Luận văn g khung và g cơ sở riesz trong không gian hilbert
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (587.89 KB, 67 trang )
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2
BẠCH HỒNG NHUNG
G-KHUNG VÀ G-CƠ SỞ RIESZ
TRONG KHÔNG GIAN HILBERT
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
HÀ NỘI, 2015
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2
BẠCH HỒNG NHUNG
G-KHUNG VÀ G-CƠ SỞ RIESZ
TRONG KHÔNG GIAN HILBERT
Chuyên ngành : Toán giải tích Mã số : 60 46 01 02
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học:
TS. NGUYỄN QUỲNH NGA
HÀ NỘI, 2015
Lời cảm ơn
Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới cô giáo TS. Nguyễn Quỳnh
Nga đã tận tâm truyền thụ kiến thức và hướng dẫn tôi hoàn thành luận văn
này.
Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Phòng Sau đại học, các
thầy cô giáo giảng dạy chuyên ngành Toán giải tích, trường Đại học Sư phạm
Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập tại trường.
Hà Nội, tháng 11 năm 2015 Tác giả
Bạch Hồng Nhung
Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự chỉ
bảo và hướng dẫn của TS. Nguyễn Quỳnh Nga.
Trong quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận văn, tôi đã kế thừa những
kết quả của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.
Hà Nội, tháng 11 năm 2015 Tác giả
Bạch Hồng Nhung
Mục lục
Mở đầu
1
1
4
2
Khung và cơ sở Riesz trong không gian Hilbert
1.1
Toán tử tuyến tính bị chặn trên không gian Hilbert
...
1.2
Khung trong không gian Hilbert ..................................................
4
8
1.3
Cơ sở Riesz trong không gian Hilbert ........................................
22
1.4
Các đặc trưng của khung và cơ sở Riesz ...................................
27
G-khung và g-cơ sở Riesz trong không gian Hilbert
2.1
32
Khái niệm và các ví dụ về g-khung và g-cơ sở Riesz trong
không gian Hilbert ..........................................................................
32
2.2
Toán tử g-khung và g-khung đối ngẫu.......................................
37
2.3
Các đặc trưng của g-khung , g-cơ sở Riesz và g-cơ sở
trực
chuẩn...................................................................................................
43
2.4
Độ dư của g-khung ........................................................................
56
2.5
ứng dụng của g-khung ..................................................................
61
2.5.1 Phân giải nguyên tử của các toán tử tuyến tính bị
chặn..........................................................................................
2.5.2 Xây dựng các khung qua các g-khung ............................
Kết luận
Tài liệu tham khảo
61
62
65
66
Mở đầu
1. Lí do chọn đề tài
Trong khi nghiên cứu các không gian vectơ, một trong những khái niệm quan
trọng nhất là khái niệm cơ sở, nhờ đó mỗi vectơ trong không gian có thể viết
như tổ hợp tuyến tính của các phần tử trong cơ sở, nhờ đó mỗi vectơ trong
không gian có thể viết như tổ hợp tuyến tính của các phần tử trong cơ sở.
Tuy nhiên, điều kiện để trở thành cơ sở là khá chặt: không cho phép sự phụ
thuộc tuyến tính giữa các phần tử trong cơ sở. Điều này làm cho khó tìm
hoặc thậm chí là không tìm được các cơ sở thỏa mãn một số điều kiện bổ
sung. Đây là lý do để chúng ta đi tìm một công cụ khác linh hoạt hơn và
khung chính là một công cụ như vậy. Khung cho phép ta biểu diễn mỗi phần
tử trong không gian như một tổ hợp tuyến tính của các phần tử trong khung
nhưng không đòi hỏi tính độc lập tuyến tính giữa các phần tử khung.
Khung được giới thiệu vào năm 1952 bởi Duffin và Schaeffer [5] trong khi
nghiên cứu chuỗi Fourier không điều hòa. Cộng đồng toán học đã không
nhận ra tầm quan trọng của các khái niệm này, phải mất gần 30 năm trước
khi công trình tiếp theo xuất hiện. Vào năm 1980, Young
[10] đã viết cuốn sách có những kết quả cơ bản về khung, lại trong ngữ cảnh
chuỗi
Fourier
không
điều
hòa.
Năm
1986,
khi
bài
báo
Daubechies,Grossmann và Meyer [3] ra đời, lý thuyết khung mới bắt
1
của
đầu được quan tâm rộng rãi. Khung có nhiều ứng dụng trong xử lý tín hiệu,
lý thuyết mật mã, nén dữ liệu...
Gần đây có một số các khái niệm tổng quát hóa khái niệm khung được đưa
ra, ví dụ như các khung của các không gian con [1] (Frames of subspaces),
các giả khung [6] (Pseudo frames). Tất cả các khái niệm tổng quát hóa này
đều đã được chứng minh là hữu ích trong nhiều ứng dụng. Các khái niệm này
đều có thể xem như các trường hợp đặc biệt của g- khung và nhiều tính chất
cơ bản của khung vẫn còn đúng cho g-khung. Với mong muốn hiểu biết sâu
sắc hơn về g-khung và g-cơ sở Riesz trong không gian Hilbert trên, nhờ sự
giúp đỡ, hướng dẫn tận tình của cô giáo TS. Nguyễn Quỳnh Nga, tôi đã mạnh
dạn chọn đề tài nghiên cứu "G-khung và g-cơ sở Riesz trong không gian
Hilbert " thực hiện luận văn tốt nghiệp.
2. Mục đích nghiên cứu
Đề tài nhằm nghiên cứu, trình bày về các g-khung và g-cơ sở Riesz trong
không gian Hilbert.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Các kiến thức cơ sở cần thiết: Một số khái niệm và kết quả về khung trong
không gian Hilbert, cơ sở Riesz trong không gian Hilbert, toán tử khung và
khung đối ngẫu, mối liên hệ giữa khung và cơ sở Riesz, các đặc trưng của
khung và cơ sở Riesz. Khái niệm và các ví dụ về g-khung và g-cơ sở Riesz
trong không gian Hilbert, toán tử g-khung và g-khung đối ngẫu, mối liên hệ
giữa g-khung và g-cơ sở Riesz, số dư của g-khung, ứng dụng của g-khung.
2
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu: Nghiên cứu về khung, cơ sở Riesz, g-khung và g-cơ
sở Riesz trong không gian Hilbert.
Phạm vi nghiên cứu: Các tài liệu, các bài báo trong và ngoài nước liên quan
đến g-khung và g-cơ sở Riesz trong không gian Hilbert.
5. Phương pháp nghiên cứu
Sử dụng các kiến thức của giải tích hàm để nghiên cứu vấn đề. Thu thập tài
liệu các bài báo về g-khung và g-cơ sở Riesz trong không gian Hilbert. Tổng
hợp, phân tích, hệ thống các khái niệm, tính chất.
6. Đóng góp mới
Luận văn trình bày một cách tổng quan về g-khung và g-cơ sở Riesz trong
không gian Hilbert.
3
Chương 1 Khung và cơ sở Riesz trong
không gian Hilbert
Khung được giới thiệu vào năm 1952 bởi Duffin và Schaeffer [6] trong khi
nghiên cứu chuỗi Fourier không điều hòa. Cộng đồng toán học đã không
nhận ra tầm quan trọng của các khái niệm này, phải mất gần 30 năm trước
khi công trình tiếp theo xuất hiện. Vào năm 1980, Young [10] đã viết cuốn
sách có những kết quả cơ bản về khung, lại trong ngữ cảnh chuỗi Fourier
không điều hòa. Năm 1986, khi bài báo của Daubechies, Grossmann và
Meyer [4] ra đời, lý thuyết khung mới bắt đầu được quan tâm rộng rãi.
Khung có nhiều ứng dụng trong xử lý tín hiệu, lý thuyết mật mã, nén dữ
liệu...
Trong chương này chúng ta sẽ trình bày các khái niệm cơ bản chuẩn bị
cho chương sau. Nội dung của chương này được trích dẫn từ các tài liệu tham
khảo [2]-[5], [9], [10].
1.1 Toán tử tuyến tính bị chặn trên không gian
Hilbert
Toán tử tuyến tính T từ không gian Hilbert !K vào không gian Hilbert X là
liên tục khi và chỉ khi nó bị chặn, nghĩa là, tồn tại hằng số c > 0
4
sao cho
ỊỊT:r|| < c \\x\\, với mọi X ẽ r K.
(1.1)
Ký hiệu L(JK : X) là tập tất cả các toán tử tuyến tính bị chặn từ ÍK vào %.
Khi *K = % thì
c) được ký hiệu đơn giản là L(IK).
Chuẩn của T € L(!H, 3C) được định nghĩa là hằng số c nhỏ nhất thỏa mãn
(1.1). Nói một cách tương đương,
||T|| = sup {||T:r|| : X e IH, ||z|| < 1}
= sup {||Ta;|| : X € 3Í, ||a;|| = 1} .
Mệnh đề 1.1.1. Giả sử %, L, % ỉà các không gian Hilbert. Nếu T ẽ L(!
K,3C) thì tồn tại duy nhất một phần tửT* € L(“K,X) sao cho
(T*x, y) = (x, Ty), (x e X, y e 'K)
Hơn nữa,
i) (aS + bTỴ =ãS* + bT*.
ii) (RSỴ = S*R*.
Ui) (T*Ỵ = T.
iv) r = I.
v) Nếu T khả nghịch thì T* cũng khả nghịch và (T -1 )* = (T*) 1 , trong
đó S,T G L(Ji, %), R & L(x,£) và a,b G c.
Toán tử T* ở Mệnh đề 1.1.1 được gọi là toán tử liên hợp của toán tử
T.
Mệnh đề 1.1.2. Giả sử T €
và s € L(X,L). Khi đó
i) ||Ta;|| < IIX 1 II ||a:|| ,Va: E “K.
IISTII <
IISII ||T||. in)
ii)
||T|| = ||T*||.
iv) ||TT*|| = ||T|| 2 .
5
Cho T G L("K). T được gọi là toán tử tự liên hợp nếu T* = T, là unita nếu
T*T = TT* = I. T được gọi là chuẩn tắc nếu T*T = TT*. T được gọi là dương
(ký
hiệu
T > 0) nếu (Tx,x) > 0 với mọi
X
£ IK. T,K G L(Jí),T > К nếu T — К
> 0. T được gọi là xác định dương nếu tồn tại M > 0 sao cho (Tx,x) > M||æ||
2
, Væ € 0Ï.
Chú ý rằng với mỗi T
> 0
với mọi
ж G ÍK. Do đó T*T là dương.
Mệnh đề 1.1.3. Giả sử T G L(íK). Khi đó
г) T là tự liên hợp nếu và chỉ nếu (Tx,x ) là thực với mọi ж ẽ Jí. Dặc
biệt, toán tử dương là tự liên hợp.
и) T là unita nếu và chỉ nếu T là ánh xạ bảo toàn chuẩn (hay tương
đương là bảo toàn tích vô hướng) từ !K lên !K.
Ui) T là chuẩn tắc nếu và chỉ nếu ||Тж|| = ||T*a;|| với mọi
XE
IK.
Mệnh đề 1.1.4. Giả sử T € L(!H). Khi đó các điều sau đây là tương đương
г) T là dương.
il) T = s 2 trong đó s là toán tử dương,
iii) T = v*v trong đó V £
Toán tử s trong ii), là duy nhất và được gọi là căn bậc hai của T, ký hiệu
là Т 2.
Mệnh đề 1.1.5. Nếu u G L(ĩí) là toán tử tự ỉiên hợp thì ||t/|| =
sup \ { U f , f ) \ .
11/11=1
Chúng ta thường mong muốn tìm một dạng nghịch đảo cho một toán tử
mà không phải là khả nghịch theo nghĩa hẹp. Bổ đề dưới đây đưa ra một điều
kiện để đảm bảo sự tồn tại của một nghịch đảo phải.
Bổ đề 1.1.1. C h o Ĩ K , X là các không gian Hilbert, và giả sử rằng и : %
—¥ 'K là một toán tử bị chặn với miền giá trị đóng Rự. Khi đó tồn tại một
toán tử bị chặn w : ÍK —> % mà
uu'f = f, V/ 6 Ru.
Chứng minh. Xét hạn chế của и trên phần bù trực giao của hạt nhân của u,
tức là
Ũ := U ị N ± : N ỳ ' K .
Rõ ràng u là tuyến tính và bị chặn, и cũng là đơn ánh: nếu и X — 0, theo đó
ж G Nụ П Nu = {0}. Bây giờ ta chứng minh rằng miền giá trị của u bằng với
miền giá trị của u. Cho y E Ru, tồn tại X G % sao cho Ux = y. Bởi X = Xi +
X 2 , trong đó Xi ẽ Nụ, X 2 € Nị 7, ta có được
Ũ Xị = Uxi = u(xi + x 2 ) = Ux = y.
Mà u có một nghịch đảo bị chặn
(u )
~-
: Ru Nụ.
1
Thác triển (u) bằng cách cho bằng 0 trên phần bù trực giao của Rự ta có
được một toán tử bị chặn w : !K —> % mà uu^ f — f với mọi
/ ẽ Ru-
□
Toán tử w được xây dựng trong chứng minh Bổ đề 1.1.1 được gọi là giả
nghịch đảo của и. Trong các tài liệu ta thường thấy giả nghịch đảo của một
toán tử и với miền giá trị đóng Rụ được định nghĩa là toán tử duy nhất thỏa
mãn
N ơ t = Rịị, R v ì = Nị và uu'f = f, V/ 6 R u .
định nghĩa này tương đương với việc xây dựng trên. Bổ đề sau cho ta một số
tính chất của W và mối quan hệ của nó với и.
7
Bổ đề 1.1.2. Cho u : X —>
ỉà một toán tử bị chặn với miền giá trị
đóng. Khi đó
i) Phép chiếu trực giao của “K lên Rụ được cho bởi uw.
ii) Phép chiếu trực giao của % lên Rựị được cho bởi u^u.
