Giải thuật di truyền giải bài toán tối ưu đa mục tiêu

Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2

NGUYỄN THI NHUNG

GIẢI THUÂT DI TRUYỀN GIẢI BÀI TOÁN TỐI ưu
a

ĐA MUC TIÊU
a

LUẬN VĂN THẠC sĩ TOÁN HỌC

Hà Nội - 2015


NGUYỄN THI NHUNG

GIẢI THUÂT DI TRUYỀN GIẢI BÀI TOÁN TỐI ưu
a

ĐA MUC TIÊU
a

Chuyền ngành : Toán ứng dụng
Mã sổ

: 60 46 01 12

LUẬN VĂN THẠC sĩ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS.Phạm Thanh Hà
Trước khi đi vào từng phần cụ thể của khóa luận tốt nghiệp này, tôi muốn gửi lời cảm ơn chân thành nhất đến
TS Phạm Thanh Hà- người đã đưa ra đề tài, tận tình giúp đỡ và hướng dẫn tôi trong suốt thời gian tôi thực hiện khóa
luận này.
Tôi xin cảm ơn phòng quản lý và đào tạo sau đại học trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 đã tạo điều kiện
thuận lợi cho tôi trong suốt thời gian học tập và thực hiện khóa luận. Đồng thời tôi cũng xin gửi lời cảm ơn chân


thành nhất đến gia đình, bạn bè, đồng nghiệp đã luôn đôn đốc, tạo điều kiện, hỗ trợ về mặt tinh thần cho tôi trong quá
trình thực hiện luận văn.
Cuối cùng tôi xin cảm ơn các bạn cao học khóa 17 chuyên ngành toán ứng dụng trường Đại học sư phạm Hà
Nội 2 đã quan tâm, chia sẻ và đóng góp ý kiến để tôi hoàn thành luận văn.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội tháng 10 năm 2015
Hoc viền *

Nguyễn Thị Nhung
Tôi xin cam đoan rằng số liệu và kết quả nghiên cứu trong luận văn này là trung thực và không trùng lặp với
các đề tài khác. Tôi cũng xin cam đoan rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận văn này đã được cảm ơn và các
thông tin trích dẫn trong luận văn này đã được chỉ rõ nguồn gốc.
Hà Nội tháng 10 năm 2015
Hoc viền *

Nguyễn Thị Nhung


Trang
LỜI CẢM ƠN
LỜI CAM ĐOAN
MỤC LỤC

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU
DANH MỤC CÁC HÌNH


/(/¡W,/2W)

: Vector hàm mục tiêu

* = (*!
>-,*„)

: Vector biến quyết định

ni
li

: Số lượng đoạn cần mịn hóa thứ i
: Chiều dài đoạn thứ i

larg

c

: Chiều dài trung bình của tất cả các đoạn ở mỗi bước
: Hệ số nhân

Pl,p2
ỗi

: Điểm cuối của đoạn

: Khoảng cách vuông góc từ các điểm trên biên đến nón R+Q

Axb AX2

: Kích thước của lưới

f(x,p)

: Hàm mục tiêu của vector X và véc tơ tham số cố định p

p

: Vector tham số cố định

g(x, p)
h(x,p)

: Vector ràng buộc bất đẳng thức với tham số p
: Vector ràng buộc đẳng thức với tham số p

p, w

: Vector trọng số

fi
f

: Hàm mục tiêu được chuẩn hóa
Điểm utopia

f

Điểm nadir

f

Điểm anchor thứ i

NE

Np

; SỐ lượng lớn nhất mà tập E có thể chứa được các tập
nghiệm không trội
; SỐ lượng cá thể trong quần thể/ kích thước tập p.

k
nu

: Tham số của mật độ tính toán: k = f E
: Số nghiệm trội hơn nghiệm u

s

: Tập nghiệm trội bởi nghiệm u


Po,Pt
Qt

Fj

: Quần thể ban đầu và tại thế hệ thứ t
: Quần thể con tạo thành từ các cá thể trong pt
: Biên chứa các nghiệm không trội. Với j=l,..

