Giải gần đúng một số phương trình đại số và phương trình siêu việt

B ộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC s ư PHẠM HÀ NỘI 2
•

■

•

•

NGUYỄN THỊ HÃNG

GIẢI GẦN ĐÚNG MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ
VÀ PHƯƠNG TRÌNH SIÊU VIỆT

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
•

•

•

Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60 46 01 02

Người hướng dẫn khoa học: TS. NGUYỄN VĂN HÙNG

HÀ NỘI, 2015


LỜI CẢM ƠN

Luận văn được thực hiện và hoàn thành tại trường ĐHSP Hà Nội 2,
dưới sự hướng dẫn của Tiến sĩ Nguyễn Văn Hùng, người thầy đã hướng dẫn
và truyền thụ những kinh nghiệm đồng thời cũng là người khơi nguồn cảm
hứng cho tác giả trong học tập và nghiên cứu khoa học. Thầy luôn động viên
khích lệ tác giả vươn lên trong học tập và vượt qua khó khăn trong chuyên
môn. Tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng, biết ơn chân thành và sâu sắc đối với
thầy.
Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban lãnh đạo trường ĐHSP Hà Nội 2,
phòng Sau đại học đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả kết thúc tốt đẹp
chương trinh cao học và hoàn thành luận văn tốt nghiệp.
Tác giả xin trân trọng cảm ơn Sở Giáo dục và Đào tạo Hà Nội, Trường
THPT Cổ Loa đã tạo điều kiện giúp đỡ tác giả có thời gian học tập và hoàn
thành tốt luận văn.

Hà Nội, ngày 10 tháng 11 năm 2015
Tác giả

Nguyễn Thị Hằng


LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới
sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Văn Hùng.
Trong khi nghiên cứu luận văn, tôi đã kế thừa thành quả khoa học của các nhà
khoa học nghiên cứu và đồng nghiệp YỚi sự trân trọng biết ơn.

Hà Nội, tháng năm 2015
Tác giả

Nguyễn Thị Hằng


MỤC LỤC
MỞ ĐẦU.............................................................................................................5
CHƯƠNG I: KIÉN THỨC CHUẨN BỊ......................................................... 7
1.1. Nghiệm và khoảng phân li nghiệm............................................................. 7
1.1.1. Nghiệm của phương trình một ẩn................................................... 7
1.1.2. Ý nghĩa hình học của nghiệm......................................................... 7
1.1.3. Sự tồn tại nghiệm thực của phương trình (1.1)............................. 8
1.1.4. Khoảng phân li nghiệm.................................................................10
1.1.5. Phương pháp tìm khoảng phân li nghiệm của
phương trình (1.1)............................................................................................. 11
1.2. Số xấp sỉ......................................................................................................11
1.3. Sai số...........................................................................................................12
1.3.1. Khái niệm......................................................................................12
1.3.2. Các loại sai số............................................................................... 12
CHƯƠNG II: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI GÀN ĐÚNG PHƯƠNG
TRÌNH ĐẠI SỐ VÀ PHƯƠNG TRÌNH SIÊU VIỆT..................................14
2.1. Tổng quát hoá tìm nghiệm gần đúng của phương trình f(x ) = 0 ..............14
2.2. Phương pháp chia đôi................................................................................ 14
2.3. Phương pháp lặp đơn................................................................................. 16
2.4. Phương pháp dây cung.............................................................................. 18
2.5. Phương pháp Newton................................................................................ 24
CHƯƠNG III: ỨNG DỤNG..........................................................................29
3.1. Tìm nghiệm gần đúng của phương trình f ( x ) = 0 với sai số cho trước .. 29
3.2. Sử dụng máy tính cầm tay để tìm nghiệm gần đúng của phương trình ..38
3.2.1. Áp dụng phương pháp lặp............................................................ 38
3.2.2. Phương pháp 2 ( dùng đạo hàm kết hợp YỚi phép lặp - phương
pháp Newton ) ...................................................................................................62

KẾT LUẬN...................................................................................................... 65
TÀI LIỆU THAM KHẢO.............................................................................. 66