Ui) u* có miền giá trị đóng, và (u*y = ( W y .
iv) Trên Rụ, toán tử w được cho rõ ràng bởi
Định lý 1.1.1. Cho V : X —> H là toán tử tuyến tính toàn ánh, bị chặn. Với
mỗi y £ !K, phương trình Vx — y có một nghiệm duy nhất có chuẩn cực
tiểu, cụ thể là X = v^y .
Chứng minh. Do V V ^ x = X với mọi X thuộc miền giá trị của V nên
X = V ^ y là nghiệm của phương trình V x = y . Tất cả các nghiệm của
phương trình V x = y phải có dạng X = v ^ y + z trong đó 2 thuộc nhân
KerV của V. Do v^y £ (KerV)" L nên
Từ đó X có chuẩn cực tiểu khi và chỉ khi z — 0.
1.2
□
Khung trong không gian Hilbert
Trong nghiên cứu không gian vectơ, một trong những khái niệm quan trọng
nhất là cơ sở, cho phép biểu diễn mỗi phần tử ở trong không gian như một tổ
hợp tuyến tính của các thành phần trong cơ sở. Tuy nhiên điều kiện là cơ sở
rất hạn chế - không cho phép sự phụ thuộc tuyến tính giữa các thành phần và
đôi khi chúng ta yêu cầu các thành phần trực giao tương ứng với một tích vô
hướng. Điều này làm cho khó tìm hoặc thậm chí không thể tìm thấy cơ sở
đáp ứng điều kiện bổ sung và đây là lý do người ta muốn tìm một công cụ
linh hoạt hơn.
Khung là công cụ như vậy. Một khung cho một không gian vectơ được trang
bị một tích vô hướng cũng cho phép mỗi phần tử trong không gian được viết
như là một tổ hợp tuyến tính của các phần tử trong khung, nhưng tính độc lập
tuyến tính giữa các phần tử của khung là không cần thiết.
Mục này trình bày một số khái niệm và kết quả cơ bản trong lý thuyết khung
cần đến cho chương 2. Các kết quả ở mục này có thể tham khảo ở các tài liệu
[2]-[5], [10].
Cho là một không gian Hilbert khả ly, với tích vô hướng (•, •) tuyến tính theo
thành phần thứ nhất, tuyến tính liên hợp theo thành phần thứ hai.
Định nghĩa 1.2.1. Dãy {fi} ĩ ^ = 1 trong được gọi là dẫy Bessel nếu
00
35 > 0 : x; K/./i)| 2 < Bll/ll 2 ,v/ e JC.
( 1. 2)
1=1
B được gọi là cận Bessel của
.
Một dẫy Bessel
là một khung nếu
3A > 0 : A ll/ll 2 <
00
i= 1
|(/,/i)| 2 ,V/ e X.
(1.3)
Vậy ta có định nghĩa khung như sau.
Định nghĩa 1.2.2. Một dãy
trong là một khung nếu tồn tại
hai hằng S 0 O < A < B < 0 0 s a o c h o
00
A ll/ll2 < E K/,/i)|2 < B ll/ll2, V/
e Ji.
(1.4)
i= 1
Các số A , B được gọi là các cận của khung. Chúng không là duy nhất. Cận
khung dưới tối ưu là superemum trên tất cả các cận khung dưới và
cận khung trên tối ưu là infimum trên tất cả các cận khung trên. Chú ý rằng,
các cận khung tối ưu là các cận khung thực sự.
Khung
được gọi là chặt nếu A = B và được gọi là khung Parseval
nếu A = B = 1.
Mệnh đề 1.2.1. Cho một d ã y
trong không gian Hilbert hữu hạn
Thật vậy, với X = ( x i , X 2 Ỵ ẽ M 2 bất kì, ta có
chiều V. Khi đó {fj} m = 1 là một khung cho span
•
2
3
. |2
,
(V3_
1 )
/ V3 1
Ầ
E \ { х Ta
, е,)\
^—
^2
+ các^r/jL xđều
- =Xl +
1
Chứng minh.
có =
thểX 2giả+sử
rằng
không
phải tất cả
x2
bằng không. Như vậy ta thấy, điều kiện khung trên là thỏa mãn với
= ị [Ж 1 + ж 2 2 ]
2
B = ^2, ||/j|| - Bây giờ lấy w := span {fj} m = 1 và xem xét ánh xạ liên 3 = 1
tục
m
2
J
ỉ> : w ^ Jỉ, ỉ (/) :=ẼI(/,/j>| S 3 = 1
Mặtdụcầu
đơnGiả
vị trong
w là=1compact,
có thểcủa
tìm‘K.
g G w với llỡll = 1
Ví
1.2.2.
sử {efc}^
là một cơvìsởvậy
trựctachuẩn
(i)
sao {ek}™
cho = 1 là khung Parseval.
m
Im
I
2
(ii) Bằng
lặp 2 mỗi
lần U'=1
ta thu được
^4 :=cách
E \(9Ji)\
= infphần
E \ ( f tử
j j } \trong
: / G dãy
w, l l /{efchai
l l = 1 . j=i
J
ш г =1
i b ei,
e 2 , e 2 , ... } k hi đó {/jfc}£° =1 là khung chặt với cận
Rõ ràng
A > 0. Bây giờ ta lấy / G w, / 7^ 0, ta có
khung
А là
= 2.
2
00 00 Thật vậy, ta có £ |(/, fk) |
= 2 X) K/, e fe )| 2 = 2||/||
2
, V/ € 5Í.
fc=i
fc=i
m
Nếu chỉ ei được
lặp lại ta thu
được
m
/ f { f k } k\ L i = {eij ei) ß 2) e 3 , ... } khi đó
Ề \ ( f , f i ) \ 2 = Ễ \|Ị7ỊĨ’A/
ll/ll 2 > All/ll 2 { f k } k L i là khung
với cận Ả j ==1 1, В = 2. Thật vậy, ta có
3=1
=
e
00
00
2
Mệnh đề được EK/,
chứngЛ)|
minh.
□
=|(/, ei )| 2 +EK/, e k )\ 2
k=1
fc=l
m
Hệ quả 1.2.1. Một họ các phần tử00 {fj} = 1 trong không
gian Hilbert hữu hạn
00
<
\ { f , e k }\ 2 + X) |(/, е*)| 2
chiều V là một khung của V khi và chỉ khi span{fj} m = 1 = V.
00
2
£ K/,cóe*>|
Hệ quả trên chỉ ra một khung =có2 thể
số phần tử nhiều hơn số phần tử
cần thiết để là cơ sở. Đặc biệt, nếu { f j } k = 1 là một khung của V và Ì9j} m =i là
một tập hữu hạn tùy ý các véc tơ trong V thì {fj} k = 1 U{gj} m = 1 cũng là một
00
00
khung của V.
Mặt khác |(/, ei)| 2 + £ |(/, e fc )| 2 > £ |(/, e fc )| 2 = |Ị/|| 2 .
10
Do đó
00
ll/ll 2 <£ к/, л>1 2 <2||/|| 2 , V/ g 3 t .
k=1
Vì vậy { f k } k L i là một khung với một cận khung dưới là 1 và một cận khung
trên là 2.
(iii) Giả sử {/,}-, := {*, -*=e 2 ,
^e 3 , -*=e 3 ,
nghĩa là { f k } k L ị là dãy mà mỗi véc
lần. Khi
tơ
đó
00
X! K/’ /*)I 2 =
—^=e*; đươclăp laiк
V
với mỗi / € ! K có
k
00
-^e 3 , ...},
к
Ị
1
(/’ /r efc ) k =1
\
fc=l
Vì thế {/jfc} là một khung chặt của !K với cận khung А = 1.
Ví dụ 1.2.3. Cho К = L 2 ( T ) trong đó T là đường tròn đơn vị với độ đo
Lebesgue chuẩn hóa. Khi đó {e i n s :nGZ} là một cơ sở trực chuẩn tiêu chuẩn
cho К = L 2 ( T ) . Nếu E с T là tập đo được bất kỳ thì {e i n s |E '■ n & z} là một
khung Parseval cho L 2 ( E ) .
Thật vậy, trước tiên ta chứng minh Bổ đề sau.
Bổ đề 1.2.1. Cho ÍK là không gian Hilbert và % ỉà không gian con đóng
của !K. Gọi p là phép chiếu trực giao từ IK lên X và {ej} ieJ là một cơ sở
trực chuẩn của 3Í. Khi đó {Pei}- eJ là một khung Parseval của %.
Chứng minh. Gọi / là một phần tử thuộc % bất kỳ. Khi đó Pf = /. Ta có
E lơ. P t i ) I 2 = EI ( p f > e i)i 2
i€l i€l
=
E \ ư , e i)i 2 =
i€l
II/II 2 -
Do đó {Pej} ieJ là một khung Parseval của DC.
Bây giờ ta sẽ chứng minh {е* п ®|я} z là một khung Parseval cho L 2 ( E ) .
O/ 4 „
4í /(£) n ếu t ẽ E
Cho / G L ( E ) . Đặt f ( t ) = { w
_
I 0 nếu í
12
□
Khi đó f(t) G L 2 ( T ) . Do đó bằng cách đồng nhất / và / ta có thể coi L 2 ( E )
là một không gian con đóng của L 2 ( T ) . Gọi p là phép chiếu trực giao từ
L 2 ( T ) lên L 2 { E ) . Khi đó P{é n s ) = e i n s \ E . Do {e i n s }
z
là cơ sở trực chuẩn của
L 2 (T) nên, theo Bổ đề 1.2.1 {e ins Ị#} z là khung Parseval cho L 2 ( E ).
Định nghĩa 1.2.3. D ẫ y { f k y ' k L i được gọi là đầy đủ trong Jí nếu
span{fk}™ = 1 = J£.
Bổ đề 1.2.2. Nếu { f k } k L i là một khung của !K thì { f k } k L ị là một d ã y
đ ầ y đủ trong !K.
Chứng minh. Ta sẽ chứng minh bằng phản chứng. Giả sử g 7^ 0
thuộc ÍK sao cho g_Lspan { f k } k L i - Khi đó ( g , f k ) = 0, VA;. Khi đó
00
XI \ Ì 9 ì f k ) I
k=1
=
0- Mặt khác, do { f k } là một khung nên tồn tại 0 <
Ả < +oo sao cho A\\f\\ 2 <
\(f,fk)\2,
fc=1
V/ € 'K. Cho f = g ta được
A\\g\\ 2 < X) Kỡ 5 /fc)| 2 = 0. Do 3^0 nên A = 0. Mâu thuẫn trên chứng k= 1 '
tỏ span{/fc}“ =1 = "K.
□
Định lý 1.2.1. Giả sử { f k } k L ị là một d ẫ y trong Jí. Khi đó { f k } k L ị là
một d ã y Bessel với cận Bessel B khi và chỉ khi
00
T '■ {c fc >r=i
k=1
(l- 5 )
là toán tử hoàn toàn xác định, tuyến tính, bị chặn từ l 2 ( N ) v à o v à
imi < V Ẽ.
Chứng minh. Trước hết, giả thiết { f k } k L i là dãy Bessel với cận Bessel B .
Giả sử { c k } Z i £ / 2 (N). Ta phải chỉ ra Tjcfc}^ là hoàn toàn xác
13
00
định, tức là C k f k là hội tụ. Xét m , n € N , n > m . Khi đó
k= 1
n
Ề Cfc/fc
171
Cfc/fc c k f k
k =1
fc=m+l
k =1
sup
llsll
—1
sup £ |Cfc(/k, 0)1
||p|| = l fc=m + l
<
<
^
Ckfk
9 ị
'fc = 7n + l
(
t
|c*| 2)1/2 Slip
\fc=m
+ l
ĩ
/
1/2
( Ề \ ( f k , s>| 2 )
/ l l f l l l = l \fc=m + l
= 1 'fe=m
KI 2 )
'fc = m + l
'
'
+1
1/2
rn
ì 00
Do {Cfc}^ € / 2 (N), ta biết rằng ị |cfc| 2 r là dãy Cauchy trong c.
u=1 ■ J n= i
rn
ì 00
c
Tính toán trên
chỉ ra rằng \
kfk f
là một
dãy Cauchy trong !K
1
J n=i
và do đó hội tụ.
Vậy T{ck}™ = 1 là hoàn toàn xác định. Rõ ràng T là tuyến tính. Từ
l|T{c f c }~ill= sup \ ( T { c , } ^ , g ) \ :
llsll = l
tính toán tương tự như trên chỉ ra T bị chặn và ||T|| < VB.
Để chứng minh
điều ngược lại, giả sử T :
(1.5) là hoàn toàn xác
tử liên
định và ||T|| < y/Ẽ. Gọi
hợp của T. Gọi{ej}°^ 1 là
tức là hệgồm các
l 2 (N)—> H được xác định bởi
T*: H —> l 2 (N) là toán
cơ sở trựcchuẩnchính tắc của
véctơ ej, bằng 1
ở vị trí thứ j,bằng
lại. Từ (1.5) ta suy ra T ( e ỵ ) = /fc. Khi đó
(T*f,ek) = (f,Tek) = (fJk).
Từ đó
T7 = {
14
l 2 (N),
0 ở các vị trí còn
và
00
E \ ư, h )\2 = II T ‘/II 2 < ini 2n/ii 2 = rfn/f < B \ \ f ị \ 2 .
k =1
Do đó { f k } k L ị là dãy Bessel với cận Bessel B .
□
00
Hệ quả 1.2.2. N ế u { f k } k L ị là một d ã y trong và Ỵ2 c k f k h ộ i t ụ v ớ i
k =1
m ọ i {Cfc}^ G Z 2 (N) t h ì { f k } k L i là một d ã y Bessel.
00
Định nghĩa 1.2.4. Chuỗi 9k trong không gian Banach X được gọi
k= 1
00
là hội tụ không điều kiện nếu X) 9 ơ ( k ) hội ty tới cùng một phần tử với
k=1
mọi hoán vị ơ.
00
Hệ quả 1.2.3. Nếu { f k } k L ị là một d ã y Bessel trong IK, thì X) c k f k hội
k= 1
tụ không điều kiện với mọi {Cfc}^! =1 G / 2 (N).
Do một khung { f k } k L ị là một dãy Bessel nên toán tử
00
T : ; 2 (N) -> Jí, T {c t }“ ! = J2 c t f„
k =1
bị chặn bởi Định lý 1.3.1. T được gọi là toán tử tổng hợp.
Gọi T * : “ H — ì l 2 ( N) là toán tử liên hợp của T và
là cơ sở trực
chuẩn chính tắc của l 2 (N).
Theo định nghĩa của toán tử liên hợp thì với mọi j ta có
{ T ' f , e ị ) =
Từ đó T * f = {(/,
T * được gọi là toán tử phân tích. Hợp thành
của T và T * được gọi là toán tử khung
00
s : J i -> J í , S f = T T * f =
15
{/, /*)/*.
k= 1
Mệnh đề 1.2.2. G i ả s ử { f k } k L i là một khung với toán tử khung s và các
cận khung A : B . Khi đó ta có các khẳng định sau.
(i) s tuyến tính bị chặn, khả nghịch, tự liên hợp và là toán tử dương;
(ii) {5 1 1 f k } ™ _ 1 là khung với các cận B 1 , A 1 , nếu A, B là các cận tối
ưu của { f k } k L i t h ì c á c c ậ n B ~ l , A ~ x l à t ố i ư u c ủ a { s - 1
Toán tử
khung của { s - 1 fk}™ = 1 là
Chứng minh, (i) s bị chặn như một sự hợp thành của hai toán tử bị chặn. Ta
có:
||S|| = ||TT*|| < ||T|| . ||T*|| = ||T|| 2 < B.
Do s* = (TT*Ỵ = TT* = s, toán tử s là tự liên hợp. Bất đẳng thức
M f \ \ 2 < E\ ( f , f k } \ 2 < B \ \ f \ \ 2
có thể viết thông qua toán tử s là
^ll/n 2 < ( S f J ) < B \ \ f \ \ \ V f & X . Từ đó
A I < s < B I , do đó s dương.
Ngoài ra, 0 < I — B
ỵ
s < -----------1 và vậy thì
/ - B - ‘ S | | = s u p | < ( / - B^S) / , / > ! <
11/11=1
< 1.
B
2
Nghĩa là, {s 1 fk}™ = 1 là một dãy Bessel. Từ đó kéo theo toán tử khung của
{s-var-i h°à n toàn xác định. Theo định nghĩa nó tác động lên
16
Ễ { L S - 1 h i s - 1 h = S - ' Ễ
= s ~ l s s ~ l f = s - 7.
bằng (S' -1 . Toán
Điều này chỉ ra rằng toán tử khung của
tử S _ 1 giao hoán với cả s và I . Vì thế ta có thể nhân bất đẳng thức A I < s
< B I với s ~ \ điều này cho ta:
B~lI < s~l < A~ lI.
Tức là
В-Ч1Л1 2 < { s - ' f , f ) < A - ' \ \ f \ \ 2 , V f € И.
Ta có
00 n
B - 1 ll/ll2 < Ẽ K/.S"1/*)!< A - ' \ \ f \ \ 2 , V f e Я .
k=1
Vì vậy, {5-7ЛГ-1 ^ khung với các cận khung B - 1 , A ~ l .
Để chứng minh tính tối ưu của các cận (trong trường hợp А , в là các cận tối
ưu của { f k } k L ị ) , giả sử Ả là cận dưới tối ưu của { f k } k L i và giả thiết rằng
cận trên tối ưu của { s - 1 fk}^ = 1 là с <
JA
Bằng cách áp dụng điều ta vừa chứng minh cho khung {
1
V
dưới là — > A , nhưng điêu này là mâu thuân.
О
Vì vậy, {5 _1 /ЛГ=
;1
có cận
_
k=1
có cận trên tối ưu là Lập luận tương tự cho cận dưới tối
ưu.
□
Khung {(S' -1 /*;} được gọi là khung đối ngẫu của {/*;}.
Khai triển khung dưới đây là một trong những kết quả về khung quan trọng
nhất. Nó chỉ ra rằng nếu { f k } là một khung của !K thì mọi phần tử trong J Ï
c ó thể biểu diễn như một tổ hợp tuyến tính vô hạn của các phần tử khung.
Do đó ta có thể xem khung như một dạng cơ sở suy rộng.
17
Định lý 1.2.2. G i ả s ử { f k } k L i là một khung với toán tử khung là s. Khi
đó
00
( 1. 6)
/ = £</> s - 7*>/ь V/ e 3 t ,
k=1
chuỗi hội tụ không điều kiện với mọi / G ÍM.
Chứng minh. Giả sử / G ÍK. Sử dụng các tính chất của toán tử khung trong
Mệnh đề 1.2.2 ta có
00
00
( s - ' f , /»>/, = x; ơ,
1
/ = ss- / =
i=l
i=l
Do { f k } k L i là một dãy Bessel và {(/, S
1.2.3 chuỗi hội
V/ 6 Jí.
