Giải gần đúng một số phương trình đại số và phương trình siêu việt

- 8--76 -5 - MỞ ĐẦU
Mục đích nghiên cứuCHƯƠNGI: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Lí do chon đề tài
Nghiên và
cứukhoảng
các phương
tìm nghiệm
gần đúng của phương trình đại số và
1.1.
Nghiêm
phânpháp
lỉ nghiệm
MỤC
LỤC và
Ngày nay các ngành khoa học
nói
chung
ngành toán học nói riêng đã phát
LỜI CAM ĐOAN
Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG
ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2
1.1.1.
Nghiêm
củaviệt
phương
trình= một
ẩn ra các ví dụ số minh họa
phương
trình siêu
dạng /(jt)

0. Đưa
MỞ ĐẦU......................................................................................................................5
triển
đến mức độ cao. Rất nhiều• các■bài
• • toán trong thực tế ( Thiên văn, đo đạc ruộng
cho kếtXét
quảphương
lí thuyết.trinh một ẩn: f (LỜI
x ) =CẢM
0. ƠN
(1.1)
CHƯƠNG
I: dẫn
KIÉN
CHUẨN
đất,
vật lí, ...)
đếnTHỨC
việc cần
giải cácBỊ....................................................................7
phương trình một biến dạng f(x) = 0. Nhìn
Tôi
xin
camnâng
đoancao
luậnnăng
văn lực
làvàcông
nghiên
cứuthân,

của
riêng
tôi
dưới
Luận
văn
được
thực
hiện
hoàntrình
thành
tại trường
ĐHSP
dướicho
sự
Góp
phần
nghiên
cứu
của
bản
phụcHà
vụNội
hiệu2,sự
quả
đó:
1.1.trong
và khoảng
nghiệm........................................................................7
chungNghiệm

các phương
trìnhphân
dạngli f(x)
= 0 thường khó có thể giải được bằng phương
/công
là một
hàm
số
cho
trước
củavàHùng.
đối
sốtạo
X . sau người
hướng
dẫn
của
TS.
Nguyễn
Văn
hướng
dẫn
của
Tiến
sĩ Nguyễn
Văn
Hùng,
đã hướng
truyền
thụ

tác
nghiên
cứu
khoa
học
đào
đại họcthầy
chuyên
ngành dẫn
toánvà
giải
tích của
1.1.1.
trình
pháp
đại số, Nghiệm
hoặc nếucủa
cácphương
bài toán
đómột
nếuẩn............................................................7
có thể giải được thì nó có công thức
Trong
khi
cứu
luận
văn,
tôi
đãphương
kếngười

thừa trình
thành
quả khoa
các
nhàgiả
khoa
Giá
trị
xkinh
được
gọiPhạm
là
nghiệm
của
nếu
f (hứng
x ữcủa
) =cho
0. tác
những
nghiệm
đồng
thời
cũng
là
khơi (1.1)
nguồn
cảmhọc
trong
ữnghiên

trường
Đại
Học
Sư
Hà
Nội
2.
1.1.2.
Ý
nghĩa
hình
học
của
nghiệm..................................................................7
nghiệm phức tạp, cồng kềnh nên việc khảo sát các tính chất của nghiệm qua công
học
cứu
và đồng
nghiệp
YỚi
trân
biết
ơn.
họcnghiên
tậpvụ
và
nghiên
cứutrình
khoa
học.

Thầy
luôn
động
viên
khích
tác giả
vươn ởlênđây
trong
Nhiệm
nghiên
cứu
Nghiệm
của
phương
(1.1)
cósựthể
làtrọng
số
thực
hoặc
số lệphức,
nhưng
ta
Sự gặp
tồn tại
thực
của
phương
trình
(1.1).......................................8

thức1.1.3.
nghiệm đó
rất nghiệm
nhiều khó
khăn.
Bởi
vậy
việc
tìm
nghiệm
gần
đúng
và
đánh
NGUYỄN THỊ HÃNG
họckhảo
tậpTìm
và
qua
khóhiểu
khăn
tàicác
liệu,
đọc
tàitrong
liệu. chuyên môn. Tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng,
chỉ
sátvượt
nghiệm
thực.

Khoảng
phân
li nghiệm.........................................................................10
mức
sốnghiệm
của nghiệm
gần đúng
khi trình
giải xấp
xỉ phương trình một ẩn dạng /(jt)
1.1.3.giá 1.1.4.
Sự độ
tồnsai
tại
thực
của
phương
(1.1)
chân
thành
sâucủa
sắcnghỉệm
đối với thầy.
luận
văn.và
1.1.2.biết ơn
ÝViết
nghĩa
hình
học

Hà Nội, tháng năm 2015
Phương
pháptính
tìm gần
khoảng
phân
li nghiệm
tìm cách
đúng
nghiệm
thựccủa
của phương trình (1.1) ta
= 0 1.1.5.
làTrước
rất cầnkhi
thiết.
Tác
giả
xin
chân
thành
cảm
ơn
Ban
lãnh
đạo
ĐHSP
Đổi
tượng
nghiên

cứu
và
phạm
vỉ
nghiên
cứu
giảđồHà
Các nghiệm của phương trình (1.1) là hoàáh độ giaotrường
điểmTác
của
thịNội
hàm2,sốphòng
y =
phương
trình
(1.1).......................................................................................................11
phải kiểm
đócứu
có và
tồnđưa
tạirahay
Khi pháp
đỏ tagiải
có gần
thể đúng
sử
Cáctra
nhàxem
Toánnghiệm
học đã thực

nghiên
mộtkhông.
số phương
đạiĐối
họctượng
đã
tạo
mọi điều
kiện thuận lợi cho tác giả kết thúc tốt đẹp chương trinh
nghiên
cứu là:
/Sau
(x) với
trục
hoành.
1.2.
Số thị
xấphoặc
sỉ...............................................................................................................11
dụng
đồ
sử
dụng
định
lí= sau.
phương
trình
mộtthành
ẩn dạng
/ (x)

0. nghiệp.
Kết hợp YỚi sự hỗ trợ đắc lực của máy tính điện
cao học
và phương
hoàn
luận
văn
tốt
Các
pháp
tìm
nghiệm
gần đúng TRÌNH
của phương
đại số
và phương
GIẢI
GẦN
ĐÚNG
MỘT
SỐ
PHƯƠNG
ĐẠItrình
SỐ VÀ
PHƯƠNG
1.3.
Sai
số..............................................
12
Định

lí
1.1.3.1.
(
Bolzano
Cauchy
)
tử hiện Tác
đại nên
việctrân
tìmtrọng
nghiệm
gần
đúng
củadục
cácvàphương
trình
phi Trường
tuyến một
ẩn
giả
xin
cảm
ơn
Sở
Giáo
Đào
tạo
Hà
Nội,
THPT

trình siêu việt dạng /(Jt) = 0 như: Phương pháp chia đôi, phương
1.3.1.
Khái niệm.....................................
12
TRÌNH
SIÊU
Ndạng
ếCổ
u Loa
h/(x)
à mđã
ổtrở
f {điều
x ) kiện
liên
tục
trên
[ a,b]
vàVIỆT
thỏa
mãn
điều
Thị
Hằng
pháp
lặp
đơn,
phương
pháp
Newtơn,

pháp
dâyNguyễn
cung.
=s0tạo
nên
đơn
giản
hơn
rấtphương
nhiều.
giúp
đỡ đoạn
tác
giả
có Tuy
thời
gian
học
tập
vàkỉện
hoàn
thành tốt luận
1.3.2.
Các
...............................
nhiên
trước bài
mỗi
bài loại
toán

phisai
tuyếnsốdạng
/ (x)
= 0 thì việc
lựasiêu
chọn
phươngf(x) = 0. 12
về
phương
đại0 số
việt
f ( avăn.
) f ( b Các
) < 0 thìtoán
phương
trình ftrình
(x) =
cóvà
ỉt phương
nhất mộttrình
nghiệm
trongdạng
khoảng
Phạm
vi
nghiên
cứu:
CHƯƠNG
II:
MỘT

SỐ
PHƯƠNG
PHÁP
GIẢI
GÀN
ĐÚNG
PHƯƠNG
pháp tìm nghiệm gần đúng nào để kết quả nghiệm tìm được chính xác hơn, saiTRÌNH
số nhỏ
( aĐẠI
, b ) SỐ
. Các
phương
phápTRÌNH
tìm
nghiệm
gần
đúng
của
phương
trình
đại hơn
số và
PHƯƠNG
SIÊU
VIỆT..........................................................14
vàVÀ
tính
toán nhanh
thì phương

pháp
giải đó
được
xem là
tối ưu
cả.phương
2.1.
Tổng quát hoá tìm nghiệm gần đúng của phương
trình
f(x)10= tháng
0.........................14
Hà Nội,
ngày
11 năm 2015
trình siêu
việt dạng
/(x) =
0.
LUẬN
VĂN
THẠC
SĨlàTOÁN
HỌCđối, mỗi phương pháp
Không
có
phương
pháp
nào
được
xem

tối
ưu
tuyệt
Tác giả
•
••
2.2.
Phương
pháp
chia đôi................................
14
Phương
pháp
nghiên
cứu
đều có nét đặc trưng
riêng
của
nó.
Việc
dùng
phương
pháp
nào
để
giải
bài
toán
cho
Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02

2.3.
Phương pháp lặp đơn...........................................................................................16
bị cho
bảnvào
thânyếu
cáctốkiến
thức
cơ bản
cao cấp,
giảicàu
tíchcủa
số,
phù họpTrang
còn tùy
thuộc
khách
quan
của về
bàitoán
toánhọc
và mức
độ yêu
2.4.
Phương pháp dây cung........................................................................................18
sử dụng
thành thạo máy tính bỏ túi.
công
việc.
biếntầm
đổi

về bài
dạng
= đại
h { xsố) ,và
khi
đỏviệt.
nghiệm của phương
Sưu
vàphương
giải gằntrình
đúng(1.1)
một số
toán
siêu
2.5.Có thể
Phương
pháp
Newton..........................................................................................24
Với những
lí hướng
do như dẫn
đã nêu
ở trên
mong
muốn tìm
hiểu
sâu, trang bị cho
Người
khoa
học:và

TS.
NGUYỄN
VĂN
HÙNG
Đóng
góp của
luận
văn
CHƯƠNG
III:
ỨNG
DỤNG.....................................................................................29
trình
(1.1)
là
các
hoành
độ giao điểm của hai đồNguyễn
thị (Q ):Thị
y Hằng
= g-(x) và ( c 2 ) : y =
bản thân kĩ năng đánh giá, lựa chọn phương pháp giải gần đúng tối ưu cho một số
Xây
dựng luận
văn thành
một tàitrình
liệu f(x)
tham=khảo
viên và
học viên

3.1.
Tìm
nghiệm
gần đúng
của phương
0 vớitốtsaicho
số sinh
cho trước
.. 29
h
( x ) . trình đại số và phương trình siêu việt dạng /(x) = 0 (với
phương
về hàm
một
số
phương
đúng
phương
trình
đại
và của
phương
3.2./cao
Sửmột
dụng
máy
cầm) pháp
tay
đểgiải
tìm

nghiệm
gần
phương
trình
..38 trình
(x) học
là
phitính
tuyến
và cũng
dogần
điều
kiện
vềđúng
thời của
gian,
năngsốlực
siêu3.2.1.
việt. còn hạn
Áp dụng
phương
bản
thân
chế nên
tôi đãpháp
chọnlặp.....................................................................38
đề tài nghiên cứu để làm luận văn cao học là:
Chứng
minh:
3.2.2.

