Giải gần đúng một số phương trình đại số và phương trình siêu việt

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

NGUYỄN THỊ HẰNG

GIẢI GẦN ĐÚNG MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ
VÀ PHƯƠNG TRÌNH SIÊU VIỆT

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60 46 01 02

Người hướng dẫn khoa học: TS. NGUYỄN VĂN HÙNG

HÀ NỘI, 2015


LỜI CẢM ƠN
Luận văn được thực hiện và hoàn thành tại trường ĐHSP Hà Nội 2,
dưới sự hướng dẫn của Tiến sĩ Nguyễn Văn Hùng, người thầy đã hướng dẫn
và truyền thụ những kinh nghiệm đồng thời cũng là người khơi nguồn cảm
hứng cho tác giả trong học tập và nghiên cứu khoa học. Thầy luôn động viên
khích lệ tác giả vươn lên trong học tập và vượt qua khó khăn trong chuyên
môn. Tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng, biết ơn chân thành và sâu sắc đối với
thầy.
Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban lãnh đạo trường ĐHSP Hà Nội 2,
phòng Sau đại học đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả kết thúc tốt đẹp
chương trình cao học và hoàn thành luận văn tốt nghiệp.
Tác giả xin trân trọng cảm ơn Sở Giáo dục và Đào tạo Hà Nội, Trường
THPT Cổ Loa đã tạo điều kiện giúp đỡ tác giả có thời gian học tập và hoàn
thành tốt luận văn.

Hà Nội, ngày 10 tháng 11 năm 2015
Tác giả

Nguyễn Thị Hằng


LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới
sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Văn Hùng.
Trong khi nghiên cứu luận văn, tôi đã kế thừa thành quả khoa học của các nhà
khoa học nghiên cứu và đồng nghiệp với sự trân trọng biết ơn.

Hà Nội, tháng năm 2015
Tác giả

Nguyễn Thị Hằng


MỤC LỤC
MỞ ĐẦU ............................................................................................. 5
CHƯƠNG I: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ...................................................... 7
1.1. Nghiệm và khoảng phân li nghiệm .......................................................... 7
1.1.1. Nghiệm của phương trình một ẩn................................................ 7
1.1.2. Ý nghĩa hình học của nghiệm...................................................... 7
1.1.3. Sự tồn tại nghiệm thực của phương trình (1.1) ........................... 8
1.1.4. Khoảng phân li nghiệm ............................................................. 10
1.1.5. Phương pháp tìm khoảng phân li nghiệm của
phương trình (1.1) ........................................................................................ 11

1.2. Số xấp sỉ ................................................................................................ 11
1.3. Sai số ..................................................................................................... 12
1.3.1. Khái niệm ................................................................................. 12
1.3.2. Các loại sai số ........................................................................... 12
CHƯƠNG II: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI GẦN ĐÚNG PHƯƠNG
TRÌNH ĐẠI SỐ VÀ PHƯƠNG TRÌNH SIÊU VIỆT ............................... 14
2.1. Tổng quát hoá tìm nghiệm gần đúng của phương trình f ( x)  0 ............ 14
2.2. Phương pháp chia đôi ............................................................................ 14
2.3. Phương pháp lặp đơn ............................................................................. 16
2.4. Phương pháp dây cung .......................................................................... 18
2.5. Phương pháp Newton ............................................................................ 24
CHƯƠNG III: ỨNG DỤNG ...................................................................... 29
3.1. Tìm nghiệm gần đúng của phương trình f ( x)  0 với sai số cho trước .. 29
3.2. Sử dụng máy tính cầm tay để tìm nghiệm gần đúng của phương trình .. 38
3.2.1. Áp dụng phương pháp lặp ......................................................... 38
3.2.2. Phương pháp 2 ( dùng đạo hàm kết hợp với phép lặp - phương
pháp Newton ) .............................................................................................. 62
KẾT LUẬN ................................................................................................. 65
TÀI LIỆU THAM KHẢO.......................................................................... 66


-5MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Ngày nay các ngành khoa học nói chung và ngành toán học nói riêng
đã phát triển đến mức độ cao. Rất nhiều các bài toán trong thực tế ( Thiên
văn, đo đạc ruộng đất, vật lí, ...) dẫn đến việc cần giải các phương trình một
biến dạng f ( x)  0 . Nhìn chung các phương trình dạng f ( x)  0 thường khó
có thể giải được bằng phương pháp đại số, hoặc nếu các bài toán đó nếu có
thể giải được thì nó có công thức nghiệm phức tạp, cồng kềnh nên việc khảo
sát các tính chất của nghiệm qua công thức nghiệm đó gặp rất nhiều khó khăn.