Hi
=Ri=E(ri)
ƠI
Oij

: Kỳ vọng của Ti
: Phương sai của Tị
: Hiệp phương sai giữa Tị và Tj

peR

: Vector giá trị kỳ vọng của Tị

r e Rnxn

:

Ma trận hiệp phương sai của Oịj



Hình 3.12. Kết quả chạy thuật toán với số lượng thế hệ tối đa là 50 và số

9

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đè tài
Bài toán tối ưu hóa đa mục tiêu đặt ra yêu cầu tìm phương án tốt nhất để
đạt được cực tiểu, cực đại nhiều mục tiêu cùng lúc, nếu có một phương án như
yậy thì ta gọi là phương án lý tưởng.
Tuy nhiên trong bài toán tối ưu nhiều mục tiêu thường thì các mục tiêu
xung đột với nhau nên việc cố gắng làm tăng giá trị tiểu, cực đại của mục tiêu
này kéo theo giảm (tăng) cực đại, cực tiểu của mục tiêu khác, do đó việc tồn tại
phương án lý tưởng là rất hiếm.
Thông thường cách tốt nhất là tìm một phương án nhằm thỏa mãn các
yêu cầu các mục tiêu trong một mức độ chấp nhận được và phương án như thế
gọi là phương án thỏa hiệp các mục tiêu.
Trên thực tế có rất nhiều bài toán tối ưu đa mục tiêu, đặc biệt trong kinh
tế, kỹ thuật như các bài toán về thiết kế, lập kế hoạch.
Thuật toán tiến hóa hình thành dựa trên quan niệm cho rằng: quá trình
tiến hóa tự nhiên là quá trình hoàn hảo nhất, họp lý nhất, và nó tự mang tính tối
ưu. Quan niệm này được xem là tiền đề đúng, không chứng minh được, nhưng
phù hợp với thực tế khách quan. Quá trình tiến hóa thể hiện tính tối ưu ở chỗ
thế hệ sao bao giờ cũng tốt hơn (phát triển hơn, hoàn thiện hơn) thế hệ trước.
Tiến hóa tự nhiên được duy trì nhờ hai quá trình cơ bản: sinh sản và
chọn lọc tự nhiên. Xuyên suốt quá trình chọn lọc tự nhiên, các thế hệ mới luôn
được sinh ra để bổ sung, thay thế thế hệ cũ. Cá thể nào phát triển hơn, thích ứng
hơn với môi trường sẽ tồn tại. Cá thể nào không thích ứng với môi trường sẽ bị
đào thải. Sự thay đổi của môi trường là động lực thúc đẩy quá trình tiến hóa.
Ngược lại, quá trình tiến hóa cũng tác động ngược lại làm thay đổi môi trường.
Các cá thể mới được sinh ra trong quá trình tiến hóa nhờ sự lai ghép ở
thế hệ cha-mẹ. Một cá thể mới có thể mang những tính trạng của cha-mẹ (di

1
0

truyền), cũng có thể mang những tính trạng hoàn toàn mới (đột biến). Di truyền
và đột biến là hai cơ chế có vai trò quan trọng như nhau trong quá trình tiến
hóa, dù rằng đột biến xảy ra với xác xuất nhỏ hơn nhiều so với hiện tượng di
truyền. Các thuật toán tiến hóa tuy có những điểm khác biệt, nhưng tất cả đều
mô phỏng bốn quá trình cơ bản: lai ghép, đột biến, sinh sản và chọn lọc tự
nhiên.
Với những khả năng tiềm tàng của giải thuật tiến hóa. Luận văn sẽ tập
trung nghiên cứu xây dựng giải thuật tiến hóa để giải quyết bài toán tối ưu đa
mục tiêu.
2. Mục đích nghiền cứu
Nghiên cứu bài toán tối ưu đa mục tiêu và một số phương pháp giải bài
toán tối ưu đa mục tiêu.
Nghiên cứu giải thuật tiến hóa trong đó có giải thuật di truyền.
Nghiên cứu xây dựng giải thuật di truyền trong giải bài toán tối ưu đa
mục tiêu.
Cài đặt chương trình giải quyết một bài toán ứng dụng tối ưu đa mục
tiêu.
3. Đối tượng và phạm vỉ nghiên cứu
Nghiên cứu bài toán tối ưu đa mục tiêu và một số phương pháp giải bài
toán tối ưu đa mục tiêu.
Nghiên cứu giải thuật tiến hóa trong đó có giải thuật di truyền.
Nghiên cứu xây dựng giải thuật di truyền trong giải bài toán tối ưu đa
mục tiêu.
4. Phương pháp nghiên cứu
- Nghiên cứu lý thuyết kết hợp với cài đặt thực nghiệm.
5. Ý nghĩa khoa học của đè tài

Hệ thống các kiến thức về tối ưu đa mục tiêu và giải thuật di truyền,


1
1
nghiên cứu ứng dụng giải thuật di truyền giải bài toán tối ưu hóa đa
mục tiêu.


