Luận văn g khung và g cơ sở riesz trong không gian hilbert

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC s ư PH Ạ M HÀ NỘI 2

BẠCH HỒNG NHUNG

G-KHUNG VÀ G-CƠ SỞ RIESZ
TRONG KHÔNG GIAN HILBERT

L U Ậ N V Ă N T H Ạ C SĨ T O Á N H Ọ C

H À NỘ I, 2015


BỘ GIÁO D Ụ C VÀ ĐÀO TẠO
T R Ư Ờ N G Đ Ạ I HỌC s ư P H Ạ M H À N Ộ I 2

BẠCH HỒNG NHUNG

G-KHUNG VÀ G-CƠ SỞ RIESZ
TRONG KHÔNG GIAN HILBERT
C h u y ê n n g à n h : T o á n g iả i t í c h
M ã số : 60 46 01 02

L U Ậ N V Ă N T H Ạ C SĨ T O Á N H Ọ C

N g ư ờ i h ư ớ n g d ẫ n k h o a học:
TS. N G U Y Ễ N Q U Ỳ N H N G A

H À NỘ I, 2015

Lời cảm ơn
Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn chân th àn h tới cô giáo TS. Nguyễn
Quỳnh Nga đã tận tâm truyền thụ kiến thức và hướng dẫn tôi hoàn
thành luận văn này.

Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân th àn h tới Phòng Sau đại học,
các thầy cô giáo giảng dạy chuyên ngành Toán giải tích, trường Đại học
Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập tại trường.

Hà Nội, tháng 11 năm 2015
T ác giả

B ạch H ồng N hung


Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới
sự chỉ bảo và hướng dẫn của TS. Nguyễn Quỳnh Nga.

Trong quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận văn, tôi đã kế thừa
những kết quả của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.
Hà Nội, tháng 11 năm 2015
T ác giả

B ạch H ồng N hung


M ục lục

M ở đầu

1

1

K h u n g v à cơ sở R ie s z t r o n g k h ô n g g ia n H i l b e r t

4

1.1

Toán tử tuyến tính bị chặn trên không gian Hilbert . . .

4

1.2

Khung trong không gian H i l b e r t .....................................

8

2

1.3

Cơ sở Riesz trong không gian H i l b e r t ..............................

22

1.4

Các đặc trưng của khung và cơ sởR i e s z .............................

27

G - k h u n g v à g-cơ sở R ie sz t r o n g k h ô n g g ia n H i l b e r t
2.1

32

Khái niệm và các ví dụ về g-khung và g-cơ sở Riesz trong
không gian Hilbert

..............................................................

32

2.2

Toán tử g-khung và g-khung đối n g ẫ u ...........................

37

2.3

Các đặc trưng của g-khung , g-cơ sở Riesz và g-cơ sở trực
c h u ẩ n .........................................................................................

2.4

Độ dư của g - k h u n g ...............................................................

2.5

ứ ng dụng của g-khung
2.5.1

2.5.2

.........................................................

43
56
61

Phân giải nguyên tử của các toán tử tuyến tính bị
c h ặ n ...............................................................................

61

Xây dựng các khung qua các g - k h u n g ..............

62

K ế t lu ận
T ài liệu t h a m k h ả o

65
66

M ở đầu

1. Lí do chọn đề tài
Trong khi nghiên cứu các không gian vectơ, một trong những khái niệm
quan trọng nhất là khái niệm cơ sở, nhờ đó mỗi vectơ trong không gian
có thể viết như tổ hợp tuyến tính của các phần tử trong cơ sở, nhờ đó
mỗi vectơ trong không gian có thể viết như tổ hợp tuyến tính của các
phần tử trong cơ sở. Tuy nhiên, điều kiện để trở thành cơ sở là khá chặt:
không cho phép sự phụ thuộc tuyến tính giữa các phần tử trong cơ sở.
Điều này làm cho khó tìm hoặc thậm chí là không tìm được các cơ sở
thỏa mãn một số điều kiện bổ sung. Đây là lý do để chúng ta đi tìm
một công cụ khác linh hoạt hơn và khung chính là một công cụ như vậy.
Khung cho phép ta biểu diễn mỗi phần tử trong không gian như một tổ
hợp tuyến tính của các phần tử trong khung nhưng không đòi hỏi tính
độc lập tuyến tính giữa các phần tử khung.
Khung được giới thiệu vào năm 1952 bởi Duffin và Schaeffer [5] trong
khi nghiên cứu chuỗi Fourier không điều hòa. Cộng đồng toán học đã
không nhận ra tầm quan trọng của các khái niệm này, phải m ất gần
30 năm trước khi công trình tiếp theo xuất hiện. Vào năm 1980, Young
[10] đã viết cuốn sách có những kết quả cơ bản về khung, lại trong
ngữ cảnh chuỗi Fourier không điều hòa. Năm 1986, khi bài báo của
Daubechies,Grossmann và Meyer [3] ra đời, lý thuyết khung mới bắt
1