Phương
pháp
2 ( dùng đạođại
hàm kết
hợp
YỚi phép
lặp - phương
" Giải
gầntính
đúng
mộtquát
số phương
phương
trình
việt[ a 9 b ]
Không
mất
tổng
giả sử ftrình
{ à ) < 0,số
f ( và
b) >
0, ta chia
đôisiêu
đoạn
HÀ NỘI, 2015
pháp Newton ).............................................................................................................62
Ả
a + b
bởi

điêm
chia —-—.
KẾT
LUẬN................................................................................................................65
2
TÀI LIỆU THAM KHẢO........................................................................................66


30---21-1-237658-2-812--247-90-1-- --1-191511-02-4- -29f(0,/"(JC)
n-số
1)của
/phương
d)Do
Đánh
sai
pháp
dây
cung
Xét
^<1
f-vậy
'Phương
{ xgiá
và
)do
>J0€\a,b\
nên
>
0lại
X

(trường
. phương
e[a,£],
hợp
V/
=/'(*)
1,2,...,».
0,/"(JC)
0=))
tương
tự) )

Phương
trình
tiếp
tuyến
[T
)hàm
với
/(jc)
tại
điểm
A có
(x
,f(x
là:f(a
2.5.
pháp
Newton

Nếu
không,
lặp
pháp
dây
cung
YỚi
mới
(.x^ồ)
/'(t0(g-vi)=/(g)-/(0=
^r‘^{^
(*.-*.-■)
X
=
Thật
tính
liên
tục
của
số
tại
x
=
ta
/(c)
lim
Sai
số
Xuất
hiện

do
việc
giải
bài
toán
bằng
phương
pháp
gần số
/(*»-1
)đạo
+đủ
/'(*«-1
)(*»
-đổi
*«-1
)phân
=
0 X
' aphương
Người
ta+ ythường
cho
số
s)0
nhỏ
và
nếu
\xGIẢI
-a\<£

thì
chọn
làm hàm
nghiệm
Ta
có
hàm
số
=pháp:
/(*)MÔT
liên
tục,
hàm
/'(*)
không
dấu
trên
[a,b]
nên
CHƯƠNGII:
SỐ
PHƯƠNG
PHÁP
GẦN
ĐÚNG
1
6
n—>+00
f(
n

)\
=
5
x. ■/’(*)
= /x„-ì=ъ Oo
О tan có định
lí được chứng
minh.
TH1:
CHƯƠNGIII:
ỨNG
DUNG
n
Gọi
a hoặc
là Giả
nghiệm
của
phương
trình
=(ữ,z?)
0 (1),và //(ữ)./(z>)<
(x) liên tục
trên
a)Hơn
Bài
toán:
sử
không
đổi

0. Tìm
)tùy
tích
chất
của
/(x).
nữa:
- f -a\
q)đúng
|jc0
-/"(*)
a\) -và
lim
q=PHƯƠNG
\xQdấu
- f(x)
a\trên
=-).
0.
n [a,x
1(theo
đúng
-/(c)
fxỉ
((x)
xcủa
nliên
)\x
=

'n)
(lxtrình
xvà
~trên
xĐẠI
nvà
PHƯƠNG
TRÌNH
SỐ«-»+00
VÀ
TRÌNH
SIÊU VIỆT
=Và
Ú£&±±ỊẾlị
)
/.(*,)(*,,
=
lim
f(b
>
0.
xấp
phương
(1.1)
dừng
quá
trình
tính
toán.
Xm

y y=
f
tục,
đơn
điệu
\a,b\.
X
=
\ кxnghiệm
nn-ỳ+
- 2a \ <00
Ậ ^—
( đúng
b - a ) .của phương trình f ( x ) = 0 với sai số cho trước. Bài
3.1. Tacó:
Tìm
gần
Xn-\
ahoành
Một
câu
hỏi
đặt
ra
với
chọn
thì
/(*[ữj
)[a,b
có

thể
thực
acách
+ quá
[x
,a](hoặc
[a,x
]nếu
/'(*)./"(*)
và
/(jc)có
đạo
hàm
trên
(jt vượt
,a )
(T
)
cắt
trục
tại
điểm
có
hoành
độ
xnhư
là
nghiệm
của
hệ

=sự0không
'■/'(*,)■
Sai
số
tính
toán:
Xuất
trình
làm
tròn
số
trong
quá
trình
tính
toán,
nghiệm
thực
gần
đúng
phương
trình
/(*)
=vậy
0(1)
trên
]f=(với
n+l
+
Nếu

/
)
.
/
(
ữcủa
<
0do
là
phân
liđã
mới
+
Nên
x
hội
tụ
về
nghiệm
alà)hiện
nthì
->
l )<0)
d)
Đánh
gỉá
Ф
0.
сkhi
=

^(a,x
,+QO.
khi
đó
takhoảng
xét
đoạn
,ỉ\
].
n
2.1.
Tồng
quát
hóa
tìm
nghiệm
gần
đúng
của
phương
trình
x/(*,)
) sai
=ừ0số
3Đặt
Vậy
f(c)
=
0.
Ta

có
định
lí
được
chứng
minh.
TH2:
/
Theo
định
lí
1.1.4.1
hàm
số
yf{x)
liên
tục,
đơn
điệu
trên
[a,b\
và
/(a)/(ỏ)
<
0
thì
y
у =-x
а30*
1:

Vậy
/'(c,X«
r{c2)(*„
-bảo
).|/(jexét
n +x
Ta
có:
-n 2-xn_,)
= 0ox
=số—đảm
Ta lũy
có bảng
dấu của
f\x ))|vàkhá
/"(*):
xem
là/"(*)
xấp
xỉ
của
f =>
(đúng
a f"(x)
) =không,
có sai
rằng
)-/(a)|
= |/(je
gần

0
quá
trình
tính
toán
càng
nhiều
thì
tích
càng
lớn.
=>lim|jc
-a\<
lim
Để
tìm
nghiệm
gần
của
phương
trình
đại
số
và
phương
trình
siêuX việt
ta tiến
(hoặc
(a,x

n)nếu
/'(*)./"(*)
<0).
saỉ
số
quá
£
cho
trước.
Nếu
/(jc1)./(a)>0
thì
(jci;ồ)
là
khoảng
phân
li
mới.
1.1.4.
Khoảng
phân
li
nghiệm
Định
nghĩa
1
(
b
a
)

Kết *-»00
luận: TùX-><X>
2 trường hợp trên ta rút =
ra0:cônglim
thức tìm
nghiệm
gần
đúng
+1
theo
xa
a
=
0.
2 /00 = 0.
1
«H-l
[a,b]
là-một
khoảng
phân
li
nghiệm
phương
Tìm
nghiệm
gần
đúng
của

phương
trình
XVi)
3<+qtrình
4x
-1
=- x0a \ + q \ x n - a \ . (3.1.1)
c. xcủa
=>
IJC
<
JC
,
)2
=
Ax
x
n
a
\
q
\
x
n
_
x
a
\
=
q

\
x
n
_
x
+
n
x
a
a
\
\
x
n
_
x
b)\Hay
Nội
dung
phương
pháp
a
+
b
/'(ci)(a
*»)
=
[/'(c2)
/
'(

1
)](*»
•
JExỉ a tốt như thế nào thôi, nhưng cũng
hành
qua
bước:
không?
Cũng
lúcmãn:
ta chỉ
quan
tâm là X xấp
1 số
1hai có
nếu
/ của
Nếu
0khoảng
Vjce[ữ,z?]
có
thể chọn
>được
0 . gọi
1.1.5.
Với
Phương
a xM,m
= \a,b\

aphân
pháp
,hội
bm/
ỉ (litụ
=hoặc
tìm
khoảng
phân
litính
nghiệm
của
phương
trình
"khoảng
"về nghiệm
Đoạn
(ữ,z?)
) được
khoảng
phân
nghiệm
củasai
Vậy
dãy
{x
}2thỏa
phương
trình
khilàra

—>
. thìx(1.1)
Với
nghiệm
mới
(xpố),
nghiệm
gàn00
đúng
bằng
2 li
trên
(0;l)
với
sai
số
không
vượt
quá
0,1
bằng
phương
pháp
chia
đôi.
là:
•/'(■*«)
Mphương
- m ị trình (1.1)
I

- Tách
nghiệm:
Xéttâm
tínhlàchất
nghiệm
của
phương
trình
(1.1),
phương
pháp
dây
cung.
a) Phương
pháp
giải
tích.
„M_|/’(c2)-/’(c.)L
Ithể
có
hợp
f{x
)„
có
coi
làmột
gần
0-------------------\x
không,
thìphương

lúc này-trình
sự
xấp
xỉ
ưu
nhược
điểm
của
phương
pháp
Newton:
e)trường
Sơ
đồ
tóm
phương
pháp
chia
đôi
Lời
giải:
phương
trình
fta(tắt
xlại
)hạn
=quan
0cho
nếu
nó

chứa
một
và
chỉ
nghiệm
của
đỏ.
sô
tuyệt
đôi
giới
X
là:
Ax
-J—-——
hoặc
Ax
X
_J
.
/(*.)
1
1+- Xb .' .
1
( a- -có
Jt
)
=J—
I
■

'
JC
í
a
a
+
b
H1
H2
nghiệm
hay
có /bao
nghiệm,
các
khoảng
chứa
nghiệm
có.
m hai đầu
m Áx
Quá
trình0liên
lặp
kết
khi
tìm
được
nghiệm
gàn
đúng

X miền
có
saixác
số
n0<£.
f'{x)
tục,
xét
dấu
của-nhiêu
/(x) tụ
tại
mút
của
định
và tại
Định
ưNếu
X- Với
а1.1.4.1
, YỚi
=-------------,
hkhông,
-thúc
b= nếu
3 — Phương
<0.
02 -1
------+đôi
0nếu

—
Ưu
điểm:
hội
nhanh
hơn
phương
pháp
chia
và
Đặt
/(*)
Cho
=
phương
X
+aữ =b.
4xtrình
/(x)
. pháp
0.Newton
của
X
so
chưa
đủ,
mà
ta
cànx-1phải
xét

cả
giá
trị
I/
(x
)|
nữa.
Chính
YÌ
lí
do
này
--Với:
Chọn
x
5
5
3
a /(«)•
L xx 0x=b
xminh:
/"(«)
cùng
dấu
YỚi
2nếu
0 =ahội
=>\
\^T
-\ ,,--Ằtính

■ l -tăng
qđồ*thị
- Đe
Hình
HI:
tụdụng
đến
nghiệm
a■
. ,-dùng
Chủng
Áp
định
lí
Lagrange
Đối
với
bước
này
ta
có
thể
phương
pháp
IV
.;i
|y(Cl)|
-I
xây
dựng

công
thức
tính
nghiệm,
ta
xét
thêm
lõm
đường
o
Nếu
hàm
sổ
y
=
f
{
x
)
liên
tục,
đơn
điệu
trên
[X
agiảm
b+ kết
] và
vhợp
àlồif với

( a ) các
fcủa
( b )định
< 0lí
những
điểm
X.
2
mà
f\x
)
=
0
suy
ra
ước
lượng
khoảng
phân
lia, nghiệm.
phương
pháp
dây
cung.
=>
3x
+
8jc
>
0,

Vjc
e
(0;l)
.
- -f\x)
Ấn
sai
số
£
cho
phép.
Chọn
xChọn
làcác
điểm
giữa
[
a
,
b
]
làm
nghiệm
gần
đúng
JC0
=
^
/'(*)
+

0
0
+
ữ -định
Xét
/'(;t)>0,/"(;t)<0
(trường
hợp
/'(x)<0,/"(^)>0
tương
tự)
n
mà
trong
chương
trình
tính
toán
tôi
đưa
thêm
điều
kiện
dừng
về
/(jc
).
Quá
trình
x

=a
là
y-f(x
o)
=
x-x
0
0
n
a,y .+è,
7
A
VI/
' f{b)
"|jCj cỏ
-Hoăc
Hình
H2:
không
hội
tụ
đến
nghiệm
alà:
(phân
li
nghiệm),
nếu
f/'thức:
{b)

cùng
dấu
■JC01.
- Cho
phương
trình
đường
thẳng
AB
' hàm
———.
“lại
mà
hàm
toán
số
học
/(x)
hỗ
trợ.
liên
tục
trên
\a,b\,
đạo
khoảng
(a,b)
ữvới
có/(x).
thể

dùng
cồng
\xđiểm
-a\
<
——
-đạo
Ta
chia
đôi
đoạn
[öjjbJ
bởi
chia
—----------------L.
Cótrong
ứiể- xảy
ra
khả
cong
Giả
sử
/
và
không
đổi
dấu
trên
[a,b\.
Một

đa
thức
bậc
n
có
không
quá
n
nghiệm,
YÌ
vậy
phương
trình
đahai
thức
bậc thì
n
Nhược
điểm:
Phương
pháp
Newton
đòi
hỏi
hàm
được
tính
trực
tiếp
thì

\a,b\
là
một
khoảng
phân
li
nghiệm
của
phương
trình
f
(jt)
=
0.
Xác
định
khoảng
phân
li
nghiệm
[ữ,z?].
f
(
a
)
f
(
x
)
a

x
ữ
0
/"(*)
-nghiệm
Mà
/(0)
=tụ
-1,/(1)
=nếu
<1*0 -đúng
. 0a\pháp
d)+Theo
Sự
hội
đến
của
phương
:.< ổ+ thỏa
giả
thiết
ta
-m\
l=>
-s qNewton
Nếu
/(jc0)
=nghiệm
0 nghiệm
=cỏ:

>4 x^của
là
Dừng.
ữ/(0)./(-l)
tính
toán
sẽ
dừng
điều
kiện
<
và
I/(x
)|
mãn.
Sự
hộỉ
tụ
về
phưomg
pháp
-tại
Chính
hóa
nghiệm:
Thu
hẹp
khoảng —
chứa
nghiệm

hội tụ được
đến
-A
trình
đường
A^B
là:Idần
Vcó:
= để
7—^■
' phương
A
_
lsổnxác
™
ltrị_sao
M
-thẳng
nchia
tliịnghiệm.
tồn
một
ce(a,ồ)
cho:
f{b)
-/(«)
=quá
f'(c){b
a )thì
” ta

có
không
quá
khoảng
phân
+là
Nếu
giá
ban
đầu
ta
dự-đoán
xa
nghiệm
phương
pháp
Newton
Giải
thuật
của
phương
pháp
đôi.
í)
Ưu
năng.
Giả
sử
a
nghiệm

