Tài liệu Sức bền vật liệu phần 1

Sức bền vật liệu
Mục đích của môn học nhằm trang bị cho sinh viên những kiến thức
cơ bản về việc tính toán, thiết kế các chi tiết máy, kết cấu công trình.

Chơng 1. Những khái niệm cơ bảN
I. Nhiệm vụ v đối tợng của sức bền vật liệu
1. Nhiệm vụ
Tính toán về độ bền, độ cứng v độ ổn định của các bộ phận công
trình hoặc các chi tiết máy. Khi thiết kế các bộ phận công trình hoặc các
chi tiết máy, ta phải thoả mãn các điều kiện sau:
- Chi tiết không bị phá hỏng hay đảm bảo điều kiện bền.
- Độ biến dạng của chi tiết không vợt quá mức độ cho phép hay đảm
bảo điều kiện cứng.
- Chi tiết luôn giữ đợc hình dáng ban đầu hay đảm bảo điều kiện ổn
định.
2. Đối tợng nghiên cứu
Vật rắn biến dạng: về vật liệu l các vật thể có tính đn hồi tuyệt đối,
về mặt hình học chủ yếu l các thanh. Ngoi ra các dạng khác nh: tấm,
vỏ, ống dy, đĩa, v.v. Thông thờng xét một trong ba cấu hình sau:
Khối (hình 1.1)
Tấm v vỏ (hình 1.2)
Thanh (hình 1.3)
Hình 1.1

Hình 1.2

F - diện tích mặt cắt ngang

a)

Trục thanh

b)

Hình 1.3
1


II. Một số giả thuyết cơ bản về vật liệu
1. Giả thuyết về sự liên tục, đồng nhất v đẳng hớng
Dới tác dụng của ngoại lực mọi vật rắn thực đều bị biến dạng, nghĩa
l biến đổi hình dạng v kích thớc, đó l vì ngoại lực lm thay đổi vị trí
tơng đối vốn có giữa các phân tử cấu tạo nên vật rắn ấy.
Tính liên tục: vật rắn đợc gọi l liên tục nếu mỗi phân tố bé tuỳ ý
của nó đều chứa vô số chất điểm sao cho trong vật thể không có lỗ rỗng.
Tính đồng nhất có nghĩa l tại mọi điểm trong vật thể, vật liệu có
tính chất lý - hoá nh nhau.
Tính đẳng hớng l tính chất cơ - lý của vật liệu theo mọi phơng
đều nh nhau.
2. Giả thuyết về sự đn hồi, biến dạng v chuyển vị bé
Vật rắn đợc gọi l đn hồi (hay rõ hơn, đn hồi tuyệt đối) nếu có khả
năng phục hồi hon ton hình dạng v kích thớc vốn có sau khi ngoại lực
thôi tác dụng, biến dạng đợc khôi phục hon ton sau khi hết ngoại lực
đợc gọi l biến dạng đn hồi.
Vật đn hồi tuyến tính l vật m biến dạng l đn hồi v tỉ lệ bậc nhất
với nội lực. Những vật đn hồi khác đợc gọi l vật đn hồi phi tuyến.
Biến dạng bé có thể hiểu l nó nhỏ đến mức nh những đại lợng vô
cùng bé. Chuyển vị l rất bé so với kích thớc của vật thể.
3. Giả thuyết về quan hệ giữa lực v biến dạng
Giữa ngoại lực tác động lên vật thể v biến dạng của nó có mối
quan hệ biểu diễn bởi một hm số no đó. Nếu hm số đó l bậc nhất ta

gọi vật liệu tuân theo quy luật tuyến tính. Nếu hm số đó không phải bậc
nhất ta gọi l quy luật phi tuyến. Trong chơng trình sức bền vật liệu, ta
chỉ xét đến quy luật tuyến tính giữa lực v biến dạng.

2


q 1 kN/m2

III. Ngoại lực, nội lực
1. Ngoại lực

a)

b

Ngoại lực bao gồm tải trọng (tĩnh v động)
v các phản lực liên kết.
P M=P.a

a)

b)

a

Tải trọng gồm:
- Lực tập trung
- Lực phân bố (hình 1-4)
- Ngẫu lực tập trung

(mômen tập trung) hoặc
phân bố (hình 1-5).

q=q1.b kN/m

P

dz

z
2

m (kN/m )

b)

q(z)

c)
a

2. Nội lực

b

a
l

Hình 1-5

Phần lực tác dụng
tơng hỗ để chống lại tác
dụng của ngoại lực gọi l
nội lực.
Phơng pháp mặt cắt
xác định nội lực.
Hình 1-6
Các thnh phần nội lực
(hình 1-9) v quy ớc về dấu (hình 1-10):

