Sự tồn tại vector riêng của toán tử uo lõm chính quy tác dụng trong không gian banach với nón cực trị

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2

NGUYỄN THỊ THU HÀ

sư TỒN TAI VECTOR RIÊNG
■■
CỦA TOÁN TỬ Uo- LÕM CHÍNH QUY TÁC DỤNG
TRONG KHÔNG GIAN BANACH VỚI NÓN cưc TRI

Chuyên ngành: TOÁN GIẢI
TÍCH Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC sĩ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: PGS. TS. Nguyễn Phụ Hy

HÀ NỘI - 2015


Luận văn được hoàn thành tại trường ĐHSP Hà Nội 2 dưới sự hướng dẫn của PGS.TS. Nguyễn Phụ Hy.
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đến PGS.TS. Nguyễn Phụ Hy người thầy đã hướng dẫn tôi trong suốt quá trình thực hiện luận
văn.
Tôi xin cảm ơn các GS, TS giảng dạy chuyên ngành Toán giải tích của trường ĐHSP Hà Nội 2, các thầy cô trong thư viện
nhà trường, các bạn học viên cao học Toán giải tích KI 7 đã giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và thực hiện luận văn này.

Hà Nội, tháng 7 năm 2015
Tác giả

Nguyễn Thị Thu Hà
Tôi xin cam đoan luận văn này là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướng dẫn của PGS.TS. Nguyễn Phụ Hy.

Tôi xin cam đoan rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận văn đã được cảm ơn và các thông tin trích dẫn trong luận
văn đã được ghi rõ nguồn gốc.

Hà Nội, tháng 7 năm 2015
Tác giả

Nguyễn Thị Thu Hà


MỤC LỤC


1.1.

Sự tồn tại vectơ riêng của toán tử Uo

không gian Banach với nón cực trị....................

1.1.1.

Đạo hàm tiệm cận của toán tử ..............

1.1.2.

Uo - đạo hàm Fréchet của toán tử

1.2.

VÍ dụ ........................................................

KẾT LUẬN .......................................................
TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................

- lõm chính quy tác dụng trong
................................................... 46
................................................... 47
...................................................50
................................................ 54
..................................................59
.................................................. 60


5
MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài
Lý thuyết điểm bất động là một ngành toán học lý thuyết có nhiều ứng dụng. Lý
thuyết điểm bất động được nghiên cứu theo nhiều hướng khác nhau và gắn liền với
tên tuổi của nhiều nhà toán học nổi tiếng như: Lipschitz, Kraxnoxelxki, Braide,
Aylenbec,... Các nhà toán học đã xét các toán tử khác nhau: Toán tử đơn điệu, toán tử
đo được, toán tử có đạo hàm Fréchet hay đạo hàm tiệm cận, toán tử lõm....
Nhà toán học Nga nổi tiếng Kraxnoxelxki đã nghiên cứu các nghiệm riêng của
các phương trình toán tử (1962), toán tử lõm tác dụng trong không gian Banach thực
với một nón cố định (1956).
GS .TS. Bakhtin nghiên cứu về các phương trình không tuyến tính với các toán tử
lõm và lõm đều (1959), các nghiệm dương của các phương trình không tuyến tính với
các toán tử lõm (1984), sau đó mở rộng cho toán tử (K, Uo) - lõm tác dụng trong
không gian Banach thực với hai nón cố định giao nhau khác rỗng (1984).
Các lóp toán tử được các giáo sư Kraxnoxelxki, Bakhtin nghiên cứu và công bố
những kết quả về lóp toán tử lõm tác dụng trong không gian Banach với một nón cố

định, các toán tử có chung tính chất u0 - đo được .
Năm 1987, PGS.TS. Nguyễn Phụ Hy đã nghiên cứu về các vectơ riêng của toán
tử lõm chính quy và các vectơ riêng dương của toán tử (K, u0) -lõm chính quy (2013).
Tác giả đã mở rộng và phát triển các kết quả về toán tử lõm cho lóp toán tử lõm chính
quy tác dụng trong không gian Banach với một nón cố định nhưng không yêu cầu
toán tử có tính chất u0 - đo được .
Đe chứng minh sự tồn tại vector riêng của các toán tử, trong công trình của
các nhà toán học kể trên đã bổ sung các điều kiện phù hợp cho các toán tử.
Với mong muốn tìm hiểu sâu hon về lóp toán tử này, nhờ sự giúp đỡ, hướng dẫn
tận tình của Thầy giáo, PGS.TS. Nguyễn Phụ Hy tôi chọn nghiên cứu đề tài: “Sự tồn
tại vector riêng của toán tử u0- lõm chính quy tác dụng


6
trong không gian Banach với nón cực trị

2. Mục đích nghiên cứu
Đề tài này nhằm nghiên cứu, mở rộng một số định lí về sự tồn tại vectơ riêng của
toán tử Uo - lõm chính quy theo hướng bổ sung các điều kiện cho nón.

3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Tìm hiểu về không gian Banach thực nửa sắp thứ tự .
Tìm hiểu về sự tồn tại vectơ riêng của toán tử toán tử u0- lõm chính quy tác dụng
trong không gian Banach với nón cực trị.
Toán tử Uo- lõm chính quy tác dụng trong không gian Rn.
Sự mở rộng của định lí tồn tại vectơ riêng.

4. Đối tuợng và phạm vi nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu: Các kiến thức cơ sở cần thiết, các kết quả về toán tử u 0 lõm chính quy. Sự tồn tại vectơ riêng của toán tử u0- lõm chính quy tác dụng trong
không gian Banach với nón cực trị.

Phạm vi nghiên cứu: Các tài liệu, các bài báo trong và ngoài nước có liên quan
đến vectơ riêng của toán tử Uo- lõm chính quy tác dụng trong không gian Banach với
nón cực trị.

5. Phuơng pháp nghiên cứu
Thu thập tài liệu và các bài báo về vectơ riêng của toán tử u0- lõm chính quy tác
dụng trong không gian Banach với nón cực trị.
Tổng hợp, phân tích, hệ thống các khái niệm, tính chất.
Tham khảo ý kiến của giáo viên hướng dẫn.

6. Những đóng góp của luận văn
Luận văn trình bày tổng quát về:
Không gian Banach thực nửa sắp thứ tự.
Một số tính chất về toán tử Uo- lõm và Uo- lõm chính quy.
Toán tử u0- lõm chính quy tác dụng trong không gian Rn.


7

Sự mở rộng định lý tồn tại vectơ riêng.
Các kết quả thu được có thể mở rộng cho một số lóp toán tử khác. Hy vọng
luận văn có thể sử dụng làm tài liệu tham khảo cho bạn đọc.


CHƯƠNG 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1.

Không gian Banach thực nửa sắp thứ tự

1.1.1 Định nghĩa nón và quan hệ sắp thứ tự trong không gian Banach Định nghĩa
1.1.1.
Cho không gian Banach thực E. K là tập con khác rỗng của E. Tập K được gọi là
một nón, nếu K thỏa mãn các điều kiện sau:
Ni, K là một tập đóng trong không gian E ;
N2, Nếu xG K và y G K, ta có X + y G K ;
N3, Nếu X G K và t là số thực không âm, ta có tx G K ;
N4, Nếu X G K và X ^ 0 ta có -X 0 K ( ỡ là kỉ hiệu phần tử không của không gian E).
Đinh lí 1.1.2.
í
Nếu K là một nón trong không gian định chuẩn thực thì 0 G K và K là một tập lồi.
Thật vậy
*) V X G K, V t G R, t > 0 ta có tx G K do đó với t = 0 ta có 0 = o.x G K.
*) V X, y G K, V t G [ 0; 1] ta có tx G K, (1- t)y G K suy ra tx + (1 -1 )y G K . Vậy K
là tập lồi. J Định lí 1.1.3.
Giao của một số hữu hạn tùy ý nón chứa ít nhất hai phần tử là một nón.
Gọi Ki, K2,...., Kn là các nón ( n G N*, n > 2 ) trong không gian E và
K = n chứa ít nhất hai phần tử.
j=1 '
Ta chứng minh K là một nón.
*) Do các tập Ki, K2 ,..,Kn là các tập đóng, nên tập K đóng trong không gian E.


*) V X, y G K thì X, y G Kj, (j = l,n) => X + y G Kj, (j = l,n) => X + y G K.
*) V X G K, t > 0 thì X G Kj, (j = l,n) nên tx G Kj, (j = l,n) => tx G K.
9
*) V X G K, X ^ 0 thì X G Kj, (j = l,n) nên - X Ể Kj, (j = l,n) => - XỂ K.
Vậy K là một nón. J Đỉnh U 1.1.4.
m

Giả sử F là một tập con khác rỗng trong không gian E. Nếu F là một tập lồi, đóng,
bị chặn trong không gian E và không chứa phần tử không, thì tập K(F) = { Z G E : Z =
tx, X G F, t G R+ } là một nón.
Chứng minh.
Ta thấy F c K(F) mà F Ỷ 0 nên K(F) Ỷ 0- Với mọi X G F ta chứng minh tồn tại 2 số
thực dương m, M sao cho m < ||x|| < M.
Thật vậy, do tập F bị chặn nên tồn tại M > 0 : ||x|| < M, Vx e F.
Đặt m = inf||x||.
Giả sử m = 0 thì tồn tại dãy {xn } c0 CI F sao cho limllx J =0 hay lim x n = 0
n1

n-> 00

n->00

trong không gian E. Do F là tập đóng nên 0 G F, trái với giả thiết F không chứa phần
tử không.
Vậy m > 0 và ||x|| >inf ||x|| = m > 0,Vx e F.
XE F
+) K(F) là tập đóng.
Lấy dãy bất kì ịzn}“ c= K(F) sao cho lim z n = z ừong không gian E.
1 J n_1
n->°0
Nếu z = 0 thì z = o.x, xGF=>z = 0G K(F).
< e = — z.

1 * 111 Nêuz^0thìvới E = —z>0,3n0eN :Vn>n0tacó ịz n - z

............................. 1N ..
1............... 3 II II

Khi đó z„ — z < zn-z < — z => — z < zj < — z , Vn > nn.
111 ................................................................................ 11 n 11 2 11 2

11 2 11


1.................................. 3.....................
Vậy 21MI < IMnll = t„ KI < ^|z| => |x„| > 0, Vn e N
,
1 II II f 3 II II
và —7- - -77 z n oii
2

1

1 II II 3 „ „
Suy ra z 2M 11
0 2m 11
Ta có
Do F lồi nên biểu thức trong ngoặc vuông thuộc F. Vậy ctz + pz’ G K(F).
z
1
t
^1
toxni
= 7- t0Xnix"if
o
L

tniXni+tniXni-Z to
o
1
->0
khi
i
-»00,
t
V2
t 0
<—
t0 -tni
2x"i
z
x
do vậy
n,-r —» 0 khi i —>00, nên x„ —» — khi i ->
t 00.

«ti x Ị pt2
az+pz'=(at1+pt2) at +
i pt2 atj+pt2


+) Ta chứng minh K(F) n (-K(F)) = {0}
Giả sử điều này không đúng, khi đó tồn tại Xo £ F sao cho -t0 x0 £ K(F), to > 0 suy ra
-t0 x0 = tiXi với ti > 0, Xi £ F vì vậy

1

e=t0X0+t1X1=(t0+t1)[-te-X0 + -tLX1] => “ Xg + — Xj =0
to+tl to+ti
to+ti tg +tj
mà tập F lồi nên *° xn+——X, e F => 0 e F trái giả thiết, to+tl to+tl
Vậy u £ K(F) thì -u Ể K(F).
Do đó K(F) thỏa mãn các điều kiện của nón, vậy K(F) là một nón. J

1.1.2.

Quan hệ sập thứ tự trong không gian Banach Định nghĩa 1.1.5.
Giả sử E là không gian Banach thực, K là một nón trong không gian E. Với X, y e

E, ta viết x< y nếu y-x e K, X < y nếu y - X e K\{ 0}.
Đinh lí 1.1.6.
í
Quan hệ “ < “ xác định trong định nghĩa 1.1.5 là một quan hệ sắp thứ tự trong
không gian E.
Chứng minh.
Thật vậy:
*) (VxeE)x Quan hệ “ < “ có tính chất phản xạ.
*) (Vx, y, Z G E : X < y, y < Z )=>x - yEK, y-zEK Z - X = (z - y )+( y - x) G X < z.
Quan hệ “ < “ có tính chất bắc cầu.
*)(Vx, y G E : X < y, yNeu X ^ y thì y - X ^ 0, theo giả thiết x < y = > y - x E K = > x - y £ K mâu thuẫn với giả
thiết y < X. Vậy X = y.
Quan hệ “ < “ có tính chất phản đối xứng.
Vậy quan hệ “ < “ là một quan hệ sắp thứ tự trên không gian E theo nón K. J Khi đó ta

nói: Không gian Banach E nửa sắp thứ tự theo nón K.
Định nghĩa 1.1.7.
1 nón K.
Giả sử E là một không gian Banach thực nửa sắp thứ tự theo
, / \00 ,
Dãy điêm ( x” G E gọi là dãy không giảm, nêu Xi < x2 < . . . < xn < . . .
V
'n= 1
, / \00 ,
Dãy diêm ( x” G E gọi là dãy không tăng, nêu Xi > x2 > . . . xn > . . .
V

'n=\

Các dãy điểm không giảm, dãy điểm không tăng gọi là dãy đơn điệu.
Định nghĩa 1,1,8.
Giả sử E là một không gian Banach thực nửa sắp thứ tự theo nón K, M là một tập
con trong không gian E.
Tập M gọi là bị chặn trên bởi phần tử U G E, nếu (Vxe M) X < u.
Tập M gọi là bị chặn dưới bởi phần tử V G E, nếu (Vx GM) V Định nghĩa 1.1.9.
Giả sử E là không gian Banach thực nửa sắp thứ tự theo nón K, M là một tập con
trong không gian E.
Phần tử Z G E gọi là cận trên đúng của tập M, kí hiệu z = sup M, nếu *) ( Vx GM)
X *) Nếu (3UGE)(VXGM) XPhần tử w G E gọi là cận dưới đúng của tập M, kí hiệu w = inf M, nếu *) (Vx GM)
W *) Nếu (3VGE)(VXGM) V

Định lí 1.1.10.
Các phần tử cận trên đúng và cận dưới đúng ( nếu tồn tại ) là duy nhất. Chứng
minh.
• Giả sử tập M có hai cận trên đúng là z và z’ , Z G E, z’ G E thì ( Vx eM) X < z', theo tính chất cận trên đúng thì z < z’ , z’ < z. Theo định lí 1.1.6 thì z = z’.
Vậy cận trên đúng (nếu có) là duy nhất.


• Giả sử tập M có hai cận dưới đúng là w và w’, w e E, w’ G E thì ( Vx eM) w w'Vậy cận dưới đúng (nếu có) là duy nhất. J

1.2.

1

Quan hệ thông ước giữa các phần tử.
Giả sử E là không gian Banach thực nửa sắp thứ tự theo nón KcE.

Định nghĩa 1.2.1.
Giả sử X, y G E. Phần tử X được gọi là thông ước với phần tử y, nếu tồn tại hai số
dương a, ß sao cho ay < X < ßy.
Đình lí 1.2.2.
í
Quan hệ thông ước là một quan hệ tương đương trên không gian E.
Chứng minh.
+) Quan hệ thông ước có tính chất phản xạ.
V X G E thì X thông ước với X, vì tồn tại số 1 > 0 để l.x < X < l.x.
+) Quan hệ thông ước có tính chất đối xứng.
Giả sử X, y thuộc tập E : X thông ước với y. Khi đó, tồn tại hai số dương a, ß

sao cho ay < X < ßy => — X < y < —X. Vây y thông ước với X.
ß
a
+) Quan hệ thông ước có tính chất bắc cầu.
Giả sử X, y, z thuộc tập E sao cho X thông ước với y, y thông ước với z.
Khi đó tồn tại các số dương a, b, c, d sao cho ay < X < by, cz < y < dz => (a.c)z < X <
(b.d)z . Vậy X thông ước với z.
Vậy quan hệ thông ước là một quan hệ tương đương trên không gian E. J
Giả sử Uo E K\{0}. Kí hiệu K(u0) là tập tất cả phần tử của không gian E thông ước
với phần tử Uo.
Đinh lí 1.2.3.
í


K(u0) là một tập lồi và K(u0)cz K\{0}.
Chứng minh.
1

*) K(u0) là tập lồi.
Thật vậy :

Vx, y £ K(uo) thì tồn tại các số thực dương a, ß, ƠI, ßi sao cho au0 < X < ßu0 , ơiUo <
y < ßiUo.
Với t = 0 ta có tx + (1 - t)y = o.x +

y = y £ K(uo).

Với t = 1 ta có tx + (1 - t)y = l.x +

o.y = X £ K(u0).

Với t £ (0; 1) thì tơUo < tx < tßu0 và (1 - t)ơiUo < (1
nên tơUo + (1 - t)aiU0 < tx + (1 - t)y

- t)y < (1 - t)ßiUo

< tßu0 + (1 - t)ßiU0

=> (ta+ (1 - t)ai)u0 < tx + (1 - t)y < (tß + (1 - t)ßi)u0 Do các số ta+
(1 - t)ơi và tß + (1 - t)ßi là số thực dương nên tx + (1 - t)y £ K(u0).
Vậy Vx, y £ K(u0), vt £ [0; 1] thì tx + (1 - t)y £ K(u0). Do đó K(u0) là tập lồi.
*)K(u0 )cK\{9}.
Thật vậy :
Vx G K(u0) thì tồn tại hai số thực dương a, ß sao cho au0 < X < ßu0 .
Do u0 £ K\{0} nên au0 £ K\{0}.
Vì au0 < X => x-au0 e K.
Neu X = 0 thì -auo £ K mâu thuẫn điều kiện K là nón, vậy X 0.
Tacó x=au0 +(x-au0) e K .
Suy ra Vx E K(u0) => X E K\{0}. Vậy K(u0) c K\{0}. J

1.3.

Phần tử Uo - đo được
Giả sử E là không gian Banach thực nửa sắp thứ tự theo nón K(Z E,

Uo E K\{0}.
Định nghĩa 1.3.1.
Phần tử xeE gọi là Uo - đo được, nếu tồn tại các số không âm ti, t2 sao cho —
tjUg < X < t2 u0 .

Kí hiệu Eu là tập tất cả các phần tử xe E có tính chất Uo - đo được.
Đinh lí 1.3.2.
í
Với mỗi X GEU tồn tại các số không âm nhỏ nhất a = a(x),1 p = P(x) sao
cho - ơUo < X < Pu0.
Chứng minh.
Giả sử X G Eu khi đó tồn tại các số không âm ti, t2 sao cho -qMg • Trước hết ta chỉ ra tồn tại số p không âm nhỏ nhất sao cho X < pUo.
Thật vậy: Xét ánh xạ f : R —> E
t I-» f(t) = tu0 - X .
Do tính chất liên tục của hai phép toán cộng hai phần tử và nhân một số với một phần
tử trong không gian Banach E, nên f liên tục. Và từ tính đóng của nón K trong không
gian E suy ra f1 (K) là tập đóng trong không gian R.
Giả sử inf f1 (K) = - co.
Khi đó 3 (tn )“ cf_1 (K) sao cho tnu0 - X G K và lim tn = -00.
v /n 1
~
n—>00
Với n đủ lớn tn < 0, nên
-u0 +-^x=--^(tnu0 -x)GK.
Ln
Ln
1
Cho qua giới hạn trong biêu thức -u0+ —X khi n —> co ta được -u 0 G K, mâu thuẫn
với tính chất của nón K.
Do đó inff1 (K) = (3 ef-^K).
Ta xét tập A = { t > 0 : tUo - X G K }. Hiển nhiên, t2 £ A hay A ^ 0.
Theo chứng minh trên, tồn tại inf { t > 0 : tUo - X £ K } = |3(x) Gf_1 (K). nghĩa là X <
P(x)uo .

Vậy tồn tại số không âm p(x) nhỏ nhất sao cho X < (3(x)uo .
• Ta chỉ ra tồn tại số thực a(x) > Onhỏ nhất sao cho -a(x)uo < X.
Xét ánh xạ f : R —> E


t I-» f(t) = x+ tu0 .
Do tính chất liên tục của hai phép toán cộng hai phần tử và nhân một số với một phần
tử trong không gian Banach E, nên f liên tục. Và từ tính đóng1của nón K trong không
gian E suy ra f1 (K) là tập đóng trong không gian R.
Giả sử inf f1 (K) = - co thì 3 (tn )°° c= f _1 (K) sao cho lim t„ = -00.
Khi đó, (3 n0 £ N*)(Vn > n0) tn < 0. Do đó - —(x+tnu0) e K => -—-u0 e K
1
Cho qua giới hạn trong biêu thức -u0+ — X khi n —> co ta được -Uo £ K, mâu
thuẫn với tính chất của nón K. Nên inf f'1 (K) £ f'1 (K).
Ta xét tập B = { t > 0 : x + tUo£K}. Hiển nhiên, ti G B hay B ^ 0.
Theo chứng minh trên, tồn tại inf { t > 0 : X + tu0 £ K } = ct(x) Gf '(K). nghĩa là
-a(x)uo < X.
Vậy tồn tại số không âm a(x) nhỏ nhất sao cho - a(x)uo < X.
Định lí được chứng minh. J
Định lí 1.3.3.
Eu là không gian tuyến tính con của không gian E.
Chứng minh.


1

*) Ta thấy 0 £ Eu , vì với mọi t > 0 ta có -tu0 < 0 < tu0. Suy ra Eu khác rỗng.
*) (Vx,y e Eu )(3tj > 0,3t2 ^ 0,3t3 > 0,3t4 > 0) sao cho :
■tj.Ua < X < t2 .u0 và -t3 .u0 < y < t 4 .u0.
Khi đó : -(íj +13).M0 < X + y < (t 2 + t4 ).M0 => X + y e E u .

*) (Vx e E u )(3íj > 0,3^2 - 0) sao cho -t v u ữ > 0 => - ti.Uo < X < t2.Uo và a ti > 0, a t2 > 0 => -(«.?!).M0 < a.x < (a.t 2 ).u ữ
Nếu a < 0 => -ti.Uo < X < t2.Uo và -a ti > 0, -a t2 > 0 =>

< -ax < (-at 2 )u 0

=> -(-a.t2).uữ < a.x < (-a.í1 ).M0
Do đó Va G R thì ax G E .

M0

Vậy E u là không gian tuyến tính con của không gian E, có thể coi E u là
không gian tuyến tính độc lập. J Đinh lí 1.3.4.
í
Ánh xạ :
II • IL '^u
II IIMp **0
XI—>
max{«(x),/?(y)}
11 "*»0
là một chuẩn trên không gian E u , trong đó a(x), P(x) xác định trong định
lí 1.3.2.
Chứng minh.
Thật vậy, I ■ ||M là một ánh xạ từ E u vào tập số thực không âm R+ , do định
nghĩa tính u0 - đo được của phần tử X. Ta kiểm tra các tiên đề về chuẩn :


•

(VxzE u )|x|

>0,|x| =0-» max{a(x);/?(x)} = 0
<=> a(x) = /?(x) = 0 <^> X = Ớ.

• (Vx e E u ) (k G R) ta tìm được số không âm ti, t2 sao cho :
-ti.Uo < x < t 2 .u0.
Suy ra : Neu X > 0 ta có : - Ảt v u 0 < Ẳx < Ảt 2.u ữ .
Neu X < 0 thì -X > 0 và ta có - (À)t v u ữ < -Ảx < {-Ả)t 2.u ữ
<^> -(-Ằ.t 2).u 0 < Ằx < (-Ã.ty).uữ .
Khi đó Với Ẳ>0 :
inf (Ã L) - /linf t - Ầa(x)

=> max|-Ắdr(x),-Ắ/?(x)} = -vlmax{«(x),/?(x) } = -vl||x||
Vì vậy, (Vx e £„ 0 )(Ă e R)\\ẲX\\ = \Ẳ\||X|L .
U

• (Vx, y e E u ) ta có 3 ti, t2, t3, u > 0 sao cho
-tvu0 < X < t2.u0, -t3.uữ < y < t4.u0.

= |vl|.||x|


\\x\\ = max{inftỊ,inft 2}, y = mảx{inft3,inft4} , ta có:
II IIMQ
II IIMQ
\\x\\ + ||y|| >inf + inf í3 >inf(t1+ í3),
HL +14 - inf t 2 + inf í4 > inf(t2+ í4)
Nên \\x\l, + ||y|l >max{inf(ti + íc>),inf(t2 +í4) = \\x+ y|[ .
II ll«p II ll«p
M“o

1

11

Vậy \\x + y|L <11x11. + ||y|L .
J 11
N“o 11 "“ũ 11 N“o
Do đó ánh xạ II. ||M là một chuẩn trên không gian E u . J
Chuẩn I. ||M được gọi là Uo - chuẩn.

1.4.
1.4.1.

Nón chuẩn tắc và nón cực trị
Nón chuẩn tắc và tính chất
Giả sử E là không gian Banach thực nửa sắp thứ tự theo nón KczE,

Uo e K\{0}.
Định nghĩa 1.4.1.
Nón K được gọi là nón chuẩn tắc, nếu:
(3Ổ >0)(Ve1,e2 eẴ':||e1|| =\\e2\\ = 1) thì ll^+^ll^^Đình lí 1.4.2.
í
Các mệnh đề sau đây tương đương.
1, K là nón chuẩn tắc ;

2, (3M>0)(Vy eK\{ớ})(V*e£y)||*||£,
(1.1)

3, (3N>0)(Vx,y^K:x

Chứng minh 1) => 2)
Giả sử K là nón chuẩn tắc nhưng bất đẳng thức (1.1) không xảy ra, nghĩa là (VneV*)
(3y„ *0)(3x n eEy n )\\x n \\ E >n.|xn|3, .\\y n \\ E .
Hệ thức (1.2) chứng tỏ xn Ỷ 0, (xn )“ =1 CI £,(yn )“ =1 c: K \{ớ},

(1.2)


xJ <

n

?
_________________________

n||

Suy ra

x

y■

XL
XL
^n
n
\\ n\

n\

*

Đặt
ri=~Xn + ~jT f y*^ K

Sn =xn + y f yn

n

\\yn

VnìlE
Khi đó, với mọi n > 2 ta có

n

KIE^KIE

-y n|

1
? U l|yj£ =lk«IU(1-—
. >>0 ;

-x^ll>;nlL=klL( 1 --) >0
n

-

n

n|

Suy ra gn G K\{0},hn G K\{0}, V n = 2, 3,... Ta
lại có
P
n

^ j ịynỈE
(l +„ -),n = l,2, 3,
„ , „ =k|£„„
n
-bX

I
IMXll~xX+ u” U b4 = |xX (1 + -) , n = 1 , 2 , 3,..
r
n
-ưn
Mặt khác 8 h
Q n _|_ n
p
I
\\

r

&
\sn F

2

'»
n\\v L e L

ri ri
k 'n\\E ||£n
IL
p L —\\h
yn +
£ L\\h

r



2

-^P+J-V äir + ÍIAJIML< J_ („=2,3,...),
p \\h
nils
p
on\\£ II n\\£
\\àn\\E
ll ô «ll£'

nên lira

+ i- = 0.
n—>00 p \\h
ll^nllfi Ir» HE E

n —1

= 

Điều này mâu thuẫn với tính chuẩn tắc của nón K. Vì vậy (3M>0)(VyGK\{ớ})(V^G^)WÊChứng minh 2 ) => 3 )
Giả sử mệnh đề 2) thỏa mãn. Giả sử X, y G K, X < y.
Neu y ^ 0 = > x + y^0 hay X + y G K\{0}, X G Ex+y, vi -(x + y) < X < X + y,
Chứng minh 3) => 1 )

I

Giả sử mệnh đề 3) thỏa mãn.
Giả sử ei, e2 G K, ||ßi||=||ß2 ||=lTa có ei G K\{0} , ei + e2 G K\{0}, ei < ei + e2 nên 1 = ll^ll^ <

+e2|£-

Do đó (3ổ= — >0)\\eỉ+e2L >ổ.
N
Vậy K là nón chuẩn tắc.
Vậy 3 mệnh đề tuơng đuơng. J Định lí 1.4.3.
Neu K là nón chuẩn tắc thì một dãy hội tụ theo u0 - chuẩn cũng hội tụ theo


2
chuẩn trên không gian E và Eu là không gian Banach theo Uo - chuẩn.

Chứng minh
Truớc hết ta chứng minh một dãy điểm (x n )“ =1 cz Eu hội tụ tới xG E u theo Uo - chuẩn thì dãy đó hội tụ theo chuẩn trên không
gian E. Thật
vậy, giả sử dãy điểm (*„)*=! cz Eu hội tụ tới xGEu theo Uo - chuẩn nghĩa là Hmlbc -jd| =0hay (V£>0)(3n ữ eN )(Vn>n0)||x
-x|| <£
n->00

ĩl

Wltf\
“0

"

11

"Ufl
u

Từ định nghĩa Uo - chuẩn suy ra -£u ữ Do đó 9< xn —x+£Uữ < 2suữ, Vn > nữ.
Vì K là nón chuẩn tắc nên từ x n~ x

+ £u

ữ — 2 £ U Q ta có

h-^L-KL^k-^+^oL - 2 N £ \\ u o\\ E >vn>n0.
Từ đó ta có :
\\x n -x\\ E <£(1+2V)||W0||£ với Vn>n0.