đúng
của
phương
trình
/(x)
=
0
trên
(a,b).
Dãy
các
Chứng
minh:
Theo
định
lí
(
Bolzano
Cauchy
)
ta
có
phương
trình
f(x)
=
0
ít
nhất
x

là
nghiệm
của
hệ:
b{ a)(3.1.1).
-’fb( )x-đúng
o)vì ố-x
l-xlà
đó:
A
\0x=và
—
=
-------JC
—
Xphương
0 = 0 và
2.4.+Do
Phương
dây
Vậy
f {thấy:
x(0;l)
«/(xữ)
)giá
fsổ
{n=
khoảng
apháp
)nghiệm

fphân
'atrên
{\gần
ccung
) li{đoạn
xđúng
nghiệm
nữ -<[0,5;
avới
của
cđộ
&
{_và
xAlà
n. f\x)
’nghiệm
a trình
)f^(cho
/(a)cần
5*
sai
Ax
£)phân
thì
JC0
tìm với
số thể
n(a,ồ)
n^
n—i

trị
xác
phép. Trong
này
taf(x)
có
1.3.
Sai
/(x)
liên
tục
1,5]
Định
lí:
Giả
sử
làsốkhoảng
lìchính
nghiệm
của gần
phương
trìnhbước
/(jc)
= 0sai
-TaNếu
Cho
xpháp
0có
=
b

b)
Phương
hình
học.
thể
không
hội
tụ.
nghiệm
gần
đúng
tìm
được
là:
m
nhược
điểm
của
phương
pháp
a) Bàỉ
0 ecủa
\ff ((x)
xphương
) - f (giấy
achứng
) \ kẻ
=chia

\ vuông
f ' (đôi
c ) ().suy
x n ra
- aước
) \ >lượng
m\xn - a \ .
làtrên
nghiệm
hệ:
một
nghiệm
[a,b].
xcủa
Kết
quả
của=hàm
4=[a,ồ]nên
lần
(định
với
pháp
Vẽ
đồ
thị
ycóphương
=
ôminh.
KN1:
/mjCj

0số
talặp
líntrên
được
áp>
dụng
ygiải
-hiện
fV*
(toán
một
o)
trong
các
pháp:
V
\ hiện
Àx
Dừng.
Khi
bằng
phương
pháp
gần
đúng
thì
saitrên
số xuất
do|^'(*)|
sự sai lệch

00,=>
>--0o
/"(*)
0,
e
[0,5;
1,5].
=
X
=
,
ọịx}
và
ẹ>'(x)là
các
hàm
số
liên
tục
[a
b].
Nếu
#<
Phương
trinh
tiếp
tuyến
(ro)
với

/(x)
tại
điểm
B
(x0,/(x0))
là:
9
+
Phương
pháp
Newton
sẽ
không
thành
công
trong
trường
hợp
ta dự<đoán
ữ
Dãy
giảm
và
bị
chặn
dưới
bởi
a
(trường
hợp

1)
aƯu
điểm:
Đơn
giải,
dễ lập
trình.
Nhưsử
vậy
thức
đánh
giá saicủa
số:phương trình f ( x ) - 0 (1). Tìm
Vta
2có hai
, công
Giả
[a,ỗ]là
khoảng
phân
li nghiệm
nghiệm
Giảgiá
sử
hai_*!-*(,
nghiệm
phân
biệt
của

phương
trình
f(x)
=phải
0 Ta
có hoành
f (Cj)
=)./số
khoảng
phân
(chia
hoành
độ giao
điểm
của
đồ
y =
f (*)
với
trục
+
pháp
IcPhương
Iyx,nhận
l/GOI
’ /(ữ)./(jc0):
. thị
- lic2
fvà
(nghiệm

xlà-—-——.
0)
w
giữa
trị
được
YỚi
nghiệm
thực
của
bài
toán,
vì
vậy
ta
đánh
giá sai
+=>
Nếu
/(*0)^0
sai
số
Ax
>đôi.
€nghiệm
thì
xét
dấu
ữNhư
suy

ra
\x
-a\<
vậy,
đê
giá
độ
chúih
xác
của
nghiệm
nhận
nhưng
mà
đạo
hàm
của
nó
là
bằng
0,
đường
tiếp
tuyến
khi
đónghiêm
là gần
fđánh
x được
b bởi

xtrình
_J
<...<
Jf0
Nhược
điểm:
Hội
tụ
về
nghiệm
chậm.
(0,5;
1,5)
là
khoảng
phân
li
của
phương
(3.1.2).
1,
Vjc
e
[ữ,b\
thì
dãy
|jc
},

n
=
0,1,2,...
nhận
từ:
X
=
hội
tụ
đến
<
f
(
b
)
f
(
x
)
b
^
r
=
>
x
.
=
x
(

°
)
(
~
°
)
KN2:
Ta
lại
thu
được
đoạn
[a2,è2]là
một
trong
hai
nửa
của
đoạn
[ßpÄj
sao
;y-/(*o)
=đúng
/’(*l>)(*_;,Co)
m • trình (l) trêna[a,b]
a của phương
+ b với sai
Đánh
giá saivượt
sô

thực
gần
số3 không
2Cj = /00
+chọn
Phương
pháp
lặp
đơn.
chủ
đạo
của
phương
pháp
Newton
là
thay
phương
trình
= y0= (l)phi
tuyến
Ax
=tưởng
hoặc
Ax
=———\x
—
JC
_JI.
đểÝtừ

đó
ra
phương
pháp
tối
ưu
nhất.
(c2)
=^thức
0.
Vì
hàm
số
y
=
f{x
)
liên
tục,
đơn
điệu
trên
[a,b
]
nên
c —1
(trái
giả
thiết).
ý

[
X
0
)
b
x
ữ
^
>
X
x
X
ữ
f
ị
b
y
f
^
y
2đổi
Trường
hợp
khó
vẽ
đồ
thị
của
hàm
số

y
=
f(x),
có
thể
biến
=
f(x)
về
Công
tính
nghiệm
gần
đúng
của
phương
trình
5JC
—
JC
—JC
0 (3.1.2)
i
=
n
•
n
71
n—i
như

ngang.
- (ro)
Dãy
tăng
và
bịthứ
chặn
trên
bởi
ali
(trường
hợp
2)nghiệm
Nếu
/(«)./(x0)
0hoành
thì
khoảng
phân
nghiệm
mới
làa[a,
]
2.3.
Phương
pháp
ỉặp
đơn

ữJt0
quá
£
cho
trước.
được
bằng
cắt
trục
phương
pháp
tại
điểm
dây
cung
có
hoành
ta
có
độ
thể
X
sử
là
dụng
công
của
thức
hệ
Ở

bước
n,
phương
trình
đường
thẳng
A
B
là:
n
a của
trình
f
(
x
)
=
0.
m
m
2
cho
f(aphương
)f(b
)<
0.
2 + Phương
pháp
dây
cung.

đốidung
với
X+ 2Việc
bằng
phương
trình
gần
tuyến
tính
đối
với
, cụ thể. tạp hơn,
1.3.1.
Khái
niệm
Nếu
/(«)./(x0)
>
0 kiểm
thì
khoảng
liđúng,
mới
làh[x
[x0
, bồ a]X
*0=0,5
Do
đó
phương

trình
f(x)
0 phân
cókiện
nghiệm
duy
nhất
[a,b]
b)
Nệỉ
phưomg
pháp
tra
để
áp
dụng
hàm
tương
đương
Ã(jc)
==điều
g(^).
Vẽ
đồnghiệm
thị
của
yphương
=trên
)pháp
và

y)Newton
= g (x)phức
suy ra khoảng
Chứng
minh:
<...a)Ta
Nội
dung
của
phương
pháp
l của
tiếp
tục
lặp
các
đoạn
đó.
^=
L
(
2
x
x x
I„-hội
.1 J/(*n)Lma*{|/Ml’*e[ữ’0]}
A„

_|/K)|
SựNên
tụ
về
nghiệm:
J'-/(^o)
=
/’(JCo)(^-Xo)
_
/(*o)
y=-afcong
{pháp
npháp
)n/(*)
~Newton.
n [a,b]
fvới
(trình
b ) - bởi
Ở
ứiứ
,- phương
đường
thẳng
A{T
+bước
Phương
nB là:
limx
. gần

/(*„-,)-/(0.5)
Lặp
lại-w—>00
phương
chia
đôi
phân
lihay
nghiệm
mới.
Thay
trên
tiếp
tuyến
)x0,với
đường
Athực
hoặc
\nGiả
xvậy
ađường
\=J—-—-.
sử
X
là
số
đúng
của
X*khoảng

(jc*
là
số
đúng),
khi
đó
Acố:
=Jđạt
x-x*
gọitại
làđiểm
sai
sốnhư
nếu
chọn
điểm
xuất
phát
không
thích
hợp
thì
không
được
kết
quảtrình
Vì
theo
định
nghĩa

2
thì
[a,b]
là
một
khoảng
phân
liTa
nghiệm
của
/
Giả
sử
a
là
nghiệm
đúng
của
phương
trình
f
(
x
)
=
an cong
0
0
1
0,5

0,5
-0,1250
phân
li
nghiệm.
Biến
đổi
phương
trình
f(x)
=
0
về
dạng
X
=
ọ(x)
với
ọ(x)
liên
tục phương
trên
bằng
phương
pháp
dây
cung
là:
f
(

x
n
)
b
x
n
'
Giả
sử
a
là
nghiệm
đúng
của
phương
trình
f(x)
=
0
(1).
Dãy
các
nghiệm
gần
đúng:
.
y
=
0
0

/’(*»)
’
a . +khi
b , tìm
Công
thức
sốcác
tổng
quát
các
phép
lặp
ở9trên
như
sau:
VìĐánh
|/'(*)|
>xấp
|/'(0,5)|
=n )1,75,
VJC
€pháp
(0,5;
1,5)
nên
có
thể
chọn
thức
đánh

ysai
- sỉ
fm
{đánh
xcủa
_giá
X
-sai
Xta
Quá
trình
lặp
lần
lượt
cho
gần
đúng
xxem
.biểu
. .m
. nghiệm
và
kết
thúc
đó
hoặc
sau
một
số
hữu

hạn
bước
ta
sẽcho
gặp
trường
hợp
giá
sổ
phương
Newton
Q 9 x /l như
1.2.Khi
Số
X
=
X
. -ta
mong
muốn.
mnghiệm
=
0.
B.
Hoành
độ
giao
điểm
X,
của

(r)với
trục
hoành
gần
đúng
của
ĩl
72
sự
của
X.
Vì
không
xác
định
được
A
nên
ta
xét
đến
hai
loại
số
sau:
-=
Trong
trường
hợp
1:

a
=
x
0
<
x
l
<
x
2
<...
<
X
<
a
<
b
.
1
0
0,5
0,25
0,25
0,7344
(x)
=
0.
<
p
{

a
)
.
- (a,b).
Cho x ữ =a
Định
ư
2.1.1
f
(
b
)
f
(
x
n
)
b
x
n
'
Xj xem
như
là nghiệm
gần
đúngtrình
của phương
/(jc) trình
= 0 (1), nếu
cần

chính
xác
tìm
nghiệm
phương
đại tiếp,
số/(jc)
vàtrình
việt
dạng
/00 =
+1
lànghiệm
nghiệm
của
hệ:
Giả
avới
là
của
phương
trình
=có:
0, mỊlimx
,m2 là=siêu
các
số thỏa
mãn
điều
đươc

Ngoài
xsửKhi
„X{x
ra,
nếu
sai
biết
số
Ahai
„Icủa
giá
trị
€. gần
đúng
liên
taphương
Ix0đúng
l/COI
Dãy
}
tăng
nghiêm
và
bi
chăn
trên
bởi
a
,

nên:
a
.
phương
trình
f
(
x
)
(1).
2
0,25
0,5
0,375
0,125
0,2826
Nếu
/
(*)
có
đạo
hàm
thị
điều
kiện
đơn
điệu
có
thể
thay

thế
bằng
điều
kiện
Sai
số
tuyệt
đối:
Giả
sử
3Ax
>0
đủ
bé
sao
cho
x-x*
khi
đó
Ax
gọi
là
sai
Phương
trình
tiếp
tuyến
(ro)
với

/(x)
tại
điểm
^,(jc0,/(jc0))
là:
y-f(x
)
Và
khi
đó
định
lí
được
chứng
minh
0
X,
=
<
p
{
x
ữ
)
.
- sai
Lấy
X/(*)
= nghiệm
x0

e=
\a,b\
làm
đúng
ban
đầu
giá
sôta
là:
Aliên
xX
\của
xvà
-Xkhả
a \,nghiệm
=
-lại
—V
T’ 1*->00
. ngoài
X
là
hệ:
thay
lặp
tính
toán
trên
tính
(chính

xác00
).
Với
hàm
tụcbởi
vi trên
[a,b],
rađể
3m
0 V.X
e hơn X [ữ,
+1thường
l :X„
l <
Đe•hơn
xây
nghiệm
pháp
Newton
xét:
0(1.1),
lập
cả
một
xcủa
,...,x
sao
cho
khi

H —»
0,x1phương
n,...
yn0,375
f công
(nXthiết
n thức
_\tính
n+
1 ndãylj75
\<+00,
0ĨItam
Vjc
e
(ữ,ố)
và
< m2
Vx e, trong
B3kiện:
\) n 0,5
l <
0,4375
0,0625
0,0580
Hoặc
một
dãy
YÔ
hạn

các
đoạn
chứa
nhau.
Khi
đó< đối
với đoạn thứ n,
của
đạo
có
định
sau.
1 ìđược
số
đối
X.
-dđổi
a=f)lại
=tuyệt
)-f'(x
).
-=không
trường
2:
a ^<độ
<
X
<
_J