Hình 1-4

Hình 1-7

Hình 1-9

Hình 1-8

Lực dọc Nz; lực cắt Qx, Qy; mômen uốn Mx, My; mômen xoắn Mz.
Nz
Nz

Nz > 0
Nz < 0

Nz
Nz

Qy Qy > 0 Qy
Qy

Qy < 0

Qy

Mx

Mx
Mx>0
Mx

Mx<0

Mx

Mz>0

Mz<0

Hình 1-10

IV. Biến dạng v ứng suất
3


1. Biến dạng
Biến dạng cơ bản đợc phân loại theo thnh phần nội lực trên hệ
trục quán tính chính trung tâm.
a. Kéo (hoặc nén) đúng tâm (hình 1-11):
Hệ nội lực ở mặt cắt ngang tơng đơng với một lực dọc

G
Nz

Hình 1-11

b. Cắt (hay trợt) (hình 1-12)
Hệ nội lực ở mặt cắt
ngang tơng đơng
với
G
một lực ngang Q y (hoặc
G
Q x ).
c. Xoắn (hình 1-13).
Hệ nội lực ở mặt cắt
ngang tơng đơng với
một ngẫu lực có mômen Mz nằm trong mặt cắt

Hình 1-12

Hình 1-13

d. Uốn (hình 1-14).
Uốn thuần tuý: Hệ nội lực ở mặt cắt ngang tơng đơng với một ngẫu
lực có mômen Mx (hoặc My). Uốn ngang: Qy, Mx (Qx, My)

Hình 1-14

2. ứng suất

4


Cờng độ của nội lực tại một điểm no đó trên mặt cắt đợc gọi l
G
ứng suất ton phần, ký hiệu p (hình 1-15).
JG
P
G
ứng suất trung bình tại điểm M ký hiệu l: p tb =
(1-1)
F
ứng suất ton phần tại điểm M:

JG
P
G
2
p = lim
F 0 F [lực/chiều di ]

(1-2)

I

Hình 1-17

Hình 1-16

Hình 1-15

G
p
ứng suất ton phần
phân lm hai thnh phần (hình 1-15): ứng suất
pháp, ký hiệu , ứng suất tiếp, ký hiệu :
p = 2 + 2

(1-3)
G
Có thể phân ứng suất p thnh ba phần theo 3 trục toạ độ l ứng suất
pháp
z v ứng suất tiếp
zx,
zy (hình 1-17).
Quan hệ giữa ứng suất v các nội lực có hệ thức sau:

Qx = zx dF;Qy = zy dF;N z = zdF ; M x = yzdF;
F

F

F

M y = x zdF; M z = ( xzy yzx ) dF
F

F

(1-4)

F

Quy ớc dấu của ứng suất:
ứng suất pháp đợc coi l dơng nếu nó đi ra khỏi mặt cắt.
ứng suất tiếp đợc coi l dơng nếu khi quay pháp tuyến ngoi của
mặt cắt cùng chiều kim đồng hồ m chiều của nó trùng với chiều của ứng
suất tiếp.

V. Quan hệ giữa ứng suất v biến dạng

5


Quan hệ giữa ứng suất v biến dạng biểu diễn bằng định luật Húc
tổng quát:

1
x = x y + z ; xy = xy ;
E
G

1
y = y ( z + x ) ; yz = yz ;
E
G
(1-5)

1
z = z x + y ; zx = zx

E
G
E: môđuyn đn hồi của vật liệu, [lực/(chiều di)2].
: hệ số Poát-xông của vật liệu, có giá trị 0ữ0,5.
G: môđuyn trợt của vật liệu, [lực/(chiều di)2]

(

)

(

)

VI. sơ đồ hoá kết cấu
Hình 1-18 l hai sơ đồ tính đợc rút ra từ dầm thực tơng ứng, đợc
sơ đồ hoá bởi một đờng trục v các liên kết.
P1

P2

P

q
B

A
a)

b)

Hình 1-18

Hình 1-19 biểu diễn một số liên kết qua các sơ đồ hoá chúng v
phản lực liên kết:
R
R

M

R

R
N

R
N

N

ngm
M

gối di động (gối con lăn)
M

ngm trợt

gối cố định
R=k.

M



M=k

ngm đn hồi

Gối đn hồi

Hình 1-19

VII. Liên hệ vi phân giữa nội lực v ngoại lực
6


Ta nhận thấy giữa cờng độ tải trọng phân bố, lực cắt v mômen
uốn sẽ có mối quan hệ vi phân nhất định.

dz

dz

Hình 1-20

Thực vậy giả sử cho dầm chịu lực bất kỳ nh trên hình 1-20a. Xét
cân bằng của đoạn thanh hình 1-20b:

Q y + P (Q y + dQ y ) = 0

dz
(M x + dM x ) = 0
2
dz
P
Bỏ qua lợng vô cùng bé: Qydz v
2 so với Mx v M, ta rút ra
điều cần nhận xét:
dQ y = P; dM x = M
M x + Qdz + M 0 + P

Xét cân bằng của đoạn thanh hình 1-20c:
Q y q.dz (Q y + dQ y ) = 0

M x + Q y .dz + qdz

dz
(M x + dM x ) = 0
2

dz 2
Nếu bỏ qua lợng vô cùng bé q
2 , ta đợc:
dQ y
dM x
d 2 M x (z) dQ y (z)
= q(z);
= Qy ;
=
= q(z)

dz
dz
dz 2
dz

(1-6)

Vậy đạo hm của lực cắt bằng cờng độ của tải trọng phân bố theo
chiều di v đạo hm của mômen uốn bằng lực cắt. Sự liên hệ đó gọi l
sự liên hệ vi phân giữa cờng độ tải trọng phân bố, lực cắt v mômen
uốn.

7


VIII. Biểu đồ nội lực
Biểu đồ nội lực l biểu thị sự biến thiên của các thnh phần nội lực
dọc theo trục thanh.
1. Để vẽ biểu đồ nội lực cần thực hiện theo trình tự sau:
Xác định các thnh phần phản lực liên kết cần thiết
Phân đoạn v dùng phơng pháp mặt cắt xác định các thnh phần
nội lực trên từng đoạn thanh.
Dựa vo quy luật phân bố từng thnh phần nội lực vẽ biểu đồ nội
lực cho từng loại nội lực.
Kiểm tra lại biểu đồ nội lực
2. Để vẽ nhanh v kiểm tra biểu đồ nội lực cần:
Dựa trên các nhận xét về bớc nhảy:
Tại mặt cắt có đặt lực tập trung, biểu đồ lực cắt có bớc nhảy, trị
số bớc nhảy bằng trị số lực tập trung.
Tại mặt cắt có mômen tập trung, biểu đồ mômen uốn có bớc

nhảy, trị số bớc nhảy bằng trị số mômen tập trung.
Dựa trên các liên hệ vi phân giữa ngoại lực v nội lực:
Trên đoạn thanh không có lực phân bố (q = 0), biểu đồ lực cắt (Qy)
l hằng số, mômen uốn (Mx) l đờng bậc nhất.
Lực phân bố q=const Qy bậc nhất, Mx l đờng bậc hai.
Nếu trên đoạn thanh m q(z) l đa thức bậc n Qy l một đờng
bậc (n+1) v Mx l một đờng (n+2).
Trên đoạn thanh có q>0 (hớng lên) thì Qy đồng biến, trên đoạn
thanh có q<0 (hớng xuống) thì Qy nghịch biến.
Trên đoạn thanh có Qy>0 thì Mx đồng biến, trên đoạn thanh có
Qy<0 thì Mx nghịch biến. Tại mặt cắt Qy = 0, Mx đạt cực trị:
+ Cực đại khi q < 0 (có chiều hớng xuống q )
+ Cực tiểu khi q > 0 (có chiều hớng lên trên q)
Dựa trên tính đối xứng v tác dụng của tải trọng:
Bề lõm của biểu đồ mômen uốn Mx luôn hứng lấy chiều tác dụng
của lực phân bố.
Trờng hợp hệ có kết cấu đối xứng chịu tải trọng đối xứng, biểu
đồ mômen uốn sẽ đối xứng, biểu đồ lực cắt sẽ phản đối xứng qua
trục đối xứng của hệ. Nếu kết cấu đối xứng chịu tải trọng phản đối
xứng thì biểu đồ lực cắt đối xứng v biểu đồ mômen uốn phản đối
xứng.
3. Ví dụ minh hoạ
8


Ví dụ 1.1.: Cho một dầm chịu lực nh hình 1.21. Vẽ biểu đồ nội lực
Qy, Mx.
Bi giải:
Bớc 1: Xác định phản lực liên kết:

G
a
q.a
F = YB .3a + M + P.a q.a. = 0 YB =
<0
2
2

m ( )
A

Chiều YB ngợc lại hình vẽ. Ta đổi chiều YB xuống dới.
Fy = YA YB + P q.a = 0 YA = YB = q.a > 0 .
2
Vậy chiều của YA giữ nguyên.



Bớc 2: Vẽ biểu đồ lực cắt.
Trên đoạn AC có tải trọng phân bố đều q = const, vậy biểu đồ lực cắt
q.a
l dơng. Tại C có lực
l hm bậc nhất. Tại A có lực tập trung YA =
2
tập trung P=q.a hớng lên
trên nên biểu đồ Qy có bớc
nhảy đúng bằng P. Trên đoạn
CB, biểu đồ lực cắt l hằng số
v bằng phản lực liên kết tại
B.

Bớc 3: Vẽ biểu đồ mô
men uốn.
Trên đoạn AC biểu đồ
mômen l hm bậc 2, đờng
parabol có bề lõm hứng lấy
chiều của tải trọng q. Trên
đoạn CB, biểu đồ Mx l hm
bậc nhất. Tại B, mô men có
giá trị chính bằng mô men
Hình
tập trung M lm căng thớ
1 21
dới. Tại D, ta có Qy = 0 nên Mx đạt giá trị cực trị.
Trên hình 1.21 biểu diễn biểu đồ Qy v Mx của dầm.

9


Chơng 2. kéo (nén) đúng tâm
I. Lực dọc v biểu đồ lực dọc
Thanh bị kéo (nén) đúng tâm l thanh m trên
mọi mặt cắt
G

ngang chỉ có một thnh phần nội lực l lực dọc N z nằm trên trục
thanh.
G

Để biết sự biến thiên của lực dọc N z theo trục thanh, ngời
ta lập một đồ thị biểu diễn, gọi l biểu đồ lực dọc.

Ví dụ 2.1: Vẽ biểu đồ lực dọc của một thanh chịu lực nh
(hình 2.1a)
Bi giải:
1. Xác định phản lực
tại C: P1 - P2 - Pc = 0
Pc = P1 - P2 = 20 kN, có
chiều nh hình vẽ.
2. Vẽ biểu đồ:
+ Xét đoạn AB:
(hình 2.1b) (0 < z < 2a)
Chiếu xuống trục z,
ta có:

F

z

= N Z1 P1 = 0

N z1 = P1 = 40kN > 0
+ Đoạn BC
(hình 2.1c), ( 2a z 2 3a )
Xét cân bằng
phần phải, ta đợc:

F

z

của

Hình 2.1

= N z2 + P2 P1 = 0

Suy ra: N Z2 = P1 P2 = 40 60 = 20kN < 0 - lực nén.
Tơng tự ta có thể xét các mặt cắt từ phần trái, chọn gốc toạ
độ tại C (hình 2.1d). Kết quả thu đợc cũng giống nh trên.
Biểu đồ nội lực nh trên hình 2.1e.
10


II. ứng suất v biến dạng
1. Các giả thiết tính toán
Mặt cắt ngang của thanh trớc v sau khi biến dạng vẫn
luôn thẳng v vuông góc với trục thanh.
Trong quá trình biến dạng các thớ dọc luôn thẳng, song
song với trục của thanh v không tác dụng tơng hỗ lên nhau.
Nz

P

O

z

z,n
dz

dz

a)

b)

du

Hình 2.2

2. ứng suất
Theo các giả thiết trên đợc rút ra từ thí nghiệm thì trên
mặt cắt ngang của thanh chịu kéo (nén) đúng tâm có biến dạng
di theo phơng trục z:

z =

du
dz

(2.1)

Định luật Húc do nh khoa học Anh, Robert Hooke tìm ra
năm 1660:
z = Ez
(2.2)
trong đó, hệ số tỉ lệ E đợc gọi l môđun đn hồi Young.
Mặt khác, ta có:
N
N z = zdF = z dF = zF z = z
(2.3)
F

F
F
Nz
(2.4)
Trong tính toán thờng viết: z =
F
2. Biến dạng dọc v biến dạng ngang
Từ các công thức (2.2) v (2.3) suy ra: z ( z ) =
l

N

z
Biến dạng dọc tuyệt đối l: l = EF dz

Nz ( z )

EF ( z )

(2.5)
(2.6)

0

11


Trờng hợp đặc biệt khi
l =

Nz
= const:
EF

m
n
N zi l i
Nz l

=

=
l
l


i
;
(i = 1, 2, ..., n)
EF
i =1
i =1 Ei Fi

(2.7)

Biến dạng ngang (tơng đối) theo phơng ngang x hoặc y
đợc kí hiệu l x hoặc y:
x = y = z
(2-8)
trong đó l hằng số tỉ lệ, đợc

gọi l hệ số Poatxông.

Ví dụ 2.2. Một thanh thép di
4m (hình 2.3a) có tiết diện vuông
mỗi cạnh a = 20mm chịu hai lực
P1 = 80kN ở mút A v P2 = 20kN
ở điểm giữa B. Cho biết E =
2.105N/mm2, = 0,25. Hãy tính
chuyển vị của mút thanh v biến
dạng tuyệt đối của kích thớc
ngang tại mặt cắt nguy hiểm.

Giải:
1. Lập biểu đồ lực dọc
2. Biến dạng dọc (độ giãn) của thanh:
l = l1 + l 2 =

N z1 l
EF

+

N z2 l
EF

=

(

Hình 2.3

)

1
N z1 + N z2 = 4,5mm
EF

Các mặt cắt nguy hiểm thuộc đoạn BC: ứng suất pháp bằng:
N z2

100.103
z =
=
= 250N / mm2
F
400

Biến dạng dọc (tơng đối) của đoạn ny bằng:

250
z = =
= 0,00125 = 0,125%
E 2.105
Biến dạng ngang: x = y = z = 0,25.0,00125 = 0,03125%
Biến dạng tuyệt đối của mặt cắt ngang (lợng co):
a = x a = 0,0003125.20 = 0,00625mm
Biến dạng ngang rất nhỏ so với biến dạng dọc.
12

III. Tính chất cơ học của vật liệu
Tính chất cơ
học của vật liệu l
những tính chất
vật lí thể hiện
trong quá trình
biến dạng dới tác
dụng của ngoại lực.

Hình 2.4

Thông thờng,
ngời ta chia vật liệu lm hai loại: vật liệu dẻo v vật liệu giòn
1. Thí nghiệm kéo vật liệu dẻo

Mẫu thử hay mẫu thí nghiệm (hình 2.4).
Quan hệ giữa lợng giãn l v lực kéo P đợc biểu diễn bằng
biểu đồ kéo (hình 2.5). Quá trình biến dạng gồm 3 giai đoạn:
Giai đoạn thứ nhất: giai đoạn tỉ lệ hay giai đoạn đn hồi OA.
Giới hạn tỉ lệ
hay giới hạn
đn hồi tl:
P
tl = tl (2.9)
F0
Giai đoạn
thứ hai: giai
Đối với thép số 3:
đoạn chảy dẻo.
t1 = 200MN/m 2

ứng suất:
C = 240MN/m2
P
B = 420MN/m2
C = C (2.10)
F0
đợc gọi l giới
hạn chảy (dẻo).
Hình 2.5
Trên mặt mẫu
sẽ thấy xuất hiện những đờng gợn nghiêng với trục thanh một
góc khoảng 450 (hình 2.6).
Giai đoạn thứ ba (giai đoạn củng cố):

13


PB

=
ứng suất cực đại: B F
0

đợc gọi l giới hạn bền.

Hiện tợng tái bền

Hình 2.7

Hình 2.6

2. Thí nghiệm nén vật liệu dẻo
Mẫu thử thờng hình 2.8a. Biểu đồ nén (hình 2.8b) có giới hạn
tỉ lệ, giới hạn chảy nhng không có giới hạn bền.

Hình 2.8

Hình 2.9

3. Thí nghiệm kéo v nén vật liệu giòn
Vật liệu giòn chịu kéo rất kém, nên bị phá hỏng đột ngột
ngay khi độ giãn còn rất nhỏ. Hình 2.9 - biểu đồ kéo (Pl). Khi
bị nén cũng bị phá hỏng ngay khi biến dạng còn nhỏ.
PB
Vật liệu giòn chỉ có giới hạn bền: B = F
0
14


IV. Thế năng biến dạng đn hồi
Công của ngoại lực chuyển hoá thnh thế năng biến dạng
N 2z .l
P 2 .l
=
(2-11)
đn hồi U: U = A U =
2EF 2EF
Nếu nội lực Nz biến thiên từ 0 l thì có thể biểu diễn:
l
N 2z

dz
U =
(2-12)
2EF
0
Gọi u l thế năng riêng biến dạng đn hồi (thế năng tích luỹ
trong một đơn vị thể tích) thì thế năng riêng đó có trị số: u=U/V
Thay V = F.l v z= Nz/F ta đợc
l
l
2z z z
2z

dz = z z dz (2-13)
=
hoặc u =
u=
2El
2l
2E
2
0
0

V. Tính toán về kéo (nén) đúng tâm
1. ứng suất cho phép Hệ số an ton
ứng suất cho phép []: [ ] =

1
0

n

(2.14)


ch
Nh vậy đối với vật liệu dẻo: []n = []k = n
(2-15)
Đối với vật liệu giòn, vì khả năng chịu nén tốt hơn chịu kéo
Bn > Bk , nên ta có hai ứng suất cho phép khác nhau:

Bn
Bk
[]n =
; []k = n
n

(2-16)

Hệ số an ton n thờng lớn hơn 1 v phụ thuộc vo yêu cầu
thiết kế cũng nh tầm quan trọng của công trình, chi tiết máy.
2. Ba loại bi toán cơ bản
Để đảm bảo sự lm việc an ton khi thanh chịu kéo (nén)
đúng tâm, ứng suất trong thanh phải thoả mãn điều kiện bền:
z =

Nz
[ ]
F

(2-17)

Từ bất đẳng thức trên, ta có ba loại bi toán cơ bản sau đây:
a. Kiểm tra bền (bi toán loại 1)
Điều kiện bền của thanh: max =

Nz
[ ]
F

(2-18)
15


Đối với các vật liệu giòn l:
max =

Nz
N
[ ]k ; min = z [ ]n
F
F

(2-19)

b. Chọn kích thớc mặt cắt ngang hay thiết kế (bi toán loại 2)
Fmin

Nz
= [F ]

[ ]

(2-20)

Để đảm bảo an ton v tiết kiệm, chỉ nên chọn F xấp xỉ tỉ số
Nz/[] chừng 5% l đủ.
c. Tải trọng cho phép (bi toán loại 3)
N z max F [ ] = [N z ]
(2.25)
Từ điều kiện cứng của thanh, cũng dẫn đến ba loại bi toán
tơng tự.

VI. bi toán siêu tĩnh
Trong các bi toán tĩnh định chỉ cần dựa đơn thuần vo các
phơng trình cân bằng tĩnh học để xác định nội lực. Trong bi
toán siêu tĩnh nếu chỉ dựa vo phơng trình cần bằng tĩnh học
thì không đủ giải đợc nội lực m phải dựa thêm vo một số
phơng trình bổ sung lập đợc nhờ việc xét điều kiện biến dạng
của cơ hệ. Số phơng trình bổ sung gọi l bậc siêu tĩnh của cơ hệ.