Bởi vậy việc tìm nghiệm gần đúng và đánh giá mức độ sai số của nghiệm gần
đúng khi giải xấp xỉ phương trình một ẩn dạng f  x   0 là rất cần thiết.
Các nhà Toán học đã nghiên cứu và đưa ra một số phương pháp giải
gần đúng phương trình một ẩn dạng f  x   0 . Kết hợp với sự hỗ trợ đắc lực
của máy tính điện tử hiện đại nên việc tìm nghiệm gần đúng của các phương
trình phi tuyến một ẩn dạng f  x   0 trở nên đơn giản hơn rất nhiều. Tuy
nhiên trước mỗi bài toán phi tuyến dạng f  x   0 thì việc lựa chọn phương
pháp tìm nghiệm gần đúng nào để kết quả nghiệm tìm được chính xác hơn, sai
số nhỏ và tính toán nhanh thì phương pháp giải đó được xem là tối ưu hơn cả.
Không có phương pháp nào được xem là tối ưu tuyệt đối, mỗi phương
pháp đều có nét đặc trưng riêng của nó. Việc dùng phương pháp nào để giải
bài toán cho phù hợp còn tùy thuộc vào yếu tố khách quan của bài toán và
mức độ yêu cầu của công việc.
Với những lí do như đã nêu ở trên và mong muốn tìm hiểu sâu, trang bị
cho bản thân kĩ năng đánh giá, lựa chọn phương pháp giải gần đúng tối ưu
cho một số phương trình đại số và phương trình siêu việt dạng f  x   0 ( với
f  x  là một hàm phi tuyến ) và cũng do điều kiện về thời gian, năng lực của

bản thân còn hạn chế nên tôi đã chọn đề tài nghiên cứu để làm luận văn cao
học là:
" Giải gần đúng một số phương trình đại số và phương trình siêu việt ".


-62. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu các phương pháp tìm nghiệm gần đúng của phương trình
đại số và phương trình siêu việt dạng f  x   0 . Đưa ra các ví dụ số minh họa
cho kết quả lí thuyết.
Góp phần nâng cao năng lực nghiên cứu của bản thân, phục vụ hiệu
quả cho công tác nghiên cứu khoa học và đào tạo sau đại học chuyên ngành
toán giải tích của trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2.

3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Tìm tài liệu, đọc hiểu tài liệu.
Viết luận văn.
4. Đối tượng nghiên cứu và phạm vi nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu là:
Các phương pháp tìm nghiệm gần đúng của phương trình đại số và
phương trình siêu việt dạng f  x   0 như: Phương pháp chia đôi, phương
pháp lặp đơn, phương pháp Newtơn, phương pháp dây cung.
Các bài toán về phương trình đại số và phương trình siêu việt dạng

f  x  0 .
Phạm vi nghiên cứu:
Các phương pháp tìm nghiệm gần đúng của phương trình đại số và
phương trình siêu việt dạng f  x   0 .
5. Phương pháp nghiên cứu
Trang bị cho bản thân các kiến thức cơ bản về toán học cao cấp, giải
tích số, sử dụng thành thạo máy tính bỏ túi.
Sưu tầm và giải gần đúng một số bài toán đại số và siêu việt.
6. Đóng góp của luận văn
Xây dựng luận văn thành một tài liệu tham khảo tốt cho sinh viên và
học viên cao học về một số phương pháp giải gần đúng phương trình đại số
và phương trình siêu việt.


-7CHƯƠNG I: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1. Nghiệm và khoảng phân li nghiệm
1.1.1. Nghiệm của phương trình một ẩn
Xét phương trình một ẩn: f ( x)  0 .

(1.1)

trong đó:
f là một hàm số cho trước của đối số x .