<...
X
-Đánh
->
fTrường
(Tính
(-saỉ
afxdấu
()l(p{x
x=
-0nf)(x-x
(đúng
ỉữx)hợp
)ncủa
a0của
- hàm
xđạt
xtaanchính
+
ltrình
= xxác
nlí(1.1).
--------------x thiết
nxYỏ
ì - dJt01 = b.
- 'axTrong
(p{x
ữ).
hợp

1:
>X
0.
Lặp
cho
đến
khi
theo
yêu
giá
số
đó
là
nghiệm
phương
Do
giả
b\
m
=Mm|/'(jc)|
và
X
e[ữ,ò]
là
xấp
xỉ
l
y
~
f

(
n
)
_
n
+1
~
n
rí
\hệ
(u _ \ với x n = b .
Đinh
lí0)số
1.1.4.2
Sai
tương
đối:
ổx
=
^
.
Kết
quả
thực
hiện
của
10
làn
lặp
YỚi

phương
pháp
dây
cung:
(T
cắt
trục
hoành
tại
điểm
có
hoành
độ
x
là
nghiệm
của
Do
Ax3
=
0,0625
<
8
=
0,1
nên
X
=
x
X

0,4375
là
nghiệm
gần
càn=tìmữcủa
:
/(«)-/(*.)
l
3
0
X •,Dãyf {
b }l,2,3...)ta
) -giảm
f ( xnghiêm
)/(*»)
- xf(a
^n )<0,f(b
X bị
, chặn
= n )X>dưới
----------Y
ycủa—
v ớ=đúng
ibằng
.
[a„,b„],(w
=
sẽbcó
0 vàbởi
độ adài

đoạn
{jc
cách
và
, nên:
limx
a.X g
[a,b]
Theo
định
lí
Lagrange,
3€
(
x
a
)
nếu
x
<
a
hoặc
3c
e
(ơ,jc0)
nếu
a
< x 0 sao
Vì
a

là
nghiệm
đúng
của
phương
ữ
9
trình
f(x)
ữ
=
0
(1)
nên
x
ta
có
thể
viết:
Gọi
a
là
nghiệm
đứng,
ta
cố:
Tính
x
=ý?(jc1).
f

(
b
)
f
(
x
n
)
Công thức
nghỉệm
tổng
quát
2
ntính
1*1
sổ y = /(*) liên
tục, đạo hàm f ' { x ) không đổi dấu trên [ a , b ]
yNếu
=
0hàm
phương
trình
(3.1.1).
b-a
Giả
sử
ở
bước
thứ
n

,
xác
định
được
gần đúng
x n x->co
thì:
Từhaiồtrường
hợp
trên,
ta
rút ra công
thứcInghiệm
tính
nghiệm
chung:
I l/OOI
-a„
cho:
)
=
x )(jc 0 - à).
1.3.2.
Các
loai
sai
số:

nBước
n
f- xX ữ
nthì
da )một
0:
=
\ ^<\a,b\
^
{fcó
b(-là
ữ
^-a\<
(phân
b - a-—-——.
) li. nghiệm của phương trình f (x) =
0( 2”
vcủa
àf ( ừ
)A
bhạp
)a|a,<0
af (nghiệm
)-/(V,)
=
(2:
-đó
\ q|jc0
xa,nầ xgiá:
-khoảng

)dây
.a\=
khi
taa)\
đánh
\x.' cung:
/'(jt)./"(jt)<0
Ưu
nhược
điểm
của
phương
x~
pháp
=a-a\
0f =
""/’ŨV
=>
I*!
|ẹ?’(c)(jt0
<
xn-l
LầnTrường
lặp
n
/(*,)
Phương
trình
tiếp
tuyến

(F
)
với
/(jc)
tại
điểm
là:sô Axn+1
f(x nj).
)(d-x
) có các loại sau: B n ị x n , f (jcb ))Sai
- các
Tính
x=n nta
=~ẹ?(xn
Dựa
vào
nguyên
nhân
sai
số, ntamãn
Dãy
đoạn
lập
được
thỏa
các
điêu
kiện
của
bô

đê
vê
dãy
các
n
l
1
(
1
^
1
1
Bướcl
:
ầ
í
=
\
a
x
í
\
<
^
ụ
b
acủa
) đoạn
\ cần chính xác
2:dụng

0lÁp
đơn
giản,
X chỉtrình
cằn tính
líỳthuật
Lagrange,
ta có:
xBài
xem
như
nghiệm
đúng
của biết
phương
f(x) một
= 0giá
(1),trị-nếu
tự:
=-Tương
ị(1).
{Ưu
bPhương
- ađiểm:
) , ầđịnh
xlàCó
ipháp
=
{ fb(chia
-d0,5

atoán
)gần
.đôi
)
f
(
x
n
y
2.2.
0
-1,125
0,642857
- X
Sai
sốtụ
giả thiết:
hiện do
giả thiết
bài2 toán
đượctrình
một số
điều
Chứng
Nếu
hội
khi Xuất
«—>+00
thì việc
a là nghiệm

của đạt
phương
f(x)
= kiện
0, các
3 đúng
ta
có:
Jminh:
Enghiệm
- navềa
\lgần
<
f
'
(
c
l
)
(
a
x
_
)
=
f
(
a
)
f

(
x
n
_
l
)
,
V
c
l
e
(
a
,
x
n
_
l
)
,
v
ầ
'
b
a
'
Tìm
đúng
của
phương

trình
5x
-JC
-JC-1
=
0
(3.1.2)
/(xn)để
tính
x
.
Nhanh
hơn
thuật
toán
chia
đôi.
hơn
ta
thay
Jt
bởi
x
,
lặp
lại
tính
toán
trên
để

tính
x
(chính
xác
hơn
X,).
Lặp
lại
n+l
\x2
—a\
^q\xx
—a\.
0
t
2
lồng
nhau,
bởi
vì
theo
m
trên
x
lim
(b
a)
=
lim
a)n->+

toán
= 0. 0,529426
n
1BàiTrong
0,584906
-0,9265
đó:
tưởng
nhằm
làmcủa
giảm
độ
phức
tạpf(x)
của =
bài0.toán.
00lý
n->+
00đúng
9"
Xị
là
nghiệm
gần
phương
trình
trên
[0,5;
sốf (không
vượt

0,02
pháp dây
f íNhược
cđến
2)nữa
(khi
x1,5]
nđạt
- ivới
-khoảng
dTốc
)sai
=Taylor
x ntụ
- inghiệm
)/ -(xn)
f ( quá
d tại
)cầu.
’V
cphương
( xđược:
n\phương
_trinh
) .tuyến
£l , Jdtụ/(jc)
-cho
điểm:
hội
về

nghiệm
chỉ
hội
tính.cung.
Hơn
khai
triển
Xchậm,
_2tbằng
ta
độ
chính
theo
yêu
Giả
sử
[ữ,è]là
li
của
= 0(1).
Tìm
thực
T
■->
•Sai
•độ
7phân
•xáccủa
2
số

do
số
liệu
0,649866
ban
đầu:
Xuất
hiện
do
-0,69992
việc
đo
đạc
và
cung
0,399952
cấp
giáx nghiệm
trị đầu vào
d=b,x
-anếu
f(b)
cùng
dấu
với
/"(*)
hay
(/'(jc)./"(jc)
>
0)

d
=
a,
Vì
vậy
cả
hai
dãy
ị
a
},
ịb
}
dàn
tới
giới
hạn
chung
lim
a
=
lim
b
=c.
0
0
Thay
cung
Aõ
bởi

dây
trương
cung
Ả
B
.
Lời
giải:
b)1*3
ÝSuy
nghĩa
hình
học:n , xác định được nghiệm gần đúng X n->+
Giả
sử
thứ
thì: 00 n->+ 00
-a\2 -a\.
raở bước
Công
thức
tính
nghiệm
Bước
nĐiều
: A„
=
\
a

x
„
\
<
4
không
chính
xác.
gần
đúng
của
phương
trình
(l)
trên
[a,b]
với
sai
số
không
vượt
quá
£thể
choxem
trước.
3c)
0,696262
-0,49337
0,281926
2 nghĩa

này
có
là.YỚi
khi
X(x150),
khá
gần(/'(jc)./"(x)<0)
a thì/ сf{x
) khá
gần
/(a)và
có
/(X ) «
AB
cắt
trục
hoành
điểm
(c)(
Jtmãn
l)ĩ yêu
=/(x)
b=
nếu
/(«)
cùng
dấu
f"{x
)minh
hay

Đặt
=/ (5x3
-X
- +X /Ta
- )tại
ỉ (hãy
Mà
rõ
ràng
с
e
[a,b].
chứng
điểm
thỏa
càu
của
định
»I
«I
2
/(*,
)
*
„
.
)
V)+
"
T

"
b) Nội
dung
của
phương
pháp:
>0
4Trường hợp 1: /'(*)./"(*)
0,727688
-0,33056
0,18889
-0=hay
>Nếu
f 'X( xthực
|jCj
) =—
x\ <2thể
-£2ứiì
x -X
ỉ .1làlàxấp
nghiệm
đúng cần tìm.
sựỉ 5acó
xem
xỉ củagần
nghiệm.
d) lí.
Sự
ị x thộỉ
- a ịtụ

í qvề
ị x ^nghiệm
-aị.
- Trường hợp 2 : f ' { x ) . f " { x ) < 0
x

x

x

Ị

H

Q

Ị

X

X

x

+

X

x

X

X

x

n

x


-34-31 -35
-33
-36--Bàỉ
- 3 2-0,21387
5 5:
0,748184
0,122214
16 -2,518103
0,001842
=>
-■nghiệm
■ I < о,-2,514419
Уд:đúng
G [-3;—2]
.
Công
thức =
tìm

gần
của phương
trình (3.1.4)
bằng
phương
pháp
2
của phương trình X
3 +03x
75 -3 = 0
6 Tìm nghiệm gần đúng
0,761215
-0,13524
0,077278 (3.1.5)
Công
sai
số: ầ x n = I x n - a \-2,521024
< — — \ x n - I.
17 thức đánh giá
-2,518103
0,0014505
3 XЩ-Зх
з)2f( n)
với
xác
Newton
là:
^71+in
=10”3.
X2 + 0,769365

7 độ chính
-0,08427
0,048153
2
Ta
/'O) = ln 2.2" - 4-2,521024
^ /"(jc) = (ln ì) .2* >
0, Vjc G [o ; 0,5]. 0.001178
18có:
-2,523338
Lòi
giải:
Bảng
các
nghiệm
gần
đúng
của
phương
trình
(3.1.3) tìm được0,02973
sau 2 lần lặp
8
0,774407
-0,05203
0 |/’(0)|
<
|y’(jc)|
<

|/'(0,5)|
<^>
0<
|ln2-4|
<
|/'(JC)|
<
Æln2
4
,
VJC
G=
[0;0,5]
Bằng
phương
pháp
chia
đôi
Do
Vjc е [-3 ; - 2] nên ta-2,525170
chọn hàm lặp là yj-3x 2
19 \<р'(х)\ < — < 1,-2,523338
0,000916
với
Jt0 = 0:
9 /(jt)
-0,03194
0,018251
Công

thức
đánh
số của của phương trình
(3.1.4) bằng phương
pháp
Đặt
=X
+ giá
3x 2sai
- 0,777508
3.
Vậy nghiệm gàn đúng với độXchính
xác
10”3
của
phương
trình
(3.1.5)
được bằng
Saitìm
số Ax
+
3 Ta
công thức làlặp:
x n = *gần
^-Ъхđúng
2п_Jcần
+ 3tìm
. của phương trình (3.1.2)
Vậy

X có
« 0,777508
nghiệm
vớin+Ìsai số
I
1/001
phương pháp lặp làIJC« -2,525170.
1
x =
Newton là:
ầx.
=
\x
a
=
-1
1
0,15
0,45
2
không
f\x) vượt
=0 3xquá
+0,02.
6x => f\x ) 0= 0 <^> -2
c) Bằng
phương
pháp
dây
cung.