đầu được quan tâm rộng rãi. Khung có nhiều ứng dụng trong xử lý tín
hiệu, lý thuyết m ật mã, nén dữ liệu...
Gần đây có một số các khái niệm tổng quát hóa khái niệm khung được
đưa ra, ví dụ như các khung của các không gian con [1] (Frames of sub­

spaces), các giả khung [6] (Pseudo frames). Tất cả các khái niệm tổng
quát hóa này đều đã được chứng minh là hữu ích trong nhiều ứng dụng.
Các khái niệm này đều có thể xem như các trường hợp đặc biệt của gkhung và nhiều tính chất cơ bản của khung vẫn còn đúng cho g-khung.
Với mong muốn hiểu biết sâu sắc hơn về g-khung và g-cơ sở Riesz trong
không gian Hilbert trên, nhờ sự giúp đỡ, hướng dẫn tận tình của cô
giáo TS. Nguyễn Quỳnh Nga, tôi đã mạnh dạn chọn đề tài nghiên cứu
"G-khung và g-cơ sở Riesz trong không gian Hilbert " thực hiện luận
văn tốt nghiệp.

2. M ục đích nghiên cứu
Đề tài nhằm nghiên cứu, trình bày về các g-khung và g-cơ sở Riesz trong
không gian Hilbert.

3. N h iệm vụ nghiên cứu
Các kiến thức cơ sở cần thiết: Một số khái niệm và kết quả về khung
trong không gian Hilbert, cơ sở Riesz trong không gian Hilbert, toán tử
khung và khung đối ngẫu, mối liên hệ giữa khung và cơ sở Riesz, các
đặc trưng của khung và cơ sở Riesz. Khái niệm và các ví dụ về g-khung
và g-cơ sở Riesz trong không gian Hilbert, toán tử g-khung và g-khung
đối ngẫu, mối liên hệ giữa g-khung và g-cơ sở Riesz, số dư của g-khung,
ứng dụng của g-khung.

2


4. Đ ối t ư ợ n g và phạm vi nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu: Nghiên cứu về khung, cơ sở Riesz, g-khung và
g-cơ sở Riesz trong không gian Hilbert.
Phạm vi nghiên cứu: Các tài liệu, các bài báo trong và ngoài nước liên
quan đến g-khung và g-cơ sở Riesz trong không gian Hilbert.

5. Phương pháp nghiên cứu
Sử dụng các kiến thức của giải tích hàm để nghiên cứu vấn đề. Thu
thập tài liệu các bài báo về g-khung và g-cơ sở Riesz trong không gian
Hilbert. Tổng hợp, phân tích, hệ thống các khái niệm, tính chất.

6. Đ ón g góp mới
Luận văn trình bày một cách tổng quan về g-khung và g-cơ sở Riesz
trong không gian Hilbert.

3


Chương 1
K hung và cơ sở R iesz tron g không
gian H ilbert
Khung được giới thiệu vào năm 1952 bởi Duffin và Schaeffer [6] trong
khi nghiên cứu chuỗi Fourier không điều hòa. Cộng đồng toán học đã
không nhận ra tầm quan trọng của các khái niệm này, phải m ất gần 30
năm trước khi công trình tiếp theo xuất hiện. Vào năm 1980, Young [10]
đã viết cuốn sách có những kết quả cơ bản về khung, lại trong ngữ cảnh
chuỗi Fourier không điều hòa. Năm 1986, khi bài báo của Daubechies,
Grossmann và Meyer [4] ra đời, lý thuyết khung mới bắt đầu được quan
tâm rộng rãi. Khung có nhiều ứng dụng trong xử lý tín hiệu, lý thuyết
m ật mã, nén dữ liệu...

Trong chương này chúng ta sẽ trình bày các khái niệm cơ bản chuẩn
bị cho chương sau. Nội dung của chương này được trích dẫn từ các tài
liệu tham khảo [2]-[5], [9], [10].

1.1

Toán tử tu y ến tín h bị chặn trên không gian
H ilbert

Toán tử tuyến tính T từ không gian Hilbert !K vào không gian Hilbert
X là liên tục khi và chỉ khi nó bị chặn, nghĩa là, tồn tại hằng số c > 0

4


sa o ch o

ỊỊT:r|| < c \\x\\, với mọi X ẽ rK .

(1.1)

Ký hiệu L(JK:X ) là tập tấ t cả các toán tử tuyến tính bị chặn từ ÍK
vào %. Khi *K = % thì

c) được ký hiệu đơn giản là L(IK).

Chuẩn của T € L(!H, 3C) được định nghĩa là hằng số c nhỏ nhất thỏa
mãn (1.1). Nói một cách tương đương,
||T|| = sup {||T:r|| : X e IH, ||z|| < 1}
= sup {||Ta;|| : X € 3Í, ||a;|| = 1} .
M ệ n h đ ề 1.1.1. Giả sử %, L , % ỉà các không gian Hilbert. Nếu T ẽ
L ( !K,3C) thì tồn tại duy nhất một phần t ử T * € L ( K
“ , X ) sao cho
(T*x, y) = (x, T y ) , (x e X , y e 'K)

Hơn nữa,
i) (a S + b T Ỵ = ã S * + bT*.
ii) (R S Ỵ = S*R*.
Ui) (T*Ỵ = T.
iv) r = I.
v) Nếu T khả nghịch thì T* cũng khả nghịch và (T -1 )* = (T*) 1,
trong đó S , T G L (J i, %), R & L ( x , £ ) và a,b G c .
Toán tử T* ở Mệnh đề 1.1.1 được gọi là toán tử liên hợp của toán tử
T.
M ệ n h đ ề 1.1.2. Giả sử T €

và s € L ( X , L ) . Khi đó

i) ||Ta;|| < IIX1II ||a:|| ,Va: E “
K.

ii) IISTII in) ||T|| = ||T*||.
iv) ||TT*|| = ||T ||2.

5


Cho T G L("K). T được gọi là toán tử tự liên hợp nếu T* = T, là
unita nếu T * T = T T * = I. T được gọi là chuẩn tắc nếu T * T = TT*.
T được gọi là dương (ký

hiệu

T > 0) nếu (T x , x ) > 0 với mọi

X

£ IK.

T , K G L ( J í ) , T > К nếu T — К > 0. T được gọi là xác định dương
nếu tồn tại M > 0 sao cho ( T x , x ) > M ||æ ||2, Væ € 0Ï.
Chú ý rằng với mỗi T
>0với mọi

ж G ÍK. Do đó T * T là dương.
M ệ n h đ ề 1.1.3. Giả sử T G L(íK). Khi đó
г) T là tự liên hợp nếu và chỉ nếu (T x , x ) là thực với mọi ж ẽ J í.
Dặc biệt, toán tử dương là tự liên hợp.
и) T là unita nếu và chỉ nếu T là ánh xạ bảo toàn chuẩn (hay tương
đương là bảo toàn tích vô hướng) từ !K lên !K.
Ui) T là chuẩn tắc nếu và chỉ nếu ||Тж|| = ||T*a;|| với mọi X E

IK.

M ệ n h đ ề 1.1.4. Giả sử T € L(!H). Khi đó các điều sau đây là tương
đương
г) T là dương.
il) T = s 2 trong đó s là toán tử dương,
iii) T = v * v trong đó V £
Toán tử s trong ii), là duy nhất và được gọi là căn bậc hai của T,
ký hiệu là Т 2 .
M ệ n h đ ề 1.1.5. Nếu u G L ( ĩ í ) là toán tử tự ỉiên hợp thì ||t/|| =
sup \ { U f , f ) \ .

11/11=1
Chúng ta thường mong muốn tìm một dạng nghịch đảo cho một toán
tử mà không phải là khả nghịch theo nghĩa hẹp. Bổ đề dưới đây đưa ra
một điều kiện để đảm bảo sự tồn tại của một nghịch đảo phải.


B ổ đ ề 1.1.1. Cho Ĩ K ,X là các không gian Hilbert, và giả sử rằng и :
% —¥ 'K là một toán tử bị chặn với miền giá trị đóng R ự . Khi đó tồn
tại một toán tử bị chặn w : ÍK —> % mà

uu'f = f, V/ 6 Ru.
C h ứ n g m in h . Xét hạn chế của и trên phần bù trực giao của hạt nhân
của u , tức là
Ũ

:=

U ịN±

:

N ỳ

'K .

Rõ ràng u là tuyến tính và bị chặn, и cũng là đơn ánh: nếu и X — 0,
theo đó ж G N ụ П N u = {0}. Bây giờ ta chứng minh rằng miền giá trị
của u bằng với miền giá trị của u . Cho y E R u , tồn tại X G % sao cho
U x = y. Bởi X = Xi + X2, trong đó Xi ẽ N ụ , X2 € Nị 7 , ta có được
Ũ Xị = U x i = u ( x i + x 2) = U x = y.

Mà u có một nghịch đảo bị chặn
(u )
~

-

Thác triển (u )

: Ru

Nụ.

1
bằng cách cho bằng 0 trên phần bù trực giao của

Rự ta có được một toán tử bị chặn w : !K —> % mà u u ^ f — f với mọi
/

ẽ Ru-

□

Toán tử w được xây dựng trong chứng minh Bổ đề 1.1.1 được gọi là
giả nghịch đảo của и . Trong các tài liệu ta thường thấy giả nghịch đảo
của một toán tử и với miền giá trị đóng R ụ được định nghĩa là toán tử
duy nhất thỏa mãn

Nơt = Rịị, R vì = N ị và u u ' f = f, V/ 6 R u.
định nghĩa này tương đương với việc xây dựng trên. Bổ đề sau cho ta
một số tính chất của W và mối quan hệ của nó với и .

7


B ổ đ ề 1.1.2. Cho

u : X —>

ỉà một toán tử bị chặn với miền giá trị

đóng. Khi đó
i) Phép chiếu trực giao của “
K lên R ụ được cho bởi u w .
ii) Phép chiếu trực giao của % lên Rựị được cho bởi u ^ u .
Ui) u* có miền giá trị đóng, và ( u * y = ( W y .
iv) Trên R ụ , toán tử w

được cho rõ ràng bởi

Đ ị n h lý 1.1.1. Cho V : X —> H là toán tử tuyến tính toàn ánh, bị
chặn. Với mỗi y £ !K, phương trình V x — y có một nghiệm duy nhất có
chuẩn cực tiểu, cụ thể là X = v ^ y .
C h ứ n g m in h . Do V V ^ x = X với mọi X thuộc miền giá trị của V nên
X = V^y là nghiệm của phương trình V x = y. Tất cả các nghiệm của
phương trình V x = y phải có dạng X = v ^ y + z trong đó

2

thuộc nhân

K e r V của V . Do v ^ y £ (K e r V )"L nên

Từ đó X có chuẩn cực tiểu khi và chỉ khi z — 0.

□

1.2 K hung trong không gian H ilbert
Trong nghiên cứu không gian vectơ, một trong những khái niệm quan
trọng nhất là cơ sở, cho phép biểu diễn mỗi phần tử ở trong không gian
như một tổ hợp tuyến tính của các thành phần trong cơ sở. Tuy nhiên
điều kiện là cơ sở rất hạn chế - không cho phép sự phụ thuộc tuyến tính
giữa các thành phần và đôi khi chúng ta yêu cầu các thành phần trực
giao tương ứng với một tích vô hướng. Điều này làm cho khó tìm hoặc
thậm chí không thể tìm thấy cơ sở đáp ứng điều kiện bổ sung và đây là
lý do người ta muốn tìm một công cụ linh hoạt hơn.


Khung là công cụ như vậy. Một khung cho một không gian vectơ được
trang bị một tích vô hướng cũng cho phép mỗi phần tử trong không gian
được viết như là một tổ hợp tuyến tính của các phần tử trong khung,
nhưng tính độc lập tuyến tính giữa các phần tử của khung là không cần
thiết.
Mục này trình bày một số khái niệm và kết quả cơ bản trong lý thuyết
khung cần đến cho chương 2. Các kết quả ở mục này có thể tham khảo
ở các tài liệu [2]-[5], [10].
Cho

là một không gian Hilbert khả ly, với tích vô hướng (•, •) tuyến

tính theo thành phần thứ nhất, tuyến tính liên hợp theo thành phần

thứ hai.

Đ ị n h n g h ĩ a 1.2.1. Dãy { f i } ĩ^ =1 trong

được gọi là dẫy Bessel nếu

00

35 > 0 : x ; K/./i)|2 < Bll/ll2 ,v / e JC.

(1 .2 )

1=1

B được gọi là cận Bessel của
Một dẫy Bessel

.

là một khung nếu
00

3A > 0 : A ll/ll2 <

| ( / , / i ) | 2,V / e X .

(1.3)

i=1
Vậy ta có định nghĩa khung như sau.

Đ ị n h n g h ĩ a 1.2.2. Một dãy

trong

là một khung nếu tồn tại

hai hằng S0 O < A < B < 0 0 sao cho
00

All/ll2i=1

(1.4)

Các số A, B được gọi là các cận của khung. Chúng không là duy nhất.
Cận khung dưới tối ưu là superemum trên tấ t cả các cận khung dưới và


cận khung trên tối ưu là infimum trên tấ t cả các cận khung trên. Chú ý
rằng, các cận khung tối ưu là các cận khung thực sự.
Khung

được gọi là chặt nếu A = B và được gọi là khung Parseval

nếu A = B = 1.
M ệ n h đ ề 1.2.1. Cho một dãy

trong không gian Hilbert hữu hạn

chiều V. Khi đó { f j } m=1 là một khung cho span

•

C h ứ n g m in h . Ta có thể giả sử rằng không phải tấ t cả các /j đều
bằng không. Như vậy ta thấy, điều kiện khung trên là thỏa mãn với
B = ^2, ||/ j | |2- Bây giờ lấy w := span { f j } m=1 và xem xét ánh xạ liên
3=1

J

tục
m

ỉ> : w ^ Jỉ, ỉ (/) : = Ẽ I ( / , / j > | S3=

1

M ặt cầu đơn vị trong w là compact, vì vậy ta có thể tìm g G w với
llỡll = 1 sao cho
m
I m
^4 := E \ ( 9 J i ) \ 2 = inf E \ ( f j j } \ 2 : / G w ,
j=i
U'=1
Rõ ràng là A > 0. Bây giờ ta lấy / G w , /
m
m / f
\
Ề \ ( f , f i ) \ 2 = Ễ \|Ị 7 Ị Ĩ ’A /
3=1

j

7^

I
ll/ll

=

1

.

J

0, ta có

ll/ll2 > A ll/ll2-

=1

Mệnh đề được chứng minh.

□

H ệ q u ả 1.2.1. Một họ các phần tử { f j } m=1 trong không gian Hilbert
hữu hạn chiều V là một khung của V khi và chỉ khi s p a n { f j } m=1 = V.
Hệ quả trên chỉ ra một khung có thể có số phần tử nhiều hơn số phần
tử cần thiết để là cơ sở. Đặc biệt, nếu { f j } k=1 là một khung của V và

Ì 9 j } m=i là một tập hữu hạn tùy ý các véc tơ trong V thì { f j } k=1U { g j} m=1
cũng là một khung của V .
10


T h ật vậy, với X = (xi, X2Ỵ ẽ M2 bất kì, ta có
2

3
. |2
,
(V 3_
1 )
E \{х, е,)\ = X2Ầ + ^— Xl + ^ 2

=

ị

/ V3
1
+ ^ r Lx 1 - =-x 2

[Ж1 2 + ж22]

V í d ụ 1.2.2. Giả sử {efc}^=1 là một cơ sở trực chuẩn của ‘K .
(i) {ek}™=1 là khung Parseval.
(ii) Bằng cách lặp mỗi phần tử trong dãy { e f c hai lần ta thu được
ш

г =1 =

i e

b

ei, e2, e2, ... }

{/jfc}£°=1

khi đó

là

khung chặt với cận

khung А = 2.
00

00

T h ật vậy, ta có £ |( / , fk) |2 = 2 X) K/, efe) |2 = 2 | | / | | 2, V / € 5Í.
fc=i
fc=i
Nếu chỉ ei được lặp lại ta thu được {fk}kLi = {eij ei) ß2 ) e3, ... } khi
đó {fk}kLi là khung với cận Ả = 1, В = 2. T h ậ t vậy, ta có
00

00

E K / , Л ) | 2 = | ( / , e i) |2 + E K / , ek)\2
k=1
fc=l
00

00

<

\{f, ek}\2+ X) |( / , е*)|2
00

= 2£

00

M ặt khác |( / , e i) |2 + £

K/, e*>|2

00

|( / , efc) |2 > £

|( / , efc) |2 = |Ị / ||2.


Do đó

00

ll/ll2 < £ к / , л>12 < 2 | | / | | 2, V/ g 3t.
k=1
Vì vậy {fk}kLi là một khung với một cận khung dưới là 1 và một cận
khung trên là 2.
(iii) Giả sử { / , } - , := { * , -*=e2,

^ e 3, -*=e3, - ^ e 3, ...},

nghĩa là {fk}kLị là dãy mà mỗi véc tơ —^=e*; đươc lăp lai к lần. Khi
V

đó

к

với mỗi / € !K có
00

Ị

00

X ! K / ’ / * ) I2 =
k ( /’
k=1
fc=l

1

\

/ r efc)

Vì thế {/jfc} là một khung chặt của !K với cận khung А = 1.
V í d ụ 1.2.3. Cho К = L 2(T) trong đó T là đường tròn đơn vị với độ
đo Lebesgue chuẩn hóa. Khi đó {e ins : n G Z } là một cơ sở trực chuẩn
tiêu chuẩn cho К = L 2(T). Nếu E с T là tập đo được bất kỳ thì
{eins|E '■n & z } là một khung Parseval cho L 2(E).
T h ật vậy, trước tiên ta chứng minh Bổ đề sau.
B ổ đ ề 1.2.1. Cho ÍK là không gian Hilbert và % ỉà không gian con đóng
của !K. Gọi p là phép chiếu trực giao từ IK lên X và {ej}ieJ là một cơ
sở trực chuẩn của 3Í. Khi đó { P e i}-eJ là một khung Parseval của %.
C h ứ n g m in h . Gọi / là một phần tử thuộc % bất kỳ. Khi đó P f = / .
Ta có

E lơ . Pti) I2= E I (p f> ei)i 2= E \ư, ei)i 2= II/II2i€l

i€l

i€l

Do đó { P ej} ieJ là một khung Parseval của DC.
Bây giờ ta sẽ chứng minh {е*п®|я}

z là một khung Parseval cho L 2(E).

O/ 4 „
4í /(£ ) nếu t ẽ E
Cho / G L (E). Đặt f ( t ) = { w

_
I 0 nếu í 12

□


Khi đó f ( t ) G L 2(T). Do đó bằng cách đồng nhất / và / ta có thể coi
L 2(E) là một không gian con đóng của L 2(T). Gọi p là phép chiếu trực
giao từ L 2(T) lên L 2{E). Khi đó P { é ns) = eins\E . Do {e ins}
sở trực chuẩn của L 2( T ) nên, theo Bổ đề 1.2.1 {einsỊ#}

z là cơ

z là khung

Parseval cho L 2( E ).
Đ ị n h n g h ĩ a 1.2.3. Dẫy {fky'kLi được gọi là đầy đủ trong Jí nếu
span{fk}™=1 = J£.
B ổ đ ề 1.2.2. Nếu {fk}kLi là một khung của !K thì {fk}k Lị là một dãy
đầy đủ trong !K.
C h ứ n g m in h . Ta sẽ chứng minh bằng phản chứng. Giả sử g

7^

0

thuộc ÍK sao cho g_Lspan {fk}kLi- Khi đó (g,fk) = 0, VA;. Khi đó
00

XI \Ì9ìfk) I = 0- M ặt khác, do { f k } là một khung nên tồn tại 0 <
k=1
Ả < + oo sao cho A \\ f \\ 2 <

\ ( f , f k ) \ 2, V / € 'K. Cho f = g ta được

fc=1

A\\g\\2 < X) Kỡ5 /fc)|2 = 0. Do 3 ^ 0 nên A = 0. Mâu thuẫn trên chứng
k=1 '
tỏ span{/fc}“=1 = "K.
□
Đ ị n h lý 1.2.1. Giả sử {fk}k Lị là một dẫy trong Jí. Khi đó {fk}kLị là
một dãy Bessel với cận Bessel B khi và chỉ khi
00

T '■{cfc>r=i

(l-5)
k=1

là toán tử hoàn toàn xác định, tuyến tính, bị chặn từ l2(N) vào

và

im i < V Ẽ .
C h ứ n g m in h . Trước hết, giả thiết {fk}kLi là dãy Bessel với cận Bessel
B . Giả sử {ck} Z i £ /2(N). Ta phải chỉ ra T j c f c } ^ là hoàn toàn xác

13

00

định, tức là

Ckfk là hội tụ. Xét m , n € N , n > m. Khi đó
k=1

n

171

ckf k

Cfc/fc

k=1

Ề

fc=m+l

k=1

sup
llsll —1
<

Cfc/fc

^
Ckfk ĩ 9 ị
'fc=7n+ l
/

sup
£
|Cfc(/k, 0)1
||p|| = l fc=m+ l
1/2

<

(

t

\fc=m+ l

( Ề
\(fk, s>|2)
/ llflll = l =
\fc=m
+ l +1
'
1 'fe=m

| c * | 2) 1/2 S l i p

1/2

< v /ẽ í Ễ
'fc=m+ l

k i 2)

'

r n
ì 00
Do {Cfc}^ € /2(N), ta biết rằng ị
|cfc|2 r
là dãy Cauchy trong c .
u = 1 ■ J n=i
r n
ì 00
Tính toán trên chỉ ra rằng \
ckfk f là một
dãy Cauchy trong !K
1
J n=i
và do đó hội tụ.
Vậy T{ck}™=1 là hoàn toàn xác định. Rõ ràng T là tuyến tính. Từ

l|T{cfc} ~ i l l = sup \(T { c , } ^ , g)\ :
llsll = l
tính toán tương tự như trên chỉ ra T bị chặn và ||T|| < V B.
Để chứng minh điều ngược lại, giả sử T : l2 (N) —> H được xác định bởi
(1.5) là hoàn toàn xác định và ||T|| < y /Ẽ . Gọi T* : H —> l2 (N) là toán

tử liên hợp của T. Gọi {ej}°^1 là

cơ sở trực chuẩn chính tắc của

l2 (N),

tức là hệ gồm các véctơ ej, bằng 1 ở vị trí thứ j , bằng 0 ở các vị trí còn
lại. Từ (1.5) ta suy ra T (eỵ) = /fc. Khi đó
( T * f , e k) = ( f , T e k) = ( f J k) .
Từ đó
T 7 = { < /,/* ) KLi
14


và
00

E \ ư , h )\2= IIT ‘ / II 2< i n i 2n /ii 2= r f n / f < B\\fị\2.
k=1
Do đó {fk}k Lị là dãy Bessel với cận Bessel B .

□
00

H ệ q u ả 1.2.2. Nếu {fk}kLị là một dãy trong

và Ỵ2 ckfk hội tụ với
k=1
mọi {Cfc}^ G Z2(N) thì {fk}kLi là một dãy Bessel.
00

Đ ị n h n g h ĩ a 1.2.4. Chuỗi

9k trong không gian Banach X được gọi
k=1
00

là hội tụ không điều kiện nếu X) 9ơ(k) hội ty tới cùng một phần tử với
k=1
mọi hoán vị ơ.
00

H ệ q u ả 1.2.3. Nếu {fk}kLị là một dãy Bessel trong IK, thì X) ckfk hội
k=1
tụ không điều kiện với mọi {Cfc}^!=1 G /2(N).
Do một khung {fk}k Lị là một dãy Bessel nên toán tử
00

