BÍ kíp GIẢI TÍCH PHÂN hàm hữu tỷ

Fanpage: Thầy Duy Thành – Tiến sĩ Toán

BÍ KÍP GIẢI QUYẾT CÂU TÍCH PHÂN
Chuyên đề 1. Tích phân hàm hữu tỉ
1. CÁCH GIẢI CHUNG


Tích phân hữu tỉ có dạng I  


f ( x)
dx
g ( x)

TH1: Bậc của f(x) < g(x):

 A a  b
A
A
dx  ln ax  b  ln
 a a  b
a
 ax  b


Dạng 1: I  

(1)



A
dx
2
 ax  bx  c

Dạng 2: I  




Đặt


 1
A
A
1 
 0 I  
dx 


 dx

a( x2  x1 )   x  x2 x  x1 
 a ( x  x1 )( x  x2 )




A

A
 0 I  
dx  
2
a( x  x0 )
 a ( x  x0 )
0 I 

(quay về 1)



(3)


A
dx

a  ( x  x0 )2  k 2

(4)
0

0

0

0

 

A
A

x  x0  k tan t  t   ;  suy ra I 
dt

t
2 2
ka 
ka



Ax  B
dx
 ax  bx  c

Dạng 3: I  

2

C ( x  x1 )  D( x  x2 )
1  C
D 
 0 I  
dx   

 dx
a( x  x1 )( x  x2 )
a   x  x2 x  x1 






Ax  B
1  A( x  x0 )  C
d
x

dx

2
2
a
(
x

x
)
a
a
(
x

x
)


0

0

(quay về 1)



 0 I  




1  A
C
 

 dx
a   x  x0 ( x  x0 ) 2 

(quay về 1,3)


Fanpage: Thầy Duy Thành – Tiến sĩ Toán



k (ax 2  bx  c) ' h
0 I  
dx
ax 2  bx  c







d (ax 2  bx  c)
dx
 k
 h 2
 k ln ax 2  bx  c
2
ax  bx  c

 ax  bx  c



 (4)


Chú ý: Trong trường hợp g(x) có bậc lớn hơn 2 ta sẽ giảm bậc của g(x) bằng cách đổi
biến, sử dụng kĩ thuật vi phân hoặc tách ghép (đồng nhất hệ số), nhân, chia để quay về

du
các dạng đã biết ở trên hoặc dạng I   n
 u
TH2: Bậc của f ( x)  g ( x) .
Cách giải chung: ta chia f(x) cho g(x):





r ( x) 
r ( x)
I    h( x ) 
dx   h( x)dx  
dx  I1  I 2

g ( x) 


 g ( x)


I1   h( x)dx : tích phân cơ bản




I2  


r ( x)
dx : quay về TH1
g ( x)

2. MỘT SỐ VÍ DỤ

2x 3  x 2  2x  4
Ví dụ 1. Tính tích phân sau: I1  
dx
2x  1
1
2

Lời giải:
2
2
 x3

2x 3  x 2  2x  4
5 
5
10 5

dx    x 2  1 
d
x


  x  ln 2x  1    ln 3

2x  1
2x  1 
2
1
1
1 3

1 3 2
2

2

I1  

1

Ví dụ 2. Tính tích phân sau: I 2  
0

Lời giải:

x 4  2x 3  4 x 2  x-2
dx
x 2  2x  3


Fanpage: Thầy Duy Thành – Tiến sĩ Toán
1
1
 2
2  x  1   x  3 
x 4  2x 3  4 x 2  x-2
x5 
 2
I2  
d
x


x

1

d
x

x

1


dx

0 
0
x 2  2x  3
x 2  2x  3 
 x  1 x  3 
0

1

 x3

1 
2
 2
 2

   x 1 

 dx    x  2ln x  3  ln x  1   2ln 3  ln 2 
3
 x  3 x  1 
0 
3
0
1

1

4x 3  4 x 2  7x-2
dx
2
4
x

4x+1
1
2

Ví dụ 3. Tính tích phân sau: I 3  
Lời giải:

2
2

4x 3  4 x 2  7x-2
6x  2 

3(2x  1)  1 

I3  
dx    x  2
dx
dx    x 
2
4 x  4x+1
4x  4x  1 
(2x  1) 2 
1
1
1 
2

2


 x2 3

3
1
1
  x 

d
x

  ln 2x  1 


2 
2x  1 (2x  1) 
2(2x  1) 
1 
 2 2
11 3
  ln 3
6 2

2

1

2 x 2  x-1
Ví dụ 4. Tính tích phân sau: I 4   2
dx
0 x +2x+4
2

Lời giải:

3


(2x  2)  6 

2 x  x-1
3x  9 

2

I4   2
dx=   2  2
 dx
 dx    2  2
x
+2x+4
x

2x

4
x  2x  4 

0
0
0


2

2

2

2

2
3 2 d ( x 2  2x  4)
dx
3

3


 2 dx   2
 6 2
  2x  ln( x 2  2x  4)   6 I  4  ln 3  6 I
2 0 x  2x  4
2
2

0
0
0 x  2x  4
2

2

2

Tính I  
0

2
dx
dx


x 2  2x  4 0 ( x  1) 2  3



3
dt  3(1  tan 2 t )dt
dx 
  
2
Đặt x  1  3 tan t với t    ;  suy ra 
cos t
 2 2
 ( x  1) 2  3  3(1  tan 2 t )



Fanpage: Thầy Duy Thành – Tiến sĩ Toán

3

Suy ra I  






3(1  tan t )dt
3
3

dt 
t


2
3(1  tan t )
3 
3
2

3

6

6

3





3
18

6

3
3
Vậy I 4  4  ln 3 
2
3
1

Ví dụ 5. Tính tích phân sau: I 5  
0

x3
dx
x 4 +3x 2 +2

Lời giải.
Đặt t  x2  dt  2xdx hay xdx 

dt
2

x3
11
tdt
1 1 2(t  1)  (t  2)
1 1 2
1 
I5   4
dx   2
 
dt   

dt
2
2 0 t  3t  2 2 0 (t  1)(t  2)
2 0  t  2 t 1 
0 x +3x +2
1

1
3


  ln t  2  ln t  1   ln 3  ln 2
2
2

0
1

3. BÀI TẬP TỰ GIẢI
1

x2
Bài 1. Tính tích phân sau: I  
dx
3
0 (3x  1)
1

1
dx
2
0 (x  2) ( x  3)

Bài 2. Tính tích phân sau: I  

2

3x 2  3x  3
dx
3
2 x  3x+2
3

Bài 3. Tính tích phân sau: I  

3x 2  3x  3
dx
3
x

3x+2
2
3

Bài 4. Tính tích phân sau: I  

(Còn tiếp)
Để theo dõi các tài liệu khác, truy cập fanpage : Thầy Duy Thành – Tiến sĩ Toán
Để học online, truy cập kênh Youtube: Thầy Duy Thành – Tiến sĩ Toán


Fanpage: Thầy Duy Thành – Tiến sĩ Toán

Download các chuyên đề trước:
-

Giải hệ phương trình bằng phương pháp miền giá trị: Tại đây
Giải hệ phương trình bằng phương pháp nhân chia: Tại đây
Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế hạng tử tự do: Tại đây
Giải hệ phương trình bằng phương pháphàm đặc trưng: Tại đây