_1
€ / 2 (N), theo hệ quả
tụ không điều kiện.
Bổ đề 1.2.3.
□
Giả sử {fk}^ = i là một khung của JÏ
và fẽ ĨK. Nếu f có
00
biểu diễn f = Ỵ2 c k f k v ớ i c á c h ệ s ố {Cjt}^° =1 n à o đ ó t h ì k = 1
00
ẼЫ
fc= 1
2
00
00
fc= 1
k =1
= Ẽ |(/,s-7*)r + Ẽ h - ị f , s - l h ) \ 2 .
(1.7)
Chứng minh. Ta có thể viết
c* = <*-ơ,S'7*> + </,S'7*>00
00
Do £ c k f k = { ỉ , s ~ l ỉ k ) h
nên
k =1 k =1
00
J2^-(ỉ^-1ũ))h = 0.
k =1
(1.8)
Gọi T là toán tử tổng hợp tương ứng với dãy {/fc}^!- Khi đó (1.8) tương
đương với
T{{ct-(ỉ,S-'h)}~J=0
18
hay {cjfc — ( f , s 1 fk)}™ = 1 €: N (T) trong đó N (T) ký hiệu là hạt nhân
_
-
Г71
của i .
Mặt khác
{(/,5-V*)}r=i = {(S'- 1 /,Л)}“ 1 = г* (s- 1 /) e Д ( П ,
trong đó i? (T*) ký hiệu là miền giá trị của T*.
Do R Ợ * ) = N { T ) L nên { c k - (/,
vuôn
s gócvới { { f , s ~ l ỉ k ) }
Từ đó
Ы2 = \{f,S-1fk)\2 + \ck-{f,S-1fk)\2.
Từ đó ta suy ra (1.7)
□
Như một hệ quả của Bổ đề 1.2.3 ta thu được một công thức cho toán tử giả
nghịch đảo của toán tử tổng hợp.
Định lý 1.2.3. G i ả s ử { f k } k li là một khung với toán tử tổng hợp T và
toán tử khung s . Khi đó f = {(/, S _ 1 fk)}™ = 1 .
Mệnh đề 1.2.3. Các cận tối ưu của khung { f k } k L
1
là A , B được cho bởi
А = ||s - 1 || - 1 = ||Г*|Г 2 ,В = ||S|| = ||ĩf.
Chứng minh. Theo định nghĩa ta có
В = sup Ễ \ ( f , f k ) I 2 = sup \ ( S f , f ) \ = ||S||
11/11=1 *=1 11/11=1
Sử dụng kết quả này cho khung đối ngẫu { s - 1 fk}™ = 1 (có toán tử khung
1
1
II _ II
s 1 và cân trên tối ưu -- theo
Mênh đề 1.2.2 ) ta thu đươc “T = (S' 1 .
A
_
__
Để chứng minh phần còn lại,
từ (S' = TT* kéo
||T|| 2 . Cuối cùng theo Định lý
1.2.3 và Mệnh đề
и
___ А
theo \\s\\ =||TT*|| =
1.2.2,
11
Định lý 1.2.4. Việc loại bỏ véc tơ fj ra khỏi một khung { f k } k L ị của !H sẽ
tạo thành một khung khác hoặc một dẫy không đầy đủ. Cụ thể hơn, nếu (fj ,
/S' -1 /,) Ỷ 1 thì { f k } k ^ j là một khung của “K, nếu (fj, s ~ x f j ) =
1 thì
là một d ã y không đầy đủ.
Chứng minh. Chọn bất kỳ j G N . Bởi sự phân tích khung,
h
= Ẽ
k=1
Đặt a k = (/j,,!? -1 /*) vì thế fj = a k f k . Rõ ràng, ta cũng có f j =
k=l
00
X) õ j k f k vì thế BỔ đề 1.2.3 mang lại quan hệ sau giữa ỗj,k và aỵ.
кфз
00
1=
00
k= 1
00
|ôjfc| + s l ữ fc
k= 1
k=1
—
õjĩk\
= |ữj| + \ a k\ + \ a j ~ 1| + \ a k\ ■
k^j
Ta xét từng trường hợp ữj = 1 và 7 ^ 1 . Đầu tiên, cho dj = 1 , từ
công thức trên £ kl 2 = 0 , vì vậy mà
k¥=j
at = { S - 1 f j , h ) = 0 , V k ĩ i j .
Từ a,j = () = 1, ta biết s ~ x f j Ф 0. Vì vậy, ta tìm được phần tử khác không
5' ~ 1 f j mà trực giao với { ì k ] ỵ ^ p vì thế { f k } k ^ j là không đầy đủ.
Bây giờ cho d j Ф 1, thì f j = —-—
1 - кф]
đẳng thức Cauchy-Schwarz cho ta
20
a k f k . Với bất kỳ / e " К , bất