CHƯƠNG 1
CÁC KIẾN THỨC Cơ BẢN VÈ TỐI ưu ĐA MỤC TIÊU
1.1 Quan hệ thứ tự trong không gian
Trong Toán học, quan hệ hai ngôi là sự kết họp hai phần tử bất kỳ trong
cùng một tập họp hoặc với các phần tử của tập họp khác. Quan hệ hai ngôi được
sử dụng trong nhiều nhánh khác nhau của toán học như trong số học ta có các
quan hệ: lớn hơn hoặc bằng, bằng... Trong hình học ta có các quan hệ: đồng
dạng, đối xứng, song song,... Trong lý thuyết đồ thị ta có các quan hệ: kề nhau,
liên thông,...Quan hệ hai ngôi cũng được sử dụng trong khoa học máy tính, nhất
là trong các mô hình quan hệ cơ sở dữ liệu như: các quan hệ: một - nhiều, nhiều nhiều.
Trong lý thuyết tối ưu nhiều mục tiêu quan hệ thứ tự hai ngôi có ý nghĩa
rất quan trọng trong việc đưa ra các khái niệm về nghiệm tối ưu. Thông qua các
khái niệm này ta lựa chọn nghiệm nào là nghiệm tốt nhất cho bài toán.
1.2 Các định nghĩa
Xuất phát từ khái niệm tích Đề-cát của hai tập họp các cặp có thứ tự của
hai tập họp A, B bất kỳ

A x B = { ( a , b ) l a ^ A , b G -öj
Một cách tổng quát, một quan hệ n ngôi là một tập hợp bất kỳ của các bộ
n-thứ tự từ n tập hợp
Chúng ta chỉ xét trường hợp đơn giản nhất là quan hệ hai ngôi trên một

tập hợp. Điều này có nghĩa là tập hợp của cặp có thứ tự, ứng với các phần tử của
mỗi tập là thuộc cùng một tập A.
Định nghĩa 1.1: Quan hệ hai ngôi trên tập A là tập con R của AxA. Ta
gọi đơn giản là quan hệ hai ngôi
Ký hiệu: aRb hoặc R(a,b) hoặc (a,b) E R gọi là “ a R- quan hệ b”
Ví dụ 1.1: Xét tập họp s = {1,2,3,4,5} thì quan hệ “<” là tập họp các cặp


thứ tự: {(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)}
Quan hệ hai ngôi R tương ứng với hàm đặc trưng P R :AxB—>
{True,False

Ị

Định nghĩa 1. 2: Quan hệ ngược là một quan hệ 2 ngôi R:AxB được xác
định:
R-l := {(b,a)|(a,b)e R}.
Ví dụ 1.2: <-l = {(b, a) I a < b} = {(b, a) I b > a} = >.
Ví dụ 1.3: Nếu xét quan hệ R: “Người” X “ăn” được định nghĩa bởi: a Rb
oaănb, b R-l a ob thì được ăn bởi a
Định nghĩa 1. 3: Cho R là một quan hệ 2 ngôi trên tập A, khi đó R gọi là:
i) Phản xạ nếu (a, a) e R, Va e A ( hoặc là a VK (aRa) )
Ví dụ 1.4: Các quan hệ =, 'có cùng tính chất toán học’, <=>
<=, >=, Œ, =>, ... là phản xạ
ii) Phi phản xạ nếu (a, a) Ể R, Va £ A hoặc là Va eA ( -aRa )
Ví dụ 1.5: Quan hệ <, >, ‘có tính chất toán học khác nhau’, d là phi phản
xạ.
iii) Đối xứng nếu Va, b e A sao cho (a, b) £ R => (b, a) £ R Ví dụ 1.6: Quan
hệ “ = ” là đối xứng.
iv) Phản xứng nếu Va, b e A sao cho (a, b) £ R => (b, a) Ể R Ví dụ 1.7: Quan