-5 MỞ ĐẦU
1. Lí do chon đề tài
Ngày nay các ngành khoa học nói chung và ngành toán học nói riêng
đã phát triển đến mức độ cao. Rất nhiều các bài toán trong thực tế ( Thiên
văn, đo đạc ruộng đất, vật lí, ...) dẫn đến việc cần giải các phương trình một
biến dạng f ( x ) = 0. Nhìn chung các phương trình dạng f ( x ) = 0 thường khó
có thể giải được bằng phương pháp đại số, hoặc nếu các bài toán đó nếu có
thể giải được thì nó có công thức nghiệm phức tạp, cồng kềnh nên việc khảo
sát các tính chất của nghiệm qua công thức nghiệm đó gặp rất nhiều khó khăn.
Bởi vậy việc tìm nghiệm gần đúng và đánh giá mức độ sai số của nghiệm gần
đúng khi giải xấp xỉ phương trình một ẩn dạng / (jt) = 0 là rất cần thiết.
Các nhà Toán học đã nghiên cứu và đưa ra một số phương pháp giải
gần đúng phương trình một ẩn dạng / (x) = 0. Kết hợp YỚi sự hỗ trợ đắc lực
của máy tính điện tử hiện đại nên việc tìm nghiệm gần đúng của các phương
trình phi tuyến một ẩn dạng / (x) = 0 trở nên đơn giản hơn rất nhiều. Tuy
nhiên trước mỗi bài toán phi tuyến dạng / (x) = 0 thì việc lựa chọn phương
pháp tìm nghiệm gần đúng nào để kết quả nghiệm tìm được chính xác hơn, sai
số nhỏ và tính toán nhanh thì phương pháp giải đó được xem là tối ưu hơn cả.
Không có phương pháp nào được xem là tối ưu tuyệt đối, mỗi phương
pháp đều có nét đặc trưng riêng của nó. Việc dùng phương pháp nào để giải
bài toán cho phù họp còn tùy thuộc vào yếu tố khách quan của bài toán và
mức độ yêu càu của công việc.
Với những lí do như đã nêu ở trên và mong muốn tìm hiểu sâu, trang bị
cho bản thân kĩ năng đánh giá, lựa chọn phương pháp giải gần đúng tối ưu
cho một số phương trình đại số và phương trình siêu việt dạng / (x) = 0 ( với
/ (x) là một hàm phi tuyến ) và cũng do điều kiện về thời gian, năng lực của

bản thân còn hạn chế nên tôi đã chọn đề tài nghiên cứu để làm luận văn cao
học là:
" Giải gần đúng một số phương trình đại số và phương trình siêu việt


-62. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu các phương pháp tìm nghiệm gần đúng của phương trình
đại số và phương trình siêu việt dạng / (jt) = 0. Đưa ra các ví dụ số minh họa
cho kết quả lí thuyết.
Góp phần nâng cao năng lực nghiên cứu của bản thân, phục vụ hiệu
quả cho công tác nghiên cứu khoa học và đào tạo sau đại học chuyên ngành
toán giải tích của trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Tìm tài liệu, đọc hiểu tài liệu.
Viết luận văn.
4. Đổi tượng nghiên cứu và phạm vỉ nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu là:
Các phương pháp tìm nghiệm gần đúng của phương trình đại số và
phương trình siêu việt dạng / ( Jt) = 0 như: Phương pháp chia đôi, phương
pháp lặp đơn, phương pháp Newtơn, phương pháp dây cung.
Các bài toán về phương trình đại số và phương trình siêu việt dạng
f ( x ) = 0.
Phạm vi nghiên cứu:
Các phương pháp tìm nghiệm gần đúng của phương trình đại số và
phương trình siêu việt dạng / (x) = 0.
5. Phương pháp nghiên cứu
Trang bị cho bản thân các kiến thức cơ bản về toán học cao cấp, giải
tích số, sử dụng thành thạo máy tính bỏ túi.
Sưu tầm và giải gằn đúng một số bài toán đại số và siêu việt.
6. Đóng góp của luận văn

Xây dựng luận văn thành một tài liệu tham khảo tốt cho sinh viên và
học viên cao học về một số phương pháp giải gần đúng phương trình đại số
và phương trình siêu việt.


-7CHƯƠNGI: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1. Nghiêm và khoảng phân lỉ nghiệm
1.1.1. Nghiêm của phương trình một ẩn
Xét phương trinh một ẩn: f ( x ) = 0.

(1.1)

trong đó:
/ là một hàm số cho trước của đối số X.
Giá trị xữ được gọi là nghiệm của phương trình (1.1) nếu f ( x ữ) = 0.
Nghiệm của phương trình (1.1) có thể là số thực hoặc số phức, nhưng ở đây ta
chỉ khảo sát các nghiệm thực.
1.1.2. Ý nghĩa hình học của nghỉệm
Các nghiệm của phương trình (1.1) là hoàáh độ giao điểm của đồ thị hàm số
y = / (x) với trục hoành.

Có thể biến đổi phương trình (1.1) về dạng

= h{x), khi đỏ nghiệm của

phương trình (1.1) là các hoành độ giao điểm của hai đồ thị (Q ): y = g-(x) và
( c 2) : y = h(x).


-8-

1.1.3. Sự tồn tại nghiệm thực của phương trình (1.1)
Trước khi tìm cách tính gần đúng nghiệm thực của phương trình (1.1)
ta phải kiểm tra xem nghiệm thực đó có tồn tại hay không. Khi đỏ ta có thể sử
dụng đồ thị hoặc sử dụng định lí sau.
Định lí 1.1.3.1. ( Bolzano - Cauchy )
Nếu hàm sổ f { x ) liên tục trên đoạn [a,b] và thỏa mãn điều kỉện
f ( a ) f ( b ) < 0 thì phương trình f ( x ) = 0 có ỉt nhất một nghiệm trong khoảng
(a,b) .

Chứng minh:
Không mất tính tổng quát giả sử f { à) < 0, f ( b ) > 0, ta chia đôi đoạn [a9b]
Ả
a +b
bởi điêm chia —-—.
2


9TH1: /

'a+ъ

О ta có định lí được chứng minh.

к 2 у
TH2: /

а + ьл

Ф0. Đặt с = a + ^ , khi đó ta xét đoạn [ữj ,ỉ\ ].

Với ax =a, bỉ =

a +b

nếu /

a +b
í a + b'
Với а, = ------- , h - b nếu /
2

>0 .

<0.

a, +è,
Ta lại chia đôi đoạn [öjjbJ bởi điểm chia —---- L. Có ứiể xảy ra hai khả
năng.
KN1: /

V 2

,

= 0 ta có định lí được chứng minh.

KN2: Ta lại thu được đoạn [a2,è2]là một trong hai nửa của đoạn [ßpÄj sao
cho f ( a 2) f ( b 2)< 0.
Ta tiếp tục lặp các đoạn đó.

Khi đó hoặc sau một số hữu hạn bước ta sẽ gặp trường hợp /

a. + b,

=

0.

Và khi đó định lí được chứng minh
Hoặc được một dãy YÔ hạn các đoạn chứa nhau. Khi đó đối với đoạn thứ n,
[a„,b„],(w = l,2,3...)ta sẽ có f ( a n) < 0 , f ( b n) > 0 và độ dài của đoạn bằng
n

- a „n

b-a
2

”

Dãy các đoạn ta lập được thỏa mãn các điêu kiện của bô đê vê dãy các đoạn
lồng nhau, bởi vì theo trên lim (bn - a ) = lim
n -> + 00

'b-a'
\ £9

n -> + 00

"

= 0.

J

Vì vậy cả hai dãy ị a }, ịb } dàn tới giới hạn chung lim a = lim b =c.
n -> + 00

n -> + 00

Mà rõ ràng с e [a,b]. Ta hãy chứng minh điểm с thỏa mãn yêu càu của định
lí.


- 10Thật vậy do tính liên tục của hàm số tại x = c, ta có / (c) = lim f ( a ) < 0.
n —>+00

Và /( c ) = lim f ( b n) > 0.
n -ỳ + 00

Vậy f ( c ) = 0. Ta có định lí được chứng minh.
1.1.4. Khoảng phân li nghiệm
Định nghĩa 1
Đoạn \a,b\ ( hoặc khoảng (ữ,z?) ) được gọi là khoảng phân li nghiệm
của phương trình f ( x ) = 0 nếu nó chứa một và chỉ một nghiệm của phương
trình đỏ.
Định ư 1.1.4.1
Nếu hàm sổ y = f { x ) liên tục, đơn điệu trên [a,b] và f ( a ) f ( b ) < 0
thì \a,b\ là một khoảng phân li nghiệm của phương trình f (jt) = 0.
Chứng minh: Theo định lí ( Bolzano - Cauchy ) ta có phương trình f ( x ) = 0

ít nhất một nghiệm trên [a,b].
Giả sử cx, c2 là hai nghiệm phân biệt của phương trình f ( x ) = 0
Ta có f (Cj) = / ( c2) = 0. Vì hàm số y = f { x ) liên tục, đơn điệu trên [a,b]
nên Cj = c2 ( trái giả thiết).
Do đó phương trình f ( x ) = 0 có nghiệm duy nhất trên [a,b]
Vì vậy theo định nghĩa 2 thì [a,b] là một khoảng phân li nghiệm của phương
trình /( x ) = 0.
Nếu / (*) có đạo hàm thị điều kiện đơn điệu có thể thay thế bằng điều
kiện không đổi dấu của đạo hàm ta có định lí sau.
Đinh lí 1.1.4.2
Nếu hàm sổ y = / ( * ) liên tục, đạo hàm f ' { x ) không đổi dấu trên
[a,b] và f ( a ) f ( b ) <0 thì \a,b\ là một khoảng phân li nghiệm của phương
trình f (x) = 0 (1).
Chứng minh:


-11 Ta có hàm số y = / ( * ) liên tục, đạo hàm / '( * ) không đổi dấu trên [a,b]
nên hàm số y = f (x) liên tục, đơn điệu trên \a ,b \.
Theo định lí 1.1.4.1
/ ( a ) / ( ỏ ) < 0 thì

/0 0

=

hàm số y - f { x ) liên tục, đơn điệu trên [a,b\ và

[a,b] là một khoảng phân li nghiệm của phương trình

0.

1.1.5. Phương pháp tìm khoảng phân li nghiệm của phương trình (1.1)
a) Phương pháp giải tích.
Nếu f ' { x ) liên tục, xét dấu của / ( x ) tại hai đầu mút của miền xác
định và tại những điểm X. mà f \ x ) = 0 suy ra ước lượng khoảng phân li
nghiệm.
Một đa thức bậc n có không quá n nghiệm, YÌ vậy phương trình đa
thức bậc n có không quá n khoảng phân li nghiệm.
b) Phương pháp hình học.
Vẽ đồ thị của hàm số y = f (x) trên giấy kẻ ô vuông suy ra ước lượng
khoảng phân li nghiệm ( hoành độ giao điểm của đồ thị y = f (*) với trục
hoành ).
Trường hợp khó vẽ đồ thị của hàm số y = f ( x ) , có thể biến đổi
y = f ( x ) về hàm tương đương Ã(jc) = g (^ ). Vẽ đồ thị của y = h[x) và
y = g (x) suy ra khoảng phân li nghiệm.
1.2. Số xấp sỉ
Khi tìm nghiệm của phương trình đại số và phương trình siêu việt dạng
/ 0 0 = 0(1.1), ta thường thiết lập cả một dãy x0,x1,...,xn,... sao cho X„ —
khi H—» 00 , trong đó a là nghiệm đúng của phương trình (1.1). Do giả thiết

Điều này có nghĩa là khi
thể xem / ( X ) « 0 hay

X

X

khá gần a thì f { x ) khá gần / ( a ) v à có

thực sự có thể xem là xấp xỉ của nghiệm.

- 12Người ta thường cho số s)0 đủ nhỏ và nếu \x - a \ < £ thì chọn X làm
nghiệm xấp xỉ của phương trình (1.1) và dừng quá trình tính toán.
Một câu hỏi đặt ra là với cách chọn như vậy thì / ( * ) đã có thể thực sự
xem là xấp xỉ của f ( a ) không, có bảo đảm rằng |/(je ) - / ( a ) | = |/(je )|

khá gần 0 không? Cũng có lúc ta chỉ quan tâm là X xấp xỉ a tốt như thế nào
thôi, nhưng cũng có trường hợp ta lại quan tâm là f { x ) có thể coi là gần 0
không, thì lúc này sự xấp xỉ của

X

so YỚi

a

chưa đủ, mà ta càn phải xét cả

giá trị I/ (x )| nữa. Chính YÌ lí do này mà trong các chương trình tính toán tôi
đưa thêm điều kiện dừng về /(jc ). Quá trình tính toán sẽ dừng nếu điều kiện
1* - a\ < s và I/ (x )| < ổ thỏa mãn.
1.3.

Sai sổ
Khi giải toán bằng phương pháp gần đúng thì sai số xuất hiện do sự sai

lệch giữa giá trị nhận được YỚi nghiệm thực của bài toán, vì vậy ta phải đánh
giá sai số để từ đó chọn ra phương pháp tối ưu nhất.
1.3.1. Khái niệm

Giả sử X là số gần đúng của X* (jc* là số đúng), khi đó A = x - x * gọi là
sai số thực sự của X . Vì không xác định được A nên ta xét đến hai loại số sau:
- Sai số tuyệt đối: Giả sử 3Ax >0 đủ bé sao cho x - x * gọi là sai số tuyệt đối của X .
-

Sai số tương đối: ổx = ^ .
1*1

1.3.2. Các loai sai số:
Dựa vào nguyên nhân sai số, ta có các loại sau:
-

Sai số giả thiết: Xuất hiện do việc giả thiết bài toán đạt được một số
điều kiện lý tưởng nhằm làm giảm độ phức tạp của bài toán.

-

Sai số do số liệu ban đầu: Xuất hiện do việc đo đạc và cung cấp giá trị
đầu vào không chính xác.


Sai số phương pháp: Xuất hiện do việc giải bài toán bằng phương pháp
gần đúng
Sai số tính toán: Xuất hiện do quá trình làm tròn số trong quá trình tính
toán, quá trình tính toán càng nhiều thì sai số tích lũy càng lớn.


- 14CHƯƠNGII: MÔT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI GẦN ĐÚNG
PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ VÀ PHƯƠNG TRÌNH SIÊU VIỆT

2.1. Tồng quát hóa tìm nghiệm gần đúng của phương trình f ( x) = 0
Để tìm nghiệm gần đúng của phương trình đại số và phương trình siêu việt ta
tiến hành qua hai bước:
- Tách nghiệm: Xét tính chất nghiệm của phương trình (1.1), phương
trình (1.1) có nghiệm hay không, có bao nhiêu nghiệm, các khoảng
chứa nghiệm nếu có. Đối với bước này ta có thể dùng phương pháp đồ
thị kết hợp với các định lí mà toán học hỗ trợ.
- Chính xác hóa nghiệm: Thu hẹp dần khoảng chứa nghiệm để hội tụ
được đến giá trị nghiệm gần đúng với độ chính xác cho phép. Trong
bước này ta có thể áp dụng một trong các phương pháp:
+ Phương pháp chia đôi.
+ Phương pháp lặp đơn.
+ Phương pháp dây cung.
+ Phương pháp Newton.
Công thức đánh giá sai số tổng quát cho các phép lặp ở trên như sau:
Định ư 2.1.1
Với

hàm

/(* )

3ml : 0 < ml <

liên

tục

V.Xe [ữ, b\

và

khả

vi

ml =M m |/'(jc)|
[a,b]

trên

[a,b],

ngoài

ra

và X e[ữ,ò] là xấp xỉ

OI .
của nghiệm a , khi đó ta có đánh giá: I\x - a \ I< -l/O
—-——
2.2. Phương pháp chia đôi
a) Bài toán
Giả sử [ữ,è]là khoảng phân li nghiệm của phương trinh /(jc) = 0(1). Tìm
nghiệm thực gần đúng của phương trình (l) trên [a,b] với sai số không vượt
quá £ cho trước.
b) Nội dung của phương pháp:

-15-

- Chọn xữ là điểm giữa [a,b] làm nghiệm gần đúng JC0 = a + ^
+ Nếu /(jc0) = 0 => xữ là nghiệm đúng => Dừng.
+ Nếu / ( xữ) 5*0 và sai số Axữ < £ thì JC0là nghiệm gần đúng cần tìm với sai
số Àx0 => Dừng.
+ Nếu / ( * 0)^ 0 và sai số Axữ> € thì xét dấu /(ữ )./(jc 0):
Nếu / ( « ) . / (x0) < 0 thì khoảng phân li nghiệm mới là [a, Jt0]
Nếu / ( « ) . / (x0) > 0 thì khoảng phân li nghiệm mới là [x0,b]
- Lặp lại phương pháp chia đôi với khoảng phân li nghiệm mới.
- Quá trình lặp lần lượt cho ta các nghiệm gần đúng xQ9xl9.... và kết thúc khi
tìm đươc
x„ĨI với sai số Ax„n < € .
•
c) Đánh giá saỉ số
Gọi a là nghiệm đứng, ta cố:
Bước 0: A0 = |a - x ữ\ < ^ { b - a ) , ầ x ữ= ^ ( b - a ) .
1( 1
^ 1
1
Bướcl : ầ í = \ a - x í\ < ^ ụ b - a ) \ = ị { b - a ) , ầ x i = ỳ { b - a ) .

Bước n : A„» =I \a - x„\
«I < 42
d)

Sự hộỉ tụ về nghiệm


-16Tacó: \xn- a \ < Ậ ^ ( b - a ) .

=>lim|jc - a \ < lim
*-»00

x -><x >

1«H-l

(b-a)

=

0:

lim JE

a = 0.

*-»00

Vậy dãy {x } hội tụ về nghiệm của phương trình khi ra —>00 .
e) Sơ đồ tóm tắt phương pháp chia đôi
- Cho phương trình / (x) = 0.
- Ấn định sai số £ cho phép.
- Xác định khoảng phân li nghiệm [ữ,z?].
- Giải thuật của phương pháp chia đôi.
í) Ưu nhược điểm của phương pháp
- Ưu điểm: Đơn giải, dễ lập trình.
- Nhược điểm: Hội tụ về nghiệm chậm.
2.3. Phương pháp ỉặp đơn
a) Nội dung của phương pháp

Biến đổi phương trình f ( x ) = 0 về dạng X = ọ( x) với ọ( x) liên tục trên
(a,b).
- Lấy X = x0 e \a,b\ làm nghiệm đúng ban đầu
- Tính xl = (p{xữ).
- Tính x2 =ý?(jc1).

- Tính xn = ẹ?(xn j).
Nếu X hội tụ v ề a khi « —>+00 thì a là nghiệm đúng của phương trình
f ( x ) = 0, các Xị là nghiệm gần đúng của phương trình f ( x ) = 0.
b) Ý nghĩa hình học:


-17-

H1

H2

- Hình HI: hội tụ đến nghiệm a .
- Hình H2: không hội tụ đến nghiệm a (phân li nghiệm),
c) Sự hộỉ tụ về nghiệm của phưomg pháp
Định lí: Giả sử (a,ồ) là khoảng phân lì nghiệm của phương trình / ( jc) = 0

f(x ) = 0o X = '(x)là các hàm số liên tục trên [a9b]. Nếu
|^'(*)| < # < 1, Vjc e [ữ,b\ thì dãy |jc }, n = 0,1,2,... nhận được từ: X = hội tụ đến nghiêm a của phương trình f ( x ) = 0.
Chứng minh:
Giả sử a là nghiệm đúng của phương trình f ( x ) = 0, Ta cố:
a = X, =

=>xì - a = (p{xữ) - Theo định lí Lagrange, 3 € (xữ9a ) nếu xữ< a hoặc 3cxe (ơ,jc0) nếu a < x0
sao cho: => I*! - a \ = |ẹ?’(c)(jt0 - a)\ < q |jc0 - a\ .
Tương tự:

\x2 —a\ ^q\xx—a \.

1*3 -a \< q \x 2 - a \.

ịxt-aịíqịx^-aị.


-18Do ^<1 và J0€ \a,b\ nên X. e[a,£], V/ = 1,2,...,».
Hơn nữa: \xn- a\ < qn|jc0 - a\ và lim qn\xQ- a\ = 0.
«-»+00

Nên xn hội tụ về nghiệm a khi n -> +QO.
d) Đánh gỉá saỉ số
\xn- a \ < q \ x n_x- a \ = q\xn_x+xn- x a - a \ < q \ x n_x- x a\+ q\xn- a \ .

=>\x, - a \ ^ Tl -Lq-\x, - x,--Ằ ■
n

Hoăc có thể dùng cồng thức: \x - a \ < —— |jCj - JC01.
l-q
2.4.

Phương pháp dây cung

a) Bàỉ toán
Giả sử [a,ỗ]là khoảng phân li nghiệm của phương trình f ( x ) - 0 (1). Tìm
nghiệm thực gần đúng của phương trình (l) trên [a,b] với sai số không vượt
quá £ cho trước.
b) Nệỉ dung của phưomg pháp

- Thay cung Aõ bởi dây trương cung ẢB.
AB cắt trục hoành tại điểm (x150),
- Nếu |jCj —a \ < £ ứiì X 1 là nghiệm gần đúng cần tìm.


- 19- Nếu không, lặp lại phương pháp dây cung YỚi khoảng phân li mới
(.x^ồ) hoặc [a,xl) tùy theo tích chất của / ( x ).
+ Nếu / ) . / (ữ) < 0 thì (a,xl) là khoảng phân li mới
+ Nếu /(jc 1) ./ ( a ) > 0 thì (jci;ồ) là khoảng phân li mới.
Với khoảng phân li nghiệm mới (xpố), tính được nghiệm gàn đúng x2 bằng
phương pháp dây cung.
- Quá trình lặp kết thúc khi tìm được nghiệm gàn đúng

X

có sai số

Áxn <£.
Đe xây dựng công thức tính nghiệm, ta xét thêm tính tăng giảm và lồi lõm của
đường cong / ( x ) . Giả sử / và / ' không đổi dấu trên [a,b\.