Ví dụ 2.3. Tìm ứng suất
pháp trong các thanh EB v
FC lm bằng cùng một loại
vật liệu dùng để treo một
thanh AD tuyệt đối cứng
(hình 2.10). Các thanh treo có
diện tích mặt cắt F = 12cm2.

Giải
Thay liên kết bằng các phản

G G G G
lực liên kết YA ,Z A ,N1 ,N2 ; Lập
phơng trình cân bằng:

m

A

Hình 2.10

(F) = 2aN2 + aN1 3aP = 0 ặ 3P = N1 + 2N2

(a)
16


Đây l bi tập toán siêu tĩnh bậc 1. Điều kiện tơng thích biến
(b)
dạng (l1 = BB, l2 = CC, ABB ACC): l2 = 2l1

N1 l
N l
, l2 = 2
EF
EF
Thay vo biểu thức (b), dễ thấy: N2 = 2N1
6P 6.160
192
N2 =
=

= 192kN; N1 =
= 96kN

5
5
2
ứng suất trong các thanh EB v FC l:

Theo công thức (2-7) ta có: l1 =

1 =

N1
96
=
= 8.104 kN / m2 = 80MN / m2 ; 2 = 21 = 160MN/m2
4
F 12.10

Ví dụ 2.4. Dầm tuyệt
đối cứng AB đợc giữ
bởi các thanh bằng
thép có giới hạn chảy
ch = 24kN / cm2 . Xác định
tải trọng cho phép [q].
Biết n = 1,6; E =
2.104kN/cm2.
Bi giải (hình 2.11).
Lấy tổng mômen các
lực đối với điểm A, ta

có:

Hình 2.11



3
m ( A ) ( F ) = N 1 .2 + N 2 .5 q.3.(2 + ) = 0
(a)
2
Phơng trình phụ tìm đợc từ điều kiện hai tam giác đồng

l1 2
N1l1
N 2 l2
5
2
=

=
dạng ABB ~ ACC , ta có: l
5
E1F1
E 2 F2
2

(b)

trong đó: E1 = E2 = E ; F1 = F2 = F; l1 = 1,8l ; l2 = l
Giải phơng trình (a) v (b) ta đợc:

21
84
N1 =
q; N 2 =
q N 2 > N1 .
44
44
Vậy điều kiện bền phải xuất phát từ N2. Theo (2.25) ta có:

N 2 = F[] . Tra bảng thép góc 56ì56ì5 có: F = 4,11cm2
Do [ ] =

ch 24
=
= 15kN / cm 2 [ q ] = 4,11 ì 15 44 = 32,3 kN / cm
n 1, 6
84
17


Chơng 3. Trạng thái ứng suất
I. Khái niệm về trạng thái ứng suất
Trạng thái ứng suất tại một điểm của vật thể đn hồi chịu
lực l tập hợp tất cả các ứng
suất tác dụng trên tất cả các
mặt vô cùng bé đi qua điểm
đó, đặc trng bởi tenxơ đối
xứng cấp 2 có 6 thnh phần
ứng suất độc lập (hình 3.1):

x

yx

zx

xy
y
zy

xz

yz
z

(3.1)

nh biểu thị trên các mặt của
phân tố toạ độ Cdxdydz.
Qua 1 điểm ta luôn tìm
Hình 3.1
ba mặt vuông góc với nhau có
ứng suất tiếp bằng 0, các mặt đó l mặt chính, pháp tuyến mặt
chính gọi l phơng chính, ứng suất pháp trên các mặt chính gọi
l ứng suất chính 1, 2 v 3:
1 > 2 > 3
(3.2)
Căn cứ vo các ứng suất chính ta hân loại trạng thái ứng suất
nh sau: Trạng thái ứng suất khối (hình 3.2a), trạng thái ứng
suất phẳng (hình 3.2b), trạng thái ứng suất đơn (hình 3.2c).

Hình 3.2
18


II. Trạng thái ứng suất phẳng
1. ứng suất trên mặt nghiêng bất kì
Tách một phân tố khỏi vật thể đn hồi chịu lực. Giả thiết
mặt vuông góc với trục z l mặt chính (z = zx = zy = 0), những
mặt còn lại có cả ứng suất pháp v ứng suất tiếp (hình 3.3).

