PHƯƠNG PHÁP GIẢI BT THỂ TÍCH KHỐI đa DIỆN

[CHUYÊN ĐỀ THỂ TÍCH – LTĐH 2017]

LỚP HỌC TRÍ VIỆT

CHUYÊN ĐỀ:
PHƯƠNG PHÁP GIẢI BT THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
A. THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
I/ Các công thức thể tích của khối đa diện:
1. THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ:
V= B.h

B : dieän tích ñaùy

h

với 

h : chieàu cao

B

a) Thể tích khối hộp chữ nhật:
V = a.b.c
với a,b,c là ba kích thước
b) Thể tích khối lập phương:
V = a3
với a là độ dài cạnh
2. THỂ TÍCH KHỐI CHÓP:

a

c
b

a

a

a

1
Bh
3
 B : dieän tích ñaùy
với 
 h : chieàu cao
V=

h

B
S

3. TỈ SỐ THỂ TÍCH TỨ DIỆN:
Cho khối tứ diện SABC và A’, B’, C’
là các điểm tùy ý lần lượt thuộc SA,
SB, SC ta có:
VSABC

VSA ' B ' C '

=

SA SB SC
SA ' SB' SC '

C'
A'

A

B'
C
B

4. THỂ TÍCH KHỐI CHÓP CỤT:
V=

(

h
B + B'+ BB'
3

)

B, B' : dieän tích hai ñaùy
với 
 h : chieàu cao

THIENDV

A'

B'
C'

A

B

C

1


[CHUYÊN ĐỀ THỂ TÍCH – LTĐH 2017]

LỚP HỌC TRÍ VIỆT

PHẦN I: THỂ TÍCH KHỐI CHÓP
 Nhắc lại cách xác định góc
1. Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P):
a. Tìm hình chiếu d/ của d lên mặt phẳng (P)
b. Khi đó góc giữa d và (P) là góc giữa d và d/
2. Góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) :
c. Xác định giao tuyến d của (P) và (Q)
d. Tìm trong (P) đường thẳng a ⊥ (d) , trong mặt phẳng (Q) đường thẳng b ⊥ (d)
e. Khi đó góc giữa (P) và (Q) là góc giữa hai đường thẳng a và b
Dạng 3 : TỶ SỐ THỂ TÍCH
- Việc tính thể tích của một khối chóp thường học sinh giải bị nhiều sai sót, Tuy nhiên trong các đề

thi lại yêu cầu học sinh tính thể tích của một khối chóp “nhỏ” của khối chóp đã cho. Khi đó học
sinh có thể thực hiện các cách sau:
+ Cách 1:
o Xác định đa giác đáy
o Xác định đường cao ( phải chứng minh đường cao vuông gới với mặt phẳng đáy)
o Tính thể tích khối chóp theo công thức
+ Cách 2
o Xác định đa giác đáy
o Tình các tỷ số độ dài của đường cao (nếu cùng đa giác đáy) hoặc diện tích đáy (nếu cùng
đường cao) của khối chóp “nhỏ” và khối chóp đã cho và kết luận thể tích khối cần tìm bằng
k lần
S
thể tích khối đã cho
+ Cách 3: Dùng tỷ số thể tích
M
K
n
Hai khối chóp S.MNK và S.ABC có chung đỉnh S và góc ở đỉnh S
VS .MNK SM SN SK
N
A
=
.
.
Ta có :
VS . ABC
SA SB SC
B

1) Dạng 1: Khối chóp có cạnh bên vuông góc với đáy

Ví dụ 1: Cho hình chóp SABC có SB = SC = BC = CA = a . Hai mặt (ABC) và (ASC) cùng vuông
góc với (SBC). Tính thể tích hình chóp .

A

a_

C

B

/
/

\
S

Lời giải:
Ta có
(ABC) ⊥ (SBC)
⇒ AC ⊥ (SBC)

 (ASC) ⊥ (SBC)

1
3

Do đó V = SSBC .AC =

1 a2 3

a3 3
a=
3 4
12

Ví dụ 2: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với AC = a biết SA
vuông góc với đáy ABC và SB hợp với đáy một góc 60o.
1) Chứng minh các mặt bên là tam giác vuông .
2)Tính thể tích hình chóp .

THIENDV

2

C


[CHUYÊN ĐỀ THỂ TÍCH – LTĐH 2017]

S

C

a

A

LỚP HỌC TRÍ VIỆT

Lời giải:

1) SA ⊥ (ABC) ⇒ SA ⊥ AB &SA ⊥ AC
mà BC ⊥ AB ⇒ BC ⊥ SB ( đl 3 ⊥ ).
Vậy các mặt bên chóp là tam giác vuông.
2) Ta có SA ⊥ (ABC) ⇒ AB là hình chiếu của
SB trên (ABC).
Vậy góc[SB,(ABC)] = ¼
SAB = 60o .