hệ “ < ” là phản xứng.
v) Phi đối xứng nếu Va, b e A sao cho (a, b) £ R và (b, a) £ R => a = b Ví dụ
1.8: các quan hệ “ >, <, d, =” là Phi đối xứng
vi) Bắc cầu nếu Va, b, c e A sao cho (a, b) e R rà (b, c) £ R => (a, c) £ R
Ví dụ 1.9: Quan hệ “ >, <, >, = “ là bắc cầu.
yii) Phủ định bắc cầu nếu Va, b, c e A sao cho (a, b) Ệ. R và (b, c) Ệ. R
=> (a, c) Ể R


Ví dụ 1.10: Nếu “ chó sói ăn cừu ” và “ cừu ăn cỏ ” nhưng “ sói không ăn
cỏ ” thì quan hệ “ ăn ” là phủ định và bắc cầu
yiii) Phản bắc cầu nếu: Va, b, c : aRb A bRc => -■aRc Ví dụ 1.11: Nếu “
A quen B” và “ B quen C” nhưng “ A chưa chắc quen C” thì quan hệ “ quen” là
phản bắc cầu
ix) Liên hợp nếu V a, b eA sao cho a^b=>(a,b)eR hoặc (b,a)eR
Ví dụ 1.12: Cho A là tập các số chẵn thì quan hệ chia hết là lien họp.
x) Liên hợp mạnh nếu Va, beA=>(a,b)eR hoặc (b,a)eR
Ví dụ 1.13: Cho A=N. Thì quan hệ <,>,... là liên họp mạnh.
Định lý 1.1: R là đối xứng khi và chỉ khi R= R-1 Chứng minh:
=> Giả sử R là đối xứng. Thì: (x,y) eR <=>(y,x) eR <=>(x,y) eR-1 <= Giả
sử R = R-\ Thì: (x,y) eR <=>(x,y) eR-1 <=>(y,x) eR Định nghĩa 1.4: Cho
R là một quan hệ 2 ngôi trên A khi đó:
i) R được gọi là quan hệ tương đương nếu R có tính chất phản xạ, đối xứng
và bắc cầu.
ii) R được gọi là tiền thứ tự nếu R có tính chất phản xạ và bắc cầu.
Ví dụ 1.14: =; “các tập tương đương”; “chia hết”; mod...
Trong trường hợp quan hệ R là tiền thứ tự thì cặp (A,R) được gọi là tập
tiền thứ tự. Để tiện ta thay đổi quan hệ R là <• Do đó ta quy ước viết: a < b thay
cho (a, b) e < a < b thay cho (a, b) Ể <
với bất kỳ một quan hệ < là tiền thứ tự nào thì cũng có quan 2 quan hệ

khác mà ta định nghĩa chúng như sau:
x < y < = > x < y r á y í x (1.1) x ~ y < = > x < y r à y < x (1.2)
Mệnh đề 1.1: Cho < là một tiền thứ tự trên tập A. Khi đó:
•

Quan hệ < định nghĩa trong (1.1) là phi phản xạ và bắc cầu.

•

Quan hệ ~ định nghĩa trong (1.2) là quan hệ tương đương.
Mênh đè 1.2:


•

Một quan hệ hai ngôi phản xứng là phi phản xạ.

•

Một quan hệ hai ngôi bắc cầu và phi phản xạ là phản xứng.
Định nghĩa 1.5: Một quan hệ hai ngôi < trên A là:

i) Tiền thứ tự tổng quát nếu < là phản xạ, bắc cầu và liên hợp.
ii) Thứ tự tổng quát nếu < là tiền thứ tự tổng quát phi đối xứng. Như quan hệ
< đối với số nguyên là thứ tự tổng quát.
iii) Thứ tự yếu chặt nếu < là phản xứng và phủ định bắc cầu.
Mênh đề 1.3:
Nếu < là tiền thứ tự tổng quát trên A, khi đó quan hệ Nếu < là thứ tự yếu chặt trên A, khi đó < định nghĩa bởi:
X<

y <=> X < y hoặc (x < y và y < X )(7.3) là tiền thứ tự tổng.

