )  f q x* với q  1, k và với f j ( x )  f j x* với j  1,..., k 

 không tồn tại một nghiệm xX sao cho


14
k

x   L ( yq ) và x  L ( y j ) và j  1,..., k
q 1
k

k

q 1

q 1

  L ( yq )  L ( yq )

(3) ‘‘ x* là nghiệm tối ưu pareto yếu ’’
 không tồn tại một nghiệm xX sao cho

( )

f q ( x )  f q x* với q  1, k

 không tồn tại một nghiệm xX sao cho:
k

k

q 1

q 1

x   L ( yq )   L ( yq )  

1.4.3. Nghiệm tối ưu Pareto chính thường và điểm hữu hiệu chính thường
Theo định nghĩa tối ưu Pareto ta nhận thấy rằng nếu x∗ là một nghiệm
tối ưu Pareto thì nó không cho phép cải thiện giá trị của một hàm mục tiêu
trong khi vẫn duy trì giá trị của các hàm mục tiêu khác. Do đó để cải thiện
một hay nhiều giá trị của hàm mục tiêu này ta buộc phải làm “giảm” giá trị
của các hàm mục tiêu khác đã được chấp nhận mà ta gọi đây là sự thỏa hiệp.
Sự thỏa hiệp giữa các tiêu chuẩn này được đo bằng cách tính toán việc giảm
giá trị của hàm mục tiêu ƒj trên đơn vị tăng về mặt giá trị của hàm mục tiêu ƒj.
Định nghĩa 1.19: (Geoffrion 1986)
x∗ ∈ X được gọi là tối ưu Pareto chính thường theo Geoffrion nếu x∗ là
nghiệm tối ưu Pareto và nếu có một số M > 0 sao cho: mỗi i rà ∀ x ∈ X thỏa
mãn ƒi(x) < ƒi(x∗) và tồn tại một chỉ số j sao cho ƒj(x∗) < ƒj (x). Hơn nữa:

( )
M
( x )  f ( x)

fi x*  fi ( x )
fj

*

j

Khi đó giá trị hàm mục tiêu đạt được tương ứng tại x∗ là: y∗ = ƒ(x∗)
gọi là điểm hữu hiệu chính thường.


15

Nhận xét: Một nghiệm tối ưu Pareto chính thường có biên thỏa hiệp
giữa tất cả các hàm mục tiêu.
k

Ta xét bài toán lồi sau đây: min
 i f i ( x ) (P2)
x X
i 1

Thì (P2) gọi là bài toán trọng tổng số.
Trong đó: i với i = 1, …, k là các trọng số không âm đối với các hàm
k

mục tiêu và  i  1
i 1

Định lý 1.4 (Geoffrion 1968): Cho i  0 với i = 1, …, k với i=1,…,k
k

với

   1. Nếu x∗ là nghiệm tối ưu Pareto của bài toán (P2) khi đó x∗ là
i

i 1

nghiệm tối ưu Pareto chính thường.
Chứng minh:
Cho x∗ là nghiệm tối ưu Pareto của bài toán (P2). Để thấy rằng x∗ là
nghiệm tối ưu Pareto ta giả sử rằng tồn tại xr ∈ X với ƒ(xr) < ƒ(x∗)
ßi > 0 với i = 1, …, k và ƒi(xr) − ƒi(x∗) hàm ý sự mâu thuẫn rằng:
k

k

  f ( x ')    f ( x )
*

i i

i 1

i i

i 1

Để thấy rằng x∗ là nghiệm tối ưu Pareto chính thường, ta chọn một số
M thích hợp sao cho có một sự thỏa hiệp lớn hơn M dẫn đến sự mâu thuẫn vối
tính tối ưu của x∗ đối với bài toán tổng trọng số.
Cho: M  ( Q  1) max
i, j

j
i

Giả sử x∗ không là nghiệm tối ưu Pareto chính thường. Tức là tồn tại
một i và x ∈ X sao cho
ƒi (x∗) < ƒi (x) và ƒi (x∗) − ƒi(x) > M (ƒj(x) − ƒj(x∗)) ∀j sao cho: