Bài Giảng Giáo trình Vật Lí Đại Cương 2

Nguyễn Phước Lân

VẬT LÝ ĐẠI CƯƠNG II
(Bài giảng tại Đại học Sư phạm kỹ thuật)

LƯU HÀNH NỘI BỘ
Tp. HCM – 2015


-1-

Chương 1. Thuyết tương đối hẹp
1.1.
1.1.1.

Cơ sở hình thành thuyết tương đối hẹp

Hạn chế của cơ học cổ điển, các quan sát thiên văn và thí
nghiệm Michelson-Morley
a/ Phép biến đổi Galileo
Xét hai hệ quy chiếu, một hệ quy chiếu, ký hiệu là K được gắn với hệ tọa độ
0xyz, là hệ quy chiếu quán tính và đứng yên. Hệ quy chiếu thứ hai, ký hiệu là K’
được gắn với hệ tọa độ 0’x’y’z’, là hệ quy chiếu chuyển động tương đối so với
K với với vận tốc không đổi. Để đơn giản, ta cho rằng vào thời điểm ban đầu hai
hệ quy chiếu cùng các hệ tọa độ trùng nhau. Sau đó, hệ quy chiếu K’ chuyển
động theo chiều dương trục 0x. Ta hãy tìm mối liên hệ giữa tọa độ của một chất
điểm trong hai hệ quy chiếu đó. Ký hiệu x,y,z là tọa độ của chất điểm trong hệ
quy chiếu K, còn t là thời gian đo bằng đồng hồ trong hệ quy chiếu đó. Tương
tự, x’,y’,z’ là tọa độ của chất điểm trong hệ quy chiếu K’, còn t’ là thời gian đo
bằng đồng hồ trong hệ quy chiếu K’. Trong cơ học cổ điển, thời gian là như
nhau trong mọi hệ quy chiếu, nghĩa là

t = t’
Có thể thấy rằng, trong hệ quy chiếu K, điểm o’ chuyển động với vận tốc u.
Vị trí của nó trong hệ quy chiếu K sẽ bằng r0 = ut. Từ đây ta có vị trí của chất
điểm bất kỳ trong hai hệ quy chiếu r = r’ + r0. Từ đây, ta có
x = x’ + ut, y = y’ và z = z’
Các biểu thức này, cùng với t = t’, được gọi là phép biến đổi Galileo.
Phép biến đổi Galileo dẫn đến một nguyên lý trong cơ học cổ điển, gọi là
nguyên lý tương đối Galileo : Các định luật động lực học là như nhau trong mọi
hệ quy chiếu quán tính.
b/ Các quan sát thiên văn
Cơ học cổ điển mô tả đúng chuyển động của các vật thể vĩ mô, chuyển động
với vận tốc nhỏ so với vận tốc ánh sáng. Tuy nhiên, vào cuối thế kỷ 19, một số
kết luận của cơ học cổ điển mâu thuẫn với các kết quả thực nghiệm, đặc biệt khi
nghiên cứu chuyển động nhanh của các hạt mang điện người ta thấy rằng chuyển
động của chúng không tuân theo các định luật của cơ học cổ điển. Tiếp theo là
xuất hiện khó khăn khi tìm cách ứng dụng cơ học cổ điển để giải thích sự lan
truyền của ánh sáng. Nếu nguồn và thiết bị thu ánh sáng chuyển động đều tương
đối với nhau thì theo cơ học cổ điển (phép biến đổi Galileo) vận tốc đo được
phải phụ thuộc vào vận tốc chuyển động tương đối của chúng. Một hiện tượng
nữa trong quan sát thiên văn là đối với sao kép. Sao kép là hai ngôi sao quay
quanh một khối tâm chung. Theo cơ học cổ điển, thì ánh sáng đi từ các ngôi sao


-2-

sẽ đi với các vận tốc khác nhau, phụ thuộc vào chuyển động quay của chúng.
Khi ánh sáng đi tới Trái đất, chúng ta sẽ thấy các ngôi sao ở vào các vị trí nào
đó. Nhưng vào lúc đó, các ngôi sao đã chiếm vị trí khác, vận tốc ánh sáng từ các
ngôi sao này có thể khác vận tốc ánh sáng từ chúng ở các vị trí cũ, có thể có ánh
sáng đi với vận tốc lớn hơn và đến Trái đất sớm hơn so với đi từ vị trí cũ. Điều

đó có nghĩa là, chúng ta có thể đồng thời nhìn thấy khi thì hai ngôi sao, khi thì
bốn ngôi sao : chuyển động trông thấy được của các ngôi sao không mang tính
tuần hoàn. Trong khi đó, sự quan sát chứng tỏ rằng, chuyển động trông thấy
được của các ngôi sao kép có tính tuần hoàn chặt chẽ và không có các ngôi sao
“giả”. Điều đó có nghĩa là ánh sáng đi từ các ngôi sao kép không tuân theo các
quy luật của cơ học cổ điển.
c/ Thí nghiệm Michelson-Morley
Nghiên cứu bản chất của ánh sáng và khảo sát các quy luật tác động lên sự
lan truyền của ánh sáng là các vấn đề quan trọng nhất của vật lý trong thế kỷ 19.
Theo thuyết sóng ban đầu, sự lan truyền của ánh sáng giống như sự lan truyền
của âm thanh trong môi trường. Như vậy, nổi lên câu hỏi về môi trường mà
trong đó ánh sáng truyền đi và hệ quy chiếu mà gắn với môi trường đó.
Giả sử có một môi trường như vậy, gọi là ether (gắn với Mặt trời), mà trong
đó ánh sáng truyền đi (giả thuyết này được biết đến như là giả thuyết ether mà
sau này được chứng tỏ là không đúng). Khi đó, vận tốc của ánh sáng trên Trái
đất phải phụ thuộc vào vận tốc chuyển động của Trái đất đối với hệ quy chiếu
gắn với Mặt trời. Nếu vận tốc của Trái đất trong hệ này là V, thì vận tốc của ánh
sáng phải là c - V theo hướng chuyển động của Trái đất và bằng c + V theo
hướng ngược lại.Tuy vận tốc chuyển động của Trái đất (V = 30 km/s) là rất lớn
so với vận tốc ta hay gặp, nhưng là không đáng kể so với vận tốc ánh sáng trong
chân không (c = 3.105 km/s), do đó, việc quan sát và đo ảnh hưởng của Trái đất
lên vận tốc của ánh sáng gặp nhiều khó khăn thực nghiệm. Việc thực hiện một
thí nghiệm như vậy đòi hỏi các thiết bị chính xác cao mà thời kỳ này chưa có.
Thí nghiệm đầu tiên thuộc loại này được thực hiện bởi Michelson vào năm
1881, sử dụng giao thoa kế Michelson (trong giao thoa kế Michelson một tia
sáng đơn sắc từ một nguồn sáng đi vào một gương bán mạ dưới một góc 450 và
bị tách thành 2 tia, một tia phản xạ và một tia truyền thẳng. Hai tia này phản xạ
qua 2 gương và sau đó lại đi qua gương bán mạ, gặp nhau và giao thoa. Nếu vị
trí một gương thay đổi song song với chính nó dọc theo tia sáng một đoạn bằng
λ/2 thì hiệu quang lộ tăng thêm một lượng là λ và hệ vân giao thoa dịch chuyển