Định nghĩa 1.6: Quan hệ hai ngôi < được gọi là thứ tự từng phần nếu là
phản xạ, bắc cầu và phi đối xứng.
Định nghĩa 1.7: Quan hệ hai ngôi < được gọi là thứ tự từng phần chặt nếu
< là phản xứng và bắc cầu ( hoặc < là phi phản xạ và bắc cầu )
Trong luận văn này chúng ta sử dụng quan hệ thứ tự trên không gian
Euclid_Rn.
Khi đó ta có môt số thứ tư trên Rn.
Kí hiêu •
Định nghĩa

Tên gọi

X
Thứ tự từng phần yếu

«y


Thứ tự từng phần Thứ

với i= l,..,n Neu X* < yk hoặc X =

tự từng phần chặt Thứ

y Neu maxi=l,...,n{xi}<

tự tự điển Max_thứ tự.

X —Lex
X


y

maxi=l,...,n{ yi}

Định nghĩa 1.8: Một tập con K ÇRn được gọi là nón nếu: fix EK với mọi X


EKvaß ER,ß > 0 Ví dụ 1.15: K=R2 + ={xeR2\xl>0,i=l,2} là nón Định
nghĩa 1.9: Nón k trong Rn gọi là:
Không tầm thường nếu K Ỷ 0V&KÏ Rn
Lồi nếu axi + (1 - axß EK với mọi X ] , x2 EK và 0 < a < 1
Nhọn nếu K n (~k) czị0}
Mệnh đè 1.4: Cho một quan hệ thứ tự < trên Rn, ta định nghĩa tập:
K< = ị y - X I X Khi đó KChứng minh:
Cho u EK=> X

=

y-

X

với x,y ERn

=>ßx <ßy vớiß >0

Do đó:ßu =ß(x - y) =ßx -ßy EK^VỚiß >0
Định lý 1.2 : Cho < một quan hệ 2 ngôi trên Rn là phép nhân vô hướng.
Khi đó:
i) 0 EKii) Kiii) K< nhọn nếu < là Phi đối xứng
Chứng minh:
(i) : Giả sử quan hệ: < là Phản xạ Khi đó: X <y vớix ERn =>x - X = 0 (Ü):
Giả sử quan hệ < là Bắc cầu và Cho u, r Nên: u - 0 và 0 - r E-K<
Điều này có nghĩa là: 0 và -r <0. Mà < là Bắc cầu => -r Do đó: u - r = u +
r EK tức là K lồi (iii): Giả sử ta có 0 Ỷ u EK<
Thì u=y - X EK^vầ -U = X - y với x,y ERn Do 0 Ỷ u nên X nhưng X Ỷ y. Điều này vô lý.
Định nghĩa 1.10: Cho K là nón. Ta định nghĩa thứ tự theo nón là:
X <*y

<^>y - X EK (1.12)

Mệnh đề 1.5: Cho K là nón và thứ tự theo nón nhân vô hướng và cộng trong Rn. Hơn nữa:


i) ii)

iii) Chứng minh: Cho x,y,z ERnvầO < ß ER với X <*y. Ta có: y - X EK Do K
là nón nên,- ß(x - y) EK =>ßx ßy Và X ^y nghĩa 1 à: y - X = (z + y) - (x +
z)
Do đó: (z + y) <’K(x + z)
Cho X E Rn. Khi ầỏ X - X = 0 EK <^>x ^Kx
Cho X <'Ky và y

: z khi đó: y - X EK và Z - y EK

Do K loi nên: y - x + z - y = z ~ x E K = ^ x <’ K z
(3) Cho x , y E R n với X <' K y và y

<*:X. Khi

đó ta có:

y - X E K v ầ x - y E K . y - x EK(-K) = {0}. Do đó: y = X
1.3.
Bài toán tối ưu đa muc tiều
«
Có rất nhiều lóp khác nhau để biểu diễn cho bài toán tối ưu đa mục tiêu.
Trong phạm vi luận văn này ta sẽ biểu diễn bài toán tối ưu đa mục tiêu dưới dạng
sau: Min Ị/ (*),...,/* (x)j (/}), sao cho: xeX Trong đó:
x: là biến quyết định
X = Ị X E R " / g . (x)< 0;A.(x) = 0,j = < »I là không gian quyết định
f.:Rn^R với i = l,...,k là các hàm mục tiêu.
Đặt: Y = ịy = (/(x),...,/¿(x))eE¿j là không gian hàm mục tiêu.

Hình 1.1. Mô phỏng bài toán tối ưu đa mục tiêu Định nghĩa
1.11: Một nghiệm X* G X của bài toán (Pi) được gọi là nghiệm lý tưởng nếu:
fiix) ^

t X , i = {1,-,*}

Nói một cách khác một nghiệm mà nó thỏa mãn tất cả các hàm mục tiêu
cần tối ưu ứng với miền chấp nhận được là X. Thực tế thì những nghiệm như vậy
rất ít tồn tại. Nếu đưa ra một số khái niệm khác về tối ưu có vẻ ‘ mềm dẻo’ hơn
đó là nghiệm tối ưu Pareto.
Định nghĩa 1.12: Một nghiệm x = (xl,x1,...,x ) được gọi là trội hơn nghiệm
y = (ylty2,...,yn) ký hiệu là: *s>\neu:

/' y
.
L3ve(i.....»} f j { * ) í f j { y )

Định nghĩa 1.13: x = (xỉ,xỉ,...,x ) được gọi là nghiệm không trội hơn
nghiệm y = {yl,yĩ,...,yn) nếu VxeX, không tồn tại yeX sao cho: y y x x
1.4.

Các khái niêm tối ưu

1.4.1.

Tối ưu pareto

Định nghĩa 1.14: Một nghiệm / el được gọi là một nghiệm tối ưu Pareto
nếu không tồn tại một nghiệm
là: / ( * ) < / ( * )

sao cho X trội hơn X . Nghĩa


Tính chất
i) Nếu x là nghiệm tối ưu Pareto thì /(**) gọi là điểm hữu hiệu
ii) Nếu X

1

, X2 zX

và / ( * ) <

/(*2)

thì ta gọi X trội hơn X và / ( * ‘ ) trội hơn f ( x 2)
1

iii) Tập họp tất cả các nghiệm tối ưu Pareto

2

và tập các điểm hữu

hiệu y = / Ị / Ị E 7 lần lượt là: Xpíĩ và reff
Định nghĩa 1.15: Các định nghĩa tương đương khác.
X*

là nghiệm tối ưu Pareto nếu:

i) Không tồn tại một nghiệm X e X sao cho: f ( x ) trội hơn / ( * * )
ii) Không tồn tại một nghiệm X e X sao cho: / ( * ) - / ( * ) e - R K \{O}
iii) /(*)-/ (x*) E R \
K

\ Ịojj ,VÍEJ

iv) /(*)n(/(* )-£+)={/(*)}
v) Không tồn tại/(x)e/(x)\Ị/(x*)Ị sao cho f { x ) & f { x ' ^ - R K
vi) /(*)

Hình 1.2a: Minh họa cho i, iv,v Hình 1.2b: Minh họa cho ii,iii
1.4.2.

Nghiệm tối ưu Pareto chặt và yếu

Định nghĩa 1.16: Nghiệm X * E X được gọi là một nghiệm tối ưu yếu Pareto
nếu không tồn tại một nghiệm X EXsao cho:
f(x) «f(x*)i = {1, ... k}
Khi đó: Điểmy =f(x*) E Y gọi là điểm hữu hiệu yếu.
Tập nghiệm tối ưu Pareto yếu và tập các điểm hữu hiệu yếu lần lượt ký
hiệu là:
Xw-par và Yw-eff
Định nghĩa 1.17:
Nghiệm X * EX được gọi là một nghiệm tối ưu chặt Pareto nếu không tồn
tại một nghiệm X E X v ầ

X

Ỷ X * sao cho: f(x) < f(x*).

Khi đó: Tập nghiệm tối ưu Pareto chặt ký hiệu là: xs_par Từ định nghĩa
ta nhận xét rằng:
Yẹff

c

Y w _ e ff Y r~ Y r~

Y
^s-par

par yvw-par

Định nghĩa 1.18: Cho X cRn, một ánh xạ f : X ^ > R v ầ x EX. Khi đó:
L<(f(x))= {X E X \ f ( x )