Giá trị x0 được gọi là nghiệm của phương trình (1.1) nếu f ( x0 )  0 .
Nghiệm của phương trình (1.1) có thể là số thực hoặc số phức, nhưng ở đây ta
chỉ khảo sát các nghiệm thực.
1.1.2. Ý nghĩa hình học của nghiệm
Các nghiệm của phương trình (1.1) là hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số

y  f  x  với trục hoành.

Có thể biến đổi phương trình (1.1) về dạng g  x   h  x  , khi đó nghiệm của
phương trình (1.1) là các hoành độ giao điểm của hai đồ thị  C1  : y  g ( x) và

 C2  : y  h( x ) .


-8-

1.1.3. Sự tồn tại nghiệm thực của phương trình (1.1)
Trước khi tìm cách tính gần đúng nghiệm thực của phương trình (1.1)
ta phải kiểm tra xem nghiệm thực đó có tồn tại hay không. Khi đó ta có thể sử
dụng đồ thị hoặc sử dụng định lí sau.
Định lí 1.1.3.1. ( Bolzano - Cauchy )
Nếu hàm số f  x  liên tục trên đoạn  a, b  và thỏa mãn điều kiện
f  a  f  b   0 thì phương trình f ( x )  0 có ít nhất một nghiệm trong khoảng

 a, b  .

Chứng minh:
Không mất tính tổng quát giả sử f (a )  0, f (b)  0, ta chia đôi đoạn  a, b 
bởi điểm chia

ab
.
2


-9ab
TH1: f 
  0 ta có định lí được chứng minh.
 2 

ab
ab
TH2: f 
, khi đó ta xét đoạn  a1 , b1  .
  0 . Đặt c 
2
 2 
Với a1  a, b1 
Với a1 

ab
ab
nếu f 
0 .
2
 2 

ab
ab
, b1  b nếu f 
  0.
2
 2 

Ta lại chia đôi đoạn  a1 , b1  bởi điểm chia

a1  b1
. Có thể xảy ra hai khả
2

năng.
a b 
KN1: f  1 2   0 ta có định lí được chứng minh.
 2 

KN2: Ta lại thu được đoạn  a2 , b2  là một trong hai nửa của đoạn  a1 , b1  sao
cho f  a2  f  b2   0 .
Ta tiếp tục lặp các đoạn đó.
a b 
Khi đó hoặc sau một số hữu hạn bước ta sẽ gặp trường hợp f  i i   0 .
 2 

Và khi đó định lí được chứng minh
Hoặc được một dãy vô hạn các đoạn chứa nhau. Khi đó đối với đoạn thứ n,

 an , bn , (n  1,2,3...) ta

bn  an 

sẽ có f  an   0, f  bn   0 và độ dài của đoạn bằng

ba
.
2n

Dãy các đoạn ta lập được thỏa mãn các điều kiện của bổ đề về dãy các đoạn
ba
lồng nhau, bởi vì theo trên lim  bn  an   lim  n   0 .
n
n 
 2 

Vì vậy cả hai dãy an  , bn  dần tới giới hạn chung lim an  lim bn  c .
n

n 

Mà rõ ràng c   a, b  . Ta hãy chứng minh điểm c thỏa mãn yêu cầu của định
lí.


- 10 Thật vậy do tính liên tục của hàm số tại x  c , ta có f (c)  lim f (an )  0 .
n 

Và f (c)  lim f (bn )  0 .
n 

Vậy f (c)  0 . Ta có định lí được chứng minh.
1.1.4. Khoảng phân li nghiệm
Định nghĩa 1
Đoạn  a, b  ( hoặc khoảng  a, b  ) được gọi là khoảng phân li nghiệm
của phương trình f ( x)  0 nếu nó chứa một và chỉ một nghiệm của phương
trình đó.
Định lí 1.1.4.1
Nếu hàm số y  f  x  liên tục, đơn điệu trên  a, b và f  a  f  b   0
thì  a, b  là một khoảng phân li nghiệm của phương trình f ( x)  0 .
Chứng minh: Theo định lí ( Bolzano - Cauchy ) ta có phương trình f ( x)  0
ít nhất một nghiệm trên  a, b  .
Giả sử c1 , c2 là hai nghiệm phân biệt của phương trình f ( x)  0
Ta có f (c1 )  f (c 2 )  0 . Vì hàm số y  f  x  liên tục, đơn điệu trên  a, b 
nên c1  c2 ( trái giả thiết ).
Do đó phương trình f ( x)  0 có nghiệm duy nhất trên  a, b 
Vì vậy theo định nghĩa 2 thì  a, b  là một khoảng phân li nghiệm của phương
trình f ( x)  0 .
Nếu f  x  có đạo hàm thị điều kiện đơn điệu có thể thay thế bằng điều
kiện không đổi dấu của đạo hàm ta có định lí sau.
Định lí 1.1.4.2
Nếu hàm số y  f  x  liên tục, đạo hàm f '  x  không đổi dấu trên

