Xây dựng và sử dụng hệ thống bài tập giải hệ phương trình nhằm phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh khá giỏi lớp 9 trường trung học cơ sở

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

NGUYỄN VĂN HIẾN

XÂY DỰNG VÀ SỬ DỤNG HỆ THỐNG BÀI TẬP
GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH NHẰM PHÁT TRIỂN
TƯ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH KHÁ GIỎI
LỚP 9 TRƯỜNG TRUNG HỌC CƠ SỞ

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN

HÀ NỘI - 2014


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

NGUYỄN VĂN HIẾN

XÂY DỰNG VÀ SỬ DỤNG HỆ THỐNG BÀI TẬP
GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH NHẰM PHÁT TRIỂN
TƯ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH KHÁ GIỎI
LỚP 9 TRƯỜNG TRUNG HỌC CƠ SỞ

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN
CHUYÊN NGÀNH: LÝ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC
(BỘ MÔN TOÁN)
Mã số: 60 14 01 11

Người hướng dẫn khoa học: TS. Nguyễn Thị Hồng Minh

HÀ NỘI - 2014


LỜI CẢM ƠN
Để hoàn thành được luận văn này, lời đầu tiên tác giả xin trân trọng
cảm ơn Ban Giám hiệu Trường Đại học Giáo dục, Đại học Quốc Gia Hà Nội
cùng các thầy giáo, cô giáo đang công tác giảng dạy tại trường đã nhiệt tình
giúp đỡ và tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong quá trình học tập và
nghiên cứu đề tài.
Đặc biệt, tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc tới
TS. Nguyễn Thị Hồng Minh, người đã tận tình hướng dẫn giúp đỡ tác giả trong
suốt thời gian nghiên cứu đề tài và hoàn thiện luận văn.
Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban Giám hiệu cùng các
thầy cô giáo và các em học sinh Trường THCS Đoàn Thị Điểm, huyện Yên Mỹ,
tỉnh Hưng Yên đã tạo điều kiện giúp đỡ tác giả trong quá trình tiến hành thực
nghiệm sư phạm, hoàn thiện luận văn.
Tác giả xin được gửi lời cảm ơn tới tất cả những người thân trong
gia đình, bạn bè, đồng nghiệp, học viên cao học lớp Lý luận và Phương pháp
dạy học (bộ môn Toán) - K8, trường Đại học Giáo dục, Đại học Quốc Gia Hà
Nội đã động viên, cổ vũ tiếp thêm động lực cho tác giả học tập, nghiên cứu và
hoàn thiện luận văn này.
Trong quá trình nghiên cứu và hoàn thiện luận văn, tác giả đã có
nhiều cố gắng song không thể tránh được những sai sót, tác giả rất mong nhận
được sự lượng thứ và những ý kiến đóng góp quý báu của quí thầy cô, đồng
nghiệp, những độc giả quan tâm đến những vấn đề được đề cập trong luận văn.
Hà Nội, tháng 11 năm 2014
Tác giả

Nguyễn Văn Hiến

i


DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT
Ký hiệu, viết tắt
ĐK

Ý nghĩa, nội dung
Điều kiện

ĐHGD

Đại học Giáo dục

ĐHQG

Đại học Quốc gia

ĐS

Đáp số

G

Giáo viên

V

Hoạt động

H

Học sinh

Đ

Nhà xuất bản

HS

Phương pháp dạy học

Nxb

Trung học cơ sở

PPDH

Trung học phổ thông

THCS

Thực nghiệm sư phạm

THPT

Vế phải Vế

TNSP

trái

VP
VT
SGK

Sách giáo khoa


ii


MỤC LỤC
Trang
Lời cảm ơn ......................................................................................................... i
Danh mục các ký hiệu, các chữ viết tắt ........................................................... ii
Mục lục............................................................................................................. iii
Danh mục các bảng ......................................................................................... vi
Danh mục biểu đồ........................................................................................... vii
MỞ ĐẦU ........................................................................................................... 1
CHƯƠNG 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN VỀ TƯ DUY VÀ TƯ DUY SÁNG TẠO...... 5

1.1. Đại cương về tư duy sáng tạo .................................................................. 5
1.1.1. Tư duy.................................................................................................. 5
1.1.2. Sáng tạo................................................................................................ 6
1.1.3. Tư duy sáng tạo .................................................................................... 7
1.2. Tư duy toán học..................................................................................... 10
1.2.1. Các hình thức tư duy trong toán học ................................................... 10
1.2.2. Các thao tác tư duy trong toán học...................................................... 11
1.2.3. Một số loại hình tư duy trong toán học ............................................... 13

1.3. Dạy học giải bài tập Toán học ở trường phổ thông................................. 17
1.3.1. Vai trò của bài tập toán trong quá trình dạy học toán .......................... 17
1.3.2. Phương pháp giải bài tập toán học ...................................................... 18
1.4. Kết luận chương 1 ................................................................................. 19
CHƯƠNG 2 XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TẬP GIẢI HỆ PHƯƠNG
TRÌNH NHẰM RÈN LUYỆN VÀ PHÁT TRIỂN TƯ DUY SÁNG TẠO CHO
HỌC SINH KHÁ GIỎI LỚP 9 TRUNG HỌC CƠ SỞ....................... 20 2.1.

Những vấn đề cần lưu ý khi xây dựng bài tập giải hệ phương trình nhằm
rèn luyện và phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh khá giỏi....................... 20
2.1.1. Những nguyên tắc khi xây dựng bài tập.............................................. 20
2.1.2. Một số kỹ thuật xây dựng bài tập nội dung giải hệ phương trình trong
trường trung học cơ sở ................................................................................. 23