1 khoảng vân. Muốn đo chiều dài của một vật nào đó, ta dịch chuyển gương từ
đầu vật đến cuối vật và đếm số vân dịch chuyển. Giả sử số vân dịch chuyển là
m, thì chiều dài của vật là l = mλ/2). Michelson đã làm thí nghiệm như sau :
trước hết đặt giao thoa kế sao cho phương chuyển động của tia truyền qua trùng


-3-

với phương chuyển động của Trái đất, phương của tia sáng phản xạ sẽ vuông
góc với phương chuyển động của Trái đất. Trong kính của giao thoa kế sẽ quan
sát được một hệ thống vân giao thoa. Sau đó từ từ quay toàn bộ giao thoa kế 900
xung quanh trục vuông góc với cả hai tia. Khi đó vai trò của hai tia sẽ thay đổi
cho nhau, hiệu quang lộ sẽ thay đổi và hệ thống vân giao thoa sẽ dịch chuyển.
Theo tính toán của Michelson hệ thống vân sẽ dịch chuyển đi một đoạn bằng m
2l 2
khoảng vân, với l là chiều dài đoạn đường từ gương bán mạ đến các

V
gương phản xạ, còn β = . Tuy nhiên, Michelson không phát hiện được độ dịch
c

=

chuyển. Sau đó là Morley vào năm 1887 đã lặp lại thí nghiệm và cũng được kết
quả tương tự. Sau này, các kết quả của các thí nghiệm này được kiểm chứng và
được xác nhận bởi rất nhiều thí nghiệm tương tự và chính xác hơn. Hóa ra,
không một thí nghiệm nào trong chúng phát hiện ra được ảnh hưởng bất kỳ của
vận tốc chuyển động của Trái đất lên độ lớn của vận tốc truyền của ánh sáng.
Do giả thiết về vận tốc ánh sáng là không đổi chỉ liên quan đến các mâu thuẫn
thiên văn Trái đất và nhiều quan sát khác và vào đầu thế kỷ 20 các nhà khoa học

đi đến kết luận rằng vận tốc ánh sáng trong chân không là không đổi và độc lập
với chuyển động của nguồn và vật thu ánh sáng.
1.1.2.
Giới thiệu về thuyết tương đối hẹp
Thuyết tương đối hẹp là lý thyết hiện đại về thời gian và không gian. Thuyết
tương đối hẹp và cơ học lượng tử là cơ sở lý thuyết của vật lý và kỹ thuật hiện
đại. Thuyết tương đối hẹp thường được gọi là thuyết tương đối tính, còn các
hiện tượng riêng biệt, được mô tả bởi thuyết này, được gọi là các hiệu ứng
tương đối tính. Các hiệu ứng tương đối tính xuất hiện khi vận tốc chuyển động
của vật thể gần với vận tốc ánh sáng trong chân không c = 3.108 m/s và được
gọi là vận tốc tương đối tính. Cơ học, mô tả quy luật chuyển động của các vật
thể với vận tốc tương đối tính, được gọi là cơ học tương đối tính. Cơ học này
được đặt cơ sở trên thuyết tương đối hẹp.
Trong thuyết tương đối hẹp người ta giả thiết rằng thời gian là đồng nhất, còn
không gian thì đồng nhất và đẳng hướng.
1.2.

Các tiên đề của Einstein

1.2.1.
Tiên đề thứ nhất
Tiên đề 1 của Einstein phát biểu như sau :
Mọi định luật vật lý đều diễn ra như nhau trong mọi hệ quy chiếu quán
tính.


-4-

Tiên đề này là sự mở rộng nguyên lý tương đối Galileo từ sự bình đẳng giữa
các hệ quy chiếu quán tính đối với các định luật vật lý nói chung. Vì vậy tiên

đề 1 tổng quát hơn nguyên lý tương đối Galileo. Tiên đề 1 được thể hiện về
mặt toán học như sau :
Phương trình mô tả một định luật vật lý nào đó, được biểu diễn qua tọa
độ và thời gian, sẽ giữ nguyên dạng ở trong tất cả các hệ quy chiếu quán
tính.
1.2.2.
Tiên đề thứ hai
Tiên đề 2 được phát biểu như sau :
Vận tốc truyền tương tác c là hữu hạn và không phụ thuộc vào các hệ
quy chiếu quán tính.
Nội dung này thực chất là bác bỏ quan niệm về tính tuyệt đối của thời gian
và không gian trong cơ học cổ điển, nghĩa là, thời gian và không gian là các
đại lượng tương đối. Tiên đề 2 còn được gọi là tiên đề về tính bất biến của vận
tốc truyền tương tác c (vận tốc ánh sáng) trong mọi hệ quy chiếu quán tính.
Để hiểu được nguyên lý bất biến của vận tốc ánh sáng, ta định nghĩa khái
niệm biến cố :
Biến cố (hay sự kiện) là một hiện tượng vật lý xảy ra tại một điểm nào
đó trong không gian và tại một thời điểm nào đó.
Xét một biến cố xảy ra trong tự nhiên. Trong hệ quy chiếu quán tính K, biến
cố xảy ra tại vị trí x, y, z và tại thời điểm t. Đối với hệ quy chiếu quán tính K’,
chuyển động tương đối so với K với vận tốc không đổi V, thì biến cố đó xảy
ra tại vị trí x’, y’, z’ và tại thời điểm t’. Vì thời gian không còn tuyệt đối, nên
t’  t.
Giả sử, ban đầu t = t’ = 0, hai hệ quy chiếu trùng vào nhau và sau đó hệ K’
chuyển động tương đối so với K theo chiều dương trục x với vận tốc không
đổi V. Ta xét hai biến cố : biến cố thứ nhất là một ánh chớp xảy ra tại vị trí x
= 0, y = 0, z = 0, tại thời điểm t = 0. Ánh chớp này truyền theo chiều dương
của trục x của hệ quy chiếu K. Biến cố thứ hai là tín hiệu truyền đến vị trí x, y,
z vào thời điểm t trong hệ K. Quãng đường tín hiệu đi được là ct. Mặt khác,
quãng đường đó cũng bằng x 2  y 2  z 2 . Vậy, trong hệ quy chiếu K ta có

c2t2 – (x2 + y2 + z2) = 0
Trong hệ quy chiếu K’, tọa độ của biến cố thứ nhất và thứ hai lần lượt là x’
= 0, y’ = 0, z’ = 0, t’ = 0 và x’, y’, z’, t’. Vì vận tốc c là như nhau trong các hệ
quy chiếu quán tính nên
ct’ = x'2  y '2  z '2
Hay
c2t’2 – (x’2 + y’2 + z’2) = 0


-5-

Biểu thức trên cùng với biểu thức tương tự trong hệ K là các biểu thức toán
học của tiên đề 2.
1.3.

Phép biến đổi Lorentz

1.3.1.
Phép biến đổi Lorentz
Phép biến đổi các tọa độ không gian và thời gian khi chuyển từ hệ quy
chiếu quán tính này sang hệ quy chiếu quán tính khác, thỏa mãn các tiên
đề của Eistein, được gọi là phép biến đổi Lorentz.
Xét hai hệ quy chiếu K và K’. Giả sử, ban đầu t = t’ = 0, hai hệ quy chiếu
trùng vào nhau và sau đó hệ K’ chuyển động tương đối so với K theo chiều
dương trục x với vận tốc không đổi V.
Vì tiên đề 1 của Enstein là mở rộng của nguyên lý tương đối Galileo, nên
phép biến đổi Galileo cũng sẽ phải là một trường hợp riêng của phép biến đổi
Lorentz. Do trong phép biến đổi Galileo, sự phụ thuộc tọa độ của một sự kiện
nào đó trong hệ K’ và K là sự phụ thuộc tuyến tính, nên trong phép biến đổi
Lorentz sự phụ thuộc này cũng phải là tuyến tính.

Phép biến đổi tuyến tính trong trường hợp tổng quát có dạng
x’ = ax + bt và x = px’ + qt’
Các hệ số a, b, p, q được xác định từ các điều kiện sau :
1/ Gốc O’ của hệ K’ đối với hệ K’ có tọa độ là x’ = 0, y’ = 0, z’ = 0 và
đối với hệ K là x = Vt, y = 0, z = 0. Vậy, khi x’ = 0 thì
x = Vt và 0 = ax + bt = aVt + bt
Từ đây suy ra
b = - aV
2/ Tương tự, gốc O của hệ K đối với hệ K có tọa độ là x = 0, y = 0, z = 0
và đối với hệ K’ là x’ = -Vt’, y’ = 0, z’ = 0. Vậy, khi x = 0 thì
x' = -Vt’ và 0 = px’ + qt’ = -pVt’ + qt’
Từ đây suy ra
q = pV
Khi đó, ta có
x' = a(x – Vt)
x = p(x’ + Vt’)
Thay x từ phương trình thứ hai vào phương trình thứ nhất, ta có thể rút ra
t = p (t’ +

ap  1 x'
)
ap V

Thay x’ từ phương trình thứ nhất vào phương trình thứ hai, ta có thể rút ra


-6-

t’ = a (t -

ap  1 x
)
ap V

Tiếp theo, ta sử dụng biểu thức toán học của tiên đề 2
c2t2 – (x2 + y2 + z2) = 0
c2t’2 – (x’2 + y’2 + z’2) = 0
Do hệ quy chiếu K’ chuyển động chỉ dọc theo trục x nên
y' = y, z’ = z
Ta có thể biểu diễn
c2t2 – x2 = y2 + z2
c2t’2 – x’2 = y’2 + z’2
Và có
c2t2 – x2 = c2t’2 – x’2
Ta sử dụng hệ thức này như sau
3/ Khi x’ = 0 thì t = pt’, còn x = Vt, theo hệ thức trên, ta có
c2t2 – (Vt)2 = c2(t/p)2
Suy ra
p=

1
V2
 1 2
c

Do khi V = 0 thì x = x’ nên theo biểu thức x = p(x’ + Vt’) suy ra
p=

1
V2

c2

1

4/ Khi x = 0 thì t’ = at, còn x’ = -Vt, nên tương tự, ta thu được
a=

1
1

V2
c2

Đặt các hệ số vừa thu được vào các biểu thức của x, t, x’, t’, ta có
x=

x'Vt '
1

t = (t’ +
x’ =

V2
c2

Vx '
V2
)/
1


c2
c2
x  Vt

1

V2
c2


-7-

t’ = (t -

Vx
V2
)/
1

c2
c2

Các biểu thức trên được gọi là phép biến đổi Lorentz. Rõ ràng, khi V  c,
phép biến đổi Lorentz trở thành phép biến đổi Galileo.
1.3.2. Các hệ quả của phép biến đổi Lorentz
a/
Hệ quả về tính đồng thời và tính nhân quả
Giả sử trong hệ quy chiếu K tại các vị trí không gian x1 và x2 và tại các thời
điểm t1 và t2 xảy ra hai sự kiện. Nếu trong hệ quy chiếu K các sự kiện này xảy ra
tại một điểm (x1 = x2) và là đồng thời(t1 = t2), thì theo biến đổi Lorentz

x'1 =

x1  Vt
2

V
1 2
c

, x'2 =

x 2  Vt
V2
1 2
c

Vx1
Vx 2
V2
V2
t’1 = (t1 - 2 )/ 1  2 , t’2 = (t2 - 2 )/ 1  2 
c
c
c
c

Ta có
x'2 - x'1 =

( x2  x1 )  V (t 2  t1 )

V2
1 2
c

V ( x2  x1 )
c2
V2
1 2
c

(t 2  t1 ) 

, t’2 - t’1 =

Từ đây
x1'  x 2' và t1'  t 2'
Nghĩa là các sự kiện trên cũng là đồng thời và xảy ra tại một điểm trong hệ
quy chiếu quán tính bất kỳ khác.
Nếu hai sự kiện trên xảy ra đồng thời nhưng ở hai điểm khác nhau trong hệ
quy chiếu K, thì trong hệ quy chiếu K’, theo phép biến đổi Lorentz
x'1  x'2 và t’1  t’2
Nghĩa là trong hệ quy chiếu K’ hai sự kiện trên không đồng thời và xảy ra
không cùng địa điểm. Hai sự kiện xảy ra đồng thời trong hệ quy chiếu này, có
thể không đồng thời trong hệ quy chiếu khác.
V ( x2  x1 )
c2
, nên dấu của t’2 - t’1 phụ thuộc vào (t2 - t1) và
V2
1 2
c

(t 2  t1 ) 

Vì t’2 - t’1 =

(x2 – x1). Giả sử trong hệ quy chiếu K, t2 > t1, nghĩa là (t2 - t1) > 0 thì trong hệ
quy chiếu K’, (t’2 – t’1) có thể dương hoặc âm, nghĩa là không đảm bảo tính
nhân quả.
b/
Tính tương đối của thời gian
Giả sử có một đồng hồ đứng yên trong hệ quy chiếu K’, và K’ chuyển động
đối với hệ quy chiếu K với vận tốc không đổi V dọc theo trục x. Xét hai biến


-8-

cố xảy ra tại cùng một địa điểm có tọa độ x’, y’, z’ trong hệ K’. Khoảng thời
gian giữa hai biến cố này đo bằng đồng hồ đứng yên trong hệ K’ là t0 = t’2 –
t’1.
Khoảng thời gian giữa hai biến cố này trong hệ quy chiếu K sẽ bằng
t = t2 - t1 = (t’2 – t’1)/

V2
V2
1  2 = t0 / 1  2
c
c

Từ đây suy ra
t > t0

Điều này có nghĩa là đồng hồ gắn với hệ quy chiếu quán tính chuyển động
chạy chậm hơn đồng hồ đứng yên. Như vậy, khái niệm thời gian cũng chỉ là
tương đối, phụ thuộc vào sự lựa chọn hệ quy chiếu quán tính.
c/
Sự co ngắn Lorentz (co ngắn về độ dài)
Xét một thanh M1M2 nằm yên đối với hệ quy chiếu quán tính K’, dọc theo
trục x’. Chiều dài của thanh đo trong hệ quy chiếu K’ là l0 = x’2 – x’1. Đối
với hệ quy chiếu K, thanh chuyển động với vận tốc V. Chiều dài của thanh đo
trong hệ quy chiếu K sẽ là l = x2 - x1, với x1 và x2 là các tọa độ của điểm đầu
và cuối của thanh trong hệ K. Trong hệ quy chiếu K, chiều dài của thanh phải
được đo đồng thời. Dùng biến đổi Lorentz, ta thu được
l0 = x’2 – x’1 = [x2 - x1 - V(t2 - t1)]/

V2
1 2
c

Vì t2 = t1 nên
l0 = (x2 - x1)/

V2
V2
1  2 = l / 1  2
c
c

Suy ra
l < l0

Như vậy, chiều dài của thanh chuyển động, đo trong hệ quy chiếu đứng yên,
bị co lại.
1.4.

Phép biến đổi vận tốc và gia tốc

1.4.1.
Phép biến đổi vận tốc
Lấy vi phân các tọa độ trong hệ quy chiếu K’
dx’ =

dx  Vdt
1

V2
c2

dx
dx
dt  Vdt
(  V )dt
= dt
= dt
2
V
V2
1 2
1 2
c
c

dy’ = dy
dz’ = dz


-9Vdx
Vdx
Vdx
dt  2 dt
(1  2 )dt
2
c =
c dt
c dt
=
2
2
V
V
V2
1 2
1 2
1 2
c
c
c

dt 

dt’ =

Ký hiệu
u’x = dx’/dt', u’y = dy’/dt', u’z = dz’/dt' là các thành phần của véctơ vận tốc
của chất điểm trong hệ quy chiếu K’.
ux = dx/dt, uy = dy/dt, uz = dz/dt là các thành phần của véctơ vận tốc của
chất điểm trong hệ quy chiếu K.
Ta có
V
ux)
c2
V2
V
1  2 /(1 - 2 ux)
c
c

u’x = (ux - V)/(1 u’y = uy

u’z = uz 1 

V2
V
/(1 - 2 ux)
2
c
c

Tương tự, thực hiện lấy vi phân các tọa độ trong hệ quy chiếu K, ta có
V
u’x)

c2
V2
V
1  2 /(1 + 2 u’x)
c
c

ux = (u’x + V)/(1 +
uy = u’y

uz = u’z 1 

V2
V
/(1 + 2 u’x)
2
c
c

Các biểu thức này là các công thức của quy tắc tổng hợp vận tốc.
1.4.2.
Phép biến đổi gia tốc
Ký hiệu
a’x = du’/dt', a’y = du’y/dt', a’z = du’z/dt' là các thành phần của véctơ gia tốc
của chất điểm trong hệ quy chiếu K’.
ax = dux/dt, ay = duy/dt, az = duz/dt là các thành phần của véctơ gia tốc của
chất điểm trong hệ quy chiếu K.
Ta có
V2
c 2 )3

a’x = a x (
Vu
1  2x
c
1

V2
Vu
Vu
c2
a’y = [(1  2x )a y  2y a x ]
Vu
c
c
(1  2x )3
c
1


- 10 V2
Vu
Vu
c2
a’z = [(1  2x )a z  2z a x ]
Vu
c
c
(1  2x ) 3
c
1

Tương tự, ta có
V2
c 2 )3
ax = a x' (
Vu '
1  2x
c
1

V2
Vu
Vu '
c2
ay = [(1  2x )a 'y  2 a x' ]
c
c
Vu '
(1  2x ) 3
c
V2
1

Vu '
Vu '
c2
az = [(1  2x )a z'  2z a x' ]
c
c
Vu '

(1  2x ) 3
c
'
y

1.5.

1

Động lực học tương đối tính và hệ thức năng lượng của Einstein

1.5.1.
Động lượng của một chất điểm
a/ Sự phụ thuộc của khối lượng vào vận tốc chuyển động
Xét một hệ chất điểm cô lập. Động lượng của hệ trong hệ quy chiếu K là


 mi ui với mi , ui là khối lượng và vận tốc của chất điểm thứ i trong hệ quy


chiếu K, trong hệ quy chiếu K’ là  mi' u i' , với m’i , u i' là khối lượng và vận tốc
của nó trong hệ quy chiếu K’. Chúng ta yêu cầu rằng trong biến đổi từ hệ quy


chiếu K’ sang hệ quy chiếu K đại lượng  mi' u i' phải chuyển thành  mi u i .
Để đơn giản, chúng ta xem xét một hệ chỉ gồm 2 hạt và giả thiết rằng chúng
đứng yên trong hệ quy chiếu K’. Nghĩa là
m'1u’1x + m’2u’2x = 0
m'1u’1y + m’2u’2y = 0
m'1u’1zx + m’2u’2z = 0

Khi đó, trong hệ quy chiếu K vận tốc của các chất điểm sẽ có các thành phần
sau u1x = u2x = V, u1y = u2y = 0, u1z = u2z = 0. Xem xét các thành phần của động
lượng của hệ các chất điểm dọc theo trục x.
m1u1x + m2u2x = m1V + m2V
Do


- 11 ux  V

u'x =

1

V
ux
c2

Nên ta có
u1x  V

m’1

V
1  2 u1x
c

+ m’2

u2x  V
V

1  2 u2x
c

=0

Từ đây ta có hệ phương trình
u1x  V

m’1

V
1  2 u1x
c

+ m’2

u2x  V
V
1  2 u2x
c

=0

m1(u1x – V) + m2(u2x – V) = 0
Để hệ phương trình này có nghiệm khác không, cần và đủ phải thỏa mãn điều
kiện
m’1

m2
V

1  2 u1x
c

- m’2

m1
V
1  2 u2x
c

=0

Ta tính
V2
V2
2
u (1  2 )
u z (1  2 )
(u x  V ) 2
c
c
u’2 = u’2x + u’2y + u’2z =
+
+
=
V
V
V
2
2

2
(1  2 u x )
(1  2 u x )
(1  2 u x )
c
c
c
2
V
1
[ (u x  V ) 2 + (1  2 ) ( u2y + u2z)] =
V
c
(1  2 u x ) 2
c
V2
V2
1
[ u2x + V2 – 2uxV - (1  2 ) u2x+ (1  2 ) ( u2x + u2y + u2z)]
V
c
c
(1  2 u x ) 2
c
V2
1 2
2
u2
u'
c

Suy ra
1 2 =
(1  2 )
V
c
c
2
(1  2 u x )
c
2
y

Từ đây
V
(1  2 u x ) =
c

V2
1 2
c

u2
1 2
c
u' 2
1 2
c


- 12 -

Thay (1 

V
V
u ) và (1  2 u 2 x ) từ biểu thức tương ứng như trên, ta được
2 1x
c
c
u' 2
u' 2
1  21
1  22
c
c

m’1

m2 = m’2

u2
1  12
c

u2
1  22
c

m1

Hay
m'1
m1

u '12
c 2 = m' 2
m2
u2
1  12
c

1

1

u ' 22
c2

1

u 22
c2

Để thỏa mãn hệ thức trên, mỗi một vế của biểu thức phải bằng một hằng số,
nghĩa là
u '12
1 2
c =D
u12
1 2

c

m'1
m1

Giả sử rằng trong hệ quy chiếu K’ vật m1 đứng yên, nghĩa là u’1 = 0, khi đó
m’1 = m10. Từ đây ta có
m1 =

m10

1
D

1

u12
c2

Khi c >> u1 m1 phải bằng m10, do đó D = 1. Trong trường hợp tổng quát
m=

m0
1

u2
c2

Trong biểu thức này, m0 được gọi là khối lượng nghỉ. Khối lượng này không
phụ thuộc vào việc chọn hệ quy chiếu quán tính. Khối lượng m của vật bất kỳ

tăng khi nó chuyển động và có khối lượng nhỏ nhất là m0 khi nó đứng yên.
b/ Động lượng của một chất điểm
K = mu = m0u/ 1 

u2
c2

Khi u << 1 ta thu được K = m0V.
1.5.2.
Định luật hai Newton trong cơ học tương đối tính
Ta thấy rằng, phương trình biểu diễn định luật thứ hai của Newton
F=m

d
u
dt


- 13 -

không bất biến đối với phép biến đổi Lorentz, và như vậy, không tuân thủ tiên
đề 1 của Enstein. Do đó, nó không thể mô tả chuyển động của chất điểm với vận
tốc lớn. Phương trình cơ bản của chuyển động chất điểm phải có dạng
F=

d
(mu)
dt

và phải như nhau trong mọi hệ quy chiếu quán tính, nghĩa là bất biến với phép

biến đổi Lorentz.
Một biểu thức dạng
m0

d
(
dt

F=

u2
1 2
c

u)

thỏa mãn điều kiện nêu ra.
Phương trình cơ bản của chuyển động chất điểm có thể biểu diễn ở dạng
d
K
dt

F=

1.5.3.
Hệ thức Einstein về khối lượng-năng lượng
Theo định luật bảo toàn năng lượng
dW = dA
Ta có
dW = F.ds = F.ds =

[

m0
2

u
1 2
c

du
+
dt

d
(
dt

m0

m0

u2 3
(1  2 )
c
m0
du
ds
u 2 3 dt
(1  2 )

c

Sử dụng biểu diễn
ds
du
ds = du = udu
dt
dt

Ta được
dW =
Từ biểu thức của m, ta có

m0
V2
(1  2 )3
c

u).ds =

u2
1 2
c
2
u du
]ds =
c 2 dt

udu

- 14 -

dm =

m0

1
c2

u2 3
(1  2 )
c

udu

Từ đây ta có mối liên hệ
dW = c2.dm
Lấy tích phân, ta được
W = mc2 + C
Khi m = 0 thì W = 0, do đó C = 0, ta có
W = mc2
Hệ thức này được gọi là hệ thức Enstein.
Khi chất điểm (vật) đứng yên, ta có m = m0. Do đó, khi vật đứng yên, vật vẫn
có một năng lượng , gọi là năng lượng nghỉ
W0 = m0c2
Khi vật chuyển động, vật có động năng, bằng
Wđ = mc2 - m0c2 = m0c2 (

1

u2
1 2
c

-1)

1.5.4.
Hệ thức liên hệ động lượng-năng lượng
Bình phương biểu thức Enstein, ta được
m02c4 = W2 (1-

2
u2
2
2 u
)
=
W
W
c2
c2

Thay W = mc2 và K = mu vào biểu thức, ta được
W2 = m02c4 + K2 c2
Đó là biểu thức liên hệ giữa năng lượng và động lượng.
1.5.5.
Phép biến đổi Lorentz cho động lượng-năng lượng
a/
Phép biến đổi Lorentz cho khối lượng
Trong hệ quy chiếu K ta có

m=

m0
1

u2
c2

Có thể biểu diễn tương tự trong hệ quy chiếu K’
m' =

m0
1

Sử dụng

u' 2
c2


- 15 -

1

u '2
c2

V2
1 2
u2

c
=
(1  2 )
V
c
(1  2 u x ) 2
c

Ta có thể biểu diễn
m' =

m0
1

u' 2
c2

=

m0
1

V
V
ux
1 2 ux
2
c
=m c
2

V
V2
1 2
1 2
c
c

1

u2
c2

b/
Phép biến đổi Lorentz cho động lượng
Động lượng của một chất điểm trong hệ quy chiếu K có dạng
K = mu
Trong hệ quy chiếu K’ nó có dạng
K’ = m’u’
Xét các thành phần của động lượng
Trong hệ quy chiếu K chúng có dạng
Kx = mux, Ky = muy, Kz = muz.
Còn trong hệ quy chiếu K’ thì
K’x = m’u’x, K’y = m’u’y, K’z = m’u’z.
Thay biểu thức của khối lượng và vận tốc của chất điểm trong hệ quy chiếu
K’, ta có
K’x = m(ux – V)

1
1

V2
c2

=

K x  mV
1

V2
c2

K’y = Ky
K’z = Kz
c/
Phép biến đổi Lorentz cho năng lượng
Biểu thức của năng lượng trong hệ quy chiếu K
W = mc2
Biểu thức của năng lượng trong hệ quy chiếu K’
W’ = m’c2
Sử dụng biến đổi khối lượng, ta có
V
ux
2
W  VK x
2
c
W’ = m
c
=
V2

V2
1 2
1 2
c
c
1


- 16 -

Chương 2. Quang học
2.1.

Cơ sở của quang hình học

Trong thực tế, có nhiều hiện tượng quang học có thể được nghiên cứu, xuất
phát từ khái niệm về các tia sáng. Phần quang học dựa trên mô hình tia của ánh
sáng được gọi là quang hình học.
2.1.1.
Các định luật cơ bản của quang hình học
a/ Định luật về sự truyền thẳng của ánh sáng
Trong một môi trường trong suốt, đồng tính và đẳng hướng thì ánh sáng
truyền theo đường thẳng.
b/ Định luật về tác dụng độc lập của các tia sáng
Tác dụng của các chùm sáng khác nhau thì độc lập với nhau.
c/ Các định luật Descartes
+ Định luật thứ nhất
Tia phản xạ nằm cùng mặt phẳng tới và góc tới bằng góc phản xạ
i = i’

i

i’

+ Định luật thứ hai

n1

i

r

n2
Tia khúc xạ nằm cùng mặt phẳng tới và tỉ số giữa sin góc tới và sin góc
khúc xạ là một số không đổi


- 17 s in i
 n
s in r

21

Trong đó n21 được gọi là chiết suất tỷ đối của môi trường 2 đối với môi trường
1. Thực nghiệm chứng tỏ rằng n21 

v1
.
v2

Còn tỉ số n = c/ v được gọi là chiết suất tuyệt đối của môi trường ( n   ,
với ε và μ là hằng số điện môi và độ từ thẩm của môi trường).
Như vậy

n21 

s in i
s in r

Hay

n2
n1



n
n

2
1

Từ đây suy ra công thức đối xứng n1.sin i = n2. sin r
Đối với không khí n = 1, đối với nước n = 1,33, còn đối với thủy tinh n = 1,5.
2.1.2.
Các đặc trưng cơ bản của quang hình học
a/ Quang lộ
Quang lộ giữa hai điểm là đoạn đường ánh sáng truyền được trong chân
không trong khoảng thời gian t, mà t là thời gian ánh sáng đi được đoạn đường
đó trong môi trường

L  ct  c.

d
 nd
V

Nếu ánh sáng đi qua nhiều môi trường thì quang lộ là tổng:
L = Σ ni.di = Σ ni. si

s1
A

s2
s3
B

b/ Nguyên lý Fermat
Nguyên lý Fermat (hay còn gọi là nguyên lý thời gian tối thiểu) phát biểu như
sau :
Đường đi thực của tia sáng giữa hai điểm bất kỳ là quãng đường đòi hỏi
thời gian tối thiểu để đi qua nó. Điều này có nghĩa : ánh sáng truyền giữa hai
điểm theo đường thẳng nối hai điểm đó.
c/ Định lý Malus
Định lý Malus phát biểu như sau :
Quang lộ của các tia sáng giữa hai mặt trực giao của một chùm sáng thì
bằng nhau.


- 18 -

Mặt trực giao là mặt vuông góc với các tia sáng trong chùm.
2.2.

Cơ sở của quang học sóng

2.2.1.
Lý thuyết điện từ về ánh sáng của Maxwell
a/
Bản chất của ánh sáng là sóng điện từ
Những định luật cơ bản của quang học đã được biết đến từ xa xưa. Vào cuối
thế kỷ 17, trên cơ sở nhiều kinh nghiệm hàng thế kỷ và sự phát triển nhận thức
về ánh sáng, xuất hiện hai lý thuyết về ánh sáng : thuyết hạt do Newton chủ trì
và thuyết sóng do Guk và Huygen chủ xướng.
Theo thuyết hạt, ánh sáng là một dòng hạt, được phát ra bởi các vật sáng và
bay theo quỹ đạo thẳng. Chuyển động của các hạt ánh sáng tuân theo các định
luật của cơ học Newton.
Theo thuyết sóng, phát triển trên cơ sở sự tương tự của các hiện tượng ánh
sáng và âm thanh, ánh sáng là một sóng đàn hồi, lan truyền trong một môi
trường đặc biệt là ether. Thuyết sóng đặt nền móng trên nguyên lý Huygen : mỗi
một điểm mà sóng ánh sáng truyền đến, trở thành tâm của sóng thứ cấp, còn
điểm uốn của các sóng này cho vị trí của mặt đầu sóng ở thời điểm tiếp theo.
Như vậy là vào đầu thế kỷ 18 tồn tại hai thuyết ánh sáng mâu thuẫn nhau. Cả hai
thuyết đều giải thích được sự truyền thẳng của ánh sáng, các định luật phản xạ
và khúc xạ. Tuy nhiên, theo thuyết hạt của Newton thì vận tốc ánh sáng trong
môi trường V lớn hơn vận tốc ánh sáng trong chân không c (V > c), còn theo
Huygen thì V < c. Đến năm 1851 Fuko và sau đó là Fizo đo được vận tốc truyền
ánh sáng trong nước, và nhận được giá trị, theo đó thuyết sóng đã đúng. Tuy
nhiên, thuyết sóng ánh sáng của Huygen chứa rất nhiều khiếm khuyết. Ví dụ,
các hiện tượng giao thoa và nhiễu xạ ánh sáng chỉ có thể giải thích nếu coi ánh
sáng là sóng ngang. Mặt khác, nếu ánh sáng là sóng ngang, thì ether phải có tính

chất như môi trường rắn. Tuy nhiên, mọi cố gắng gán cho ether các tính chất vật
rắn đều không mang lại kết quả, vì ether không tác động đáng kể lên chuyển
động của các vật trong nó. Thêm nữa, thực nghiệm chứng tỏ rằng vận tốc lan
truyền ánh sáng khác nhau trong các môi trường khác nhau, vì vậy, ether phải có
các tính chất khác nhau trong các môi trường khác nhau. Thực nghiệm không
thể khẳng định được điều này. Thuyết Huygen cũng không thể giải thích bản
chất vật lý của các màu ánh sáng.
Khoa học về ánh sáng tích lũy các giá trị thực nghiệm, chứng tỏ sự liên quan
giữa các hiện tượng ánh sáng, điện và từ, và cho phép Maxwell vào những năm
70 của thế kỷ 19 tạo nên thuyết sóng điện từ ánh sáng (hệ phương trình
Maxwell). Theo thuyết điện từ Maxwell, vận tốc truyền sóng bằng


- 19 -

V=

1
 0 0 

Trong chân không vận tốc này bằng
c=

1
= 3.108 m/s
 0 0

bằng vận tốc ánh sáng trong chân không. Còn trong môi trường
c
=

V

 = n > 1

b/
Hàm sóng ánh sáng phẳng đơn sắc
Xét dao động của một đại lượng u lan truyền dọc theo một phương xác định
(dọc theo trục x) với vận tốc V.
Giả sử tại x = 0, u = f(t). Nghĩa là u(0,t) = f(t). Khi đó, tại điểm M, cách 0
một khoảng x, đại lượng dao động u sẽ lấy các giá trị giống như ở 0 nhưng tại
thời điểm trước đó là t’
t' = t -

x
V

Hay
u(x,t) = u(0,t’)
Do đó, ta có
u(x,t) = f(t -

x
)
V

Ánh sáng là sóng điện từ tức là một điện từ trường biến thiên truyền trong
không gian. Thành phần
gây ra cảm giác sáng tác dụng
vào mắt ta là vectơ



cường độ điện trường E . Vì vậy, dao động của vectơ E được gọi là dao động
sáng.
Hàm sóng ánh sáng là phương trình dao động của vectơ sóng sáng tại điểm
quan sát.
Nếu tại nguồn 0 vectơ sóng sáng
có dạng (sóng ánh sáng phẳng đơn sắc)


E (0) = a cos(  t)
Thì tại điểm M, cách 0 một khoảng bằng d, ta có

.d
2 .L


E (M) = a cos(  t ) = a cos(  t )
V

2
c
.d 2 n 2dn 2 .L
(  = , V = , L = nd, T.c =  ;
=
.d . =
=
)
T
c
Tc

T
n
V


c/
Cường độ ánh sáng
Cường độ sáng tại một điểm tỷ lệ với bình phương biên độ dao động :
I = k.a2


- 20 -

2.2.2.
Nguyên lý chồng chất sóng
Khi hai hay nhiều sóng ánh sáng gặp nhau thì từng sóng riêng biệt không
bị các sóng khác làm nhiễu loạn. Sau khi gặp nhau các sóng ánh sáng vẫn
truyền đi như cũ, còn tại những điểm gặp nhau, dao động sóng bằng tổng
các dao động thành phần.
2.2.3.
Nguyên lý Huyghen
Bất kỳ một điểm nào nhận được sóng ánh sáng truyền đến đều trở thành
nguồn sáng thứ cấp phát ánh sáng về phía trước nó.
2.2.4.
Nguyên lý Huyghen - Fresnel
Nguyên lý Huygen chỉ giải quyết bài toán về hướng lan truyền của mặt đầu
sóng, nhưng không đả động đến biên độ, và do đó, đến cường độ sóng lan
truyền theo các hướng khác nhau. Fresnel đưa vào nguyên lý Huygen ý tưởng
vật lý, bổ sung cho nó ý tưởng về giao thoa sóng thứ cấp. Theo Fresnel, sóng
ánh sáng, do một nguồn bất kỳ phát ra, có thể được biểu diễn như kết quả của

chồng chất các sóng kết hợp thứ cấp. Fresnel giả thiết rằng nếu giữa nguồn và
điểm quan sát có màn chắn không trong suốt cùng lỗ thủng, thì trên bề mặt màn
chắn biên độ sóng thứ cấp bằng không, còn biên độ sóng ở lỗ thủng thì như thể
không có màn chắn. Nguyên lý Huygen với bổ sung Fresnel được gọi là nguyên
lý Huygen-Fresnel, phát biểu như sau :
Bất kì một điểm nào mà ánh sáng truyền đến đều trở thành nguồn sáng
thứ cấp, phát sóng cầu về phía trước nó.
Biên độ và pha của nguồn thứ cấp là biên độ và pha của nguồn thực gây
ra tại vị trí nguồn thứ cấp.
2.3.

Hiện tượng giao thoa ánh sáng

2.3.1.
Hiện tượng giao thoa ánh sáng
a/ Giao thoa là sự chồng chất của hai hay nhiều sóng ánh sáng mà kết
quả là trong trường giao thoa xuất hiện những miền sáng và những miền tối
(còn gọi là vân giao thoa).
b/ Điều kiện có giao thoa là: các sóng tới phải là sóng kết hợp (cùng tần số,
hiệu số pha không đổi theo thời gian) và cùng phương dao động (để gặp nhau).
c/ Nguyên tắc tạo ra 2 sóng kết hợp: Tách sóng phát ra từ một nguồn duy
nhất thành hai sóng, sau đó lại cho chúng gặp nhau (Hai nguồn riêng biệt thông
thường không có tính kết hợp).
2.3.2.
Thí nghiệm giao thoa hai khe Young
a/ Thí nghiệm:
Cho hai nguồn sáng kết hợp chiếu sáng đến màn ảnh. Ta xét chồng chất sáng
tại điểm M.

- 21 -

Vùng
GT

S2



O

S

S1
P
E

D

Tại nguồn O1 ta có E1 (01) = a1 cost, và tại nguồn O2 ta có E2 (02) = a2
cost
Tại điểm M ta có
2L1
) = a1 cos(t +  1)

2L2
E2 (M) = a2 cos(t ) = a2 cos(t +  2)


E1 (M) = a1 cos(t -

Sử dụng phương pháp véctơ
quay, ta có thể xác định được
hàm sóng tổng hợp
E (M) = acos(t +  )
Vớ i
a  a12  a 22  2a1a 2 cos  ,
2 ( L1  L2 )
 =


a1 sin 1  a2 sin 2
a1 cos 1  a2 cos 2

M

O2
r1


l B

O

H

Và
tg  =

r2

y

O1

D

b/ Điều kiện cực đại và cực tiểu giao thoa
Biên độ sóng tổng hợp tại điểm M có dạng
a  a12  a22  2a1a2 cos[

2 ( L1  L2 )
]


Khi hàm cosin bằng +1 ta có biên độ sóng tổng hợp tại điểm M cực đại. Khi
đó cường độ sáng I = ( a1 + a2 )2 tại M là cực đại. Tại M có cực đại của giao
thoa. Vậy điều kiện có cực đại giao thoa là


- 22 2 ( L1  L2 )
= 2k.π.


Hay điều kiện có cực đại giao thoa
L1 - L2 = k  = 2k.


, với k = 0, ±1, ±2, ±3,…
2

Khi hàm cosin bằng -1 ta có biên độ sóng tổng hợp tại điểm M cực tiểu. Khi
đó cường độ sáng I = ( a1 - a2 )2 tại M là cực tiểu. Tại M có cực tiểu của giao
thoa. Vậy điều kiện có cực tiểu giao thoa là
2 ( L1  L2 )
1
= 2(k + ).π.

2

Hay điều kiện có cực tiểu giao thoa
L1 - L2 = (2k + 1).


, với k = 0, ±1, ±2, ±3,…
2

Nghĩa là ta có cực đại giao thoa khi hiệu quang lộ bằng số chẵn lần nửa
bước sóng, còn khi hiệu quang lộ bằng số lẻ lần nửa bước sóng thì ta có cực
tiểu giao thoa.
c/ Vị trí các vân giao thoa
Theo hình vẽ và trong không khí thì
L1  L2  r1  r2  O1H  ltg  l

yM
D

Do đó vị trí vân sáng (cực đại giao thoa) được xác định
yM = k

D
l

Còn vị trí vân tối (cực tiểu giao thoa) được xác định
1 D
2 l

yM = (k + )

Với k = 0, ±1, ±2, ±3,…
d/ Khoảng vân.
Khoảng vân là khoảng cách giữa hai vân sáng (hoặc tối) liên tiếp :
i=

D
l

2.3.3.
Giao thoa bởi bản mỏng
a/
Giao thoa do phản xạ
Thí nghiệm (của Loyd)
Lấy một tấm thủy tinh mặt sau bôi đen để hấp thụ các tia khúc xạ. Một nguồn
sáng đơn sắc O1 được đặt phía trên và khá xa tấm thủy tinh. Màn E được đặt
vuông góc với tấm thủy tinh. Một điểm M trên màn sẽ nhận được hai tia sáng từ
O1 đến, một tia đi thẳng và một tia phản xạ qua tấm thủy tinh. Tại điểm M sẽ có
giao thoa.


- 23 -

O1
M



O2

D

E
Điều kiện để tại M có cực đại giao thoa là
L1 - L2 = k  , với k = 0, ±1, ±2, ±3,…
Còn điều kiện có cực tiểu giao thoa là
1
2

L1 - L2 = (k + ).  , với k = 0, ±1, ±2, ±3,…
Tuy nhiên, kết quả thu được lại là : những điểm M mà lí thuyết dự đoán là
sáng thì lại tối và ngược lại.
Điều này chứng tỏ: khi phản xạ tại gương, pha của sóng ánh sáng đã thay đổi
một lượng  (quang lộ tăng thêm /2).
Lí thuyết chứng tỏ, chỉ khi ánh sáng phản xạ trên bề mặt môi trường có chiết
suất lớn hơn môi trường tới thì tia phản xạ mới ngược pha với tia tới. Khi đó
quang lộ tăng thêm một lượng là /2.
b/
Giao thoa qua bản mỏng có bề dày không đổi
F

M

i
no

i
n

A
B

O

d

C

Xét bản mỏng có bề dày không đổi d chiết suất là n, được đặt trong một môi
trường có chiết suất n0. Bản mỏng được chiếu sáng bởi một nguồn sáng rộng.


- 24 -

Chùm sáng song song rọi lên bản với góc tới là i. Coi chùm sáng như một tia
sáng. Xét tia sáng đó.
Khi tới bản mỏng nó tách thành 2 tia song song, tia thứ nhất phản xạ từ mặt
trên, còn tia thứ hai phản xạ từ mặt dưới của bản mỏng. Khi đó, hiệu quang lộ
của 2 tia sáng sẽ được tính như sau
ΔL = n(OC+CB) - n0OA 
Ta có OC = CB =


2

d
, OA = OB.sini; OB = 2d.tgr, với r là góc khúc xạ.
cos r


xuất hiện do sự thay đổi trong quang lộ của tia phản xạ. nếu n
2

> n0, thì quang lộ tia phản xạ tăng
từ điểm O; còn nếu n < n0 thì quang lộ tia
2

phản xạ tăng từ điểm C (Lý thuyết chứng tỏ, chỉ khi ánh sáng phản xạ trên bề
2

Thành phần 

mặt môi trường có chiết suất lớn hơn môi trường tới thì tia phản xạ mới ngược
pha với tia tới. Khi đó quang lộ tăng thêm một lượng là /2).
Từ định luật khúc xạ sini = nsinr, cho rằng đối với không khí n0 = 1, ta có
ΔL =

2nd 2nd sin 2 r


- = 2ndcosr cos r
cos r

2
2

Từ đây suy ra
ΔL = 2dn 1  sin 2 r -



= 2d n 2  sin 2 i 2
2

Hiệu quang lộ giữa 2 tia sáng phản xạ từ 2 bề mặt bản mỏng bằng :
L1 - L2 = 2d n 2  sin 2 i -


2

Các chùm sáng có cùng góc tới i thỏa mãn điều kiện :
L1 – L2 = k. , với k = 0, ±1, ±2, ±3,…
sẽ cho vân sáng. Và
L1 – L2 = (k + ½). , với k = 0, ±1, ±2, ±3,…
sẽ cho vân tối.
- Vân giao thoa định xứ ở vô cực (hoặc ở mặt phẳng tiêu, nếu đặt thấu kính
hội tụ như trên hình vẽ).
-Vân giao thoa là những vòng tròn sáng, tối xen kẽ trên tiêu diện của thấu
kính, có tâm tại tiêu điểm của thấu kính F.
Các vân giao thoa ở cùng một vòng tròn là do tia sáng có cùng độ nghiêng i
(vân cùng độ nghiêng).
c/
Giao thoa qua nêm không khí