 a, b 

và f  a  f  b   0 thì  a, b là một khoảng phân li nghiệm của phương

trình f ( x)  0 (1) .
Chứng minh:

- 11 Ta có hàm số y  f  x  liên tục, đạo hàm f '  x  không đổi dấu trên  a, b 
nên hàm số y  f  x  liên tục, đơn điệu trên  a, b  .
Theo định lí 1.1.4.1 hàm số y  f  x  liên tục, đơn điệu trên  a, b và
f  a  f  b   0 thì

 a, b 

là một khoảng phân li nghiệm của phương trình

f ( x)  0 .

1.1.5. Phương pháp tìm khoảng phân li nghiệm của phương trình (1.1)
a) Phương pháp giải tích.
Nếu f '  x  liên tục, xét dấu của f  x  tại hai đầu mút của miền xác
định và tại những điểm xi mà f '( xi )  0 suy ra ước lượng khoảng phân li
nghiệm.
Một đa thức bậc n có không quá n nghiệm, vì vậy phương trình đa
thức bậc n có không quá n khoảng phân li nghiệm.
b) Phương pháp hình học.
Vẽ đồ thị của hàm số y  f  x  trên giấy kẻ ô vuông suy ra ước lượng
khoảng phân li nghiệm ( hoành độ giao điểm của đồ thị y  f  x  với trục
hoành ).
Trường hợp khó vẽ đồ thị của hàm số y  f  x  , có thể biến đổi

y  f  x  về hàm tương đương h  x   g  x  . Vẽ đồ thị của y  h  x  và
y  g  x  suy ra khoảng phân li nghiệm.

1.2. Số xấp sỉ
Khi tìm nghiệm của phương trình đại số và phương trình siêu việt dạng
f ( x)  0 (1.1), ta thường thiết lập cả một dãy x0 , x1 ,..., xn ,... sao cho xn  

khi n   , trong đó  là nghiệm đúng của phương trình (1.1). Do giả thiết
liên tục của hàm f  x  ta có: lim f  xn   f    0.
n

Điều này có nghĩa là khi xn khá gần  thì f  xn  khá gần f   và có
thể xem f  xn   0 hay xn thực sự có thể xem là xấp xỉ của nghiệm.


- 12 Người ta thường cho số   0 đủ nhỏ và nếu xn     thì chọn xn làm
nghiệm xấp xỉ của phương trình (1.1) và dừng quá trình tính toán.
Một câu hỏi đặt ra là với cách chọn như vậy thì f  xn  đã có thể thực sự
xem là xấp xỉ của f   không, có bảo đảm rằng f  xn   f    f  xn 
khá gần 0 không? Cũng có lúc ta chỉ quan tâm là xn xấp xỉ  tốt như thế nào
thôi, nhưng cũng có trường hợp ta lại quan tâm là f  xn  có thể coi là gần 0
không, thì lúc này sự xấp xỉ của xn so với  chưa đủ, mà ta cần phải xét cả
giá trị f  xn  nữa. Chính vì lí do này mà trong các chương trình tính toán tôi
đưa thêm điều kiện dừng về f  xn  . Quá trình tính toán sẽ dừng nếu điều kiện
xn     và f  xn    thỏa mãn.