VABC vuông cân nên BA = BC =

60o

SABC =

1
a2
BA.BC =
2
4

a
2

a 6
2
1
1 a2 a 6 a3 6
Vậy V = SABC .SA =
=
3

3 4 2
24

B

VSAB ⇒ SA = AB.t an60o =

Ví dụ 3: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a biết SA vuông góc với đáy
ABC và (SBC) hợp với đáy (ABC) một góc 60o.Tính thể tích hình chóp .
Lời giải: Mlà trung điểm của BC,vì tam giác ABC
đều nên AM ⊥ BC ⇒ SA ⊥ BC (đl3 ⊥ ) .
Vậy góc[(SBC);(ABC)] = ¼
SMA = 60o .

S

Ta có V =
C

A

M
B

3a
2
3
1
1
a 3

Vậy V = B.h = SABC .SA =
3
3
8
VSAM ⇒ SA = AM tan 60o =

60 o
a

1
1
B.h = SABC .SA
3
3

Ví dụ 4: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông có cạnh a và SA vuông góc đáy
ABCD và mặt bên (SCD) hợp với đáy một góc 60o.
1) Tính thể tích hình chóp SABCD.
2) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCD).
Lời giải: 1)Ta có SA ⊥ (ABC) và
CD ⊥ AD ⇒ CD ⊥ SD ( đl 3 ⊥ ).(1)
¼
Vậy góc[(SCD),(ABCD)] = SDA
= 60o .

VSAD vuông nên SA = AD.tan60o = a 3
1
1
a3 3
Vậy V = SABCD .SA = a2 a 3 =

3
3
3

2) Ta dựng AH ⊥ SD ,vì CD ⊥ (SAD) (do (1) ) nên
CD ⊥ AH ⇒ AH ⊥ (SCD)
Vậy AH là khoảng cách từ A đến (SCD).

VSAD ⇒
THIENDV

1
1
1
1
1
4
=
+
= 2+ 2= 2
2
2
2
AH SA AD 3a a 3a
3


[CHUYÊN ĐỀ THỂ TÍCH – LTĐH 2017]

S

LỚP HỌC TRÍ VIỆT
Vậy AH =

H

60 o

A

a

B

a 3
2

D

C

2) Dạng 2 : Khối chóp có một mặt bên vuông góc với đáy
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông có cạnh a. Mặt bên SAB là tam
giác đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáyABCD,
1) Chứng minh rằng chân đường cao khối chóp trùng với trung điểm cạnh AB.

2) Tính thể tích khối chóp SABCD.

Lời giải:
1) Gọi H là trung điểm của AB.

VSAB đều ⇒ SH ⊥ AB
mà (SAB) ⊥ (ABCD) ⇒ SH ⊥ (ABCD)
Vậy H là chân đường cao của khối chóp.

S

D

A
B

2) Ta có tam giác SAB đều nên SA =
suy ra V =

H
a

C

1
a3 3
SABCD .SH =
3
6

a 3
2

Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCD có ABC là tam giác đều ,BCD là tam giác vuông cân tại D (ABC)
⊥ (BCD) và AD hợp với (BCD) một góc 60o .

Tính thể tích tứ diện ABCD.
Lời giải:
A
Gọi H là trung điểm của BC.
Ta có tam giác ABC đều nên AH ⊥ (BCD) , mà (ABC)
⊥ (BCD) ⇒ AH ⊥ (BCD) .
Ta có AH ⊥ HD ⇒ AH = AD.tan60o = a 3
a
B
H
C

a 3
3
VBCD ⇒ BC = 2HD = 2a 3 suy ra
3
1
1 1
a3 3
V = SBCD .AH = . BC.HD.AH =
3
3 2
9

& HD = AD.cot60o =
60

o

D

Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, có BC = a. Mặt bên
SAC vuông góc với đáy, các mặt bên còn lại đều tạo với mặt đáy một góc 450.
a)
Chứng minh rằng chân đường cao khối chóp trùng với trung điểm cạnh AC.
THIENDV

4


[CHUYÊN ĐỀ THỂ TÍCH – LTĐH 2017]
b)

LỚP HỌC TRÍ VIỆT

Tính thể tích khối chóp SABC.
Lời giải:
S
a) Kẽ SH ⊥ BC vì mp(SAC) ⊥ mp(ABC) nên SH ⊥
mp(ABC).
Gọi I, J là hình chiếu của H trên AB và BC ⇒ SI ⊥ AB,
¼ = 45o
SJ ⊥ BC, theo giả thiết ¼
SIH = SJH
Ta có: ∆SHI = ∆SHJ ⇒ HI = HJ nên BH là đường
H
phân giác của VABC ừ đó suy ra H là trung điểm của AC.

A

45

C

I

J

a
1
a3
⇒
b) HI = HJ = SH =
VSABC= S ABC .SH =
2
3
12

B

3) Dạng 3 : Khối chóp đều
Ví dụ 1: Cho chóp tam giác đều SABC cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng 2a. Chứng minh rằng
chân đường cao kẻ từ S của hình chóp là tâm của tam giác đều ABC.Tính thể tích chóp đều SABC
.
Lời giải:
Dựng SO ⊥ (ABC) Ta có SA = SB = SC suy ra
OA = OB = OC
Vậy O là tâm của tam giác đều ABC.
Ta có tam giác ABC đều nên

S
2a

AO =

C

A
a

O

2
2a 3 a 3
AH =
=
3
3 2
3

VSAO ⇒ SO2 = SA 2 − OA 2 =

H

⇒ SO =

B

11a2
3

a 11
1
a3 11
.Vậy V = SABC .SO =
3
12
3

Ví dụ 2:Cho khối chóp tứ giác SABCD có tất cả các cạnh có độ dài bằng a .
1) Chứng minh rằng SABCD là chóp tứ giác đều.
2) Tính thể tích khối chóp SABCD.

S

C

D
O
A

THIENDV

a

B

Lời giải:
Dựng SO ⊥ (ABCD)
Ta có SA = SB = SC = SD nên

OA = OB = OC = OD ⇒ ABCD là hình thoi
có đường tròn gnoại tiếp nên ABCD là hình
vuông .
Ta có SA2 + SB2 = AB2 +BC2 = AC2 nên

a 2
2
3
⇒ V = 1 S ABCD .SO = 1 a 2 a 2 = a 2
3
3
2
6

VASC vuông tại S ⇒ OS =

Vậy V =

a3 2
6
5


[CHUYÊN ĐỀ THỂ TÍCH – LTĐH 2017]

LỚP HỌC TRÍ VIỆT

Ví dụ 3: Cho khối tứ diện đều ABCD cạnh bằng a, M là trung điểm DC.
a) Tính thể tích khối tứ diện đều ABCD.
b)Tính khoảng cách từ M đến mp(ABC).Suy ra thể tích hình chóp MABC.

Lời giải:
a) Gọi O là tâm của ∆ABC ⇒ DO ⊥ ( ABC )

D

1
V = S ABC .DO
3
a2 3
2
a 3
, OC = CI =
S ABC =
3
3
4

M

A

C
H

O
I

a
B

∆DOC vuông có : DO = DC 2 − OC 2 =

1 a 2 3 a 6 a3 2
⇒V =
.
=
3 4
3
12
b) Kẻ MH// DO, khoảng cách từ M đến mp(ABC) là
MH

MH =
⇒ VMABC

1
a 6
DO =
2
6

1
1 a 2 3 a 6 a3 2
= S ABC .MH =
.
=
3
3 4
6
24

Vậy V =

4) Dạng 4 :

a 6
3

a3 2
24

Khối chóp & phương pháp tỷ số thể tích

Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông cân ở B,

AC = a 2

,SA vuông góc

với đáy ABC , SA = a
1) Tính thể tích của khối chóp S.ABC.
2) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, mặt phẳng ( α ) qua AG và song song với BC cắt SC,
SB lần lượt tại M, N. Tính thể tích của khối chóp S.AMN
Lời giải:
a)Ta có:

1
VS . ABC = S ABC .SA và SA = a
3

+ ∆ABC cân có : AC = a 2 ⇒ AB = a

⇒ S ABC =

1 2
1 1
a3
a Vậy: VSABC = . a 2 .a =
2
3 2
6

b) Gọi I là trung điểm BC.

THIENDV

6


[CHUYÊN ĐỀ THỂ TÍCH – LTĐH 2017]

LỚP HỌC TRÍ VIỆT

SG 2
=
SI 3
α // BC ⇒ MN// BC ⇒ SM = SN = SG = 2
SB SC SI 3

S

G là trọng tâm,ta có :

N

⇒
C

G

A

VSAMN SM SN 4
=
.
=
VSABC
SB SC 9

Vậy: VSAMN =

M
I

4
2a 3
VSABC =
9
27

B

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC vuông cân ở A và AB = a . Trên đường thẳng qua C và vuông góc
với mặt phẳng (ABC) lấy điểm D sao cho CD = a . Mặt phẳng qua C vuông góc với BD, cắt BD
tại F và cắt AD tại E.
a) Tính thể tích khối tứ diện ABCD.
b) Chứng minh CE ⊥ ( ABD )
c) Tính thể tích khối tứ diện CDEF.
Lời giải:
D

a)Tính
F

VABCD : VABCD = 1 SABC .CD = a

3

3

6
AB ⊥ AC , AB ⊥ CD ⇒ AB ⊥ ( ACD )

b)Tacó:

⇒ AB ⊥ EC

a

Ta có:

E
B

C
a
A

c) Tính

DB ⊥ EC ⇒ EC ⊥ ( ABD)