c) Công thức tính nghiệm
Trường hợp 1: /'(* )./" (* ) > 0

-20-

- Chọn x0 =a
- phương trình đường thẳng A^B là:

V= 7 —^- ■
f ( b ) - f ( x o) ố - x 0

jCj là nghiệm của hệ:
y - f ( x 0)

_ * !-* (,

< f ( b ) - ý[X0)
f(x)

w

r = ^>Xx> x .=X
x ữ- f (x°)(b
b ^ xữ
ịby f ~^ x°)
y

- Ở bước ứiứ n , phương trình đường thẳng AnB là:
n) _ X - X H
f ( b ) - f ( x n) b - x n '
y - f { x

X

+1 là nghiệm của hệ:
y ~ f

•

( X n

)

f { b ) - f ( x )

_

X n+ 1

~

X n

b - x

r í

^

n
y =0
Trường hạp 2: /'(jt)./" (jt)< 0

X , = X ---- Y y

\ ( u _

—

f ( b ) - f ( x n)

\

v ớ i Xg = ữ .


-21 -

- Chọn xữ=b.
là
- phương trình đường thẳng ABữ là:

y - f ( x o) = x - x 0
y. ' 7
- ——— .
f ( a ) - f ( x 0) a - x ữ

xl là nghiệm của hệ:
y - f ( xo)

=

V

\

Ở bước thứ n , phương trình đường thẳng AnB là:
y - f { xn) - x ~ xn
f ( b ) - f ( x n) b - x n '
X

+1 là nghiệm của hệ:
y

f ( Xn )

f ( a ) - f ( x

_
)

X n+1

\

X n

a - x

: 0

^ x n+l = x n -------Y ỏ

với xn=b.

/( « ) - /( * .)

Từ hai trường hợp trên, ta rút ra công thức tính nghiệm chung:
f ( x n) ( d - x n)
x n+ l =

x n ~ -

f ( d ) - f ( x ny

Trong đó:
d = b , x 0 - a n ế u f ( b ) cùng dấu với /" ( * ) hay (/'(jc )./"(jc) > 0)
d = a, x0 = b nếu / ( « ) cùng dấu YỚi f " { x ) hay ( /'(jc )./" (x ) < 0 )


-22d) Đánh giá sai số của phương pháp dây cung
Gọi a là nghiệm đúng của phương trình f(x ) = 0 (1), / (x) liên tục trên
[x ,a](hoặc [a,x ]nếu /'( * ) ./" ( * ) < 0 ) và /(jc)có đạo hàm trên (jt , a )
(hoặc (a, xn)nếu /'( * ) ./" ( * ) <0).
Nếu số M, m thỏa mãn: 0
Vjce[ữ,z?] thì có thể chọn sai

•/'(■*«)
M - m ị
I
sô tuyệt đôi giới hạn cho X là: Ax - J—-——hoặc Ax ----------\x - X _J .

m
m
Chủng minh: Áp dụng định lí Lagrange
“ Cho hàm số / ( x ) liên tục trên \a,b\, cỏ đạo hàm trong khoảng (a,b) thì

tồn tại một sổ c e (a ,ồ ) sao cho: f { b ) - / ( « ) = f ' ( c) { b —a) ”
f { x « ) - f { a ) = f ' { c ) { x n - a ) ^ c & { x n’ a ) ^ { a ’b ) -

0
vì

ta có:

/( a ) = 0

và

e [a,ồ]nên \ f ( x n) - f ( a ) \ = \f' (c)(xn - a ) \ > m\xn - a \ .

I
I l/G O I
’
suy ra \x - a \ < -—-——. Như vậy, đê đánh giá độ chúih xác của nghiệm nhận
.

m

được bằng phương pháp dây cung ta có thể sử dụng công thức
I„

.1J / ( * n ) L ma* { |/M l’* e [ữ’0]}
A„ _ | / K ) | .
\x - a \< J—-—- < ----- ----- ----------- hay Ax = J—-—J
n
m
m
m
n

Ngoài ra, nếu biết hai giá trị gần đúng liên tiếp, ta có:
X,

-

- 1' f ( d ) - f ( x n ỉ )

n

xn ì - d

1

Vì a là nghiệm đúng của phương trình f ( x ) = 0 (1) nên ta có thể viết:
f ( a ) - / ( V , ) = f (Xn- ^ ~ f (d \ xn - ) .
x n -l

a

Áp dụng định lí Lagrange, ta có:
f ' ( c l) ( a - x n_l) = f ( a ) - f ( x n_l),Vcl e ( a , x n_l) , vầ

f í c 2 ) ( x n - i - d ) = f ( x n- i ) - f ( d ) ’ V c 2 t ( x n_l , d ) .