Công thức đánh giá sai số: Axn = \x n -a\<
-*„_! I = —\x n - JC„_!
1= X + 3x 2 - 3. 0,15
0,15086I.
0,00258
X
=
0
Đặt
/(x)
Bài 3:
n n
12
=> f\x ) > 0, Vx e [-3; - 2] mà |ln2-4|
Vậy nghiệm
X « 0,15086
là nghiệm
gần đúng
của3+
phương
(3.1.3)
Tìm
gần đúng
của phương
trìnhcần
5jc3tìm
- 20x
3 = 0 trình (3.1.3) ưên [0;l]
Để
bắt

đầu
quá
trình
lặp,
ta
chọn
Jt0
là
một
số
bất
kì
thuộc
[-3
;
2].
Bảng
X--2
/(-3)
=
-3
<
0,
/(-2)
=
1
>
0
=>
/(-3)./(-2)

<
0
nên
[-3;
2]
là
khoảng
phân
li
nghiệm.
Vì
x) <=
0, /"(*)
>+6x
0, V*=>
e [0f\x
; 0,5]
=>f \sai
f\x)
3x 2 vượt
) = =*
0 f \ x ) . f ' ( x ) < 0, V* e [o ; 0,5].
với
sốvới
không
quávượt
0,01.quá
trên
[0;l]
sai

số
không
0,01
bằng
phương pháp lặp.
Kết
quả
sau
5
lần
lặp
bằng
phương
pháp
chia
X =đôi.
<^>
các
Lời nghiệm
giải:
Nên
ta chọn gần
JC0 đúng
= a =tìm
0. được sau 2 lần lặp với x 0 = -3 :
Bài 4:
0
x
x
n

*
n + l=Sai số Лхи+1
Đặt
/(jt)
=
5jc3
20x
+
3.
=> f\x ) > 0, Vx e [-3; - 2,5]
=>*. Tìm
= xo-^^=
0-----------------------=
0,30240.
nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình 2* - 4 x = 0
(3.1.4)
1
0
f\x
-3,30685
0)
2
0 f\x) = Ỉ5x - 20 <-30, Vx e [0;1] ■
-2.08008 5
0,45995
=>
mà /(-3)
= -3 0, /(-2,5)

ỉ > 0 với
=> /(-3)./(-2,5)
< 0.10 .
bằng
phương
tiếp =tuyến
độ chính xác
a = 0,30240b 0,102359 =0,30990.
ao + b
Đánh giá sai sô 0,036465
m.f{x n)
Lời
gỉải:
1n /(0)
^>JC2
=^-^^
X
Mà
= 3, /(1) = -12-2.08008
=s> /(0)./(l)
<- 0,
V* €-2,15301
[0;l].
n
1
2
+
/U)
-3,14521 ầ X
b a

Nên
(0;1)
là
li nghiệm
phương
trình.
Đặt
{ x )- 2,5]
= khoảng
2 xlà-một
4 x .phân
khoảng
phân licủa
nghiệm
củan=^
phương
= 0.
) f(x)
n + Ả trình
2 f[-3;
-2,15301
-2,21765
0,03232
0,000002
Nhận
đương
YỚi:
Ta
cổ:xét:
2x2

x -Phương
0trình
o=20,30990
* =(3.1.3)
4 x . -tương
=>
-4 x == 6x
= 0,30991.
3 x3
Ta
có:==>/"(x)
+
-2,21765
6<0,
Vxe[-3;-2,5].
0,02801
f\x 2 )
-3,14076 -2,273671
Vẽ
đồ thị của hai hàm-2,273671
số y - 2 * và y - 4-2,321335
x trên cùng một hệ trục
tọa độ O x y
4Và
0.023832
0 f\x
-3) > 0, f\x) -2
< 0, V* e [-3;-2,5
- 2,5].
0,5

-3 .0,125
0,100001
=>*
=0,30991.
l = 0,30991x = =f\x
5x
-19jc
+- 32 <=>|ẹ?'(*)|
= -19 = 9,4 > 1 khi X = 0,8
15JC
-3,14075
và
1
>0
;
/(0,5)
3)
=
J
Ĩ
0
=
>
/(0)./(0,5)<0.
51 /(0)
-2,321335
-2.361287
-3
-2,5

-2,75
0,125X + 3x 2 -3 = 0,019976
Công thức tính nghiệm gần đúng của phương trình
0-3.-1,1096
bằng
Kết
quả
thực
hiện
của
4
lần
lặp
với
phương
pháp
Newton:
62
-2,39437
0,016541
-2,75
-2,5 -2.361287
-2,625
0,03125
-1,1096.-0,416
phương/pháp dây cung:
—3
I X, - IX ,
7 Lần lặp
-2,39437

-2,421514
/(*„) = 1,66 > 10,013572
Sai
sô =Ax
+1
3x = -2,625 = ỉ -2,5
-2,5625
0,0078125
-0,416.-0,127
r— =>\qỉ2ự)\
=
khi
X
0,5.
2-2,443600
0 jc-3 ^
8
-2,421514
0.011043
-2,50
-2,531253 3 , 1 0,001953
-0,127.0,004
04 -2,5625
0,0071
15
9Vi 0 < |/'(-2,5)| < |/'(x)|-2,443600
-2,461465
0,0089325
< |/'(-3)|» 0 < ^ <|/’(x)|

< 9, Vx E [—3; —2,5]
nên
15 -2,5625
0,30240 -2,546875 0,02359
0,00000291
-2,53125
0,000488
0,004.-0,061
I
II
II
I
4 1
1
3x2 -2,47584
10
-2,461465
0,00718575
5x
x
=
=
2ta có thể chọn biểu thức
0,30990
0,000002
0,00000291
đánh giá sai số là:
+3
11 nghiệm gần

-2,47584
0,0057485
Vậy
đúng
với độ chính xác -2,487337
10 3 của phương trình
(3.1.5) bằng
3
0,30991
0,00001
0,00000291
15
20
9- biến đổi tương đương
Vậy ta chọn phép
12
-2,487337
-2,496584
0,46235
phương
pháp chia đôi
4 là
I X
,7,« -2,546875.,
4Ax„n= n\x_—a\ = - 0,30991
3
5JC +3
3x2
------------7
--------------------------7

- ------------------------13 Bằng phương
-2,496584
-2,503930
b)
pháp
lặp
với
khoảng
li nghiệm là=[-3;
- 2].0,003673
-----------5x -2ữx + 3 = 0<^x = (pỉ(x) = cách với
Vậy ta thây nghiệm dương nhỏ nhât của
2 0phương trình (3.1.4) với độ chính xác
14
-2,503930 3
-2,509774
0,002922
3
2
Ta
cólàX0,30990.
+ 3x - 3 = 0 <=> X = -3x 2 + 3 X = ọ(x) = yj-3x 2 + 3.
10"5
Ta có [0; 0,5] là khoảng phân5li^nghiệm
của phương trình (3.1.4).
+3
15
-2,514419
0,0022225
Ta CÓ công thức lặp:-2,509774

X 20
x

3

3

3

1

1

1


-38-37Nênquả
ta chọn
JC0 =của
-3 6. lần lặp với phương pháp dây cung:
Ket
thực hiện
Lân
lặp= X, => X
0

x

n

-2>- — = -- = -2,666666 .
f'M 9
3
-2,5
0,125
=

-2,52

0,028

1

X, = X -

2

-2,527588
r = X - I&ủ. = -2,532390.
f\x 2 ) -2,530421

0,018095

0,003965

0,0067275

0,00147

-2,531471

X =x 1^1 1 =-2,532088.
f'(x 3 ) -2,531860

0,0024941

0,0005446

3
4
5

= -2,548611
0,048192.

Sai sô Ax +1

/w

0,01062432

Ket nghiệm
quả thựcgần
hiện
củavới
4 lần
vớixác
phương
Newton:
Vậy
đúng

độlặp
chính
10 3 pháp
của phương
trình (3.1.5) tìm được
bằng phương pháp dây cung làx nX « -2,531860.

d) Bằng phương pháp Newton
0
-3
Đặt /(*) = x 3 + 3x 2 - 3.
1
-2,666666
2 f\x ) = 3x 2 + 6x =>
-2,548611
f\x ) = 0 <^>
3

-2,532390

4

f\x) > 0, Vx e [-3-2,532088
; - 2,5].

f( x n)

Sai sô Ax +1

-3

-0,8

-0,629629

0,503703

X =-0,068039
-2
X =0
-0,001217

0,01814
0,00032466

mà
= -3 <
0, /(-2,5)
= ì độ
> 0chính
^ /(-3)./(-2,5)
0, nên
[-3 ; -trình
2,5] (3.1.5)
là
Vậy/(-3)
nghiệm
gần
đúng với
xác 10 3< của

phương
bằng
o
phương pháp Newton là X » -2,532088.
khoảng phân li nghiệm.
Công thức tìm nghiệm gàn đúng của phương trình X + 3x 2 -3 = 0 bằng
3.2.
Sử dụng máy tính cầm tay để tìm nghiệm gần đúng của phương
f(x )
trình. pháp Newton là: X +1 = X---------■
phương
f\xn)
3.2.1: Áp dụng phương pháp lặp
Ta có: =>/"(x) = 6x + 6<0, Vxe[-3;-2,5].
Nhân xét:
3

< |/’(-2,5)|
< \f(x)\
|/'(-3)|
< ụ đổi
< \f\x)\
9, Mxđểs có
[-3;-2,5].
Với phương
trình <
f(x)
= 0 ota0biến
tương<đương
X = g(x).

4
Chọn giá trị x l và tính:
Công
thức đánh giá sai số của phương pháp Newton:
x2 =g(jq).
x 3 =g(x 2 ).
A x . H * , - « 1= 14^ = - 1 / 0 0 1 .
n \ n I
15
x„=g(x„_ 1 ).
T

Vn j I

Vì f \ x ) > 0, f \ x ) < 0, V* s [-3 ; - 2,5] => f \ x ) . f ’ ( x ) < 0, Vx e [-3; - 2,5].


39Neu dãy số {x } hội tụ thì sau một số hữu hạn bước ta tìm được giá trị gần đúng của
ngiệm phương trình f{x) = 0 và ta chỉ dừng lại ở X với độ chính xác tùy ý.
Bài 1:
Tìm nghiệm gần đúng của phương trình cosx = 2x với
độ chính xác càng cao càng tốt.
T u _• 2 •
Lòi giải:

_,'
, 1
^
_
cosx

/ .
Biên đoi phương trình: cos X = 2x o X = —— = g(x ).
Trên máy tính Casio - 570ES plus, quy trình bấm phím như sau. Bước
l: Đưa vào màn hình chế độ i? (RAD).
(Bấm shiýt mode 4]).
Bước 2: Nhập giá trị ban đầu cho X (chẳng hạn X = 0).
(Bấm 00).
Bước 3: ghi vào màn hình biểu thức: cos Ans + 2.
(Bấm cos Ans 3ẼỊ)Bước 4: Bấm liên tiếp các dấu bằng ( ^ ^ —0—) cho đến khi hai kết quả liên tiếp gần
“giống nhau” thì dừng lại.
Kết quả nghiệm gần đúng của phương trình (3.2.1.1) là X « 0,499980963.

Bài 2:
Tìm nghiệm gần đúng của phương trình sin 2* = 2x-ỉ
trên [0;2] với độ chính xác càng cao càng tốt.

Lời giải:
Đặt f(x ) = 2x- sin2jc -1, Vx e [0;2].
=>/'(*) = 2-2cos2jc>0, Vxe [0;2].

(3.2.1.2)


-40Mặt khác f\x) = Ođạt hữu hạn nghiệm trên [0; 2] nên f(x) đồng biến trên
[0; 2]. Do đó phương trình f(x) = 0 có không quá 1 nghiệm trên [0; 2]
X
,, ,
2x
Biên đôi phương trình: sinzjc = 2x -1 X ---------------1-----.

1

+

Sin

Trên máy tính Casio - 570ES plus, quy trình bấm phím như sau:
Bước 1: Đưa vào màn hình chế độ \Ẽ\ (RAD).
(Bấm shift mode 4]).
Bước 2: Nhập giá trị ban đầu cho X (chẳng hạn X - 0 )
(Bấm @13).
Bước 3: ghi vào màn hình biểu thức: (1

+ sin(2^4«5)) -ỉ- 2.

(Bấm ( ỊT ± _ sin _2 A n s )Ị 0 [2]).
Bước 4: Bấm liên tiếp các dấu bằng Ị _=

^

cho đến khi hai kết quả liên

tiếp gần “giống nhau” thì dừng lại.
Kết quả nghiệm gần đúng thuộc đoạn [0;2] của phương trình (3.2.1.2) là X«
0,5088030151.
Bài 3:
Tìm nghiệm gần đúng của phương trình X - cot X = 0
với độ chính xác càng cao càng tốt.
X ■> •
• 2 •

Lòi giải:
Biến đổi phương trình:
X - cotx = 0.
<=>.* = cot X.
1
<=> tanx = .
X
1
<=> X - arc tan — = g(x).
X
Trên máy tính Casio - 570ES plus, quy trình bấm phím như sau:

(3.2.1.3)


41 Bước 1: Đưa vào màn hình chế độ (RAD). (Bấm shift
mode 4]).
Bước 2: Nhập giá trị ban đầu cho X (chẳng hạn x = 2).
(Bấm lĩ] 0).
Bước 3: ghi vào màn hình biểu thức: tan~ l ( 1: Ans).
(Bấm shift

tan PBHỊ)-

Bước 4: Bấm liên tiếp các dấu bằng Ị _= ==

cho đến khi hai kết quả liên

tiếp gần “giống nhau” thì dừng lại.
Kết quả nghiệm gần đứng là X » 0,860333589.

Bài 4:
Tìm nghiệm gàn đúng của phương trình Jt10 - 5x 3 +2x-3 = 0

(3.2.1.4)

với độ chính xác càng cao càng tốt.
Lòi giải:
Sử dụng phần mềm maple để vẽ đồ thị hàm số /(x) = X10 - 5x3 +2x-3tã tìm
được 2 khoảng phân li nghiệm của phương trình f(x) = 0 là: (-1; 0) và (l; 2).

•

Xét phương trình f(x) = 0 với X e (-1; 0) ta biến đổi phương trình:
X 10 - 5x 3 + 2JC - 3 = 0.
<=> 4x3 = X10 - X3 +2x — 3.

r-x^+ĩx-S
Trên máy tính Casio - 570ES plus, quy trình bấm phím như sau. Bước
1: Nhập giá trị ban đầu cho X (chẳng hạn X - -1).
(Bấm [—TỊ 1=1 )■

Bước 2: ghi vào màn hình biểu thức: ỉị
Bước 3: Bấm liên tiếp các dấu bằng Ị _= ^
tiếp gần “giống nhau” thì dừng lại.

Ans - Ans + 2Ans - 3

cho đến khi hai kết quả liên

-42Ket quả nghiệm gần đúng là x l « -0,950804901.

•

Xét phương trình f(x) = 0 với X e (l; 2) ta biến đổi phương trình
x10-5^3+2^-3 = 0.
X 10 = 5x 3 - 2x + 3.
<5>x = ^Isx 3 -2x + 3.

Trên máy tính Casio - 570ES plus, quy trình bấm phím như sau.
Bước 1: Nhập giá trị ban đầu cho X (chẳng hạn X - 2).
(Bấm [2] 0).
Bước 2: ghi vào màn hình biểu thức: yj5Ans 3 - 2Ans + 3 .
Bước 3: Bấm liên tiếp các dấu bằng Ị _= ^

cho đến khi hai kết quả liên

tiếp gần “giống nhau” thì dừng lại.
Kết quả nghiệm gàn đúng là x 2 »1,266601048.
Bài 5:
Tìm nghiệm gần đúng của phương trình X + 3x3 + 6x 2 + 9x - 5 = 0
4

(3.2.1.5) với độ chính xác càng cao càng tốt.
X u _• 7 •
Lời giải:
Sử dụng phần mểm maple để vẽ đồ thị hàm số /(x) = X + 3x 3 + 6x 2 + 9x - 5 ta
4

tìm được 2 khoảng phân li nghiệm của phương trình f(x) = 0 là: (-3; -2) và (0;1).

•

Xét phương trình f(x) = 0 với X € (-3;-2) ta biến đổi phương trình:
jc4+3jt3+6jt2+9x-5 = 0
(3.2.1.5)
X3 = X4 + 4x 3 + 6x2 +9x-5
o X = ịỊx4 +4x3 +6x2 + 9jc — 5.

Trên máy tính Casio - 570ES plus, quy trình bấm phím như sau.
Bước 1: Nhập giá trị ban đàu cho X (chẳng hạn X = -3 ).
(Bấm Ẹ3] 1=1).


43 44Bước 2: ghi vào màn hình biểu thức: ịjAns 4 + 4Ans 3 + 6Ans 2 + 9Ans - 5 .
[ xl +
2 = A + B = -2
Bước
3: xBấm
liên tiếp các dấu bằng Ị _= ==
[jc rgần
jc 2 =“giống
A.B =nhau”
-1 thì dừng lại.
tiếp

cho đến khi hai kết quả liên

Kết
quả

nghiệm
đúng
-2,414213562.
Theo
định
lí Viétgàn
ta có
JCjlàvàXx1 2* là
hai nghiệm của phương trình X 2 +2x-1 = 0
Vì
đây
nghiệm
lẻ nêntrình
ta dùng
lệnh SHIFT
+ STO + A để lưu nghiệm x l
Vậy
ta là
viết
lại phương
(3.2.1.5)
dưới dạng.
X 4 + 3jc 3 + 6x 2 +9x-5 = 0
vào biến nhớ
A như sau: (Bấm phím SHIFT RCL (-)).
<=> ịx 1 +2x- l )(*2 + X + 5) = 0
• Xét phương trình f(x) = 0 với X € (0;l) ta biến đổi phương trình.
<=> X +2x-ỉ = 0 do X +jc + 5 > 0,Vjc
X 4 + 3jc 3 + 6x 2 + 9x - 5 = 0 <^> 4x 2 - 1 2x + 9 = * 4 + 3jc 3
'x^-X-yỊĨ

<=>
+1 Ox 2 - 3x + 4 <z>(2x-3) 2 =X 4 +3X S +10X 2 -3X + 4
x 2 = —ỉ + yfĩ.
2

2

<=> \2x- 3| = yfj^ị-3x*~+ỉÕxF^-3x + ~4 <^>3-2x =
Vậy tập nghiệm của phương trình (3.2.1.5) là s = Ị-l - Vĩ;-1 + ^/21.
'ị-3x*~+ĨÕx^-3x + ~4 do 3- 2x >
Bài 6:
0,Vjce(0;l)
2
Giải phương trình X 3 -3x
+13 = ^ls-3x
(3.2.1.6)
4
2
3-^lx +3x +ỈOX -3X + 4
Lời giải:
2-N/Ó
2>/Ó plus, quy trình bấm phím như sau: Bước 1: Nhập giá trị
Trên máy tính
Casio - 570ES
ĐKXĐ:
ban đầu cho 3X (chẳng hạn
3 X = 1).
(Bấm [03).
Sử dụng phần mểm maple để vẽ đồ thị hàm số f(x) = X 3 -3x + ỉ- V8-3jc2 ta tìm

được 2 khoảng phân li nghiệm của phương trình/(Jt)
= 0 là (-1;0)
và - 3Ans + 4
s +3Ans
+10Ans
Bước 2: ghi vào màn hình biểu thức:
Bước 3: Bấm liên tiếp các dấu bằng Ị _= ^

cho đến khi hai kết quả liên

tiếp gần
“giống
nhau”
Xét
phương
trìnhthìf (dừng
x ) =lại.
0 với X e (-1; 0) ta biến đổi phương trình:
Kết quả nghiệm gàn đúng là x 2 « 0,4142135624.
X 3 -3x + ỉ-yjs~3x 2 = 0
,
2
Vì đây là nghiệm
SHIFT
+ STO + B để lưu nghiệm x 2 và
o 3lẻ
x nên
= Xta3 dùng
+ 1 -lệnh
V 8-3*

JC3+1-V8-3JC2
biến nhớ B như sau: (Bấm phím SHIFT RCL
<3>x =
Quan sát đặc điểm hai nghiệm x l , x 2 và sử dụng máy tính cầm tay để kiểm tra ta
Trên máy tính Casio - 570ES plus, quy trình bấm phím như sau:
thấy:
Bước 1: Nhập giá trị ban đàu cho X (chẳng hạn X = -1).
(Bấm ẸO 0)-


45 46TD ' a u - ' U ' u u - ~ 4.1,' Ans3 + l - y / S - 3 x A n s 2 Bước 3: ghi vảo man hình biêu
thức:----------------------------------------------------------’---------------ịx l +x 2 = A + B = 1

I x v x 2 = A.B = —1.
Bước 4: Bấm liên tiếp các dấu bằng ( ^ ^ —0—) cho đến khi hai kết quả liên
Theo định lí Viét ta có JCj và x 2 là hai nghiệm của phương trình: X - X -1 = 0
tiếp gần “giống nhau” thì dừng lại.
Vậy ta viết lại phương trình /(Jt) = 0 dưới dạng:
Kết quả nghiệm gần đúng là X « -0,61803398.
X -3x + l-yls-3x 2 =0
Vì đây là nghiệm lẻ nên ta dùng lệnh SHIFT + STO + A để lưu nghiệm
2

Ị

3

X 3 - 3* +1 = yls~3x 2
vào biến nhớ A như sau: (Bấm
phím SHIFT RCL (-)).

o - 3x + 1) = 8 - 3x 2
2
<^(JC3Xét
-3JCphương
+ I)2-8 trình
+ 3JCf(x)
=0 = 0 với X e

ta biến đổi phương trình

1;-

o X6 — 6x4 + 2x3 + 12x2 - 6x - 7 = 0
3
2
l-yls~3x
(jc2 — X —l)(*4 +x3 - X
4x2-3x
—+
x +
7) = 0 =0

<=> \ls — 3x = X ị x 2 - X - l) = 0 d o X 4 + x 3 - 4 x 2 - x + 7 = ị x 2 + x - 52) +
3X +1.
34(x +1) 2 >0, Vx
X» 8 - 3JC 2 = (JC 3 - 3JC +1) 2
2
l-yls
<^>4JC2=8 + JC2-(JC3-3JC + I)2
1+V5

ị8 + x 2 -(^C 3 — 3JC +1^
X =
—.
2
Hai nghiệm trên thỏa mãn ĐKXĐ.
Trên máy tính Casio - 570ES plus, quy trình bấm phím như sau: Bước
2

3

1:
Nhập
trị ban
cho Xtrình
(chẳng
hạn X là=s1,5
Vậy
tập giá
nghiệm
củađầu
phương
(3.2.1.6)
= •).-——; ^+ ^
(Bấm 1,5 3)Bài 7:
2
3
1)
Giải phương trình X 2 + 2 x = y j x +182 + Ans - ÍAns - 3 X Ans +(3.2.1.7)
Bước 2: ghi vào màn hình biêu thức: J------------------------------------------—.

Lời giải:
Bước 3: Bấm liên tiếp các dấu bằng Ị ^ —0—) cho đến khi hai kết quả liên
ĐKXĐ: x>-2.
tiếp gần “giống nhau” thì dừng lại.
Sử dụng phần mểm maple để vẽ đồ thị hàm số /(x) = X +2x- y/x + 2 ta có
Kết quả nghiệm gần đúng là x 2 «1,61803398.
một khoảng phân li nghiệm của phương trình (3.2.1.7) là (0;l).
Vì đây là nghiệm lẻ nên ta dùng lệnh SHIFT + STO + B để lưu nghiệm x 2 và
2

• Xét phương trình f ( x ) = 0 với X € (0;l) ta biến đổi phương trình:
biến nhớ B như sau: (Bấm phím SHIFT RCL :2Ỉ2).
Quan sát đặc điểm hai nghiệm X , x 2 và sử dụng máy tính cầm tay để kiểm tra ta
Ị

thấy:


47X 2 + 2x - y J x + 2
<=>2x = yjx + 2

48-

2

- X
<3>x
{y + l) 2 \_{y
+ l)=2 -l\ = y2 +
Jx + 2 -X

Trên máy
trình
1 tính Casio - 570ES plus, quy =
0 bấm phím như sau.
Bước 1: Nhập giá trị ban
đầu cho X (chẳng hạn X - 0 ).
(,y + l){(.y + l)3-2(.y + l)-l
=0
(Bấm @13).
(y + l)-ừ + 2 )\(y + !)2 - 2 (y +!) “1_
V Ans + 2 - Ans 2
Bước 2:J +
ghi
vào
màn
hình
biểu
thức:
1=0
y + 2 = 0
Bước 3: Bấm liên tiếp các dấu bằng ^ _= ^
cho đến khi hai kết quả liên
tiếp gầnJ “giống
= nhau” thì dừng lại.
<=>
y
Kết
quả-lnghiệm
gần đúng là X « 0,6180339887.
= - 2 -1 +A/5

Vì đây là nghiệm lẻ nên ta dùng lệnh SHIFT + STO + A để lưu nghiệm X vào
y =
biến nhớ A như sau: (Bấm phím SHIFT RCL (-)).
Với y = -1 => VxTĨ = 0 => X =
Quan sát đề bài toán để xem nghiệm X có gì đặc biệt, ta thấy đề bài có biểu thức yfx
-2
.
+ 2 dó đó ta nghĩ đến tính giá trị của biểu thức \Ia + 2 - A thì máy tính cho kết
+ ^s.Jr—________________
3 + V5 .
-1 + ^
Với
y = -1
-2^
x +1 2+ V5
= -l^>
X
quả
là
1.
Với J =
=> jt + 2 =
=> x =
=> Lời giải bài2toán đã cho như sau:
G ậ.
l~—r -3-y/5
. + 2 trở thành:
Đặt: y + l = -1-^
yjx + 2 , phương
trình X 2 +2x_ = V*

V* + 2 =------z----=> Jt€0.
Với y
22
-1 +a/5 '
= Vậy tập nghiệm của phương trình (3.2.1.7) là s =
Bài 8:
Giải

phương

trình:

v^-

-yỊl + X - X

2

=1

Lời giải:
ĐKXĐ: -ỉSử dụng phần mểm maple để vẽ đồ thị hàm số
- x + x 2 - y Ị l + x - x 1 -1, ta có hai khoảng phân li nghiệm của
phương trình (3.2.1.8) là (—1;o) và (l;2).
• Xét phương trình f(x) = 0 với X e (-1; o) ta biến đổi phương trình:

(3.2.1.8)

49■x + x 2 - V 2 + X — X 2 = 1
V3 — x + x 2 - V2 + X — X 2
o2x = V 3-1—= x0 + x 2 — V 2 + X - X 2 - ỉ + 2x
V3 — x + x 2 - ^ 2 + x — x 2 — 1 + 2 x
<3>x =
Trên máy tính Casio - 570ES plus, quy trình bấm phím như sau. Bước 1: Nhập giá trị ban
đàu cho X (chẳng hạn X = -1).
(Bấm ẸĩỊ Ị=Ị).
Bước 2: ghi vào màn hình biểu thức:
yỈ3 — Ans + Ans 2 — V 2 + Ans — Ans 2 — 1
+ 2 Ans

Bước 3: Bấm liên tiếp các dấu bằng Ị ^ —0—) cho đến khi hai kết quả liên
tiếp gần “giống nhau” thì dừng lại.
Kết quả nghiệm gàn đúng là * -0,6180339887.
Vì đây là nghiệm lẻ nên ta dùng lệnh SHIFT + STO + A để lưu nghiệm x l
vào biến nhớ A như sau: (Bấm phím SHIFT RCL (-)).