Hình 3.3

Xét sự cân bằng của phân tố hình lăng trụ đáy l tam giác,
mặt bên nghiêng. Phơng trình tổng mômen các lực với O:

M

O

= xy dydz

dx
dy
yx dzdx
= 0 xy
2
2

= yx

(3.3)

Đó l luật đối ứng của ứng suất tiếp, phát biểu nh sau:
Nếu trên mặt cắt no đó có ứng suất tiếp thì trên mặt cắt vuông

góc với nó cũng phải có ứng suất tiếp có cùng trị số nhng đối
chiều.
Lập các phơng trình hình chiếu sau:

u = dzds ( dzds cos )cos + (
u

x

xy

dzdscos )sin

( y dzdssin )sin + ( yx dzdssin ) cos = 0

v =

uv

dzds ( x dzds cos )sin ( xy dzdscos ) cos +
+ ( y dzds sin ) cos + ( yx dzds sin )sin = 0

Sau khi rút gọn, sử dụng định luật đối ứng ứng suất tiếp ta
đợc giá trị của u v uv:

+ y x y
u = x
+
cos 2 xy sin 2
(3.4)
2
2
y
sin 2 + xy cos 2
uv = x
(3.5)
2
Rõ rng l khi = 0 (hoặc /2) thì u v uv có giá trị bằng x,
19


xy (hoặc y, yx).
2. ứng suất chính v phơng chính
Mặt chính đợc xác định thông qua góc nghiêng 0, sao cho
ứng suất tiếp trên đó bằng 0:

x y
2

sin 2 0 + xy cos 2 0 = 0 tg2 0 =

xy
x y

xy

tg

=

tg2 0 = tg
Đặt
x y


+ k.
(3.6)
2
2
Ta thấy 0 có hai nghiệm l 1 v 2 (ứng với k = 0 v k = 1)
lệch nhau 900 ta luôn có hai phơng chính vuông góc với nhau.
Thay 1 v 2 vo (3.4) ta sẽ đợc các ứng suất chính cần tìm, đó l
những ứng suất pháp cực trị, vì du/d = - 2uv = 0:
0 =

x + y

2

y
2
max =
x
+ xy
2
2

min

ứng suất tiếp cực trị xác định bằng duv/d = 0:

(3.7)

y
duv
cos 2 2xy sin 2 = 0
=2 x
d
2

tg2 =

x y
2xy

So sánh với (3.7), ta đợc:
1

= cot g2 0 = 0 + k.
tg2 =
tg2 0
4 (3.8)
Kết luận: những mặt có ứng suất tiếp cực trị tạo với mặt chính
một góc 450. Thay (3.8) vo (3.5) với cos2 =
2
1
x y ) + 4 2xy

(
2
min
Tính theo ứng suất chính ta có:

max =

1
1 + tg 2 2

, ta đợc:
(3.9)

20


max =
min

max min
2

(3.10)

III. Vòng tròn Mo (Mohr) ứng suất
1. Cơ sở của phơng pháp v cách vẽ vòng tròn MO ứng suất
Xét một phân tố với các ứng suất x, y, xy đã cho nh hình
3.4a. Lập hệ toạ độ O (hình 3.4b) theo tỷ lệ nhất định. Trên trục
honh đặt các đoạn OE = y v OF = z. Từ E dựng đoạn ED = xy
vuông góc với OE. Vẽ vòng tròn có tâm C l trung điểm của đoạn

+ z

EF OC = y
v bán kính CD (CD = R =
2


2

y z
2

+ yz ), gọi l
2


vòng tròn Mo ứng suất (Mohr).

yx

y
xy

yx

uv

x

x

xy
xy

y

y
x

Hình 3.4

Để xác định các ứng suất u v uv trên mặt xiên có phơng u
lm với trục x một góc cho trớc (hình 3.4a) hãy lấy trên vòng
tròn vừa vẽ một điểm P (thờng gọi l điểm cực) có honh độ y v
21


tung độ xy (hình 3.4b), rồi từ P vẽ tia song song với phơng u cho
cắt vòng tròn tại điểm M. Toạ độ của M chính l các ứng suất u v
uv cần tìm.
2. Xác định ứng suất chính v phơng chính
Các giao điểm A v B của vòng tròn Mo với trục honh O l
những điểm có honh độ lớn nhất v nhỏ nhất, tung độ bằng 0:
2

x + y

y
2
max =
x

+ xy
(3.11)
2
2
min

Phơng của các tia PA v PB l các phơng chính cần tìm
của phân tố (hình 3.4a).
Theo hình 3.4b dễ thấy luôn luôn có:
max + min = 2OC = y + z = hằng
(3.12)
Tổng ứng suất pháp trên hai mặt vuông góc với nhau l hằng số.
Gọi 1 v 2 l góc của phơng chính thứ nhất v phơng
chính thứ hai đối với trục x. Theo hình 3.4b, có:
FP





FP

xy
xy
tg1 = FA = ; tg2 = FB =
y
max
y
min

Trong trờng hợp kéo (nén)
đúng tâm ứng suất tiếp lớn nhất:
1
max = min = z
(3.14)
2
đó l hai mặt vuông góc với nhau,
lần lợt lm với trục z một góc 45o
v 135o.
3. Hai trờng hợp đặc biệt

(3.13)

y





x

Hình 3.5

Trạng thái ứng suất phẳng đặc biệt, ví dụ x = , y = 0 (hình
3.5).
Trạng thái trợt
thuần tuý: phân tố m
trên các mặt chỉ có
ứng suất tiếp (hình
xy