=> lim||x„-x|L =0.
n—>0011
Vậy dãy đó hội tụ theo chuẩn trên không gian E.

•

Tiếp theo ta chứng minh Eu là không gian Banach theo u0 - chuẩn.

Giả sử (x n )“ =1 là một dãy cơ bản bất kì trong không gian Eu theo Uo - chuẩn, nghĩa là: (Vf >0)(3n0e V* )(Vn,m>n 0 )b -xm|
<£.
c?

II

IIMQ

Từ định nghĩa u0 - chuẩn suy ra -£u ữ Do đó ỡ ^ xn—xm+£Uữ<2£Uữ,\/n,m>n0.

(1.3


2
Vì K là nón chuẩn tắc nên từ x n —x m +£U ữ < 2£U 0 ta có
lije —X II — II^Mnl < ||jt —X +£,Mnll <2V£,||Mn||
\/n m> n„
II n m HE II 0 HE II n m 0||¿¿
II 0||£ 5 v ,t5//í'—'*0 •
Từ đó ta có :
k-*m||£ <*(l+2A0h|£ với Vn,m>n0.

Điều này cho ta thấy dãy ( x n )n=i là dãy cơ bản trong không gian Banach E nên 3x G E sao cho lim|x„-x\\ =0.
n—>0011
Qua giới hạn ữong hệ thức (1.3) khi m —>co ta nhận được:
-suữ Chứng tỏ xn - X G E u . Do đó X = xn - (xn - X ) G Eu và
l*« " x\\u - 8 ’ ^ n - n0 ’ hay dãy ( x n )”=1 hội tụ ttong Eu theo Uo - chuẩn. Vậy Eu là không gian Banach theo Uo - chuẩn. J

.2.

Nón cưc tri
•
í

Định nghĩa 1.4.4.
Giả sử E là không gian Banach thực nửa sắp thứ tự theo nón Kcz E. Nón K
được gọi là cực trị, nếu đối mỗi dãy ( *„x=1 CI K không giảm, bị chặn trên bởi
U G K, bị chặn theo chuẩn và đối với mỗi dãy ( y n )n=ĩ c K không tăng, bị chặn
dưới bởi V G K, bị chặn theo chuẩn đều tồn tại
suP(*Xie*> inf(y„Cie^-

.

.1.

Các không gian nửa sắp thứ tự Rn, C[a.b]
Không gian Rn, n e N*

Không gian Rn = { X = (Xi, x2,..., xn ) : Xi G R, i = 1, 2,..., n } ( n G N* ) cùng với hai phép toán thông thường X + y = ( Xi+
yi, x2+ y2,. ., xn+ yn),

2

(XX = ( axi, ax2,.. axn),
trong đó a G R, X = (xb x2, xn ) e Rn, y = (yi, y2, yn ) G Rn là một
không gian tuyến tính thực với phần tử không là 0 = ( 0, 0,. . 0).
Ta có Rn là không gian định chuẩn thực với chuẩn được xác định như sau:
Ta kiêm tra điêu kiện của chuân.
VXERn
*) V X G Rn thì xf > 0 nên ịxị > 0.
= 0^ẳ*í

(1.

Ì=1 = 0<=> x 1 = 0,Vi = l,2,...,n <=> X = 6.

*) V X G Rn , V a G R, Ịaxị = ^¿(ax?) =
*) V X = (Xi, x2 , x

n

= |a|||x||.

) G Rn, y = (yi, y2,..., y „ ) Ẽ R n

II* + T||2 = Ẻ(*i + Ti)2 = ¿(*f + y? + 2xỉ.y ,.)
i=l
i=l
=hỉ+ịyỉ + 2±xơl
i=l i= 1 i= 1

n
n
n
iix?+±y? + 2ji*ỉ J±JÍ
i=1
Í=1 V Í=1 V Í=1

Ịn

[ứx'+ềy
Do đó \\x+ y| < |x| + |y|.
Vậy công thức (1.4) là một chuẩn trên không gian Rn. Chuẩn (1.4) còn gọi là chuẩn Eukleides, không gian Rn cùng với chuẩn
(1.4) còn gọi là không gian Eukleides.
Sự hội tụ trong không gian Rn tương ứng với sự hội tụ theo tọa độ.