•

Xét phương trình f(x) = 0 với X e (l; 2) ta biến đổi phương trình:
yls — x + x2 -yj2 + x —
x2 =1
Oy]3 — x + X 2 -1 = V2 + x
— x2
<=> X =2 + X■ị^j3 — x + x -lj =2 + X — X
^2 + x- ỊV 3 - X + X* -1 j
JC =
2

2

Trên máy tính Casio - 570ES plus, quy trình bấm phím như sau.
Bước 1: Nhập giá trị ban đầu cho X (chẳng hạn X = 1).
(Bấm U0).


50Bước 2: ghi vào màn hình biểu thức: ^2 + Ans - Ụ 3 - Ans + Ấns 2 ~ -1 j .

Bước 3: Bấm liên tiếp các dấu bằng Ị ==

=

cho đến khi hai kết quả liên

tiếp gần “giống nhau” thì dừng lại.
Kết quả nghiệm gàn đúng là x 2 »1,618033989.
Vì đây là nghiệm lẻ nên ta dùng lệnh SHIFT + STO + B để lưu nghiệm x 2 và
biến nhớ B như sau: (Bấm phím SHIFT RCL
Quan sát đặc điểm hai nghiệm x l , x 2 và sử dụng máy tính cầm tay để kiểm tra ta thấy:

Xị + x 2 = A + B = 1 x r x 2 = A.B = -1

Theo định lí Viét ta có X và x 2 là hai nghiệm của phương trình: X 2 - X - 1 = 0.
x

Vậy ta viết lại phương trình f(x) = 0 dưới dạng:
yj3-x + x -\fe + X — X =1
2

2

oỤs-x + x 2 -2| + Ịi-V2 + jc-jc2 j = 0
X 2 -x-l
X 2 -x-ỉ
o I
-----+------1
V3 — X + X +2 1+"v2 +
—
X
o ( x 2 - x - ì ) ị - ị = L = -----------------+-----\\3 — x + x 2 +2 ỉ + ^2 + x — x 2
ox 2 -x —1 = 0 do ,

=0

1

= 0

^ —------1------, ^
[—1;2]
V3 — X + X +2 1 +“V

- > OVx e
2

+ JC — X

X
=+ V5

1
2
1-V5
X =
Hai nghiệm trên thỏa mãn ĐKXĐ.
Vậy tập nghiệm của phương trình (3.2.1.8) là s =

ì + v? 1-V5


51 Bài 9:
(Đề thi học sinh giỏi thành phố Hà Nội năm học 2015 - 2016)
X 3 + xy 2 = y 6 + y 4
Giải hệ phương trình

3yjl + 2x 2 + ^3-2/ =10

(3.2.1.9)

Lời giải:
ĐKXĐ:-<ị|Xét phương trình X 3 + Xy 2 - y 6 + ỵ 4 (*).
Để biến đổi phương trình (*) thành phương trình tương đương với nó và có dạng
phương trình tích, ta có thể sử dụng máy tính bỏ túi để tìm mối quan hệ giữa X và
y trong phương trình (*)như sau:
Thay X = 8 vào phương trình (*)ta được phương trình:
512 + 8 / = / + / (*•)
Ta có: 512 + 8/ = / + / <^>/ =512 + 8/ -/ <=> y = ^512 + 8/ -/
Đe tìm nghiệm y của phương trình 512 + 8y 2 = y 6 + y 4 (*'), trên máy tính Casio
- 570ES plus, quy trình bấm phím như sau:

Bước 1: Nhập giá trị ban đầu cho y (chẳng hạn y = 3 ).
(Bấm n 0).

Bước 2: ghi vào màn hình biểu thức: yj512+ SAns 2 - Ans 4 .
Bước 3: Bấm liên tiếp các dấu bằng Ị _= ^ ...[=]••■) cho đến khi hai kết quả liên
tiếp gần “giống nhau” thì dừng lại.
Kết quả nghiệm gàn đúng của phương trình 512 + 8y 2 = y 6 + ỵ 4 (*') là y l
«2,828427125.
Vì đây là nghiệm lẻ nên ta dùng lệnh SHIFT + STO + A để lưu nghiệm y l
vào biến nhớ A như sau: (Bấm phím SHIFT RCL (-)). Tiếp tục dùng máy
tính để tính y\ (Bấm phím ALPHA (-) 2^_) ta được y\ = Ẩ 2 =8


-52Thay x = 9 vào phương trình (*) ta được phương trình:
729 + 9 / = / + / (*")
Ta có: 729 + 9 / = / + / <^> / = 729 + 9y 2 -y*Để tìm nghiệm y của phương trình 729 + 9y 2 = y 6 + y 4 (*"), trên máy tính
Casio - 570ES plus, quy trình bấm phím như sau:
Bước 1: Nhập giá trị ban đầu cho y (chẳng hạn y = 3 ).
(Bấm H 0).
Bước 2: ghi vào màn hình biểu thức: >/729 + 9Ans 1 - Ans 4 .
Bước 3: Bấm liên tiếp các dấu bằng Ị _= ^
cho đến khi hai kết quả liên

tiếp gần “giống nhau” thì dừng lại.
Kết quả nghiệm đúng của phương trình 729 + 9y 2 = y 6 + y 4 (*") ỉà y 2 =3 khi
đỏy 2 2 =9.
Thay X = 10 vào phương trình (*) ta được phương trình:
1000 + 10/ =/+ / (*"’).
Ta có:

1000 +10/ = / + / <I> y = 1000 +10/ - / <^> y = ^/1000 + 10/-/
Để tìm nghiệm y của phương trình 1000 +10y 2 = y 6 + y 4 (*"'), trên máy tính
Casio - 570ES plus, quy trình bấm phím như sau:
Bước 2: Nhập giá trị ban đàu cho y (chẳng hạn y = 3).
(Bấm 00).
Bước 3: ghi vào màn hình biểu thức: yj 1000 +10Ans 2 - Ans 4 .
Bước 4: Bấm liên tiếp các dấu bằng ( ^ ^ —0—) cho đến khi hai kết quả liên

tiếp gần “giống nhau” thì dừng lại.
Kết quả nghiệm gần đúng của phương trình 1000 +10y 2 = y 6 + y 4 (*"') là y 3
«3,16227766.


54-53
Vì
là thấy
nghiệm
lẻ nêntrình
ta dùng
lệnh
SHIFT
+ Brađể lưu nghiệm y 3
2
Từđây
đó ta
phương
(*) có
nhân
tử là +
- ySTO

) . Suy
vào
B như
sau:(*)
(Bấm
SHIFT2RCL
cáchbiến
giảinhớ
phương
trình
như phím
sau: x?+xy
=y 6 +)./Tiếp tục dùng máy
« / ( * - / ) + (*!-(/)3) = 0
tính để tính yị (Bấm phím ALPHA ^ X ) ta được yị = B 2 =10.
y 2 (* - y2) + (* - y 2 )(*2 + xý* + y 4) = 0
Thay * = 11 vào phương trình (*) ta được phương trình.
2
2
<^{x-y
1331 + 11
/ = / + / )(jc2
(*"").+ xy + y + J2) = 0

X - y2 =0
X 2 +xy 2 +y 4 +y 2 =0
1331 + 11 / = / + / (*"") oy 6 =ỉ33ỉ + lỉy 2 -y 4 oy = -ỰĨ331 + 11 / -/ Để tìm nghiệm y
Ta có:

của phương trình 1331 +1 ly 2 = y 6 + y 4 (*""), trên máy tính Casio - 570ES plus,

x =
y xnhư
= ysau:
= 0.
quy trình bấm
phím
Bước 1: Nhập giá trị ban đàu cho y (chẳng hạn y = 3 ).
(Bấm i Với
0).
X = y = 0 thay vào phương trình 3^7 + 2x 2 + ^3-2y 4 = 10 ta
được: 3y/ĩ + y/3 =10 ( vô lí)
= (0;0) không là nghiệm của hệ
Bước 2: ghi vào màn hình biểu thức: yJỉ33l + ỈỈAns 2 -Ans 4 .
phương trình (3.2.1.9).
2
2
= ytiếp
thay
3\jl cho
+ 2x
+
2y 4quả
= 10
ta tiếp
được:
Bước 3:Với
BấmX liên
cácvào
dấuphương
bằng Ị ^trình

—0—)
đến
khi^3
hai- kết
liên
gần
“giống nhau” thì dừng lại.
Kết quả nghiệm gàn đúng của phương trình 1331 + 11 y 2 = y 6 + y 4 (*"") là y 4
«3,31662479.
Vì đây là nghiệm lẻ nên ta dùng lệnh SHIFT + STO + c để lưu nghiệm y 4
vào biến nhớ c như sau: (Bấm phím SHIFT RCL hyp). Tiếp tục dùng máy
tính để tính y\ (Bấm phím ALPHA hyp x_) ta được yị = c z = \ì.
Lập bảng để quan sát mối quan hệ giữa X và y thỏa mãn phương trình (*)ta có bảng
sau:
X

8

9

10

11

y

2,828427125

3

3,16227766

3,31662479

y2

8

9

10

11

=> Quy luật: x = y 2 .


553V7 + 2Ĩr + V3^2xr = 10 <^> 6.jl +
2x 2 .yj3-2x 2 = 34 - Ỉ6x 2 r3416jc2>0
36(21 -Sx 2 -4x 4) = (34-I6x 2)2
0^^
8
944;t4 -544;t2-400 = 0

x2=l
2

25
X =-^7

<^>*2=1

59

JC = 1
x = —ỉ (loai) do X = y2 > 0.
Với ;t = l = > j 2 = l = > j = ±l (thỏamãnĐKXĐ).
Vậy hệ phương trình (3.2.1.9) có tập nghiệm là: s = Ị(l;l),(l;-l)j .
Bài 10:
( Đề thi đại học khối A năm học 2013 - 2014 )
xẠ2-y+yly(n-x 2 )=ỉ2
Giải hệ phương trình JC3 -8jc-1 = 2-sjy-2

(3.2.1.10)

Lời giải:
ĐKXĐ:

0< y<ỉ2
-2yỊĨ
Xét phương trình xẠl-y + yjyịỉ2-x 2 ) = 12 (ỉ).
Để biến đổi phương trình (ỉ) thành phương trình tương đương với nó và có dạng
phương trình tích, ta có thể sử dụng máy tính bỏ túi để tìm mối quan hệ giữa X và
y trong phương trình (z')như sau:


56Thay y = 2 vào phương trình (ỉ) ta được phương trình.
WĨÕ + ^2(12-X 2 ) = 12 (/■').
Ta có:

12 /2(12 ^ 1
WĨÕ + V2(12-*2) = 12 WĨÕ = 12-^2(l2-jt2)<^jt =------------------------^
Để tìm nghiệm X của phương trình ( ỉ ' ) , trên máy tính Casio - 570ES plus, quy
trình bấm phím như sau:
Bước 1: Nhập giá trị ban đàu cho X (chẳng hạn X = 3 ).
(Bấm H 0).

12-J2Í12- Ans 2 )
Bước 2: ghi vào màn hình biểu thức:------------ —7=
-------------------------------------------------------Vĩõ
Bước 3: Bấm liên tiếp các dấu bằng Ị ^ —0—) cho đến khi hai kết quả liên tiếp gần
“giống nhau” thì dừng lại.
Kết quả nghiệm gàn đúng của phương trình Xy/ĩõ + ^2(12-X 2 ) =12 (ỉ') là

Vì đây là nghiệm lẻ nên ta dùng lệnh SHIFT + STO + A để lưu nghiệm x l
vào biến nhớ A như sau: (Bấm phím SHIFT RCL (-)). Tiếp tục dùng máy
tính để tính x\ (Bấm phím ALPHA (-) X ) ta được x\ = A 2 «10.
2

Thay y = 3 vào phương trình (ỉ) ta được phương trình:
3x + yị3(ỉ2-x 2 )=ỉ2 (i n ).
Ta có:
r— --------rrz ------\
12-J3ÍỈ2-X 2 )
3jc + yJ3(l2 - X 2 ) = 12 <=> 3jc = 12 - y3(l2 - X 2 ) <=> X =-------------5TVI /
Để tìm nghiệm X của phương trình (z"), trên máy tính Casio - 570ES plus, quy trình
bấm phím như sau:
Bước 1: Nhập giá trị ban đầu cho X (chẳng hạn X = 2,5).