1.3. Sai số
Khi giải toán bằng phương pháp gần đúng thì sai số xuất hiện do sự sai
lệch giữa giá trị nhận được với nghiệm thực của bài toán, vì vậy ta phải đánh
giá sai số để từ đó chọn ra phương pháp tối ưu nhất.
1.3.1. Khái niệm
Giả sử x là số gần đúng của x ( x là số đúng), khi đó   x  x gọi là
sai số thực sự của x . Vì không xác định được  nên ta xét đến hai loại số sau:
- Sai số tuyệt đối: Giả sử x  0 đủ bé sao cho x  x  x khi đó x
gọi là sai số tuyệt đối của x .
- Sai số tương đối:  x 

x
.
x

1.3.2. Các loại sai số:
Dựa vào nguyên nhân sai số, ta có các loại sau:
- Sai số giả thiết: Xuất hiện do việc giả thiết bài toán đạt được một số
điều kiện lý tưởng nhằm làm giảm độ phức tạp của bài toán.
- Sai số do số liệu ban đầu: Xuất hiện do việc đo đạc và cung cấp giá trị
đầu vào không chính xác.


- 13 - Sai số phương pháp: Xuất hiện do việc giải bài toán bằng phương pháp
gần đúng
- Sai số tính toán: Xuất hiện do quá trình làm tròn số trong quá trình tính
toán, quá trình tính toán càng nhiều thì sai số tích lũy càng lớn.


- 14 CHƯƠNG II: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI GẦN ĐÚNG
PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ VÀ PHƯƠNG TRÌNH SIÊU VIỆT
2.1. Tổng quát hóa tìm nghiệm gần đúng của phương trình f ( x)  0
Để tìm nghiệm gần đúng của phương trình đại số và phương trình siêu việt ta
tiến hành qua hai bước:
- Tách nghiệm: Xét tính chất nghiệm của phương trình (1.1), phương
trình (1.1) có nghiệm hay không, có bao nhiêu nghiệm, các khoảng
chứa nghiệm nếu có. Đối với bước này ta có thể dùng phương pháp đồ
thị kết hợp với các định lí mà toán học hỗ trợ.
- Chính xác hóa nghiệm: Thu hẹp dần khoảng chứa nghiệm để hội tụ
được đến giá trị nghiệm gần đúng với độ chính xác cho phép. Trong

bước này ta có thể áp dụng một trong các phương pháp:
+ Phương pháp chia đôi.
+ Phương pháp lặp đơn.
+ Phương pháp dây cung.
+ Phương pháp Newton.
Công thức đánh giá sai số tổng quát cho các phép lặp ở trên như sau:
Định lí 2.1.1
Với

hàm

f  x

liên

tục

và

khả

vi

trên

m1 : 0  m1  f '  x  , x   a, b   m1  Min f '  x 
 a ,b

của nghiệm  , khi đó ta có đánh giá: xn   

ngoài

ra

và xn   a, b  là xấp xỉ

f  xn 
m1

 a, b  ,

.

2.2. Phương pháp chia đôi
a) Bài toán
Giả sử  a, b  là khoảng phân li nghiệm của phương trình f ( x)  0 (1) . Tìm
nghiệm thực gần đúng của phương trình 1 trên  a, b  với sai số không vượt
quá  cho trước.
b) Nội dung của phương pháp:


- 15 -

- Chọn x0 là điểm giữa  a, b làm nghiệm gần đúng x0 

ab
2

+ Nếu f  x0   0  x0 là nghiệm đúng  Dừng.
+ Nếu f  x0   0 và sai số x0   thì x0 là nghiệm gần đúng cần tìm với sai

số x0  Dừng.
+ Nếu f  x0   0 và sai số x0   thì xét dấu f  a  . f  x0  :
Nếu f  a  . f  x0   0 thì khoảng phân li nghiệm mới là  a, x0 
Nếu f  a  . f  x0   0 thì khoảng phân li nghiệm mới là  x0 , b 
- Lặp lại phương pháp chia đôi với khoảng phân li nghiệm mới.
- Quá trình lặp lần lượt cho ta các nghiệm gần đúng x0 , x1 ,.... và kết thúc khi
tìm được xn với sai số xn   .
c) Đánh giá sai số
Gọi  là nghiệm đúng, ta có:
Bước 0 :  0    x0 