T : ;2(N) -> J í, T {ct }“ ! = J 2 ct f„
k=1

bị chặn bởi Định lý 1.3.1. T được gọi là toán tử tổng hợp.
Gọi T* : “
H —ì l2(N) là toán tử liên hợp của T và

là cơ sở trực

chuẩn chính tắc của l2 (N).
Theo định nghĩa của toán tử liên hợp thì với mọi j ta có
{ T ' f , eị) =

Từ đó T* f = { ( / ,

T* được gọi là toán tử phân tích. Hợp thành

của T và T* được gọi là toán tử khung
00

s : Ji -> Jí, Sf = TT*f =

{/, /*)/*.
k=1

15


M ệ n h đ ề 1.2.2. Giả sử {fk}kLi là một khung với toán tử khung s và
các cận khung A : B . Khi đó ta có các khẳng định sau.
(i) s tuyến tính bị chặn, khả nghịch, tự liên hợp và là toán tử dương;
(ii) {51 1fk}™_1 là khung với các cận B 1, A 1, nếu A, B là các cận tối
ưu của {fk}kLi thì các cận B ~ l , A ~ x là tối ưu của { s -1

Toán tử

khung của { s -1 fk}™=1 là
C h ứ n g m in h , (i) s bị chặn như một sự hợp thành của hai toán tử bị
chặn. Ta có:
||S|| = ||TT*|| < ||T|| . ||T*|| = ||T ||2 < B .
Do s* = ( T T * Ỵ = TT* = s , toán tử s là tự liên hợp. Bất đẳng thức

Mf \ \ 2 < E \(f,fk}\2 < B\\f\\2
có thể viết thông qua toán tử s là
^ ll/n 2 < ( S f J ) < B \ \ f \ \ \ V f & X .
Từ đó A I < s < B I , do đó s dương.
Ngoài ra, 0 < I — B ỵs < --------- 1 và vậy thì
/ -

B - ‘ S || =

sup

|< (/ -

B ^ S )

/ , / > ! <

11/11=1

<

1.

B

2

Nghĩa là, { s 1fk}™=1 là một dãy Bessel. Từ đó kéo theo toán tử khung
của { s - v a r - i h ° à n toàn xác định. Theo định nghĩa nó tác động lên

16


Ễ {LS-1h i s - 1h = S - ' Ễ
k=l

k=1

= s~ls s ~ lf = s - 7.
Điều này chỉ ra rằng toán tử khung của

bằng (S'- 1 . Toán

S_1 giao hoán với cả s và I . Vì thế ta có thể nhân bất đẳng thức
A I < s < B I với s ~ \ điều này cho ta:

tử

B~lI <

s~l < A ~ l I.

Tức là

В-Ч1Л12 < {s-' f,f) < A-'\\f\\2,Vf € И.
Ta có
00

n

B - 1ll/ll2 < Ẽ K /.S " 1/ * ) ! < A - ' \ \ f \ \ 2, V f e Я .
k=1

Vì vậy, { 5 - 7 Л Г - 1 ^

khung với các cận khung B - 1 , A ~ l .

Để chứng minh tính tối ưu của các cận (trong trường hợp А, в là các
cận tối ưu của {fk}kLị), giả sử Ả là cận dưới tối ưu của {fk}kLi và giả
thiết rằng cận trên tối ưu của { s -1 f k } ^ =1 là с <

JA
Bằng cách áp dụng điều ta vừa chứng minh cho khung {toán tử khung (S'-1 , ta thu được {fk}kLị = {('S1-1)
1

V

_

dưới là — > A, nhưng điêu này là mâu thuân.
О
Vì vậy, { 5 _1/Л Г= ;1 có cận trên tối ưu là

có cận
k=1

Lập luận tương tự cho cận

dưới tối ưu.

□

Khung {(S'-1 /*;} được gọi là khung đối ngẫu của {/*;}.
Khai triển khung dưới đây là một trong những kết quả về khung quan
trọng nhất. Nó chỉ ra rằng nếu { f k } là một khung của !K thì mọi phần
tử trong JÏ có thể biểu diễn như một tổ hợp tuyến tính vô hạn của các
phần tử khung. Do đó ta có thể xem khung như một dạng cơ sở suy
rộng.
17


Đ ị n h lý 1.2.2. Giả sử {fk}kLi là một khung với toán tử khung là s .
Khi đó
00

(1.6)

/ = £ < / > s - 7 * > /ь V/ e 3t,
k=1
chuỗi hội tụ không điều kiện với mọi / G ÍM.

C h ứ n g m in h . Giả sử / G ÍK. Sử dụng các tính chất của toán tử khung
trong Mệnh đề 1.2.2 ta có
00

00

( s - ' f , /»>/, = x ; ơ ,

/ = s s - 1/ =

i=l

V/ 6 Jí.

i=l

Do {fk}kLi là một dãy Bessel và { ( / , S _1

€ /2(N), theo hệ quả

1.2.3 chuỗi hội tụ không điều kiện.
B ổ đ ề 1.2.3.