57(Bấm 2,5 3)12-J3(l2-Ans 2 )
Bước 2: ghi vào màn hình biểu thức:-----------------------------Bước 3: Bấm liên tiếp các dấu bằng

—0—) cho đến khi hai kết quả liên

tiếp gần “giống nhau” thì dừng lại.
Kết quả nghiệm đúng của phương trình 3x + ^3ịỉ2-x 2 ) = 12 (ỉ") là x 2 = 3
khi đó x 2 - 9 .
Thay y = 4 vào phương trình (ỉ) ta được phương trình:
W8 + ^4(12 —X 2 ) = 12 ( i m ) .
Ta có:
rr r- --------------/-n~
---------------------n - M i n - X )
Xy/s + V4(12 - X ) = 12
W8 = 12 - ^4(12 - JC 2 ) ^

T

2

2

L

Để tìm nghiệm X của phương trình (z'm), trên máy tính Casio - 570ES plus, quy
trình bấm phím như sau:
Bước 1: Nhập giá trị ban đầu cho X (chẳng hạn X = 2,5)
(Bấm n 0).
12-J4(l2-Ans 2 )
iểuthức:-------------Bước 2: ghi vào màn hình biêu -------------------7=thức

Bước 3: Bấm liên tiếp các dấu bằng Ị _= ^

V8
cho đến khi hai kết quả liên

tiếp gần “giống nhau” thì dừng lại.
Kết quả ngiệm gần đúng của phương trình Xyịs + ^4(12 - X ) = 12 (/"') là
2

x 3 »2,811.
Vì đây là nghiệm lẻ nên ta dùng lệnh SHIFT + STO + B để lưu nghiệm JC3
vào biến nhớ B như sau: (Bấm phím SHIFT RCL ). Tiếp tục dùng máy
tính để tính xị (Bấm phím ALPHA

) ta được *3 = B 2 X 8.


58-

-

Thay y = 5 vào phương trình (ỉ) ta được phương trình.
W7 + V5(12-JC2) = 12 (/"")

Ta có:
Xy ỉ ĩ + y l 5ạ 2- x 2) = ỉ 2o x y í ĩ = 1 2 - ^ 5 ( 1 2 - x 2 ) o x =

U

^ ỉ 5jp~X I

Để tìm nghiệm X của phương trình (ỉ'""), trên máy tính Casio - 570ES plus, quy
trình bấm phím như sau.
Bước 1: Nhập giá trị ban đầu cho X (chẳng hạn X = 2,5).
(Bấm 2,5 3)”

U-J5Íl2-Ans 2 )
Bước 2: ghi vào màn hình biểu thức:------------------------------7=
V7
Bước 3: Bấm liên tiếp các dấu bằng Ị _= ==

cho đến khi hai kết quả liên

tiếp gần “giống nhau” thì dừng lại.
Kết quả nghiệm gàn đúng của phương trình xyỊĨ + -^5(12 - X 2 ) =12 (z'"") là x ậ «
2,61.
Vì đây là nghiệm lẻ nên ta dùng lệnh SHIFT + STO + c để lưu nghiệm x 4
vào biến nhớ c như sau: (Bấm phím SHIFT RCL hyp ). Tiếp tục dùng máy
tính để tính x\ (Bấm phím ALPHA hyp X ) ta được x\ = c 2 « 7.
2

Thay y-6 vào phương trình (z) ta được phương trình:
x4ẽ + ^6(12-X 2 ) = 12 (/'"").
Ta có:
rr r—------------rr
rrz ------\
12-j6(l2-JC2)
xy/6 + yl 6(12 - x2)= 12^x46= 12-^Ị6(Ỉ2-X2)^X =
Đe tìm nghiệm X của phương trình (ỉ'""), trên máy tính Casio - 570ES plus, quy
trình bấm phím như sau:

Bước 1: Nhập giá trị ban đầu cho X (chẳng hạn X = 2).


-6059(Bấm [2] 0)
Xyj\2-y + -\Ịy( 12-X 2 ) = 12 (z)
<^> 2xẠ2 -y+ lyỊyặl - X 2 ) = 24 0 1 2 - J ó ( l 2 - Ans 2 )
Bước 2: ghi vào màn hình biểu thức:------------------------------7= .
V6
24- 2x-s]l2 -y- 2yjy(l2 -x2)=0
2
2
2
<3>ịl2-y-2xẠ2-y+x } + ịỉ2-x +2yly(l2-x )+yj = 0
Bước 3: Bấm liên tiếp các dấu bằng
— 0— ) cho đến khi hai kết quả liên
2
< ^ > ị ^ y j ỉ 2 - y - + ị y j ỉ 2 - x + ^ y j ỹ j =0
tiếp gần “giống nhau” thì dừng lại.
Kết quả
y j ỉnghiệm
2 — ygàn
- Xđúng
= 0 của phương trình Xy/ô + ^6(12 - X ) =12 (ỉ'"") là x5
1

* 2 , 4 .y ị \ 2 - x 2 + y [ ỹ =
Vì đây là nghiệm lẻ nên ta dùng lệnh SHIFT + STO + D để lưu nghiệm Jt5
0
vào biến nhớ D như sau: (Bấm phím SHIFT RCL sin). Tiếp tục dùng máy
Xét để

phương
trình:
X phím
- 8jc-1ALPHA
= 2yjy-2
tính
tính X*
(Bấm
sin(z'ỉ).
X2 ) ta được X* = D 2 « 6.
3

Từ (*),
y = sát
1 2mối
- X 2 quan
vào phương
ta được
Lập
bảngthay
để quan
hệ giữa trình
X và (ỉỉ)
y thỏa
mãn phương trình.
trình (ỉ)ta có
bảng
X 3 -sau:
8x - 1 = 2yjỉ0 — x2 (hỉ)
y phương trình

2 (z'z'ỉ) ta tiếp3 tục sử dụng máy
4 tính cầm tay
5 để tìm nghiệm
6 đúng
Để giải
X
3 trình (iii)2,811
hoặc nghiệm gàn3,156
đúng của phương
từ đó có định2,61
hướng biến đổi2,4phương
X2
«10
9
«8
*7
«6
trình (ỉỉỉ) về dạng phương trình tích.

•

Sử dụng phần mểm maple để vẽ đồ thị hàm số
X= Ạ2-y
2
x3 X
-Sx-ỉ-2slỉ0-x
Quy f(x)
luật: =
y+
= 12 => X2 =2 ta

12tìm
- y :được 3 khoảng phân li nghiệm của phương
X = —
trình /(*) = 01à: (-3;-2), (-2;0), (2; 4).
yjl2 — y.
=> Phương trình (ỉ) có nhân tử chung là Ịx hoặc ịx + sjỉ2 - .
• Xét phương trình f(x) = 0 với X € (-2; o), ta biến đổi phương trình
Ta biến đổi phương trình (ỉ)như sau:
(Ỉ'H):
JC3 - 8jc -1 = 2 y j ỉ 0 - X 2
<^> 8jc = X -1 - 2V1O-X 2
3

Jt3 - ỉ - 2 \ J ỉ O - X 2
<3>x
=
--------------------8 (z7ỉ), trên máy tính Casio - 570ES plus, quy
Đe tìm nghiệm X của phương trình
trình bấm phím như sau:


62-61
3
- 8xgiá
-1 trị
= 2yjl0-x
(hï)
Bước 1:XNhập
ban đầu cho
X (chẳng hạn X = 0 ) ( B ấ m @ 0 ) .

2

<ti> ( x 2 —2x — 3^(jc + 2) -1 X + 5 = 2
. . . » t U , Ans -1-2^10-Ans Bước
2
2V1O2: ghi vào
mànXhình
biêu thức:-----------------------------:
-----------------------------------------------------------------<=> [x 2 -2x- 3)(* + 2) = 2V1O-*2 + X - 5
/ , „w »X 4 ( l 0 - * 2 ) - ( *- 5 ) 2
<=>(*
+ 2)
—-j=
Bước 3: Bấm -2x-i)(x
liên tiếp các
dấu=bằng
Ị^^—
0—
■X
-x)+cho
5 đến khi hai kết quả liên tiếp
gần “giống
thì2 dừng
ị do nhau”
2V10-X
- * + lại.
5 * 0, Vx € [o; iji] j
Kết quả nghiệm đúng của phương trình (z'z'ỉ) trên khoảng (-2;0) là X = -1.
.
.

-5Îx 2 -2x-3)
• Xét <=>(;*:
phương -trinh
biến đổi phương trình:
2x- 3f(x)
) ( x -+ 02)với= X—e .(2; 4) ta-------—
2
v
' X - 8x2 -1
V1 0=-JC
-JC
2V10
- X+ 5(iii)
3

2

— 2 J C — 3 V I J C<=>
+ 2 HX , --------= 8jc +1 + 2V1O-= X0
v
2V10-*2-x + 5,
3

2

<^> X = \l&x + ỉ + 2V10-x'
X2 - 2x-3 = 0
Để tìm nghiệm X của phương trình [ui), trên máy tính Casio - 570ES plus, quy trình
JC + 2 +
= 0

2V 1O -*2 - X + 5
bấm phím như sau:
Bước 1: Nhập giá trị ban đầu cho X (chẳng hạn x = 2).
(Bấm @ 0 ) . J t = 3
= màn
-l {loai
do x>
0 )ị ị s A n s + l + 2 y f ĩ Õ - A n s 2 .
Bước 2: ghi xvào
hình biểu
thức:
2 +các dấu bằng Ị ^ ^=—00—
Bước 3: BấmJ C
liên+ tiếp
đến khidohaiXkết
( v ô) cho
nghiêm,
>quả
0 ).liên
2
2V 1O - X -x +
5
tiếp gần “giống nhau” thì dừng lại.
Với x = 3=>y = l2 — 3 2 = 3 .
Kết quả nghiệm đúng phương trình {ỉỉi) trên khoảng (2; 4) là X - 3 .
Vậy hệ phương trình (3.2.2.2) có tập nghiệm là: s = {(3;3)j.
Nhận xét:
Ta đã pháp
tìm được
hai nghiệm

đúng
trình
là x = pháp
-ỉ và X —
3.2.2.
Phương
2 (dùng
đạo hàm
kếtcủa
hợpphương
vói phép
lặpịiii)
- phương
Newton)
3,
do vậy ta sẽ biến đổi phương trình (z'z'ỉ) sao cho xuất hiện nhân tử chung là (X 2 Nhân xét
2x - 3).
f(x)
Ta
có:
Với phương trình f(x) = 0 ta biến đổi tương đương để có g(x) = x- J-XiL
/'(*)
Chọn giá trị jCj và tính:

' /’(*,)


63 x 2 =g(x l ).
x3=g(x2).
X

H=g( X H l)-

Nếu dãy số {jc } hội tụ thì sau một số hữu hạn bước ta tìm được giá trị gần đúng của
ngiệm phương trình f(x) = 0 và ta chỉ dừng lại ở X với độ chính xác tùy ý.
Bài 1:
Tìm nghiệm gần đúng của phương trình X 7 -Ỉ9x 2 - 52 = 0

(3.2.2.1)

với độ chính xác càng cao càng tốt.
Lòi giải:
Đặt /(x) = X 1 - I9x 2 - 52.

Đặt =

/(*)

=

X 1 - Ỉ9x 2 -52

d {x 1 -Ỉ9x 2 -52)
d
x
Trên máy tính Casio - 570ES plus, quy trình bấm phím như sau: Bước
1: Nhập giá trị ban đầu cho X (chẳng hạn X = 5 )
(Bấm @0)

Bước 2: Ghi vào màn hình biểu thức: Ans

Ans -ỊĩỊỊõ" Ans - Ị s Ị Ị ^
(aT -1 2 1 E - E lãl) I

Ans 1 -19 Ans 2 -52
d ịx 1 —\9x 2 —52) |I=
x=Ans
d
x
)•

dx
Bước 3: Bấm liên tiếp các dấu bằng Ị ^

cho đến khi hai kết quả liên

tiếp gần “giống nhau” thì dừng lại.
Kết quả được nghiệm đúng của phương trình (3.2.2.1) là X = 2.
Bài 2:
Tìm nghiệm gàn đúng của phương trình 3 X + 4 X + 5 X -1 r = 0
với độ chính xác càng cao càng tốt.

(3.2.2.2)


-64-65 KẾT LUÂN

Lòỉ giải:

quyết

Đặt /(x)Luận
= 3*văn
+ 4*đã+giải
5* -1
r. được các Yấn đề sau đây:
Trình bày một cách
tìm nghiệm gần đúng của
/(*)có hệ thống
, về các phương
3 X +4 Xpháp
+5 X -ỈV
Đặt g(x ) - X -------g(x)
X
—
-------------------------------sv
phương trình đạif\x)
số và phương trình'ỉsiêu việtX dạngX f(x)X = 0.
(3 +4 +5 -ỈV)
dx
Trình bày một số bài toán thể hiện ứng dụng của tìm nghiệm gàn đúng của phương
Trên máy tính Casio - 570ES plus, quy trình bấm phím như sau: Bước
trình f(x) = 0 với sai số cho trước.
1: Nhập giá trị ban đầu cho X (chẳng hạn x-2).
Trình 0
bày0 một
(Bấm
) . số bài toán sử dụng máy tính cầm tay để tìm nghiệm gần đúng của
phương trình f(x) = 0.
Bước 2: Ghi vào màn hình biểu thức: Ans dx
(Bấm Ans

1 _ |UmI 1 . |Uzd 1 _|
Um1 Ị3j +\4\ +^J
d
d
x

1 \
1 âỉis\
-0Y
1
1 1
X1
Ans

( 3 * + 4 * + 5 * - i r ) | I = \x=Ans
)•

Bước 3: Bấm liên tiếp các dấu bằng Ị ^ ^ — 0 — ) cho đến khi hai kết quả liên tiếp
gần “giống nhau” thì dừng lại.
Kết quả được nghiệm gần đúng của phương trình (3.2.2.2) là X «1,088.