3.6a).
Lúc ny vòng
tròn Mo có tâm trùng
Hình 3.6

22


với gốc toạ độ (hình 3.6b). Các ứng suất chính khác dấu nhau v
có giá trị bằng giá trị của ứng suất tiếp: 1=3=xy
(3.15)

IV. Liên hệ giữa ứng suất - biến dạng
1. Biến dạng di (định luật Húc tổng quát)
Trớc hết hãy tìm biến dạng di tơng đối 1 theo phơng I
của phân tố.
Biến dạng do 1 sinh ra: 11 =

1
E

2
E

= 3
E

Biến dạng do 2 sinh ra: 12 =
Biến dạng do 3 sinh ra: 13

Biến dạng di (tơng đối) theo
phơng I do các ba ứng suất 1, 2
v 3 sinh ra: 1 = 11 + 12 + 13.
Lm tơng tự ta đợc biến dạng
Hình 3.7
(tơng đối) theo phơng II v
phơng III của phân tố:
1
1
x = x ( y + z )
1 = 1 ( 2 + 3 )
E
E
1
1
y = y ( z + x )
2 = 2 ( 3 + 1 )
E
E
hoặc
(3.16)
1
1
z = z ( x + y )
3 = 3 ( 1 + 2 )
E
E

Các hệ thức bậc nhất (3.16) trên đây giữa biến dạng di v
ứng suất pháp l nội dung của định

ij
luật Húc tổng quát đối với vật rắn đn
hồi tuyến tính.
2. Biến dạng góc (Định luật Húc về
trợt)

Xét biến dạng của phân tố. Dới
tác dụng của ứng suất tiếp phân tố bị
biến đổi hình dáng v trở thnh hình

ij

ij ij

ij
ij
Hình3.8
23


bình hnh (hình 3-8). Theo định luật Húc, giữa ứng suất tiếp
v góc trợt có liên hệ sau: ij = Gij ( i, j = 1, 2, 3) (3.18)
trong đó G l hệ số tỷ lệ gọi l môđun đn hồi khi trợt [lực/chiều
di2], đó l hằng số vật liệu, đợc xác định từ thí nghiệm. Môđun
G liên hệ với E v nh sau:

G=

E
2(1 + )

(3.19)

3. Biến dạng thể tích tỷ đối (định luật Húc khối)

Gọi dx, dy v dz l các cạnh của phân tố v V0 l thể tích
ban đầu của phân tố, ta có: V0 = dxdydz
Sau khi biến dạng, chiều di các cạnh thay đổi sẽ l (dx +
dx), (dy + dy) v (dz + dz). Thể tích sau khi biến dạng:
V1 = V0 + V = (dx + dx).(dy + dy).(dz + dz)=



= dxdydz 1 +

dx dy dz
= dxdydz (1 + x ) 1 + y
1 +
1+
dx
dy
dz

(

) (1 + )
z

Vì biến dạng l bé nên có thể bỏ qua các đại lợng vô cùng
bé bậc 2 trở lên. Cuối cùng ta đợc: V1 = V0(1 + x + Y + z)

Gọi l biến dạng thể tích tơng đối của phân tố, ta có:

=

V1 V0
= x + Y + z
V0

Thay x, Y v z từ (3.16) vo công thức trên ta đợc:
= x + Y + z =

1 2
x + y + z
E

(

)

Đặt tổng ứng suất pháp l: = ( x + y + z )


=

E

1 2

(3.20)

Công thức trên biểu diễn liên hệ bậc nhất giữa biến dạng thể
24


tích tơng đối v tổng các ứng suất pháp, gọi l định luật Húc
khối.

V. Ví dụ áp dụng
Ví dụ 3.1. ứng suất ton phần trên mặt cắt m-n đi qua một
điểm của một vật thể trong trạng thái ứng suất phẳng P = 3000
N/cm2 có phơng tạo thnh một góc 600 với mặt cắt. Trên mặt
vuông góc với mặt cắt ny chỉ có ứng suất tiếp (hình 3.9).
Tính ứng suất pháp v ứng suất tiếp trên mặt cắt tạo thnh
góc 450 với mặt cắt m-n. Tính

m
ứng suất pháp lớn nhất tại
v
p
điểm đó.
600

Giải

x

Ta thiết lập hệ trục xy trên
mặt cắt m-n v hệ trục uv
trên mặt cắt nghiêng nh
hình 3.9. Khi đó các thnh

phần ứng suất trên các mặt
của phân tố ở trạng thái ứng
suất phẳng:

450
y

u
n
Hình 3.9

x = p sin 600 = 3.0,86 = 2,6kN / cm 2
xy = pcos600 = 5.0,5 = 1,5kN / cm 2
y = 0
áp dụng công thức tính ứng suất trên mặt cắt nghiêng với = 1350, ta có:
+ y x y
u = x
+
cos 2 xy sin 2  2,8kN / cm2
2
2

uv =

x y
2

sin2 + xycos2 1,3 kN/cm2

ứng suất pháp lớn nhất tại điểm đó l:

25