iii


2.2. Một số biện pháp nhằm rèn luyện và phát triển tư duy sáng tạo cho học
sinh khá giỏi lớp 9 trung học cơ sở thông qua nội dung dạy học giải hệ
phương trình................................................................................................. 29
2.2.1. Biện pháp 1: Rèn kỹ năng giải các hệ phương trình cơ bản nhằm hình
thành tính nhuần nhuyễn trong việc sử dụng phương pháp giải toán............. 29
2.2.2. Biện pháp 2: Khai thác nhiều cách giải khác nhau cho một bài toán nhằm
rèn luyện tính mềm dẻo, tính nhuần nhuyễn của tư duy sáng tạo ........ 36 2.2.3. Biện
pháp 3: Hướng dẫn học sinh sáng tạo bài toán mới thông qua việc nghiên cứu lời
giải bài toán đã giải nhằm rèn luyện tính độc lập trong tư duy ...39 2.2.4. Biện pháp
4: Rèn luyện tính phê phán, tính nhạy cảm vấn đề của tư duy thông qua việc
nghiên cứu, phát hiện lỗi sai từ những lời giải cho trước của bài
toán......................................................................................................... 42 2.2.5.
Biện pháp 5: Rèn luyện tính độc đáo của tư duy sáng tạo thông qua việc đi tìm lời

giải của một số hệ phương trình không mẫu mực.......................... 45 2.3. Xây
dựng hệ thống bài tập giải hệ phương trình nhằm rèn luyện và phát triển tư duy
sáng tạo ..................................................................................... 48 2.3.1. Hệ
thống bài tập thứ nhất: Rèn luyện phương pháp giải các hệ phương trình cơ bản
.................................................................................................. 48 2.3.2. Hệ thống
bài tập thứ hai: Hình thành một số kĩ năng, phương pháp giải hệ phương trình
mới đồng thời rèn luyện tính mềm dẻo của tư duy.............. 61 2.4. Một số gợi ý
cho việc sử dụng hệ thống bài tập vào dạy học ................. 78 2.4.1. Cách lựa chọn
bài tập và thời điểm áp dung vào thực tế dạy học ........ 78 2.4.2. Một số giáo án
dạy học chủ đề giải hệ phương trình cho học sinh khá giỏi lớp 9 trường Trung
học cơ sở ................................................................ 79 2.5. Kết luận chương
2 ................................................................................. 87
CHƯƠNG 3 THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM ................................................... 88

3.1. Mục đích và nhiệm vụ của thực nghiệm sư phạm .................................. 88
3.2. Kế hoạch và nội dung thực nghiệm sư phạm ......................................... 88
3.2.1. Thời gian và địa điểm thực nghiệm sư phạm ...................................... 88

iv


3.2.2. Đối tượng học sinh tiến hành thực nghiệm sư phạm ........................... 88
3.2.3. Nội dung thực nghiệm sư phạm.......................................................... 89
3.3. Kết luận chương 3 ................................................................................. 97
KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ ................................................................. 98
TÀI LIỆU THAM KHẢO.............................................................................. 99

v

DANH MỤC CÁC BẢNG
Bảng 3.1. Nhận xét bài làm kiểm tra trước khi dạy thực nghiệm .................. 91
Bảng 3.2. Thống kê kết quả điểm kiểm tra trước khi dạy thực nghiệm ......... 91
Bảng 3.3. Nhận xét bài làm kiểm tra sau khi dạy thực nghiệm ..................... 95
Bảng 3.4. Thống kê kết quả điểm kiểm tra sau khi dạy thực nghiệm ............ 96

vi


DANH MỤC BIỂU ĐỒ
Biểu đồ 3.1. Điểm kiểm tra trước khi dạy thực nghiệm ................................ 92
Biểu đồ 3.2. Điểm kiểm tra sau khi dạy thực nghiệm ................................... 96

vii


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Tại Hội nghị lần thứ 8, Ban Chấp hành Trung ương khoá XI đã ra Nghị
quyết số 29-NQ/TW với nội dung "Đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục và đào
tạo, đáp ứng yêu cầu công nghiệp hóa - hiện đại hóa trong điều kiện kinh tế thị
trường định hướng xã hội chủ nghĩa và hội nhập quốc tế". Trong nội dung đề án
"Đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục và đào tạo, đáp ứng yêu cầu công nghiệp
hóa, hiện đại hóa trong điều kiện kinh tế thị trường định hướng
xã hội chủ nghĩa và hội nhập quốc tế" được Bộ Giáo dục và Đào tạo xây dựng
và trình Ban chấp hành Trung ương Đảng đã nêu ra trong mục tiêu cụ thể đổi
mới căn bản, toàn diện giáo dục phổ thông là: " - Tập trung phát triển trí tuệ,
thể chất, hình thành phẩm chất, năng lực công dân, phát hiện và bồi dưỡng năng
khiếu, định hướng nghề nghiệp cho học sinh. Nâng cao chất lượng giáo dục toàn
diện, chú trọng giáo dục lí tưởng, truyền thống, đạo đức, lối sống, ngoại ngữ,

tin học, năng lực và kĩ năng thực hành, vận dụng kiến thức vào thực tiễn. Phát
triển khả năng sáng tạo, tự học, khuyến khích học tập suốt đời."
Đất nước ta đang trong quá trình hội nhập quốc tế ngày càng sâu rộng; sự
phát triển nhanh chóng của khoa học và công nghệ, khoa học giáo dục và sự
cạnh tranh quyết liệt trên nhiều lĩnh vực giữa các quốc gia đòi hỏi giáo dục phải
đổi mới. Thực chất cạnh tranh giữa các quốc gia hiện nay là cạnh tranh về
nguồn nhân lực và về khoa học và công nghệ. Chính vì vậy, nhiệm vụ của giáo
dục Việt Nam trong giai đoạn hiện nay là phải tạo ra được nguồn nhân lực chất
lượng cao, có khả năng sáng tạo tốt trong công việc, giúp Việt Nam
đứng vững trong quá trình hội nhập và thực hiện thành công nhiệm vụ đến
năm 2020, Việt Nam cơ bản trở thành nước công nghiệp.
Mục tiêu dạy học môn Toán ở trường trung học cơ sở là trang bị cho học
sinh những kiến thức phổ thông cơ bản, có hệ thống và tương đối toàn diện
nhằm thực hiện mục tiêu chung của giáo dục phổ thông. Cùng với việc tạo điều
kiện cho học sinh kiến tạo những tri thức và rèn luyện kỹ năng Toán học cần
thiết, môn Toán còn có tác dụng phát triển năng lực trí tuệ chung cho học sinh như
phân tích, tổng hợp, so sánh, tương tự hoá, trừu tượng hoá, khái quát hoá, …. Đặc
biệt, thông qua dạy học môn Toán học sinh được bồi dưỡng và rèn luyện những đức
tính, phẩm chất của người lao động mới như tính cẩn
1


thận, tính chính xác, tính kỷ luật, tính phê phán và hơn hết là phát triển khả
năng tư duy sáng tạo cho học sinh. Điều này nhằm giúp học sinh có được sự
chuẩn bị tốt cho việc học tập tiếp ở bậc học cao hơn hay đi vào cuộc sống.
Các phẩm chất tư duy của học sinh được hình thành và rèn luyện thông qua
dạy học bộ môn Toán, là điều kiện để học sinh tiếp tục học tập các môn học
khác trong nhà trường.
Nội dung giải hệ phương trình, hiện nay học sinh lớp 9 trung học cơ sở
được học thông qua hai bài học: "§3. Giải hệ phương trình bằng phương pháp

thế" và "§4. Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số" thuộc
"Chương III. Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn" toán 9, tập hai. Bài toán
giải hệ phương là một bài toán mà học sinh lớp 9 thường phải giải trong các
đề kiểm tra, đề thi chọn học sinh giỏi các cấp, đề thi tuyển sinh vào lớp 10
THPT, lớp 10 THPT chuyên của các tỉnh và thành phố, đặc biệt đây cũng là bài
toán thường xuất hiện trong các đề thi tuyển sinh vào khối 10 của các trường
chuyên Đại học Quốc Gia Hà Nội, chuyên Đại học Sư Phạm Hà Nội, … Có
nhiều bài toán giải hệ phương trình, đòi hỏi học sinh phải nắm rất vững kiến thức về
phương trình; bất đẳng thức; giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức;
… và phải linh hoạt, sáng tạo trong việc vận dụng các kiến thức liên quan, cùng với các
phương pháp giải toán điển hình thì học sinh mới có khả năng giải quyết được.
Bài toán giải hệ phương trình rất phong phú cả về kiểu dạng và phương pháp
giải. Chính vì vậy, đây là một kiểu bài khó ngay cả đối với học sinh khá giỏi.
Trong năm học 2012 - 2013, bản thân tôi đã viết sáng kiến kinh nghiệm
"Một số phương pháp giải hệ phương trình không mẫu mực dùng bồi dưỡng
học sinh giỏi lớp 9" được đánh giá và xếp loại B cấp tỉnh theo quyết định số
1037/QĐ-SGDĐT-NCKH, ngày 02 tháng 7 năm 2013 của Sở Giáo dục và
Đào tạo Hưng Yên. Để có thể áp dụng sáng kiến của mình tới được nhiều đối
tượng học sinh hơn, và cũng là để nhìn nhận vấn đề mà bản thân tôi đang
nghiên cứu được đầy đủ hơn, tôi cũng mạnh dạn nghiên cứu tiếp về nội dung
giải hệ phương trình dành cho học sinh lớp 9 trường Trung học cơ sở.
Với những lý do nêu trên, để góp phần rèn luyện và phát triển tư duy sáng
tạo cho học sinh, đặc biệt là học sinh khá giỏi lớp 9 ở trường Trung học cơ sơ,
tôi đã chọn đề tài: "Xây dựng và sử dụng hệ thống bài tập giải hệ
2


phương trình nhằm phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh khá giỏi lớp 9
trường Trung học cơ sở".
2. Mục đích nghiên cứu

Khả năng, mức độ và ý nghĩa trong việc phát triển tư duy sáng tạo cho
học sinh khá giỏi lớp 9 trung học cơ sở thông qua việc thiết kế và dạy học hệ
thống bài tập giải hệ phương trình.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Nghiên cứu cơ sở lý luận về tư duy, tư duy sáng tạo; các hình thức,
thao tác và loại hình tư duy toán học; một số yếu tố đặc trưng của tư duy sáng
tạo trong học tập bộ môn toán ở học sinh.
- Đề xuất một số biện pháp cùng hệ thống bài tập giải hệ phương trình
nhằm phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh khá giỏi lớp 9 trường Trung học
cơ sở.
- Thiết kế giáo án (kế hoạch bài giảng) một số tiết học luyện tập về giải hệ
phương trình cho học sinh khá giỏi lớp 9 trương Trung học cơ sở.
- Tiến hành thực nghiệm sư phạm nhằm kiểm nghiệm tính khả thi và
hiệu quả của các biện pháp, hệ thống bài tập và giáo án đã đề xuất.
4. Phạm vi nghiên cứu
- Nghiên cứu nội dung dạy học về bài toán giải hệ phương trình nhằm
phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh khá giỏi lớp 9 trương Trung học cơ sở.
- Thời gian nghiên cứu: Học kỳ 2 năm học 2012-2013 và năm học 2013-2014. Đề tài được tiến hành nghiên cứu tại Trường THCS Đoàn Thị Điểm
thuộc huyện Yên Mỹ, tỉnh Hưng Yên.
5. Mẫu khảo sát
Học sinh lớp 9A và 9C Trường THCS Đoàn Thị Điểm, huyện Yên Mỹ,
tỉnh Hưng Yên, năm học 2013-2014.
6. Câu hỏi nghiên cứu
Xây dựng hệ thống bài tập giải hệ phương trình như thế nào thì có tác
dụng rèn luyện và phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh khá giỏi lớp 9 trung
học cơ sở?

3

7. Giả thuyết khoa học
Bằng việc thiết kế hệ thống bài tập về giải hệ phương trình có chủ ý sư
phạm, kết hợp với phương pháp dạy học phù hợp sẽ có tác dụng tốt cho việc
phát triển tư duy sáng tạo ở học sinh khá giỏi lớp 9 trương Trung học cơ sở.
8. Phương pháp nghiên cứu
Để nghiên cứu đề tài này, chúng tôi sử dụng sử dụng một số phương
pháp nghiên cứu sau:
- Phương pháp nghiên cứu lý luận
- Phương pháp điều tra, quan sát
- Phương pháp thực nghiệm sư phạm
- Phương pháp thống kê toán học
9. Dự kiến luận cứ
9.1. Luận cứ lý thuyết
Đưa ra những cơ sở lý luận về tư duy, tư duy sáng tạo, các biện pháp
nhằm rèn luyện và phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh.
9.2. Luận cứ thực tế
- Năm biện pháp cùng với hệ thống bài tập giải hệ phương trình nhằm
phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh khá giỏi lớp 9 trường Trung học cơ sở.
- Hai kế hoạch bài giảng tiết học luyện tập về giải hệ phương trình cho học
sinh khá giỏi lớp 9 trường Trung học cơ sở theo hướng đề xuất của luận văn.
- Kết quả phân tích một số tiêu chí sau thực nghiệm sư phạm.
10. Cấu trúc luận văn
Ngoài phần mở đầu, kết luận, khuyến nghị và danh mục tài liệu sách
tham khảo, luận văn gồm ba chương nội dung chính sau:
Chương 1. Cơ sở lý luận về tư duy và tư duy sáng tạo.
Chương 2. Xây dựng hệ thống bài tập giải hệ phương trình nhằm rèn
luyện và phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh khá giỏi lớp 9 trường Trung
học cơ sở.
Chương 3. Thực nghiệm sư phạm.

4


CHƯƠNG 1
CƠ SỞ LÝ LUẬN VỀ TƯ DUY VÀ TƯ DUY SÁNG TẠO
1.1. Đại cương về tư duy sáng tạo
1.1.1. Tư duy
Theo từ điển tiếng Việt "Tư duy là giai đoạn cao của quá trình nhận
thức đi sâu vào bản chất và phát hiện ra tính quy luật của sự vật bằng những
hình thức như biểu tượng, khái niệm, phán đoán và suy lý" [17, tr.1437].
Theo các tác giả Nguyễn Quang Uẩn, Nguyễn Quang Lũy, Đinh Văn
Vang "Tư duy là một quá trình tâm lý phản ánh những thuộc tính bản chất,
những mối liên hệ và quan hệ bên trong có tính quy luật của sự vật, hiện
tượng trong hiện thực khách quan mà trước đó ta chưa biết" [24, tr.79].
Trong cuốn: "Rèn luyện tư duy trong dạy học toán" tác giả Trần Thúc Trình có
định nghĩa: "Tư duy là một quá trình nhận thức phản ánh những thuộc tính bản
chất, những mối quan hệ có tính quy luật của sự vật và hiện tượng mà trước đó
chủ thể chưa biết" [23].
Theo một nghiên cứu về tư duy của X.L Rubinstein thì "Tư duy đó là sự
khôi phục trong ý nghĩa của chủ thể về khách thể với mức độ đầy đủ hơn, toàn
diện hơn so với các tư liệu cảm tính xuất hiện do tác động của khách thể"
(dẫn theo Đavưđov) [26, tr.25]
Theo một định nghĩa khác, "Tư duy" là danh từ triết học dùng để chỉ
những hoạt động của tinh thần, đem những cảm giác của người ta sửa đổi và
cải tạo thế giới thông qua hoạt động vật chất, làm cho người ta có nhận thức
đúng đắn về sự vật và ứng xử tích cực với nó.
Hoạt động của tư duy dựa trên cơ chế hoạt động sinh lý của bộ não với
tư cách là hoạt động thần kinh cao cấp. Mặc dù không thể tách rời não nhưng
tư duy không hoàn toàn gắn liền với một bộ não nhất định. Trong quá trình
sống, con người giao tiếp với nhau, do đó, tư duy của mỗi người vừa tự biến đổi

qua quá trình hoạt động của bản thân, vừa chịu sự tác động biến đổi từ tư duy của
đồng loại thông qua hoạt động có tính vật chất. Do đó, tư duy không chỉ gắn
với bộ não của từng cá thể người mà còn gắn với sự tiến hóa của xã hội, trở thành
một sản phẩn có tính xã hội trong khi vẫn duy trì được tính cá thể của một con
người nhất định.

5


Tư duy bắt nguồn từ hoạt động tâm lý, hoạt động này gắn liền với phản
xạ sinh lý, là hoạt động đặc trưng của hệ thần kinh cao cấp. Hoạt động đó
diễn ra ở các động vật cao cấp, đặc biệt biểu hiện rõ ở thú linh trưởng và ở
người. Nhưng tư duy với tư cách là hoạt động tâm lý bậc cao nhất thì chỉ có ở
con người, và là kết quả của quá trình lao động sáng tạo của con người. Từ chỗ
là một loại động vật thích ứng với tự nhiên bằng bản năng tự nhiên, con người đã
phát triển sự thích ứng đó bằng bản năng thứ hai chính là tư duy; với năng lực trừu
tượng hóa ngày càng sâu sắc đến mức nhận thức được bản chất
của hiện tượng, quy luật của tự nhiên và nhận thức được chính bản thân mình.
Qua phân tích một số quan điểm về tư duy ở trên, chúng tôi hiểu về tư
duy như sau:
"Tư duy là quá trình tâm lý phản ánh hiện thực khách quan một cách
gián tiếp là khái quát, là sự phản ánh những thuộc tính chung và bản chất tìm
ra những mối liên hệ, quan hệ có tính quy luật của sự vật hiện tượng mà ta
chưa từng biết"
Tư duy là hoạt động trí tuệ với một quá trình gồm bốn bước cơ bản sau:
- Xác định được vấn đề, biểu đạt nó thành nhiệm vụ tư duy. Nói cách
khác là tìm được câu hỏi cần giải đáp.
- Huy động tri thức, vốn kinh nghiệm, liên tưởng, hình thành giả thiết về
cách giải quyết vấn đề, cách trả lời câu hỏi.
- Xác minh giả thiết trong thực tiễn. Nếu giả thiết không đúng thì qua

bước sau, nếu sai thì phủ định nó và hình thành giả thiết mới.
- Quyết định đánh giá kết quả, đưa ra sử dụng.
1.1.2. Sáng tạo
Theo định nghĩa trong từ điển: "Sáng tạo là tìm ra cái mới, cách giải
quyết vấn đề mới không bị gò bó và phụ thuộc vào cái đã có" [17, tr.1130].
Theo Bách Khoa toàn thư: "Sáng tạo là hoạt động của con người trên cơ
sở các quy luật khách quan của thực tiễn, nhằm biến đổi thế giới tự nhiên, xã hội
phù hợp với mục đích và nhu cầu của con người, sáng tạo là hoạt động có tính
đặc trưng không lặp lại, tính độc đáo và duy nhất".
Tác giả Nguyễn Cảnh Toàn cho rằng "Sáng tạo là sự vận động của tư duy
từ những hiểu biết đã có đến những hiểu biết mới", cũng theo tác giả thì

6


"Người có óc sáng tạo là người có kinh nghiệm về phát triển và giải quyết
vấn đề" [22, tr.17].
Như vậy, hiểu một cách ngắn gọn, sáng tạo có thể được coi là quá trình
tiến tới cái mới, là năng lực tạo ra cái mới có giá trị.
Đối với Toán học, tác giả Trần Thúc Trình đã cụ thể hóa sự sáng tạo với
người học toán: "Đối với người học toán, có thể quan niệm sự sáng tạo đối với
họ, nếu họ đương đầu với những vấn đề đó, để tự mình thu nhận được cái mới
mà họ chưa từng biết" [23]. Như vậy một bài tập cũng được xem như là
mang yếu tố sáng tạo nếu các thao tác giải nó không bị những mệnh lệnh nào
đó chi phối (từng phần hay toàn phần), tức là nếu người giải chưa biết trước
thuật toán để giải và phải tiến hành tìm hiểu những bước đi chưa biết trước.
1.1.3. Tư duy sáng tạo
1.1.3.1. Các quan điểm về tư duy sáng tạo
Các nhà nghiên cứu đưa ra nhiều quan điểm khác nhau về tư duy sáng
tạo. Theo tâm lý học: "Tư duy sáng tạo là tư duy vượt ra ngoài phạm vi giới

hạn của hiện thực, của vốn kinh nghiệm và tri thức đã có, giúp quá trình giải
quyết nhiệm vụ của tư duy được linh hoạt hiệu quả".
Theo tác giả Tôn Thân: "Tư duy sáng tạo là một dạng tư duy độc lập tạo ra
ý tưởng mới, độc đáo và có hiệu quả giải quyết vấn đề cao". Cũng theo tác giả
"Tư duy sáng tạo là tư duy độc lập và nó không bị gò bó phụ thuộc vào cái đã
có. Tính độc lập của nó bộc lộ vừa trong việc đặt mục đích vừa trong việc tìm
giải pháp. Mỗi sản phẩm của tư duy sáng tạo đều mang rất đậm các dấu ấn của
mỗi cá nhân đã tạo ra nó". (Tôn Thân, xây dựng hệ thống câu hỏi
và bài tập nhằm bồi dưỡng một số yếu tố của tư duy sáng tạo cho học sinh
khá và giỏi toán ở trường THCS Việt Nam).
Trong bộ môn toán theo G. Polya: "Một tư duy gọi là có hiệu quả nếu tư
duy đó dẫn đến lời giải một bài toán cụ thể nào đó. Có thể coi là sáng tạo nếu tư
duy đó tạo ra những tư liệu, phương tiện giải các bài toán khác. Các bài toán
vận dụng những tư liệu phương tiện này có số lượng càng lớn, có dạng muôn
màu, muôn vẻ thì mức độ sáng tạo của tư duy càng cao" [7].
Việc làm của người giải có thể là sáng tạo một cách gián tiếp, ví dụ một bài
toán được đặt ra tuy chưa giải được nhưng có thể là gợi ý cho người khác có suy
nghĩ hiệu quả hơn.
7


Đối với học sinh, có thể nói đến tư duy sáng tạo khi học sinh tự khám
phá, tự tìm cách giải quyết một bài toán mà học sinh đó chưa biết đến hoặc đã
biết nhưng làm theo phương thức khác. Bắt đầu từ tình huống gợi vấn đề, tư
duy sáng tạo giải quyết mâu thuẫn tồn tại trong tình huống đó với hiệu quả cao,
thể hiện tính mới lạ độc đáo, khả thi.
1.1.3.2. Một số thành tố đặc trưng của tư duy sáng tạo
Theo nghiên cứu của các nhà tâm lý học, giáo dục học về cấu trúc của tư
duy sáng tạo đã đưa ra năm thành tố cơ bản: Tính mềm dẻo, tính nhuần
nhuyễn, tính độc đáo, tính nhạy cảm vấn đề, tính hoàn thiện.

a. Tính mềm dẻo
Đó là năng lực dễ dàng làm thay đổi các trật tự của hệ thống tri thức, có
khả năng bao quát sự vật hiện tượng theo nhiều khía cạch khác nhau, có thể định
nghĩa lại sự vật hiện tượng, xây dựng phương pháp tư duy mới, tạo ra sự vật
mới trong các mối quan hệ mới. Tính mềm dẻo của tư duy có các đặc
trưng nổi bật:
- Dễ dàng chuyển từ hoạt động trí tuệ này sang hoạt động trí tuệ khác, vận
dụng linh hoạt các thao tác phân tích, tổng hợp, so sánh, trừu tượng hóa, khái
quát hóa, đặc biệt hóa và các phương pháp suy luận như quy nạp, diễn dịch,
tương tự.
- Suy nghĩ không rập khuôn, không áp dụng một cách máy móc những
kinh nghiệm kiến thức, kĩ năng đã có với hoàn cảnh mới trong đó có nhiều yếu
tố đã thay đổi không có ảnh hưởng từ những kinh nghiệm, cách suy nghĩ, phương
pháp đã có từ trước.
- Nhận ra những vấn đề mới trong điều kiện cũ, nhìn thấy chức năng mới
của đối tượng đã quen biết.
Như vậy, để rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh giáo viên có thể
cho các em giải một số bài tập mà thông qua đó rèn luyện được tính mềm dẻo
của tư duy.
b. Tính nhuần nhuyễn
Tính nhuần nhuyễn của tư duy thể hiện năng lực tạo ra một cách nhanh
chóng sự kết hợp các yếu tố riêng lẻ của tình huống, hoàn cảnh đưa ra giả
thuyết mới và ý tưởng mới.

8


Tính nhuần nhuyễn được đặc trưng bởi khả năng tạo ra một số lượng
nhất định các ý tưởng. Số ý tưởng được nghĩ ra càng nhiều thì càng có nhiều
khả năng xuất hiện ý tưởng độc đáo. Trong trường hợp này có thể nói số

lượng làm nảy sinh chất lượng.
Tính nhuần nhuyễn của tư duy được thể hiện rõ ở hai đặc trưng sau:
- Tính đa dạng của cách xử lý khi giải toán, khả năng tìm được nhiều giải
pháp trên nhiều góc độ và tình huống khác nhau. Đứng trước một vấn đề cần giải
quyết người có tư duy nhuần nhuyễn nhanh chóng tìm ra và đề xuất được
nhiều phương án khác nhau và từ đó tìm ra được phương án tối ưu.
- Khả năng xem xét đối tượng dưới nhiều khía cạnh khác nhau và có cái
nhìn sinh động từ nhiều phía đối với sự vật hiện tượng chứ không phải cái
nhìn bất biến, phiến diện, cứng nhắc.
c. Tính độc đáo
Tính độc đáo là khả năng tìm và quyết định phương thức mới.
Tính độc đáo của tư duy được đặc trưng bởi khả năng:
- Khả năng tìm ra những liên tưởng và những kết hợp mới
- Khả năng nhìn ra những mối liên hệ trong những sự kiện mà bên ngoài
tưởng như không có liên hệ với nhau.
- Khả năng tìm ra những giải pháp mới mặc dù đã biết giải pháp cũ.
d. Tính hoàn thiện
Tính hoàn thiện là khả năng lập kế hoạch, phối hợp các ý nghĩ và hành
động, phát triển ý tưởng, kiểm tra và chứng minh ý tưởng.
e. Tính nhạy cảm vấn đề
Là năng lực phát hiện ra vấn đề, sự mâu thuẫn, sai lầm, thiếu logic... từ
đó đưa ra hướng giải quyết, tạo ra cái mới.
Các yếu tố cơ bản của tư duy sáng tạo nêu trên biểu hiện khá rõ ở học
sinh đặc biệt là học sinh khá, giỏi. Trong các hoạt động giải toán các em biết
linh hoạt các hoạt động trí tuệ, biết sử dụng hợp lý quá trình phân tích, tổng
hợp, biết khái quát hóa, đặc biệt hóa, tương tự hóa…
Các yếu tố cơ bản nói trên không tách rời nhau mà trái lại chúng có quan hệ
mật thiết với nhau, hỗ trợ bổ sung cho nhau. Khả năng chuyển từ hoạt động trí tuệ
này sang hoạt động trí tuệ khác, đưa ra nhiều giải pháp dựa trên các góc độ và tình
huống khác nhau, nhờ đó có thể tìm được giải pháp lạ, đặc sắc.

9


Để rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua dạy học bộ môn toán
cần chú ý:
- Bồi dưỡng tư duy sáng tạo theo các thành tố cơ bản của tư duy sáng tạo
đó là tính mềm dẻo, tính nhuần nhuyễn, tính độc đáo, tính nhạy cảm vấn đề và tính
hoàn thiện.
- Bồi dưỡng tư duy sáng tạo cần kết hợp với các hoạt động trí tuệ như:
phân tích, tổng hợp, so sánh, tương tự, khái quát hóa, đặc biệt hóa ...
- Bồi dưỡng tư duy sáng tạo cần đặt trọng tâm vào việc rèn luyện khả
năng phát hiện và giải quyết vấn đề mới, khơi dậy những ý tưởng mới.
- Bồi dưỡng tư duy sáng tạo cần được tiến hành thường xuyên và lâu dài.
1.2. Tư duy toán học
1.2.1. Các hình thức tư duy trong toán học
1.2.1.1. Khái niệm
Khái niệm là hình thức tư duy phản ánh một lớp đối tượng, nó có thể
được xem xét theo hai phương diện: nội hàm và ngoại diên. Bản thân lớp đối
tượng xác định khái niệm được gọi là ngoại diên, toàn bộ các thuộc tính chung
của lớp đối tượng này được gọi là nội hàm của lớp đối tượng đó. Giữa nội hàm
và ngoại diên có mối liên hệ mang tính quy luật: Nội hàm càng rộng thì ngoại
diên càng bị thu hẹp và ngược lại.
Nếu ngoại diên của khái niệm A là một bộ phận của khái niệm B thì khái
niệm A được gọi là một khái niệm chủng của B, còn khái niệm B được gọi là một
khái niệm loại của A.
1.2.1.2. Phán đoán
Phán đoán là hình thức tư duy, trong đó khẳng định một dấu hiệu thuộc
hay không thuộc một đối tượng. Phán đoán có tính chất hoặc đúng hoặc sai và
nhất thiết chỉ xảy ra một trong hai trường hợp đó mà thôi.
Trong tư duy, phán đoán được hình thành bởi hai phương thức chủ yếu là

trực tiếp và gián tiếp. Trong trường hợp thứ nhất, phán đoán diễn đạt kết quả
nghiên cứu của quá trình tri giác một đối tượng, còn trong trường hợp thứ hai
phán đoán được hình thành thông qua một hoạt động trí tuệ đặc biệt gọi là suy
luận. Cũng như các khoa học khác, toán học thực chất là một hệ thống các
phán đoán về những đối tượng của nó, với nhiệm vụ xác định tính đúng sai của
các luận điểm.
10


1.2.1.3. Suy luận
Suy luận là một quá trình tư duy có quy luật, quy tắc nhất định (gọi là các
quy luật, quy tắc suy luận). Muốn suy luận đúng cần phải tuân theo những quy
luật, quy tắc ấy. Có hai hình thức suy luận là suy diễn và quy nạp. Suy diễn là
đi từ cái tổng quát đến cái riêng, còn quy nạp là đi từ cái riêng đến cái chung.
Trong dạy học toán, suy diễn và quy nạp không thể tách rời nhau. Quy
nạp để đi đến các luận đề chung làm cơ sở cho quá trình suy diễn, ngược lại
suy diễn để kiểm chứng kết quả của quy nạp.
1.2.2. Các thao tác tư duy trong toán học
1.2.2.1. Phân tích - Tổng hợp
Phân tích là thao tác tư duy để phân chia đối tượng nhận thức thành các
bộ phận, các mặt, các thành phần khác nhau. Trong giải toán, phân tích là
phương pháp suy luận đi từ cái chưa biết đến cái đã biết. Trong phân tích có
phân tích đi lên (suy ngược lùi) và phân tích đi xuống (suy ngược tiến).
Tổng hợp là hoạt động nhận thức phản ánh của tư duy biểu hiện trong
việc xác lập tính thống nhất của các phẩm chất, thuộc tính của các yếu tố trong
một sự vất nguyên vẹn, có thể có được trong việc xác định phương hướng
thống nhất và xác định các mối liên hệ, các mối quan hệ giữa các yếu tố của sự
vật nguyên vẹn đó, trong việc liên kết và liên hệ giữa chúng, chính vì vậy đã
thu được một sự vật và hiện tượng nguyên vẹn mới. Tổng hợp là thao tác tư
duy để hợp nhất các bộ phận, các mặt, các thành phần đã được tách rời nhờ sự

phân tích thành một chỉnh thể. Trong giải toán, phép tổng hợp là phương pháp
suy luận đi từ cái đã biết đến cái chưa biết.
Phép tổng hợp thường dùng khi trình bày lời giải sau quá trình phân tích.
Học sinh nắm vững phương pháp tổng hợp tạo điều kiện thuận lợi cho việc
khái quát hóa một dạng toán dựa trên các bài toán cụ thể, từ đó có thể đi đến
được lời giải của bài toán tổng quát; khi gặp những bài toán thuộc dạng đó, học
sinh có thể nhận ra đường lối chung để giải nó một cách dễ dàng.
Phân tích và tổng hợp có quan hệ mật thiết không thể tách rời, chúng là hai
mặt đối lập của một quá trình thống nhất. Phân tích tiến hành theo hướng tổng
hợp, tổng hợp được thực hiện theo kết quả phân tích. Phân tích để tổng hợp có cơ
sở và tổng hợp để phân tích đạt được chiều sâu bản chất của sự vật,

11


hiện tượng. Trong học tập môn toán, phân tích - tổng hợp có mặt ở mọi hoạt
động trí tuệ, là thao tác tư duy quan trọng nhất để giải quyết vấn đề.
Trong thực tế, đứng trước một bài toán, học sinh phải đặt ra cho mình
câu hỏi: Giả thiết bài toán cho điều gì? Kết luận của bài toán yêu cầu gì?
Muốn giải quyết yêu cầu của bài toán ta phải làm gì? Vận dụng kiến thức nào,
muốn thế ta phải thực hiện như thế nào? Đứng trước lời giải của một bài toán, học
sinh phải biết tự đặt câu hỏi: Bài toán tại sao lại được giải như vậy, dựa trên cơ
sở nào? Giải bài toán tổng quát như thế nào? Liệu có cách giải nào
khác không? Nếu thay đổi một số giả thiết thì bài toán thay đổi như thế nào?
Các trường hợp đặc biệt của bài toán ra sao?
Rèn luyện năng lực phân tích và tổng hợp cho học sinh là yếu tố rất quan
trọng trong dạy học toán, học sinh có năng lực này sẽ nhìn nhận các bài toán
một cách hệ thống, biết phán đoán, biết cách suy luận để tìm lời giải không
những cho một bài toán cụ thể mà còn cả hệ thống các lớp bài toán, biết nêu bài toán
tổng quát dẫn đến khả năng giải quyết được vấn đề ở mức độ cao nhất.

1.2.2.2. So sánh, tương tự hóa
So sánh là thao tác tư duy nhằm xác định sự giống nhau hay khác nhau, sự
đồng nhất hay không đồng nhất, sự bằng nhau hay không bằng nhau giữa các
đối tượng nhận thức. Trong hoạt động tư duy của học sinh thì so sánh giữ vai
trò tích cực cho việc tìm ra những dấu hiệu giống nhau, cũng như khác nhau
giữa hai sự vật hiện tượng. Việc nhận thức bản chất của sự vật, hiện tượng
không thể có nếu không tìm ra sự khác biệt sâu sắc, sự giống nhau giữa các sự vật,
hiện tượng.
Tương tự là một dạng so sánh mà từ hai đối tượng giống nhau ở một số
dấu hiệu, rút ra kết luận hai đối tượng đó cũng giống nhau ở dấu hiệu khác.
Như vậy, tương tự là sự giống nhau giữa hai hay nhiều đối tượng ở một mức
độ nào đó, trong một quan hệ nào đó.
1.2.2.3. Khái quát hóa, đặc biệt hóa
Khái quát hóa là hoạt động tư duy tách những thuộc tính chung và các
mối liên hệ chung, bản chất của sự vật, hiện tượng tạo nên nhận thức mới dưới
hình thức khái niệm, định luật, quy tắc.
- Khái quát hóa cảm tính là quá trình khái quát diễn ra trong hoàn cảnh
trực quan, thể hiện ở trình độ sơ đẳng.
12


- Khái quát hóa hình tượng, khái niệm là sự khái quát cả những tri thức
có tính chất khái niệm bản chất của sự vật, hiện tượng hoặc các mối quan hệ
không bản chất dưới dạng các hình tượng hoặc trực quan, các biểu tượng.
Đặc biệt hóa là quá trình ngược lại của quá trình khái quát hóa. Đặc biệt hóa
là yêu cầu đi từ cái chung đến cái riêng và làm rõ mối quan hệ chung riêng
giữa cái tổng quát và cái cụ thể, từ đó tìm được nhiều trường hợp riêng lẻ từ một
bài toán xuất phát.
1.2.2.4. Trừu tượng hóa
Trừu tượng hóa là thao tác tư duy nhằm gạt bỏ những mặt, những thuộc

tính, những liên hệ, quan hệ thứ yếu, không cần thiết và chỉ giữ lại các yếu tố
cần thiết cho tư duy. Sự phân biệt bản chất hay không bản chất ở đây chỉ
mang nghĩa tương đối, nó phụ thuộc mục đích hành động.
1.2.3. Một số loại hình tư duy trong toán học
Về cách phân loại những thành phần chủ yếu của tư duy, theo [12] có
bàn đến những thành phần chủ yếu của tư duy, bao gồm:
1.2.3.1. Tư duy cụ thể
Là tư duy trong tác động chặt chẽ với một hình mẫu cụ thể của đối tượng.
Người ta phân biệt hai hình thái tư duy cụ thể, đó là: tư duy linh hoạt và tư duy
không linh hoạt. 1.2.3.2. Tư duy trừu tượng
Là tư duy đặc trưng bởi kỹ năng và ý thức, tách khỏi nội dung cụ thể của đối
tượng đang nghiên cứu để thuận tiện hơn khi xét những tính chất chung nhất
cần nghiên cứu. Trong quá trình dạy học toán, tư duy trừu tượng có
những dạng biểu hiện, đó là: trong dạng rõ rệt và trong dạng không rõ rệt. Tư
duy trừu tượng được Koliagin và đồng tác giả phân chia thành ba hình thái cụ
thể và chi tiết hơn, đó là: tư duy phân tích, tư duy logic và tư duy lược đồ
không gian.
1.2.3.3. Tư duy trực giác
Trong lĩnh vực Toán học, có những người có khả năng dự đoán những kết
luận, với ý nghĩa đó người ta nói đến tư duy trực giác. Theo Koliagin và đồng
tác giả, thì trực giác là phương pháp đặc biệt của nhận thức được đặc trưng bởi
cách hiểu trực tiếp về sự thật. Người ta thường xếp vào lĩnh vực trực giác các
hiện tượng kiểu như: đột nhiên tìm ra lời giải của một bài toán
13


đã suy ngẫm nhiều nhưng chưa giải được, đột nhiên tìm ra một biện pháp để
thoát khỏi sự nguy hiểm, …
1.2.3.4. Tư duy hàm
Koliagin cho rằng: Tư duy hàm đặc trưng bởi sự hiểu biết những mối

quan hệ chung và riêng, bởi các quan hệ giữa những đối tượng toán học hoặc
giữa các tính chất của chúng và bởi kỹ năng sử dụng các quan hệ ấy. Theo G.S
Nguyễn Bá Kim: Tư duy hàm đặc trưng bởi các hoạt động phát hiện các sự
tương ứng, thiết lập các sự tương ứng, nghiên cứu các sự tương ứng, lợi
dụng các sự tương ứng [10].
Các hoạt động đặc trưng cho tư duy hàm đó là:
Hoạt động 1: Phát hiện hoặc thiết lập những sự tương ứng.
Hoạt động 2: Nghiên cứu những sự tương ứng.
Hoạt động 3: Lợi dụng những sự tương ứng.
Tư duy hàm thể hiện ở sự nhận thức được tiến trình những tương ứng
riêng và chung giữa các đối tượng toán học, hay những tính chất của chúng.
Để rèn luyện tư duy hàm cho học sinh trong quá trình dạy học toán, chúng ta
cần chú những hoạt động trí tuệ sau:
- Tập luyện cho học sinh phát hiện, thiết lập, nghiên cứu và lợi dụng
những tương ứng trong khi truyền thụ kiến thức và rèn luyện kỹ năng toán học.
- Thực hiện gợi động cơ sao cho những hoạt động tư duy hàm trở thành
những khả năng gợi động cơ nội tại toán học trong các giờ dạy học giải bài tập
toán.
- Hình thành ở học sinh những biểu tượng, tiến tới những tri thức về
tương ứng đơn trị, và tập luyện cho họ những hoạt động ăn khớp với những tri
thức phương pháp.
1.2.3.5. Tư duy phê phán
Tư duy phê phán nhằm trả lời hai câu hỏi sau:
- Ta sẽ tin vào điều gì?
- Ta sẽ lựa chọn cách nào?
Loại hình tư duy này đặc trưng bởi việc tạo lập tiêu chuẩn cho sự tin
tưởng vào hành động; kiên định thái độ "tin tưởng", "hoài nghi" và chỉ đưa ra
phán đoán, kết luận cuối cùng khi đã xem xét hết các tư liệu đã có.

14

1.2.3.6. Tư duy thuật toán
Thuật toán là một trong những khái niệm rất quan trọng của Toán học và
Tin học. Trong lịch sử Toán học, khái niệm thuật toán ra đời rất sớm và ban
đầu được hiểu theo nghĩa trực giác. Khái niệm thuật toán được hiểu theo nghĩa
trực tiếp đã được dùng trong suốt một thời gian rất dài. Mãi tới thế kỷ 20, xuất
hiện những bài toán yêu cầu phải chứng minh là không tồn tại thuật giải để giải
chúng. Khái niệm trực giác về thuật giải là không đủ để giải quyết vấn đề này. Từ
đó, những định nghĩa toán học chính xác về thuật toán đã ra
đời (trong số đó có khái niệm máy Turing và hàm đệ quy). Ở đây, chúng tôi
không trình bày những định nghĩa hình thức này mà chỉ nêu ra khái niệm
thuật toán theo định nghĩa trực giác.
Theo định nghĩa trực giác, thuật toán là một quy tắc chính xác và đơn trị quy
định một số hữu hạn những thao tác sơ cấp theo một trình tự nhất định trên
những đối tượng sao cho sau một số hữu hạn bước thực hiện các thao tác đó ta
thu được kết quả mong muốn.
Đây không phải là một định nghĩa toán học của khái niệm thuật toán, mà
chỉ là một cách phát biểu giúp ta hình dung khái niệm này. Cách phát biểu trên
chứa đựng một số thuật ngữ chưa được chính xác hóa, chẳng hạn: quy tắc, thao
tác sơ cấp. Tuy nhiên, khái niệm thuật toán được hiểu theo trực giác
có các tính chất cơ bản sau đây:
- Tính đơn trị: Tính đơn trị của thuật toán đòi hỏi các thao tác trong thuật
toán phải đơn trị. Nghĩa là hai phần tử cùng một cơ cấu thực hiện cùng một thao
tác trên cùng một đối tượng thì phải cho cùng một kết quả. Tính chất này
nói nên tính hình thức hóa của thuật toán, nhờ đó ta có thể lập trình giao cho
các thiết bị tự động thực hiện thuật toán thay thế con người.
- Tính dừng: Tính dừng của thuật toán yêu cầu sau một số hữu hạn lần
thực hiện các thao tác đã chỉ ra phải đi đến kết thúc và thu được kết quả như
mong muốn. Tính dừng của thuật toán không quy định cụ thế mỗi thuật toán

phải có bao nhiêu bước, điều đó phụ thuộc vào tính chất và độ phức tạp của bài
toán, nhưng phải đảm bảo không được lặp lại mãi.
- Tính đúng đắn: Thuật toán phải đảm bảo tính đúng đắn, tức là phải giải
quyết đúng vấn đề đặt ra, làm đúng công việc mà ta mong muốn. Thuật toán
không cho phép kết quả sai, hoặc không đầy đủ, hoặc bỏ sót trường hợp.
15