L = ( f ( x ) ) = { X E X \ f ( x ) =f(x )} được gọi là mặt mức của/tại *
L<

(.f(x)) = L<(f(x~))\L=(f(x~)) = {x E X \ f ( x ) < f(x~)} được gọi là tập mức chặt

của /tại X
Nhận xét: Từ định nghĩa ta nhận thấy: L=(f(x )) czL<(f(x ))
Định lý 1.3: Cho X* E X v ầ định nghĩa yq = f q (x*) khi đó:
1) X* là nghiệm tối ưu Pareto chặt nếu và chỉ nếu:
q=\

2)

X* là

nghiệm tối ưu Pareto nếu và chỉ nếu:
q=\

3)

X* là

q = 1

nghiệm tối ưu Pareto yếu nếu và chỉ nếu:

k
q=ì

(y?) = ®

Chứng minh:
(1) : “ X* là nghiệm tối ưu Pareto chặt ”
<=> không tồn tại một nghiệm X e X và X Ỷ X* sao cho: /(x) < /(x*) o
không tồn tại một nghiệm X E X y ầ x Ỷ x * sao cho:
fq(x) < fq(x*) với 9 =
không tồn tại một nghiệm X E X v è i X Ỷ x * sao cho:
*e fVs w ^ n
q=\

q=1

)={**}

(2) “ X * là nghiệm tối ưu pareto” không tồn tại một nghiệm xeX sao cho
f q { ) < f ụ ) với q = l , k và với f J ( x ) < f J ự ) với ỹ = {l,
x

q

không tồn tại một nghiệm xeX sao cho


k
-fKW

và X e

q=\

^ <{y,) v ả 7 = { 1,

và x L

0=10=1

q=\
q=l

qq=1=

l

(3) “ X* là nghiệm tối ưu pareto yếu ”
<=> không tồn tại một nghiệm xeX sao cho
fÁx)
với

? = 1»*

<=> không tồn tại một nghiệm xeX sao cho:
q=\

q=\

e

i íW.)«-(V1.4.3.

Nghiệm tối ưu Pareto chính thường và điểm hữu hiệu chính

thường
Theo định nghĩa tối ưu Pareto ta nhận thấy rằng nếu

X*

là một nghiệm tối

ưu Pareto thì nó không cho phép cải thiện giá trị của một hàm mục tiêu trong khi

vẫn duy trì giá trị của các hàm mục tiêu khác. Do đó để cải thiện một hay nhiều
giá trị của hàm mục tiêu này ta buộc phải làm “giảm” giá trị của các hàm mục
tiêu khác đã được chấp nhận mà ta gọi đây là sự thỏa hiệp. Sự thỏa hiệp giữa các
tiêu chuẩn này được đo bằng cách tính toán việc giảm giá trị của hàm mục tiêu fj
trên đơn yị tăng về mặt giá trị của hàm mục tiêu fj.
Định nghĩa 1.19: (Geoffrion 1986)
X*

£ X được gọi là tối ưu Pareto chính thường theo Geoffrion nếu

nghiệm tối ưu Pareto và nếu có một số M > 0 sao cho: mỗi i rà V

X

X*

là

£ X thỏa

mãn /i(x) < /i(x*) và tồn tại một chỉ số j sao cho /j(x*) < /j (x). Hơn nữa:

Khi đó giá trị hàm mục tiêu đạt được tương ứng tại X* là: y* = /(x*) gọi là
điểm hữu hiệu chính thường.


Nhận xét: Một nghiệm tối ưu Pareto chính thường có biên thỏa hiệp giữa
tất cả các hàm mục tiêu.
Ta xét bài toán lồi sau đây: min ^ Ẳị/ị (x) (P2)
i=1

Thì (P2) gọi là bài toán trọng tổng số.
Trong đó: Ậ với i = 1, ..., k là các trọng số không âm đối với các hàm
k

mục tiêu và X = 1
i=\

Định lý 1.4 (Geoffrion 1968): Cho Ẳ , >0 với i = 1, ..., k với i=l,...,k
*
với = 1. Nêu X* là nghiệm tôi ưu Pareto của bài toán (P2) khi đó X* là
,,

i= 1

nghiệm tối ưu Pareto chính thường.
Chứns minh:
Cho X* là nghiệm tối ưu Pareto của bài toán (P2). Để thấy rằng X* là
nghiệm tối ưu Pareto ta giả sử rằng tồn tại xr e X với /(xr) < /(x*)
ßi > 0 với i = 1, ..., k và /i(xr) - /i(x*) hàm ý sự mâu thuẫn rằng:
'ỵiẲifl(x')<'ỵjÀlfi[x')
i =1

i=l

Để thấy rằng X* là nghiệm tối ưu Pareto chính thường, ta chọn một số M
thích hợp sao cho có một sự thỏa hiệp lớn hơn M dẫn đến sự mâu thuẫn vối tính
tối ưu của X* đối với bài toán tổng trọng số.
Cho: M = (ổ-l)max^r
ij