VDCEF :Ta có:

VDCEF DE DF
=
.
(*)
VDABC DA DB

Mà DE.DA = DC 2 , chia cho DA2

DE DC 2
a2
1
=
=
=
DA DA2 2a 2 2
DF DC 2

a2
1
Tương tự:
=
=
=
DB DB 2 DC 2 + CB 2 3
⇒

Từ(*) ⇒

3
VDCEF 1
= .Vậy VDCEF = 1 VABCD = a
VDABC 6
6
36

Ví dụ 3: Cho khối chóp tứ giác đều SABCD. Một mặt phẳng (α ) qua A, B và trung điểm M của
SC . Tính tỉ số thể tích của hai phần khối chóp bị phân chia bởi mặt phẳng đó.

THIENDV

7


[CHUYÊN ĐỀ THỂ TÍCH – LTĐH 2017]
S

N

M D

A
O

B

C

LỚP HỌC TRÍ VIỆT

Lời giải:
Kẻ MN // CD (N ∈ SD) thì hình thang ABMN là thiết
diện của khối chóp khi cắt bởi mặt phẳng (ABM).
VSAND SN 1
1
1
=
= ⇒ VSANB = VSADB = VSABCD
+
VSADB SD 2
2
4
VSBMN SM SN 1 1 1
1
1
=
.
= . = ⇒ VSBMN = VSBCD = VSABCD
VSBCD

SC SD 2 2 4
4
8
3
Mà VSABMN = VSANB + VSBMN = VSABCD .
8
5
Suy ra VABMN.ABCD = VSABCD
8
VSABMN
3
=
Do đó :
V ABMN . ABCD 5

Ví dụ 4: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên tạo với đáy góc
60ο . Gọi M là trung điểm SC. Mặt phẳng đi qua AM và song song với BD, cắt SB tại E và cắt
SD tại F.
a) Hảy xác định mp(AEMF)
b) Tính thể tích khối chóp S.ABCD

c) Tính thể tích khối chóp S.AEMF

Lời giải:
a) Gọi I = SO ∩ AM . Ta có (AEMF) //BD ⇒ EF //
BD

S

b)

M

+ VSOA có : SO = AO.tan 60ο =

E

B

I

C
F

Vậy :

VS . ABCD

a 6
2

a3 6
=
6

c) Phân chia chóp tứ giác ta có

O
A

1

VS . ABCD = S ABCD .SO với S ABCD = a 2
3

D

VS . AEMF = VSAMF + VSAME =2VSAMF
VS . ABCD = 2VSACD = 2 VSABC
Xét khối chóp S.AMF và S.ACD
Ta có :

⇒

SM 1
=
SC 2

∆SAC có trọng tâm I, EF // BD nên:

⇒

VSAMF SM SF 1
SI SF 2
=
.
=
=
= ⇒
VSACD SC SD 3
SO SD 3

1
1
a3 6
⇒ VSAMF = VSACD = VSACD =
3
6
36

⇒ VS . AEMF = 2
THIENDV

a3 6 a3 6
=
36
18
8


[CHUYÊN ĐỀ THỂ TÍCH – LTĐH 2017]

LỚP HỌC TRÍ VIỆT

Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc đáy,
SA = a 2 . Gọi B’, D’ là hình chiếu của A lần lượt lên SB, SD. Mặt phẳng (AB’D’) cắt SC tại
C’.
a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
b) Chứng minh SC ⊥ ( AB ' D ')
c) Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’
Lời giải:
a) Ta có:

S

VS . ABCD

1
a3 2
= S ABCD .SA =
3
3

b) Ta có BC ⊥ ( SAB ) ⇒ BC ⊥ AB '
& SB ⊥ AB ' Suy ra: AB ' ⊥ ( SBC )
nên AB' ⊥ SC .Tương tự AD' ⊥ SC.
Vậy SC ⊥ (AB'D')
B'

C'
D'

I
B
O
C

VS . A B 'C ' D '

VSAB 'C ' SB ' SC '
=
.

(*)
VSABC SB SC
SC ' 1
=
∆SAC vuông cân nên
SC
2
2
2
SB ' SA
2a
2a 2 2
Ta có:
=
=
=
=
SB SB 2 SA2 + AB 2 3a 2 3
VSAB ' C '
1
=
Từ (*) ⇒
VSABC
3
+Tính

A

D

c) Tính

VS . AB 'C ' : Ta có:

1 a 3 2 a3 2
⇒ VSAB 'C ' = .
=
3 3
9
+

VS . A B 'C ' D ' = 2VS . A B 'C '

2a 3 2
=
9

5) Dạng 5 : Ôn tập khối chóp và lăng trụ
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA vuông
góc đáy. Góc giữa SC và đáy bằng 60ο và M là trung điểm của SB.
1) Tính thể tích của khối chóp S.ABCD.
2) Tính thể tích của khối chóp MBCD.
Lời giải:
a)Ta có

1
V = S ABCD .SA
3

2

2
+ S ABCD = (2a) = 4a

+ ∆SAC có : SA = AC tan C = 2a 6

1 2
8a 3 6
⇒ V = 4a .2a 6 =
3
3

b) Kẻ MH / / SA ⇒ MH ⊥ ( DBC )
THIENDV

9


[CHUYÊN ĐỀ THỂ TÍCH – LTĐH 2017]

LỚP HỌC TRÍ VIỆT

S

Ta có: MH =

1
1
SA , S BCD = S ABCD
2
2

1
2a 3 6
⇒ VMBCD = V =
4
3
H

A

B

60o
D

C

2a

.

Ví dụ 2: Cho hình chóp tam giác S.ABC có AB = 5a, BC = 6a, CA = 7a. Các mặt
bên SAB, SBC, SCA tạo với đáy một góc 60o .Tính thể tích khối chóp.
Lời giải:
Hạ SH ⊥ ( ABC ) , kẽ HE ⊥ AB, HF ⊥ BC, HJ ⊥ AC
suy ra SE ⊥ AB, SF ⊥ BC, SJ ⊥ AC . Ta có
¼
¼ = SJH
¼ = 60O ⇒
SEH = SFH

S

∆SAH = ∆SFH = ∆SJH nên HE =HF = HJ = r

( r là bán kính đường tròn ngọai tiếp ∆ABC )

p ( p − a )( p − b)( p − c)
a+b+c
= 9a Nên SABC = 9.4.3.2 a 2
với p =
2
S 2 6a
Mặt khác SABC = p.r ⇒ r =
=
p
3
Ta có SABC =

J
A

C

60

H

E

F
B

Tam giác vuông SHE:

2 6a
. 3=2 2 a
3
1
2
3
Vậy VSABC = 6 6 a .2 2 a = 8 3 a .
3

SH = r.tan 600 =

Ví dụ 3:

Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có

AB = a 3 , AD = a,

AA’ = a, O là giao điểm của AC và BD.
a) Tính thể tích khối hộp chữ nhật, khối chóp OA’B’C’D’
b) Tính thể tích khối OBB’C’.

c) Tính độ dài đường cao đỉnh C’ của tứ diện OBB’C’.
Lời giải:
a) Gọi thể tích khối hộp chữ nhật là V.
Ta có : V

= AB. AD.AA ' = a 3.a 2 = a 3 3

∆ABD có : DB = AB 2 + AD 2 = 2a
* Khối OA’B’C’D’ có đáy và đường cao giống

1
a3 3
khối hộp nên: ⇒ VOA ' B 'C ' D ' = V =
3
3
THIENDV

10


[CHUYÊN ĐỀ THỂ TÍCH – LTĐH 2017]
A

B
O

D

LỚP HỌC TRÍ VIỆT

b) M là trung điểm BC

⇒ OM ⊥ ( BB ' C ')

1
1 a 2 a 3 a3 3
⇒ VO BB 'C ' = S BB 'C ' .OM = . .
=
3
3 2 2
12

M
C

c) Gọi C’H là đường cao đỉnh C’ của tứ
B'

A'

diện OBB’C’. Ta có : C ' H =

3VOBB 'C '
SOBB '

∆ABD có : DB = AB 2 + AD 2 = 2a

C'
D'

⇒ SOBB ' =

1 2
a ⇒ C ' H = 2a 3

2

Ví dụ 4: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’có cạnh bằng a.
Tính thể tích khối tứ diện ACB’D’.

B

A

D

Lời giải:
Hình lập phương được chia thành: khối
ACB’D’ và bốn khối CB’D’C’, BB’AC,
D’ACD, AB’A’D’.
+Các khối CB’D’C’, BB’AC, D’ACD,
AB’A’D’ có diện tích đáy và chiều cao bằng
nhau nên có cùng thể tích.
Khối CB’D’C’ có

C

1 1
1
V1 = . a 2 .a = a 3
3 2
6

+Khối lập phương có thể tích:
A'

B'

1
6

V2 = a 3

⇒ VACB ' D ' = a 3 − 4. a 3 =

1 3
a
3

C'
D'
a

Ví dụ 5: Cho hình lăng trụ đứng tam giác có các cạnh bằng a.
a) Tính thể tích khối tứ diện A’B’ BC

b) E là trung điểm cạnh AC, mp(A’B’E) cắt BC tại F. Tính th ể tích
khối CA’B’FE.
Lời giải:
a) Khối A’B’ BC:Gọi I là trung điểm AB,

VA ' B ' BC

1
1 a 2 a 3 a3 3

= S A ' B ' B .CI =
.
=
3
3 2 2
12

b)Khối CA’B’FE: phân ra hai khối CEFA’ và
CFA’B’.
+Khối A’CEFcó đáy là CEF, đường cao A’A nên

THIENDV

11


[CHUYÊN ĐỀ THỂ TÍCH – LTĐH 2017]
E

A
I

B
F

C

LỚP HỌC TRÍ VIỆT

1

VA 'CEF = SCEF . A ' A
3
SCEF

1
a2 3
a3 3
⇒ VA 'CEF =
= S ABC =
48
4
16

+Gọi J là trung điểm B’C’. Ta có khối A’B’CF có
đáy là CFB’, đường cao JA’ nên
B'

A'
J
C'

VA ' B 'CF

1
1
a2
= SCFB' . A ' J SCFB' = SCBB ' =
3
2
4

⇒ VA ' B ' CF

1 a 2 a 3 a3 3
=
=
3 4 2
24

+ Vậy : VCA'B'FE =

THIENDV

a3 3
16

12


[CHUYÊN ĐỀ THỂ TÍCH – LTĐH 2017]

LỚP HỌC TRÍ VIỆT

PHẦN 2. THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ
1) Dạng 1: Khối lăng trụ đứng có chiều cao hay cạnh đáy
Ví dụ 1: Đáy của lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ là tam giác ABC vuông cân tại A có cạnh
BC = a 2 và biết A'B = 3a. Tính thể tích khối lăng trụ.
Lời giải:
Ta có

C'

A'

VABC vuông cân tại A nên AB = AC = a
ABC A'B'C' là lăng trụ đứng ⇒ AA' ⊥ AB

B'
3a

VAA'B ⇒ AA'2 = A'B2 − AB2 = 8a2
⇒ AA' = 2a 2
Vậy V = B.h = SABC .AA' = a3 2

a 2 C

A
a

B
Ví dụ 2: Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’D' có cạnh bên bằng 4a và đường chéo 5a. Tính
thể tích khối lăng trụ này.
Lời giải:
C'
D'
ABCD A'B'C'D' là lăng trụ đứng nên
BD2 = BD'2 - DD'2 = 9a2 ⇒ BD = 3a
A'

ABCD là hình vuông ⇒ AB =

B'
4a

5a
C

D

9a2
Suy ra B = SABCD =
4

3a
2

Vậy V = B.h = SABCD.AA' = 9a3

A

B

Ví dụ 3: Đáy của lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ là tam giác đều cạnh
a = 4 và biết diện tích tam giác A’BC bằng 8. Tính thể tích khối lăng trụ.
Lời giải:
Gọi I là trung điểm BC .Ta có
V ABC đều nên
AB 3
AI =
= 2 3 & AI ⊥ BC

2

C'

A'
B'

A

C
I
B

⇒ A 'I ⊥ BC(dl3 ⊥)
2S
1
SA'BC = BC.A 'I ⇒ A 'I = A'BC = 4
2
BC
AA ' ⊥ (ABC) ⇒ AA ' ⊥ AI .
VA 'AI ⇒ AA ' = A 'I 2 − AI 2 = 2
Vậy : VABC.A’B’C’ = SABC .AA'= 8 3

Ví dụ 4: Một tấm bìa hình vuông có cạnh 44 cm, người ta cắt bỏ đi ở mỗi góc
tấm bìa một hình vuông cạnh 12 cm rồi gấp lại thành một cái hộp chữ nhật
không có nắp. Tính thể tích cái hộp này.

THIENDV

13

[CHUYÊN ĐỀ THỂ TÍCH – LTĐH 2017]
C'

D'

A'

D'

D'

D

A'

A

B'
D

C

A

A'

B

LỚP HỌC TRÍ VIỆT
Giải
Theo đề bài, ta có
C'
AA' = BB' = CC' = DD' = 12 cm nên
C C' ABCD là hình vuông có
AB = 44 cm - 24 cm = 20 cm
và chiều cao hộp h = 12 cm
Vậy thể tích hộp là
B B' V = SABCD.h = 4800cm3
B'

Ví dụ 5: Cho hình hộp đứng có đáy là hình thoi cạnh a và có góc nhọn bằng
600 Đường chéo lớn của đáy bằng đường chéo nhỏ của lăng trụ.
Tính thể tích hình hộp .
Lời giải:
Ta có tam giác ABD đều nên : BD = a
C'
a2 3
và SABCD = 2SABD =
2

D'
B'

A'

C

D

A

B

60

a 3
=a 3
2
VDD'B ⇒ DD' = BD'2 − BD 2 = a 2
a3 6
Vậy V = SABCD.DD' =
2

Theo đề bài BD' = AC = 2

2)Dạng 2: Lăng trụ đứng có góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.
Ví dụ 1: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với BA = BC =
a, biết A'B hợp với đáy ABC một góc 600 . Tính thể tích lăng trụ.
C'

A'

B'

C

A
60o

Lời giải:
Ta có A 'A ⊥ (ABC) ⇒ A 'A ⊥ AB& AB là
hình chiếu của A'B trên đáy ABC .
Vậy góc[A 'B,(ABC)] = ¼
ABA ' = 60o

VABA ' ⇒ AA ' = AB.tan 600 = a 3
1
a2
SABC = BA.BC =
2
2
a3 3
Vậy V = SABC.AA' =
2

B

Ví dụ 2: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại A với AC =
¼ = 60 o biết BC' hợp với (AA'C'C) một góc 300. Tính AC' và thể tích lăng trụ.
a , ACB

THIENDV

14


[CHUYÊN ĐỀ THỂ TÍCH – LTĐH 2017]

A'

Lời giải:

C'

LỚP HỌC TRÍ VIỆT

VABC ⇒ AB = AC.tan 60o = a 3 .

Ta có:

AB ⊥ AC;AB ⊥ AA' ⇒ AB ⊥ (AA'C'C)

B'

nên AC' là hình chiếu của BC' trên (AA'C'C).
Vậy góc[BC';(AA"C"C)] = ¼
BC'A = 30o

o
30

VAC'B ⇒ AC' =

AB
= 3a
t an30o

V =B.h = SABC.AA'

A

VAA'C' ⇒ AA' = AC'2 − A'C'2 = 2a 2
2
VABC là nửa tam giác đều nên SABC = a 3
2
3
Vậy V = a 6

C

a
o
60
B

Ví dụ 3: Cho lăng trụ đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD là hình vuông cạnh a và đường chéo
BD' của lăng trụ hợp với đáy ABCD một góc 30 0. Tính thể tích và tổng diên tích của các mặt bên
của lăng trụ .
Giải:
Ta có ABCD A'B'C'D' là lăng trụ đứng nên ta có:
DD' ⊥ (ABCD) ⇒ DD' ⊥ BD và BD là hình chiếu của
BD' trên ABCD .
Vậy góc [BD';(ABCD)] = ¼
DBD' = 300

B'

C'
A'

D'

o
30

C
D

VBDD' ⇒ DD' = BD.tan 300 =

B

A

Vậy V = SABCD.DD' =

a

a 6
3

a 3 6 S = 4S
4a 2 6
ADD'A' =
3
3

o
Ví dụ 4: Cho hình hộp đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và ¼

BAD = 60
biết AB' hợp với đáy (ABCD) một góc 30o . Tính thể tích của hình hộp.

Giải

C'

B'

VABD đều cạnh a ⇒ SABD =
A'

D'

o
30
A

C

B

60 o
a

D

a2 3
4

a2 3
2
VABB' vuông tạiB ⇒ BB' = ABt an30o = a 3
3a3
Vậy V = B.h = SABCD .BB' =
2
⇒ SABCD = 2SABD =

3) Dạng 3: Lăng trụ đứng có góc giữa 2 mặt phẳng

THIENDV

15


[CHUYÊN ĐỀ THỂ TÍCH – LTĐH 2017]

LỚP HỌC TRÍ VIỆT

Ví dụ 1: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với BA
= BC = a ,biết (A'BC) hợp với đáy (ABC) một góc 600 .Tính thể tích lăng trụ.
Lời giải:
A'
C'
Ta có A 'A ⊥ (ABC)& BC ⊥ AB ⇒ BC ⊥ A 'B
Vậy góc[(A 'BC),(ABC)] = ¼
ABA ' = 60o
B'

A

VABA ' ⇒ AA ' = AB.tan 600 = a 3
1
a2
SABC = BA.BC =
2
2
a3 3
Vậy V = SABC.AA' =
2

C

60o
B

Ví dụ 2: Đáy của lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ là tam giác đều . Mặt (A’BC) tạo với đáy
một góc 300 và diện tích tam giác A’BC bằng 8. Tính thể tích khối lăng trụ.
Giải: VABC đều ⇒ AI ⊥ BC mà AA' ⊥ (ABC)
C'
A'
nên A'I ⊥ BC (đl 3 ⊥ ).
¼'IA = 30o
Vậy góc[(A'BC);)ABC)] = A

2x 3
= x 3 .Ta có
2
2 AI 2 x 3
∆A' AI : A' I = AI : cos 30 0 =

=
= 2x
3
3
Giả sử BI = x ⇒ AI =

B'

30o

A

A’A = AI.tan 300 =

C

x 3.

3
=x
3

3
⇒x=2

Vậy VABC.A’B’C’ = CI.AI.A’A = x3

B

xI

Mà SA’BC = BI.A’I = x.2x = 8
Do đó VABC.A’B’C’ = 8 3

Ví dụ 3: Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD A'B'C'D' có cạnh đáy a và mặt phẳng (BDC') hợp với
đáy (ABCD) một góc 60o.Tính thể tích khối hộp chữ nhật.
D'

C'

A'

B'

C

60

D

0

O
B

a

A

Gọi O là tâm của ABCD . Ta có

ABCD là hình vuông nên OC ⊥ BD
CC' ⊥ (ABCD) nên OC' ⊥ BD (đl
¼
góc[(BDC');(ABCD)] = COC'
= 60o
Ta có V = B.h = SABCD.CC'
ABCD là hình vuông nên SABCD = a2

3 ⊥ ).