1
1
b  a  , x0  1  b  a  .
1
2
2

11
1
 1
Bước 1 : 1    x1    b  a    2  b  a  , x1  2  b  a  .
2 2
2
 2

…
1 1
1
1


Bước n :  n    xn   n  b  a    n1  b  a  , xn  n 1  b  a  .
2 2
2
 2

d) Sự hội tụ về nghiệm


- 16 Ta có: xn   

1
b  a  .
2n 1

 1

 lim xn    lim  n 1  b  a    0  lim xn    0 .
x 
x 2
x 



Vậy dãy  xn  hội tụ về nghiệm của phương trình khi n   .
e) Sơ đồ tóm tắt phương pháp chia đôi
- Cho phương trình f  x   0 .
- Ấn định sai số  cho phép.
- Xác định khoảng phân li nghiệm  a, b  .
- Giải thuật của phương pháp chia đôi.

f) Ưu nhược điểm của phương pháp
- Ưu điểm: Đơn giải, dễ lập trình.
- Nhược điểm: Hội tụ về nghiệm chậm.
2.3. Phương pháp lặp đơn
a) Nội dung của phương pháp
Biến đổi phương trình f ( x)  0 về dạng x    x  với   x  liên tục trên

 a, b  .
- Lấy x  x0   a, b  làm nghiệm đúng ban đầu
- Tính x1    x0  .
- Tính x2    x1  .
- …..
- Tính xn    xn1  .
Nếu xn hội tụ về  khi n   thì  là nghiệm đúng của phương trình
f ( x)  0 , các xi là nghiệm gần đúng của phương trình f ( x)  0 .

b) Ý nghĩa hình học:


- 17 -

H1

H2

- Hình H1: hội tụ đến nghiệm  .
- Hình H2: không hội tụ đến nghiệm  (phân li nghiệm).
c) Sự hội tụ về nghiệm của phương pháp
Định lí: Giả sử  a, b  là khoảng phân li nghiệm của phương trình f ( x)  0

f ( x)  0  x    x  ,   x  và  '  x  là các hàm số liên tục trên  a, b . Nếu

 '  x   q  1, x   a, b thì dãy  xn  , n  0,1,2,... nhận được từ: xn    xn1 
hội tụ đến nghiệm  của phương trình f ( x)  0 .
Chứng minh:
Giả sử  là nghiệm đúng của phương trình f ( x)  0 , Ta có:

     .
x1    x0  .

 x1      x0      .
Theo định lí Lagrange, c1   x0 ,  nếu x0   hoặc c1   , x0  nếu   x0
sao cho:   x0        '  c1   x0    .
 x1     '  c   x0     q x0   .

Tương tự:
x2    q x1   .

x3    q x2   .
…
xn    q xn1   .


- 18 Do q  1 và x0   a, b nên xi   a, b  , i  1,2,..., n .
Hơn nữa: xn    q n x0   và lim q n x0    0 .
n

Nên xn hội tụ về nghiệm  khi n   .
d) Đánh giá sai số

xn    q xn1    q xn1  xn  xn    q xn1  xn  q xn   .
 1  q  xn    q xn 1  xn .

 xn   

q
xn  xn1 .
1 q

Hoặc có thể dùng công thức: xn   

qn
x1  x0 .
1 q

2.4. Phương pháp dây cung
a) Bài toán
Giả sử  a, b  là khoảng phân li nghiệm của phương trình f ( x)  0 (1) . Tìm
nghiệm thực gần đúng của phương trình 1 trên  a, b  với sai số không vượt
quá  cho trước.
b) Nội dung của phương pháp

- Thay cung AB bởi dây trương cung AB .
AB cắt trục hoành tại điểm  x1 ,0  .

- Nếu x1     thì x1 là nghiệm gần đúng cần tìm.


- 19 - Nếu không, lặp lại phương pháp dây cung với khoảng phân li mới

 x1, b  hoặc  a, x1  tùy theo tích chất của f  x  .
+ Nếu f  x1  . f  a   0 thì  a, x1  là khoảng phân li mới
+ Nếu f  x1  . f  a   0 thì  x1 , b  là khoảng phân li mới.
Với khoảng phân li nghiệm mới  x1 , b  , tính được nghiệm gần đúng x2 bằng
phương pháp dây cung.
- Quá trình lặp kết thúc khi tìm được nghiệm gần đúng xn có sai số
xn   .