A

Giả sử X* không là nghiệm tối ưu Pareto chính thường. Tức là tồn tại một
i và X £ X sao cho
/i (x*) < /i (x) và /i (x*) - /i(x) > M (/j(x) - /j(x*)) Vj sao cho:


/j (x*) < /j (x)
Do ồ ố f t ( x ) - f t (*) >

ì

( f j (** ) - f j (*)) i * j bằng cách chọn M

Ẳ'
Nhân hai vế của bất đẳng thức trên với —— rồi sau đó lấy tổng hai vế
k1
ta được
w)>

(*’)- f j w)

Điều này mâu thuẫn với tính tối ưu của X* đối với bài toán (*). Do đó giả
sử của chúng ta là sai và X* là nghiệm tối ưu Pareto chính thường.
Định lý 1.5: Cho X c Rn là một tập lồi và giả sử rằng hi: Rn —> R là hàm
lồi, i = 1 , k . Khi đó bất đẳng thức hi < 0 với i = 1 , k không có
k
nghiệm X ex, tồn tại Ằi > 0 sao cho x^ỉ = ^ và VxeX, thỏa mãn
i=\

XV ( x ) è 0
i=1
Định lý 1.6 ( Geoffrion 1968)
Cho X c Rn là một tập lồi và giả sử rằng /i: X —> R là ánh xạ lồi. Khi đó
X* £

X là nghiệm tối ưu Pareto chính thường nếu và chỉ nếu X* là nghiệm tối ưu

đối với bài toán (*) với Ai > 0 với i = 1 , k Chứng minh:
Do định lý 1.5 chúng ta chỉ cần chứng minh điều kiện cần của định lý này
là đủ.
Cho X* là nghiệm tối ưu Pareto chính thường. Nghĩa là có một số M >0
sao cho: vi = 1 , k thì hai bất đẳng thức sau không có nghiệm:
/ O O s /(*,')
■ /(*’1-/00


- V 7 i k - °/w+M/wM

Tính chất của hàm lồi mà chúng ta phát biểu trong định lý 1.6 trên nghĩa là
, , , , . * đôi với hai bât đăng thức thứ i như yậy, tôn tại À'j > 0, j=l,...,k với ^Ai
=1
sao cho VxeX ta được
4/(*)+E4(/(*)W,(*))*4/(*>IX(/(*’)+M/,(*’))
^/.(O+E^/to+^E^/M^/M+E^/OO+^E^/í*')
j*i

J*i

j*i

j*i

=> Ệ4/ (0+"I>;/ (0 ì Ẹ4/ (*•)+* ỊX/ (*•)
=> f, (0+M Ei'1;/, (*) í /| (*')+M E ( * ’ )
Lấy tổng hai vế của bất đẳng thức trên với biến chạy ỉ ta được Ỵ d f t ( x ) +
M Ỵ d Ỵ d Ằ ) f J ( x ) ^ f \ x ) + MỴdỴd Ẳ i j f j ự

Í=1

Í = 1 j*i

<-1 V j*'

Í=1

Í=1 j*i

‘-1 V j*'

)

)

)

Chúng ta chuẩn hóa giá trị 1 + MỴJẲì. để ta lấy tổng đến 1 và có Ai >0, i
j*i

= 1 .. .k.. với X* là nghiệm tối ưu của bài toán (*).
1.5.

Một số các phương pháp giải bài toán tối ưu đa mục tiêu

1.5.1.
Phương pháp rằng buộc
a) Mô hình bài toán: Cho một bài toán đa mục tiêu với p mục tiêu
Sao cho x e R "
Trong đó: * =

Minự^x),/

) E R " là không gian quyết định

Ta chuyển bài toán trên thành bài toán rằng buộc là: Maxf
Sao cho JC =
f k ( X l ,...,x n )>L k

eR"

)