Vậy

VOCC' vuông nên CC' = OC.tan60o = a 6
2
3
a 6
Vậy V =
2

Ví dụ 4: Cho hình hộp chữ nhật ABCD A'B'C'D' có AA' = 2a ; mặt phẳng (A'BC) hợp với đáy
(ABCD) một góc 60o và A'C hợp với đáy (ABCD) một góc 30o .Tính thể tích khối hộp chữ nhật.
THIENDV

16


[CHUYÊN ĐỀ THỂ TÍCH – LTĐH 2017]

D'

A'
C'

B'
2a

o
60

D

A
o
30

B

4) Dạng 4:

C

LỚP HỌC TRÍ VIỆT
Ta có AA' ⊥ (ABCD) ⇒ AC là hình chiếu của
A'C trên (ABCD) .
Vậy góc[A'C,(ABCD)] = ¼
A 'CA = 30o
BC ⊥ AB ⇒ BC ⊥ A'B (đl 3 ⊥ ) .
Vậy góc[(A'BC),(ABCD)] = ¼
A 'BA = 60o

VA 'AC ⇒ AC = AA'.cot30o = 2a 3
2a 3
VA 'AB ⇒ AB = AA'.cot60o =
3
4a 6
VABC ⇒ BC = AC2 − AB2 =
3
3
16a 2
Vậy V = AB.BC.AA' =
3

Khối lăng trụ xiên

Ví dụ 1: Cho lăng trụ xiên tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , biết cạnh bên
là a 3 và hợp với đáy ABC một góc 60o . Tính thể tích lăng trụ.
A'

C'
B'

C

A
a

B

o
60

H

Lời giải:
Ta có C'H ⊥ (ABC) ⇒ CH là hình chiếu của
CC' trên (ABC)
Vậy góc[CC',(ABC)] = ¼
C'CH = 60o

VCHC' ⇒ C'H = CC'.sin 600 =
SABC = =

3a
2

a 2 3 .Vậy V = S .C'H = 3a 3 3
ABC
4
8

Ví dụ 2: Cho lăng trụ xiên tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a . Hình chiếu
của A' xuống (ABC) là tâm O đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC biết AA' hợp với đáy ABC một
góc 60
1) Chứng minh rằng BB'C'C là hình chữ nhật.
2) Tính thể tích lăng trụ .

THIENDV

17

[CHUYÊN ĐỀ THỂ TÍCH – LTĐH 2017]

A'

Lời giải:
1) Ta có A 'O ⊥ (ABC) ⇒ OA là hình chiếu
của AA' trên (ABC)
¼ ' = 60o
Vậy góc[AA ',(ABC)] = OAA
Ta có BB'CC' là hình bình hành ( vì mặt bên của
lăng trụ)
AO ⊥ BC tại trung điểm H của BC nên
BC ⊥ A 'H (đl 3 ⊥ )
⇒ BC ⊥ (AA 'H) ⇒ BC ⊥ AA ' mà AA'//BB'
nên BC ⊥ BB' .Vậy BB'CC' là hình chữ nhật.

C'

B'

A

60 o

2
2a 3 a 3
AH =
=
3
3 2

3
o
VAOA ' ⇒ A 'O = AO t an60 = a
a3 3
Vậy V = SABC.A'O =
4

2) VABC đều nên AO =

C

O

a

LỚP HỌC TRÍ VIỆT

H
B

Ví dụ 3: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình chữ nhật với AB =

3 AD = 7 .Hai mặt

bên (ABB’A’) và (ADD’A’) lần lượt tạo với đáy những góc 450 và 600. . Tính thể tích khối hộp
nếu biết cạnh bên bằng 1.
D'
C'

A'

Lời giải:
Kẻ A’H ⊥ ( ABCD ) ,HM ⊥ AB, HN ⊥ AD
⇒ A' M ⊥ AB, A' N ⊥ AD (đl 3 ⊥ )
¼
⇒¼
A'MH = 45o ,A'NH
= 60o
Đặt A’H = x . Khi đó

B'

A’N = x : sin 600 =
D
C

N
A

H
M

AN =

2x
3

3 − 4x 2
AA' − A' N =
= HM

3
2

2

Mà HM = x.cot 450 = x
B

3 − 4x 2
⇒x=
3

Nghĩa là x =

3
7

Vậy VABCD.A’B’C’D’ = AB.AD.x
=

THIENDV

3. 7.

3
=3
7

18