Để xây dựng công thức tính nghiệm, ta xét thêm tính tăng giảm và lồi lõm của
đường cong f  x  . Giả sử f và f ' không đổi dấu trên  a, b  .

c) Công thức tính nghiệm
Trường hợp 1 : f '  x  . f ''  x   0


- 20 -

- Chọn x0  a
- phương trình đường thẳng A0 B là:

y  f  x0 
x  x0
.

f  b   f  x0  b  x0

x1 là nghiệm của hệ:
 y  f  x0 
x x
 1 0

f  x0  b  x0 

.
 f  b   f  x0  b  x0  x1  x0 
f
b

f
x




0
y  0


- Ở bước thứ n , phương trình đường thẳng An B là:
y  f  xn 
x  xn
.

f  b   f  xn  b  xn

xn1 là nghiệm của hệ:
 y  f  xn 
x x
 n 1 n
f  xn  b  xn 


b  xn  xn1  xn 
với x0  a .
 f  b   f  xn 
f  b   f  xn 
y  0


Trường hợp 2 : f '  x  . f ''  x   0


- 21 -

- Chọn x0  b .
- phương trình đường thẳng AB0 là:

y  f  x0 
x  x0
.

f  a   f  x0  a  x0

x1 là nghiệm của hệ:
 y  f  x0 
x x
 1 0
f  x0  a  x0 

.
 f  a   f  x0  a  x0  x1  x0 
f

a

f
x




0
y  0


- Ở bước thứ n , phương trình đường thẳng An B là:
y  f  xn 
x  xn
.

f  b   f  xn  b  xn
xn1 là nghiệm của hệ:

 y  f  xn 
x x
 n1 n
f  xn  a  xn 

a  xn  xn1  xn 
với x0  b .
 f  a   f  xn 
f
a


f
x




n
y  0


Từ hai trường hợp trên, ta rút ra công thức tính nghiệm chung:
xn1  xn 

f  xn  d  xn 
.
f  d   f  xn 

Trong đó:
d  b, x0  a nếu f  b  cùng dấu với f ''  x  hay ( f '  x  . f ''  x   0 ) .

d  a, x0  b nếu f  a  cùng dấu với f ''  x  hay ( f '  x  . f ''  x   0 ) .


- 22 d) Đánh giá sai số của phương pháp dây cung
Gọi  là nghiệm đúng của phương trình f ( x)  0 (1) , f  x  liên tục trên

 xn ,  (hoặc  , xn  nếu

f '  x  . f ''  x   0 ) và f  x  có đạo hàm trên  xn , 

(hoặc  , xn  nếu f '  x  . f ''  x   0 ).
Nếu số M , m thỏa mãn: 0  m  f '  x   M , x   a, b  thì có thể chọn sai
số tuyệt đối giới hạn cho xn là: xn 

f  xn 
m

hoặc xn 

M m
xn  xn 1 .
m

Chứng minh: Áp dụng định lí Lagrange
“ Cho hàm số f  x  liên tục trên  a, b , có đạo hàm trong khoảng  a, b  thì
tồn tại một số c   a, b  sao cho: f  b   f  a   f '  c  b  a  ”
f  xn   f    f '  c   xn    , c   xn ,    a, b  .

ta có:

f    0

Vì

và

0  m  f '  x  , x   a, b  nên f  xn   f    f '  c   xn     m xn   .
suy ra xn   

f  xn 
m

. Như vậy, để đánh giá độ chính xác của nghiệm nhận

được bằng phương pháp dây cung ta có thể sử dụng công thức
xn   

f  xn 
m





 hay x

max f  x  , x   a, b 
m

n



f  xn 
m

.

Ngoài ra, nếu biết hai giá trị gần đúng liên tiếp, ta có:

xn  xn1 

f  xn1  d  xn 
f  xn 1   f  d 
  f  xn1  
 xn  xn1  .
f  d   f  xn 1 
xn 1  d

Vì  là nghiệm đúng của phương trình f ( x)  0 (1) nên ta có thể viết:
f    f  xn1  

f  xn1   f  d 
 xn  xn1  .
xn1  d

Áp dụng định lí Lagrange, ta có:

f '  c1    xn1   f    f  xn1  , c1   , xn1  , và
f '  c2   xn 1  d   f  xn 1   f  d  , c2   xn 1 , d  .