□

Giả sử { f k } ^ =i là một khung của JÏ và f ẽ ĨK. Nếu f có
00

biểu diễn f = Ỵ2 ckfk với các hệ số {Cjt}^°=1 nào đó thì
k=1
00

00

00

Ẽ Ы 2 = Ẽ |( / , s - 7 * ) r + Ẽ h - ị f , s - lh)\2.

fc=1

fc=1

(1.7)

k=1

C h ứ n g m in h . Ta có thể viết
c* =
00

< * - ơ , S '7 * >

+

< /,S '7 * > -

00

Do £ ckf k =
{ ỉ , s ~ l ỉ k ) h nên
k=1
k=1
00

J 2 ^ - ( ỉ ^ - 1ũ ) ) h = 0.

(1.8)

k=1
Gọi T là toán tử tổng hợp tương ứng với dãy {/fc}^!- Khi đó (1.8)
tương đương với
T{{ct - ( ỉ , S - ' h ) } ~ J = 0
18


hay {cjfc — ( f , s 1fk)}™=1 €: N (T) trong đó N (T) ký hiệu là hạt nhân
_

-

Г71

của i .

M ặt khác

{(/,5-V*)}r=i = {(S'-1/ , Л )}“ 1 = г* ( s - 1/) e Д ( П ,
trong đó i? (T*) ký hiệu là miền giá trị của T * .
Do R Ợ * ) = N { T ) L nên { ck - ( / ,

vuôns góc với { { f , s ~ l ỉ k ) }

Từ đó
Ы 2 = \ { f , S - 1f k) \ 2 + \ck - { f , S - 1f k)\ 2.
Từ đó ta suy ra (1.7)

□

Như một hệ quả của Bổ đề 1.2.3 ta thu được một công thức cho toán
tử giả nghịch đảo của toán tử tổng hợp.
Đ ị n h lý 1.2.3. Giả sử { f k } k l i là một khung với toán tử tổng hợp T và
toán tử khung

s. Khi đó

f = { ( / , S _1 fk)}™=1 .

M ệ n h đ ề 1.2.3. Các cận tối ưu của khung {fk}kL 1 là A , B được cho
bởi

А = ||s-1||-1 = ||Г*|Г2 ,В = ||S|| = | | ĩ f .

C h ứ n g m in h . Theo định nghĩa ta có
В = sup Ễ \ ( f , f k ) I2 = sup \ ( S f , f ) \ = ||S||
11/11=1 *=1
11/11=1
Sử dụng kết quả này cho khung đối ngẫu { s -1 fk}™=1 (có toán tử khung
1
1
II _ II
s 1 và cân trên tối ưu - - theo Mênh đề 1.2.2 ) ta thu đươc “T = (S' 1 .

A

_

__

и ___ А

Để chứng minh phần còn lại, từ (S' = TT* kéo theo \\s\\ = ||TT*|| =
||T ||2. Cuối cùng theo Định lý 1.2.3 và Mệnh đề

1.2.2,

1


Đ ị n h lý 1.2.4. Việc loại bỏ véc tơ f j ra khỏi một khung {fk}kLị của !H
sẽ tạo thành một khung khác hoặc một dẫy không đầy đủ. Cụ thể hơn, nếu
( f j , /S'-1 / , ) Ỷ 1 thì { f k } k ^ j là một khung của “
K , nếu ( f j , s ~ xf j ) =
1 thì

là một dãy không đầy đủ.

C h ứ n g m in h . Chọn bất kỳ j G N . Bởi sự phân tích khung,
00

h

= Ẽ k=1

Đ ặt ak = (/j,,!?-1 /* ) vì thế f j =

akf k. Rõ ràng, ta cũng có f j =
k=l

00

X) õj kfk vì thế BỔ đề 1.2.3 mang lại quan hệ sau giữa ỗj,k và aỵ.

кфз

00

1=

00

k=1

00

|ôjfc| + s lữfc — õjĩk\
k=1
k=1
= |ữj| +

\ak\ + \aj ~ 1| +

Ta xét từng trường hợp ữj = 1 và

công thức trên £

k^j

\ak\ ■

7^ 1 . Đ ầu tiên, cho dj = 1 , từ

k l 2 = 0 , vì vậy m à

k¥=j
at = { S - 1fj , h ) = 0 , V k ĩi j .
T ừ a,j = (

)

= 1, ta biết s ~ xf j Ф 0. Vì vậy, ta tìm được phần

tử khác không 5'~1f j mà trực giao với { ì k ] ỵ ^ p vì thế { f k } k^j là không
đầy đủ.
Bây giờ cho dj Ф 1, thì f j = — -—

1-

đẳng thức Cauchy-Schwarz cho ta

20

кф]

akf k. Với bất kỳ / e "К, bất