Suy ra


-23 -

/'(t0 (g - v i ) = / ( g ) - / ( 0

= / ^ r‘^ { ^ (*.-*.-■)

= Ú £ & ± ± ỊẾ lịXm-

) = /.(*,)(*,, - ).

X n-\

a

Vậy /'( c ,X « - x n+xn- x n_,) = r { c 2)(*„ -

).

Hay / ' ( ci) ( a - *») = [ / ' ( c2) - / '(c1 )](*» - V i ) •

„ M _ |/ ’(c2) ■
- / ’(c.) 'LJC - X„ . I.
I(Va - Jt.;i) = J— I|y(C
l)|
■ -I

Theo giả thiết ta cỏ:

- m\ .

A'
A
_l
™l _ M - n t ị
I
Do đó:
Ax
=
\xn —a\
=-------- JCn —X_A.
n
n
m
—i

Như vậy ta có hai công thức đánh giá sai số:
Axn = ^

m

hoặc
Axn =— —— \x71 —JCn_JI.
•
m
—i

e) Sự hội tụ về nghiệm:
Giả sử a là nghiệm đúng của phương trình f ( x ) = 0 (1). Dãy các nghiệm gần
đúng:
- Trong trường hợp 1: a = x0 < xl < x2 <... < X < a < b .
Dãy {x } tăng nghiêm cách và bi chăn trên bởi a , nên: limx = a
’
*->00

.

- Trong trường hợp 2: a < a < X < X _J <... < Xx < Jt0 = b .
Dãy {jc } giảm nghiêm cách và bị chặn dưới bởi a , nên: limx = a .
x->co

f) Ưu nhược điểm của phương pháp dây cung:
- Ưu điểm: Có thuật toán đơn giản, biết X chỉ cằn tính một giá trị của
/ (xn)để tính xn+l . Nhanh hơn thuật toán chia đôi.
- Nhược điểm: Tốc độ hội tụ về nghiệm chậm, chỉ hội tụ tuyến tính.


-242.5.Phương pháp Newton
a) Bài toán: Giả sử / '( * ) và /" ( * ) không đổi dấu trên (ữ,z?) và
/ ( ữ ) ./( z > ) < 0. Tìm nghiệm thực gần đúng của phương trình / ( * ) = 0(1)

trên [a,b] với sai số không vượt quá £ cho trước.
b) Nội dung phương pháp

Ý tưởng chủ đạo của phương pháp Newton là thay phương trình
/ 0 0 = 0 (l)phi tuyến đối với

X

bằng phương trình gần đúng, tuyến tính đối

với X, cụ thể.
Thay đường cong / ( * ) trên [a,b] bởi tiếp tuyến {T) với đường cong tại
điểm A hoặc B. Hoành độ giao điểm X, của (r)v ớ i trục hoành xem như
nghiệm gần đúng của phương trình

f(x ) - 0

(1).

Đe xây dựng công thức tính nghiệm của phương pháp Newton ta xét:
- Trường hợp 1:

> 0.


-25Xét f ' { x ) > 0 ,/" ( jc) > 0 ( trường hợp /'( * ) < 0 ,/" ( jc) < 0 tương tự )

y

*

o

X

A

V I/

'"

- Cho x0=b
Phương trinh tiếp tuyến (ro) với / (x) tại điểm Bữ(x0, / ( x 0)) là:
;y - /( * o ) = / ’(*l>)(*_;,Co) •
(ro) cắt trục hoành tại điểm có hoành độ
J '- / ( ^ o ) = / ’(JCo ) ( ^ - Xo)

_

.y = 0

XỊ

là nghiệm của hệ

/(* o )
0

/ ’(*») ’

Xj xem như là nghiệm gần đúng của phương trình / ( jc) = 0 (1), nếu cần
chính xác hơn ta thay
hơn

X x ).

X Qbởi X Ị ,

lặp lại tính toán trên để tính x2 (chính xác

Lặp lại cho đến khi đạt độ chính xác theo yêu cầu.

c) Công thức tính nghỉệm tổng quát
Giả sử ở bước thứ n , xác định được nghiệm gần đúng xn thì:
Phương trình tiếp tuyến (F ) với / (jc) tại điểm Bnịxn, f (jcb)) là:

- Trường hợp 2: f'{x).f"{x) < 0