Suy ra


- 23 f '  c1    xn1   f    f  xn 1  


f  xn1   f  d 
 xn  xn1 
xn1  d

f '  c2   xn 1  d 
 xn  xn1   f ' c2   xn  xn1 .
xn1  d

Vậy f '  c1    xn  xn  xn 1   f '  c2   xn  xn1  .
Hay f '  c1    xn    f '  c2   f '  c1    xn  xn1  .
   xn  

f '  c2   f '  c1 
f '  c1 

xn  xn1 .

Theo giả thiết ta có: f '  c2   f '  c1   M  m .
Do đó: xn  xn   

M m
xn  xn1 .
m

Như vậy ta có hai công thức đánh giá sai số:
xn 

f  xn 
m

hoặc xn 

M m

xn  xn 1 .
m

e) Sự hội tụ về nghiệm:
Giả sử  là nghiệm đúng của phương trình f ( x)  0 (1) . Dãy các nghiệm gần
đúng :
- Trong trường hợp 1: a  x0  x1  x2  ...  xn    b .
Dãy  xn  tăng nghiêm cách và bị chặn trên bởi  , nên: lim xn   .
x

- Trong trường hợp 2: a    xn  xn 1  ...  x1  x0  b .
Dãy  xn  giảm nghiêm cách và bị chặn dưới bởi  , nên: lim xn   .
x

f) Ưu nhược điểm của phương pháp dây cung:
- Ưu điểm: Có thuật toán đơn giản, biết xn chỉ cần tính một giá trị của
f  xn  để tính xn1 . Nhanh hơn thuật toán chia đôi.

- Nhược điểm: Tốc độ hội tụ về nghiệm chậm, chỉ hội tụ tuyến tính.


- 24 2.5. Phương pháp Newton
a) Bài toán: Giả sử f '  x  và f ''  x  không đổi dấu trên

 a, b 

và

f  a  . f  b   0 . Tìm nghiệm thực gần đúng của phương trình f ( x)  0 (1)

trên  a, b  với sai số không vượt quá  cho trước.
b) Nội dung phương pháp

Ý tưởng chủ đạo của phương pháp Newton là thay phương trình
f ( x)  0 (1) phi tuyến đối với x bằng phương trình gần đúng, tuyến tính đối

với x, cụ thể.
Thay đường cong f  x  trên  a, b  bởi tiếp tuyến T  với đường cong tại
điểm A hoặc B . Hoành độ giao điểm x1 của T  với trục hoành xem như
nghiệm gần đúng của phương trình f ( x)  0 (1) .
Để xây dựng công thức tính nghiệm của phương pháp Newton ta xét:
- Trường hợp 1: f '  x  . f ''  x   0 .


- 25 Xét f '  x   0, f ''  x   0 ( trường hợp f '  x   0, f ''  x   0 tương tự )

- Cho x0  b
Phương trình tiếp tuyến T0  với f  x  tại điểm B0  x0 , f  x0   là:

y  f  x0   f '  x0  x  x0  .

T0 

cắt trục hoành tại điểm có hoành độ x1 là nghiệm của hệ

 y  f  x0   f '  x0  x1  x0 
f  x0 
 x1  x0 
.


f
'
x


y

0
0

x1 xem như là nghiệm gần đúng của phương trình f ( x)  0 (1) , nếu cần

chính xác hơn ta thay x0 bởi x1 , lặp lại tính toán trên để tính x2 (chính xác
hơn x1 ). Lặp lại cho đến khi đạt độ chính xác theo yêu cầu.
c) Công thức tính nghiệm tổng quát
Giả sử ở bước thứ n , xác định được nghiệm gần đúng xn thì:
Phương trình tiếp tuyến Tn  với f  x  tại điểm Bn  xn , f  xn   là:
y  f  xn   f '  xn  x  xn  .

Tn 

cắt trục hoành tại điểm có hoành độ xn1 là nghiệm của hệ

 y  f  xn   f '  xn  xn 1  xn 
f  xn 
 xn 1  xn 
.

f '  xn 
y  0

- Trường hợp 2: f '  x  . f ''  x   0